考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识 方法篇 专题8 概率与统计 第38练

高考数学冲刺概率统计考点精讲高考数学中，概率统计是一个重要的板块，也是不少同学感到有一定难度的部分。

在高考冲刺阶段，对概率统计考点进行系统的梳理和深入的理解，有助于我们在考试中取得更好的成绩。

接下来，就让我们一起对这部分考点进行详细的讲解。

一、随机事件与概率1、随机事件随机事件是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。

比如，抛掷一枚硬币，正面朝上就是一个随机事件。

2、概率的定义概率是对随机事件发生可能性大小的度量。

如果一个随机事件 A 发生的可能性大小可以用一个数值 P(A)来表示，那么0 ≤ P(A) ≤ 1。

3、古典概型古典概型是一种最简单的概率模型。

如果试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，且每个基本事件出现的可能性相等，那么事件 A 的概率可以通过计算 A 包含的基本事件个数 m 与总的基本事件个数 n 的比值来得到，即 P(A) ＝ m ／ n 。

4、几何概型与古典概型不同，几何概型中基本事件的个数是无限的。

比如，在一个区间内随机取一个数，求这个数落在某个子区间的概率。

二、概率的基本性质1、互斥事件如果事件 A 和事件 B 不能同时发生，那么称它们为互斥事件。

互斥事件的概率加法公式为：P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B) 。

2、对立事件对立事件是指两个互斥事件中必有一个发生，且只有一个发生。

事件 A 的对立事件记为，且 P( ）＝ 1 P(A) 。

3、概率的运算性质包括 P(∅）＝ 0 ，P(A) ＝ 1 P( ），以及如果 A 包含于 B ，则 P(A) ≤ P(B) 等。

三、离散型随机变量及其分布列1、离散型随机变量如果随机变量 X 的取值可以一一列出，那么称 X 为离散型随机变量。

2、分布列离散型随机变量 X 的取值以及对应的概率所组成的表格称为分布列。

分布列具有两个性质：（1）Pi ≥ 0 ，i ＝1, 2, 3, … ；（2）P1 ＋ P2 ＋P3 ＋… ＝ 1 。

常见的离散型随机变量分布列有：（1）两点分布如果随机变量 X 只有两个可能的取值，且 P(X ＝ 0) ＝ 1 p ，P(X＝ 1) ＝ p ，则称 X 服从两点分布。

第38练 随机变量及其分布列[题型分析·高考展望] 随机变量及其分布列是高考的一个必考热点，主要包括离散型随机变量及其分布列，期望，二项分布及其应用．对本部分学问的考查，一是以实际生活为背景求解离散型随机变量的分布列和期望；二是独立大事概率的求解；三是考查二项分布．常考题型精析题型一 条件概率与相互独立大事的概率例1 (1)(2022·课标全国Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A ．0.8 B ．0.75 C ．0.6 D ．0.45 答案 A解析 已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可依据条件概率公式，得P ＝0.60.75＝0.8.(2)(2022·山东)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他状况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：①小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； ②两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．解 ①记A i 为大事“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)， 则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16.记B j 为大事“小明对落点在B 上的来球回球的得分为j 分”(j ＝0,1,3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为大事“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”． 由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3，由大事的独立性和互斥性，得P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3) ＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)P (B 1)＋ P (A 0)P (B 3)＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310， 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.②由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6， 由大事的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1) ＝13×15＋16×35＝16， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3) ＝12×15＋16×15＝215， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12×35＋13×15＝1130， P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110.可得随机变量ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 6 P13016152151130110所以数学期望E (ξ)＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.点评 (1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P (AB )P (A ).这是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求大事A 包含的基本大事数n (A )，再在大事A 发生的条件下求大事B 包含的基本大事数，即n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ). (3)相互独立大事的概率通常和互斥大事的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经消灭一些概率值，解题时先要推断大事的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．变式训练1 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，大事A ＝“取到的2个数之和为偶数”，大事B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( ) A.18 B.14 C.25 D.12 答案 B解析 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14. (2)(2022·陕西)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体状况如下表：①设X 表示在这块地上种植1②若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．解 ①设A 表示大事“作物产量为300 kg ”，B 表示大事“作物市场价格为6 元/kg ”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4，∵利润＝产量×市场价格－成本． ∴X 全部可能的取值为500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000， 300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800. P (X ＝4 000)＝P (A )P (B )＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2 000)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2， 所以X 的分布列为②设C i 表示大事“第i 季利润不少于2 000元”(i ＝1,2,3)，由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由①知， P (C i )＝P (X ＝4 000)＋P (X ＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1,2,3)， 3季的利润均不少于2 000元的概率为 P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为 P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C 3)＋P (C 1C 2C 3) ＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896. 题型二 离散型随机变量的期望例2 (2021·山东)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参与者需从全部的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规章如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参与者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分． (1)写出全部个位数字是5的“三位递增数” ；(2)若甲参与活动，求甲得分X 的分布列和数学期望E (X )．解 (1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345； (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84， 随机变量X 的取值为：0，－1,1， 因此P (X ＝0)＝C 38C 39＝23，P (X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P(X＝1)＝1－114－23＝1142，所以X的分布列为X 0－1 1P 231141142则E(X)＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.点评离散型随机变量的期望的求解，一般分两步：一是定型，即先推断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的期望可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，留意离散型随机变量的取值与概率间的对应．变式训练2(2022·辽宁)一家面包房依据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在将来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在将来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)．解(1)设A1表示大事“日销售量不低于100个”，A2表示大事“日销售量低于50个”，B表示大事“在将来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝C03(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216，则X的分布列为X 012 3P 0.0640.2880.4320.216由于X～B(3,0.6)，所以期望E(题型三二项分布问题例3(2022·湖北)方案在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入．．流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的频率，并假设各年的入流量相互独立．(1)求将来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站期望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X 40<X<8080≤X≤120X>120发电机最多可运行台数12 3800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解(1)依题意，得p1＝P(40<X<80)＝1050＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝3550＝0.7，p3＝P(X>120)＝550＝0.1.由二项分布，得在将来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为p＝C04(1－p3)4＋C14(1－p3)3p3＝(910)4＋4×(910)3×(110)＝0.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5 000－800＝4 200，因此P(Y＝4 200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3＝0.8.由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝③安装3台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P (Y ＝3 400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1，由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝3 400×0.2＋9 200×＝8 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．点评 应用公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k的三个条件： (1)在一次试验中某大事A 发生的概率是一个常数p ；(2)n 次试验不仅是在完全相同的状况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n 次试验中大事A 恰好发生了k 次的概率．变式训练3 甲、乙两支排球队进行竞赛，商定先胜3局者获得竞赛的成功，竞赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局竞赛甲队获胜的概率都是23.假设各局竞赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2成功的概率；(2)若竞赛结果为3∶0或3∶1，则成功方得3分，对方得0分；若竞赛结果为3∶2，则成功方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．解 (1)设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2成功”分别为大事A ，B ，C ，则P (A )＝23×23×23＝827，P (B )＝C 23⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝827， P (C )＝C 24⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－232×12＝427. (2)X 的可能的取值为0,1,2,3.则P (X ＝0)＝P (A )＋P (B )＝1627，P (X ＝1)＝P (C )＝427，P (X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫1－232×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－12＝427， P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫133＋C 23⎝⎛⎭⎫132×23×13＝19. ∴X 的分布列为∴E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×19＝79.高考题型精练1．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( ) A.34 B.23 C.45 D.710 答案 A解析 设甲命中目标为大事A ，乙命中目标为大事B ，丙命中目标为大事C ，则目标被击中的大事可以表示为A ∪B ∪C ，即击中目标表示大事A 、B 、C 中至少有一个发生． ∴P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C ) ＝[1－P (A )]·[1－P (B )]·[1－P (C )] ＝⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝14. 故目标被击中的概率为1－P (A ·B ·C )＝1－14＝34.2．在4次独立重复试验中大事A 发生的概率相同，若大事A 至少发生1次的概率是6581，则大事A 在一次试验中发生的概率为( ) A.13 B.25C.56 D ．以上全不对答案 A解析 设大事A 在一次试验中发生的概率为p ，∵大事A 全不发生为大事A 至少发生一次的对立大事，∴1－(1－p )4＝6581，即(1－p )4＝1681.故1－p ＝23或1－p ＝－23(舍去)，即p ＝13.3．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设大事A 为“x ＋y 为偶数”，大事B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P (B |A )等于( ) A.12 B.13 C.14 D.25答案 B解析 正面朝上的点数(x ，y )的不同结果共有C 16·C 16＝36(种)．大事A ：“x ＋y 为偶数”包含大事A 1：“x ，y 都为偶数”与大事A 2：“x ，y 都为奇数”两个互斥大事，其中P (A 1)＝C 13·C 1336＝14，P (A 2)＝C 13·C 1336＝14，所以P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝14＋14＝12.大事B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，所以大事AB 为“x ，y 都为偶数且x ≠y ”，所以P (AB )＝C 13·C 13－336＝16.P (B |A )＝P (AB )P (A )＝13.4．小王参与了2021年春季聘请会，分别向A ，B 两个公司投递个人简历．假定小王得到A 公司面试的概率为13，得到B 公司面试的概率为p ，且两个公司是否让其面试是独立的．记ξ为小王得到面试的公司个数．若ξ＝0时的概率P (ξ＝0)＝12，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝________.答案712解析 由题意，得P (ξ＝2)＝13p ，P (ξ＝1)＝13(1－p )＋23p ＝1＋p3，ξ的分布列为ξ 0 1 2 P121＋p313p 由12＋1＋p 3＋13p ＝1，得p ＝14. 所以E (ξ)＝0×12＋1×1＋p 3＋2×13p ＝712.5．某次学问竞赛规章如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________． 答案 0.128解析 由题设，分两类状况：①第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由乘法公式得P 1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4；②第1、2个错误，第3、4个正确， 此时概率P 2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6. 由互斥大事概率公式得P ＝P 1＋P 2＝0.102 4＋0.025 6＝0.128.6.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最终落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．答案 34解析 记“小球落入A 袋中”为大事A ，“小球落入B 袋中”为大事B ，则大事A 的对立大事为B ，若小球落入B 袋中，则小球必需始终向左落下或始终向右落下， 故P (B )＝⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫123＝14， 从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.7．(2022·安徽)甲乙两人进行围棋竞赛，商定先连胜两局者直接赢得竞赛，若赛完5局仍未消灭连胜，则判定获胜局数多者赢得竞赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局竞赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得竞赛的概率；(2)记X 为竞赛决出胜败时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．解 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得竞赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”．则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)·P (A 3)P (A 4) ＝(23)2＋13×(23)2＋23×13×(23)2＝5681. (2)X 的可能取值为2,3,4,5. P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝1081，P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的分布列为E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.8．已知甲箱中只放有x 个红球与y 个白球(x ，y ≥0，且x ＋y ＝6)，乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外，无其他区分)．若从甲箱中任取2个球，从乙箱中任取1个球． (1)记取出的3个颜色全不相同的概率为P ，求当P 取得最大值时x ，y 的值； (2)当x ＝2时，求取出的3个球中红球个数ξ的期望E (ξ)． 解 (1)由题意知P ＝C 1x ·C 1yC 26C 14＝xy 60≤160⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝320，当且仅当x ＝y 时等号成立， 所以，当P 取得最大值时，x ＝y ＝3.(2)当x ＝2时，即甲箱中有2个红球与4个白球，所以ξ的全部可能取值为0,1,2,3.则P (ξ＝0)＝C 24C 12C 26C 14＝15，P (ξ＝1)＝C 12C 14C 12＋C 24C 12C 26C 14＝715， P (ξ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 14C 12C 26C 14＝310，P (ξ＝3)＝C 12C 26C 14＝130， 所以，红球个数ξ的分布列为于是E (ξ)＝0×15＋1×715＋2×310＋3×130＝76.9．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击． (1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及均值E (X )．解 (1)记：“该射手恰好命中一次”为大事A ，“该射手射击甲靶命中”为大事B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为大事C ，“该射手其次次射击乙靶命中”为大事D . 由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23，由于A ＝B C D ∪B C D ∪B C D ， 依据大事的独立性和互斥性，得 P (A )＝P (B C D ∪B C D ∪B C D ) ＝P (B C D )＋P (B C D )＋P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D ) ＝34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×23 ＝736. (2)依据题意知，X 的全部可能取值为0,1,2,3,4,5. 依据大事的独立性和互斥性，得 P (X ＝0)＝P (B C D )＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )] ＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23 ＝136. P (X ＝1)＝P (B C D )＝P (B )P (C )P (D ) ＝34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23 ＝112， P (X ＝2)＝P (B C D ∪B C D )＝P (B C D )＋P (B C D ) ＝⎝⎛⎭⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝19， P (X ＝3)＝P (BC D ∪B C D )＝P (BC D )＋P (B C D ) ＝34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋34×⎝⎛⎭⎫1－23×23 ＝13， P (X ＝4)＝P (B CD )＝⎝⎛⎭⎫1－34×23×23＝19， P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13.故X 的分布列为所以E (X )＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.10．(2021·安徽)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且其次次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．解 (1)记“第一次检测出的是次品且其次次检测出的是正品”为大事A .P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300) ＝1－110－310＝610.故X 的分布列为E (X )＝200×110＋300×310＋400×610＝350.。

数学高考必备概率与统计知识点总结数学高考中，概率与统计是一个重要的考点，占据大约10%的考试比重。

掌握好概率与统计的知识点，对于考试取得好成绩至关重要。

本文将对数学高考中必备的概率与统计知识点进行总结，并提供实用的解题方法和技巧。

一、基本概念和概率计算1.1 随机事件和样本空间在概率理论中，随机事件是指实验过程的一个结果，而样本空间则是实验中可能出现的所有结果的集合。

在解题时，我们需要明确随机事件和样本空间的概念，将题目中的问题抽象成适合计算的形式。

1.2 概率的定义和性质了解概率的定义和性质对于解题至关重要。

掌握概率的加法原理、乘法原理、全概率公式和贝叶斯定理能够帮助我们解决复杂的概率计算问题。

1.3 随机变量和概率分布随机变量是指与随机事件相对应的可数的数值，概率分布则定义了随机变量的取值范围和其对应的概率。

掌握随机变量和概率分布的概念和计算方法，能够在解题过程中更好地理解和分析问题。

1.4 用排列组合解决概率问题排列组合是概率计算中常用的方法之一。

理解排列和组合的概念，掌握计算排列和组合的方法，可以帮助我们解决一定范围内的概率计算问题。

二、离散分布2.1 二项分布二项分布是一种重要的离散分布，在高考中经常出现。

掌握二项分布的概念、性质和计算方法，能够解决二项分布相关的问题。

2.2 泊松分布泊松分布是一种常见的离散分布，用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数。

了解泊松分布的特点和计算方法，能够解决与泊松分布相关的问题。

三、连续分布3.1 均匀分布均匀分布是一种常见的连续分布，描述了在一定范围内任意取值的概率相等的情况。

掌握均匀分布的概念和计算方法，能够解决与均匀分布相关的问题。

3.2 正态分布正态分布是一种重要的连续分布，具有对称性和钟形曲线的特点。

在高考中，许多问题都可以近似看作正态分布，因此掌握正态分布的概念和计算方法非常重要。

四、统计分析4.1 数据的收集和整理在统计分析中，数据的收集和整理是第一步。

高考数学中概率与统计的解题技巧有哪些在高考数学中，概率与统计是一个重要的考点，也是很多同学感到头疼的部分。

但其实，只要掌握了一些解题技巧，就能在这部分题目中取得较好的成绩。

首先，我们要对基本概念有清晰的理解。

概率的定义是事件发生的可能性大小，而统计则是对数据的收集、整理、分析和解释。

比如，随机事件、必然事件、不可能事件，以及概率的加法公式、乘法公式等，这些都是解题的基础。

如果对基本概念模糊不清，就很容易在解题时出现错误。

在理解概念的基础上，要善于运用公式。

比如，古典概型的概率公式 P(A) ＝ m ／ n ，其中 m 是事件 A 包含的基本事件个数，n 是基本事件总数。

还有条件概率公式 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) 等。

在使用公式时，要注意其适用条件，不能盲目套用。

对于排列组合问题，这是概率计算中的一个常见难点。

要掌握好排列数和组合数的计算公式，以及解决排列组合问题的常用方法，如捆绑法、插空法、特殊元素优先法等。

例如，在计算从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数时，如果存在相邻元素需要捆绑在一起看作一个整体，再与其他元素进行排列；如果存在不相邻元素，则先排其他元素，然后将不相邻元素插入到这些元素形成的空隙中。

概率与统计中的图表问题也不容忽视。

比如，频率分布直方图、茎叶图等。

要能够从图表中获取关键信息，比如频率、平均数、中位数、众数等。

通过对图表的观察和分析，找到解题的线索。

在处理概率问题时，要学会分类讨论。

有时候一个问题可能需要分成多种情况来考虑，分别计算每种情况的概率，然后再根据题目要求进行综合。

例如，在掷骰子的问题中，可能需要分别考虑点数为奇数和偶数的情况。

另外，反证法也是一种常用的解题技巧。

当直接证明某个结论比较困难时，可以先假设其反面成立，然后推出矛盾，从而证明原结论的正确性。

在统计部分，样本均值、样本方差的计算方法要熟练掌握。

同时，要理解样本对总体的估计作用，能够根据样本数据对总体的参数进行估计和推断。

2023高考数学概率与统计基础知识清单概率与统计作为高中数学的重要组成部分，是2023年高考数学考试的核心内容之一。

掌握概率与统计的基础知识对于考生来说至关重要。

下面将为大家列出2023高考数学概率与统计的基础知识清单，帮助大家做好备考。

一、概率基础知识1. 事件与样本空间：事件是指一个或一组可能发生的结果，而样本空间是指所有可能结果的集合。

2. 概率的定义：概率是指某一事件发生的可能性大小，通常用P(A)表示，其中A是事件。

3. 概率的性质：概率的取值范围在0到1之间，且对于必然事件，其概率为1；对于不可能事件，其概率为0。

4. 概率的计算：计算概率可以通过频率方法、古典概型和几何概率等方法进行。

5. 条件概率：条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，通常表示为P(A|B)。

6. 乘法定理：乘法定理用于计算联合事件的概率，即P(A∩B) = P(A) × P(B|A)。

7. 加法定理：加法定理用于计算两个事件的和事件的概率，即P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

二、统计基础知识1. 统计数据的分类：统计数据根据数量级的不同可以分为定性数据和定量数据。

2. 统计图形：统计图形常用于展示数据的分布情况，包括直方图、折线图、饼图等。

3. 中心趋势度量：中心趋势度量用于描述数据集中的一个典型值，包括平均数、中位数和众数。

4. 离散程度度量：离散程度度量用于描述数据的离散程度，包括极差、方差和标准差。

5. 点估计与区间估计：点估计是根据样本数据估算总体参数的一种方法，区间估计是给出一个可能范围的估计结果。

6. 抽样与抽样分布：抽样是指从总体中选取一部分样本进行统计分析，抽样分布是指样本统计量的概率分布。

7. 假设检验：假设检验是用于判断总体参数是否符合某种设定的方法，包括单样本假设检验和两样本假设检验等。

三、综合应用1. 概率与统计的应用：概率与统计在现实生活中有广泛的应用，例如随机事件的模拟、统计调查和贝叶斯定理等。

高考数学中的概率与统计问题解析技巧分享概率与统计作为高考数学的一部分，是考生们备战高考必须掌握的重要知识点之一。

正确理解和掌握概率与统计问题解析技巧，将有助于我们在高考考场上发挥出更好的水平。

本文将分享一些在解析概率与统计问题时常用的技巧和方法。

一、概率问题解析技巧在概率问题中，我们需要计算某个事件发生的可能性。

下面是几个常用的概率问题解析技巧：1. 确定样本空间：在开始解析概率问题时，首先要明确样本空间中的元素是什么。

样本空间是指所有可能结果组成的集合，通过明确样本空间，有助于我们清晰地分析问题。

2. 使用频率公式：当样本空间中的元素概率相等时，我们可以使用频率公式来计算概率。

频率公式是指事件发生的次数除以总次数，即P(A) = n(A) / n(S)，其中 P(A) 表示事件 A 发生的概率，n(A) 表示事件A 发生的次数，n(S) 表示样本空间中元素的总次数。

3. 使用排列组合：在一些复杂的概率问题中，我们可以使用排列组合的知识来解析。

排列组合可以帮助我们计算样本空间的大小，从而计算概率。

比如，在有限个元素中选择若干个元素，可以使用排列或组合的方法来计算概率。

二、统计问题解析技巧统计问题是指通过一定的数据来推断总体的一些特征。

以下是几个常用的统计问题解析技巧：1. 分析数据：在解析统计问题时，首先要分析所给的数据。

通过观察数据的分布、趋势和规律，我们可以得到对总体的一些认识。

2. 计算统计量：统计问题中，我们常常需要计算一些统计量来描述数据的特征。

比如平均数、中位数、众数、方差等。

计算这些统计量有助于我们对数据进行详细分析，并推断总体的特性。

3. 使用统计方法：在一些复杂的统计问题中，我们可以使用统计方法来解析。

比如假设检验、回归分析、方差分析等。

这些统计方法可以帮助我们更准确地进行总体描述和推断。

三、典型问题示例以下是几个典型的概率与统计问题，我们将运用上述解析技巧来解答：1. 问题一：有一袋中有 4 个黑球和 6 个白球，从中无放回地取出 2 个球，求两个球颜色相同的概率。

2023全国高考数学统计与概率专题
引言
本文档旨在提供2023全国高考数学统计与概率专题的概述和重点内容。

通过对该专题的了解，学生可以更好地准备和应对高考数学考试。

一、概率计算
1. 确定事件的概率：介绍如何计算事件的概率，包括基本事件和复合事件。

2. 概率分布函数：讲解离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布函数。

3. 期望值的计算：介绍如何计算离散型和连续型随机变量的期望值，包括线性期望值的性质。

二、统计推断
1. 抽样方法：介绍简单随机抽样、整群抽样和分层抽样等常用的抽样方法。

2. 参数估计：讨论点估计和区间估计的概念和计算方法，包括样本均值和样本方差的估计。

3. 假设检验：介绍如何进行假设检验，包括设立假设、选择显著性水平和计算检验统计量。

三、相关性和回归分析
1. 相关系数：介绍相关系数的概念和计算方法，包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。

2. 线性回归分析：讲解线性回归的原理和应用，包括最小二乘法的计算和回归方程的确定。

结论
本文档简要介绍了2023全国高考数学统计与概率专题的主要内容，包括概率计算、统计推断和相关性回归分析。

学生们可以结合此文档进行针对性的复习和备考，以提高数学成绩。

祝各位同学取得优异的成绩！。

高考理科概率统计知识点在高考理科考试中，概率统计是一个非常重要的考点。

它涵盖了概率、统计和相关的数学概念。

理解和熟练掌握这些知识点是取得好成绩的关键。

本文将探讨高考理科概率统计知识点，并带您深入了解。

一、概率基础概率是指某个事件在可能的所有结果中发生的可能性。

在概率基础这一部分中，我们需要了解一些基本概念，比如事件、样本空间、随机事件等。

样本空间是指所有可能结果的集合。

例如，掷一枚硬币的结果可能是正面或反面，因此样本空间为{正面，反面}。

随机事件是在试验中可能发生或不发生的事件。

例如，抛一枚硬币的结果正面朝上，可以称为一个随机事件。

二、概率的计算方法1. 古典概率古典概率是根据已经知道的概率和样本空间中的元素个数来计算概率。

例如，掷一枚均匀的骰子，每个面的概率为1/6。

2. 频率概率频率概率是根据大量重复试验中某个事件发生的频率来估计概率。

例如，抛硬币，正面朝上的频率在长期大量的试验中会趋近于1/2。

3. 条件概率条件概率是指在已知其他事件发生的前提下，某个事件发生的概率。

例如，在已知某人患有某种疾病的前提下，他的检测结果呈阳性的概率。

三、统计学基础统计学是描述和解释现实世界中数据的科学。

在考试中，我们需要熟悉统计学的基本概念和方法。

1. 数据的描述性统计描述性统计是用统计数字和图形图表来总结和分析数据的方法。

例如，我们可以使用均值、中值和众数等数值来描述数据的集中趋势，使用标准差和方差来描述数据的离散程度。

2. 抽样调查抽样调查是指从总体中选择一部分样本进行调查的方法。

在抽样调查中，我们需要了解一些常见的抽样方法，比如简单随机抽样、系统抽样和分层抽样等。

3. 参数估计参数估计是指根据样本数据来估计总体参数值的方法。

在参数估计中，我们需要了解一些常见的参数估计方法，比如点估计和区间估计。

四、概率与统计的关系概率和统计密切相关，两者相互补充。

概率理论提供了统计学中推断和预测的基础，而统计学则通过实际观测数据来验证和应用概率理论。

第36练“排列、组合”常考问题[题型分析·高考展望]该部分是高考数学中相对独特的一个知识板块，知识点并不多，但解决问题的方法十分灵活，主要内容是分类加法计数原理和分步乘法计数原理、排列与组合、二项式定理等，在高考中占有特殊的位置.高考试题主要以选择题和填空题的方式呈现，考查排列、组合的应用.体验高考1.(2015·四川)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个答案 B解析由题意，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有3×A34＝72(个)；若万位是4，则有2×A34＝48(个)，故比40 000大的偶数共有72＋48＝120(个).选B.2.(2016·课标全国甲)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9答案 B解析从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E点到G点的最短路径为6×3＝18(种)，故选B.3.(2016·四川)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72答案 D解析 由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有C 13，再将剩下的4个数字排列得到A 44，则满足条件的五位数有C 13·A 44＝72(个).选D.4.(2015·广东)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答).答案 1 560解析 依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A 240＝40×39＝1 560(条)毕业留言.高考必会题型题型一 排列问题例1 (1)在5×5的棋盘中，放入3颗黑子和2颗白子，它们均不在同一行且不在同一列，则不同的排列方法种数为( )A.150B.200C.600D.1 200(2)即将毕业的6名同学排成一排照相留念，个子较高的明明同学既不能站最左边，也不能站最右边，则不同的站法种数为________.答案 (1)D (2)480解析 (1)由已知，第一颗棋子有5×5＝25(种)放法，由于放入3颗黑子和2颗白子，它们均不在同一行且不在同一列，所以第二颗棋子有4×4＝16(种)放法，第三颗棋子有3×3＝9(种)放法，第四颗棋子有2×2＝4(种)放法，第五颗棋子有1种放法，又由于黑子、白子分别相同，所以不同的排列方法种数为25×16×9×4×13×2×1×2×1＝1 200，选D. (2)方法一 (位置分析法)先从其他5人中安排2人分别站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除明明外的5人中选2人分别站在最左边和最右边，有A 25种站法；第2步，余下4人(含明明)站在剩下的4个位置上，有A 44种站法.由分步乘法计数原理，知共有A 25A 44＝480(种)不同的站法.方法二 (元素分析法)先安排明明的位置，再安排其他5人的位置，分为两步：第1步，将明明排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A14种站法；第2步，余下5人站在剩下5个位置上，有A55种站法.由分步乘法计数原理，知共有A14A55＝480(种)不同的站法.方法三(反面求解法)6人没有限制的排队有A66种站法，明明站在最左边或最右边时6人排队有2A55种站法，因此符合条件的不同站法共有A66－2A55＝480(种).点评求解排列问题的常用方法(1)特殊元素(特殊位置)优先法；(2)相邻问题捆绑法；(3)不相邻问题插空法；(4)定序问题缩倍法；(5)多排问题一排法.变式训练1(1)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24(2)有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求：①5位同学站成一排，有________种不同的方法；②5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有________种不同的方法.答案(1)D(2)①120②24解析(1)剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.(2)①A55＝120.②5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，故有A22A22A23＝24种不同的排法. 题型二组合问题例2在一次国际抗震救灾中，从7名中方搜救队队员，4名外籍搜救队队员中选5名组成一支特殊搜救队到某地执行任务，按下列要求，分别计算有多少种组队方法.(1)至少有2名外籍搜救队队员；(2)至多有3名外籍搜救队队员.解(1)方法一(直接法)由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”可分为3类：①有2名外籍队员，共有C37·C24种组队方法；②有3名外籍队员，共有C27·C34种组队方法；③有4名外籍队员，共有C17·C44种组队方法.根据分类加法计数原理，知至少有2名外籍搜救队队员共有C37·C24＋C27·C34＋C17·C44＝301(种)不同的组队方法.方法二(间接法)由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”的对立事件为“至多有1名外籍搜救队队员”，可分为2类：①只有1名外籍搜救队队员，共有C47C14种组队方法；②没有外籍搜救队队员，共有C57C04种组队方法.所以至少有2名外籍搜救队队员共有C511－C47C14－C57C04＝301(种)不同的组队方法.(2)方法一(直接法)由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员”可分为4类：①有3名外籍搜救队队员，共有C27C34种方法；②有2名外籍搜救队队员，共有C37C24种方法；③有1名外籍搜救队队员，共有C47C14种方法；④没有外籍搜救队队员，共有C57种方法.由分类加法计数原理，知至多有3名外籍搜救队队员共有C27C34＋C37C24＋C47C14＋C57＝455(种)不同的组队方法.方法二(间接法)由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员”的对立事件为“至少有4名外籍搜救队队员”.因为至少有4名外籍搜救队队员，共有C17C44种组队方法，所以至多有3名外籍搜救队队员共有C511－C17C44＝455(种)不同组队方法.点评(1)先看是否与排列顺序有关，从而确定是否为组合问题.(2)看是否需要分类、分步，如何确定分类标准.(3)判断是否为“分组”问题，避免重复.变式训练2(1)从不同号码的三双靴子中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为()A.12B.24C.36D.72(2)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________.(用数字作答)答案(1)A(2)590解析(1)恰好有一双的取法种数为C13C12C12＝12.(2)分三类：①选1名骨科医生，则有C 13(C 14C 35＋C 24C 25＋C 34C 15)＝360(种).②选2名骨科医生，则有C 23(C 14C 25＋C 24C 15)＝210(种).③选3名骨科医生，则有C 33C 14C 15＝20(种).∴骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360＋210＋20＝590.题型三 排列与组合的综合应用问题例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内.(1)恰有1个盒子不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒子内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒子不放球，共有几种放法？解 (1)为保证“恰有1个盒子不放球”，先从4个盒子中任意取出一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C 14C 24C 13A 22＝144(种).(2)“恰有1个盒子内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒子内有2个球”与“恰有1个盒子不放球”是同一件事，所以共有144种放法.(3)确定2个空盒有C 24种方法.4个球放进2个盒子可分成(3，1)、(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法.故共有C 24(C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22)＝84(种). 点评 (1)排列、组合混合问题一般“先选后排”.(2)对于较复杂的排列、组合问题，应按元素的性质或题意要求进行分类，对事件发生的过程进行分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，才能保证不“重”不“漏”.(3)关于“至少”“至多”等计数问题，一般需要进行分类，若分类比较复杂，可用间接法，找出其对立事件来求解.变式训练3 (1)将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母排成一排，且A 、B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种.(用数字作答)(2)把A 、B 、C 、D 四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且A 、B 两件玩具不能分给同一个人，则不同的分法有( )A.36种B.30种C.24种D.18种答案 (1)480 (2)B解析 (1)分类讨论：A 、B 都在C 的左侧，且按C 的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母这4类计算，再考虑右侧情况.所以共有2(A 22A 33＋C 13A 33A 22＋C 23A 44＋A 55)＝480(种).(2)由题意A 、B 两件玩具不能分给同一个人，因此分法为C 13(C 24－1)A 22＝3×5×2＝30(种).高考题型精练1.A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边(A 、B 可以不相邻)，那么不同的排法共有( )A.24种B.60种C.90种D.120种答案 B解析 五人并排站成一排，有A 55种情况，而其中B 站在A 的左边与B 站在A 的右边是等可能的，则B 站在A 的右边的排法共有12A 55＝60(种). 2.A ，B ，C ，D ，E ，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐在最北面的椅子上，B ，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有( )A.60种B.48种C.30种D.24种答案 B解析 由题知，不同的座次有A 22A 44＝48(种).3.将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A.10种B.8种C.9种D.12种答案 D解析 第一步，为甲地选一名老师，有C 12＝2(种)选法；第二步，为甲地选两个学生，有C 24＝6(种)选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法，故不同的安排方案共有2×6×1＝12(种).4.某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择.已知花卷数量不足，仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为( )A.144B.132C.96D.48答案 B解析分类讨论：甲选花卷，其余4人中有2人选同一种主食，方法有C24C13＝18(种)，剩下2人选其余主食，方法有A22＝2(种)，共有方法18×2＝36(种)；甲不选花卷，其余4人中有1人选花卷，方法有4种，甲选包子或面条，方法有2种，其余3人若有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，方法有3A22＝6(种)，若没有人选甲选的主食，方法有C23A22＝6(种)，共有4×2×(6＋6)＝96(种)，故共有36＋96＝132(种)，故选B.5.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A.232B.252C.472D.484答案 C解析分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C14C212＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C312－3C34＝220－12＝208(种).由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种).6.如图，用6种不同的颜色把图A，B，C，D，4块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则涂色方法共有________种(用数字作答).答案480解析从A开始涂色，A有6种涂色方法，B有5种涂色方法，C有4种涂色方法，D有4种涂色方法，由分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×4＝480(种)涂色方法.7.某城市的交通道路如图，从城市的西南角A到城市东北角B，不经过十字道路维修处C，最近的走法种数是________.答案66解析从城市的西南角A到城市的东北角B，最近的走法种数共有C49＝126(种)走法，从城市的西南角A经过十字道口维修处C，最近的走法有C25＝10(种)，从C到城市的东北角B，最近的走法有C24＝6(种)，所以从城市西南角A到城市的东北角B，经过十字道路维修处C最近的走法有10×6＝60(种)，所以从城市的西南角A到城市东北角B，不经过十字道路维修处C，最近的走法有126－60＝66(种).8.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2且a2>a3，则称这个三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为________.答案240解析可根据中间数进行分类，中间数依次可为2，3，4，5，6，7，8，9，然后确定百位和个位，共有1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋5×6＋6×7＋7×8＋8×9＝240(个).9.“雾霾治理”“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”成为社会关注的5个热点.小王想在国庆节期间调查一下社会对这些热点的关注度.若小王准备从中选取4个热点分别进行调查，则“雾霾治理”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为________.答案72解析先从“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”这4个热点中选出3个，有C34种不同的选法.在调查时，“雾霾治理”的安排顺序有A13种可能情况，其余3个热点的安排顺序有A33种，故不同调查顺序的种数为C34A13A33＝72.10.一个质点从原点出发，每秒末必须向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第8秒末到达点P(4，2)的跳法共有________种.答案448解析分两类情况讨论：第一类：向右跳4次，向上跳3次，向下跳1次，有C48C34＝280(种)；第二类，向右跳5次，向上跳2次，向左跳1次，有C58C23＝168(种)；根据分类加法计数原理得，共有280＋168＝448(种)方法.11.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种.(用数字作答)答案60解析把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C23种分法，再分给4人有A24种分法，所以不同获奖情况种数为A44＋C23A24＝24＋36＝60.12.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解如图所示，将4个小方格依次编号为1，2，3，4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法.①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有A24＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法.由分步乘法计数原理可知，有5×12×3＝180(种)不同的涂法；②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻方格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知.有5×4×4＝80(种)不同的涂法. 由分类加法计数原理可得，共有180＋80＝260(种)不同的涂法.。

高考复习概率与统计知识点归纳总结概率与统计是高中数学中的一大重点和难点。

在高考中，这一部分的知识点占有相当大的比重，因此学生需要在复习阶段集中精力，深入理解和掌握相关的知识点。

本文将对高考概率与统计的知识点进行归纳总结，以帮助学生们更好地复习和备考。

一、概率基本概念1. 随机事件与样本空间：随机事件是对某一随机试验的结果的一种描述，样本空间是一个随机试验中可能出现的所有结果的集合。

2. 事件的概率：事件A发生的概率用P(A)表示，其计算公式为P(A) = 事件A的可能结果数 / 样本空间的结果总数。

3. 事件的互斥与对立：互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，对立事件指的是两个事件中一个必然发生，另一个必然不发生。

4. 事件的独立性：两个事件相互独立指的是一个事件的发生不受另一个事件的影响，它们的概率计算是相互独立的。

二、排列与组合1. 排列：排列是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按一定的顺序排列成一列。

公式为An^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)。

2. 组合：组合是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不考虑排列顺序。

公式为Cn^m = n! / (m!(n-m)!)。

三、事件概率的计算1. 加法定理：对于两个事件A和B，其和事件A∪B的概率为P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

2. 乘法定理：对于两个独立事件A和B，其积事件A∩B的概率为P(A∩B) = P(A) × P(B)。

3. 全概率公式：对于一组互斥事件A1、A2、...、An，其和事件A的概率为P(A) = P(A1) + P(A2) + ... +P(An)。

4. 条件概率公式：对于两个事件A和B，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

四、随机变量与概率分布1. 随机变量：随机变量是随机试验结果的函数，它的取值是随机的。

数学高考必备知识总结概率与统计的应用技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的考点，也是学生们常常感到困惑的部分。

概率与统计的应用技巧不仅能够帮助我们解决实际问题，还能提升我们在高考中的得分。

本文将对概率与统计的必备知识总结和应用技巧进行详细介绍。

一、概率的基本概念与应用1. 概率的定义与性质概率是事件发生的可能性的度量，通常用一个介于0和1之间的数值表示。

概率的性质包括：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，对于任意事件A，都有0≤P(A)≤1。

2. 事件的互斥与独立性互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，而独立事件则指的是两个事件的发生与否互不影响。

在计算概率时，我们需要注意事件之间的互斥性和独立性。

3. 条件概率与乘法定理条件概率是指在已知某个条件下，事件A发生的概率。

乘法定理是计算复合事件概率的重要方法，其公式为：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)，其中P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。

4. 全概率公式与贝叶斯定理全概率公式是求解复合事件概率的常用方法，其公式为：P(B) =P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + … + P(An)P(B|An)，其中A1, A2, …,An为互不相容的事件，且它们的并集构成了样本空间。

贝叶斯定理是在已知概率的基础上，根据逆概率计算条件概率的方法，其公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

二、统计的基本概念与应用1. 随机变量与概率分布随机变量是指取值不确定的变量，其可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。

离散型随机变量只能取有限个或可数个值，而连续型随机变量则可以取任意一个区间内的值。

概率分布是随机变量在不同取值下的概率情况的总结。

2. 随机事件与频率随机事件是指在一次试验中可能发生的事件，频率是指在大量独立重复的试验中，某个事件发生的次数与试验总数的比值。

中档大题规范练4 概率与统计1.(2016·北京)A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：A 班 6 6.5 7 7.5 8B 班 6 7 8 9 10 11 12C 班34.567.5910.51213.5(1)试估计C 班的学生人数；(2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取1人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； (3)再从A ，B ，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25(单位：小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小(结论不要求证明). 解 (1)C 班学生人数约为100×85＋7＋8＝100×820＝40.(2)设事件A i 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，i ＝1，2，…，5， 事件C j 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，j ＝1，2，…，8. 由题意可知P (A i )＝15，i ＝1，2，…，5；P (C j )＝18，j ＝1，2， (8)P (A i C j )＝P (A i )P (C j )＝15×18＝140，i ＝1，2，...，5，j ＝1，2， (8)设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知，E ＝A 1C 1∪A 1C 2∪A 2C 1∪A 2C 2∪A 2C 3∪A 3C 1∪A 3C 2∪A 3C 3∪A 4C 1∪A 4C 2∪A 4C 3∪A 5C 1∪A 5C 2 ∪A 5C 3∪A 5C 4.因此P (E )＝P (A 1C 1)＋P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (A 2C 2)＋P (A 2C 3)＋P (A 3C 1)＋P (A 3C 2)＋P (A 3C 3)＋P (A 4C 1)＋P (A 4C 2)＋P (A 4C 3)＋P (A 5C 1)＋P (A 5C 2)＋P (A 5C 3)＋P (A 5C 4)＝15×140＝38.(3)μ1＜μ0.2.某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位：cm).跳高成绩在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“合格”，成绩在175 cm 以下定义为“不合格”.鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队员，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队.(1)求甲队队员跳高成绩的中位数；(2)如果将所有的运动员按“合格”与“不合格”分成两个层次，用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共5人，则各层应抽取多少人？(3)若从所有“合格”运动员中选取2名，用X 表示所选运动员中甲队能参加市运动会开幕式旗林队的人数，试写出X 的分布列，并求X 的均值.解 (1)由茎叶图知，甲田径队12名队员的跳高成绩从小到大排列后中间的两个成绩为176、178，故中位数为12(176＋178)＝177.(2)由茎叶图可知，甲、乙两队合格人数为12，不合格人数为18，所以抽取五人，合格人数为530×12＝2，不合格人数为530×18＝3. (3)X ＝0，1，2，P (X ＝0)＝C 24C 212＝111，P (X ＝1)＝C 18C 14C 212＝1633，P (X ＝2)＝C 28C 212＝1433.故X 的分布列为X 0 1 2 P11116331433E (X )＝0×111＋1×1633＋2×1433＝43.3.安排5个大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的. (1)求5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率； (2)设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列.解 (1)5个大学生到三所学校支教的所有可能为35＝243(种)，设“恰有2个人去A 校支教”为事件M ，则有C 25·23＝80(种)，∴P (M )＝80243. 即5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率为80243.(2)由题意得：ξ＝1，2，3， ξ＝1⇒5人去同一所学校，有C 13＝3(种)，∴P (ξ＝1)＝3243＝181，ξ＝2⇒5人去两所学校，即分为4，1或3，2有C 23·(C 45＋C 35)·A 22＝90(种)，∴P (ξ＝2)＝90243＝3081＝1027，ξ＝3⇒5人去三所学校，即分为3，1，1或2，2，1有(C 35·C 12·12！＋C 25·C 23·12！)·A 33＝150(种)，∴P (ξ＝3)＝150243＝5081.∴ξ 的分布列为4.甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点A ，在点A 处投中一球得2分，不中得0分；在距篮筐3米线外设一点B ，在点B 处投中一球得3分，不中得0分，已知甲、乙两人在A 点投中的概率都是12，在B 点投中的概率都是13，且在A ，B 两点处投中与否相互独立，设定甲、乙两人先在A 处各投篮一次，然后在B 处各投篮一次，总得分高者获胜. (1)求甲投篮总得分ξ的分布列和均值； (2)求甲获胜的概率.解 (1)设“甲在A 点投中”为事件A ，“甲在B 点投中”为事件B ，根据题意，ξ的可能取值为0，2，3，5，则P (ξ＝0)＝P (A B )＝(1－12)×(1－13)＝13，P (ξ＝2)＝P (A B )＝12×(1－13)＝13，P (ξ＝3)＝P (A B )＝(1－12)×13＝16，P (ξ＝5)＝P (AB )＝12×13＝16.所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×13＋2×13＋3×16＋5×16＝2.(2)同理，乙的总得分η的分布列为P13 13 16 16甲获胜包括：甲得2分、3分、5分三种情形，这三种情形之间彼此互斥.因此，所求事件的概率为P ＝P (ξ＝2)×P (η＝0)＋P (ξ＝3)×P (η<3)＋P (ξ＝5)×P (η<5)＝13×13＋16×(13＋13)＋16×(1－16)＝1336. 5.某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制， 已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表， 规定：A 、B 、C 三级为合格等级，D 为不合格等级.百分制 85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级ABCD为了解该校高一年级学生身体素质情况， 从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计， 按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示， 样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.(1)求n 和频率分布直方图中x ，y 的值；(2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人， 求至少有1人成绩是合格等级的概率；(3)在选取的样本中， 从A 、C 两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研， 记ξ表示所抽取的3名学生中为C 等级的学生人数， 求随机变量ξ的分布列及均值. 解 (1)n ＝60.012×10＝50，x ＝250×10＝0.004，y ＝1－0.04－0.1－0.12－0.5610＝0.018.(2)成绩是合格等级人数为(1－0.1)×50＝45， 抽取的50人中成绩是合格等级的频率为910，故从该校学生中任选1人， 成绩是合格等级的概率为910，设在该校高一学生中任选3人， 至少有1人成绩是合格等级的事件为A ， 则P (A )＝1－C 03×(1－910)3＝9991 000. (3) 由题意可知C 等级的学生人数为0.18×50＝9，A 等级的学生人数为3， 故ξ的取值为0，1，2，3，则P (ξ＝0)＝C 33C 312＝1220，P (ξ＝1)＝C 19C 23C 312＝27220，P (ξ＝2)＝C 29C 13C 312＝108220＝2755，P (ξ＝3)＝C 39C 312＝84220＝2155，所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×1220＋1×27220＋2×2755＋3×2155＝94.合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。

回扣9 概率与统计1.牢记概念与公式 (1)概率的计算公式 ①古典概型的概率计算公式 P (A )＝事件A 包含的基本事件数m 基本事件总数n ；②互斥事件的概率计算公式 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )； ③对立事件的概率计算公式 P (A )＝1－P (A )； ④几何概型的概率计算公式 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).(2)抽样方法简单随机抽样、分层抽样、系统抽样.①从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，则每个个体被抽到的概率都为nN；②分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量. (3)统计中四个数据特征①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据.②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数. ③平均数：样本数据的算术平均数， 即x ＝1n (x 1＋x 2＋…x n ).④方差与标准差方差：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2].标准差： s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. (4)八组公式①离散型随机变量的分布列的两个性质Ⅰ.p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；Ⅱ.p 1＋p 2＋…＋p n ＝1. ②均值公式E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n . ③均值的性质Ⅰ.E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ； Ⅱ.若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ； Ⅲ.若X 服从两点分布，则E (X )＝p . ④方差公式D (X )＝[x 1－E (X )]2·p 1＋[x 2－E (X )]2·p 2＋…＋[x n －E (X )]2·p n ，标准差D X . ⑤方差的性质Ⅰ.D (aX ＋b )＝a 2D (X )；Ⅱ.若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )； Ⅲ.若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p ). ⑥独立事件同时发生的概率计算公式 P (AB )＝P (A )P (B ).⑦独立重复试验的概率计算公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k . ⑧条件概率公式 P (B |A )＝P (AB )P (A ). 2.活用定理与结论 (1)直方图的三个结论 ①小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率. ②各小长方形的面积之和等于1.③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形高的和为1组距.(2)线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^一定过样本点的中心(x ，y ). (3)利用随机变量K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.如果K 2的观测值k 越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大.(4)如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2).满足正态分布的三个基本概率的值是：①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ2)＝0.954 4；③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.1.应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和.2.正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.3.混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错.4.要注意概率P (A |B )与P (AB )的区别(1)在P (A |B )中，事件A ，B 发生有时间上的差异，B 先A 后；在P (AB )中，事件A ，B 同时发生.(2)样本空间不同，在P (A |B )中，事件B 成为样本空间；在P (AB )中，样本空间仍为Ω，因而有P (A |B )≥P (AB ).5.易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的均值和方差公式计算致误.1.某学校有男学生400名，女学生600名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是( )A.抽签法B.随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法 答案 D解析 总体由男生和女生组成，比例为400∶600＝2∶3，所抽取的比例也是2∶3，故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，采用的抽样方法是分层抽样法，故选D.2.投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率是( ) A.13 B.14 C.16 D.112 答案 C解析 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，记作(m ，n )，共有6×6＝36(种)结果.(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i 为实数，应满足m ＝n ，有6种情况，所以所求概率为636＝16，故选C.3.一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( ) A.35 B.310 C.12 D.625 答案 B解析 设3个白球分别为a 1，a 2，a 3，2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种.其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为620＝310.4.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －b ^x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元 答案 B解析 由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4， ∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元).5.设X ～N (1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P (X ≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )附：(随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)( )A.6 038B.6 587C.7 028D.7 539 答案 B解析 由题意知，P (0<X ≤1)＝1－12×0.682 6＝0.658 7，则落入阴影部分的点的个数的估计值为10 000×0.658 7＝6 587.故选B.6.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( ) A.9 B.10 C.18 D.20 答案 C解析 由于lg a －lg b ＝lg a b (a >0，b >0)，从1，3，5，7，9中任取两个作为a b 有A 25＝20种，又13与39相同，31与93相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数有A 25－2＝20－2＝18，选C. 7.甲、乙两同学用茎叶图记录高三前5次数学测试的成绩，如图所示，他们在分析对比成绩变化时，发现乙同学成绩的一个数字看不清楚了，若已知乙的平均成绩低于甲的平均成绩，则看不清楚的数字为( )A.0B.3C.6D.9 答案 A解析 设看不清的数字为x ，甲的平均成绩为99＋100＋101＋102＋1035＝101，所以93＋94＋97＋110＋(110＋x )5<101，x <1，所以x ＝0.故选A.8.在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝－13x ＋2上，则这组样本数据的样本的相关系数为( )A.－1B.0C.－13 D.1答案 A解析 数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝－13x ＋2上，说明这组数据点完全负相关，其相关系数为－1，故选A.9.在区间[1，5]和[2，4]内分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为________. 答案1532解析 当方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2>b 2，e ＝c a ＝a 2－b 2a <32，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>b 2，a 2<4b 2， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，a <2b . 又a ∈[1，5]，b ∈[2，4]，画出满足不等式的平面区域，如图阴影部分所示 ，求得阴影部分的面积为154，故P ＝S 阴影2×4＝1532.10.将某班参加社会实践编号为1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是________. 答案 13解析 系统抽样法取出的样本编号成等差数列，因此还有一个编号为5＋8＝21－8＝13. 11.某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本(等距抽样)，已知编号为4，a ，28，b ，52号学生在样本中，则a ＋b ＝________. 答案 56解析 ∵样本容量为5，∴样本间隔为60÷5＝12， ∵编号为4，a ，28，b ，52号学生在样本中， ∴a ＝16，b ＝40， ∴a ＋b ＝56.12.给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”； ③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少一个黑球”与“都是红球”； ④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”. 其中属于互斥事件的是________.(把你认为正确的事件的序号都填上). 答案 ①③④解析 ①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”两个事件不会同时发生，故为互斥事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，前者包含后者，故②不是互斥事件；③“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，所以这两个事件是对立事件，故是互斥事件；④“没有黑球”与“恰有一个红球”，不可能同时发生，故他们属于互斥事件.13.国内某知名大学有男生14 000人，女生10 000人.该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：(平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是[0，3])男生平均每天运动的时间分布情况：女生平均每天运动的时间分布情况：(1)请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间(结果精确到0.1)；(2)若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.①根据样本估算该校“运动达人”的数量；②请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关？”参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(a＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d参考数据：解(1)由分层抽样得：男生抽取的人数为120×14 00014 000＋10 000＝70，女生抽取的人数为120－70＝50，故x＝5，y＝2，则该校男生平均每天运动的时间为0.25×2＋0.75×12＋1.25×23＋1.75×18＋2.25×10＋2.75×570≈1.5.故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时.(2)①样本中“运动达人”所占比例是20120＝16，故估计该校“运动达人”有16×(14 000＋10 000)＝4 000(人). ②由表格可知：故K 2的观测值k ＝120×(15×45－5×55)220×100×50×70＝9635≈2.743<3.841，故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”. 14.某公司通过初试和复试两轮考试确定最终合格人选，当第一轮初试合格后方可进入第二轮复试，两次考核过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一轮考核甲、乙、丙三人合格的概率分别为0.4、0.6、0.5.第二轮考核，甲、乙、丙三人合格的概率分别为0.5、0.5、0.4.(1)求第一轮考核后甲、乙两人中只有乙合格的概率；(2)设甲、乙、丙三人经过前后两轮考核后合格入选的人数为X ，求X 的分布列和均值. 解 (1)设甲、乙经第一次考核后合格为事件A 1、B 1， 设事件E 表示第一轮考核后甲不合格、乙合格， 则P (E )＝P (A 1·B 1)＝0.6×0.6＝0.36.即第一轮考核后甲、乙两人中只有乙合格的概率为0.36.(2)分别设甲、乙、丙三人经过前后两次考核后合格入选为事件A 、B 、C ， 则P (A )＝0.4×0.5＝0.2， P (B )＝0.6×0.5＝0.3， P (C )＝0.4×0.5＝0.2，经过前后两轮考核后合格入选的人数为X ，则X 可能取0，1，2，3. P (X ＝0)＝0.8×0.7×0.8＝0.448，P (X ＝1)＝0.2×0.7×0.8＋0.8×0.3×0.8＋0.8×0.7×0.2＝0.416， P (X ＝3)＝0.2×0.3×0.2＝0.012， P (X ＝2)＝1－0.448－0.416－0.012＝0.124. X 的分布列为均值为E(X)＝0×0.448＋1×0.416＋2×0.124＋3×0.012＝0.7.。