人教版高中数学必修一《指数函数》习题课

第四章指数函数与对数函数指数课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021天津滨海新区高一期中)下列运算正确的是( )A.a 2·a 3=a 6 B .(3a )3=9a 3 C .√a 88=a D .(-2a 2)3=-8a 62·a 3=a 5,故A 错误;(3a )3=27a 3,故B 错误;√a 88=|a|={a ,a ≥0,-a ,a <0,故C 错误;(-2a 2)3=-8a 6,故D 正确.故选D .2.(2021湖北武汉高一期中)若a<0,则化简a √-1a 得 ( )A.-√-aB.√-aC.-√aD.√aa<0,∴a √-1a =-√a 2×√-1a =-√a 2(-1a)=-√-a .故选A .3.(2021福建福州三中高一期中)已知x 2+x -2=3,则x+x -1的值为( ) A.√5 B .1 C .±√5 D .±1(x+x -1)2=x 2+x -2+2=5,可得x+x -1=±√5.故选C .4.(112)0-(1-0.5-2)÷(278)23的值为()A.-13 B.13C.43D.73=1-(1-22)÷(32)2=1-(-3)×49=73.故选D . 5.若√4a 2-4a +1=1-2a ,则a 的取值范围是 .-∞,12]√4a 2-4a +1=√(2a -1)2=|2a-1|=1-2a ,∴2a-1≤0,即a ≤12.6.若α,β是方程5x 2+10x+1=0的两个根,则2α·2β= ,(2α)β= .215,得α+β=-2,αβ=15,则2α·2β=2α+β=2-2=14,(2α)β=2αβ=215. 7.化简求值:(1)(94)12-(9.6)0-(278)-23+(23)2; (2)(a 12·√b 23)-3÷√b -4·√a -2(a>0,b>0).原式=[(32)2]12-1-[(23)3]23+(23)2=32-1-49+49=12;(2)原式=a -32·b -2÷b -2·a -12=a -1·b 0=1a .等级考提升练8.(2021河北张家口张垣联盟高一联考)将根式√a √a √aa化简为指数式是( ) A.a-18B.a 18C.a-78D.a-34=a 12+14+18-1=a-18,故选A .9.(2021河南开封高一期中)已知正数x 满足x 12+x -12=√5,则x 2+x -2=( ) A.6 B .7 C .8 D .9x 满足x 12+x -12=√5,所以(x 12+x -12)2=5,即x+x -1+2=5,则x+x -1=3,所以(x +x -1)2=9,即x 2+x -2+2=9,因此x 2+x -2=7.故选B .10.(多选题)(2021河北唐山一中高一期中)下列计算正确的是( )A.√(-3)412=√-33B .(a 23b 12)(-3a 12b 13)÷13a 16b 56=-9a (a>0,b>0)C .√√93=√33D .√-2√23=-213√(-3)4=√3412=√33,故A 错误;(a 23b 12)(-3a 12b 13)÷13a 16b 56=-9a 23+12-16b 12+13-56=-9a ,故B 正确;√√93=916=(32)16=313=√33,故C 正确;√-2√23=(-2√2)13=(-2×212)13=(-232)13=-212,故D 错误.故选BC .11.已知x 2+x -2=2√2,且x>1,则x 2-x -2的值为 ( )A.2或-2B.-2C.√6D.2方法一)∵x>1,∴x 2>1.由x -2+x 2=2√2,可得x 2=√2+1, ∴x 2-x -2=√2+1-√2+1=√2+1-(√2-1)=2.(方法二)令x 2-x -2=t , ① ∵x -2+x 2=2√2,②∴由①2-②2,得t 2=4.∵x>1,∴x 2>x -2, ∴t>0,于是t=2,即x 2-x -2=2,故选D .12.(多选题)(2021江苏扬州邗江高一期中)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A.-√x =(-x )12 B.√y 26=y 12(y<0) C.x -13=√x3(x ≠0)D .[√(-x )23]34=x 12(x>0)A,因为-√x =-x 12(x ≥0),而(-x )12=√-x (x ≤0),所以A 错误; 对于选项B,因为√y 26=-y 13(y<0),所以B 错误;对于选项C,x -13=√x3(x ≠0),所以C 正确;对于选项D,[√(-x )23]34=x 2×13×34=x 12(x>0),所以D 正确.13.若a>0,b>0,则化简√b 3a √a2b6的结果为 .√b3a√a 2b6=√b 3a(a 2b6)12=√b 3a ab3=1.14.化简:(2-a )[(a-2)-2(-a )12]12=.-a )14a ≤0,则(a-2)-2=(2-a )-2,所以原式=(2-a )[(2-a )-2·(-a )12]12 =(2-a )(2-a )-1(-a )14=(-a )14.15.化简求值: (1)0.125-13−(98)0+[(-2)2]32+(√2×√33)6;(2)(5116)0.5+√(-10)2-2√3×√276-4π0÷(34)-1.根据指数幂与根式的运算,化简可得0.125-13−(98)0+[(-2)2]32+(√2×√33)6=[(2)-3]-13−(98)0+(22)32+(212×313)6=2-1+8+(212)6(313)6=2-1+8+8×9=81.(2)由分数指数幂及根式的运算,化简可得(5116)0.5+√(-10)2-2√3×√276-4π0÷(34)-1=[(32)4]0.5+10-2√3×(33)16-4×34=94+10-2√3×√3-3 =94+10-6-3=134. 16.已知a 2x =√2+1,求a 3x +a -3xa x +a -x 的值.a2x=√2+1,∴a-2x=√2+1=√2-1,即a2x+a-2x=2√2,∴a3x+a-3xa x+a-x=(a x+a-x)(a2x+a-2x-1)a x+a-x=a2x+a-2x-1=2√2-1.新情境创新练17.(2021黑龙江大庆实验中学高一期末)已知实数x满足3×16x+2×81x=5×36x,则x的值为.或123×16x+2×81x=5×36x,所以3×24x+2×34x=5×(2×3)2x,则3×24x+2×34x=5×22x×32x,所以3×24x+2×34x-5×22x×32x=0,即(3×22x-2×32x)(22x-32x)=0,所以3×22x-2×32x=0,或22x-32x=0,解得x=12或x=0.。

指数函数、对数函数及其性质的应用课后篇巩固提升基础巩固1.函数f(x)= -在卜1,0］上的最大值是( )答案D2. 函数f(x)=e |x-11的单调递减区间是( )A. (-s ,+ 叼B.［1, + 旳C.(4,1］D.［0, + 乡解析因为y=e u 为增函数,u=|x-1|在(-円1］上单调递减，在［1, +勺上单调递增，所以由复合函数 同增异减 法则可知函数f(x)=e |x-11的单调递减区间是(-务1］.故选C. 答案 C23. 函数f(x)=lo _(x-4)的单调递增区间为( )A.(0, + 叼B.(-g ,0)C.(2, + 叼D.(-g ,-2)解析 令t=x 2-4>0,可得x>2或x<-2.故函数f(x)的定义域为(-壬-2) U (2,+哲,当x € (-円-2)时,t 随x 的增大而减小，y= lo _t 随t 的减小而增大，所以y=lo (x 2-4)随x 的增大而增 大,即f(x)在(-円-2)上单调递增.故选D. 答案DA. 一B.(0,1)D.(0,3)B.0C.1D.3A.-1 在区间［-1,0］上是减函数，则最大值是f(-1)= -= 3.习题课 4.已知函数f(x) =满足对任意X 1孜2,都有< 0成立，则a 的取值范围是(C.-解析由于函数f(x)= 满足对任意的X1乞，都有<0成立,所以该函数为R上的减函数所以解得0<a<-.5•已知y=log a(2-ax)在区间［0,1］上为减函数则a的取值范围为()A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.［2, + 乡解析由题设知a>0,则t= 2-ax在区间［0,1］上是减函数.因为y=log a(2-ax)在区间［0,1］上是减函数,所以y=log a t在定义域内是增函数，且t min>0.因此故1 <a< 2.是__________________________ .解析由题意可知,f(log4x)< 0? --<log4x<-? <x< - ? -<x< 2.答案-7. —种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据的内存为2 KB,如果每3 min自身复制一次，复制后所占据的内存是原来的2倍，那么开机后，该病毒占据64 MB(1 MB =210 KB)内存需要经过的时间为______ mi n.解析设开机t min后，该病毒占据y KB内存，由题意，得y=2 x " 一.令y=「=64X210,又64X210=26X210=216,所以有- +1=16,解得t=45.(1)求函数f(x)-g(x)的定义域；⑵求使函数f(x)-g(x)的值为正数时x的取值范围.解(1)由题意可知，f(x)-g(x)= log a(x+1)-log a(4-2x)，要使函数f(x)-g(x)有意义,则有解得-1<x< 2.故函数f(x)-g(x)的定义域是(-1,2).⑵令f(x)-g(x)>0,得f(x)>g(x),即log a(x+ 1)>log a(4-2x).当a>1时,可得x+ 1>4-2x，解得x> 1.由⑴知-1<x< 2,所以1<x< 2;当0<a< 1 时，可得x+ 1<4-2x,解得x<1,由⑴知-1<x< 2,所以-1 <x< 1.综上所述，当a>1时,x的取值范围是(1,2);当0<a< 1时,x的取值范围是(-1,1).9•已知定义域为R的函数f(x)= —是奇函数•(1)求a的值;⑵若对任意的t€ R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，求k的取值范围.解|(1)由f(x)是R上的奇函数，有f(x)=-f(-x)? —=- 一对于任意实数x恒成立，解得a=2,此时f(x)= ------ -.⑵我们先证明f(x)= -------- -的单调性：任取X1,X2€ R,且X1<X2,贝y f(X1)-f(X2)= -- - ------ -一------------- > 0.可见f(x)在R上单调递减.由此结合奇偶性，我们有f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,即f(t2-2t)<f(k-2t2),2 2二t-2t>k-2t,即卩3 -一—-k>0.要使上述不等式对t€ R恒成立，则需---k>0,即kv--.故k的取值范围为---.解析由于函数f(x)= 满足对任意的X1乞，都有<0成立,所以该函数为R上I 能力提升1. 函数y=x ln |x|的大致图象是()解析函数f(x)=x ln凶的定义域(a,O)U (O, +旳关于原点对称，且f(_x)=_x ln |-x|=-x ln |x|=-f (x),所以f(x) 是奇函数，排除选项B;当0<x< 1时,f(x)< 0,排除选项A,C.故选D.答答案D2 __2. 若函数f(x)= log2(x -ax+ 3a)在区间［2,+旳上是增函数，则实B.a w 2数a的取值范围是()A.a w 4C.-4<a w 4D.-2W a< 4解析］T函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间［2,+旳上是增函数，二y=x2-ax+3a在［2, +乡上大于零且单调递增,故有解得-4<a w 4,故选C.答答案C3. 已知f(x)是定义在实数集R上的函数，满足条件:y=f(x+ 1)是偶函数，且当x> 1时,f(x)=5x,则f -，f -，f -的大小关系是()A. f-<f-<f-B. f-<f-<f-C. f - <f - <f -D. f - <f - <f -解析T y=f(x+ 1)是偶函数，y=f(x+1)的对称轴为x=0,••• y=f(x)的对称轴为x=1. 又x> 1 时,f(x)=5x,f(x)=5x在区间［1,+乡上是增函数••• f(x)在(-円1)上是减函数.■/ f _ =f 一,且_ 一 -,• f — <f — <f —,即 f 一<f 一<f 一4. _______________________________________________________________________________ 已知函数y= log a x(a>0,且a詢),当x>2时恒有|y|> 1,则a的取值范围是_________________________________解析当a> 1时,y=log a x在区间(2,+ *)上是增函数，由log a2> 1,得1<a< 2;当0<a< 1时,y=log a x在区间(2, +旳上是减函数，且log a2< -1,得-三a<1.故a的取值范围是- U (1,2］.答案- U (1,2]5. _______________________________________________________________ 若函数y= - +m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是 __________________________________________ .解析将函数y= -的图象向右平移1个单位长度得到函数y= - -的图象(如图所示),当m<0时，将y= - 的图象向下平移|m|个单位长度就可以得到函数y= - +m的图象要使y= - +m的图象不经过第一象限，则需m w -2.答案m w -26. 已知函数f(x)=b a x(其中a,b为常数,且a>0,a詢)的图象经过点A(1,6),B(3,24). (1)求f(x)的解析式；⑵若不等式- > 2m+ 1在x€ (a,1］时恒成立，求实数m的取值范围.解| (1)由题意得解得a=2,b=3,「. f(x)=3 2x.⑵设g(x)= - -,则y=g (x)在R上为减函数，--当xw1时 g(x)min =g (1)=〜.- > 2m+1 在 x € (-8,1］上恒成立，二 g(x)min > 2m+1,即 2m+ 1 w -,/. m w -_.故实数m 的取值范围为7. 已知函数 f(x-1)=lg —. (1)求函数f(x)的解析式；⑵解关于x 的不等式f(x) > lg(3x+1). 解(1)令 t=x-1,则 x=t+ 1.由题意知 一>0,即0<x< 2,则-1<t< 1.所以 f(t) = lg ------- =|g 一.故 f(x) = lg 一(-1<x< 1).(2)lg ——> lg(3x+ 1)? ——> 3x+ 1>0.由 3x+1> 0,得 x>- -. 因为-1 <x< 1,所以 1-x> 0.由——> 3x+1,得 x+1 > (3x+1)(1-x), 即 3x 2-x > 0,x(3x-1) > 0,解得 x >-或 x < 0 .又 x>--,-1<x< 1,所以—<x < 0 或x<1.故不等式的解集为 ---.2 28. 已知函数 f(x)=lg[( a -1)x + (a+ 1)x+1].(1) 若f(x)的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2) 若f(x)的值域为R ,求实数a 的取值范围. 分析 |设 u(x)=(a 2-1)x 2+(a+1)x+1.2 2(1)函数f(x)的定义域为R ，则真数u(x)= (a-1)x + (a+1)x+1恒为正 若u(x)为二次函数，则图象的开 口向上且判别式小于0,但需考虑a 2-1 = 0时的情况.⑵若函数f(x)的值域为R，则真数u(x)能取到所有正实数.解设u(x)=(a2-1)x2+(a+ 1)x+1.2 2(1)函数f(x)=lg[(a -1)x + (a+1)x+1]的定义域为R,即u(x)= (a -1)x +(a+ 1)x+ 1>0 在R 上恒成立.当a=1时,2x+ 1>0在R上不能恒成立，故舍去；当a=-1时,1>0恒成立；当a -1和,即a^±1时,则一或-即/• a>-或a<-1.-或 -•••实数a的取值范围是(-8,-1] U - .⑵T f(x)的值域为R,2 2• u(x)=(a -1)x +(a+1)x+ 1的函数值要取遍所有的正数,即(0,+ *)是u(x)值域的子集当a=1时,符合题意；当a=-1时，不符合题意；当a赴1时，函数u(x)为二次函数，即函数u(x)=(a2-1)x2+(a+1)x+1的图象与x轴有交点且开口向上,则一或-即••1<a w -.综上可知，实数a的取值范围是-.。

第二课时指数函数图象及性质的应用(习题课)【选题明细表】1.(2018·信阳高一期末)设x>0,且1<b x<a x,则( C )(A)0<b<a<1 (B)0<a<b<1(C)1<b<a (D)1<a<b解析:因为1<b x,所以b0<b x.因为x>0,所以b>1.因为b x<a x,所以()x>1.因为x>0,所以>1,所以a>b,所以1<b<a.故选C.2.下列判断正确的是( D )(A)2.52.5>2.53(B)0.82<0.83(C)π2< (D)0.90.3>0.90.5解析:函数y=0.9x在R上为减函数,所以0.90.3>0.90.5.3.设f(x)=()|x|,x∈R,那么f(x)是( D )(A)奇函数且在(0,+∞)上是增函数 (B)偶函数且在(0,+∞)上是增函数 (C)奇函数且在(0,+∞)上是减函数 (D)偶函数且在(0,+∞)上是减函数 解析:因为f(-x)=()|-x|=()|x|=f(x), 所以f(x)为偶函数.又当x>0时,f(x)=()x 在(0,+∞)上是减函数, 故选D.4.(2018·衡阳高一期末)若偶函数f(x)满足f(x)=2x -4(x ≥0),则不等式f(x-2)>0的解集是( D ) (A){x|-1<x<2} (B){x|0<x<4} (C){x|x<-2或x>2} (D){x|x<0或x>4} 解析:由偶函数f(x)满足f(x)=2x -4(x ≥0), 可得f(x)=f(|x|)=-4,则f(x-2)=f(|x-2|)=-4,要使f(|x-2|)>0,只需-4>0,|x-2|>2,解得x<0或x>4.故选D.5.三个数(),(),()中,最大的是 ,最小的是 .解析:因为函数y=()x 在R 上是减函数,所以()>(),又在y轴右侧函数y=()x的图象始终在函数y=()x的图象的下方,所以()>(),即()>()>().答案()()6.方程9x+3x-2=0的解是.解析:因为9x+3x-2=0,即(3x)2+3x-2=0,所以(3x+2)(3x-1)=0⇒3x=-2(舍去),3x=1.解得x=0.答案:07.设f(x)=|3x-1|,c<b<a且f(c)>f(a)>f(b),则下列关系式中一定成立的是( D )(A)3c>3b (B)3b>3a(C)3c+3a>2 (D)3c+3a<2解析:f(x)=|3x-1|=故可作出f(x)=|3x-1|的图象如图所示,由图可知,要使c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)成立,则有c<0且a>0,故必有3c<1且3a>1,又f(c)-f(a)>0,即为1-3c-(3a-1)>0,所以3c+3a<2.故选D.8.若函数f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(1)的大小关系是( A )(A)f(-4)>f(1) (B)f(-4)=f(1)(C)f(-4)<f(1) (D)不能确定解析:因为|x+1|≥0,函数f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞), 所以a>1.由函数f(x)=a|x+1|在(-1,+∞)上是增函数,且它的图象关于直线x=-1对称,可得函数f(x)在(-∞,-1)上是减函数.再由f(1)=f(-3),可得f(-4)>f(1),故选A.9.若函数f(x)=a x-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是.解析:令a x-x-a=0,即a x=x+a,若0<a<1,显然y=a x与y=x+a的图象只有一个公共点;若a>1,y=a x与y=x+a的图象如图所示有两个公共点. 答案:(1,+∞)10.(2017·虹口区高一期末)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-+,则此函数的值域为.解析:设t=,当x≥0时,2x≥1,所以0<t≤1,f(t)=-t2+t=-(t-)2+,所以0≤f(t)≤,故当x≥0时,f(x)∈[0,];因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以当x≤0时,f(x)∈[-,0];故函数的值域是[-,].答案:[-,]11.已知物体初始温度是T0,经过t分钟后物体温度是T,且满足T=T a+(T0-T a)·2-kt(T a为室温,k是正常数).某浴场热水是由附近发电厂供应,已知从发电厂出来的95 ℃的热水,在15 ℃室温下,经过100分钟后降至25 ℃.(1)求k的值;(2)该浴场先用冷水将供应的热水从95 ℃迅速降至55 ℃,然后在室温15 ℃下缓慢降温供顾客使用.当水温在33 ℃至43 ℃之间,称之为“洗浴温区”.问:某人在“洗浴温区”内洗浴时,最多可洗浴多长时间?(结果保留整数)(参考数据:2-0.5=0.70,2-1.2=0.45).解:(1)将T a=15,T0=95,t=100代入关系式T=T a+(T0-T a)·2-kt,得25=15+(95-15)·2-100k,2-100k==2-3,解得k=.(2)由(1),将T0=55代入关系式T=T a+(T0-T a)·2-kt,得T=15+(55-15)·=15+40·,令33≤15+40·≤43,即0.45≤≤0.7,因为2-0.5=0.70,2-1.2=0.45,所以2-1.2≤≤2-0.5,解得≤t≤40,所以某人在“洗浴温区”内洗浴时,最多可洗浴40-≈23分钟.12.已知f(x)=x(+).(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;(3)求证:f(x)>0.(1)解:由于2x-1≠0,2x≠20,故x≠0,所以函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}.(2)解:函数f(x)是偶函数.理由如下:由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称, 因为f(x)=x(+)=·,所以f(-x)=-·=-·=-·=·=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)证明:由(2)知f(x)=·.对于任意x∈R,都有2x+1>0,若x>0,则2x>20,所以2x-1>0,于是·>0,即f(x)>0,若x<0,则2x<20,所以2x-1<0,于是·>0,即f(x)>0,综上知f(x)>0.。

2.1指数函数习题课课时目标 1.提高学生对指数与指数幂的运算能力.2.进一步加深对指数函数及其性质的理解.3.提高对指数函数及其性质的应用能力．1．下列函数中，指数函数的个数是( )①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3. A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．33．对于每一个实数x ，f (x )是y ＝2x与y ＝－x ＋1这两个函数中的较小者，则f (x )的最大值是( )A ．1B ．0C ．－1D ．无最大值4．将22化成指数式为________．5．已知a ＝40.2，b ＝80.1，c ＝(12)－0.5，则a ，b ，c 的大小顺序为______________．6．已知12x ＋12x -＝3，求x ＋1x的值．一、选择题 1．()1222-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值为( )A. 2 B ．－ 2C.22 D ．－22 2．化简3a －b 3＋a －2b 2的结果是( ) A ．3b －2a B ．2a －3b C ．b 或2a －3b D ．b3．若0<x <1，则2x ，(12)x,0.2x之间的大小关系是( )A ．2x <0.2x <(12)xB ．2x <(12)x <0.2xC ．(12)x <0.2x <2xD ．0.2x<(12)x <2x4．若函数则f (－3)的值为( )A.18B.12 C ．2 D ．85．函数f (x )＝a x －b的图象如图所示，其中a ，b 均为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b >0B ．a >1，b <0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <06．函数f (x )＝4x＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．计算：120.064-－(－14)0＋160.75＋120.01-＝___________________________________.8．已知10m＝4,10n＝9，则3210m n -＝________.9．函数y ＝1－3x(x ∈[－1,2])的值域是________． 三、解答题10．比较下列各组中两个数的大小：(1)0.63.5和0.63.7；(2)(2)－1.2和(2)－1.4； (3) 1332⎛⎫ ⎪⎝⎭和2332⎛⎫ ⎪⎝⎭；(4)π－2和(13)－1.3.11．函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．能力提升12．已知f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(a>0且a≠1)，讨论f(x)的单调性．13．根据函数y＝|2x－1|的图象，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？1．(1)根式的运算中，有开方和乘方并存的情况，此时要注意两种运算的顺序是否可换．如当a ≥0时，na m＝(na )m，而当a <0时，则不一定可换，应视m ，n 的情况而定． (2)分数指数幂不能对指数随意约分．(3)对分数指数幂的运算结果不能同时含有根号和分数指数，不能同时含有分母和负指数．2．指数函数的解析式y ＝a x 中，a x的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y ＝a x ＋k(a >0且a ≠1，k ∈Z )；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y ＝a －x(a >0且a ≠1)，因为它可以化为y ＝(1a )x ，其中1a >0，且1a≠1.3．学习指数函数要记住图象，理解图象，由图象能说出它的性质．关键在于弄清楚底数a 对于函数值变化的影响，对于a >1与0<a <1时函数值变化的情况不同，不能混淆，为此必须利用图象，数形结合．双基演练1．B [只有③中y ＝3x是指数函数．]2．A [因f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0， 即1＋b ＝0，b ＝－1.所以f (－1)＝－f (1)＝－(2＋2－1)＝－3.]3．A [当x ≤0时，f (x )＝2x；当x >0时，f (x )＝－x ＋1.显然，其最大值是1.]4．234解析5．b <a <c解析 a ＝20.4，b ＝20.3，c ＝20.5.又指数函数y ＝2x在R 上是增函数， ∴b <a <c .则x ＋x －1＝7，即x ＋1x＝7.作业设计 1．C [原式＝122-＝12＝22.] 2．C [原式＝(a －b )＋|a －2b |＝⎩⎪⎨⎪⎧b ， a ≤2b ，2a －3b ， a >2b .]3．D [当0<x <1时，2x>1，(12)x <1，对于(12)x ，(0.2)x，不妨令x ＝12，则有0.5>0.2.]4．A [f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝f (1＋2)＝f (3)＝2－3＝18.]5．D [f (x )＝a x －b 的图象是由y ＝a x的图象左右平移|b |个单位得到的，由图象可知f (x )在R 上是递减函数，所以0<a <1，由y ＝a x 过点(0,1)得知y ＝a x的图象向左平移|b |个单位得f (x )的图象，所以b <0.]6．D [f (－x )＝4－x ＋12－x ＝1＋4x 2x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称．] 7.485＝0.4－1－1＋23＋0.1＝52－1＋8＋110＝485.8.839．[－8，23]解析 因为y ＝3x 是R 上的单调增函数，所以当x ∈[－1,2]时，3x ∈[3－1,32]，即－3x∈[－9，－13]，所以y ＝1－3x∈[－8，23]．10．解 (1)考查函数y ＝0.6x .因为0<0.6<1，所以函数y ＝0.6x在实数集R 上是单调减函数．又因为3.5<3.7，所以0.63.5>0.63.7.(2)考查函数y ＝(2)x .因为2>1，所以函数y ＝(2)x在实数集R 上是单调增函数．又因为－1.2>－1.4，所以(2)－1.2>(2)－1.4.(3)考查函数y ＝(32)x .因为32>1，所以函数y ＝(32)x在实数集R 上是单调增函数．又因为13<23，所以1332⎛⎫ ⎪⎝⎭<2332⎛⎫⎪⎝⎭. (4)∵π－2＝(1π)2<1，(13)－1.3＝31.3>1，∴π－2<(13)－1.3.11．解 (1)若a >1，则f (x )在[1,2]上递增， ∴a 2－a ＝a2，即a ＝32或a ＝0(舍去)．(2)若0<a <1，则f (x )在[1,2]上递减，∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)．综上所述，所求a 的值为12或32.12．解 ∵f (x )＝a a 2－1(a x－1ax )，∴函数定义域为R ，设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1<x 2，∴当a >1时，ax 1<ax 2，aa 2－1>0∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)，f (x )为增函数，当0<a <1时，，aa 2－1<0∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )为增函数， 综上，f (x )在R 上为增函数．13.解 函数y ＝|2x－1|的图象可由指数函数y ＝2x的图象先向下平移一个单位长度，然后再作x 轴下方的部分关于x 轴的对称图形，如图所示．函数y ＝m 的图象是与x 轴平行的直线，观察两图象的关系可知：当m <0时，两函数图象没有公共点，此时方程|2x－1|＝m 无解；当m ＝0或m ≥1时，两函数图象只有一个公共点，此时方程|2x－1|＝m 有一解；当0<m <1时，两函数图象有两个公共点，此时方程|2x－1|＝m 有两解．。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题习题课(四) 指数函数(时间：45分钟 满分：75分)一、选择题(每小题5分，共30分) 1．下列各式中成立的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n 7＝m 7n 17 B ．12－4＝ 3－3C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34 D ．39＝33解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫m n 7＝m 7n7＝m 7n －7≠m 7n 17 ；12－4＝1234＝33≠ 3－3；4x 3＋y 3＝(x 3＋y 3)14 ≠(x ＋y )34 ；39＝(32)13 ×12 ＝313 ＝33.故选D.答案：D2．已知f (x )＝a －x(a ＞0且a ≠1)，且f (－2)＞ f (－3)，则a 的取值范围是( ) A ．0＜a ＜1 B ．a ＞1 C.12＜a ＜1 D ．a ＞0解析：∵f (－2)＝a 2，f (－3)＝a 3，f (－2)＞ f (－3)， 即a 2＞a 3， 故0＜a ＜1.故选A. 答案：A3．函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)的图象的大致形状是( )解析：当x ＞0时，y ＝a x(0＜a ＜1)，由此可以画出函数在y 轴右侧的图象．当x ＜0时，y ＝－a x (0＜a ＜1)．另外，函数y ＝－a x 与y ＝a x 的图象关于x 轴对称．由此可以画出函数在y 轴左侧的图象，故选D.答案：D4．已知1＞n ＞m ＞0，则指数函数①y ＝m x；②y ＝n x的图象是( )解析：由1＞n ＞m ＞0可知两曲线应为递减的曲线，故排除A ，B ，再由n ＞m 可知应选C.答案：C5．函数f (x )＝a x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax (a ＞0且a ≠1)是( )A ．奇函数也是偶函数B ．偶函数C ．既非奇函数也非偶函数D ．奇函数解析：∵函数f (x )定义域(－∞，＋∞)关于原点对称，且f (－x )＝a －x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x ＝a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax＝f (x )(a ＞0，且a ≠1)，∴f (x )为偶函数，故选B.答案：B6．已知f (x )的定义域是[1,5]，则函数y ＝f x －2x－4的定义域是( )A ．[1,3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3C ．[2,3)D ．(2,3]解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x －1≤5，2x－4＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤3，x ＞2，∴2＜x ≤3，故选D. 答案：D二、填空题(每小题5分，共20分)7．指数函数f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)的图象经过(2,4)点，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (4)＝______.解析：∵4＝a 2，∴a ＝2，∴f (x )＝2x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (4)＝212 ×24＝16 2.答案：16 28．计算：0.25×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－4－4÷20－⎝ ⎛⎭⎪⎫116－12 ＝________.解析：原式＝14×16－4÷1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝4－4－4＝－4.答案：－49．三个数⎝ ⎛⎭⎪⎫3737 、⎝ ⎛⎭⎪⎫3747 、⎝ ⎛⎭⎪⎫4737 中，最大的是______，最小的是______． 解析：∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫37x在R 上是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3737 ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫3747 ， 又函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫37x 的图象在y 轴右侧始终在函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫47x的图象的下方，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4737 ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫3737答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫4737 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3747 10．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，通过平移变换和翻折变换可得如图(1)所示的图象，则由图可知1＜2a ＜2，即12＜a ＜1，与a ＞1矛盾．当0＜a ＜1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图(2)所示的图象，则由图可知1＜2a ＜2，即12＜a ＜1，即所求．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 三、解答题11．(本小题满分12分)化简求值：(1)(7＋43)12 －2716 ＋1634 －2×(8－23 )－1＋52×(4－25 )－1.(2)23a ÷46a ·b ×3b 3.解：(1)原式＝[(2＋312 )2]12 －(33)16 ＋(24)34 －2×[(23)－23 ]－1＋215 ×(22)25 ＝2＋312 －312 ＋23－2×22＋215 ×245 ＝4.(2)原式＝2a 13 ÷(4a 16 b 16 )×(3b 32 ) ＝12a 13 －16 b －16 ·3b 32 ＝32a 16b 43 . 12．(本小题满分13分)已知定义在实数集R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求函数f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)判断f (x )在(0,1)上的单调性；(3)当λ取何值时，方程f (x )＝λ在(－1,1)上有实数解？ 解：(1)∵f (x )是x ∈R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1) f (－x )＝2－x4－x ＋1＝2x4x ＋1＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 4x＋1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x4x ＋1，x ∈－1，，0，x ＝0，2x 4x＋1，x ∈，(2)设0＜x 1＜x 2＜1.f (x 1)－f (x 2)＝x 1－2x 2＋x 1＋2x 2－2x 2＋2x 1x 1＋x 2＋＝x 1－2x 2－2x 1＋x 2x 1＋x 2＋，∵0＜x 1＜x 2＜1，∴2x 1＜2x 2，2x 1＋x 2＞20＝1，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x )在(0,1)上为减函数． (3)∵f (x )在(0,1)上为减函数，∴2141＋1＜f (x )＜2040＋1，即f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12. 同理，f (x )在(－1,0)上时，f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25.又f (0)＝0，当λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25∪⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12.或λ＝0时，方程f (x )＝λ在x ∈(－1,1)上有实数解．。