2016年秋季新版青岛版八年级数学上学期5.6、几何证明举例学案1

§5.6 几何证明举例（2）教学目标：1. 学生能够证明等腰三角形的性质定理和判定定理。

2. 会运用等腰三角形的性质和判定进行有关的证明和计算。

3. 应用等腰三角形的性质和判定进一步认识等边三角形。

4. 培养学生分析问题和逻辑推理的能力。

教学重、难点：重点：会证明等腰三角形的性质定理和判定定理。

难点：等腰三角形的性质定理和判定定理的应用。

教学准备：电子白板、直尺、圆规、直角三角板教学过程一、情境导入、复习回顾1、等腰三角形的性质是什么，这个命题的逆命题是什么？二、交流展示(鼓励学生自己写出证明的过程，注意几何证明的三步)（1）“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗？怎样证明。

证明：等腰三角形的两个底角相等。

已知：如图，在△ABC中，AB=AC求证：∠B=∠C法1证明：过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D∴∠BAD = ∠CAD (角平分线定义)在△BAD与△CAD中∵AB = AC (已知)∠BAD = ∠CAD (已证)AD = AD (公共边)∴△BAD≌△CAD(SAS)∴∠ B = ∠ C (全等三角形对应角相等)法2证明：作BC边上的中线 AD∴ BD = CD (中线定义)在△BAD与△CAD中∵AB = AC (已知)BD = CD （已证）AD = AD (公共边)∴△BAD≌△CAD( SSS )∴∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)（2）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是真命题吗，怎样证明它的正确性？证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

已知：如图，在如图，在△ABC中，∠B=∠C求证：AB=AC证明：作AD⊥BC,垂足为D则∠ADB=∠ADC=90°(垂直的定义)，在△ABD和△ACD中，∵∠B=∠C (已知)，∠ADB=∠ADC=90°(已证)AD=AD (公共边)∴△ABD≌△ACD (AAS)∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)(3) 利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明：(鼓励学生当老师讲给其他同学听)①等边三角形的每个内角都是60°②三个角都相等的三角形是等边三角形。

5.6 几何证明举例学习目标1．熟练掌握AAS，HL 判判定理，等腰三角形 , 等边三角形性质与判判定理，并会运用这些定理进行证明相关题目；2．经过独立思虑，合作研究，研究出综合法证明几何问题的方法。

3.倾尽全力，达成目标，享受几何证明的多样性之美。

自主研究（一）直角三角形全等的判判定理假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。

（ HL 定理）【典型例题】AEFB D C例 1. 已知如图， D是△ ABC的边 BC的中点， DE⊥ AC,DF⊥ AB，垂足分别是点E，F，DE=DF.求证：△ ABC是等腰三角形 .（二）等腰三角形的性质和判断命题一：等腰三角形底边上的高、中线及顶角的均分线重合.已知：求证：证明：命题二：有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知：求证：证明：（三）角均分线与垂直均分线的性质与判断三角形全等的运用1. 已知，如图， AB=BC,AD=CD,求证：∠ A=∠C.CD BA2. 如图，已知AB=DC，∠ ABC=∠DCB，OE均分∠ BOC交 BC于点 E. 求证： OE垂直均分BC.ADOB E C3.已知：如图，在△ ABC中， AB=AC，D 是 AB 上一点， DE⊥ BC，垂足是 E，交 CA的延长线于点 F，求证： AD=AF.FADB E C能力提高4. 在△ ABC中， D 为 BC的中点， DE⊥ BC交∠ BAC的均分线 AE于 E,EF⊥AB 于 F，EG⊥ AC交 AC的延长线于点 G，求证： BF=CG.AFD CBGE。

《几何证明举例》（第1课时）教案拓展版教学目标知识与技能1．证明角、角、边定理．2．能灵活运用全等三角形全等的性质定理和判定定理证明线段或角相等．过程与方法经历探索三角形全等条件的过程，体会分析问题的方法，积累数学活动的经验．情感与态度在证明过程中体会数学的严谨，通过独立解决问题，培养学生勇于探索、团结协作的精神，积累数学活动经验．教学重点运用全等三角形全等的性质定理和判定定理证明线段或角相等．教学难点灵活运用分析法和综合法．教学过程一、自学导入1．全等三角形的性质：全等三角形的对应边______，对应角________．2．全等三角形的判定：（1）_________________________；（2）_________________________；（3）_________________________；（4）_________________________；其中是基本事实的有：______________；3．利用基本事实，证明两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等．师生活动：学生预习课本，独立完成．之后分小组交流讨论，畅所欲言，教师指导，答疑解惑．学生代表扮演讲解．答：1．相等，相等．2．（1）三边分别相等的两个三角形全等；（2）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；（3）两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等；（4）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；3．已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'．求证：△ABC≌△A'B'C'．证明：在△ABC 和△A'B'C'中，∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠A'＋∠B'＋∠C'＝180°． ∴∠A ＝180°―∠B ―∠C ，∠A'＝180°―∠B'―∠C'． ∵∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'． ∴∠A ＝∠A'． ∵AB ＝A'B'（已知）， ∴△ABC ≌△A'B'C'（ASA ）．教师说明：这就是全等三角形的判定定理：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等．教师提出问题：（1）判定两个三角形全等的方法？ （2）证明两个三角形全等的作用是什么？ 学生自己总结归纳．（1）基本事实：SSS ，SAS ，ASA 及判定定理AAS ． （2）用来证明线段相等或者角相等．设计意图：通过学生自主学习，合作探究，根据已学的基本事实来证明，学生进一步体会几何证明的书写格式，发展学生推理的能力．二、探究新知1．已知：如图所示，AC ＝BD ，AE ＝CF ，BE ＝DF ． 求证：△ABE ≌△CDF ．2．已知BE ＝CF ，AB ＝DC ，AB ∥CD ，求证：△ABE ≌△DCF ．ABC A'B'C'ABC FE3．已知：如图所示，∠1＝∠2，BD ＝CE ，∠BAC ＝∠DAE ，求证：△ABD ≌△ACE ．师生活动：学生独立完成，板演讲解，师生共同归纳证明三角形全等的思路． 答：1．证明：在△ABE 和△CDF 中， ∵AC ＝BD （已知），∴AC ＋CB ＝BD ＋CB （等式的性质）， 即AB ＝DC ．∵AE ＝CF ，BE ＝DF ， ∴△ABE ≌△CDF （SSS ）． 2．证明：在△ABE 和△DCF 中， ∵AB ∥CD （已知），∴∠ABE ＝∠DCF （两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等）． ∵BE ＝CF ，AB ＝DC （已知）， ∴△ABE ≌△DCF （SAS ）． 3．证明：在△ABD 和△ACE 中， ∵∠BAC ＝∠DAE ， AC ＝BD （已知），∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC （等式的性质）． 即∠BAD ＝∠CAE ． ∵∠1＝∠2，BD ＝CE ， ∴△ABD ≌△ACE （AAS ）．归纳：要想证明两个三角形全等，需要3个条件． （1）已知两组边分别对应相等． ①一夹角，利用SAS ；A CBD F E12EACB D②一边，利用SSS ．（2）已知一边一角分别对应相等， 还需1个任意的角，利用AAS 或ASA ．设计意图：通过练习，感受证明三角形全等需要的条件，分析证明思路． 三、例题精讲例1．已知：如图所示，AB ＝CB ，AD ＝CD ． 求证：∠A ＝∠C ．师生活动：教师引导学生分析已知条件与结论之间的联系．已知两组边分别相等，但这两组边没有在两个全等三角形中，那怎么办呢？由此启发学生添加辅助线来解决．证明：连接DB ．在△ABD 和△CBD 中，∵AB ＝CD ，AD ＝CD （已知），BD ＝BD （公共边）， ∴△ABD ≌△CBD （SSS ），∴∠A ＝∠C （全等三角形对应角的定义）． 师生归纳：证明两个角相等的方法：找这两个角所在的三角形，看他们是否全等．若这两个角不在两个全等三角形中，可通过添加辅助线的方法，构造两个全等三角形，使待证的角分别是这两个全等三角形的对应角或对应边所对的角．类比证明角的方法，思考如何证明两条线段相等呢？找这两条线段所在的三角形，看他们是否全等．若这两条线段不在两个全等三角形中，可通过添加辅助线的方法，构造两个全等三角形，使待证的线段分别是这两个全等三角形的对应边．设计意图：通过添加辅助线，实现构造全等三角形的目的，以便于利用三角形全等来证明线段相等或角相等．四、挑战自我D CBAD作出两个全等三角形，你发现它们对应角的平分线有什么性质？对应边上的中线、对应边上的高有什么性质？证明你的结论．师生活动：学生分组讨论，学生代表扮演讲解，归纳总结． （1）全等三角形的对应角的平分线相等．已知：如图，△ABC ≌△A'B'C'，AD 、A 'D '分别平分∠BAC ，∠B'A'C'， 求证：AD ＝A 'D '．证明：∵△ABC ≌△A'B'C'（已知）， ∴AB ＝A'B'（全等三角形的对应边相等），∠B ＝∠B'，∠BAC ＝∠B'A'C'（全等三角形的对应角相等）， ∵AD 、A 'D '分别平分∠BAC ，∠B'A'C'（已知）， ∴∠BAD ＝12∠BAC ，∠B'A'D'＝12∠BAC （角平分线的定义）， ∴∠BAD ＝∠B'A'D'（等量代换）． ∴△ABD ≌△A'B'D'（ASA ）．（2）全等三角形的对应边上的中线相等．已知：如图，△ABC ≌△A'B'C'，AD 、A 'D '分别是△ABC 和△A'B'C'的中线． 求证：AD ＝A 'D '．证明：∵△ABC ≌△A'B'C'（已知），∴BC ＝B'C'，AB ＝A'B'（全等三角形的对应边相等）， ∠B ＝∠B'（全等三角形的对应角相等），∵AD 、A 'D '分别是△ABC 和△A'B'C'的中线（已知），D'DC'B'A'C BADD'AB CA'B'C'∴BD ＝12BC ，B'D'＝12B'D'（中线的定义）， ∴BD ＝B'D'（等量代换）． ∴△ABD ≌△A'B'D'（ASA ）．（3）全等三角形的对应边上的高相等．已知：如图，△ABC ≌△A'B'C'，AD 、A 'D '分别是△ABC 和△A'B'C'的高． 求证：AD ＝A 'D '．证明：∵△ABC ≌△A'B'C'（已知）， ∴AB ＝A'B'（全等三角形的对应边相等）， ∠B ＝∠B'（全等三角形的对应角相等），∵AD 、A 'D '分别是△ABC 和△A'B'C'的高（已知）， ∴AD ⊥BC ，A'D'⊥B'C'（高的定义）． ∴∠ADB ＝∠A'D'B'＝90°（垂直的定义）． ∴△ABD ≌△A'B'D'（AAS ）．设计意图：通过学生自主学习，合作探究，探索并证明全等三角形的三条线的性质，进一步体会几何证明的书写格式，加强对全等三角形的判定方法的运用．五、课堂练习1．已知：如图，AD ＝AC ，BD ＝BC ，∠D ＝55°，则∠C ＝_______°．2．已知∠1＝∠2，BC ＝AD ，求证：△ABC ≌△BAD ．ADC A'B'D'C'A BDC3．如图所示，△ABC 是一个风筝架，AB ＝AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架．求证：AD ⊥BC ．4．如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，AE ＝EC ，CF ∥AB ．求证：AD ＝CF ．5．如图，在△ABC 中，MN ⊥AC ，垂足为N ，MN 平分∠AMC ，△ABM 的周长为9cm ，AN ＝2cm ，求△ABC 的周长．参考答案： 1．55°．2．证明：在△ABC 和△BAD 中，∵BC ＝AD ，∠1＝∠2，AB ＝BA （已知）， ∴△ABC ≌△BAD （SAS ）． 3．∵D 是BC 的中点（已知）， ∴BD ＝CD （中点的定义）．12OABDCAB D C21在△ABD和△ACD中，∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠1＝∠2（全等三角形的对应角相等）．∵∠1＋∠2＝180°（平角的定义），∴∠1＝∠2＝90°．∴AD⊥BC（垂直的定义）．4．证明：在△AED和△CEF中，∵CF∥AB（已知），∴∠A＝∠ECF（两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等）．∵AE＝EC（已知），∠AED＝∠CEF（对顶角相等），∴△AED≌△CEF（ASA）．∴AD＝CF．5．解：在△AMN和△CMN中∵MN⊥AC（已知），∴∠ANM＝∠CNM＝90°（垂直的定义）．∵MN平分∠AMC（已知），∴∠AMN＝∠CMN（角平分线的定义）．∵MN＝MN（公共边），∴△AMN≌△CMN（ASA）．∴AM＝CM，CN＝AN＝2（全等三角形的对应边相等）．∵AM＋BM＋AB＝9∴CM＋BM＋AB＝9∴AB＋BC＋AC＝AB＋CM＋BM＋CN＋AN＝9＋2＋2＝13．即△ABC的周长为13．设计意图：通过练习，能灵活运用全等三角形全等的性质定理和判定定理证明线段或角相等．六、拓展提升例2．已知：如图所示，AC＝BC，AD＝BD，M和N分别是的AC和BC中点．求证：DM＝DN．师生活动：教师引导学生分析：要证DM ＝DN ，就要证△ADM ≌△BDN ，那就需要3个条件．现在已知AD ＝BD ，AM ＝BN ，两边的话还需一夹角，即证∠MAD ＝∠NBD ．想证∠MAD ＝∠NBD ，就要把∠MAD 和∠NBD 放入两个全等三角形中，那就需要添加辅助线，构造全等三角形．最后由学生板演讲解，教师点拨．证明：连接CD ， 在△ACD 和△BCD 中，∵AC ＝BC ，AD ＝BD ，DC ＝DC （已知）， ∴△ACD ≌△BCD （SSS ）．∴∠CAD ＝∠CBD （全等三角形的对应角相等）． 在△AMD 和△BND 中，∵M 和N 分别是的AC 和BC 中点． ∴AM ＝12AC ，BN ＝12BC （中线的定义）． ∵AC ＝BC （已知）， ∴AM ＝BN （等量代换）．∵AD ＝BD ，∠CAD ＝∠CBD （已知）， ∴△AMD ≌△BND （SAS ）．∴DM ＝DN （全等三角形的对应边相等）．设计意图：通过构造辅助线，二次全等来证明线段相等．加深对综合法和分析法的理解，学会探索证题的思路．七、拓展练习NM ABCDNM ABCD1．已知：如图，点M 在BD 上，∠1＝∠2，∠3＝∠4，且AB ＝BC ． 求证：BM 平分∠ABC ．2．如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ．求证：BO ＝CO ．参考答案：1．证明：在△AMD 和△CMD 中， ∵∠1＝∠2，MD ＝MD ，∠3＝∠4， ∴△AMD ≌△CMD （ASA ）．∴AD ＝CD （全等三角形的对应边相等）． 在△ABD 和△CBD 中，∵AB ＝CB ，BD ＝BD ，AD ＝CD ， ∴△ABD ≌△CBD （SSS ）．∴∠ABD ＝∠CBD （全等三角形的对应角相等）． 即BM 平分∠ABC ．2．证明：在△ACD 和△ABE 中， ∵∠A ＝∠A ，AC ＝AB ，∠C ＝∠B ， ∴△ACD ≌△ABE （ASA ）． ∴AD ＝AE ．在△BOD 和△COE 中， ∵AB ＝AC ，∴AB －AD ＝AC －AE ． 即BD ＝CE ．∵∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，MA BCD2143∴△BOD≌△COE（AAS）．∴BO＝CO．设计意图：通过练习，掌握基本的证明方法，学会分析题的证明思路，熟练应用全等来证明线段相等或角相等．八、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？（1）三角形全等的判定方法有哪些？（2）如何证明线段相等或角相等？2．通过本节课的学习，你还有什么疑惑？设计意图：通过小结，形成完整的知识体系，加深对利用全等三角形来证明角相等或线段相等的理解．九、目标检测1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为BC边中点，那么以下结论不正确的是（）．A．△ABD≌△ACD B．∠B＝∠CC．AD平分∠BAC D．△ABC是等边三角形AD2．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD．3．如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE．4．已知：如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E．AD与BE交于F，BF＝AC．求证：△ADC≌△BDF．5．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：（1）△BDA≌△AEC；（2）DE＝BD＋CE．参考答案：1．D．2．证明：在△OAC和△OBD中，∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC．即∠AOC＝∠BOD．∵OA＝OB，OC＝OD，∴△OAC≌△OBD（SAS）．∴AC＝BD．3．证明：在△ADF和△CBE中∵AD∥BC，BE∥DF，∴∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC．∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE．∴△ADF≌△CBE(ASA)．4．证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°．∴∠AFE＋∠DAC＝90°，∠BFD＋∠FBD＝90°（直角三角形的两锐角互余）．∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），∴∠DAC＝∠FBD（等角的余角相等）．∵∠ADC＝∠BDF，∠DAC＝∠FBD，BF＝AC，∴△ADC≌△BDF（AAS）．5．证明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°．∴∠ABD＝∠CAE．在△BDA和△AEC中，∵∠ADB＝∠CEA，∠ABD＝∠CAE，AB＝AC，∴△BDA≌△AEC（AAS）；（2）∵△BDA≌△AEC，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE．设计意图：通过检测，有针对性地对学生进行查缺补漏，以便熟练运用全等三角形全等的性质定理和判定定理证明线段或角相等．。

《几何证明举例》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在通过几何证明的实例学习，使学生掌握基本的几何证明方法和技巧，提高学生的逻辑思维能力和空间想象力，为后续的数学学习打下坚实的基础。

二、作业内容1. 复习与预习学生需复习之前学过的几何基础知识，如线段、角、平行线等的基本性质和判定方法。

预习本课时的几何证明基本方法和例题，对将要学习的内容有个大致的了解。

2. 理解几何证明基本方法学生需通过课本和辅导资料，理解和掌握几何证明的基本方法，如分析法、综合法、反证法等，理解各种方法的适用条件和步骤。

3. 完成证明题目选取几个典型的几何证明题目，要求学生运用所学知识，独立完成证明过程。

题目难度适中，既要涵盖本课时的重点内容，又要具有一定的拓展性。

4. 总结与反思学生需对所做的证明题目进行总结和反思，分析自己在证明过程中的优点和不足，找出需要改进的地方，为下一课时的学习做好准备。

三、作业要求1. 认真审题学生在做证明题目时，要认真审题，理解题目的要求和条件，明确证明的目标和步骤。

2. 规范书写学生在书写证明过程时，要按照数学语言的规范进行书写，步骤要清晰，逻辑要严密，不得跳跃或省略步骤。

3. 注重思路学生在完成证明题目时，要注重思路的分析和推理，理解每一步的依据和目的，培养自己的逻辑思维能力和空间想象力。

4. 及时反馈学生在完成作业后，要及时将作业交给老师或学习小组长，以便老师或组长及时给予指导和反馈。

四、作业评价老师或学习小组长在批改作业时，要根据学生的完成情况和证明过程进行评价，对学生的优点和不足进行点评和指导，帮助学生改进和提高。

同时，要对整个班级的学习情况进行总结和分析，为下一课时的教学做好准备。

五、作业反馈学生收到作业反馈后，要认真阅读老师的评语和建议，找出自己在证明过程中的不足和需要改进的地方，制定改进计划并付诸实践。

同时，要与同学进行交流和讨论，分享彼此的学习经验和技巧，共同提高几何证明的能力。

AD E初中数学青岛版八年级上册高效课堂资料5.6《几何证明举例》（1）【学习目标】（1）根据所学过的角边角公理推导出角角边定理的内容；（2）能应用角角边证明两个三角形全等；（3）通过观察几何图形，培养学生的识图能力【重点与难点】重点：学会运用角角边定理证明两个三角形全等难点：各种判定方法的综合运用。

课前预习案【检查落实措施】先由小组长收齐并进行批阅，然后由老师进行再次批阅，并划成A、B、C三档，作为评价小组和个人的依据。

温故知新一、温故知新：1、一定是全等三角形的是( )A.面积相等的三角形B.周长相等的三角形C.形状相同的三角形D.能够完全重合的两个三角形2如图：∠1＝∠2，BC＝EF，那么需要增加一个条件_______________________才能使ΔABC ≌ΔDEF？（写出所有的可能，并且说明你的理由）课内探究案自主预习课本P175----177 内容，写出两角及其一角的对角分别相等的三角形全等的已知求证和证明，并小组交流展示通过上面的证明，你能得到什么结论?与同学交流.判定定理：如果一个三角形的两个角及其夹边分别与另一个三角形的两个角及其夹边对应相等,那么这两个三角形全等. 简写成“角边角”或“ASA”.强调：1、格式要求：先指出在哪两个三角形中证全等；再按定理顺序列出三个条件，并用括号把它们括在一起；写出结论.2、在应用时，怎样寻找已知条件：已知条件包含两部分，一是已知中给出的，二时图形中隐含的（如公共边，公共角、对顶角、邻补角、外角、平角等）所以找条件归结成两句话：已知中找，图形中看.三例题展示：四巩固提升：1.图3中两个三角形的关系是( )图3A.不全等B.它们的周长不相等C.全等D.不确定2．如图 4 已知∠FAB=∠EAB，∠F=∠E △ABF与△ABE全等吗？为什么？图4 图53．如图5所示，已知∠BDC=∠ACD，∠ADB=∠BCA，求证：△ADC≌△BCD. 五．课堂小结：（学生自己完成）课内达标题总分10分得分 .1、如图6所示，∠1=∠2，∠C=∠E，AB=AD 求证：BC=DE2、如图7所示，在△ABC中，已知AB=AC，∠CBE=∠BCD 求证：CD=BE，BD=CE。

初中数学青岛版八年级上册高效课堂资料5.6 几何证明举例 学案第一课时【学习目标】1.能掌握判定两个三角形全等的基本事实和定理，并能应用三角形全等的判定定理进行证明.2.掌握角角边定理的证明,体会转化的数学思想方法.3.进一步体会通过合情推理探索数学结论的方法，养成规范证明的习惯，提高推理的能力.【学习过程】一、自主学习（一）自学指导自学课本第175-177页的内容，认真阅读课本，边读边用铅笔勾画重点内容，把疑难问题在课本相应位置做好标记.1.我们学过的全等三角形的判定方法有 、 、 、 ，其中 、 、 是基本事实， 不是基本事实，它的正确性，需要通过证明.2.自学 “角角边”定理的证明过程.3.自学例1，体会证明两条线段或两个角相等可以证明它们所在的两个三角形全等，体会辅助线的作法.（二）自学检测请同学结合自学情况，完成以下题目，书写认真、规范，不能乱勾乱画. 1.如图，已知∠B=∠DEF ，AB=DE.要判定△ABC ≌△DEF ， （1）若以“SAS ”为依据，还要补充一个条件是 ； （2）若以“ASA ”为依据，还要补充一个条件是 ； （3）若以“AAS ”为依据，还要补充一个条件是 . 2.如图，已知：AB=AC,∠B=∠C.求证：BD=CE.（三）我的疑惑二、合作探究首先组内交流自主学习中的疑惑问题，然后完成下列探究问题.DFCEBADBE AC探究：作出两个全等三角形，你发现它们对应角的平分线有什么性质？对应边上的中线、对应边上的高有什么性质？证明你的结论.三、当堂训练认真规范完成训练题目,成绩计入小组量化.1.如图1，已知点A,C,D,F 四点在同一条直线上，AB=DE ,BC=EF,AF=DC. 求证： AB ∥DE.图12.如果AB=DE,BC=EF,AF=DC 不变，将图1变成图2、图3后，探究一中的结论是否发生变化？证明过程是否发生变化？如果有，请写出证明过程.图2 图3四、当堂小结谈谈你本节课的收获1.数学知识：2.数学思想DF ECBADEFCBACBAD EF。

《几何证明举例》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本课时作业设计的目标是帮助学生理解并掌握几何证明的基本步骤和方法，能够根据给定的已知条件和结论，通过合理的逻辑推理和图形关系，证明出相关的几何命题。

同时，通过本课时的作业练习，学生应能初步掌握如何利用所学知识解决实际问题。

二、作业内容作业内容主要包括以下几个方面：1. 掌握基本的几何证明方法：如分析法、综合法等，理解它们在证明中的应用。

2. 完成一系列的几何证明题目：包括简单的平行线、三角形相似与全等、面积比等几何关系，并能够准确使用所学的方法进行证明。

3. 探索应用题：设置几道应用题，如用几何证明解决生活中的实际问题，培养学生的综合运用能力。

4. 课后自我反思：学生应进行自我反思，分析在证明过程中出现的问题及错误，总结解题经验和教训。

三、作业要求作业要求如下：1. 认真审题：仔细阅读题目，明确已知条件和结论，确保理解无误。

2. 规范书写：证明过程应按照数学语言规范书写，步骤清晰，逻辑严密。

3. 独立思考：独立完成作业，遇到问题先尝试自己解决，不能抄袭他人答案。

4. 耐心细致：对于复杂题目，需要耐心细致地分析、推理，不可急于求成。

5. 及时反馈：遇到问题及时向老师或同学请教，及时解决疑惑。

四、作业评价作业评价将从以下几个方面进行：1. 正确性：答案是否正确，是否符合题目要求。

2. 规范性：书写是否规范，步骤是否清晰。

3. 创新性：是否有新颖的解题思路和方法。

4. 独立思考能力：是否能够独立完成作业，遇到问题是否能够独立思考解决。

5. 反馈及时性：是否能够及时反馈问题并解决疑惑。

五、作业反馈作业反馈将采取以下措施：1. 教师批改：教师认真批改每一份作业，对错误的地方进行标注和纠正。

2. 课堂讲解：选取典型题目进行课堂讲解，帮助学生理解解题思路和方法。

3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，互相交流解题经验和技巧。

4. 个别辅导：对存在困难的学生进行个别辅导，帮助他们解决问题。

5.6《几何证明举例》（3）主备人：初二数学组审核：初二数学组时间2016-12一：【学习目标】1.通过自学，掌握线段的垂直平分线性质的证明；2.会证明线段的垂直平分线的逆性质3.进一步掌握证明的书写格式。

学习重难点：通过线段的垂直平分线性质的证明掌握证明的书写格式二：【预习导航】1.自主线段垂直平分线的性质证明过程，理解证明书写格式；2.通过小组合作交流，会证明垂直平分线的有关问题学习过程：三：【问题探究】自主学习课本180-181页内容，回忆线段垂直平分线的性质，你能用推理的方法证实它的真实性吗？已知：CD是线段AB的垂直平分线，垂足为点M，P是直线CD上的任意一点。

求证：PA=PB.线段垂直平分线的逆性质你还记得吗，那么通过小组合作交流，你能加以证明吗？例1 求证：到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

已知：如图，点P和线段AB，PA=PB求证：点P在线段AB的垂直平分线上。

四：课后总结本节课你有什么收获？还有疑惑吗？五【当堂达标测试】（一）基础题1下列命题正确的是（）①线段的垂直平分线上任一点到线段两个端点的距离相等②线段上的任一点到垂直平分线的两端点的距离相等③经过线段中点的直线只有一条④点P在线段AB外且PA=PB,过P作直线MN，则MNPA BC┐是线段AB的垂直平分线⑤过线段上的任一点可以作线段的垂直平分线A1个B2个C3个D4个2.如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ=AC,∠Ａ=３６０，线段ＡＢ的垂直平分线交ＡＢ于Ｄ,交ＡＣ于Ｅ,求证：∠ＣＢＥ=３６０（二）拓展题3已知：如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P，求证：点P在边AC的垂直平分线上。

B 六：课后作业课本完成课本182页练习1、2.ＢＣＥ。

八年级数学上册《5.6 几何证明举例》学案（新版）青岛版5、6 几何证明举例（2）课程标准：掌握等腰三角形的性质和判定定理，了解等边三角形的概念并探索其性质。

目标展示：1、学生会根据三角形全等推导等腰三角形的性质。

2、熟练掌握应用等腰三角形的性质定理。

3、掌握等边三角形的性质，并会运用判定等边三角形。

学习重点难点：等腰三角形的性质定理和判定定理。

自学指导1、等腰三角形的性质是什么？判定是什么？2、等边三角形的性质和判定是什么？合作探究探究一：等腰三角形的性质（1）“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗？怎样证明。

（2）在右图等腰△ABC中，AB=AC、AD为BC边上的高∠1与∠2有什么关系？BD与CD有什么关系你能得出什么结论？试着总结一下。

探究二：等腰三角形的判定（合作交流）（3）说出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题？（4）这个逆命题是真命题吗？怎样证明它的正确性？（5）求证：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形已知：求证：点拨：注意条件中为什么是两个“角”，不是两个“底角”。

三、精讲点拨：1、等腰三角形的性质：性质1：性质2：2、数学语言叙述：性质1：性质2：∵ AB=AC ∵ AB=AC ∴ ∠B= ∠C ① AD平分∠BAC （等边对等角）②AD是BC边上的高③ BD=DC ( ①,② ,③均可作为一个条件，推出其他两项 )（三线合一）3、总结等边三角形的性质以及判定（学生小组讨论，写出他们的证明过程）四、当堂训练例2、已知，如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F。

求证：AD=AF。

点拨：以后证明线段相等或角相等时，除利用三角形全等外，还可以利用等腰三角形的性质和判定。

五、课堂小结：课本180页练习1,2题我的反思：。

5.6 几何证明举例具体设计内容1、经历探索直角三角形全等条件的过程，学会运用“HL”解决实际问题。

教学目的2、掌握“H L”定理并运用定理解决问题，体会证明的必要性。

3、感受数学思想，激发学生的求知欲，使学生体会到逻辑推理的应用价值。

重点：掌握判定直角三角形全等的特殊方法.难点：证明“H L”定理的思路探究和分析。

教学重点难点一、1、复习引入：舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1) 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？(2) 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？2、做一做：已知∠C=900; 线段a= 7cm, 线段b=12cm.求作：Rt △ABC，使∠C =∠1 ，CA=a=7cm,AB=b=12cm1、画∠MCN= ∠1=90°;2、在射线CN上截取CA=7cm;3、以A 为圆心，12cm为半径画弧，交射线CM于点B;教学4、连结AB;过程即△ABC为所求三角形二：探究解读：规律：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“H L”）．A A'B'BC'C/ B/ C/中几何语言：在Rt△ABC和Rt△A∵AB= A/ / C/B/ ,AC =A/ B/ ,AC =A∴Rt △ABC ≌ Rt △ A/ B / C / （H L ）．定理证明：证明：在 Rt △ABC 中，∠ C=90°∴BC2=AB 2－AC 2( 勾股定理 ) ．同理 , B / C /2 = A / B /2 -A / C / 2∵AB=A/ B /， AC=A / C / / C/ ∴BC=B∴Rt △ABC ≌ Rt △ A/ B / C / (SSS)结，得。

5.6 《几何证明举例》导学案(1)主备人：初二数学组 审核：初二数学组 时间2016-12一：【学习目标】1、 证明并掌握角角边定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。

并会运用此定理和基本事实证明线段和角相等。

2、 在证明过程中，体验数学的转化思想，提升学生综合运用知识的能力。

3、 养成善于思考，善于探究，善于推理，言必有据的好习惯。

学习重难点：运用角角边定理和基本事实证明线段和角相等。

学法指导：通过自主探究体会利用全等三角形证明线段和角相等的方法。

二：【预习导航】1.全等三角形的判定方法有哪些？全等三角形有什么性质？其中哪些是基本事实？2.什么是辅助线，有什么作用？应注意哪些问题？三：【问题探究】阅读课本175—177页请尝试证明:例1.已知：如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB=A ′B ′， ∠B=∠B ′∠C=∠C ′求证：△ABC ≌ △A ′B ′C ′。

试写出判定定理(AAS)__________________________________________________________________________________________________ 例2 . 已知：如图，AB =AC ，DB =DC .求证：∠B =∠C .（例题）21C B AB (E )FA D C O第6题一、 交流展示温馨提示：同学们可以先在组内交流一下自主学习情况，然后在班内展示。

四：课后总结本节课你有什么收获？还有疑惑吗？五【当堂达标测试】两块完全相同的三角形纸板ABC 和DEF ， 按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分， 点O 为边AC 和DF 的交点，不重叠的两部分 △AOF 与△DOC 是否全等？为什么？六：课后作业课本 177页 练习第1、2题。

§5.6 几何证明举例（2）教学目标：1. 学生能够证明等腰三角形的性质定理和判定定理。

2. 会运用等腰三角形的性质和判定进行有关的证明和计算。

3. 应用等腰三角形的性质和判定进一步认识等边三角形。

4. 培养学生分析问题和逻辑推理的能力。

教学重、难点：重点：会证明等腰三角形的性质定理和判定定理。

难点：等腰三角形的性质定理和判定定理的应用。

教学准备：电子白板、直尺、圆规、直角三角板教学过程一、情境导入、复习回顾1、等腰三角形的性质是什么，这个命题的逆命题是什么？二、交流展示(鼓励学生自己写出证明的过程，注意几何证明的三步)（1）“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗？怎样证明。

证明：等腰三角形的两个底角相等。

已知：如图，在△ABC中，AB=AC求证：∠B=∠C法1证明：过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D∴∠BAD = ∠CAD (角平分线定义)在△BAD与△CAD中∵AB = AC (已知)∠BAD = ∠CAD (已证)AD = AD (公共边)∴△BAD≌△CAD(SAS)∴∠ B = ∠ C (全等三角形对应角相等)法2证明：作BC边上的中线 AD∴ BD = CD (中线定义)在△BAD与△CAD中∵AB = AC (已知)BD = CD （已证）AD = AD (公共边)∴△BAD≌△CAD( SSS )∴∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)（2）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是真命题吗，怎样证明它的正确性？证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

已知：如图，在如图，在△ABC中，∠B=∠C求证：AB=AC证明：作AD⊥BC,垂足为D则∠ADB=∠ADC=90°(垂直的定义)，在△ABD和△ACD中，∵∠B=∠C (已知)，∠ADB=∠ADC=90°(已证)AD=AD (公共边)∴△ABD≌△ACD (AAS)∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)(3) 利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明：(鼓励学生当老师讲给其他同学听)①等边三角形的每个内角都是60°②三个角都相等的三角形是等边三角形。

初中数学青岛版八年级上册高效课堂资料5.6 几何证明举例学案第三课时【学习目标】1.掌握并理解线段的垂直平分线性质定理和判定定理的证明.2.能灵活运用线段的垂直平分线性质定理和判定定理证明有关的命题.3.进一步体会演绎推理证明，发展推理的能力.【学习过程】一、自主学习（一）自学指导自学课本180-181页内容，通过阅读理解定理的证明并回答下列问题：1.线段的垂直平分线性质定理 .2.线段的垂直平分线判定定理．（二）自学检测要求：在学案上完成自学检测题目，不能乱勾乱画.1.如图在△ABC中AD是BC边上的高。

AC的垂直平分线交DC于点E，且BD=DE。

求证：AB+BD=DC.2.如图，已知在△ABC中，边AB,BC的垂直平分线相交于点P求证：点P在AC的垂直平分线上二、合作探究探究：已知，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是BC延长线上的一点，点E是AB上一点，且在BD的垂直平分线上，DE交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上.三、当堂训练1.如图，△ABC中，EF垂直平分AB，GH垂直平分AC，设EF与GH相交于O，则点O与边BC有什么关系？2.在△ABC中，∠BAC=120°，若PM、QN分别垂直平分AB、AC，那么∠PAQ= ,如果BC=10cm，则△APQ的周长为 .3.如图，已知：△ABC中，BC＜AC，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，AC=9 cm，△BCE的周长为15 cm，求BC的长．4．如图，等边△DEF的顶点分别在等边△ABC各边上，且DE⊥BC于E，若AB=1，则DB=5．如图，在等边三角形ABC的边BC、AC上分别取点D、E，使BD=CE，AD与BE相交于点P．则∠APE的度数为．6．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，求线段DE的长四、当堂小结1.数学知识点2.数学思想。

几何证明举例〔1〕【学习目标】1.通过学习，进一步学会三角形全等的判定方法2.利用三角形全等证明线段和角相等【学习重难点】学会判定三角形全等的根本方法并能灵活应用，利用全等三角形的性质证明有关的问题【学习过程】一、学习准备：1、判定三角形全等的根本领实有2、全等三角形的性质：全等三角形的二、自主探究在前面我们已经学过的全等三角形的四个判定方法中，判定方法1、2、4都已经为根本领实，你能够自己证明判定方法3吗？：如图，在△ABC和△A’B’C’中，AB=A’B’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’求证：△ABC≌△A’B’C’证明：由此我们可以把全等三角形的判定方法3作为全等三角形的判定定理：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等从根本领实SAS,ASA,SSS,以及AAS出发可以判定两个三角形全等,利用全等三角形对应边和对应角的定义，可以进一步推证两个全等三角形的有关线段或角的相等。

三、学以致用例题1：：如图AB=CB,BC=CD求证：∠B=∠D做一做：作出两个全等三角形，你发现它们对应角的平分线有什么性质?对应边上的中线，对应边上的高有什么性质？证明你的结论。

四、课堂小结：请同学们想一想，通过本节学习，你有什么收获？五、随堂训练1、如图，点P在∠AOB的平分线上，假设使△AOP≌△BOP，那么需添加的一个条件是〔只写一个即可，不添加辅助线〕2、如图∠1=∠2，CD∥EF∥AB，AE=CE，求证：AB=CD3、两块完全一样的三角形纸板ABC和DEF，按如下图的方式叠放，阴影局部为重叠局部，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两局部△AOF与△DOC 是否全等？为什么？。

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5.6.4几何证明举例
【学习目标】1熟练掌握角平分线的性质和判定定理
2能够灵活应用性质及判定定理进行几何证明
【学习重点、难点】角平分线的性质及判定的应用 【学习过程】
一、思考:
我们利用角的轴对称性质，通过实验的方法，探索出角平分线的性质：“ 。

”你能用推理的方法证实它的真实性吗？
二、活动一
自主探究角平分线的性质定理
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PE ⊥OB ，PD ⊥OA ，垂足分别是点E 和D. 求证：PE=PD 证明：
通过证明，我们得到：
角平分线的的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

三、活动二
合作探究角平分线的判定定理
你能说出角平分线的性质定理的逆命题吗？它的逆命题是否正确？如果正确请加以证明。

通过证明，我们得到角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

画出图形
已知： 求证：
D
2
1
P C
A
B
E
O
证明：
四、挑战自我
过去我们曾通过画图发现三角形三条角平分线交于一点，现在利用已有的知识，能证明这个结论吗？
五、巩固练习
课本第184页T1、T2
六、课堂小结
通过本节课的学习，学到了哪些知识？还有什么疑惑？
七、课堂检测
如图：在△ABC中，∠B，∠C相邻的外角的平分线交于点D。

求证：点D在∠A的平分线上。

A
C
B。

例题分析：几何证明选讲例1 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，E 为AC 中点，AD ⊥BC 于D ，DE 交BA 的延长线于F ．求证：BF ∶DF ＝AB ∶AC ．【分析】欲证AF DF AC AB =，虽然四条线段可分配于△ABC 和△DFB 中，由于△ABC 和△FBD 一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，故需借助中间比牵线搭桥，易证Rt△BAC ∽Rt△BDA ，得出=AC AB AD BD ，于是只需证出ADBD AF DF =，进而须证△DFB ∽△AFD 即可． 证明：∵AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴Rt△ABD ∽Rt△CAD ，∠DAC ＝∠B ，∴AD BD AC AB =……① 又∵AD ⊥BC ，E 为AC 中点，∴DE ＝AE ，∠DAE ＝∠ADE ，∴∠B ＝∠ADE ，又∵∠F ＝∠F ，∴△FAD ∽△FDB ，∴DF BF AD BD =………②， 由①②得⋅=DFBF AC AB 【说明】由于△ABC 和△FBD 这两个三角形一个是直角三角形，一个是钝角三角形，明显不相似，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，且图中又没有相等的线段来代换，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧．此题用到直角三角形中斜边上的高这个“双垂直”的基本图形，这里有三对相似三角形，这个图形在证相似三角形中非常重要．例2 △ABC 中，∠A ＝60°，BD ，CE 是两条高，求证：BC DE 21= 【分析】欲证BC DE 21=，只须证21=BC DE ． 由已知易得21=AB AD ，于是只须证明,ABAD BC DE = 进而想到证明△ADE ∽△ABC ，这可以由21==AC AE AB AD 证得． 证明：∵∠A ＝60°，BD ，CE 是两条高，∴∠ABD ＝∠ACE ＝30°∵AB AD 21=，AC AE 21=，∴21==AC AE AB AD ，又∠A ＝∠A ∴△ADE ∽△ABC ，∴BC DE AB AD BC DE 2121=∴==. 【说明】在判定相似三角形时，应特别注意应用“两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似”这条判定定理．例3 已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，AD 、EC 交于F ，求证BDFD AD CD =【分析】CD 、FD 在△FDC 中，AD 、BD 在△BDA 中，所以证△FDC 与△BDA 相似便可以得到结论．证明：∵AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，∴∠ADC ＝∠ADB ＝90°，∵∠BAD ＋∠B ＝90°，∠BCE ＋∠B ＝90°，∴∠BAD ＝∠BCE ，∴△FDC ∽△BDA ， ∴⋅=BDFD AD CD 【说明】为什么找到△FDC 与△BDA 相似呢?从求证的比例式出发，“竖看”，线段CD 、AD 在△ADC 中，但线段FD 、BD 却不在一个三角形中；那么“横瞧”，CD 、FD 在△FDC ，AD 、BD 在△BDA 中，所以证△FDC 与△BDA 相似便可以得到结论．小结为“横瞧竖看分配相似三角形”．例4 如图，平行四边形ABCD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，求证：AB ·DE ＝BC ·DF【分析】化求证的等积式为比例式：DE DF BC AB =，又因为CD ＝AB ，AD ＝BC ，即证明比例式DEDF AD CD = 证明：∵平行四边形ABCD ，∴∠C ＝∠A ，∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，∴∠AED ＝∠DFC ＝90°，∴△CFD ∽△AED ，∴DE DF AD CD = ∵CD ＝AB ，AD ＝BC ，∴DE DF BC AB =即AB ·DE ＝BC ·DF ． 【说明】DEDF BC AB =，“横瞧竖看”都不能分配在两个三角形中，但题中有相等的线段：CD ＝AB ，AD ＝BC 所以可横瞧竖看用相等线段代换过来的比例式：DEDF AD CD =，这个比例式中的四条线段可分配在两个相似三角形中．例5 AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC ＝60°，P 是OB 上一点，过P 作AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ，连结OC ，过点C 作CD ⊥OC 交PQ 于点D ．(1)求证：△CDQ 是等腰三角形；(2)如果△CDQ ≌△COB ，求BP ∶PO 的值．【分析】证明△CDQ 是等腰三角形，只需证明∠DCQ ＝∠Q ，利用题目中已有的相似三角形和等腰三角形把这两个角的关系建立起来．并可以得到各边的比例关系，不妨把圆的半径设为1，简化计算．(1)证明：由已知得∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，∴∠Q ＝30°，∠BCO ＝∠ABC ＝30°．∵CD ⊥OC ，∴∠DCQ ＝∠BCO ＝30°，∴∠DCQ ＝∠Q ，∴△CDQ 是等腰三角形．(2)解：设⊙O 的半径为1，则AB ＝2，OC ＝1， .3,121===BC AB AC ∵等腰三角形CDQ 与等腰三角形COB 全等，∴CQ ＝BC ＝3． ∵31+=+=CQ AC AQ ，,23121+==AQ AP ∴=-=AP AB BP 2332312-=+- 231+=-=AO AP PO 2131-=-， ∴3:=PO BP ．【说明】利用好相似三角形对应角相等的条件，进行角的转化是解题中常用的技巧． 例6 △ABC 内接于圆O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于D 点，交⊙O 的切线BE 于F ，连结BD ，CD ．求证：(1)BD 平分∠CBE ；(2)AB ·BF ＝AF ·DC ．【分析】可根据同弧所对的圆周角及弦切角的关系推出．由条件及(1)的结论，可知BD ＝CD ，因此欲求AB ·BF ＝AF ·DC ，可求BFBD AF AB =，因此只须求△ABF ∽△BDF 即可． 证明：(1)∵∠CAD ＝∠BAD ＝∠FBD ，∠CAD ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠FBD ，∴BD 平分∠CBE ．(2)在△DBF 与△BAF 中，∵∠FBD ＝∠FAB ，∠F ＝∠F ，∴△ABF ∽△BDF ，BF BD AF AB ，∴AB ·BF ＝BD ·AF ． 又∵BD ＝CD ，∴AB ·BF ＝CD ·AF ． 例7 ⊙O 以等腰三角形ABC 一腰AB 为直径，它交另一腰AC 于E ，交BC 于D ．求证：BC ＝2DE【分析】由等腰三角形的性质可得∠B ＝∠C ，由圆内接四边形性质可得∠B ＝∠DEC ，所以∠C ＝∠DEC ，所以DE ＝CD ，连结AD ，可得AD ⊥BC ，利用等腰三角形“三线合一”性质得BC ＝2CD ，即BC ＝2DE ．证明：连结AD ∵AB 是⊙O 直径 ∴AD ⊥BC∵AB ＝AC ∴BC ＝2CD ，∠B ＝∠C∵⊙O 内接四边形ABDE∴∠B ＝∠DEC (四点共圆的一个内角等于对角的外角)∴∠C ＝∠DEC ∴DE ＝DC∴BC ＝2DE例8 ⊙O 内两弦AB ，CD 的延长线相交于圆外一点E ，由E 引AD 的平行线与直线BC 交于F ，作切线FG ，G 为切点，求证：EF ＝FG ．【分析】由于FG 切圆O 于G ，则有FG 2＝FB ·FC ，因此，只要证明FE 2＝FB ·FC 成立即可．证明：∵在△BFE 与△EFC 中有∠BEF ＝∠A ＝∠C ，又 ∠BFE ＝∠EFC ，∴△BFE ∽△EFC ，FE FC FB FE ，∴FE 2＝FB ·FC ． 又∵FG 2＝FB ·FC ，∴FE 2＝FG 2，∴ FE ＝FG ．。

曹县博宇博雅中学初二数学导学案5.6.1几何证明举例主备：初二数学组审核：班级：姓名：学习目标：1．通过学习，进一步学会三角形全等的判定方法；2．利用三角形全等证明线段和角相等；学习重点难点：1．学会判定三角形全等的基本方法并能灵活应用；2．利用全等三角形的性质证明有关的问题；学习过程:一复习回顾1．判定三角形全等的基本事实有2．全等三角形的性质：全等三角形的二新知学习在前面我们已经学过的全等三角形的四个判定方法中，判定方法1、2、4都已经为基本事实，你能够自己证明判定方法3吗？已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，AB=A’B’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’求证：△ABC≌△A’B’C’证明：由此我们可以把全等三角形的判定方法3作为全等三角形的判定定理：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等典例剖析例题1：已知：如图AB=CB,BC=CD求证：∠B=∠D例题2 已知如图∠1=∠2，CD∥EF∥AB，AE=CE，求证：AB=CD四、巩固练习1 .已知,如图AB=CD，AD=BC，求证：∠A=∠C.2.如图:已知,AB∥CD,∠1=∠2，∠3=∠4.求证：BC=AB+CDD BC4321DCBA E五、挑战自我作出两个全等三角形，你发现它们对应角的平分线有什么性质?对应边上的中线，对应边上的高有什么性质？证明你的结论。

六、课堂小结这节课学习了哪些知识？你有什么收获？1、知识方面：2、方法总结：七、达标测试1．如图，已知，，下列条件中不能判定≌的是( )A． B． C． D．2．如图，中，于D，于E，AD交BE于点F，若，则等于A． B． C． D．3．如图，，，于E，于D，，，则DE的长是A． 8 B． 5 C． 3 D． 24．下列说法不正确的是A．有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等B．有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等C．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D．有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等5、如图，AB=AC，E为BC边上的中线AD上的任意一点，连接BE，CE①△ADB与△ADC全等吗？②如果∠1=∠2，那么∠3=∠4吗？6．如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠A=∠D，BF=EC，AB//DE ，若∠1=80°，求∠BFD的度数；7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，AD=BD，求证：BF=AC。

年级科目初二数学课题 5.6 几何证明举例（第1课时）教学目标1．证明并掌握“AAS”定理；会用“AAS”定理解决有关的问题。

（重点）2. 知道全等三角形的性质：对应角平分线相等，对应中线相等，对应高相等；并会证明这些结论。

3. 掌握几何证明题思路、及命题证明的一般步骤和规范书写格式。

（重、难点）4．增强合作意识，提高逻辑思维能力，养成良好的学习习惯。

重点难点1证明并掌握“AAS”定理；会用“AAS”定理解决有关的问题。

2掌握几何证明题思路、及命题证明的一般步骤和规范书写格式。

教学过程一、前置练习，积累知识（预习课本P175—P177）（1）全等三角形的性质：全等三角形的相等，相等。

（2）判定两个三角形全等的方法：、、、，其中、、都已作为基本事实。

（3）几何证明的过程一般包括三个步骤：，，。

知识点1 “AAS”定理：两角分别相等且其中一组等角的也相等的三角形全等。

知识点2 适当地添加辅助线：例1，通过添加辅助线构造两个三角形。

知识点3全等三角形的性质：对应角平分线，对应中线，对应高。

二、情境激趣，导入新课证明“AAS”定理：两角分别且其中一组等角的也相等的三角形全等。

问题：①这个命题的条件是，结论是。

②能根据题意画出题目中用到的图形吗？③能据图形和条件，把命题的条件用数学语言写成已知吗？把结论写成求证吗？④已知一边相等，再知道条件可以用SSS来说明；或可以知道条件可以用ASA来说明全等。

题目当中符合这两种判定方法吗？能根据题目已知两角对应相等，求出另外一个角相等，这样可以选择方法来证明。

能总结证明“命题问题”的题目的一般步骤吗？。

三、自主学习，合作探究1典例精析1：阅读课本例1，然后完成下列问题问题：图中有三角形吗? 有全等三角形吗?已知什么条件可推全等？已知：求证：证明：证明全等三角形对应边上的高相等，其他课下完成。

2针对性训练，1.两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（）A．两角和一边B．两边及夹角C．三个角D．三条边2.如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点E、F分别是BD、DC的中点，则图中全等三角形共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对3.已知：如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。

年级科目初二数学课题5.6 几何证明举例（1）主备人审核人总课时数教学目标1．证明并掌握“AAS”定理；会用“AAS”定理解决有关的问题。

（重点）2. 知道全等三角形的性质：对应角平分线相等，对应中线相等，对应高相等；并会证明这些结论。

3. 掌握几何证明题思路、及命题证明的一般步骤和规范书写格式。

（重、难点）4．增强合作意识，提高逻辑思维能力，养成良好的学习习惯。

重点难点1证明并掌握“AAS”定理；会用“AAS”定理解决有关的问题。

2掌握几何证明题思路、及命题证明的一般步骤和规范书写格式。

教学过程一、前置练习，积累知识（预习课本P175—P177）（1）全等三角形的性质：全等三角形的相等，相等。

（2）判定两个三角形全等的方法：、、、，其中、、都已作为基本事实。

（3）几何证明的过程一般包括三个步骤：，，。

知识点1 “AAS”定理：两角分别相等且其中一组等角的也相等的三角形全等。

知识点2 适当地添加辅助线：例1，通过添加辅助线构造两个三角形。

知识点3全等三角形的性质：对应角平分线，对应中线，对应高。

二、情境激趣，导入新课证明“AAS”定理：两角分别且其中一组等角的也相等的三角形全等。

问题：①这个命题的条件是，结论是。

②能根据题意画出题目中用到的图形吗？③能据图形和条件，把命题的条件用数学语言写成已知吗？把结论写成求证吗？④已知一边相等，再知道条件可以用SSS来说明；或可以知道条件可以用ASA来说明全等。

题目当中符合这两种判定方法吗？能根据题目已知两角对应相等，求出另外一个角相等，这样可以选择方法来证明。

能总结证明“命题问题”的题目的一般步骤吗？。

三、自主学习，合作探究1典例精析1：阅读课本例1，然后完成下列问题问题：图中有三角形吗? 有全等三角形吗?已知什么条件可推全等？已知：求证：证明：证明全等三角形对应边上的高相等，其他课下完成。

2针对性训练，1.两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（）A．两角和一边B．两边及夹角C．三个角D．三条边2.如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点E、F分别是BD、DC的中点，则图中全等三角形共有（）A．3对B．4对 C．5对 D．6对3.已知：如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。