2021年广东省中考数学总复习第6讲：分式(含答案解析)

专题六 方程与不等式的实际应用解决方程与不等式的实际应用题的一般步骤：①认真审题，理解题意，弄清题中的已知量、未知量以及它们之间的关系；②设未知数(合理地选择未知数是解题的关键)；③列方程(组)或不等式；④解方程(组)或不等式(注意：解分式方程时必须要有“验根”这一步)；⑤检验，对所求结果进行检验，看是否符合题意；⑥作答．解决方程与不等式的实际应用题时，首先要认真审题，从题中找出已知量与未知量之间的关系，然后根据题意列出关系式，进而解决相关问题．在解决问题的过程中要注意方程与不等式的解是否符合题意，涉及函数要检验自变量的取值范围，当题干中出现方案设计问题或最值问题时，往往需要根据题干中的已知条件和函数的增减性来解决方案设计或最值问题．中考重难点突破一次方程(组)的实际应用【例1】(2021·陕西中考)一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．【解析】设这种服装每件的标价是x 元，根据“这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等”列出方程，然后解方程即可求解．【解答】解：设这种服装每件的标价是x 元．根据题意，得10×0.8x ＝11(x －30).解得x ＝110.答：这种服装每件的标价为110元．1．现有一条长度为359 mm 的铜管料，把它锯成长度分别为39 mm 和29 mm 的两种不同规格的小铜管(要求没有余料)．每锯一次损耗1 mm 的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39 mm 的小铜管__6__段，29 mm 的小铜管__4__段．2．某中学组织七年级全体学生参加社会实践，若只调配45座客车若干辆，则有15人没有座位；若只调配30座客车，则用车数量将增加3辆，且空出15个座位．(1)该学校七年级总共有多少学生？(2)若同时调配45座和30座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？解：(1)设只调配45座客车x 辆，则该学校七年级共有学生(45x ＋15)人，只调配30座客车需要(x ＋3)辆．由题意，得30(x ＋3)－(45x ＋15)＝15.解得x ＝4.∴45x ＋15＝45×4＋15＝180＋15＝195.答：该学校七年级共有学生195人；(2)设需要调配45座客车m 辆，30座客车n 辆，由题意，得45m ＋30n ＝195.∴n ＝13－3m 2. 又∵m ，n 均为正整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝5 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2. 答：需调配45座客车1辆，30座客车5辆或调配45座客车3辆，30座客车2辆．分式方程的实际应用【例2】(2021·常州中考)为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20 t 水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？【解析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设该景点在设施改造后平均每天用水x t ，则在改造前平均每天用水2x t ，根据“20 t 水可以比原来多用5天”列出方程并解答．【解答】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x t ，则在改造前平均每天用水2x t.根据题意，得20x －202x＝5. 解得x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解，且符合题意．答：该景点在设施改造后平均每天用水2 t ．3．(2021·徐州中考)某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？解：设该商品打折前每件x 元，则打折后每件0.8x 元．根据题意，得400x ＋2＝4000.8x. 解得x ＝50.经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意．答：该商品打折前每件50元．方程与不等式的综合应用【例3】某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．(1)求每副围棋和象棋各是多少元？(2)若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？【解析】(1)设每副围棋x 元，则每副象棋(x －8)元，根据“420元购买象棋数量＝756元购买围棋数量”列出方程求解即可；(2)设购买围棋m 副，则购买象棋(40－m )副，根据题意列出不等式求解即可．【解答】解：(1)设每副围棋x 元，则每副象棋(x －8)元．根据题意，得420x －8＝756x .解得x ＝18. 经检验，x ＝18是原方程的解，且符合题意．∴x －8＝10.答：每副围棋18元，每副象棋10元；(2)设该校购买m 副围棋，则购买(40－m )副象棋．根据题意，得18m ＋10(40－m )≤600.解得m ≤25.∵m 为正整数，∴m 的最大值是25.答：该校最多可再购买25副围棋．4．(2021·玉林中考)某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电．有A ，B 两个焚烧炉，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100 t ，每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉比B 焚烧炉多发电50度，A ，B 焚烧炉每天共发电55 000度．(1)求焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉各发电多少度？(2)若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉的发电量分别增加a %和2a %，则A ，B 焚烧炉每天共发电至少增加(5＋a )%，求a 的最小值．解：(1)设焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电m 度，B 焚烧炉发电n 度．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝50，100（m ＋n ）＝55 000. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝300，n ＝250.答：焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电300度，B 发焚烧炉发电250度；(2)由题意，得改进工艺后每焚烧一吨垃圾A 焚烧炉发电300(1＋a %)度，则B 焚烧炉发电250(1＋2a %)度，由题意，得100×300(1＋a %)＋100×250(1＋2a %)≥55 000[1＋(5＋a )%].整理，得5a ≥55.解得a ≥11.∴a 的最小值为11.一元二次方程的实际应用【例4】(2021·烟台中考)直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折销售？【解析】(1)根据日利润＝每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的原利润，设售价应定为x 元，则每件的利润为(x －40)元，日销售量为20＋10（60－x ）5＝(140－2x )件，根据日利润＝每件利润×日销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；(2)设该商品需要打a 折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式求解即可．【解答】解：(1)设售价应定为x 元，则每件的利润为(x －40)元，日销售量为20＋10（60－x ）5＝(140－2x )件． 由题意，得(x －40)(140－2x )＝(60－40)×20.整理，得x 2－110x ＋3 000＝0.解得x 1＝50，x 2＝60(舍去).答：每件售价应定为50元；(2)设该商品需要打a 折销售．由题意，得62.5×a 10≤50. 解得a ≤8.答：该商品至少需打8折销售．5．列方程(组)解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600 m 2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图，茶园一面靠墙，墙长35 m ，另外三面用69 m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1 m 宽的门(不包括篱笆)．求这个茶园的长和宽．解：设茶园AB 边的长为x m ，则BC 边的长为(69＋1－2x ) m ．根据题意，得x (69＋1－2x )＝600.整理，得x 2－35x ＋300＝0.解得x 1＝15，x 2＝20.当x ＝15时，70－2x ＝40＞35，不符合题意，舍去；当x ＝20时，70－2x ＝30＜35，符合题意．答：这个茶园的长和宽分别为30 m ，20 m ．6．如图，某城建部门计划在新建的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为1 200 m 2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知整个长方形空地的长为50 m ，宽为40 m.(1)求四周通道的宽度；(2)某建筑公司希望用80万元的承包金额承揽这项工程，城建部门认为金额太高需要降价，经过两次协商，最终以51.2万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．解：(1)设四周通道的宽度为x m ，则停车场的长为(50－2x ) m ，宽为(40－2x ) m.由题意，得(50－2x )(40－2x )＝1 200.整理，得x 2－45x ＋200＝0.解得x 1＝5，x 2＝40.当x ＝5时，40－2x ＝40－2×5＝30，符合题意；当x ＝40时，40－2x ＝40－2×40＝－40＜0，不符合题意，舍去．答：四周通道的宽度为5 m ；(2)设每次降价的百分率为a .由题意，得80(1－a )2＝51.2.解得a 1＝0.2＝20%，a 2＝1.8(不合题意，舍去).答：每次降价的百分率为20%.中考专题过关1.(2021·吉林中考)港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55 km.其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4 km.求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．解：设港珠澳大桥隧道长度为x km ，桥梁长度为y km.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝55，y ＝9x －4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5.9，y ＝49.1. 答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1 km 和5.9 km.2．(2021·郴州中考)“七·一”建党节前夕，某校决定购买A ，B 两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A 奖品比B 奖品每件多25元，预算资金为1 700元，其中800元购买A 奖品，其余资金购买B 奖品，且购买B 奖品的数量是A 奖品的3倍．(1)求A ，B 奖品的单价；(2)购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A 奖品的资金不少于720元，A ，B 两种奖品共100件，求购买A ，B 两种奖品的数量，有哪几种方案？解：(1)设A 奖品的单价为x 元，则B 奖品的单价为(x －25)元．由题意，得800x ×3＝1 700－800x －25. 解得x ＝40.经检验，x ＝40是原方程的解，且符合题意．∴x －25＝15.答：A 奖品的单价为40元，B 奖品的单价为15元；(2)设购买A 奖品的数量为m 件，则购买B 奖品的数量为(100－m )件．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40×0.8×m ≥720，40×0.8×m ＋15×0.8×（100－m ）≤1 700. 解得22.5≤m ≤25.∵m 为正整数，∴m 的值为23，24，25.∴有三种方案：①购买A 奖品23件，B 奖品77件；②购买A 奖品24件，B 奖品76件；③购买A 奖品25件，B 奖品75件．3．(2021·朝阳中考)某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y (件)与每件售价x (元)之间符合一次函数关系，如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？(3)设商场销售这种商品每天获利w (元)，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0).由所给函数图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧25k ＋b ＝70，35k ＋b ＝50. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝120. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x ＋120(20≤x ≤38)；(2)根据题意，得(x －20)(－2x ＋120)＝600.整理，得x 2－80x ＋1 500＝0.解得x ＝30或x ＝50(不合题意，舍去).答：每件商品的售价应定为30元；(3)∵y ＝－2x ＋120，∴w ＝(x －20)y＝(x －20)(－2x ＋120)＝－2x 2＋160x －2 400＝－2(x －40)2＋800.∵－2<0，20≤x ≤38，∴当x ＝38时，w 最大＝792.∴当每件商品的售价定为38元时，每天销售利润最大，最大利润是792元．。

第6讲一元二次方程及其应用一、选择题1．(2020·临沂)一元二次方程x2－4x－8＝0的解是(B)A．x1＝－2＋2 3 ，x2＝－2－2 3B．x1＝2＋2 3 ，x2＝2－2 3C．x1＝2＋2 2 ，x2＝2－2 2D．x1＝2 3 ，x2＝－2 32．(2020·泰安)将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是(A)A．－4，21 B．－4，11C．4，21 D．－8，693．(2020·河南)定义运算：m☆n＝mn2－mn－1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7.则方程1☆x＝0的根的情况为(A)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根4．(2020·铜仁)已知m，n，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋2＝0的两个根，则k的值等于(B)A．7 B．7或6C．6或－7 D．65．(2020·鄂州)目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G 用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到3.92万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为(C)A.20% B．30% C．40% D．50%6．(2020·随州)将关于x的一元二次方程x2－px＋q＝0变形为x2＝px－q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x·x2＝x(px－q)＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2－x－1＝0，且x＞0，则x4－2x3＋3x的值为(C)A．1－ 5 B．3－ 5C．1＋ 5 D．3＋ 5二、填空题7．(2020·江西)若关于x的一元二次方程x2－kx－2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为__－2__．8．(2020·荆门)已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0(m＞0)的一个根比另一个根大2，则m的值为__1__．9．(2020·邵阳)中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为__x(x＋12)＝864__．10．(2020·山西)如图是一张长12 cm ，宽10 cm 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm 2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为__2__ cm .三、解答题11．(2020·无锡)解方程：x 2＋x －1＝0.解：x 1＝－1＋52 ，x 2＝－1－52.12．关于x 的方程x 2－2x ＋2m －1＝0有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．解：∵关于x 的方程x 2－2x ＋2m －1＝0有实数根，∴b 2－4ac ＝4－4(2m －1)≥0，解得：m ≤1，∵m 为正整数，∴m ＝1，∴x 2－2x ＋1＝0，则(x －1)2＝0，解得：x 1＝x 2＝1.13．(2020·上海)去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%.(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8，9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8，9月份营业额的月增长率．解：(1)450＋450×12%＝504(万元).答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．(2)设该商店去年8，9月份营业额的月增长率为x ，依题意，得：350(1＋x)2＝504， 解得：x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去).答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%.14．(丽水一模)新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．(1)已知矩形ABCD 的长12、宽2，矩形EFGH 的长4、宽3，试说明矩形EFGH 是矩形ABCD 的“减半”矩形．(2)矩形的长和宽分别为2，1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由．解：(1)矩形EFGH 的周长为14，面积为12，矩形ABCD 的周长为28，面积为24，所以矩形EFGH 是矩形ABCD 的“减半”矩形；(2)不存在．理由如下：假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x ，y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝32，xy ＝1，可得x 2－32 x ＋1＝0，Δ＝b 2－4ac ＝94 －4＝－74 ＜0，所以不存在．15．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段AB 于点D ；以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD.(1)若∠A ＝28°，求∠ACD 的度数．(2)设BC ＝a ，AC ＝b.①线段AD 的长是方程x 2＋2ax －b 2＝0的一个根吗？说明理由．②若AD ＝EC ，求a b的值．解：(1)∵∠ACB ＝90°，∠A ＝28°，∴∠B ＝62°，∵BD ＝BC ，∴∠BCD ＝∠BDC ＝59°，∴∠ACD ＝90°－∠BCD ＝31°；(2)①由勾股定理得，AB ＝AC 2＋BC 2 ＝a 2＋b 2 ，∴AD ＝a 2＋b 2 －a ，解方程x 2＋2ax －b 2＝0得，x ＝－2a±4a 2＋4b 22＝±a 2＋b 2 －a ，∴线段AD 的长是方程x 2＋2ax －b 2＝0的一个根；②∵AD ＝AE ，∴AE ＝EC ＝b 2 ，由勾股定理得，a 2＋b 2＝(12 b ＋a)2，整理得，a b ＝34.。

一、选择题1．将0.00086用科学记数法表示为( ) A ．8.6×104 B ．8.60×104 C ．8.6×10-4 D ．8.6×10-6 2．若x 2-6xy +9y 2=0，那么x yx y-+的值为（ ）A ．12yB ．12y-C ．12D ．12-3．已知02125,,0.2532a b c --⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a4．下列计算正确的有（）． ①0(1)1-= ②21333-⨯= ③()()33m m x x -=- ④2211224x x x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ ⑤22(3)(3)9a b b a a b ---=-A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 5．蜜蜂建造的蜂巢坚固省料,其厚度约为0.000073米,0.000073用科学计数法表示为A ．40.7310-⨯B ．47.310-⨯C ．57.310-⨯D ．67.310-⨯6．已知：a ，b ，c 三个数满足，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．7．已知x 2－4xy ＋4y 2＝0，则分式x yx y-+的值为（ ） A ．13-B ．13C ．13yD ．y 31-8．将分式2x x y+中的x 、y 都扩大2倍，则分式值( )A ．扩大为原来的2倍B ．缩小为原来的2倍C ．保持不变D ．无法确定9．如果把分式2x y zxyz-+中的正数x ，y ，z 都扩大2倍，则分式的值( ) A ．不变B ．扩大为原来的两倍C ．缩小为原来的14D ．缩小为原来的1810．下列分式运算中，正确的是（ ）A ．111x y x y+=+B ．x a ax b b+=+ C ．22x y x y x y -=+- D ．.a c adb d bc= 11．下列变形中，正确的是（ ）A ．2211x xy y-=-B ．22m mn n=C ．2()a b a ba b-=-- D ．2233x x +=+ 12．化简a b a b b a+--22的结果是（ ） A ．1B ．+a bC ．-a bD ．22a b -13．下列命题中：①已知两实数a 、b ，如果a ＞b ，那么a 2＞b 2；②同位角相等，两直线平行；③如果两个角是直角，那么这两个角相等；④如果分式332x x -+无意义，那么x ＝﹣23；这些命题及其逆命题都是真命题的是（ ） A ．①② B ．③④C ．①③D ．②④14．下列各式：2a b -，3x x +，13，a b a b +-，1()x y m-中，是分式的共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．若a=20180，b=2016×2018-20172，c=（23-）2016×（32）2017，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a<b<c B ．a<c<b C ．b<a<c D ．c<b<a16．小明家到学校m 千米，若步行从家到学校，需要t 小时；若骑自行车，所用时间比步行少用20分钟，则骑自行车的比步行的速度快了（ ）A ．3(1)m t t -千米/时B ．(31)m t t - 千米/时 C ．(31)mt t-+ 千米/时 D ．13mt - 千米/时 17．若20.3a =-，23b -=-，021(3)3c d -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，，则（ ） A ．a b c d <<<B ．b a d c <<<C ．a d c b <<<D ．c a d b <<<18．若分式242x x --的值为0，则x 等于( )A ．±2 B ．±4 C ．-2D ．219．世界上最小的开花结果植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将0.000000076用科学记数法表示为（ ） A ．87.610⨯ B ．77.610-⨯C ．87.610-⨯D ．97.610-⨯20．若115a b =，则a ba b-+的值是（ ）A．25B．38C．35D．11521．化简21211a aa a----的结果为（）A．11aa+-B．a﹣1C．a D．122．若x取整数，则使分式6321xx+-的值为整数的x值有（）A．3个B．4个C．6个D．8个23．若把分式32aba b+中的a、b都缩小为原来的13，则分式的值（）A．缩小为原来的13B．扩大为原来的6倍C．缩小为原来的19D．不变24．下列分式中，属于最简分式的是（）A．42xB．11xx--C．211xx+-D．224xx-25．若把分式3xyx y-（,x y均不为0）中的x和y都扩大3倍，则原分式的值是（）A．扩大3倍B．缩小至原来的13C．不变D．缩小至原来的16【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将8600用科学记数法表示为：8.6×10-4．故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2．C解析：C 【解析】 【分析】根据完全平方公式求出x 与y 的关系，代入计算即可． 【详解】 x 2-6xy+9y 2=0， （x-3y ）2=0， ∴x=3y ， 则x y x y -+=3132y y y y -=+， 故选：C ． 【点睛】本题考查的是求分式的值，掌握完全平方公式、分式的计算是解题的关键．3．C解析：C 【解析】 【分析】根据负整数指数幂和零指数幂法则计算，比较即可. 【详解】2129==10.25=4342a b c --⎛⎛⎫=-== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，，， ∵4＞94＞1， ∴c ＞a ＞b ． 故选C ． 【点睛】此题考查了负整数指数幂和零指数幂的运算，掌握其运算法则是解答此题的关键.4．C解析：C 【解析】 【分析】直接利用整数指数幂的法则和乘法公式分别计算得出答案． 【详解】解：①0(1)1-=，故①正确；②211333=93-⨯=⨯，故②正确； ③当m 是偶数时，()()333=mm mx x x -=，故③错误；④221124x x x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，故④错误；⑤22(3)(3)9a b b a b a ----=，故⑤错误. 正确的有①②，共2个. 故选C 【点睛】本题考查了整数指数幂的运算法则和乘法公式，熟练掌握幂的各种性质和法则，乘法公式是解题的基础.5．C解析：C 【解析】 【分析】数学术语，a×10的n 次幂的形式.将一个数字表示成（a×10的n 次幂的形式），其中1≤|a|<10，n 表示整数，这种记数方法叫科学记数法。

第06讲 分式方程目 录一、考情分析 二、知识建构考点一 解分式方程题型01 判断分式方程 题型02 分式方程的一般解法 题型03 分式方程的特殊解法 类型一 分组通分法 类型二 分离分式法 类型三 列项相消法 类型四 消元法题型04 错看或错解分式方程问题 题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值题型07 根据分式方程有解或无解求参数题型08 已知分式方程有增根求参数 题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二 分式方程的应用题型01 列分式方程题型02 利用分式方程解决实际问题 类型一 行程问题 类型二 工程问题 类型三 和差倍分问题 类型四 销售利润问题考点一解分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.1.分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.题型01 判断分式方程题型02 分式方程的一般解法解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解.题型03 分式方程的特殊解法类型一分组通分法方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.类型二分离分式法方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解类型三列项相消法方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“1n(n+1)=1n−1n+1”化积为差，裂项相消，简化难度.类型四消元法方法简介：当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同时,可考虑用换元法.题型04 错看或错解分式方程问题+1，其中x=先化简，再求值：3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)解：原式=3−xx−4=3−x+x−4=−1题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.题型07 根据分式方程有解或无解求参数已知分式方程的解确定字母参数，首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零.题型08 已知分式方程有增根求参数依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：1)先将分式方程转化为整式方程;2)由题意求出增根;3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二分式方程的应用用分式方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解方程;验：考虑求出的解是否具有实际意义;+1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.2）检验所求的解是否符合实际意义.答：实际问题的答案.与分式方程有关应用题的常见类型：题型01 列分式方程【例1】（2022·云南·中考真题）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该A．1.4−x=8 1.4+x=8 1.4−2x=8 1.4+2x=8题型02 利用分式方程解决实际问题类型一行程问题【例2】（2022·四川自贡·统考中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【变式2-1】（2023青岛市一模）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？类型二工程问题【例3】（2023重庆市模拟预测）为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，已知甲队每天修路的长度是乙队的1.5倍，如果两队各自修建快线600m，甲队比乙队少用4天．(1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少米？(2)现计划再修建长度为3000m的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为1万元，乙队每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？【变式3-1】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）重庆市潼南区是中国西部绿色菜都，为全市人民提供了新鲜多样的蔬菜．今年，区政府着力打造一个新的蔬菜基地，计划修建灌溉水渠1920米，由甲、乙两，而乙施工队单独修建这个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度是甲施工队每天修建的长度的43项工程需要的天数比甲施工队单独修建这项工程需要的天数少4天．(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？(2)若甲施工队每天的修建费用为13万元，乙施工队每天的修建费用为15万元，实际修建时先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12天完成修建任务，求共需修建费用多少万元？类型三和差倍分问题【例4】（2022·广东深圳·深圳中学校考一模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．(1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个？(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？【变式4-1】（2022·河南·统考中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需倍，用300元在市场上要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的54购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．【变式4-2】（2021·山东济南·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【变式4-3】（2022·山东烟台·统考中考真题）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？类型四销售利润问题【例5】（2023梁山县三模）某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？【变式5-1】（2023银川市二模）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？。

2020年数学中考复习每日一练第六讲《分式》一．选择题1．下列各式：，其中分式的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．若ab＝﹣4，其中a＞b，以下分式中一定比大的是（）A．B．C．D．3．中国首列商用磁浮列车平均速度为akm/h，计划提速20km/h，已知从A地到B地路程为360km，那么提速后从甲地到乙地节约的时间表示为（）A．B．C．D．4．若分式有意义，则a满足的条件是（）A．a≠2或﹣2 B．a≠2 C．a≠﹣2 D．a＝25．下列各式不正确的是（）A．B．C．D．6．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）A．扩大3倍B．不变C．缩小到原来的D．扩大9倍7．已知a2+b2＝6a b，且ab≠0，则的值为（）A．2 B．4 C．6 D．88．若，则的值为（）A．4 B．5 C．6 D．79．一列火车长m米，以每秒v米的速度通过一个长为n米的隧道，用式子表示它刚好从开始进隧道口到全部通过隧道所需的时间为（）秒．A．B．C．D．10．已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（）A．12 B．14 C．D．9二．填空题11．若分式的值为0，则x的值为．12．已知x2+5x+1＝0，那么x2+＝．13．如果分式的值大于0，那么m的取值范围是．14．若，且，则的值是．15．化简：＝．16．若x2﹣3x+1＝0，则的值为．17．观察以下等式：（﹣1）×＝（﹣1）+，（﹣2）×＝（﹣2）+，（﹣3）×＝（﹣3）+，（﹣4）×＝（﹣4）+，（1）依此规律进行下去，第5个等式为，猜想第n个等式为（n为正整数）；（2）请利用分式的运算证明你的猜想．三．解答题18．计算：（1）（﹣m﹣2）•（2）（﹣）2÷（﹣）19．先化简，再求值：（m+）÷（m﹣2+），其中m＝2．20．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：＝＝2+．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像，，…这样的分式是假分式；像，，…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式．例如：将分式拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式．方法一：解：由分母为x+3，可设x2+2x﹣5＝（x+3）（x+a）+b则由x2+2x﹣5＝（x+3）（x+a）+b＝x2+ax+3x+3a+b＝x2+（a+3）x+（3a+b）对于任意x，上述等式均成立，∴，解得∴＝＝﹣＝x﹣1﹣这样，分式就被拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式．方法二：解：这样，分式就拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式．（1）请仿照上面的方法，选择其中一种方法将分式拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式；（2）已知整数x使分式的值为整数，求出满足条件的所有整数x的值．21．老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用“黑板擦”遮住原代数式的一部分，如图：﹣）÷＝．（1）求被“黑板擦”遮住部分的代数式，并将其化简；（2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由．22．请阅读下列材料：我们知道，分式类比分数，分数中有真分数、假分数、带分数、类似的，在分式中，也规定真分式、假分式、带分式；在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是假分式，一个假分式可以化为带分式，即化为一个整式与一个真分式的和，例如，．（注意带分式中整式与真分式之间的符号不能省略）请根据以上方法，解决下列问题；（1）请根据以上信息，任写一个真分式．（2）已知：M＝，N＝；①当y＝+N时，若x与y都为正整数，求x的值；②计算M+N，设y＝，探索y是否有最小值，若有，请求出y的值；若没有，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：，是分式，共2个，故选：B．2．解：A、＝，故此选项不合题意；B、﹣＝，故此选项不合题意；C、﹣﹣＝﹣，∵，∴﹣＜，故此选项不合题意；D、，故此选项符合题意；故选：D．3．解：由题意可得：﹣＝．故选：A．4．解：由题意得：a﹣2≠0，解得：a≠2，故选：B．5．解：A、＝（b≠0），所以A选项的计算错误；B、原式＝＝，所以B选项的计算正确；C、＝，所以C选项的计算正确；D、＝，所以D选项的计算正确．故选：A．6．解：x和y都扩大3倍，＝＝＝3×，∴原分式扩大3倍，故选：A．7．解：∵a2+b2＝6ab，∴＝＝＝8．故选：D．8．解：∵（x+）2＝9，∴x2++2＝9，故x2+＝7，∴（x﹣）2＝x2+﹣2＝5．故选：B．9．解：它刚好从开始进隧道口到全部通过隧道所行驶的路程为（m+n）米，故所需的时间为，故选：B．10．解：∵＝11，∴1++1++1+＝14，即++＝14，∴++＝，而++＝，∴＝，∴x+y+z＝12．故选：A．二．填空题11．解：∵＝0，∴，解得x＝0．故答案为：0．12．解：∵x2+5x+1＝0，∴x+＝﹣5，则原式＝（x+）2﹣2＝25﹣2＝23，故答案为：2313．解：∵分式的值大于0，∴m﹣2＜0，解得：m＜2；故答案为：m＜2．14．解：由己知，得：＝，故（a+2b）（a﹣b）＝ab，∴a2﹣2b2＝0，∵a＞b＞0，∴a＝b，∴．故答案为：．15．解：原式＝＝．故答案为：．16．解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，x2+1＝3x，x+＝3，∴原式＝2（x2﹣3x）+x﹣2+＝﹣2+x﹣2+＝3﹣4＝﹣1．故答案为：﹣1．17．解：（1）根据题意得：第5个等式为（﹣5）×＝（﹣5）+，第n个等式为（﹣n）•＝（﹣n）+；故答案为：（﹣5）×＝（﹣5）+；（﹣n）•＝（﹣n）+；（2）左边＝﹣，右边＝＝＝﹣，则左边＝右边，即（﹣n）•＝（﹣n）+．三．解答题18．解：（1）原式＝（﹣），＝•，＝，＝6+2m；（2）原式＝（）2÷，＝，＝．19．解：原式＝÷＝×＝×当m＝2时，原式＝＝3．20．解：（1）＝＝x﹣1﹣5﹣＝x﹣6﹣；（2）＝＝2（x+2）+1﹣＝2x+5﹣，∵x是整数，式子的值是整数，∴是整数，∴x＝﹣1或x＝﹣3或x＝1或x＝﹣5或x＝5或x＝﹣9或x＝19或x＝﹣23．21．解：（1）由题意得：+，＝﹣，＝；（2）不能，假设能，则＝﹣1，x+2＝﹣（x﹣2），x+2＝﹣x+2，x＝0，当x＝0时，分式＝0，除数为零无意义，则原代数式的值不能等于﹣1．22．解：（1）为真分式；故答案为；（2）①y＝+N＝+＝＝2+，∵x与y都为正整数，∴x﹣1＝1或2或3或6，∴x＝2或3或4或7；②y有最小值．理由如下：∵M+N＝+＝＝＝＝∴y＝＝＝1﹣，∵x2≥0，∴x2+3≥3，∴的最大值为，∴y的最小值为1﹣＝，。

专题06：分式-2021年广东地区中考数学真题与模拟试题精选汇编一、单选题1．（2021·广州市第十六中学九年级二模）下列计算正确的是（ ） A ．()22239pq p q -=- B ．22a ab b-=-C 0=D ．933b b b ÷=【答案】C【解析】A 、根据积的乘方运算法则判断；B 、根据分式的基本性质判断；C 、根据二次根式的性质判断；D 、根据同底数幂的除法法则判断．【解答】解：A 、222(3)9pq p q -=，故本选项不合题意；B 、当a b 时，22a ab b-≠-，故本选项不合题意；C 、由题意可得0a =0=，故本选项符合题意；D 、936b b b ÷=，故本选项不合题意； 故选：C ．【点评】本题考查了积的乘方，分式的基本性质，二次根式的性质以及同底数幂的除法，掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键．2．（2021·广东惠州市·x 应满足的条件是（ ）A ．2x ≥B ．2x >C ．2x ≠D ．2x -≤【答案】B【解析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：20x ->，2x ∴>，故选：B ．【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 3．（2021·广东惠州市·）随着科技不断发展，芯片的集成度越来越高，我国企业中芯国际已经实现14纳米量产，14纳米0000014=.毫米，0.000014用科学记数法表示为（ ） A ．-61410⨯ B ．-51.410⨯C ．-71.410⨯D ．-40.1410⨯【答案】B【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：将0.000014用科学记数法表示为51.410-⨯． 故选：B ．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中1||10a <，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．（2021·广东华侨中学九年级二模）下列分式中，最简分式是（ ）A ．211x x +-B ．2211x x -+C ．2222x xy y x xy-+- D ．21628x x -+【答案】B【解析】根据最简分式的定义逐项判断即可得． 【解答】A 、21111(1)(1)1x x x x x x ++==-+--，此项不是最简分式，不符题意； B 、2211x x -+是最简分式，符合题意；C 、22222()()x xy y x y x yx xy x x y x-+--==--，此项不是最简分式，不符题意；D 、216(4)(4)4282(4)2x x x x x x -+--==++，此项不是最简分式，不符题意；故选：B ．【点评】本题考查了最简分式，熟记定义是解题关键． 5．（2021·广东肇庆市·九年级一模）分式22x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ．2x <C ．2x =D ．2x ≠【答案】D【解析】根据分式分母不为零，计算即可【解答】解：根据分式有意义的条件为分母不为零得：20x -≠∴2x ≠ 故选:D【点评】本题考查分时有意义的条件，正确理解分式的定义是关键 6．（2021·广东深圳市·九年级一模）下列运算正确的是（ ）A ．（﹣2a 2b ﹣1）2＝424a bB ．（a ＋b ）2＝a 2＋b 2C 2D ．222a a b -＋222b b a-＝2a b - 【答案】A【解析】直接利用积的乘方运算法则以及完全平方公式、二次根式的加减、分式的加减运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A 、（﹣2a 2b ﹣1）2＝424a b，故此选项正确；B 、（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，故此选项错误；C D 、222222a b a b b a +--＝222a a b -﹣222ba b -＝2a b+，故此选项错误； 故选：A ．【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及完全平方公式、二次根式的加减、分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．7．（2021·广东广州市·九年级一模）若分式2545x x x ---的值为0，则x 的值为（ ） A ．-5 B ．5C ．-5和5D ．无法确定【答案】A【解析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0列方程或不等式即可． 【解答】解：∵分式2545x x x ---的值为0， ∴5x -=0且245x x --≠0， 解方程得，5x =±； 解不等式得，1,5x x ≠-≠； 故5x =-， 故选：A ．【点评】本题考查了分式值为0和解一元二次方程，解题关键是根据已知列出方程和不等式，准确求解． 8．（2021·广东惠州市·九年级二模）某种冠状病毒的直径120纳米，1纳米910-=米，则这种冠状病毒的直径（单位是米）用科学记数法表示为（ ） A ．912010-⨯米 B ．81.210-⨯米C ．71.210-⨯米D ．61.210-⨯米【答案】C【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】120纳米=120×10-9米=1.2×10-7米，故选：C ．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9．（2021·广东广州市·西关外国语学校九年级一模）一次抽奖活动特等奖的中奖率为150000,把150000用科学记数法表示为（ ） A ．4510⨯﹣ B ．5510⨯﹣ C ．4210⨯﹣ D ．5210⨯﹣【答案】D【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】150000=0.00002=2×10﹣5．故选D ．【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10﹣n ，其中1≤|a |＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．10．（2021·广东广州市·九年级一模）下列运算正确的是（ ） A ．222()a b a b +=+ B ．55a a -= C ．2122a a a+=-- D ．2363(2)6a b a b -=-【答案】C【解析】根据完全平方公式判断A ；根据合并同类项的法则判断B ；根据分式的加法运算法则判断C ；根据幂的乘方与积的乘方法则判断D ．【解答】A 、222()2a b a ab b +=++，故错误；B 、54a a a -=，故错误；C 、2212222a a a a a a +=-=----，正确； D 、()326328a ba b -=-，故错误.【点评】此题主要考查了整式和分式的运算等知识，正确运用运算法则是解题关键．二、填空题11．（2021·广东汕头市·九年级一模）新型冠状病毒也叫2019-nCOV ，该病毒比细胞小得多，大小约为150nm （纳米），即为0.00000015米，约为一根头发丝直径的千分之一，数据0.00000015米用科学记数法表示为______米．【答案】1.5×10-7 【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.00000015=1.5×10-7， 故答案为：1.5×10-7． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10-n ，其中1≤|a |＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 12．（2021·广东东莞市·九年级其他模拟）分式261x x -+有意义的条件是________． 【答案】1x ≠-【解析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：要使分式261x x -+有意义，必须x +1≠0， 解得，x ≠﹣1， 故答案是：x ≠﹣1．【点评】此题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是熟知分式的分母不为0． 13．（2021·有意义，则x 的取值范围是______．【答案】3x ＜．【解析】直接根据二次根式有意义的条件为根号下的数大于等于0，分式有意义的条件为分母不为0；有意义，则30x -＞ ， ∴ 3x ＜ ， 故答案为：3x ＜．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，正确掌握知识点是解题的关键 ． 14．（2021·广东广州市·九年级一模）已知xx 可取__________（只需填满足条件的一个自然数）． 【答案】1（答案不唯一）【解析】根据分式的分母不能为0、二次根式的定义即可得． 【解答】解：由题意得：40x ->， 解得4x <，x 为自然数，x 可取1，故答案为：1（答案不唯一）．【点评】本题考查了分式的分母不能为0、二次根式，熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解题关键．15．（2021·广东东莞市·九年级一模）计算：20210+1213-⎛⎫- ⎪⎝⎭＝_____．【答案】﹣2．【解析】利用零指数幂、负指数幂及乘方的运算法则进行计算即可． 【解答】原式＝1+3﹣6＝﹣2． 故答案为：﹣2．【点评】本题考查了实数的相关运算，解题关键是熟练运用零指数幂、负指数幂及乘方的运算法则． 16．（2021·广东肇庆市·九年级一模）011(2021)()2π---=_____________．【答案】-1；【解析】根据零指数幂和负整数指数幂的意义计算即可． 【解答】原式121=-=-． 故答案为：1-．【点评】本题考查了零指数幂和负整数指数幂，关键是掌握零指数幂和负整数指数幂的意义． 17．（2021·广东汕头市·π﹣3）0＝_____． 【答案】5【解析】首先计算二次根式的乘法、零指数幂，再计算减法即可解答．﹣（π﹣3）0 ＝6﹣1 ＝5． 故答案为：5．【点评】本题考查了二次根式的乘法及零指数幂的性质，解题的关键是熟练运用所学知识．18．（2021·广东九年级一模）当x ＝_____时，分式293x x -+的值为零．【答案】3【解析】分式的值为零的条件：分子为0，分母不为0，据此即可求出x 的值．【解答】∵分式293x x -+的值为零，∴x 2-9=0，且x+3≠0， 解得：x=3， 故答案为：3【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．19．（2021·广东深圳市·九年级其他模拟）若代数式14x -有意义，则实数x 的取值范围是____. 【答案】4x ≠【解析】根据分式有意义的条件，分母不能等于0，列不等式求解即可. 【解答】因为分式有意义的条件是分母不能等于0, 所以40x -≠， 所以4x ≠. 故答案为: 4x ≠.【点评】本题主要考查分式有意义的条件,解决本题的关键是要熟练掌握分式有意义的条件.20．（2021·内蒙古赤峰市·中考真题）在函数21y x =-中，自变量x 的取值范围是_____． 【答案】x≥－1且x≠12【解析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意得：x 10{2x 10，+≥-≠ 解得：x≥-1且x≠12故答案为：x≥－1且x≠12． 【点评】本题考查函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．三、解答题21．（2021·广东中考真题）已知m n A n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）化简A ；（2）若0m n +-=，求A 的值．【答案】（1)m n +；（2）6．【解析】（1）先通分合并后，因式分解，然后约分化简即可；（2）先把式子移项求m n +=，然后整体代入，进行二次根式乘法运算即可．【解答】解：（1）()())22m n m n m n A m n mn nm mn +-⎛⎫=-==+ ⎪⎝⎭；（2）∵0m n +-=，∴m n +=∴)A m n =+．【点评】本题考查分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算，掌握分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算是解题关键．22．（2021·广东梅州市·九年级二模）先化简，再求值：22111211x x x x x x -+÷+-+-，其中1x =．【答案】11x x +-，1 【解析】先根据分式运算法则进行化简，再代入求值即可． 【解答】解：原式()()()2111111x x x x x x +-=⋅++-- 111x x x =+-- 11x x +=-将1x =+代入上式得原式==1=． 【点评】本题考查了分式化简求值和二次根式计算，解题关键是熟练运用相关法则进行准确计算．23．（2021·广东广州市·九年级二模）已知直线3y =-与x 轴的交点横坐标为m ，求214242m m m m ⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭的值．【解析】令解析式中的0y =，求出x 的值，则m 的值确定，再化简原式，最后代入m 的值，结论可求．【解答】解：令0y =30-=．解得：x =33y x =-与x 轴的交点横坐标为m ，m x ∴==原式1422(2)(2)m m m m m ⎡⎤-=+⨯⎢⎥++-⎣⎦242(2)(2)m m m m m-+-=⨯+-1m=． 把m =代入得：原式==． 【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点,因式分解,分式的化简求值,熟练求函数与坐标轴的交点,合理进行因式分解,分式的化简是解题的关键．24．（2021·广东广州市第二中学九年级二模）已知关于x 的方程220x x a -+=有两个不相等的实数根，请化简2111a a a++--【答案】2【解析】先根据220x x a -+= 有两个不相等的实数根可知△＞0，即可得出a 的取值范围；然后再将原式化简求值即可；【解答】∵220x x a -+=有两个不相等的实数根， ∴ 2=4440b ac a ∆-=-＞ ， ∴ 1a ＜ ，原式=211a a--=1a ++()=11a a ++-=2∴ 原式=2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式以及分式和二次根式的化简求值，正确掌握运算方法是解题的关键．25．（2021·广东肇庆市·九年级一模）先化简，再求值：211111a a a a -⎛⎫-⋅ ⎪-+⎝⎭，其中a =【答案】2a【解析】根据分式的混合运算顺序，先算括号里的减法，再算乘法，化简即可，把a 的值代入化简后的式子中计算可求得结果的值．【解答】211111a a a a -⎛⎫-⋅ ⎪-+⎝⎭ 22211a a a -=⋅- 2a=当a ===【点评】本题是分式的化简求值题，考查了分式的混合运算及实数的运算，注意运算顺序不能出错，本题也可用乘法的分配律计算．26．（2021·广东佛山市·九年级一模）先化简，再求值：224442x xx x x --+++，其中2x =．【答案】22x -+，． 【解析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x 的值代入原式即可求出答案． 【解答】原式()()()2222222222x x x x x x x x x x +--=-=-=-+++++当2x =时，原式===．【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．27．（2021·广东佛山市·九年级二模）先化简，后求值：2111224x x x x +⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭，其中2x =．【答案】21xx +，-【解析】利用通分和约分，进行化简，再代入求值，即可求解． 【解答】解：原式=222221444x x x x x x +-+⎛⎫+÷ ⎪---⎝⎭ =222144x x x x +÷-- =222441x x x x -⋅-+ =21xx +，当2x=时，原式() 4141==-．【点评】本题主要考查分式化简求值，二次根式的化简，熟练掌握通分和约分，分母有理化，是解题的关键．28．（2021·广东惠州市·九年级三模）先化简，再求值．2211121a aa a a，其中1a=+【答案】11a--；2-．【解析】根据分式的运算法则进行化简，然后将1a=代入原式即可求出答案．【解答】解：原式2111111a aa aa a a211111a a aa a a211111aa aa a a211111aa aa11a=--．当1a=时，原式2===-．【点评】本题考查分式的化简求值，熟悉相关运算法则是解题的关键．29．（2021·广东深圳市·九年级二模）计算：02114sin60320213-⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭︒【答案】13【解析】先分别化简锐角三角函数，绝对值，零指数幂和负整数指数幂，然后再计算．【解答】解：02114sin60320213-⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭︒=43192-+⨯-+=()4319-++=4192⨯-++=19++=13．【点评】本题考查锐角三角函数，绝对值，零指数幂和负整数指数幂，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．30．（2021·广东广州市·九年级一模）已知()2211202a ab b H a b b a ab -+⎛⎫=-÷≠≠ ⎪⎝⎭． （1）化简H ；（2）若点(),P a b 在直线2y x =-上，求H 的值．【答案】（1）2H a b=-；（2）1H =． 【解析】（1）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子；（2）根据点P （a ，b ）在直线y ＝x ﹣2上，可以得到a ﹣b 的值，然后代入（1）中化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（1）H 221122a ab b b a ab -+⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭ 22()a b ab ab a b -=⋅- 2a b=-； （2）∵点P （a ，b ）在直线y ＝x ﹣2上，∴b ＝a ﹣2，∴a ﹣b ＝2，当a ﹣b ＝2时，原式22==1， 即H 的值是1．【点评】本题考查分式的化简求值和一次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．。

2021年广东省中考数学总复习第6讲：分式一．选择题（共10小题）1．（2019•深圳）定义一种新运算∫ a b n •x n ﹣1dx ＝a n ﹣b n ，例如∫ k n 2xdx ＝k 2﹣n 2，若∫ m5m −x ﹣2dx＝﹣2，则m ＝（ ） A ．﹣2B ．−25C ．2D ．252．（2018•广州）下列计算正确的是（ ） A ．（a +b ）2＝a 2+b 2 B ．a 2+2a 2＝3a 4 C ．x 2y ÷1y=x 2（y ≠0） D ．（﹣2x 2）3＝﹣8x 63．（2020•白云区二模）下列计算中，正确的是（ ） A ．（−110）﹣2＝100 B ．﹣10﹣3=11000C ．15=125D ．2a ﹣3=12a 3（a ≠0） 4．（2020•禅城区二模）2020﹣1的相反数是（ ）A ．﹣2020B ．−12020C ．12020D ．20205．（2020•从化区一模）下列运算错误的是（ ） A ．a 2+a 2＝a 4B ．a 4÷a ＝a 3C ．a−b b−a=−1 D ．1c+2c=3c6．（2020•顺德区四模）分式6x −9有意义的条件是（ ）A ．x ≠3B ．x ≠9C ．x ≠±3D ．x ≠﹣37．（2020•濠江区一模）如图的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④8．（2020•天河区模拟）计算（x 3y 2）2•x y ，得到的结果是（ ）A ．xyB ．x 7 y 4C ．x 7 yD ．x 5 y 69．（2020•新丰县模拟）若x 、y 为实数，且满足（x +3）2+√y −3=0，则（x y）2020的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．无法确定10．（2020•东莞市校级一模）若式子14+2x有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≥−12B ．x ≥﹣2C ．x ≠﹣2D ．x ≠−12二．填空题（共14小题）11．（2019•广东）计算：20190+（13）﹣1＝ ．12．（2020•博罗县一模）计算：（﹣1）0+|﹣2|＝ ． 13．（2020•斗门区一模）计算：2x−4+6−x 4−x= ．14．（2020•白云区二模）计算：（﹣1）2020﹣（π﹣3.14）0的结果为 ． 15．（2020•高要区一模）根据1n(n+1)=1n−1n+1，计算：11×2+12×3+13×4+⋯+12019×2020= ．16．（2020•广东模拟）计算：2﹣1﹣（2020﹣π）0＝ ． 17．（2020•番禺区模拟）若m +n =√3，则代数式（2m+n m −mn+1m）•（m 2﹣n 2）的值为 ．18．（2020•海丰县一模）(12)−1−(π−2020)0= ． 19．（2020•南山区校级一模）若分式4−x 2x+2的值为0，则x 的值为 ．20．（2020•广东模拟）计算：（﹣3）2+（﹣4）0＝ ． 21．（2020•白云区模拟）当x ＝ 时，分式x−2x+3的值为0．22．（2020•龙岗区校级模拟）已知代数式x 2−x−2x −1=0，则x ＝ ．23．（2020•潮州模拟）当x 时，分式1x−2有意义．24．（2020•英德市一模）使分式1x−4有意义的x 的取值范围是 ．三．解答题（共26小题）25．（2020•深圳）先化简，再求值：a+1a −2a+1÷（2+3−aa−1），其中a ＝2． 26．（2019•深圳）先化简（1−3x+2）÷x−1x 2+4x+4，再将x ＝﹣1代入求值．27．（2019•广东）先化简，再求值：（xx−2−1x−2）÷x 2−xx 2−4，其中x =√2． 28．（2018•深圳）先化简，再求值：(x x−1−1)÷x 2+2x+1x 2−1，其中x ＝2．29．（2018•东莞市）先化简，再求值：2a 2a+4•a 2−16a 2−4a，其中a =√32．30．（2018•广州）已知T =a 2−9a(a+3)2+6a(a+3)．（1）化简T ；（2）若正方形ABCD 的边长为a ，且它的面积为9，求T 的值． 31．（2020•东莞市一模）先化简，再求值：x−2x +2x ÷x 2−4x+4x −4−12x，其中x =√5．32．（2020•潮安区一模）先化简，再求值：1x−y （2y x+y−1）÷1y 2−x 2，其中x ＝y +2020． 33．（2020•深圳模拟）先化简，再求值：(a a 2−b2−1a+b )÷b b−a，其中a =√2，b ＝2−√2． 34．（2020•南海区校级模拟）先化简，再求值：6a −9+1a+3，其中a ＝13．35．（2020•南海区校级模拟）先化简，再求值：3x 2x+2⋅x 2−43x−6，其中x =√33．36．（2020•深圳模拟）先化简，再求值：（1+1a 2−1）÷a a−1其中a 是满足﹣1≤a ≤2的整数． 37．（2020•越秀区校级二模）已知P =1x−3−1x+3÷x−4x 2−9． （1）化简P ；（2）若x 是不等式组{3−x ≤012−2x ＞0的整数解，求P 的值．38．（2020•金平区模拟）先化简，再求值m+nm 2−n 2÷m 2+mn m，其中m ＝2，n =√5．39．（2020•黄埔区一模）已知T =a 2a−b −b 2−2ab b−a．（1）化简T ；（2）若点M （a ，b ）在一次函数y ＝x +√3的图象上，求T 的值． 40．（2020•海珠区一模）先化简，再求值：(a 2a−2−4a−2)×1a 2+2a，其中a 满足方程x 2+5x +6＝0．41．（2020•揭西县模拟）化简求值：x+3x 2−1÷x 2+6x+9x 2−2x+1+1x+1，其中x =√3−3．42．（2020•白云区一模）已知A =4a4a 2−b2−12a+b （4a 2≠b 2）． （1）化简A ；（2）若a 的2倍比b 小5，求A 的值． 43．（2020•新会区一模）先化简，再求值：x 2−6x+9x 2−9÷（x ﹣3−3x−9x+3），其中x =√2−1．44．（2020•顺德区四模）先化简，再求值：（1+3a−1）÷a2+4a+42a−2，其中a=√6−2．45．（2020•濠江区一模）先化简，再求值：(xx−3+2x−3)÷x2+2xx2−9，其中x=√3．46．（2020•斗门区二模）先化简，再求值：(1−1x+1)⋅x2−4x2+2x，其中x＝﹣3．47．（2020•广东二模）先化简再求值：a−1a−2a+1÷(1a+1−11−a)，其中a＝﹣2．48．（2020•番禺区一模）已知A＝（x2−1x2−2x+1−1x−1）÷x+1x−1．（1）化简A；（2）若x2﹣3x﹣4＝0，求A的值．49．（2020•中山市一模）先化简，再求值：（2−6x+2）÷x2−1x+2，其中x=√2．50．（2020•增城区一模）已知A＝（x+2x2−2x −x−1x2−4x+4）÷x−4x．（1）化简A；（2）已知x2＝4x+5，求A的值．。

中考复习6——分式方程考点复习1.分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.分式方程的解法(1)解分式方程的基本思路:将分式方程化为整式方程.(2)常用方法:①去分母;②换元法.(3)去分母法的步骤:①去分母,将分式方程转化为整式方程;②解所得的整式方程;③验根作答.(4)换元法的步骤:①设辅助未知数;②得到关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;③把辅助未知数的值代回原式中,求出原来未知数的值;④检验作答. (5)解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根(我们把这个根叫做方程的增根),所以解分式方程时要验根.3.分式方程的应用（1）解分式方程应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出分式方程,最后要验根.（2）温馨提示：双验根，既要检验是否为分式方程的增根（增根舍去），又要检验是否符合实际意义。

分式方程的解法1.(2020成都)已知x=2是分式方程kx +x-3x-1=1的解,那么实数k的值为( )A.3B.4C.5D.62.(2020益阳模拟)解分式方程x2x-1+21-2x=3时,去分母化为一元一次方程,正确的是( )A.x+2=3B.x-2=3C.x-2=3(2x-1)D.x+2=3(2x-1)3.(2020通辽)解方程:2x-2=3x. 4.(2020郴州)解方程:xx-1=4x-1+1.分式方程的应用5.(2020张家界)今年疫情防控期间,某学校花2 000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要.随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足,消毒液每瓶下降了2元,学校又购买了一批消毒液,花1 600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等,求第一批购进的消毒液的单价.6.(2020常德)第5代移动通信技术简称5G,某地已开通5G 业务,经测试5G 下载速度是4G 下载速度的15倍,小明和小强分别用5G 与4G 下载一部600兆的公益片,小明比小强所用的时间快140秒,该地4G 与5G 的下载速度分别是每秒多少兆?广东中考题7.(2015广东)分式方程3x+1=2x 的解是 .8.(2010广东)分式方程2x x+1=1的解x = .9.(2009广东)解方程:2x -1=-1x -1.10.(2014广东)某商场销售的一款空调机每台的标价是1 635元,在一次促销活动中,按标价的八折销售,仍可盈利9%.(1)求这款空调每台的进价(利润率=利润进价=售价-进价进价);(2)在这次促销活动中,商场销售了这款空调机100台,问盈利多少元?11.(2016广东)某工程队修建一条长1 200 m的道路,采用新的施工方式,工效提升了50%,结果提前4天完成任务.(1)求这个工程队原计划每天修道路多少米?(2)在这项工程中,如果要求工程队提前2天完成任务,那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几?12.(2018广东)某公司购买了一批A,B型芯片,其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元,已知该公司用3 120元购买A型芯片的条数与用4 200元购买B 型芯片的条数相等.(1)求该公司购买的A,B型芯片的单价各是多少元?(2)若两种芯片共购买了200条,且购买的总费用为6 280元,求购买了多少条A 型芯片?13.(2020广东)某社区拟建A,B两类摊位以搞活“地摊经济”,每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米.建A类摊位每平方米的费用为40元,建B类摊位每平方米的费用为30元.用60平方米建A类摊位的个数恰好.是用同样面积建B类摊位个数的35(1)求每个A,B类摊位占地面积各为多少平方米?(2)该社区拟建A,B两类摊位共90个,且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用.。