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x上,可知θ在第一或第三象限.
根据正余弦函数的定义可得sin θ=± ,cos θ=± ,
2θsin 2θcos +cos =sin 则sin 2 θ
3
3 10 10
3
10 10
3
3 (1-2sin2θ) =sin θcos θ+ 2 3 - × 3 .4 3 3 + 9 = = 3
2
前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
方法技巧
方法 1 利用三角函数定义解题的方法
1.已知角α终边上一点P的坐标,求三角函数值:先求出点P到原点的距离 r,然后利用三角函数的定义求解;若含参数,则需对参数进行讨论. 2.已知角α的终边所在直线的方程,求三角函数值:先设出终边上一点的 坐标,求出此点到原点的距离,然后利用三角函数的定义求解相关的问 题;若直线的倾斜角为特殊角,则可直接写出角α的三角函数值.
5.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
sin α (2)商数关系:tan α= . cos α
6.诱导公式
由于诱导公式涉及的公式比较多,记忆时可以按以下方法进行,即α+k· 2
π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看
±α的正弦(余弦),分别等于α的余弦(正弦), 成锐角时原函数值的符号;
高考理数
第四章
§4.1
基本初等函数Ⅱ（三角函数）
三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式
知识清单
考点
1.任意角
(1)角的分类 任意角可按旋转方向分为正角、零角、负角.
三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式
(2)象限角
(3)终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+2kπ,k ∈Z}. 2.弧度制 (1)弧度制的概念 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,以弧度作为单位 来度量角的单位制叫做弧度制. (2)角度与弧度之间的换算 360°=2π rad,180°=π rad,1°=③
例1 (2017河北“五个一名校联盟”二模,5)已知角θ的顶点与原点重
合,始边与x轴正半轴重合,终边在直线y=3x上,则sin 2θ = ( A ) 3 A.
3 4 3 10
B.-
3 4 3 10
43 3 C. 10
43 3 D.- 10
解题导引
解析 由角θ的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边在直线y=3
180 ≈ ④ 180rad,1 rad= °
57.3° .
(3)弧长、扇形面积公式
1 1 设扇形的弧长为l,圆心角大小为α(弧度),半径为r,则l=|α|r;S扇形= lr= |α|r2. 2 2
3.三角函数
4.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆相 交于点P,过点P作PM垂直x轴于点M.由三角函数的定义知,有向线段 OM、MP、AT分别叫做角α的余弦线、正弦线、正切线.
则tan θ的可能取值是 ( C ) A.-3
1 C.- 3 1 B.3或 3 1 D.-3或- 3
解题导引
sin 2 α sin α cos α sin 2 α cos 2 α tan 2 α tan α tan 2 α 1
3 4
3 3 4 4 2 3 1 4
2
21 25
, 2 2 ,0 2 ,0 4
方法 3 利用诱导公式化简求值的思路和要求
1.思路方法:①分析结构特点,选择恰当的公式;②利用公式化成单角三 角函数;③整理得出最简形式. 2.化简要求:①化简过程是恒等变形;②结果要求项数尽可能少,次数尽 可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值. 3 tan( α ) cos(2 α )sin α 2 例3 化简: . cos(α )sin( α )
10
2
10
10
方法 2 同角三角函数基本关系式的应用技巧
1.已知sin α,cos α与tan α三者中的一个求另外两个:利用平方关系和商
数关系构造方程组求解; 2.已知tan α的值,求关于sin α与cos α的齐n次分式的值:分子、分母同除
以cosnα,转化为关于tan α的式子求解;
3.1的代换问题:含有sin2α,cos2α及sin αcos α的整式求值问题,可将所求式 子的分母看作“1”,利用“sin2α+cos2α=1”代换后转化为“切”,然后 求解. 特别提醒:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,已知其中一 个式子的值,可求其余两个式子的值.转化的公式为(sin α±cos α)2=1± 2sin αcos α.
例2
3 (1)(2017安徽江南十校3月联考,4)已知tan α=- ,则sin α· (sin α-cos 4
α)= ( A )
A.
21 25
B.
25 21
C.
பைடு நூலகம்
4 5
D.
5 4
(2)(2017湖南衡阳二模,7)已知θ∈ , 且sin θ+cos θ=a,其中a∈(0,1), 2 2
