数学(理)知识清单-专题16 圆锥曲线的综合应用(原卷+解析版)

圆锥曲线知识点全归纳（精华版）圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。

其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。

一、圆锥曲线的方程和性质：1）椭圆文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。

定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。

标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθY=bsinθ(θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。

定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。

标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθy=btanθ(θ为参数 )3）抛物线标准方程：1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>02.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>03.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>04.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t 可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。

圆锥曲线全总结及全题型解析1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F ，F 的距离的和等于常，且此常数一定要大于，当常数等时，轨迹是线段 F F ，当常数小时，无轨迹；双曲线中，与两定点F ，F 的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于F |，定义中的“绝对值”与＜|F F|不可忽视。

若＝|F F|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|F F |，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（），焦点在轴上时＝1（）。

方程表示椭圆的充要条件是什么？（A B C≠0，且A，B，C同号，A≠B）。

（2）双曲线：焦点在轴上=1，焦点在轴上＝1（）。

方表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B 异号）。

（3）抛物线：开口向右时，开口向左，开口向上时，开口向下时。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由, 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

（2）双曲线：由, 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

提醒：在椭圆中，最大，在双曲线中，最大。

4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为，短轴长为；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。

（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2 ，虚轴长为，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线；⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线在椭圆外， 越小，开口越小， 越大，开口越大；⑥两条渐近线。

解析高考数学中的圆锥曲线及应用近年来，高考数学中的圆锥曲线部分一直是考生们的重点之一，也是不少学生难以攻克的难点。

在这篇文章中，我们将对圆锥曲线进行较为全面的解析，并探讨其在实际应用中的具体意义。

一、圆锥曲线的概念和基本形态圆锥曲线，是指在平面直角坐标系中，由一个固定点F（焦点）与一条固定直线l（准线）所确定的点P的轨迹。

这个点P与焦点的距离PF与P到直线l的距离PL之比始终相等，该比值称为偏心率，用字母e表示。

具体而言，圆锥曲线可以分为四类：椭圆、双曲线、抛物线和直线。

1. 椭圆椭圆是由一个固定点F1（焦点）和另外一个固定点F2（F2≠F1）到平面上的所有点P距离之和为定值的轨迹。

该定值等于两焦点距离之和的一半，用字母2a表示。

对于一个椭圆来说，它的中心点是两焦点的中点O，偏心距离e=OF1/OF2，长轴长度为2a，短轴长度为2b。

2. 双曲线双曲线是由一个固定点F1（焦点）和另外一个固定点F2（F2≠F1）到平面上的所有点P距离之差为定值的轨迹。

该定值等于两焦点距离之差的绝对值，用字母2a表示。

对于一个双曲线来说，它的中心点是两焦点的中点O，偏心距离e=OF1/OF2，距离焦点较远的那一部分曲线称为“远焦双曲线”，距离焦点较近的那一部分曲线称为“近焦双曲线”。

3. 抛物线抛物线是由一个固定点（焦点）F和一条固定直线（准线）l到平面上所有点P的距离之比为定值的轨迹。

该定值等于距离焦点F最近的点到准线l的距离，用字母p表示。

对于一个抛物线来说，它的中心点是准线l上的中点O，焦距f=2p。

4. 直线直线可以看作是一个非常特殊的圆锥曲线，它的两个焦点在无穷远点，准线可以看作是无穷远处的一条直线。

因此，直线的偏心率为0。

二、圆锥曲线的方程及参数表示圆锥曲线可以用不同的方程和参数表示，常用的有标准方程、参数方程和极坐标方程。

1. 椭圆的方程和参数表示椭圆的标准方程为：(x/a)^2+(y/b)^2=1。

解析几何【8】圆锥曲线的综合应用1、定值、最值、取值范围问题（1）在圆锥曲线中，还有一类曲线方程，对其变量取不同值时，曲线本身的性质不变；或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是定值问题．（2）当变量取不同值时，相关几何量达到最大或最小，这就是最值问题．通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题，曲线遵循某种条件时，变量有相应的允许取值范围，即取值范围问题．求解时有两种方法：①代数法：引入新的变量，通过圆锥曲线的性质、韦达定理、方程思想等，用新的变量表示（计算）最值、范围问题，再用函数思想、不等式方法得到最值、范围．②几何法：若问题的条件和结论能明显地体现曲线几何特征，则利用图形性质来解决最值与取值范围问题．2、对称、存在性问题、圆锥曲线有关的证明问题涉及线段相等，角相等，直线平行、垂直的证明方法，及定点、定值问题的判断方法等．3、实际应用解决的关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题，作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是【温馨点睛】1、圆锥曲线经常和函数、三角函数、平面向量、不等式等结合，还有解析思想的应用，这些问题有较高的能力要求，这是每年高考必考的一道解答题，平时加强训练，认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题的突破口．2、利用函数思想，讨论有关最值时，特别要注意圆锥曲线自身范围的限定条件．3、涉及弦长的问题时，在熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解．4、圆锥曲线综合问题要四重视；①定义；②平面几何知识；③根与系数的关系；④曲线的几何特征与方程的代数特征．【例1】设1F 、2F 是椭圆22:12x C y 的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点．（1）求12PF PF 的取值范围；（2）设过点1F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.设点1F C 上任意一点，且12PF PF （1）（2）满足AD BD ，【例2】如图，已知抛物线2:4C x y ，过点 0,2M 任作一直线与C 相交于A 、B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．（1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y 相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221MN MN 为定值，并求此定值．（1）（2）C 、D 两点（A 、【例3】已知抛物线2y x 上的动点 00,M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t 于A 、B 两点．（1）若点M ，求M 与焦点的距离；（2）若1t ， 1,1P ， 1,1Q ，求证：A B y y 为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y 且P Q y y 为常数？若存在，求t 的所有可能值；若不存在，请说明理由．x ．（1）（2）（3）使得PM PN 为【例4】为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km 的A 、B 两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（如图）．在直线2x 的右侧，考察范围为到点B 的距离不超过5km 的区域；在直线2x 的左侧，考察范围为到A 、B两点的距离之和不超过km 的区域．（1）求考察区域边界曲线的方程；（2）如图，设线段12PP 、23P P 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km ，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．【同类变式】某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为km，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy.（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置？【真题自测】1.设A 、B 是椭圆22:13x y C m长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足120AMB ，则m 的取值范围是（）.A 0,19, ；.B 9, ；.C 0,14, ；.D 4, ．2.① ②P .A 13.②若 111,P x y 、 222,P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120x x ．下列判断正确的是（）.A ①和②均为真命题；.B ①和②均为假命题；.C ①为真命题，②为假命题；.D ①为假命题，②为真命题．4.设圆C 位于抛物线22y x 与直线3x 所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为．5.114c ，则c6.Q 使得AP AQ 07.如图，已知椭圆2221x y ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D ，记AOC 的面积为S ．（1）设 11,A x y ， 22,C x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明122112S x y x y ；（2）设1:l y kx ，若,33C ，13S ，求k 的值．（3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 和2l 如何变动，面积S 保持不变．。

圆锥曲线的综合应用一、知识梳理1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.3.求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.4.圆锥曲线中常见最值的解题方法(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.5.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·（y1＋y2）2－4y1y2.6.直线与椭圆位置关系的有关结论(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切；(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.7.直线与抛物线位置关系的有关结论(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线.二、例题精讲 + 随堂训练1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点.()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点.()(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点.()(4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝1＋t2|y1－y2|.()解析(2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.(3)因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切.答案(1)√(2)×(3)×(4)√2.过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条；直线x＝0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0).答案 C3.已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________.解析 法一 直线l 的方程为y ＝3x ＋1， 由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.法二 如图所示，过F 作AD 的垂线，垂足为H ，则|AF |＝|AD |＝p ＋|AF |sin 60°，即|AF |＝p 1－sin 60°＝21－sin 60°.同理，|BF |＝21＋sin 60°，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝16.答案 164.(2019·浙江八校联考)抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)交于A ，B 两点，且这两点的横坐标分别为x 1，x 2，直线与x 轴交点的横坐标是x 3，则( ) A.x 3＝x 1＋x 2B.x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3C.x 1＋x 2＋x 3＝0D.x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝0解析 由⎩⎨⎧y ＝ax 2，y ＝kx ＋b ，消去y 得ax 2－kx －b ＝0，可知x 1＋x 2＝k a ，x 1x 2＝－ba ，令kx＋b ＝0得x 3＝－bk ，所以x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3. 答案 B5.(2019·唐山市五校联考)直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，若l 与OM (O 是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为( ) A.3B.2C. 3D.2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，把A ，B 两点坐标分别代入双曲线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2＝0，又⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，所以x 0a 2＝y 0（y 1－y 2）b 2（x 1－x 2），所以b 2a 2＝y 0（y 1－y 2）x 0（x 1－x 2）＝k OM k l ＝1，所以e 2＝1＋b 2a 2＝2，又e >1，所以e ＝ 2. 答案 D6.(2019·潍坊二模)已知抛物线y ＝ax 2(a >0)的准线为l ，l 与双曲线x 24－y 2＝1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则a ＝________.解析 抛物线y ＝ax 2(a >0)的准线l ：y ＝－14a ，双曲线x 24－y 2＝1的两条渐近线分别为y ＝12x ，y ＝－12x ，可得x A ＝－12a ，x B ＝12a ，可得|AB |＝12a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝4，解得a ＝14.答案 14考点一 最值问题 角度1 利用几何性质求最值【例1－1】 设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )A.9，12B.8，11C.8，12D.10，12解析 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|P A |＋|PB |＝2a ＝10，连接P A ，PB 分别与圆相交于两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|P A |＋|PB |－2R ＝8；连接P A ，PB 并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM |＋|PN |最大，最大值为|P A |＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8，12.答案 C角度2 利用基本不等式或二次函数求最值【例1－2】 (2019·郑州二模)已知动圆E 经过点F (1，0)，且和直线l ：x ＝－1相切.(1)求该动圆圆心E 的轨迹G 的方程；(2)已知点A (3，0)，若斜率为1的直线l ′与线段OA 相交(不经过坐标原点O 和点A )，且与曲线G 交于B ，C 两点，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意可知点E 到点F 的距离等于点E 到直线l 的距离，∴动点E 的轨迹是以F (1，0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，故轨迹G 的方程是y 2＝4x .(2)设直线l ′的方程为y ＝x ＋m ，其中－3<m <0，C (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立得方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y 2＝4x 消去y ，得x 2＋(2m －4)x ＋m 2＝0，Δ＝(2m －4)2－4m 2＝16(1－m )>0恒成立.由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝4－2m ，x 1·x 2＝m 2，∴|CB |＝42（1－m ）， 点A 到直线l ′的距离d ＝3＋m2， ∴S △ABC ＝12×42（1－m ）×3＋m 2＝21－m ×(3＋m )，令1－m ＝t ，t ∈(1，2)，则m ＝1－t 2，∴S △ABC ＝2t (4－t 2)＝8t －2t 3， 令f (t )＝8t －2t 3，∴f ′(t )＝8－6t 2，令f ′(t )＝0，得t ＝23(负值舍去). 易知y ＝f (t )在⎝⎛⎭⎪⎫1，23上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2上单调递减. ∴y ＝f (t )在t ＝23，即m ＝－13时取得最大值为3239. ∴△ABC 面积的最大值为3239.规律方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用 圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.【训练1】 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为它的左、右焦点，P 为椭圆上一点，已知∠F 1PF 2＝60°，S △F 1PF 2＝3，且椭圆的离心率为12. (1)求椭圆方程；(2)已知T (－4，0)，过T 的直线与椭圆交于M ，N 两点，求△MNF 1面积的最大值.解 (1)由已知，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，① |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝4c 2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝4c 2，②12|PF 1||PF 2|sin 60°＝3，即|PF 1||PF 2|＝4，③联立①②③解得a 2－c 2＝3.又c a ＝12，∴c 2＝1，a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)根据题意可知直线MN 的斜率存在，且不为0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为x ＝my －4，代入椭圆方程，整理得(3m 2＋4)y 2－24my ＋36＝0，则Δ＝(24m )2－4×36×(3m 2＋所以m 2>4. y 1＋y 2＝24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4，则△MNF 1的面积S △MNF 1＝|S △NTF 1－S △MTF 1|＝12|TF 1|·|y 1－y 2|＝32（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫24m 3m 2＋42－1443m 2＋4＝18m 2－44＋3m 2＝6×1m 2－4＋163m 2－4＝6×1m 2－4＋163m 2－4≤62163＝334. 当且仅当m 2－4＝163m 2－4，即m 2＝283时(此时适合Δ>0的条件)取得等号.故△MNF 1面积的最大值为334.考点二 范围问题【例2】 (2018·浙江卷)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围.(1)证明 设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 22，y 2. 因为P A ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02， 即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根.所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于(2)解 由(1)可知⎩⎨⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 2， 所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝22（y 20－4x 0）.因此，△P AB 的面积S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32.因为x 20＋y 204＝1(x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4，5]，因此，△P AB 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤62，15104.规律方法 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【训练2】 (2019·南昌调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围.解 (1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝1，a ＝2，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0，化简得m 2<4k 2＋1，①x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴(4k 2－5)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝0，∴(4k 2－5)·4（m 2－1）4k 2＋1＋4km ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋1＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，② 由①②得0≤m 2<65，120<k 2≤54.∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2，∴d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94（1＋k 2），又120<k 2≤54，∴0≤d 2<87，∴原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2147.考点三 证明问题【例3】 (2018·全国Ⅲ卷)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0). (1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋F A →＋FB →＝0.证明：|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差. (1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m .①由于点M (1，m )(m >0)在椭圆x 24＋y 23＝1内，∴14＋m 23<1，解得0<m <32，故k <－12. (2)解 由题意得F (1，0).设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0).由(1)及题设得 x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32.于是|F A →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3⎝⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12. 同理|FB →|＝2－x 22. 所以|F A →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3. 故2|FP →|＝|F A →|＋|FB →|，即|F A →|，|FP→|，|FB →|成等差数列. 设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|F A →||＝12|x 1－x 2|＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.②将m ＝34代入①得k ＝－1. 所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0. 故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128. 所以该数列的公差为32128或－32128.【训练3】 (2018·唐山模拟)如图，圆C 与x 轴相切于点T (2，0)，与y 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的下方)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆x 28＋y 24＝1相交于两点A ，B ，连接AN ，BN ，求证：∠ANM ＝∠BNM .(1)解 设圆C 的半径为r (r >0)，依题意，圆心C 的坐标为(2，r ).因为|MN |＝3，所以r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝254.所以r ＝52，圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254.(2)证明 把x ＝0代入方程(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254，解得y ＝1或y ＝4，即点M (0，1)，N (0，4).①当AB ⊥x 轴时，可知∠ANM ＝∠BNM ＝0.②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 24＝1消去y 得，(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0. 设直线AB 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2. 所以k AN ＋k BN ＝y 1－4x 1＋y 2－4x 2＝kx 1－3x 1＋kx 2－3x 2＝2kx 1x 2－3（x 1＋x 2）x 1x 2＝1x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1＋2k 2＋12k 1＋2k 2＝0. 所以∠ANM ＝∠BNM .综合①②知∠ANM ＝∠BNM .三、课后练习1.(2019·烟台一模)已知抛物线M ：y 2＝4x ，过抛物线M 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，且交抛物线的准线于点E .若AE→＝2BE →，则直线l 的斜率为( )A.3B.2 2C. 3D.1解析 分别过A ，B 两点作AD ，BC 垂直于准线，垂足分别为D ，C ， 由AE→＝2BE →，得B 为AE 的中点，∴|AB |＝|BE |， 则|AD |＝2|BC |，由抛物线的定义可知|AF |＝|AD |，|BF |＝|BC |，∴|AB |＝3|BC |，∴|BE |＝3|BC |，则|CE |＝22|BC |，∴tan ∠CBE ＝|CE ||CB |＝22，∴直线l 的斜率k ＝tan ∠AFx ＝tan ∠CBE ＝2 2.答案 B2.(2019·河北百校联考)已知抛物线y 2＝4x ，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A ，B 两点(A 在第一象限内)，AF→＝3 FB →，过AB 的中点且垂直于l 的直线与x 轴交于点G ，则△ABG 的面积为( ) A.839 B.1639 C.3239 D.6439解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为AF→＝3FB →， 所以y 1＝－3y 2，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1消去x 得y 2－4my －4＝0，∴y 1y 2＝－4， ∴⎩⎨⎧y 1＝23，y 2＝－233，∴y 1＋y 2＝4m ＝433， ∴m ＝33，∴x 1＋x 2＝103，AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，过AB 中点且垂直于直线l 的直线方程为y －233＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －53，令y ＝0，可得x ＝113，所以S △ABG ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫113－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋233＝3239. 答案 C3.(2018·全国Ⅲ卷)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点.若∠AMB ＝90°，则k ＝________.解析 法一 由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，则∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.法二 设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|).又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.答案 24.(2018·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k <0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值.解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2.所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)，由题意，x 2>x 1>0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1).由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得|PM |＝2|PQ |，从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1.易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ，可得x 2＝63k ＋2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx ，消去y ，可得x 1＝69k 2＋4. 由x 2＝5x 1，可得9k 2＋4＝5(3k ＋2)，两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0，解得k ＝－89，或k ＝－12.当k ＝－89时，x 2＝－9<0，不合题意，舍去；当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意.所以，k 的值为－12.5.已知抛物线y 2＝4x ，焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，则|AF |－2|BF |的最小值为________.解析 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2＝4x 可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1·x 2＝1.由抛物线的定义可得|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，所以|AF |－2|BF |＝x 1＋1－2x 2＋1＝（x 1＋1）（x 2＋1）－2x 2＋1＝x 1＋x 2x 2＋1＝1＋x 22x 2＋x 22＝11＋x 2－1x 22＋1.令x 2－1＝t (t ≥1)，则x 2＝t ＋1，所以|AF |－2|BF |＝11＋t t 2＋2t ＋2＝11＋12＋t ＋2t≥11＋12＋22＝2（1＋2）3＋22＝21＋2＝22－2(当且仅当t ＝2时等号成立)；当直线l 的斜率不存在时，易得|AF |－2|BF |＝1.综上，|AF |－2|BF |的最小值为22－2.答案 22－2。

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。

两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔{0),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。

二、圆：1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED --半径是2422F E D -+。

配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E );③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +。

课题：圆锥曲线的综合问题 【要点回顾】1．直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或 1＋1k2|y 1－y 2|.【热身练习】1．(教材习题改编)与椭圆x 212＋y 216＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( )A ．y 2－x 23＝1 B.y 23－x 2＝1 C.34x 2－38y 2＝1D.34y 2－38x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2，ca ＝2，c ＝2，得a ＝1，b ＝ 3.故双曲线方程为y 2－x 23＝1.2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．4．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________．解析：由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，所以B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，则c 2＝2b 2，则c 2a 2＝23，故e ＝63.5．已知双曲线方程是x 2－y 22＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________________．解析：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 1y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．答案：4x －y －7＝0 【方法指导】1.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．2．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”． 【直线与圆锥曲线的位置关系】[例1] (2012·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． [自主解答] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝2＋k 2＋6k21＋2k2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |· d ＝|k |4＋6k 21＋2k .由|k |4＋6k 21＋2k ＝103，解得k ＝±1. 【由题悟法】研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解．【试一试】1．(2012·信阳模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]解析：选C 易知抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2与x 轴的交点为Q (－2,0)，于是，可设过点Q (－2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)(由题可知k 是存在的)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x ＋⇒k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，易知符合题意；当k ≠0时，其判别式为Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64≥0， 可解得－1≤k ≤1. 【最值与范围问题】[例2] (2012·浙江高考)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．[自主解答] (1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧＋c 2＋1＝10，c a ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M .当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， ① 则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，所以线段AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2.因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m 3＋4k 2＝－2km3＋4k 2.得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则Δ＝3(12－m 2)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝396·12－m 2， 设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|8－2m |32＋22＝2|m －4|13. 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝36·m －2－m2.其中m ∈(－23，0)∪(0,23)．令u (m )＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－23，2 3 ]，u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)．所以当且仅当m ＝1－7时，u (m )取到最大值． 故当且仅当m ＝1－7时，S 取到最大值． 综上，所求直线l 的方程为3x ＋2y ＋27－2＝0. 【由题悟法】1．解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法； (2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．2．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 【试一试】2．(2012·东莞模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)上存在关于直线x ＋y ＝1对称的相异两点，则实数p 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 解析：选B 设抛物线上关于直线x ＋y ＝1对称的两点是M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，设直线MN 的方程为y ＝x ＋b .将y ＝x ＋b 代入抛物线方程，得x 2＋(2b －2p )x ＋b 2＝0，则x 1＋x 2＝2p －2b ，y 1＋y 2＝(x 1＋x 2)＋2b ＝2p ，则MN 的中点P 的坐标为(p －b ，p )．因为点P 在直线x ＋y ＝1上，所以2p －b ＝1，即b ＝2p －1.又Δ＝(2b －2p )2－4b 2＝4p 2－8bp ＞0，将b ＝2p －1代入得4p 2－8p (2p －1)＞0，即3p 2－2p ＜0，解得0＜p ＜23. 【定点定值问题】[例3] (2012·辽宁高考)如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值．[自主解答] (1)设 A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a )，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )．② 由①②得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b 2＝1(x <－a ，y <0)． (2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2|·|y 2|， 故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22a 2.由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2，从而y 21＋y 22＝b 2， 因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值． 【由题悟法】1．求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况． 【试一试】3．(2012·山东省实验中学模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)及定点A (a ，b )，B (－a,0)，ab ≠0，b 2≠2pa ，M 是抛物线上的点．设直线AM ，BM 与抛物线的另一个交点分别为M 1，M 2，当M 变动时，直线M 1M 2恒过一个定点，此定点坐标为________．解析：设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0，M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2，由点A ，M ，M 1共线可知y 0－b y 202p－a＝y 1－y 0y 212p －y 202p，得y 1＝by 0－2pa y 0－b ，同理由点B ，M ，M 2共线得y 2＝2pa y 0.设(x ，y )是直线M 1M 2上的点，则y 2－y 1y 222p －y 212p ＝y 2－y y 222p－x ，即y 1y 2＝y (y 1＋y 2)－2px ，又y 1＝by 0－2pa y 0－b ，y 2＝2pay 0， 则(2px －by )y 02＋2pb (a －x )y 0＋2pa (by －2pa )＝0. 当x ＝a ，y ＝2pa b时上式恒成立，即定点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2pa b .答案：⎝⎛⎭⎪⎫a ，2pa b。

专题1 圆锥曲线的综合应用题型1 直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与双曲线的交点个数是( )A. 1B. 2C. 1或2D. 0答案详解A解:双曲线的渐近线方程为:,因为直线与双曲线的一条渐近线平行,在y轴上的焦距为3,所以直线与双曲线的交点个数是:1.所以A选项是正确的.解析:求出双曲线的渐近线方程,然后判断直线与双曲线的交点个数即可.2. 斜率为的直线l与椭圆交与不同的两点,且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.答案详解A解:两个交点横坐标是-c,c，所以两个交点分别为代入椭圆，两边乘，则，，，,或所以3. 过双曲线x2-=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数λ使得|AB|=λ的直线l恰有3条，则λ=．【答案】分析：利用实数λ使得|AB|=λ的直线l恰有3条，根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直，求出直线与实轴垂直时，线段的长度为4，再作验证，即可得到结论．解答：解：∵实数λ使得|AB|=λ的直线l恰有3条∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直此时A，B的横坐标为，代入双曲线方程，可得y=±2，故|AB|=4∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，综上可知，|AB|=4时，有三条直线满足题意∴λ=4故答案为：4解析:先根据题意表示出两个焦点的交点坐标,代入椭圆方程,两边乘,求得关于的方程求得e.4.设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线的倾斜角为，那么5. 已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的倍,其上一点到右焦点的最短距离为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线与圆相切,且交椭圆C于A、B两点,求当的面积最大时直线l的方程.答案详解解:(1)设椭圆右焦点则由(1)得代得代(2)得(2)与圆相切由消y得又,当时,,当时,(当时“=”成立)此时且(3)式6. 已知，是双曲线的两个焦点，离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同，动点满足，曲线的方程为。

高考必考点：圆锥曲线综合应用一、基础知识1、直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=0,消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元二次方程.(1)当a≠0时,设一元二次方程ax +bx+c=0的判别式为Δ,则Δ0⇔直线与圆锥曲线C相交;Δ=0⇔直线与圆锥曲线C相切;Δ0⇔直线与圆锥曲线C相离.(2)当a=0,b≠0时,得到一个一元一次方程,则直线l与圆锥曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线,则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.2、直线与圆锥曲线的相交弦的弦长3、中点弦的重要结论：4、圆锥曲线的几个特殊结论：4.不垂直于x轴的直线与抛物线y =2px(p0)交于不同的两点P,Q,点M(m,0)(m0),则直线PQ过定点(-m,0)的充要条件是x轴是∠PMQ的角平分线.5.直线l与抛物线y =2px(p0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则直线l与x轴交于M(m,0)的充要条件是y1y2=-2pm.特别地,直线l过焦点的充要条件是y1y2=-2p .6.过点M(m,0)的直线l与抛物线y =2px(p0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则抛物线在A,B两点的切线交于点二、典题剖析角度1、轨迹问题点评：角度2、圆锥曲线弦长、面积问题点评：角度3、点差法问题点评：角度4、最值与范围问题点评：角度5、存在性问题点评：三、真题提升圆锥曲线在高考中比重比较大，大家平常联系也少不了，我这里就举一个例子，重点对做题步骤以及得分要点做一个说明，希望对大家有所启发。

评分细则：点评：解答第二问中得分点(1)求|MN|时,不写根与系数的关系,只要求对|MN|的给2分,但有些求|MN|时,没化简,只要经过简单化简对的,也给2分;(2)求|PQ|时,不论用什么方法,只要求对给1分;(3)S 的最简表达式对的给1分;(4)只要有验证l⊥x 轴时,S=12的给1分.解析几何解答题的阅卷原则(1)当“合理”与“公平”矛盾时,选择公平,即用评分细则处理试卷,即使不太合理,为了公平,也得遵守.例如:解答题答案中只有一个正确结果,也要给一分.不管他是如何得到的.(2)当证明过程较长时,可以引用大家熟知的结论不扣分.(3)保持数学学科的特点,注重解题过程的严谨性.要求考生养成表达完整、推理严谨的良好习惯,注意答题的规范性,必不可少的步骤必须写出来,以减少扣分.压轴解答题的答题技巧(1)在解题的过程中,要把所需的条件和结论写全,中间的步骤可以省略,即中间环节的证明有误或空缺,可以跳过去往下演算,写出结论,这样后面部分仍可得分.因数学第一问与第二问独立计分,当第一问做不好时,别放弃,可以借用第一问要证的结论来解第二问,只是不给前一问的分而已.(2)题目再难,每个题目中的条件总是可以推导出结论的,哪怕是只推导出一个结论,也可能是得分点,实在不行,写出题中应该用到的公式,也是有得分点的.。

圆锥曲线一、椭圆及其性质第一定义平面内一动点P 与两定点F 1、F 2距离之和为常数(大于F 1F 2 )的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF 1d 1=MF 2d 2=e 焦点焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形yxF 1F 2abc O A 1A 2B 2B 1x =a 2cx =-a 2c y x F 1F 2ab c A 1A 2B 2B 1y =a2cy =-a2c标准方程x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0y 2a 2+x 2b2=1a >b >0范围-a ≤x ≤a 且-b ≤y ≤b-b ≤x ≤b 且-a ≤y ≤a顶点A 1-a ,0 ，A 2a ,0 ，B 10,-b ，B 20,bA 10,-a ，A 20,a ，B 1-b ,0 ，B 2b ,0轴长长轴长=2a ，短轴长=2b ，焦距=F 1F 2 =2c ，c 2=a 2-b 2焦点F 1-c ,0 、F 2c ,0F 10,-c 、F 20,c焦半径PF 1 =a +e x 0，PF 2 =a -e x 0PF 1 =a -e y 0，PF 2 =a +e y 0焦点弦左焦点弦|AB |=2a +e (x 1+x 2)，右焦点弦|AB |=2a -e (x 1+x 2).离心率e =c a=1-b 2a20<e <1 准线方程x =±a 2cy =±a 2c切线方程x 0x a 2+y 0y b 2=1x 0xb 2+y 0y a 2=1通径过椭圆焦点且垂直于对称轴的弦长AB =2b 2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF 1|+|PF 2|=2a ，周长为：2a +2c (2)焦点三角形面积：S △F 1PF 2=b 2×tan θ2(3)当P 在椭圆短轴上时，张角θ最大，θ≥1-2e 2cos (4)焦长公式：PF 1 =b 2a -c αcos 、MF 1 =b 2a +c αcos MP =2ab 2a 2-c 22αcos =2ab 2b 2+c 22αsin (5)离心率：e =(α+β)sin α+βsin sin yxF 1F 2θαP OMβ第一定义平面内一动点P与两定点F1、F2距离之差为常数（大于F1F2）的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF1d1=MF2d2=e焦点焦点在x轴上焦点在y轴上图形yxF1F2bc虚轴实轴ayxF1F2实轴虚轴标准方程x2a2-y2b2=1a>0,b>0y2a2-x2b2=1a>0,b>0范围x≤-a或x≥a，y∈R y≤-a或y≥a，x∈R 顶点A1-a,0、A2a,0A10,-a、A20,a轴长虚轴长=2b，实轴长=2a，焦距=F1F2=2c，c2=a2+b2焦点F1-c,0、F2c,0F10,-c、F20,c焦半径|PF1|=a+e x0，|PF2|=-a+e x0左支添“-”离心率e=ca=1+b2a2e>1准线方程x=±a2c y=±a2c渐近线y=±ba x y=±ab x切线方程x0xa2-y0yb2=1x0xb2-y0ya2=1通径过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长AB=2b2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF1|-|PF2|=2a(2)焦点直角三角形的个数为八个，顶角为直角与底角为直角各四个；(3)焦点三角形面积：S△F1PF2=b2÷tanθ2=c∙y(4)离心率：e=F1F2PF1-PF2=sinθsinα-sinβ=sin(α+β)sinα-sinβyxF1F2Pθαβ定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．方程y 2=2px p >0y 2=-2px p >0x 2=2py p >0x 2=-2py p >0图形yxF x =-p2yxFx =p2y xFy =-p2yxFy =p2顶点0,0对称轴x 轴y 轴焦点F p2,0 F -p 2,0 F 0,p 2 F 0,-p 2准线方程x =-p 2x =p2y =-p 2y =p 2离心率e =1范围x ≥0x ≤0y ≥0y ≤0切线方程y 0y =p x +x 0y 0y =-p x +x 0x 0x =p y +y 0x 0x =-p y +y 0通径过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦AB =2p (最短焦点弦)焦点弦AB 为过y 2=2px p >0 焦点的弦，A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =x 1+p 2BF =x 2+p2AB =x 1+x 2+p ,(2)x 1x 2=p 24y 1y 2=-p 2(3)AF =p 1-αcos BF =p 1+αcos 1|FA |+1|FB |=2P (4)AB =2psin 2αS △AOB =p 22αsin AB 为过x 2=2py (p >0)焦点的弦，A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =p 1-αsin BF =p1+αsin (2)AB =2p 2αcos S △AOB=p 22αcos (3)AF BF=λ，则：α=λ-1λ+1sin yxFx =-p 2αABO yxFαABOy 2=2px (p >0)y 2=2px (p >0)四、圆锥曲线的通法F 1F 2POxyOxyFP MOxyF 1F 2P椭圆双曲线抛物线点差法与通法1、圆锥曲线综述：联立方程设交点，韦达定理求弦长；变量范围判别式，曲线定义不能忘；弦斜中点点差法，设而不求计算畅；向量参数恰当用，数形结合记心间.★2、直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线的设法：1若题目明确涉及斜率，则设直线：y =kx +b ，需考虑直线斜率是否存在，分类讨论；2若题目没有涉及斜率或直线过(a ,0)则设直线：x =my +a ,可避免对斜率进行讨论（2）研究通法：联立y =kx +bF (x ,y )=0得：ax 2+bx +c =0判别式：Δ=b 2−4ac ,韦达定理：x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=ca（3）弦长公式：AB =(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=1+k 2|x 1-x 2|=(1+k 2)⋅[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=1+1k2(y 1+y 2)2−4y 1y 2 3、硬解定理设直线y =kx +φ与曲线x 2m +y 2n=1相交于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)由：y =kx +φnx 2+my 2=mn,可得：(n +mk 2)x 2+2kφmx +m (φ2-n )=0判别式：△=4mn (n +mk 2-φ2)韦达定理：x 1+x 2=-2kmφn +mk 2,x 1x 2=m (φ2-n )n +mk 2由：|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2,代入韦达定理：|x 1-x 2|=△n +mk 2★4、点差法：若直线l 与曲线相交于M 、N 两点，点P (x 0,y 0)是弦MN 中点，MN 的斜率为k MN ，则：在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中,有k MN ⋅y 0x 0=−b 2a2;在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)中,有k MN ⋅y 0x 0=b 2a2；在抛物线y 2=2px (p >0)中,有k MN ⋅y 0=p .(椭圆)设M 、N 两两点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，则有x 12a 2+y 12b 2=1,⋯⋯(1)x 22a 2+y 22b 2=1.⋯⋯(2) (1)−(2)，得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b 2=0.∴y 2−y 1x 2−x 1⋅y 2+y 1x 2+x 1=−b 2a2.又∵k MN =y 2−y 1x 2−x 1,y 1+y 2x 1+x 2=2y 2x =y x .∴k MN ⋅y x =−b 2a2.圆锥曲线的参数方程1、参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数x =f (t )y =g (t )并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上，该方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.※2、直线的参数方程(1)过定点P (x 0,y 0)、倾斜角为α(α≠π2)的直线的参数方程x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α (t 为参数)(2)参数t 的几何意义：参数t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ,y )为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即|M 0M|=|t |，|t |表示直线上任一点M 到定点M 0的距离.当点M 在M 0上方时，t >0；当点M 在M 0下方时，t <0；当点M 与M 0重合时，t =0；(3)直线方程与参数方程互化：y −y o =tan α(x −x o )⇔x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α(t 为参数)(4)直线参数方程：x =x 0+aty =y 0+bt (t 为参数)，当a 2+b 2=1时，参数方程为标准型参数方程，参数的几何意义才是代表距离.当a 2+b 2≠1时，将参数方程化为x =x 0+aa 2+b 2t y =y 0+ba 2+b 2t 然后在进行计算.★3、圆的参数方程（1）圆心(a ,b )，半径r 的圆(x -a )2+(y -b )2=r 2参数方程x =a +r cos θy =b +r sin θ (θ为参数)；特别：当圆心在原点时，半径为r 的圆x 2+y 2=r 2的参数方程为：x =r cos θy =r sin θ (θ是参数).(2)参数θ的几何意义：θ表示x 轴的正方向到圆心和圆上任意一点的半径所成的角.(3)消参的方法：利用sin 2θ+cos 2θ=1，yxF 1F 2PN OMyxM 0tαO M 1αP (x ,y )rxy可得圆方程：(x -a )2+(y -b )2=r 2★4、椭圆的参数方程(1)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程为x =a cos φy =b sin φ (φ为参数)；椭圆y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的参数方程为x =b cos φy =a sin φ (φ为参数)；(2)参数θ的几何意义：参数θ表示椭圆上某一点的离心角.如图所示，点P 对应的离心角为θ=∠QOx (过P 作PQ ⊥x 轴，交大圆即以2a 为直径的圆于Q )，切不可认为是θ=∠POx .5、双曲线的参数方程（1）双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程x =a sec φy =b tan φ (φ为参数)；sec φ=1cos φ双曲线y 2a 2-x 2b2=1(a >b >0)的参数方程x =b cot φy =a csc φ (φ为参数)；csc φ=1sin φ（2）参数θ的几何意义：参数θ表示双曲线上某一点的离心角.※6、抛物线的参数方程（1）抛物线y 2=2px 参数方程x =2pt 2y =2pt(t 为参数，t =1tan α)；（2）参数t 的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.t =1k OP仿射变换与齐次式1、仿射变换：在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间.※2、椭圆的变换：椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2变换内容x =x y=a b y x =xy =b a yx =b a x y=yx =a b x y =y圆方程x 2+y 2=a 2x 2+y 2=b 2图示yxAB OCyxABOCyxAB OCyxAB OC 点坐标A (x 0,y 0)→A '(x 0,a by 0)A (x 0,y 0)→A '(b ax 0,y 0)斜率变化k '=a bk ，由于k A 'C '⋅k B 'C '=−1．k AC ⋅k BC =b a k A 'C '⋅b a k B 'C '=−b 2a 2k '=a bk ，由于k A 'C '⋅k B 'C '=−1．k AC ⋅k BC =b a k A 'C '⋅b a k B 'C '=−b 2a2弦长变化则AB =1+k 2x 1-x 2 ⇒A 'B '=1+k '2x 1-x 2 =1+(a b)2k 2x 1-x 2 yxαPOQ面积变化S△ABC=b a S△A'B'C'(水平宽不变，铅锤高缩小)S△ABC=a b S△A'B'C'(水平宽扩大，铅垂高不变)3、中点弦问题，k OP⋅k AB=−b2a2，中垂线问题k OPk MP=b2a2，且x M=c2x0a2y N=-c2y0b2，拓展1：椭圆内接△ABC中，若原点O为重心，则仿射后一定得到△OB'C'为120°的等腰三角形；△A'B'C'为等边三角形；拓展2：椭圆内接平行四边形OAPB(A、P、B)在椭圆上，则仿射后一定得菱形OA'P'B' 4、面积问题：（1）若以椭圆x2a2+y2b2=1对称中心引出两条直线交椭圆于A、B两点，且k OA⋅k OB=−b2a2,则经过仿射变换后k OA'⋅k OB'=−1，所以S△AOB为定值.（2）若椭圆方程x2a2+y2b2=1上三点A，B，M，满足：①k OA⋅k OB=−b2a2②S△AOB=ab2③OM=sinαOA+cosαOBα∈0,π2，三者等价※5、平移构造齐次式：（圆锥曲线斜率和与积的问题）（1）题设：过圆锥曲线上的一个定点P作两条直线与圆锥曲线交于A、B，在直线PA和PB斜率之和或者斜率之积为定值的情况下，直线AB过定点或者AB定斜率的问题.（2）步骤：①将公共点平移到坐标原点（点平移：左加右减上减下加）找出平移单位长.②由①中的平移单位长得出平移后的圆锥曲线C ，所有直线方程统一写为：mx+ny=1③将圆锥曲线C 展开，在一次项中乘以mx+ny=1，构造出齐次式.④在齐次式中，同时除以x2,构建斜率k的一元二次方程，由韦达定理可得斜率之积（和）.圆锥曲线考点归类(一)条件方法梳理1、椭圆的角平分线定理（1）若点A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，AB与椭圆长轴交点为N，在长轴上一定存在一个点M，当仅当则x M⋅x N=a2时，∠AMN=∠BMN，即长轴为角平分线；（2）若点A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，AB与椭圆短轴交点为N，在短轴上一定存在一个点M，当仅当则y M⋅y N=b2时，∠AMN=∠BMN，即短轴为角平分线；※2、关于角平分线的结论：若直线AO的斜率为k1,直线CO的斜率为k2,EO平分∠AOC则有：k1+k2=tanα+tan(π-α)=0角平分线的一些等价代换条件：作x轴的对称点、点到两边的距离相等.3、四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0),其中k 是待定的系数;经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0,其中A ,B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0,λ是参变量．4、圆系方程(1)过直线l :Ax +By +C =0与圆C :x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的交点的圆系方程是x 2+y 2+Dx +Ey +F +λ(Ax +By +C )=0,λ是待定的系数．(2)过圆C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0与圆C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0的交点的圆系方程是x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0,λ是待定的系数．★(二)圆锥曲线过定点问题1、直线过定点的背景：（1）直线过定点模型：A ,B 是圆锥曲线上的两动点，M 是一定点，其中α,β分别为MA ,MB 的倾斜角，则：①、MA ⋅MB 为定值⇔直线AB 恒过定点；②、k MA ⋅k MB 为定值⇔直线AB 恒过定点；③、α+β=θ(0<θ<π)⇔直线AB 恒过定点.（2）抛物线中直线过定点：A ,B 是抛物线y 2=2px (p >0)上的两动点，α,β分别为OA ,OB 的倾斜角，则：OA ⊥OB ⇔k OA ⋅k OB =-1⇔α-β =π2⇔直线AB 恒过定点(2p ,0).（3）椭圆中直线过定点模型：A ,B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上异于右顶点D 的两动点，其中α,β分别为DA ,DB 的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：DA ⊥DB ⇔k DA ⋅k DB =-1⇔α-β =π2⇔直线AB 恒过定点(ac 2a 2+b 2,0)2、定点的求解方法：1含参形式简单的直线方程，通过将直线化为y -y 0=k (x -x 0)可求得定点坐标(x 0,y 0)2含参形式复杂的通过变换主元法求解定点坐标.变换主元法：将直线化为h (x ,y )+λf (x ,y )=0,解方程组：h (x ,y )=0f (x ,y )=0 可得定点坐标.eg :直线方程：（2m +1）x +(m -5)y +6=0,将m 看作主元，按照降幂排列：（2x +y ）m+x -5y +6=0,解方程组：2x +y =0x -5y +6=0,解得：x =-611y =1211,求得直线过定点（-611,1211）.3、关于以AB 为直径的圆过定点问题：(1)直接法：设出参数后，表示出圆的方程.圆的直径式方程：（x -x 1）(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0(2)由特殊到一般：利用赋值法，先求出几个位置的圆方程，联立圆方程解出公共交点，该交点即为圆所过的定点，再利用向量数量积为0证明点恒在圆上.★(三)圆锥曲线面积问题1、面积的求解方法：（1）S △ABC =12MN ∙d ，从公式可以看出，求面积重在求解弦长和点到线的距离.（2）S △ABC =12×水平宽×铅锤高，主要以点的坐标运算为主.（3）S △AOB =12x 1y 2-x 2y 1例题1.在平面直角坐标系xOy 中，已知点O 0,0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 不共线，证明：△AOB 的面积为S △AOB =12x 1y 2-x 2y 1 .2、面积中最值的求解(1)f (x )=αx 2+βx +φx +n型：令t =x +n ⇒x =t -n 进行代换后裂项转化为：y =at +bt (2)f (x )=x +n αx 2+βx +φ型：先在分母中配出分子式f (x )=x +n α(x +n )2+λ(x +n )+υ令t =x +n ，此时：y =t αt 2+λt +υ，分子分母同时除t ，此时y =1αt +υt+λ，再利用对勾函数或不等式分析最值.(3)f (x )=αx +βx +n型：令t =x +n ⇒x =t 2-n 进行代换后裂项，可转化为：y =at +bt五、椭圆的二级结论1.PF1+PF2=2a2.标准方程x2a2+y2b2=13.PF1d1=e<14.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.5.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8.设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2(或PF1)上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2 (或A1).9.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2a2-y2b2=1.10.若点P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上，则在点P0处的切线方程是x0xa2+y0yb2=1.11.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2+y0yb2=1.12.AB是椭圆x2a2+y2b2=1的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=-b2a2.13.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内，则被PO所平分的中点弦的方程是x0xa2+y0yb2=x02a2+y02b2.14.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内，则过PO的弦中点的轨迹方程是x2a2+y2b2=x0xa2+y0yb2.15.若PQ是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上对中心张直角的弦，则1r12+1r22=1a2+1b2(r1=|OP|,r2=|OQ|).16.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By=1(AB≠0),则(1)1a2+1 b2=A2+B2;(2)L=2a4A2+b4B2a2A2+b2B2.17.给定椭圆C1：b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0),C2：b2x2+a2y2=a2-b2a2+b2ab2,则(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点M a2-b2a2+b2x0,-a2-b2a2+b2y0. (ii)对C2上任一点P (x0 ,y0 )在C1上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过P 点.18.设P(x0,y0)为椭圆(或圆)C:x2a2+y2b2=1(a>0,.b>0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,-my0)(m≠1)的充要条件是k1⋅k2=-1+m1-m⋅b2a2.19.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且k BC=b2x0a2y0(常数).20.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点∠F1PF2=γ，则椭圆的焦点三角形的面积为S△F1PF2=b2tanγ2，P±ac c2-b2tan2γ2,±b2c tanγ2.21.若P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β，则a-ca+c=tanα2tanβ2.22.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦半径公式：|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(F1(-c,0),F2(c,0)，M(x0,y0)).23.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当2-1≤e<1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.24.P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a-|AF2|≤|PA|+|PF1|≤2a+|AF2|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.25.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在两点关于直线l：y=k(x-x0)对称的充要条件是x02≤(a2-b2)2a2+b2k2.26.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P是椭圆x=a cosϕy=b sinϕ(a>b>0)上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是e2=11+sin2ϕ.29.设A,B为椭圆x2a2+y2b2=k(k>0,k≠1)上两点，其直线AB与椭圆x2a2+y2b2=1相交于P,Q,则AP=BQ.30.在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1中，定长为2m (o <m ≤a )的弦中点轨迹方程为m 2=1-x 2a 2+y 2b 2a 2cos 2α+b 2sin 2α ,其中tan α=-bx ay ,当y =0时,α=90∘.31.设S 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的通径，定长线段L 的两端点A ,B 在椭圆上移动，记|AB |=l ，M(x 0,y 0)是AB 中点，则当l ≥ΦS 时，有(x 0)max =a 2c -l 2e c 2=a 2-b 2,e =c a;当l <ΦS 时，有(x 0)max =a 2b4b 2-l 2,(x 0)min=0.32.椭圆x 2a 2+y 2b2=1与直线Ax +By +C =0有公共点的充要条件是A 2a 2+B 2b 2≥C 2.33.椭圆(x -x 0)2a 2+(y -y 0)2b2=1与直线Ax +By +C =0有公共点的充要条件是A 2a 2+B 2b 2≥(Ax 0+By 0+C )2.34.设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记∠F 1PF 2=α,∠PF 1F 2=β,∠F 1F 2P =γ，则有sin αsin β+sin γ=c a =e.35.经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则|P 1A 1|⋅|P 2A 2|=b 2.36.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP ⊥OQ .(1)1|OP |2+1|OQ |2=1a 2+1b2;(2)|OP |2+|OQ |2的最小值为4a 2b 2a 2+b 2;(3)S ΔOPQ 的最小值是a 2b 2a 2+b 2.37.MN 是经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则|AB |2=2a |MN |.38.MN 是经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP ⊥MN ，则2a |MN |+1|OP |2=1a 2+1b2.39.设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),M (m ,o )或(o ,m )为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q (A 1,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：x =a2m(或y =b 2m)上.40.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF .41.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.42.设椭圆方程x2a2+y2b2=1,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l：y=kx的共轭直线y=k x上,而且kk =-b2 a2 .43.设A、B、C、D为椭圆x2a2+y2b2=1上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为α,β，直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则PA⋅PBPC⋅PD=b2cos2β+a2sin2βb2cos2α+a2sin2α.44.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),点P为其上一点F1,F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外(内)角平分线为l，作F1、F2分别垂直l于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是x2+y2=a2c2y2=a2y2+b2x x±c2 a2y2+b2x±c2.45.设△ABC内接于椭圆Γ，且AB为Γ的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F，又D为l上一点，则CD与椭圆Γ相切的充要条件是D为EF的中点.46.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则|PF||MN|=e2.47.设A(x1,y1)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一点，过A作一条斜率为-b2x1a2y1的直线L，又设d是原点到直线L的距离,r1,r2分别是A到椭圆两焦点的距离，则r1r2d=ab.48.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和x2a2+y2b2=λ(0<λ<1)，一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.49.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),则-a2-b2a<x0<a2-b2 a.50.设P点是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记∠F1PF2=θ，则(1)|PF1||PF2|=2b21+cosθ.(2)SΔPF1F2=b2tanθ2.51.设过椭圆的长轴上一点B(m,o)作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过H点的直线MN：x=n于M，N两点,则∠MBN=90∘⇔a-ma+m=a2n-m2 b2(n+a)2.52.L是经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点P∈L，若∠EPF=α，则α是锐角且sinα≤e或α≤arcsin e(当且仅当|PH|=b时取等号).53.L是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点P∈L，e是离心率，∠EPF=α，H是L与X轴的交点c是半焦距，则α是锐角且sinα≤e或α≤arcsin e(当且仅当|PH|=ab c时取等号).54.L是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点P∈L，∠EPF=α,离心率为e，半焦距为c，则α为锐角且sinα≤e2或α≤arcsin e2(当且仅当|PH|=b c a2+c2时取等号).55.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点F1连结起来，则b2≤|F1A|⋅|F1B|≤(2a2-b2)2a2(当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号).56.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，∠PAB=α,∠PBA=β,∠BPA=γ，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|=2ab2|cosα|a2-c2cos2α.(2)tanαtanβ=1-e2.(3)SΔPAB=2a2b2b2-a2cotγ.57.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)、外部的两点，且x A、x B的横坐标x A⋅x B=a2，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则∠PBA=∠QBA；(2)若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则∠PAB+∠QAB=180∘.58.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)，外部的两点，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，(若BP交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称)，且∠PBA=∠QBA，则点A、B的横坐标x A、x B满足x A⋅x B=a2；(2)若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且∠PAB+∠QAB=180∘,则点A、B的横坐标满足x A⋅x B=a2.59.设A,A 是椭圆x2a2+y2b2=1的长轴的两个端点，QQ 是与AA 垂直的弦，则直线AQ与A Q 的交点P的轨迹是双曲线x2a2-y2b2=1.60.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD则8ab2a2+b2≤|AB|+|CD|≤2(a2+b2)a.61.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)两焦点的距离之比等于a -c b (c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆(x ±a )2+y 2=b 2.62.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴两端点的距离之比等于a -c b (c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆x ±a e 2+y 2=b e 2.63.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两准线和x 轴的交点的距离之比为a -c b (c 为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆x ±a e 2 2+y 2=b e 2 2(e 为离心率).64.已知P 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一个动点，A ,A 是它长轴的两个端点,且AQ ⊥AP ,A Q ⊥AP ，则Q 点的轨迹方程是x 2a 2+b 2y 2a4=1.65.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66.设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)长轴的端点为A ,A ,P (x 1,y 1)是椭圆上的点过P 作斜率为-b 2x 1a 2y 1的直线l ，过A ,A 分别作垂直于长轴的直线交l 于M ,M ,则(1)|AM ||A M |=b 2.(2)四边形MAA M 面积的最小值是2ab .67.已知椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC ⎳x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68.OA 、OB 是椭圆(x -a )2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则(1)直线AB必经过一个定点2ab 2a 2+b 2,0 .(2)以OA 、OB 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是x -ab 2a 2+b 2 2+y 2=ab 2a 2+b 2 2(x ≠0).69.P (m ,n )是椭圆(x -a )2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一个定点，PA 、PB 是互相垂直的弦，则(1)直线AB 必经过一个定点2ab 2+m (a 2-b 2)a 2+b 2,n (b 2-a 2)a 2+b 2 .(2)以PA 、PB 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是x -ab 2+a 2m a 2+b 2 2+y -b 2n a 2+b 2 2=a 2[b 4+n 2(a 2-b 2)](a 2+b 2)2(x ≠m 且y ≠n ).70.如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么(1)d 1d 2=b 2，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.(2)d 1d 2>b 2，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，(3)d 1d 2<b 2，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71.AB 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是x2a2+4y2b2=1(y≠0).72.设点P(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的内部一定点，AB是椭圆x2a2+y2b2=1过定点P(x0,y0)的任一弦，当弦AB平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时(|PA|⋅|PB|)max=a2b2-(a2y02+b2x02)b2.当弦AB垂直于长轴所在直线时,(|PA|⋅|PB|)min=a2b2-(a2y02+b2x02)a2.73.椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.74.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.76.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.79.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80.椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81.椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85.椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86.椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.87.椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88.椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)(包括圆在内)上有一点P,过点P分别作直线y=b a x及y=-b a x的平行线，与x 轴于M ,N ，与y 轴交于R ,Q .,O 为原点，则：(1)|OM |2+|ON |2=2a 2；(2)|OQ |2+|OR |2=2b 2.90.过平面上的P 点作直线l 1:y =b a x 及l 2:y =-b ax 的平行线，分别交x 轴于M ,N ，交y 轴于R ,Q .(1)若|OM |2+|ON |2=2a 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).(2)若|OQ |2+|OR |2=2b 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).91.点P 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ,N ，交直线y =-b ax 于Q ,R ，记ΔOMQ 与ΔONR 的面积为S 1,S 2，则：S 1+S 2=ab 2.92.点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ,N ，交直线y =-b ax 于Q ,R ，记△OMQ 与△ONR 的面积为S 1,S 2，已知S 1+S 2=ab 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).93.过椭圆焦点垂直于长轴的弦(通径)是最短的弦，长为2b 2a，过焦点最长弦为长轴．94.过原点最长弦为长轴长2a ，最短弦为短轴长2b .95.与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)有共焦点的椭圆方程为x 2a 2+λ+y 2b 2+λ=1(a >b >0，λ>-b 2)．96.与椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)有共焦点的椭圆方程为y 2a 2+λ+x 2b 2+λ=1(a >b >0，λ>-b 2)．97.焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．若r 1=|PF 1|，r 2=|PF 2|，∠F 1PF 2=θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)中：①当r 1=r 2时，即点P 为短轴端点时，θ最大；cos θ=r 21+r 22-4c 22r 1r 2=r 1+r 2 2-2r 1r 2-4c22r 1r 2=4b 22r 1r 2-1=2b 2r 1r 2-1≥2b 2r 1+r 222-1=2b 2-a 2a 2=b 2-c 2a 2当且仅当r 1=r 2时，等号成立.②S =12|PF 1||PF 2|sin θ=c |y 0|=sin θ1+cos θb 2=b 2tan θ2，当|y 0|=b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；③△PF 1F 2的周长为2(a +c )．98.AB 为过F 的焦点弦，则1FA +1FB =2ab 299.已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1、F 2.椭圆Γ在点P 处的切线为l ，Q ∈l .且满足∠AQF1=θ0<θ<π2，则点Q在以C0,±cθcot为圆心，a θsin为半径的圆上.六、双曲线的二级结论1.PF1-PF2=2a2.标准方程x2a2-y2b2=13.PF1d1=e>14.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.5.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8.设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点.9.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2a2+y2b2=1.10.若点P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上，则在点P0处的切线方程是x0xa2-y0yb2=1.11.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)外，则过P0作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2-y0yb2=1.12.若AB是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=b2a2.13.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)内，则被P0所平分的中点弦的方程是x0xa2-y0yb2=x02a2-y02 b2 .14.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是x2a2-y2b2=x0xa2-y0y b2.15.若PQ是双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)上对中心张直角的弦，则1r12+1r22=1a2-1b2(r1=|OP|,r2=|OQ|).16.若双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By=1(AB≠0),则(1)1a2-1 b2=A2+B2;(2)L=2a4A2+b4B2|a2A2-b2B2|.17.给定双曲线C1：b2x2-a2y2=a2b2(a>b>0),C2：b2x2-a2y2=a2+b2a2-b2ab2,则(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点M a2+b2a2-b2x0,-a2+b2a2-b2y0. (ii)对C2上任一点P (x0 ,y0 )在C1上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过P 点.18.设P(x0,y0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,-my0)(m≠1)的充要条件是k1⋅k2=1+m1-m⋅b2a2.19.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>o)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且k BC=-b2x0a2y0(常数).20.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点∠F1PF2=γ，则双曲线的焦点角形的面积为S△F1PF2=b2cotγ2=b2γ2tan，P±ac c2+b2cot2γ2,±b2c cotγ2.21.若P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β，则c-ac+a=tan α2cotβ2(或c-ac+a=tanβ2cotα2).22.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>o)的焦半径公式：F1(-c,0),F2(c,0)当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a.当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.23.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1<e≤2+1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d1与PF2的比例中项.24.P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线左支内一定点，则|AF2|-2a≤|PA|+|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P在左支时，等号成立.25.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上存在两点关于直线l：y=k(x-x0)对称的充要条件是x02>(a2+b2)2 a2-b2k2k≠0且k≠±a b .26.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P是双曲线x=a secϕy=b tanϕ(a>0，b>0)上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是e2=11-tan2ϕ.29.设A,B为双曲线x2a2-y2b2=k(a>0,b>0，k>0,k≠1)上两点，其直线AB与双曲线x2a2-y2b2=1相交于P,Q,则AP=BQ.30.在双曲线x2a2-y2b2=1中，定长为2m(m>0)的弦中点轨迹方程为m2=1-x2a2-y2b2a2cosh2t+b2sinh2t,coth t=-aybx,x=0时t=0，弦两端点在两支上x2a2-y2b2-1a2sinh2t+b2cosh2t，coth t=-bxay,y=0时t=0，弦两端点在同支上31.设S为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线右支上移动，记|AB|=l，M(x0,y0)是AB中点，则当l≥ΦS时，有(x0)min=a2c+l2e c2=a2+b2,e=c a;当l<ΦS时，有(x0)min=a2b4b2+l2.32.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2≤C2.33.双曲线(x-x0)2a2-(y-y0)2b2=1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2≤(Ax0+By0+C)2.34.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记∠F1PF2=α,∠PF1F2=β,∠F1F2P=γ，则有sinα±(sinγ-sinβ)=c a=e.35.经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和P2，则|P1A1|⋅|P2A2|=b2.36.已知双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ.(1)1|OP|2+1 |OQ|2=1a2-1b2;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为4a2b2b2-a2;(3)SΔOPQ的最小值是a2b2b2-a2.37.MN是经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平行于MN的弦，则|AB|2=2a|MN|.38.MN是经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦OP⊥。

（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx圆锥曲线⼀、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数（⼤于| F1 F2 |）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意： 2a | F1F2 | 表⽰椭圆；2a | F1F2|表⽰线段F1F2； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准⽅程、图象及⼏何性质：中⼼在原点，焦点在x 轴上中⼼在原点，焦点在y 轴上标准⽅程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离⼼率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2(0 e 1) （离⼼率越⼤，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常⽤结论：（1）椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点，则ABF 2的周长=（2）设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2，过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |⼆、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数（⼩于| F1F2 | ）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意： | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表⽰双曲线的⼀⽀。

圆锥曲线知识点清单1.圆锥曲线定义：圆锥曲线可以定义为平面上一条曲线，是由一个平面与一个双曲面(或抛物面、圆锥、椭球)相交而得到的曲线。

2.圆锥曲线的分类：根据双曲面的切割方式，圆锥曲线可以分为圆、椭圆、双曲线和抛物线四种。

3.圆：圆是一种特殊的圆锥曲线，是由一个平面与圆锥体的底面相交而得到的曲线。

圆的特点是所有的点到圆心的距离都相等。

4.椭圆：椭圆是圆锥曲线中除了圆之外最为常见的一种形式。

椭圆的特点是到两个焦点的距离之和等于定长的点构成的轨迹。

5.双曲线：双曲线是圆锥曲线中的一种形式，具有两个分离的点，称为焦点。

双曲线的特点是到两个焦点的距离之差等于定长的点构成的轨迹。

6.抛物线：抛物线是圆锥曲线中的一种形式，具有一个焦点和一个定点。

抛物线的特点是到焦点和定点的距离相等的点构成的轨迹。

7.圆锥曲线的方程：每种圆锥曲线都有其特定的方程形式。

例如，椭圆的方程可以表示为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴长度。

8.圆锥曲线的焦点和准线：每种圆锥曲线都具有焦点和准线，它们在曲线的定义中起到重要作用。

焦点是曲线的特定点，而准线是曲线的特定直线。

9.圆锥曲线的参数方程：除了直角坐标系方程外，圆锥曲线还可以使用参数方程来表示。

参数方程由参数t控制，使我们可以通过调整参数值来改变曲线的形状。

10.圆锥曲线的基本性质：每种圆锥曲线都具有一些基本的性质，如对称性、渐近线、离心率等。

这些性质有助于我们更好地理解和分析圆锥曲线。

11.圆锥曲线的应用：圆锥曲线在现实生活和工程领域中有着广泛的应用，如天体轨道、卫星通信、汽车运动轨迹等。

了解圆锥曲线的性质和方程形式有助于我们更好地理解和应用它们。

12.圆锥曲线的研究方法：研究圆锥曲线的方法包括几何方法和解析几何方法。

几何方法主要是通过几何性质和图形推理来研究曲线的特性，而解析几何方法则是通过代数和数学计算来推导圆锥曲线的方程和性质。

以上是圆锥曲线的一些主要知识点，通过学习和了解这些知识点，我们可以更好地理解和应用圆锥曲线。

完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。

三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。

构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。

2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。

椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。

椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。

重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2)；焦=缩1 比为e = c/a，其中c^2 = a^2– b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。

抛物线的离心率为1，焦缩比为1.抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。

重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) =。

y4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。

双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。

双曲线的焦缩比为c^2=a^2+ b^2.重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2)–(y^2/b^2) =1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。

椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。

抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。

双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。

6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。

对称性：椭圆和双曲线关于x 轴和y 轴都有对称性，抛物线关于y 轴有对称性。

切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。

焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。

此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。

熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。

高三数学圆锥曲线的定义及应用圆锥曲线的综合应用一、圆锥曲线的定义1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。

即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。

2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。

即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。

3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。

二、圆锥曲线的方程。

1.椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）2.双曲线：-=1（a>0, b>0）或-=1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）三、圆锥曲线的性质1.椭圆：+=1（a>b>0）（1）范围：|x|≤a，|y|≤b（2）顶点：(±a,0)，(0,±b)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(0,1)（5）准线：x=±2.双曲线：-=1（a>0, b>0）（1）范围：|x|≥a, y∈R（2）顶点：(±a,0)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(1,+∞) （5）准线：x=±（6）渐近线：y=±x3.抛物线：y2=2px(p>0)（1）范围：x≥0, y∈R（2）顶点：（0,0）（3）焦点：（,0）（4）离心率：e=1（5）准线：x=-四、例题选讲：例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。

高中数学圆锥曲线试题（含答案解析）！高中生一定要过一遍
圆锥曲线，在高考中一直作为压轴大题的形式出现，其实圆锥曲线很简单，是在圆锥中发现的一种曲线，垂直于母线切一刀的切面即为圆锥曲线，其中锐角圆锥切面为椭圆，直角圆锥切面为抛物线，钝角圆锥切面为双曲线。

多多总结题型，圆锥曲线题型也就十多种。

一般解题时都会用到了弦长、弦的中点和向量垂直等知识，而问题的解决仍然是转化为弦的端点坐标来表示。

如果不知道斜率存在问题，上面已经告诉怎么设了，还有要知道如何由纵坐标的数量关系计算出横坐标的数量关系。

今天给同学们分享一份圆锥曲线的试题，同学们一定要仔细做一遍，在核对答案解析哦，另外呢，这份资料是word版的，所以大家可以下载！最重要的是：可以放在手机上，保存然后阅读，平时都可以拿手机随便翻翻来记忆。

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高考数学核心考点深度解析圆锥曲线篇在高考数学中，圆锥曲线一直是一个重要的考点，其涉及的知识点较为深奥，对学生的数学能力和逻辑思维能力都有很高的要求。

本文将从圆锥曲线的基本概念出发，深度解析其在高考数学中的应用，并对其中的核心考点进行逐一剖析。

一、基本概念1. 圆锥曲线的定义：圆锥曲线是平面上的点到两个定点的距离之比等于到一个定点到一个定直线的距离的性质的点的轨迹。

2. 圆锥曲线的分类：圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型，它们分别对应着不同的几何特征和数学表达式。

二、椭圆1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

2. 椭圆的性质：椭圆具有对称性、焦点、长轴和短轴等几何特征，并且在数学上有严格的表达式和性质。

三、双曲线1. 双曲线的定义：双曲线是平面上到两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹。

2. 双曲线的性质：双曲线同样具有对称性、焦点、渐近线等独特的几何特征，其数学性质和表达式也有着明确定义。

四、抛物线1. 抛物线的定义：抛物线是平面上到一个定点到一个定直线的距离相等的点的轨迹。

2. 抛物线的性质：抛物线是所有圆锥曲线中最简单的一种，其几何性质和数学表达式都具有很强的规律性和特殊性。

五、高考数学中的应用圆锥曲线在高考数学中有着举足轻重的地位，它涉及到的知识点既有几何直观又有严谨的数学表达，考查的内容也涵盖了平面几何、解析几何和代数方程等多个方面。

六、核心考点解析1. 圆锥曲线方程：掌握圆锥曲线的一般方程及标准方程是解题的基础，要熟练掌握各种类型圆锥曲线的方程形式和性质。

2. 圆锥曲线的性质：了解椭圆、双曲线和抛物线各自的特点和性质，对其焦点、渐近线、参数方程等知识要有深入的理解。

3. 圆锥曲线的应用：掌握圆锥曲线在现实生活和工程技术中的实际应用，能够将数学知识与实际问题相结合。

七、个人观点圆锥曲线作为高考数学的重要内容，不仅考查学生对数学知识的掌握和运用能力，更重要的是培养学生的逻辑思维和数学素养。