第二课时 分段函数与映射[提出问题]某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5千米以内，票价2元；(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)． 已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站． 问题1：从起点站出发，公共汽车的行程x (千米)与票价y (元)有函数关系吗？ 提示：有函数关系．问题2：若有函数关系，函数的表达式是什么？提示：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， 0＜x ≤5，3， 5＜x ≤10.问题3：x 与y 之间有何特点？提示：x 在不同区间内取值时，与y 所对应的关系不同． [导入新知]如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系，称这样的函数为分段函数．[化解疑难]分段函数的三要点(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数．分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．(2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．(3)求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集.[提出问题]A ＝{x |x 是三角形}，B ＝{x |x 是圆}．对应关系：每一个三角形都对应它的外接圆． 问题1：从集合A 到集合B 能构成函数吗？ 提示：不能．问题2：从集合A 到集合B 的对应有什么特点？提示：对于集合A 中的任何一个三角形，在集合B 中都有唯一的外接圆与之对应． [导入新知]映射的定义设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．[化解疑难]－2∈(－∞，－2]，知f (－5)＝(－5)＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋1＝－32，且－2<－32<2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－3＝－34.(2)当a ≤－2时，a ＋1＝3，即a ＝2>－2，不合题意，舍去．当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0. 所以(a －1)(a ＋3)＝0，得a ＝1，或a ＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意． 当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2，符合题意． 综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1，或a ＝2. [类题通法]1．求分段函数的函数值的方法先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值，直到求出值为止．2．求某条件下自变量的值的方法先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．[活学活用]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2，x ＞0，2，x ＝0，1－2x ，x ＜0.(1)求f (f (－2))的值； (2)求f (a 2＋1)(a ∈R)的值； (3)当－4≤x ＜3时，求f (x )的值域． 解：(1)∵f (－2)＝1－2×(－2)＝5， ∴f (f (－2))＝f (5)＝4－52＝－21.(2)当a ∈R 时，a 2＋1≥1＞0，∴f (a 2＋1)＝4－(a 2＋1)2＝－a 4－2a 2＋3(a ∈R)． (3)①当－4≤x ＜0时，f (x )＝1－2x ， ∴1＜f (x )≤9； ②当x ＝0时，f (x )＝2； ③当0＜x ＜3时，f (x )＝4－x 2， ∴－5＜f (x )＜4.故当－4≤x ＜3时，函数f (x )的值域是(－5,9].[例2] (1)，值域为________．(2)已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．①用分段函数的形式表示该函数； ②画出该函数的图象； ③写出该函数的值域．[解] (1)由图象可知，第一段的定义域为[－1,0)，值域为[0,1)； 第二段的定义域为[0,2]，值域为[－1,0]．所以该分段函数的定义域为[－1,2]，值域为[－1,1)． (2)①当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1；当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 0≤x ≤2，1－x ， －2<x <0.②函数f (x )的图象如图所示，③由②知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)． [答案] (1)[－1,2] [－1,1) [类题通法]分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．[活学活用]已知函数y ＝f (x )的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．解：题图中给定的图象实际上是一个分段函数的图象，对各段对应的函数解析式进行求解时，一定要注意其区间的端点．根据图象，设左侧的射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (x <1)．∵点(1,1)，(0,2)在射线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝1，b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2，∴左侧射线对应的函数的解析式为y ＝－x ＋2(x <1)． 同理，x >3时，函数的解析式为y ＝x －2(x >3)． 再设抛物线对应的二次函数解析式为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a <0)．∵点(1,1)在抛物线上，∴a ＋2＝1，a ＝－1. ∴1≤x ≤3时，函数的解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)． 综上可知，函数的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x <1，－x 2＋4x －2，1≤x ≤3，x －2，x >3.[例3] (1)A ＝N *，B ＝N *，对应关系f ：x →|x －3|；(2)A ＝{平面内的圆}，B ＝{平面内的矩形}，对应关系f ：作圆的内接矩形； (3)A ＝{高一(1)班的男生}，B ＝R ，对应关系f ：每个男生对应自己的身高； (4)A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤6}，对应关系f ：x →y ＝12x .[解] (1)A 中元素3在对应关系f 的作用下与3的差的绝对值为0，而0∉B ，故不是映射．(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A 中任何一个元素在集合B 中有无数个元素与之对应，故不是映射．(3)对A 中任何一个元素，按照对应关系f ，在B 中都有唯一的元素与之对应，符合映射定义，是映射．(4)因为A 中每一个元素在f ：x →y ＝12x 作用下对应的元素构成的集合C ＝{y |0≤y ≤1}⊆B ，符合映射定义，是映射．[类题通法]判断一个对应是否为映射的两个关键点(1)对于A 中的任意一个元素，在B 中是否有元素对应； (2)B 中的对应元素是否是唯一的．[注意] “一对一”或“多对一”的对应都是映射．[活学活用]已知A ＝{1,2,3，…，9}，B ＝R ，从集合A (1)与A 中元素1相对应的B 中的元素是什么？ (2)与B 中元素49相对应的A 中的元素是什么？解：(1)A 中元素1，即x ＝1，＝13，中的元素是13.x ＝4，因此与B 中元素49相对应的A 中的元素是4.2.函数在实际中的应用[典例] (12分)如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF ＝x cm ，试写出左边部分的面积y (cm 2)关于x (cm)的函数解析式，并画出大致图象．[规范解答]过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H. 因为ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 2 cm，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm.又因为BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.(2分)[活学活用]某汽车以52 km/h 的速度从A 地行驶到260 km 远处的B 地，在B 地停留1.5 h 后，再以65 km/h 的速度返回A 地，试将汽车离开A 地后行驶的路程s 表示为时间t 的函数．解：因为260÷52＝5,260÷65＝4， 所以，当0≤t ≤5时，s ＝52t ； 当5<t ≤6.5时，s ＝260；当6.5<t ≤10.5时，s ＝260＋65(t －6.5)． 所以s ＝⎩⎪⎨⎪⎧52t ，0≤t ≤5，260，5<t ≤6.5，260＋t －，6.5<t ≤10.5.[随堂即时演练]1．下列对应关系f 中，能构成从集合A 到集合B 的映射的是( ) A ．A ＝{x |x ＞0}，B ＝R ，f ：x →|y |＝x 2B ．A ＝{－2,0,2}，B ＝{4}，f ：x →y ＝x 2C ．A ＝R ，B ＝{y |y ＞0}，f ：x →y ＝1x2D ．A ＝{0,2}，B ＝{0,1}，f ：x →y ＝x2解析：选D 对于A ，集合A 中元素1在集合B 中有两个元素与之对应；对于B ，集合A 中元素0在集合B 中无元素与之对应；对于C ，集合A 中元素0在集合B 中无元素与之对应．故A ，B ，C 均不能构成映射．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈，1]，则正确的函数图象是( )解析：选A 当x ＝－1时，y ＝0，即图象过点(－1，0)，显然D 错；当x ＝0时，y ＝1，即图象过点(0,1)，C 错；当x ＝1时，y ＝2，即图象过点(1,2)，B 错．所以选A.3．若f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. 解析：令1－2x ＝t ，则x ＝1－t2(t ≠1)， ∴f (t )＝4t －2－1， 即f (x )＝4x －2－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝16－1＝15. 答案：154．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，若f (x )＝3，则x 的值是________．解析：当x ≤－1时，x ＋2＝3，得x ＝1，舍去； 当－1<x <2时，x 2＝3得x ＝3或x ＝－3(舍去)． 答案： 35.如图所示，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)．(1)求f (f (0))的值； (2)求函数f (x )的解析式． 解：(1)直接由图中观察，可得f (f (0))＝f (4)＝2.(2)设线段AB 所对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝b ，0＝2k ＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，k ＝－2.∴y ＝－2x ＋4(0≤x ≤2)．同理，线段BC 所对应的函数解析式为y ＝x －2(2<x ≤6)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4， 0≤x ≤2，x －2， 2<x ≤6.[课时达标检测]一、选择题1．给出如图所示的对应：其中构成从A 到B 的映射的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选A ①是映射，是一对一；②③是映射，满足对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应；④⑤不是映射，是一对多；⑥不是映射，a 3，a 4在集合B 中没有元素与之对应．2．映射f ：A →B ，在f 作用下A 中元素(x ，y )与B 中元素(x －1,3－y )对应，则与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是( )A ．(－1,2)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(－1,3)解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，3－y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是(1,2)．3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5， x ≥6，fx ＋， x ＜6，则f (3)等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A f (3)＝f (3＋2)＝f (5)，f (5)＝f (5＋2)＝f (7)．∵f (7)＝7－5＝2，故f (3)＝2.4．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析：选D 当x ＜0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A 、B 、C ，故选D.5．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的话费符合f (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧3.71，0<m ≤4，m ]＋，m >4，其中[m ]表示不超过m 的最大整数，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是( )A ．3.71B ．4.24C ．4.77D ．7.95解析：选C f (5.2)＝1.06×(0.5×[5.2]＋2)＝1.06×(2.5＋2)＝4.77. 二、填空题6．集合A ＝{a ，b }，B ＝{－1,0,1}，从A 到B 的映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝0，那么这样的映射f ：A →B 的个数是________．解析：由f (a )＝0，f (b )＝0得f (a )＋f (b )＝0；由f (a )＝1，f (b )＝－1得f (a )＋f (b )＝0；由f (a )＝－1，f (b )＝1得f (a )＋f (b )＝0.共3个．答案：37．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．解析：由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，x ，x <1，画出函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．答案：(－∞，1]8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________．解析：由f (－4)＝f (0)⇒(－4)2＋b ×(－4)＋c ＝c ，f (－2)＝－2⇒(－2)2＋b ×(－2)＋c ＝－2，解得b ＝4，c ＝2.则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0.由f (x )＝x ，得x 2＋4x ＋2＝x ⇒x 2＋3x ＋2＝0⇒x ＝－2或x ＝－1，即当x ≤0时，有两个解．当x >0时，有一个解x ＝2.综上，f (x ) ＝x 有3个解．答案：3 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤4，－x ＋2，x >4.(1)求f (f (f (5)))的值； (2)画出函数的图象．解：(1)∵5>4，∴f (5)＝－5＋2＝－3. ∵－3<0，∴f (f (5))＝f (－3)＝－3＋4＝1. ∵0<1<4，∴f (f (f (5)))＝f (1) ＝12－2×1＝－1， 即f (f (f (5)))＝－1. (2)图象如右图所示．10.在边长为4的正方形ABCD 的边上有一动点P ，从B 点开始，沿折线BCDA 向A 点运动(如图)，设P 点移动的距离为x ，△ABP 的面积为y ，求函数y ＝f (x )及其定义域．解：如题图，当点P 在线段BC 上，即0≤x ≤4时，y ＝12×4×x＝2x ；当P 点在线段CD 上，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当P 点在线段DA 上，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .∴y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12，且f (x )的定义域是[0,12]．11.如图所示，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点(起点)向A 点(终点)移动．设P 点移动的路程为x ，△ABP的面积为y ＝f (x )．(1)求△ABP 的面积与P 移动的路程的函数关系式； (2)作出函数的图象，并根据图象求f (x )的最大值． 解：(1)函数的定义域为(0,12)． 当0<x ≤4时，S ＝f (x )＝12×4×x ＝2x ；当4<x ≤8时，S ＝f (x )＝12×4×4＝8；当8<x <12时，S ＝f (x )＝12×4×(12－x )＝24－2x .∴函数解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ∈，4]，8，x ∈，8]，24－2x ，x ∈，(2)图象如图所示．从图象可以看出f (x )max ＝8.12．设A ＝{1,2,3，m }，B ＝{4,7，n 4，n 2＋3n }，对应关系f ：x →y ＝px ＋q ，已知m ，n ∈N *,1对应的元素是4,2对应的元素是7，试求p ，q ，m ，n 的值．解：因为1对应的元素为4,2对应的元素为7，列方程组⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＝4，2p ＋q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，q ＝1.故对应关系为f ：x →y ＝3x ＋1.由此判断A 中元素3对应的元素要么是n 4，要么是 n 2＋3n .若n 4＝10，则n ∈N *不成立，所以n 2＋3n ＝10，解得n ＝－5(舍去)或n ＝2.因为集合A 中的元素m 对应的元素只能是n 4，等于16， 所以3m ＋1＝16， 所以m ＝5.故p ＝3，q ＝1，m ＝5，n ＝2.。
