_高中数学1.1.2集合间的基本关系随堂练习新人教A版必修1

人教A 版高中数学必修一1、1、2集合间的基本关系 同步练习一、选择题1、满足条件{1,2,3}⊂≠M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 （ ）A 、8B 、7C 、6D 、52、若集合{}0|2≤=x x A ，则下列结论中正确的是（ ）A 、A=0B 、A ⊂0C 、∅=AD 、A ⊂∅3、下列五个写法中①{}{}2,1,00∈，②{}0≠⊂∅，③{}{}0,2,12,1,0⊆，④∅∈0， ⑤∅=∅ 0，错误的写法个数是（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4、若集合}1|{},2|{-====-x y y P y y M x ，则P M 等于_____A 、 }1|{>y yB 、}1|{≥y yC 、}0|{>y yD 、}0|{≥y y5、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<-030122x x x 的解集是_____ A 、 }11|{<<-x x B 、 }30|{<<x x C 、 }10|{<<x x D 、}31|{<<-x x6、已知全集⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈-=Z a N a a M 且56|,则M=( ) A 、{2，3} B 、{1，2，3，4} C 、{1，2，3，6}D 、{-1，2，3，4}7、集合},02{2R x a x x x M ∈=-+=，且φM ，则实数a 的范围是（ ） A 、1-≤a B 、1≤a C 、1-≥aD 、1≥a二、填空题8、调查某班50名学生，音乐爱好者40名，体育爱好者24名，则两方面都爱好的人数最少是 ，最多是9、已知集合A ＝｛x ∈R ｜x 2+2ax+2a 2-4a+4＝0｝，若φA ，则实数a 的取值是10、已知集合A ＝｛x ∈N *｜26+x ∈Z ｝，集合B ＝｛x ｜x ＝3k+1,k ∈Z ｝，则 A 与B 的关系是11、已知A ＝｛x ｜x ＜3}，B ＝｛x ｜x ＜a }(1)若B ⊆A ，则a 的取值范围是______(2)若A B ，则a 的取值范围是______12、若｛1，2，3｝A ⊆｛1，2，3，4｝，则A ＝______三、解答题13、设A ＝｛x ｜x 2－8x ＋15＝0｝，B ＝｛x ｜ax －1＝0｝，若B ⊆A ，求实数a 组成的集合、14、已知A ＝｛x ，xy ，1n(xy)｝，B ＝｛0，｜x ｜，y ｝，且A ＝B 。

第一章 1.1 1.1.21．集合{0}与∅的关系是()A．{0}∅B．{0}∈∅C．{0}＝∅D．{0}⊆∅解析：空集是任何非空集合的真子集，故选项A正确．集合与集合之间无属于关系，故选项B错误；空集不含任何元素，{0}含有一个元素0，故选项C、选项D均错误．答案：A2．设A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x<2，或x>3}，则()A．A∈B B．B∈AC．A B D．B A解析：∵－1<x<0<2，∴对任意x∈A，则x∈B，又1∈B，但1∉A，∴A B.答案：C3．集合{a，b}的子集个数为()A．1B．2C．3D．4解析：当子集不含元素时，即为∅；当子集中含有一个元素时，其子集为{a}，{b}；当子集中有两个元素时，其子集为{a，b}．答案：D4．集合U，S，T，F的关系如图所示，下列关系错误的有________．(填序号)①S U；②F T；③S T；④S F；⑤S F；⑥F U.解析：根据子集、真子集的Venn图，可知S U，S T，F U正确，其余错误．答案：②④⑤5．用适当的符号填空(“∈、∉、、＝”)．(1)a________{a，b，c}；(2)∅________{x∈R|x2＋1＝0}；(3){0}________{x|x2＝x}；(4){2,1}________{x|x2－3x＋2＝0}．解析：(1)为元素与集合的关系，(2)(3)(4)为集合与集合的关系．易知a∈{a，b，c}；∵x2＋1＝0在实数范围内的解集为空集，故∅＝{x∈R|x2＋1＝0}；∵{x|x2＝x}＝{0,1}，∴{0}{x|x2＝x}；∵x2－3x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝2.∴{2,1}＝{x|x2－3x＋2＝0}．答案：(1)∈(2)＝(3)(4)＝6．已知集合A＝{x，xy，x－y}，集合B＝{0，|x|，y}．若A＝B，求x＋y的值．解：∵0∈B，A＝B，∴0∈A.又由集合中元素的互异性，可以断定|x|≠0，y≠0，∴x≠0，xy≠0.故x－y＝0，即x＝y.此时A＝{x，x2,0}，B＝{0，|x|，x}，∴x2＝|x|.当x＝1时，x2＝1，与元素互异性矛盾，∴x＝－1，即x＝y＝－1.∴x＋y＝－2.。

1.1.2集合间的基本关系1. 集合123{,,,,}n A a a a a =L ，则A 的子集有 个，真子集有 个。

2.（1）满足条件{2,3}{1,2,3,4,5}M ⊆⊆的集合M 有 个。

（2）{2,3,7}A ⊂≠，且A 中至多有一个奇数，则这样的集合A 有 A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个3.（1）设集合2{|,}P y y x x R ==∈，2{(,)|,}Q x y y x x R ==∈，则P 与Q 的关系是A ．P Q ⊆B ．P Q ⊇C ．P Q =D ．以上都不对（2）已知集合},61|{Z m m x x M ∈+==，},312|{Z n n x x N ∈-==， },612|{Z p p x x P ∈+==试确定P N M ,,之间的关系．4.已知集合{(,)|2,,}A x y x y x y N =+=∈，写出A 的所有子集。

5.已知集合{|13}A x x =≤≤，{|(1)()0}B x x x a =--=。

（1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使得A B =成立？6.已知集合{2,4,6,8,9}A =，{1,2,3,5,8}B =，又非空集合C 是这样的一个集合：若各元素都加上2后就变成了A 的一个子集；若各元素都减去2就变成了B 的一个子集，求集合C 。

7．（1）已知集合{1,3,21}A m =--，集合2{3,}B m =，若A B ⊆，则实数m 的取之集合为 。

（2）已知集合}1|{},1|{2====ax x B x x A ．若A B ⊆，求实数a 的值；（3）集合{}02},1,1{2=+-=-=b ax x x B A ，若B ≠∅，且B A ⊆，求a 和b 的值．（4）已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆，求实数m 的范围。

8.设{}042=+=x x x A ，函数{}01)1(222=-+++=a x a x x B ． （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若A B ⊆，求实数a 的值.。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．下列符号表述正确的是（ ） A ．*0N ∈ B ．1.732Q ∉ C ．{}0∅∈ D ．{}2x x ∅⊆≤答案：D解析：根据元素与集合、集合与集合的关系可判断各选项的正误. 详解：对于A 选项，0N *∉，A 选项错误；对于B 选项，1.732Q ∈，B 选项错误； 对于C 选项，{}0∅⊆，C 选项错误；对于D 选项，{}2x x ∅⊆≤，D 选项正确. 故选：D. 点睛：本题考查元素与集合、集合与集合关系的判断，属于基础题.2．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}1,B y y x x A ==-∈，则下列关系正确的是（ ） A ．A B = B ．A B ⊆ C ．B A ⊆ D ．A B =∅ 答案：C解析：求出B 后可判断,A B 的关系. 详解：由集合{}2,1,0,1,2A =--，{}1,B y y x x A ==-∈， 得{}1,0,1B =-．又因为集合{}2,1,0,1,2A =--，所以B A ⊆．故选C ． 点睛：判断两个集合是否具有包含关系，只需根据子集的定义检验即可，此类问题为容易题. 3．下列关系中正确的个数为（ ）（1）{}00∈；（2）{}0∅⊆；（3）{}(){}0,10,1⊆； （4）(){}(){},,a b b a =；（5）{}{},,a b b a =. A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C解析：利用元素与集合的关系符号表示、集合与集合之间的关系符号表示即可判断. 详解：对于（1），0是集合{}0中的元素，即{}00∈，故正确； 对于（2），空集是任何集合的子集，故{}0∅⊆，故正确；对于(3)，集合{}0,1中的元素为0，1，集合(){}0,1中的元素为()0,1，故错误； 对于(4)，集合(){},a b 中的元素为(),a b ，集合(){},b a 中的元素为(),b a ，故错误. 对于（5），{},a b 中的元素为,a b ，{},b a 中的元素为,a b ，故正确. 故选：C4．下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．{|33}x x B ．2{|0}x x ≤C ．2{|10,}x x x x R -+=∈D ．22{(,)|,,}x y y x x y R =-∈答案：C解析：利用空集的定义直接判断选项是否是空集，即可． 详解： 解：33x +=，0x ∴=，所以{|33}{0}x x +==，A不是空集．20x ，0x ∴=，所以2}{|0}{0x x ≤=,B 不是空集．210x x -+=，x ∈R ，()2141130∆=--⨯⨯=-<，2{|10,}x x x x R ∴-+=∈=∅；即C 是空集．22y x =-，x ，y R ∈，即220y x +=0x y =⎧∴⎨=⎩，所以{}22){(,)|,,(0,0}x y y x x y R ==-∈；D 不是空集． 故选：C ．5．已知集合{}2320A x x x =-+=，{}06B x x =∈<<N ，则满足条件A C B ⊆的集合C 的个数为（ ） A ．7 B ．8C ．15D ．16答案：A解析：先求出集A ，B ，再由件A C B ⊆，确定集合C 即可 详解：解：由题意得{}{}1,2,1,2,3,4,5A B ==, 因为A C B ⊆所以{}1,2 {}1,2,3,4,5C ⊆，所以集合C 的个数为集合{}3,4,5的非空子集的个数为3217-=， 故选：A.6．已知集合{}21,2,2A a =+，{}1,3B a =，若B A ⊆，则a =（ ）A ．1或2B ．2C ．3D ．1或2或23答案：D解析：利用子集的定义讨论即可. 详解：因为B A ⊆，集合{}21,2,2A a =+，{}1,3B a =，若32a =，则23a =，符合；若223+=a a ，则1a =或2，经检验均符合. 故选：D. 7．若1,2,3} A ⊆1,2,3,4,5}，则集合A 的个数为 A ．2 B ．3C ．4D ．5答案：B 详解：集合1,2,3}是集合A 的真子集，同时集合A 又是集合1,2,3,4,5}的子集，所以集合A 只能取集合1,2,3,4}，1,2,3,5}和1,2,3,4,5}． 考点：集合间的基本关系.8．已知集合{}1,2A =，()(){}|10,B x x x a a R =--=∈.若A B =，则a 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．-1 D ．-2答案：A解析：首先化简集合B ，再根据两个集合相等，里面的元素相等即可求出a 的值. 详解：由题意得()(){}{}|10,1,B x x x a a R a =--=∈=，因为A B =，所以2a =. 故选：A 点睛：本题主要考查了集合的相等，属于基础题.9．设集合A=｛x|1<x<2｝,B=｛x|x<a ｝满足A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,+∞) B ．(-∞，1]C ．(2,+∞)D ．(-∞，2]答案：A解析：根据子集的定义、以及A 、B 两个集合的范围，建立实数a 的不等式，求解即可得到a 的取值范围． 详解：由于 集合A ＝x|1＜x ＜2}，B ＝x|x ＜a}，且满足A ⊆B ， ∴a≥2， 故选：A ． 点睛：本题主要考查集合间的关系，子集的定义，属于基础题．10．已知P 2{|1,x x n n ==+∈}N ，Q 2{|41,y y m m m ==-+∈}N ，则P 与Q 关系是（ ） A ．P Q = B ．P QC ．P QD ．以上都不对答案：D解析：根据2P ∈,但2Q ∉,以及2Q -∈但2P -∉可得. 详解：当1n =时,2x =,所以2P ∈,令2412m m -+=,即2410m m --=,解得2m =N ∉, 所以2Q ∉,当1m =时,1412y =-+=-Q ∈,所以2Q -∈,而2P -∉, 故选D . 点睛：本题考查了集合之间的基本关系,属于基础题. 二、填空题1．设集合{1,2,3,4,5,6},{4,5,6,7,8}A B ==,则满足S A ⊆且S B φ⋂≠的集合S 的个数是__________个答案：56解析：正难则反，S B φ⋂≠，从这个条件出发，可先求S B φ⋂=的个数，再用全部子集的个数减去S B φ⋂=的个数即可 详解：集合A 的子集有:{1},{2},{3},{4},{5},{6} ,{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,2,3,4,5,6},∅,共64个; 又,{4,5,6,7,8}S B B ⋂≠∅=,所以S 不能为:{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},∅共8个,则满足S A ⊆且S B ⋂≠∅的集合S 的个数是64856-=. 点睛：集合中元素个数若为n 个，则子集个数为2n 个2．设集合P 满足{}{}1,20,1,2,3,4P ≠⊆⊂，满足条件的P 的个数为 ______________ .答案：7个解析：由{}1,2P ⊆可知P 中必含有1,2；由{}0,1,2,3,4P ≠⊂，可知0,3,4不全为P 中元素，以此可得P 集合，进而得到结果.详解：{}1,2P ⊆ P ∴中必含有元素1,2，又{}0,1,2,3,4P ≠⊂ {}1,2P ∴=，{}0,1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,0,3，{}1,2,0,4，{}1,2,3,4 ∴满足条件的P 共有7个故答案为：7个 点睛：本题考查根据集合的包含关系确定集合个数的问题，关键是能够根据包含关系确定所求集合中所包含的元素情况.3．设集合{}1A =-,{}1B x ax ==，若B A ⊆,则a =___________．答案：0或1-解析：方程1ax =的根为1-或无实解． 详解：0a =时，1ax =无解，满足题意，0a ≠时，由1ax =得11x a==-，1a =-． 综上a 的值为0或1-． 故答案为：0或1-． 点睛：本题考查集合的包含关系，解题时要注意空集是任何集合的子集． 4．已知集合，集合，若，则实数=_________．答案：1解析：试题分析：由条件B A ⊆可知集合B 是集合A 的子集，所以有221m m =-或21m =-（舍），解得：1m =． 考点：集合间的关系．5．已知数列{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，数列{}n b 是公比为()1q q ≠的等比数列，记集合{},n n M n a b n N *==∈，则集合M 的子集最多有________个．答案：4解析：分类讨论1q ≠-和1q =-两种情况，推导出集合(){},n A n a n N *=∈与集合(){},n B n b n N*=∈中的点不可能有三个公共点，得出集合M 至多只有两个元素，再利用集合子集个数公式可得出所求结果. 详解：1q ≠，当1q ≠-时，集合(){},nB n b n N *=∈中的点不可能出现三点共线，而集合(){},nA n a n N *=∈所有的点都在同一条直线上，此时，集合M 至多只有两个元素；当1q =-时，假设集合(){},nA n a n N *=∈与集合(){},nB n b n N *=∈有三个公共点(),k k b 、(),ss b 、()(),,,,t t b k s t k s t N *<<∈，则k b 、s b 、t b 中至少有两个相等，则ka 、s a 、t a 中至少有两个相等，这与0d ≠矛盾，此时，集合M 至多只有两个元素. 因此，集合M 的子集个数最多是224=个. 故答案为4. 三、解答题1．已知集合{|12},{|||1}A x ax B x x =<<=<，是否存在实数a ，使得A B ⊆.若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.答案：存在；0a =或2a ≥或2a ≤-.解析：先确定集合B 中的元素，然后求集合A ，根据a 分类：0,0,0a a a =><分类解不等式求得集合A ，然后再由包含关系得关于a 的不等关系，从而得出结论． 详解：∵{}|11B x x =-<<，而集合A 与a 的取值范围有关. ①当0a =时，A =∅，显然A B ⊆. ②当0a >时，12A xx aa ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，∵A B ⊆，如图1所示，∴11,21,aa⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩∴2a ≥.③当0a <时，21A xx aa ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，∵A B ⊆，如图2所示，∴11,21,aa⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩∴2a -.综上可知，所求实数a 的取值范围为0a =或2a ≥或2a ≤-. 点睛：本题考查集合的包含关系，掌握子集的定义是解题关键．解不等式时要注意对未知数的系数分类讨论．2．已知集合A ＝x|1－a<x≤1＋a}，集合B ＝122xx ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭∣. （1）若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； （2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a 使A ，B 相等？若存在，求出a ；若不存在，请说明理由.答案：（1）a≤1；（2）a≥32；（3）不存在，答案见解析. 解析：（1）根据集合的包含关系，即可列出不等式组，求解即可； （2）根据集合的包含关系，即可列出不等式组，求解即可； （3）根据（1）（2）所求，即可判断. 详解：（1）∵A ⊆B ，∴a≤0或112120a a a ⎧-≥-⎪⎪+≤⎨⎪>⎪⎩解得a≤1.（2）∵B ⊆A ，∴11212a a ⎧-≤-⎪⎨⎪+≥⎩解得a≥32. （3）不存在.理由：若A B =，需满足A ⊆B ，且B ⊆A ，即a≤1且a≥32，显然不存在这样的a.故不存在a使得A B.点睛：本题考查根据集合的包含关系，以及集合相等求参数范围，属综合基础题.3．已知二次函数满足条件，（为已知实数）.（1）求函数的解析式；（2）设，，当时，求实数的取值范围.答案：（1）；（2）.解析：（1）先由题意，设二次函数，根据，得到，即可求出结果；（2）先化简集合，解方程，分别讨论，，三种情况，即可得出结果.详解：（1）因为二次函数满足条件，设二次函数，又，所以，因此，所以，所以；（2）因为，解方程得或，当时，满足；当时，，由得，解得，所以；当时，，由得，解得，所以， 综上，实数的取值范围是.点睛：本题主要考查求二次函数的解析式，以及由集合的包含关系求参数的问题，熟记待定系数法求函数解析，熟记集合间的基本关系即可，属于常考题型. 4．已知集合U =R ，集合()(){}230A x x x =--<，函数()22lg x a y a x-+=-的定义域为集合B .(1)若12a =，求集合()UA B ；(2)若A B ⊆，求实数a 的取值范围.答案：(1)934xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭；(2)(][]1]1,2-∞-⋃，. 解析：（1）根据不等式求出集合A ，求出函数的定义域B ，即可求解补集和交集； （2）根据集合的包含关系比较端点的大小列不等式求解即可. 详解：(1)集合{}|23A x x =<<，因为12a =.所以函数()2924lglg12x x a y a xx --+==--，由94012x x->-，可得集合1924B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭.{1|2UB x x =≤或94x ⎫≥⎬⎭，故()934U A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭. (2)因为A B ⊆，由{}23A x x =<<，而集合B 应满足()220x a a x-+>-，因为22172024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，故{}22B x a x a =<<+，依题意：2223a a ≤⎧⎨+≥⎩，即1a ≤-或12a ≤≤， 所以实数a 的取值范围是(][]1]1,2-∞-⋃，. 点睛：此题考查集合的基本运算，根据集合的包含关系求解参数的取值范围，在第二问需要考虑解集端点的大小关系.5．下列集合间是否有包含关系？ （1）{}1,2,3A =，{}1,2,3,4B =，{}2,3,4C = （2）N ，Z ，Q ，R（3）{}13A x x =<≤，{}|14B x x =≤≤答案：（1）A B ⊆，C B ⊆，A 与C 无包含关系（2）N Z Q R ⊆⊆⊆（3）A B ⊆解析：（1）由题意可知，集合A 中的元素都属于集合B ，集合C 中的元素都属于集合B ，1C ∉，4A ∉，根据包含关系的定义，求解即可.（2）由题意可知，N 为自然数集，Z 为整数集，Q 为有理数集，R 为实数集，根据包含关系的定义，求解即可.（3）由题意可知，集合A 中的元素都属于集合B .根据包含关系的定义，求解即可. 详解：（1）因为集合A 中的元素都属于集合B ，集合C 中的元素都属于集合B ，1C ∉，4A ∉，所以A B ⊆，C B ⊆，A 与C 无包含关系.（2）因为N 为自然数集，Z 为整数集，Q 为有理数集，R 为实数集，所以N Z Q R ⊆⊆⊆. （3）因为A={}|13x x <≤，B={}|14x x ≤≤，所以集合A 中的元素都属于集合B ，则A B ⊆. 点睛：本题考查集合之间的关系，属于较易题.。

1.2 集合间的基本关系1．若集合M 满足{}1M ≠∅，{}*3|1M x x ⊆∈N ，则符合条件的集合M 的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．设集合6|2B x Z N ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭x ,则集合B 的子集个数为( )． A ．3B ．4C ．8D ．16 3．满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5 4．集合{|3,}n M x x n ==∈N ，集合{|3,}x x n N n =∈=N ，则集合M 与集合N 的关系为（ ） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆ C ．MND ．MN 且NM5．已知集合{}|11A x x =-≤≤，{}|0B x x a =-≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．[)1,-+∞C ．(],1-∞-D ．[)1,+∞6．设集合{}1012U =-，，，，2{|1}A y y x x U ==+∈，则集合A 的真子集个数为A ．2B ．3C ．7D ．8 7．集合A=﹣1，5，1}，A 的子集中，含有元素5的子集共有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个8．已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是 A ．A C φ⋂= B ．A C C = C ．B C B =D ．AB C =9．集合{}2,1,2,3A =-的真子集个数为（ ） A ．16B ．15C ．14D ．1310．已知集合{}12A x x =≤≤，{}2,B y y x a x A ==+∈，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2B ．[]2,1--C ．[]22-,D ．[]1,1-11．已知集合{}{}2|4,|1.A x x B x ax ====若B A ⊆，则实数a 的值是（ ）A ．12B ．2C ．11,22-D ．110,,22-12．已知函数1()lg1xf x x+=-的定义域为A , 函数()lg(1)lg(1)g x x x =+--的定义域为B ,则下述关于A B 、的关系中,不正确的为A ．AB ⊇ B ．A B B ⋃=C ．A B B =D ．B A13．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．7个B ．5个C ．3个D ．8个14．下列集合中表示同一集合的是 A ．(){}2,3M =，(){}3,2N =B ．2,3M，{}3,2N =C ．(){},1M x y y x ==+，{}1N y y x ==+D ．{}1M y y x ==+，{}21N y y x ==+15．已知集合{}1,2,{|20}A B x ax ==-=，若B A ⊆，则a 的值不可能是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．316．给出下列关系式：①23Q ⊆；②{}210x x x ∅∈++=；③(){}(){}21,4,23x y y x x -⊆=--；④{}[)22,x x <=+∞，其中正确关系式的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．317．下列符号表述正确的是（ ）A ．*0N ∈B ．1.732Q ∉C ．{}0∅∈D ．{}2x x ∅⊆≤18．已知集合{2,4}A ，则集合A 的子集个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．819．设集合{}2|1P x x ==，则集合P 的非空真子集的个数是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．820．已知集合A =a ，b ，c },下列可以作为集合A 的子集的是A ．aB ．a ，c}C ．a ，e}D ．a ，b ，c ，d }参考答案1．C2．D3．C4．D5．D6．C7．B详解：试题分析：由集合A中的元素有﹣1，5，1共3个，含有元素5的子集，可能含有﹣1，1，代入公式得结论．解：由集合A中的元素有﹣1，5，1共3个，含有元素5的子集，可能含有﹣1，1，代入公式得：22=4，故选B．考点：子集与真子集．8．C9．B10．B11．D12．D13．A14．B15．D16．B17．D18．C19．A20．B详解：由集合的子集的定义可知：集合A=a，b，c}的子集为：∅，a}，b}，c}，a，b}，a，c}，b，c}，a，b，c}，对应选项，则可以作为集合A的子集的是a，c}.故选B.点睛：集合A={}12n a a a ，，，的子集个数为2n ，非空真子集个数为22n -.【参考解析】1．解析：依题可知M 致少有元素1，结合子集定义即可求解． 详解：由题意可知，{}1M =或{1,2}或{1,3}或{1,2,3}． 故选：C2．解析：首先用列举法，分别取出满足题目时x 值，从而得出集合B 的元素，从而得出集B 的子集. 详解： 当666603,12,41,1620212421x x x x =⇒==⇒==⇒==-⇒=+++- 所以集合{}3,2,1,6B =,所以集合B 的子集个数为4216=. 故选D 点睛：本题主要考查就集合中子集的求法：若集合B 中有n 个元素，则集合B 的子集有2n 个,属于基础题.3．解析：根据题意，分析可得集合M 中必须有1，2，3这三个元素，且至少含有4、5、6中的一个但不能同时包含3个元素，即M 的个数应为集合{4，5，6}的非空真子集的个数，由集合的子集与元素数目的关系，分析可得答案． 详解：解：根据题意，满足题意条件的集合M 中必须有1，2，3这三个元素， 且至少含有4、5、6中的一个但不能同时包含3个元素， 则M 的个数应为集合{4，5，6}的非空真子集的个数， 集合{4，5，6}有3个元素，有3226-=个非空真子集； 故选：C ． 点睛：本题考查集合间的基本关系，以及非空真子集的个数的运算．4．解析：分析集合M 和N 中元素的性质，进行比较即可得出答案. 详解：由{|3,}n M x x n ==∈N ，可得集合M 中的元素为：1,3,9,27,,3,n ；由{|3,}x x n N n =∈=N ，可得集合N 中的元素为：0,3,6,9,12,,3,n ，比较得1M ∈，但1N ∉，0N ∈，但0M ∉，3M ∈，3N ∈.∴MN 且NM .故选：D. 点睛：本题考查了两个集合关系的判断，准确分析集合中元素的特点并进行比较是解题的关键，属于一般难度的题.5．解析：根据集合的包含关系,即可求得参数a 的取值范围. 详解：集合{}|11A x x =-≤≤,{}|0B x x a =-≤,即{}|B x x a =≤ 因为A B ⊆, 则1a ≥ 即[)1,a ∈+∞ 故选:D 点睛：本题考查了集合的包含关系,求参数的取值范围,属于基础题.6．解析：先求出集合A ，进而求出其真子集的个数． 详解：因为集合{}1012U =-，，，，∴集合{|}A y y x U =∈＝1， ∴真子集个数为23﹣1＝7个， 故选C ． 点睛：本题考查了真子集的概念及性质，考查集合的表示方法：列举法，是一道基础题． 7．8．解析：先求集合C ，再根据集合与集合的关系判断即可． 详解：由题设，{0,2,4}C =，则B C ⊆，故B C B = 选C . 点睛：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，属于基础题．9．解析：根据集合真子集的计算公式，直接得出结果. 详解：集合{}2,1,2,3A =-的真子集个数为42115-=. 故选：B. 点睛：本题主要考查求集合的真子集个数，属于基础题型.10．解析：根据题意，求得集合B ，结合A B ⊆，列出不等式组，即可求解. 详解：由题意，集合[]1,2A =，可得{}[]2,2,4B y y x a x A a a ==+∈=++， 因为A B ⊆，所以2142a a +≤⎧⎨+≥⎩，解得[]2,1a ∈--．故选：B.11．解析：计算{}2,2A =-，考虑{}2B =，{}2B =-，B =∅三种情况，计算得到答案. 详解：{}{}2|42,2A x x ===-，B A ⊆，当{}2B =时，21a =，12a =；当{}2B =-时，21a -=，12a =-；当B =∅时，0a =. 即0a =或12a =或12a =-. 故选：D. 点睛：本题考查了根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力，忽略掉空集是容易发生的错误.12．解析：分别求出两函数的定义域，再判断集合关系. 详解： 因为1()lg1xf x x +=-，所以101x x +>-即()()110x x +-> ，解得11x -<< 故{}11A x x =-<<因为()lg(1)lg(1)g x x x =+--，所以1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<故{}11B x x =-<< 所以A B = 故选D. 点睛：本题考查函数的定义域与集合之间的关系，属于简单题.13．解析：根据集合的补集判断集合的个数，进而求得集合的真子集个数． 详解：由题可知，集合A 有三个元素．所以A 的真子集个数为：32-1=7个．选A 点睛：集合中子集的个数为2n ，真子集的个数为2n -1，非空真子集的个数为2n -214．解析：因为有序数对()2,3与()3,2不相同，所以A 错误；由于集合中的元素具有无序性，所以集合M 与集合N 是同一集合，故B 正确；因为集合M 表示的是当1,y x x R =+∈时，所得的有序实数对(),x y 所构成的集合，而集合N 是当1,y x x R =+∈时所得的y 值所构成的集合，所以C 错误；因为M R =，[)1,N =+∞，所以D 错误， 详解：对于A 选项：有序数对()2,3与()3,2不相同，所以集合M 与集合N 不是同一集合，故A 错误； 对于C 选项：由于{}(,)1,M x y y x x R ==+∈，所以集合M 表示的是当1,y x x R =+∈时，所得的有序实数对(),x y 所构成的集合，而由{}1,N y y x x R ==+∈得集合N 是当1,y x x R =+∈时所得的y 值所构成的集合， 所以集合M 与集合N 不是同一集合，故C 错误；对于D 选项，{}1M y y x R ==+=，{}{}[)21,11,N y y x x R y y ==+∈=≥=+∞，所以集合M 与集合N 不是同一集合，故D 错误；对于B 选项：由于集合中的元素具有无序性，所以集合M 与集合N 是同一集合，故B 正确； 故选B. 点睛：本题考查集合所表示的元素的意义，在判断时需分清集合中表示的是点集还是数集，理解元素的具体含义是什么，属于基础题.15．解析：由B A ⊆，分0a =和0a ≠两种情况讨论，结合集合间的关系，即可求解. 详解：由题意，集合{}1,2,{|20}A B x ax ==-=， 因为B A ⊆，当0a =时，集合B 为空集，此时满足B A ⊆；当0a ≠时，集合2{|20}{}B x ax a =-==，可得21a或22a=，解得1a =或2a =， 综上可得，实数a 的值为{}0,1,2，所以则a 的值不可能是3. 故选：D. 点睛：本题主要考查了根据集合的包含关系求解参数问题，其中解答中熟记集合间的包含关系，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.16．解析：对于①，23Q ∈；对于②，{}210x x x ∅⊆++=；对于③，点(1,4)-在抛物线223y x x =--上，对于④，{}[)22,x x <⊆+∞.详解：对于①，元素与集合不是包含关系，故①不正确；对于②，{}210x x x ∅∉++==∅，故②不正确；对于③，点(1,4)-在抛物线223y x x =--上，故(){}(){}21,4,23x y y xx -⊆=--正确；对于④，{}[)22,x x <⊆+∞，故④不正确. 故选：B. 点睛：本题考查了元素与集合的关系，考查了集合与集合的关系，考查了空集，属于基础题.17．解析：根据元素与集合、集合与集合的关系可判断各选项的正误. 详解：对于A 选项，0N *∉，A 选项错误；对于B 选项，1.732Q ∈，B 选项错误； 对于C 选项，{}0∅⊆，C 选项错误；对于D 选项，{}2x x ∅⊆≤，D 选项正确. 故选：D. 点睛：本题考查元素与集合、集合与集合关系的判断，属于基础题.18．解析：根据子集的定义依次列出集合的子集即可得出答案. 详解：集合{}2,4A =的子集分别是：φ，{}2，{}4，{}2,4，共有4个子集. 故选：C. 点睛：本题考查集合子集的概念，属于基础题.19．解析：解出集合P ，再写出集合P 的非空真子集即可. 详解：集合{}2|1P x x ==,即{}1,1P =-，集合P 的非空真子集有{}{}1,1-， 共2个. 故选：A . 点睛：本题考查的是集合子集，真子集，是基础题. 20．。

1.1.2 集合间的基本关系A 级 基础巩固一、选择题1．集合A ＝{x |0≤x ＜3，x ∈N}的真子集的个数是( )A ．16B ．8C ．7D ．4解析：易知集合A ＝{0，1，2}，所以A 的真子集为∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，共有7个．答案：C2．已知集合A ⊆{0，1，2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：集合{0，1，2}的非空子集为：{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，其中含有偶数的集合有6个．答案：A3．若{1，2}＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，则( )A ．b ＝－3，c ＝2B ．b ＝3，c ＝－2C ．b ＝－2，c ＝3D ．b ＝2，c ＝－3 解析：由题意知1，2为方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－b ，1×2＝c ，解得b ＝－3，c ＝2. 答案：A4．以下说法中正确的个数是( )①M ＝{(1，2)}与N ＝{(2，1)}表示同一个集合；②M ＝{1，2}与N ＝{2，1}表示同一个集合；③空集是唯一的；④若M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}与N ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R}，则集合M ＝N .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①集合M 表示由点(1，2)组成的单元素集，集合N 表示由点(2，1)组成的单元素集，故①错误；②由集合中元素的无序性可知M ，N 表示同一个集合，故②正确；③假设空集不是唯一的，则不妨设∅1、∅2为不相等的两个空集，易知∅1⊆∅2，且∅2⊆∅1，故可知∅1＝∅2，矛盾，则空集是唯一的，故③正确；④M ，N 都是由大于或等于1的实数组成的集合，故④正确．答案：D5．集合A ＝{x |0≤x <4，且x ∈N}的真子集的个数是( )A ．16B ．8C ．15D ．4解析：A ＝{x |0≤x <4，且x ∈N}＝{0，1，2，3}，故其真子集有24－1＝15(个)． 答案：C二、填空题6．已知集合A ＝{x |x 2＝a }，当A 为非空集合时a 的取值范围是________．解析：A 为非空集合时，方程x 2＝a 有实数根，所以a ≥0.答案：{a |a ≥0}7．已知集合A ＝{－2，3，6m －6}，若{6}⊆A ，则实数m ＝________．解析：因为{6}⊆A ，所以6∈A .所以6m －6＝6，m ＝2.答案：28．已知集合B ＝{a ，b ，c }，C ＝{a ，b ，d }，集合A 满足A ⊆B ，A ⊆C ，则满足条件的集合A 的个数是________．解析：若集合A ＝∅，满足A ⊆B ，A ⊆C ；若集合A ≠∅，集合A 可能是{a }，{b }，{a ，b }．故集合A 共有4个．答案：4三、解答题9．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |p ＋1≤x ≤2p －1}．若B ⊆A ，求实数p 的取值范围．解：若B ＝∅，则p ＋1>2p －1，解得p <2；若B ≠∅，且B ⊆A ，则借助数轴可知， ⎩⎪⎨⎪⎧p ＋1≤2p －1，p ＋1≥－2，2p －1≤5，解得2≤p ≤3.综上可得p ≤3.10．已知集合A {x ∈N|－1<x <3}，且A 中至少有一个元素为奇数，则这样的集合A 共有多少个？并用恰当的方法表示这些集合．解：因为{x ∈N|－1<x <3}＝{0，1，2}，A {0，1，2}且A 中至少有一个元素为奇数，故这样的集合共有3个．当A 中含有1个元素时，A 可以为{1}；当A 中含有2个元素时，A 可以为{0，1}，{1，2}．B 级 能力提升1．同时满足：①M ⊆{1，2，3，4，5}；②a ∈M 且6－a ∈M 的非空集合M 有( )A ．16个B ．15个C ．7个D ．6个解析：当a ＝1时，6－a ＝5；当a ＝2时，6－a ＝4；当a ＝3时，6－a ＝3；当a ＝4时，6－a ＝2；当a ＝5时，6－a ＝1，所以满足条件的非空集合M 可能是：{1，5}，{2，4}，{3}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．答案：C2．已知集合A {2，3，7}，且A 中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个． 解析：①若A 中有且只有1个奇数，则A ＝{2，3}或{2，7}或{3}或{7}；②若A 中没有奇数，则A ＝{2}或∅.综上共有6个符合题意的集合．答案：63．已知集合A ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解析：当B ＝∅时，只需2a ＞a ＋3，即a ＞3；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，a ＋3＜－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a ＞4， 解得a ＜－4或2＜a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为a ＜－4或a ＞2.。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．若集合1|,3A x x n n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，|,3n B x x n Z ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则A ，B 的关系是（ ） A ．A B B ．B A C ．B A ⊆ D ．A B =答案：A解析：弄清楚集合A ，B 的研究对象，由此得到集合A ，B 之间的包含关系. 详解： 由13133n x n +=+=,n Z ∈, 所以集合A 表示由31n +除以3的数组成的集合. 集合B 表示整数n 除以3的数组成的结合. 所以A B 故选：A 点睛：本题考查集合的基本运算，考查判断两个集合间的关系，属于中档题.2．已知集合{}2135A x a x a =+≤≤-，{}322B x x =≤≤，则能使()A A B ⊆成立的a 的取值集合为（ ） A ．[]6,9 B ．(],9-∞C ．(),9-∞D ．()6,9答案：B解析：根据()A A B ⊆，得到A B ⊆，然后分A =∅和A ≠∅两种情况讨论求解. 详解：()A A B ⊆，A B ∴⊆，又{}2135A x a x a =+≤≤-， 当A =∅时，2135a a +>-，6a ∴<，当A ≠∅，21352133522a a a a +≤-⎧⎪∴+≥⎨⎪-≤⎩，69a ∴≤≤，a ∴的取值集合为{}9x x ≤，故选：B.3．已知集合M=x|x 2-3x+2=0}，N=0，1，2}，则下列关系正确的是（ ） A ．M=N B ．M ∈N C ．N ⊆MD ．N ⊇M答案：D解析：化简集合M ，结合选项逐一排除可得答案． 详解：集合M=x|x 2-3x+2=0}{}1,2=，N=0，1，2}，则N ⊇M 故选：D 点睛：本题考查集合间的关系，考查学生计算能力，属于基础题．4．已知非空集合M 满足：对任意x M ∈，总有2x M ∉M ，若{}0,1,2,3,4,5M ⊆，则满足条件的M 的个数是 A ．11 B ．12 C ．15 D ．16答案：A解析：可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，且2,4不同时出现，即可得到结论. 详解：由题意，可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，共有42115-=个， 且2,4不能同时出现，同时出现共有4个， 所以满足题意的集合M 的个数为11个，故选A. 点睛：本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的子集个数的判定及应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.5．已知集合111|,|,(,)|A x y B y x C x y y x y x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫======⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．AB = B ．AC = C ．B C =D ．A B C ==答案：A解析：分别求得集合{}{}|0,|0A x x B y y ≠=≠及集合C 表示点集，即可求解. 详解：由题意，集合11{|}{|0},{|}{|0}A x y x x B y x y y x y ===≠===≠，集合1(,)|C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭表示曲线1y x =的点作为元素构成的一个点集， 所以A B =. 故选：A.6．集合{1A x x =<-或}1x ≥，{}20B x ax =+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．[)2,2-C ．()[),22,-∞-+∞D ．[)()2,00,2-答案：B解析：分B =∅与B ≠∅两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可； 详解： 解：∵B A ⊆，∴①当B =∅时，即20ax +≤无解，此时0a =，满足题意. ②当B ≠∅时，即20ax +≤有解，当0a >时，可得2x a≤-，要使B A ⊆，则需要021a a>⎧⎪⎨-<-⎪⎩，解得02a <<.当0a <时，可得2x a ≥-，要使B A ⊆，则需要021a a<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得20a -≤<，综上，实数a 的取值范围是[)2,2-. 故选：B.7．已知集合A ⊆0，1，2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为 A ．6 B ．5C ．4D ．3答案：A 详解：试题分析：根据已知中集合A 满足A ⊆0，1，2}，且集合A 中至少含有一个偶数，逐一列举出满足条件的集合A ，可得答案．解：∵集合A ⊆0，1，2}，且集合A 中至少含有一个偶数， ∴满足条件的集合A 可以为：0}，2}，0，1}，1，2}，0，2}，0，1，2}，共6个， 故选A ．考点：子集与真子集．8．集合x,y}的子集个数是A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D解析：根据集合子集的定义，即可得到子集个数． 详解：集合{},x y 的子集有{}{}{},x y x y ，，，∅,共有4个 故选D 点睛：本题主要考查了集合的子集个数问题，当集合内有n 个元素时子集个数为2n 个 9．A ．B ．C ．D ．答案：A 详解： 略10．适合条件{}{}11,2,3,4,5A ≠⊆⊂的集合A 的个数是 A ．15 B ．16 C ．31 D ．32答案：A解析：{2,3,4,5}的所有真子集加入元素1即为集合A ． 详解：由题意集合A 就是集合{2,3,4,5}的所有真子集加入元素1，因此其个数为42115-=． 故选A ． 点睛：本题考查集合的包含关系，考查子集的个数．属于基础题． 二、填空题1．若集合{}2|320A x ax x =-+=的子集只有两个，则实数a =___________．答案：0或98解析：用描述法表示的集合元素个数问题，用到一元方程解的个数，用判别式与零的关系，当方程有一个解时，判别式等于零． 详解：因为集合{}2|320A x ax x =-+=的子集只有两个，所以A 中只含有一个元素．当0a =时，2{}3A =；当0a ≠时，若集合A 只有一个元素，由一元二次方程判别式980a ∆=-=得98a =． 综上，当0a =或98a =时，集合A 只有一个元素．故答案为0或98． 点睛：解题时容易漏掉0a ≠的情况，当方程，不等式，函数最高次项系数带有参数时，要根据情况进行讨论．2．集合{},,A a b c =的子集的个数是________个 答案：8. 详解：试题分析：根据集合子集个数的计算公式得：集合A 的子集个数为328=个. 故答案为8.考点：集合子集个数的计算公式.3．集合,,1b M a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合{}2,,0N a a b =+，且M=N ，则20192020a b +=_______答案：1-解析：由2{,,1}{,,0}b a a a b a =+，即可得出201b a a a b a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，再根据集合元素的互异性即可得出1a =-，0b =，从而求出答案．详解：2{,,1}{,,0}ba a ab a=+，201b a a a b a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，解得01b a =⎧⎨=⎩或01b a =⎧⎨=-⎩， 当1a =时，不满足集合元素的互异性，1a ∴=-，0b =，2019202020192020(1)01a b ∴+=-+=-．故答案为：1-.4．已知集合{}2,3A =，{}|60B x mx =-=，若B A ⊆，则实数m 的值为______.答案：0，2或3解析：按B =∅，B ≠∅分类。

最新人教版数学精品教学资料1.1.2 集合间的基本关系 建议用时实际用时 满分 实际得分 45分钟100分 一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 1．下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅⊂≠A ，则A ≠∅，其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R }，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值 是( )A ．1B ．－1C ．0,1D ．－1,0,13．设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∈BD ．B ∈A4．下列五个写法：①{0}∈{0,1}；②∅⊂≠{0}；③{0，－1,1}{－1,0,1}；④0∈∅；⑤ {(0,0)}＝{0}，其中写法错误的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55.}0352|{2=--=x x x M ，}1|{==mx x N ，若M N ≠⊂，则m 的取值集合为（ ）A.{2}-B.13⎧⎫⎨⎬⎩⎭C.12,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ D.12,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭6. 满足{1,2,3}{1,2,3,4,5,6}M ⊂⊂≠≠的集合的个数为（ ）A.5B.6C.7D.8二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）7．满足{1}ÜA {1,2,3}的集合A 的个数是________．8．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }，则A 、 B 、C 之间的关系是________．9．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝________.三、解答题（本大题共3小题，共46分）10．（14分）下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A，B，C，D，分别是哪种图形的集合？11．（15分）已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，(1)若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；(2)若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；(3)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．12．（17分）设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝0}，若B⊆A，求a的值一、选择题1.B 解析：空集只有一个子集，就是它本身，空集是任何非空集合的真子集，故仅④是正确的．2.D 解析：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈)仅有一个根或两个相等的根．(1)当a ＝0时,方程为2x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意．(2)当a ≠0时，由Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1，∴a ＝±1.此时A ＝{－1}或A ＝{1}，符合题意．∴a ＝0或a ＝±1.3. D 解析:∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，，∴A ＝{x |x ⊆B }＝{{1}，{2}，{1,2}，}，∴B ∈A .4. B 解析：只有②③正确.5. D 解析： 1{,3},2M =- （1）0,N m =∅⇒=（2）1{}2,2N m =-⇒=-（3）1{3},3N m =⇒= ∴ 的取值集合为12,0,.3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 6. B 解析：集合M 真包含集合}3,2,1{，M 中一定有元素1，2，3且除此之外至少还有一个元素. 又集合M 真包含于集合}6,5,4,3,2,1{，所以M 中最少有4个元素，最多有5个元素，集合M 的个数等于集合}6,5,4{非空真子集的个数，即6223=-.二、填空题7. 3 解析：A 中一定有元素1，所以A 可以为{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．8. A ÜB ＝C 解析：用列举法寻找规律．9. 1 解析：∵BA ，∴m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，∴ m ＝1.当m ＝1时，A ＝{－1,3,1}，B ＝{3,1}，满足BA .三、解答题10.解:观察Venn 图，得B 、C 、D 、E 均是A 的子集，且有E ÜD ，D ÜC .梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形，故A ＝{四边形}；梯形不是平行四边形，而菱形、正方形是平行四边形，故B ＝{梯形}，C ＝{平行四边形}；正方形是菱形，故D ＝{菱形}，E ＝{正方形}．11.解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A .②若B ≠，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3,4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈，即不存在m 值使得A ＝B .12.解:(方法一) A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，由B ⊆A ，得B ＝，或B ＝{2}，或B ＝{3}，或B ＝{2,3}.因为Δ＝(2a ＋1)2－4a 2－4a ＝1>0，所以B 必有两个元素．则B ＝{2,3}，需2a ＋1＝5和a 2＋a ＝6同时成立，所以a ＝2. 综上所述：a ＝2.(方法二) A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ＝0}＝{x |(x －a )(x －a －1)＝0}＝{a ，a ＋1}， 因为a ≠a ＋1，所以当B ⊆A 时，只有a ＝2且a ＋1＝3.所以a ＝2。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．下列四个关系中，正确的是（ ） A ．{},a a b ∈B ．{}{},a a b ∈C ．{}a a ∉D ．(){},a a b ∈2．已知集合2{|2,}A x x x x R ==-∈，{}1,B m =，若A B ⊆，则m 的值为 A ．2 B ．1- C ．1-或2 D ．2或2 3．若集合，，且，则的值为A ．1B ．1-C ．1或1-D ．1或1-或0 4．设集合{}1012U =-，，，，2{|1}A y y x x U ==+∈，，则集合A 的真子集个数为A ．2B ．3C ．7D ．8 5．下列结论正确的是（ ）A ．A ⊂∅≠B ．{}0∅∈C ．{1,2}Z ≠⊂ D ．{}{}00,1∈6．设集合{},,,,A a b c d e =，B A ⊆，已知a B ∈，且B 中含有3个元素，则集合B 有（ ） A ．26A 个 B ．24C C ．33A D ．35C 7．若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 的非空真子集个数是（ ） A ．62B ．32C ．64D ．308．已知集合{}1,4,A x =，{}21,B x =，且B A ⊆，则满足条件的实数x 有 A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个9．已知集合A =x x 是菱形}，B =x x 是正方形}，C =x x 是平行四边形}，那么A ，B ，C 之间的关系是（ ） A ．A B C ⊆⊆B ．B AC ⊆⊆C ．A B C ⊆D ．A B C =⊆10．设集合2{|230}M x x x =+-=，2{|10}N x x x =-+=，则,M N 的关系是（ ） A ．MNB ．M N ⊆C ．N MD ．N M二、填空题1．设集合{}|1,A x x a x R =-<∈，{}|15,B x x x R =<<∈，若A B ≠⊂，则a 的取值范围为________．2．满足{1,2,3,4}M ⊆，且{1,2}M ≠∅的集合M 的个数是_____________. 3．集合的子集共有________个．4．设m R ∈，若集合{}2,,3A m m =+，{}2,5,8B =，且A B =，则m =_________.5．已知集合{}2,3A =-，{}3B x ax ==，若B A ⊆，则实数a 的所有可能的取值的集合为__________． 三、解答题 1．设，，.（1）写出集合的所有子集；（2）若为非空集合，求的值.2．设二次函数满足下列条件：①当时，的最小值为0，且图像关于直线对称；②当时，恒成立．（Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）若在区间上恒有，求实数的取值范围．3．设全集U =R ，集合{}14A x x =≤<，{}23B x a x a =<<-.若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.4．记函数()12x x xf +=-A ，集合()(){}10B x x x a =--≤． （1）当2a =时，求A B ；（2）若1a <，且B A ⊆，求a 的取值范围．5．已知集合{}1,4,A a =，{}21,B a =，且B A ⊆,求实数a 的值.参考答案一、单选题 1．A解析：因为a 是集合{,}a b 中的元素，判断A 选项正确；因为{}a 与{},a b 是两个集合，判断B 选项错误；因为a 是集合{}a 中的元素，判断C 选项错误；因为数a 不在集合{(,)}a b 中，判断D 选项错误. 详解：解：A 选项：因为a 是集合{,}a b 中的元素，所以{},a a b ∈，故A 选项正确； B 选项：{}a 与{},a b 是两个集合，集合之间没有属于关系，故B 选项错误； C 选项：因为a 是集合{}a 中的元素，所以{}a a ∈，故C 选项错误；D 选项：因为集合{(,)}a b 中的元素是点(,)a b ，数a 不在集合{(,)}a b 中，故D 选项错误； 故选：A. 点睛：本题考查元素与集合的属于关系、集合之间的包含关系，是基础题 2．A 详解：解：由题意可知：{}2A = ，则满足题意时，2m = . 本题选择C 选项.3．D 详解：当0m =时，,B φ=满足A B A ⋃=，即0m =；当0m ≠时，1,B m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭而A B A ⋃=，∴11111m m=-=-或，或；∴1,10m =-或；4．C解析：先求出集合A ，进而求出其真子集的个数． 详解：因为集合{}1012U =-，，，，∴集合{|}A y y x U =∈＝1， ∴真子集个数为23﹣1＝7个， 故选C ． 点睛：本题考查了真子集的概念及性质，考查集合的表示方法：列举法，是一道基础题． 5．C解析：根据集合与集合的关系，真子集的概念，对四个选项注意分析，由此得出正确结论. 详解：对于A 选项，空集是任何非空集合的真子集，但集合A 无法确定是不是空集，故A 选项错误.对于B 选项，集合与集合之间是包含关系，故B 选项错误.对于C 选项，根据真子集的概念可知，C 选项正确.对于D 选项，集合与集合之间是包含关系，故D 选项错误.综上所述，本小题选C. 点睛：本小题主要考查集合与集合的关系，考查真子集的概念，属于基础题. 6．B解析：B 中其他两个元素是从,,,b c d e 中选取的．由此可得． 详解：由题意∵a B ∈，且B 中只有3个元素，B A ⊆，∴集合B 的个数是24C ． 故选：B. 点睛：本题考查集合的包含关系，掌握子集的概念是解题关键． 7．D解析：先确定集合S 中元素的个数，再由集合的真子集的个数和元素个数间的关系求解. 详解：因为“我和我的祖国”中的所有字组成的集合S 一共有5个元素， 所以S 的非空真子集个数是52230-=个. 故选：D 点睛：本题主要考查集合元素的特征及集合的基本关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.8．B 详解：试题分析：由24x =得，2x =±；由2x x =得，0x =，1x =（舍去）；满足的条件的x 值有：220-，，共3个．故选B.考点：集合的包含关系判断及应用.【方法点睛】本题已知的两个集合中均含有参数，且这两个集合相等，可从集合相等的的概念着手，转化为元素间的相等关系；解决此类问题的步骤：（1）、利用集合相等的条件，建立方程或方程组，求得参数；（2）、把求得的参数值依次代入集合验证，若满足集合中元素的三个性质确定性，互异性，无序性，则所求是可行的，否则应舍去.9．B解析：由菱形，正方形，平行四边形的定义来判断相互包含关系即可得出答案. 详解：由一对邻边相等的平行四边形是菱形，可得菱形是特殊的平行四边形，故A C ⊆；又因一个角为直角的菱形是正方形，即得正方形是特殊的菱形，故B A ⊆，所以A 、B 、C 之间关系为：B AC ⊆⊆.故选：B. 点睛：本题考查了集合之间的关系判断，属于基础题. 10．C解析：求出集合,M N ，即可发现它们之间的关系． 详解：解：由题意可得{3,1}M =-，集合N 为空集， 由于空集是任意非空集合的真子集， 故选C ． 点睛：本题考查集合之间的关系，是基础题．二、填空题 1．24a ≤≤解析：先化简集合A,再根据A B ≠⊂得到关于a 的不等式求出a 的取值范围. 详解：由1x a <－得11x a －－<<，∴11a x a <<－＋，由A B ≠⊂得1115a a ->⎧⎨+<⎩，∴24a <<． 又当2a ＝时，{}A |13x x <<＝满足A B ≠⊂，4a ＝时，{}|35A x x ＝<<也满足A B ≠⊂，∴24a ≤≤. 故答案为24a ≤≤ 点睛：(1)本题主要考查集合的化简和关系运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意． 2．12解析：根据题设条件，利用交集的性质，由列举法写出满足条件的集合所有M ，从而可得结果. 详解：集合{}1,2,3,4M ⊆，且{}1,2M φ⋂≠，∴满足条件的集合M 为{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4{}{}{}{}1,1,3,1,4,1,3,4{}{}{}{}2,2,3,2,4,2,3,4共有12个，故答案为12.点睛：本题主要考查已知集合间的关系求集合的个数问题，考查学生对子集，交集概念的理解，是一道中档题. 3．8解析：试题分析：{}{}|030,1,2A x x x Z =≤<∈=且，含有3个元素，因此子集有328=个 考点：集合的子集 4．5解析：本题可根据集合相等的相关性质得出结果. 详解：因为A B =，3m m +>，所以385m m +=⎧⎨=⎩，5m =，满足题意，故答案为：5.5．30,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭解析：根据子集关系，分类讨论即可得到结果. 详解：解：由于B⊆A，∴B＝∅或B＝2}或-3}，∴a＝0或a＝32或a＝﹣1，∴实数a的所有可能取值的集合为3 0,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭故答案为30,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．点睛：本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，方程的根的概念等基本知识，考查了分类讨论的思想方法，属于基础题．三、解答题1．（1），，，（2）的值为3.解析：（1）解一元二次方程求得集合的元素，由此求得集合的所有子集.（2）根据集合有一个元素或有两个元素进行分类讨论，结合一元二次方程的知识，求得的值.详解：解析：（1）∴集合的所有子集为，，，（2），∴当集合只有一个元素时，由得，即此时或，不满足.当集合只有两个元素时，由得：.综上可知，的值为.点睛：本小题主要考查集合子集的求法，考查根据集合的包含关系求参数，考查一元二次方程根、判别式等知识，属于基础题.2．（Ⅰ）（Ⅱ）解析：（Ⅰ）先在②中令，得到，根据题意，设二次函数为，由，求出，即可得出结果；（Ⅱ）先由（Ⅰ）得到，由解得，再由题意，得到，进而可求出结果.详解：（Ⅰ）在②中令，有，故.当时，的最小值为0且二次函数关于直线对称，故设此二次函数为.∵，∴.∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：，因此，由即，得；∵在区间上恒有，所以只需，∴，解得，∴实数的取值范围为.点睛：本题主要考查求二次函数的解析式，以及由不等式恒成立求参数，熟记二次函数的性质，绝对值不等式的解法，以及集合的包含关系即可，属于常考题型.3．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭解析：由A∪B=A，得到B A ，然后再分B =∅和B ≠∅两种情况讨论求解. 详解：A B A B A =⇔⊆，①B =∅时，则有23a a ≥-， ∴1a ≥，②B ≠∅时，则有232134a aa a <-⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，∴112a ≤<，综上所述，所求a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.点睛：本题主要考查集合基本运算和基本关系的应用，还考查了分类讨论的思想，属于基础题.4．（1）{}12A B x x ⋂=≤<；（2）11a -≤<.解析：（1）化简可得{}12A x x =-≤<，{}12B x x =≤≤，直接求交集即可； （2）根据集合关系B A ⊆，直接求参数a 的范围，即可得解. 详解： （1）函数()x f =102x x +≥-，故12x -≤<，即{}12A x x =-≤<． ()(){}{}12012B x x x x x =--≤=≤≤，故{}12A B x x ⋂=≤<（2）当1a <时，()(){}{}101B x x x a x a x =--≤=≤≤，{}12A x x =-≤<．B A ⊆，故1a ≥-，即11a -≤<．点睛：本题考查了集合的运算以及利用集合关系求参数范围，考查了计算能力，属于基础题.5．0,2,2a =-解析：根据子集关系，先分类讨论，然后求解出a 的值. 详解：因为B A ⊆，所以2a a =或24a =；当2a a =时，0a =或1，若1a =，不满足互异性，故舍去；若0a =，此时{1,4,0}A =，{0,1}B =，满足条件；当24a =时，2a =±，若2a =，此时{1,4,2}A =，{4,1}B =，满足条件；若2a =-，此时{1,4,2}A =-，{4,1}B =，满足条件；综上：2,0,2a =-.点睛：根据集合间的关系，求解集合中的参数时，求解出参数后一定要记得去验证是否满足集合中元素的互异性.。

百度文库-让每个人平等地提升自我集合间的根本关系班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________ 课后练习【根底过关】1．设，，假设，那么的取值范围是A. B. C. D.2．设集合，，那么=N ?N3．集合，，假设，求实数的值.4．满足条件{1,2,3} M{1,2,3,4,5,6} 的集合的个数是5．设集合和，那么与的关系为.6．含有三个实数的集合,既可表示成,又可表示成，那么.7．设集合，，求A∩B.8．M={x| x2-2x-3=0},N={x| x2+ax+1=0,a∈R},且N M,求a的取值范围.【能力提升】1百度文库-让每个人平等地提升自我，，是否存在实数，使得对于任意实数，都有?假设存在,求出对应的的值；假设不存在，说明理由.2答案【根底过关】1．D【解析】∵，∴a≥22．D【解析】此题考查集合间的根本关系.,；而；即N.选D.3．由A＝B，可得，解得x＝1.4．C【解析】此题考查子集.由题意得M={1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,3,6},{1,2,3,4,5},{1,2,3,4,6},{1,2,3,6,5}共6个.选C.5．M＝P【解析】∵xy＞0，∴x，y同号，又x＋y＜0，∴x＜0，y＜0，即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.6．-1【解析】此题考查相等集合.由题意得,所以,即；此时，所以，，且，解得.所以.7．，解得；所以.【解析】此题考查集合的根本运算.38．解：M={|x 2-2x-3=0}={3,-1};x∵N M,当N=时，NM成立,N={x|x2+ax+1=0},∴a2-4＜0,∴-2＜a＜2;当N≠时，∵N M,∴3∈N或-1∈N;1012当3∈N时，3-3a+1=0即a=-3,N={3,3},不满足N M;当-1∈N时，(-1)2-a+1=0即a=2,N={-1},满足NM;∴a的取值范围是-2<a≤2.【解析】此题考查集合间的根本关系.【能力提升】不存在.要使对任意的实数b都有，那么1，2是A中的元素，又∵A＝{a－4，a＋4}，∴或这两个方程组均无解，故这样的实数a不存在.4。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．设集合{}23A x x =<<，{}4B x x =<，则集合A 和集合B 的关系是 A ．B A ⊆ B ．A B ⊆ C ．B A ∈D ．A B ∈2．若集合{}{}1,1,0,2A B =-=，则集合{|},,C z z x y x A y B ==+∈∈的真子集的个数为（ ）A ．6B ．8C ．3D ．73．已知集合13{|}A x x =-≤≤，301x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则用韦恩图表示它们之间的关系正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．4．设{1,4,2}A x =，{}21,B x =，若B A ⊆，则x = （ ）A ．0B ．0或2C ．0或2-D ．0或2±5．集合A={}|2k k Z πααπ=+∈，与集合B={}|2,2k k Z πααπ=±∈的关系是（ ） A ．A=B B ．A ⊆B C ．B ⊆A D ．以上都不对6．下列集合与集合{2,3}A =相等的是（ ）A ．{(2,3)}B ．{(,})|2,3}x y x y ==C ．{}2|560x x x -+=D ．{}290x N x ∈-≤7．设集合，，那么A ．若，则()VennB ．若()Venn ，则C ．若，则()Venn ，反之也成立D ．和()Venn 成立没有关系8．已知集合{}1,2,3,4,A ={}23,B y y x x A ==-∈，则集合A B 的子集个数为 A ．1B ．2C ．4D ．89．11,23M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{|1}P x ax ==，若P M ⊆，则a 的所有可能取值的集合为（ ）A ．{2}B ．{3}C ．{2,3}D ．{0,2,3}10．下列五个写法：①{0}{1,2,3}∈；②{0}∅⊆；③{0,1,2}{1,2,0}⊆；④0∈∅；⑤0∅=∅，其中错误写法的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题1．集合{}1,0,1-的子集共有___________个.2．设集合}{2,0,11A =，则集合A 的真子集个数为_______ ；3．设集合{}0,1A =，{}1,2B =，{},,C x x a b a A b B ==+∈∈，则集合C 的真子集个数为________. 4．已知集合12162x A x⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，{}22log (9)B x y x ==-，则A B =_____________. 5．已知集合{}0,A x =，{}0,2,4B =.若A B ⊆，则实数x 的值为_____. 三、解答题 1．设整数，集合，是的两个非空子集，，记为所有满足的集合对的个数．（1）求； （2）求．2．已知集合A ＝x||x －a|＝4}，B ＝1，2，b}．（1）是否存在实数a ，使得对于任意的实数b ，都有A ⊆B ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（2）若A ⊆B 成立，求出对应的实数对(a ，b)．3．指出下列集合之间的关系：{(,)|1,}A x y y x x ==-∈N ，{(,)|1,}B x y y x x ==-∈R ．4．已知集合A=x|2≤x≤6}，集合B=x|3x-7≥8-2x}． （1）求∁R （A∩B）；（2）若C=x|x≤a}，且A∪C=C，求实数a 的取值范围．5．已知函数()f x =A ，关于x 的不等式223210x mx m m -+--<的解集为集合B .（1）求集合A 和集合B ；（2）若A B B =，求实数m 的取值范围.参考答案一、单选题 1．B解析：根据子集概念即可作出判断. 详解：∵集合{}23A x x =<<，{}4B x x =<， ∴A B ⊆， 故选：B 点睛：本题考查子集的概念，考查集合间的包含关系，属于基础题. 2．D解析：根据集合的元素关系确定集合的子集个数即可得选项． 详解：集合{}{},1,10,2A B ==-，则集合1,1{|},}3{C z z x y x A y B ==+∈∈=-,,集合{}113-,,中有3个元素，则其真子集有3217-=个， 故选：D. 点睛：本题主要考查集合元素个数的确定，集合的子集个数，属于基础题． 3．C解析：先求出集合B ，然后根据集合间的关系以及韦恩图即可判断正确选项. 详解：解：因为集合301x B xx -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，所以{|13}B x x =-<≤，又集合13{|}A x x =-≤≤， 所以B A ，根据韦恩图可得选项C 正确，故选：C.4．C解析：根据题意分24x =和22x x =两种情况，进而对方程的根依次检验即可得答案. 详解：当24x =时，得2x =±，若2x =，则24=x 不满足集合中的元素的互异性，所以2x ≠；若2x =-，则{}1,4,4A -＝，{}14B ＝，，满足题意， 当22x x =时，0x =或2（舍去），0x =满足题意， ∴0x =或2-， 故选：C ． 5．A解析：对于集合A ，当k 取奇数时，令k ＝2n ﹣1，α＝2nπ2π-；当k 取偶数时，令k ＝2n ，α＝2kπ2π+，n∈Z，即可看出A ，B 的关系 详解： 对于集合A ，当k 取奇数时，令k ＝2n ﹣1，α＝2nπ2π-；n∈Z， 当k 取偶数时，令k ＝2n ，α＝2kπ2π+，n∈Z， ∴A＝α|α＝2kπ±2π，k∈Z}＝B ． 故选：A ． 6．C解析：根据各选项对于的集合的代表元素，一一判断即可； 详解：解：集合{2,3}A =，表示含有两个元素2、3的集合， 对于A ：{(2,3)}，表示含有一个点(2,3)的集合，故不相等； 对于B ：{(,})|2,3}x y x y ==，表示的是点集，故不相等；对于C ：{}2|560x x x -+=，表示方程2560x x -+=的解集，因为2560x x -+=的解为2x =，或3x =，所以{}{}2|5602,3x x x -+==对于D ：{}{}2903,2,1,0,1,2,3x N x ∈-≤=---，故不相等故选：C 7．A解析：显然时，集合，此时；若，则可以是集合中的元素1或2，此时可以取值，即若，则不成立.8．C解析：化简集合B ，求出A∩B，从而可确定它的子集个数. 详解：∵{}1,2,3,4,A = {}23,B y y x x A ==-∈， ∴{}1,1,3,5B =- ∴{}1,3A B ⋂=所以该集合的子集个数为22＝4． 故选C ． 点睛：本题考查了集合运算问题与子集个数问题，是基础题目． 9．D解析：由题意知集合M 是集合P 的子集，写出集合P 的子集，即可得出a 的所有可能取值. 详解：∵11,,{|1},32M P x ax P M ⎧⎫===⊆⎨⎬⎩⎭，∴1,3P P ⎧⎫=∅=⎨⎬⎩⎭或12P ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， ∴0a =或3a =或2a =，∴a 的所有可能取值的集合为{0,2,3}． 故选：D . 点睛：本题主要考查的是集合间的关系以及一元一次方程的解法，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理，是基础题. 10．C解析：利用元素与集合的关系以及集合与集合之间的关系，便可得出答案. 详解：对①：{0}是集合，{1,2,3}也是集合，所以不能用∈这个符号，故①错误. 对②：∅是空集，{0}也是集合，由于空集是任何集合的子集，故②正确.对③：{0,1,2}是集合，{1,2,0}也是集合，由于一个集合的本身也是该集合的子集，故③正确.对④：0是元素，∅是不含任何元素的空集，所以0∉∅，故④错误.对⑤：0是元素，∅是不含任何元素的空集，所以两者不能进行取交集运算，故⑤错误. 故选：C. 点睛：本题是一道基础题目，主要考查集合与元素的关系以及集合与集合之间的关系.二、填空题 1．8解析：将子集一一列出即可． 详解：集合{1A =-，0，1}的子集有：∅，{}1-，{0}，{1}，{1-，0}，{0，1}，{1-，1}，{1-，0，1}共8个故答案为：8． 2．7解析：集合}{2,0,11A =, 则集合A 的真子集为∅，{}2，{}0，{}11，{}02，，{}211，，{}0,11 故答案为7 3．7解析：先求出集合C ，再根据元素个数即可求出真子集个数. 详解：{}0,1A =，{}1,2B =，{}{},,1,2,3C x x a b a A b B ∴==+∈∈=有3个元素， ∴集合C 的真子集个数为3217-=个.故答案为：7. 点睛：本题考查集合子集个数的求解，属于基础题. 4．[1,3)-解析：分别求出集合A 和集合B ，再求交集A B 即可. 详解：集合A ：12162x≤<可变形为：14222x -≤<，解之得：14x -≤<，故[)1,4A =-；集合B ：要使函数22log (9)y x =-有意义，须使：290->x ，解之得：33x -<<，故(3,3)B =-，所以[1,3)A B -⋂=. 故答案为：[1,3)-. 点睛：本题主要考查交集的求法，考查指数不等式的求解，考查对数函数的定义域，属于基础题.5．2或4解析：根据集合的包含关系，结合已知条件，即可容易求得x . 详解：因为集合{}0,A x =，{}0,2,4B =.且A B ⊆ 故可得2x =或4. 故答案为：2或4. 点睛：本题考查由集合之间的包含关系求参数值，属简单题.三、解答题 1．（1）； （2）.解析：正难则反，通过求出的情况下对应的集合对的个数，再用总的非空真子集个数减去即可；借鉴第一问的求解方法，结合排列组合公式进行求解详解： （1）集合对共个，先考虑的情况：时，，，，， 时，，，，， 时，，，，时，，，时，，时，．所以的集合对的个数为37，即．（2）集合对共个，先考虑的情况：当中有个元素时，共有种选法，则中不能包括这个元素中任何一个，只能从包含剩余个元素的集合中选取非空子集，共有种选法，故此时有种，所以，，所以，．点睛：对于集合类新题型，解题方法还是基于常规知识，考生应对集合的子集、真子集、非空真子集的求法牢牢掌握，对于延伸类问题，可借鉴前问解题方法，我们的考题中，有很多题型在设问方式上衔接性非常密切2．（1）不存在，理由见解析；（2） (5，9)，(6，10)，(－3，－7)，(－2，－6)． 解析：（1）根据已知条件列方程组，根据方程组的解的情况作出结论. （2）根据A B ⊆列方程组，解方程组求得对应的实数对. 详解：（1）由题意，知当且仅当集合A 中的元素为1，2时，对于任意的实数b ，都有A ⊆B. 因为A ＝a －4，a ＋4}，所以4142a a -=⎧⎨+=⎩或4241a a -=⎧⎨+=⎩，方程组均无解，所以不存在实数a ，使得对于任意的实数b 都有A ⊆B. （2）结合（1），知若A ⊆B ， 则有414a a b -=⎧⎨+=⎩或424a a b -=⎧⎨+=⎩或441a b a -=⎧⎨+=⎩或442a ba -=⎧⎨+=⎩，解得59a b =⎧⎨=⎩或610a b =⎧⎨=⎩或37a b =-⎧⎨=-⎩或26a b =-⎧⎨=-⎩，所以所求实数对(a ，b)为(5，9)，(6，10)，(－3，－7)，(－2，－6)． 3．A B解析：由题意知集合A 表示的是直线1y x =-上的一些孤立的点的集合，集合B 表示的是直线1y x =-上所有的点的集合，可以判断它们的关系.详解：集合{(,)|1,}A x y y x x ==-∈N 表示的是直线1y x =-上的一些孤立的点的集合，而集合{(,)|1,}B x y y x x ==-∈R 表示的是直线1y x =-上所有的点的集合， 因此A B . 点睛：本题主要考查的是集合与集合间的关系，观察出集合所表示的含义是解决本题的关键，是基础题.4．(1){|36}R A Bx x x （）＜或＞⋂= ；(2) a≥6. 解析：试题分析：（1）先由集合的交集概念得到A∩B=x|3≤x≤6}，再根据集合的补集概念得到{|36}R A Bx x x ⋂=（）＜或＞。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．若{}{}41,,21,A x x k k Z B x x k k Z ==+∈==-∈，则（ ） A ．A B ⊆ B ．B A ⊆ C ．A B = D ．A B φ⋂=答案：A解析：分析集合B 元素特征，即可求出结果 详解：{}{}21,4143,B x x k k Z x x k x k k Z ==-∈==+=+∈或,A B ∴⊆.故选:A 点睛：本题考查集合间的关系，属于基础题.2．已知集合A=1，a ，b}，B=a 2，a ，ab}，若A=B ，则a 2021+b 2020=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2答案：A解析：根据A=B ，可得两集合元素全部相等，分别求得21a =和ab=1两种情况下，a ，b 的取值，分析讨论，即可得答案. 详解： 因为A=B ，若21a =，解得1a =±，当1a =时，不满足互异性，舍去，当1a =-时，A=1，-1，b}，B=1，-1，-b}，因为A=B ， 所以b b =-，解得0b =， 所以202120201a b +=-； 若ab=1，则1b a=， 所以21{1,,},{,,1}A a B a a a==，若2a a =，解得0a =或1，都不满足题意，舍去，若21a a=，解得1a =，不满足互异性，舍去， 故选：A 点睛：本题考查两集合相等的概念，在集合相等问题中由一个条件求出参数后需进行代入检验，检验是否满足互异性、题设条件等，属基础题.3．已知集合{{},1,,A B m B A ==⊆，则m =（ ） A ．0或3 B ．0或1 C ．1 D ．3答案：A解析：由题意可得3m =或m =3m =时，代入两集合检验是否满足B A ⊆，再由m =求出m 的值，代入两集合检验是否满足B A ⊆，还要注意集中元素的互异性 详解：因为B A ⊆，所以3m =或m =①若3m =，则{{},1,3A B ==，满足B A ⊆；②若m =，则0m =或1m =.当0m =时，{}{}1,3,0,1,0A B ==，满足B A ⊆；当1m =1，集合,A B 不满足元素的互异性，舍去. 综上，0m =或3m =， 故选：A .4．已知a ，b ∈R ，若{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20212021a b +的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．1-或0答案：A解析：根据集合相等则元素相同，再结合互异性，计算即可得解. 详解：由0,,1b a a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭ 且0a ≠，则0b a=， ∴0b =，于是21a =，解得1a =或1a =-． 根据集合中元素的互异性可知1a =应舍去， 因此1a =-， 故()2021202120212021101a b +=-+=-．故选：A.5．设集合{}1,1M =-,{}240N x x =-<,则下列结论正确的是A ．N M ⊆B ．N M =∅C ．M N ⊆D ．M N =R答案：C 详解：集合{}1,1M =-,{}240{|22}N x x x x =-<=-<<,1,1N -∈,所以M N ⊆.故选C.6．若集合{}|1A x x =≤，则满足A B A ⋃=的集合B 可以是（ ） A ．{}|0x x ≤ B ．{}2|x x ≤ C ．{}|0x x ≥ D ．{}|2x x ≥答案：A解析：由已知可得B A ⊆，即可得出结论. 详解：若A B A ⋃=，则B A ⊆，又{}0|x x ≤⊆{}|1x x A ≤=. 故选：A. 点睛：本题考查集合间的关系，属于基础题.7．设集合{21,},{2,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，则（ ） A ．M N B ．M N ⊆ C ．N M ⊆ D ．M N ⋂=∅答案：B解析：先判断出M 为奇数集，N 为整数集，从而可判断两者之间的关系. 详解：∵集合{21,}M xx k k Z ==+∈∣，故M 为奇数集. 而{2,}N xx k k Z ==+∈∣，故N 为整数集， ∴M N ⊆. 故选：B. 点睛：本题考查集合的包含关系，一般根据集合元素的特征确定出两个集合的包含关系，本题属于基础题.8．下列写法中正确的是（ ）A ．0φ∈B ．{}0φφ=C ．0φ⊆D ．{}0φ⊆答案：D解析：根据空集的定义及集合间关系,即可判断选项. 详解：空集是不含任何元素的集合,所以A 选项错误;并集、包含符号用于集合与集合之间,所以B 和C 选项错误. 由集合的包含关系可知,D 为正确选项. 故选:D 点睛：本题考查了空集概念的辨析,元素与集合、集合与集合关系的判断,属于基础题. 9．若集合P 是集合Q 的子集,则下列结论中正确的是 A ．Q P ⊆ B ．P Q =∅ C ．P Q P = D ．P Q P =答案：D解析：根据集合与集合间的关系逐项运算． 详解：解：若集合P 是集合Q 的子集, 则P Q ⊆,A 选项错误;P Q P =, B 选项错误; P Q Q ⋃=,C 选项错误;故选D ． 点睛：本题考查了集合与集合的关系,以及集合间的交并运算,是基础题．10．设集合{}10,},{1,0,1A x R mx m R B =∈-=∈=-，若A 是B 的真子集，则实数m 的取值集合为. A ．{1,0,1}- B ．{1,1}-C ．{}1-D ．{1}答案：A解析：由A 是B 的真子集，分为A =∅和A ≠∅两种情况进行分类讨论，进一步确定m 取值 详解：A 是B 的真子集，可分为A =∅和A ≠∅两种情况 若0m =时，A =∅，符合题意；若0m ≠时，A ≠∅，若{}1A =，则满足10m -=，1m =；若{}1A =-，则满足10m --=，1m =- 综上所述，实数m 的取值集合为{1,0,1}-故选A 点睛：本题考查由包含关系求解参数问题，易错点为忽略集合A =∅的情况，属于基础题 二、填空题1．已知{|2},{|},A x x B x x m =<-=<若B 是A 的子集，则实数m 的取值范围为___．答案：(],2-∞-解析：根据子集的定义来确定实数m 的取值范围 详解：根据题意，B 是A 的子集，且{|2},{|}A x x B x x m =<-=< 则有：2m ≤-则实数m 的取值范围为(],2-∞- 点睛：本题主要考查了子集，只有掌握子集的定义即可求出结果，较为简单。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．集合{|1}P x y x ==-，集合{|1}Q y y x ==-，则P 与Q 的关系是A ．P ＝QB ．P QC ．P QD ．P∩Q＝Æ 答案：C详解：试题分析：∵，{}{}|1|0Q y y x y y ==-=≥，所以P Q . 考点：集合之间的基本关系与运算.2．已知集合(){|ln 1}A x y x ==-，{|1}B x y x ==-，则（ ）A ．AB =B ．A B ⊆C ．A B =∅D ．A B R =答案：B解析：令10x ->，10x -≥可对两个集合进行化简，即可选出正确答案.详解：解：令10x ->，解得1x >，即{|1}A x x =>；令10x -≥，解得1≥x ，即{|1}B x x =≥.所以A B ≠，A 错误；A B ⊆，B 正确；()1,A B =+∞≠∅，C 错误；[)1,A B R =+∞≠，D 错误.故选:B.点睛：本题考查了集合的运算，考查了集合的关系，考查了函数的定义域的求解.本题的关键是对两个集合进行正确化简.3．设集合1|,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．MN B ．M N C ．M N ⊃≠D ．M N ⋂=∅答案：B 解析：对集合M 和N 中的代数式化为统一的形式，再进行比较．详解：对于集合M ：121244kk x +=+=，k∈Z，对于集合N ：12424kk x +=+=，k∈Z， ∵2k+1是奇数集，k+2是整数集，∴MN故选：B ．点睛： 本题考查了集合间的关系，以及转化思想，是基础题．4．已知集合{}1A a =，，集合{}123B =，， ，则有（ ） A ．若 3a =则B A ⊆ B ．若A B ⊆则3a = C ．若3a =则A B ⊆D ．若A B ⊆则2a =答案：C 解析：当3a =时，可检验A 、C 选项的正误，当A B ⊆时，可解出a 的值，即可判断B 、D 正误，即可得答案.详解：当3a =时，集合{}13A =，，所以AB ⊆，故A 错误，C 正确； 当A B ⊆时，2a =或3a =，故B 、D 错误；故选：C点睛：本题考查集合的包含关系，属基础题.5．对于集合A ，B ，“A B ⊆”不成立的含义是( )A ．B 是A 的子集B ．A 中的元素都不是B 的元素C ．A 中至少有一个元素不属于BD ．B 中至少有一个元素不属于A答案：C解析：根据子集的定义可知，“A B ⊆”不成立即A 中至少有一个元素不在集合B 中. 详解：“A B ⊆”成立的含义是集合A 中的任何一个元素都是B 的元素，∴不成立的含义是A 中至少有一个元素不属于B ，故选C ．点睛：本题考查集合的包含关系，考查命题的否定，属于基础题．6．|,42k M k Z ππαα⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，|,24k N k Z ππββ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则有 A ．MN B ．M N ⊆ C ．N M ⊆ D ．M N ∈答案：C解析：对两个集合进行整理化简，统一形式，即可得到两集合之间的关系.详解：对集合M ：()24k πα=+⨯， 对集合N ：()214k πβ=+⨯ 因为2k Z +∈，21k +是奇数，故可得N M ⊆.故选：C.点睛：本题考查角度集合之间的关系，属基础题；本题也可以用列举法进行判断.7．下列结论正确的是（ ）A ．A ⊂∅≠B ．{}0∅∈C ．{1,2}Z ≠⊂D ．{}{}00,1∈答案：C解析：根据集合与集合的关系，真子集的概念，对四个选项注意分析，由此得出正确结论. 详解：对于A 选项，空集是任何非空集合的真子集，但集合A 无法确定是不是空集，故A 选项错误.对于B 选项，集合与集合之间是包含关系，故B 选项错误.对于C 选项，根据真子集的概念可知，C 选项正确.对于D 选项，集合与集合之间是包含关系，故D 选项错误.综上所述，本小题选C.点睛：本小题主要考查集合与集合的关系，考查真子集的概念，属于基础题.8．若集合{}0,1,2A =，则下列结论正确的是（ ）A ．{}0A ∈B ．0A ∉C ．{}0,1,1,2A -⊆D ．A ∅⊆答案：D解析：根据元素与集合，集合与集合之间的关系判断．详解：由已知A 中含有元素0，1，2，因此{0}A ⊆，A 、B 均错，集合{0,1,1,2}-中比集合A 多一个元素1-，因此应有{0,1,1,2}A ⊆-，C 错，由空集是任何集合子集知D 正确． 故选：D.点睛：本题考查元素与集合，集合与集合之间的关系及表示方法，属于基础题．9．设集合2{|230}M x x x =+-=，2{|10}N x x x =-+=，则,M N 的关系是（ ）A ．M NB ．M N ⊆C ．N MD ．N M答案：C解析：求出集合,M N ，即可发现它们之间的关系．详解：解：由题意可得{3,1}M =-，集合N 为空集，由于空集是任意非空集合的真子集，故选C ．点睛：本题考查集合之间的关系，是基础题．10．已知,集合.若,则的值是A ．5B ．4C ．25D ．10 答案：A详解： ,,且及集合中元素的互异性知：,即,此时应有而,从而在集合B 中, 由,得由(2)(3)解得,代入(1)式知也满足(1)式.11．已知集合{}|1A x ax ==，{}2|10B x x =-=，若A B ⊆，则a 的取值构成的集合是（ ）A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．{}1,0,1-答案：D解析：本题先求出{}1,1B =-，再分A φ=、{1}A =-、{1}A =、{1,1}A =-四种情况求a 的取值，最后求a 的取值构成的集合.详解：解：因为{}2|10B x x =-=，所以{}1,1B =-，因为A B ⊆，所以A φ=，{1}A =-，{1}A =，{1,1}A =-当A φ=时，因为{}|1A x ax ==，则0a =；当{1}A =-时，因为{}|1A x ax ==，则1a =-；当{1}A =时，因为{}|1A x ax ==，则1a =；当{1,1}A =-时，因为{}|1A x ax ==，则无解；所以a 的取值构成的集合是：{}1,0,1-故选：D点睛：本题考查集合的表示方法、利用集合的基本关系求参数，是中档题.12．已知集合A ⊆0，1，2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为A ．6B ．5C ．4D ．3答案：A详解：试题分析：根据已知中集合A 满足A ⊆0，1，2}，且集合A 中至少含有一个偶数，逐一列举出满足条件的集合A ，可得答案．解：∵集合A ⊆0，1，2}，且集合A 中至少含有一个偶数，∴满足条件的集合A 可以为：0}，2}，0，1}，1，2}，0，2}，0，1，2}，共6个，故选A ．考点：子集与真子集．13．设集合{}1,1M =-,{}240N x x =-<,则下列结论正确的是 A ．N M ⊆B ．N M =∅C ．M N ⊆D ．M N =R答案：C详解： 集合{}1,1M =-,{}240{|22}N x x x x =-<=-<<,1,1N -∈,所以M N ⊆.故选C.14．已知集合{}*3A x N x =∈<∣，则集合A 的子集个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案：B解析：先化简集合A ，再求得其子集即可.详解：因为集合{}{}*31,2A x N x =∈<=∣， 所以集合A 的子集为{}{}{},1,2,1,2∅,所以集合A 的子集个数为4,故选：B15．设{}|26A x x =≤≤，{}|23B x a x a =≤≤+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是A ．[]1,3B ．[3,)+∞C ．[1,)+∞D ．()1,3答案：C解析：由B A ⊆，可对集合B 分类：是∅或不是∅，然后计算得到结果.详解：因为B A ⊆，当B =∅时，符合要求，则有：23a a >+，即3a >；当B ≠∅时，则有：232236a a a a ≤+⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，解得13a ≤≤； 则a 的取值范围是：[)1,+∞，故选C.点睛：本题考查利用子集关系求解参数范围问题，难度较易.利用子集关系求解问题时，注意集合是否可能是空集.16．设集合{|11},{|0}A x x B x x a .若A B ⊆，则实数a 的取值范围是A ．{|1}a aB ．{|1}a aC ．{|1}a aD ．{|1}a a答案：D解析：求出B 后利用数轴可得实数a 的取值范围.详解：化简得集合B 为{|}x x a ，结合数轴可知，要使A B ⊆，则只要1a ≤-即可，即a 的取值范围是{|1}a a，故选D.点睛： 本题考查集合间的包含关系，可利用数轴、韦恩图等帮助考虑包含关系，注意根据包含关系得到的不等式（不等式组）的等号是否可取.17．已知非空集合{}220A x N x x ⊆∈--<，则满足条件的集合A 的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C 解析：由题意可知，集合A 为集合{}220x N x x ∈--<的子集，求出集合{}220x N xx ∈--<，利用集合的子集个数公式可求得结果. 详解： {}{}{}220120,1A x N x x x N x ⊆∈--<=∈-<<=， 所以满足条件的集合A 可以为{}{}{}0,1,0,1，共3个,故选：C.点睛：本题考查集合子集个数的计算，考查计算能力，属于基础题.18．已知集合(){}22,1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 的子集个数为（ ）A ．32B ．31C ．16D ．5答案：A 解析：利用列举法表示集合A ，可得出集合A 中的元素个数，然后利用子集个数公式可得出集合A 的子集个数.详解：(){}()()()()(){}22,1,,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1A x y x y x Z y Z =+≤∈∈=--， 则集合A 中有5个元素，因此，集合A 的子集个数为5232=.故选：A.点睛：本题考查有限集子集个数的计算，解题的关键就是确定出集合的元素个数，考查计算能力，属于基础题.19．如果{}2|10A x ax ax =-+<=∅，则实数的取值范围为（ ）A ．04a <<B ．04a ≤≤C ．04a <≤D ．04a ≤<答案：B 解析：可分为0a =，0a ≠两种情况具体讨论详解：{}2|10A x ax ax =-+<=∅，当0a =时，A =∅；当0a ≠时，需满足对应的0∆≤，即240a a -≤，解得(]0,4a ∈，综上所述，04a ≤≤故选：B点睛：本题考查根据空集情况求解参数，属于基础题20．已知集合A=x|x 2–x –2≤0，x∈Z}，则集合A 非空子集的个数为A ．14B ．15C ．16D ．17答案：B解析：先化简集合A=–1，0，1，2},由于元素有4个，所以集合A 非空子集的个数为：24–1。

1.2 集合间的基本关系1．已知集合{}21,A x =，则下列说法正确的是A ．{}1A ∈B ．1A ⊆C ．1A -∉D ．{}A ∅⊆ 2．已知集合16A x x k k N ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，，123m B x x m N ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，，126n C x x n N ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，，则集合、、A B C 的大小关系是（ ）A ．A CB B ．C A B C ．A B C =D ．A B C3．设集合{21,},{2,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，则（ ） A ．M N B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M N ⋂=∅4．已知集合2{1,}A x x =+，{1,2,3}B =，且A B ⊆，则实数x 的值是A ．-1B ．1C ．3D ．4 5．集合{}2*70,A x x x x N =-<∈，则集合*6,B y N y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭的子集个数为（ ） A ．4个 B ．8个 C ．15个 D ．16个6．集合{}{},1,,1,2,P x Q y ==其中{},1,2,3,,9x y ∈⋅⋅⋅，且P Q ⊆，把满足上述条件的一对有序整数对(),x y 作为点，这样的点的个数是 （ ）A ．9B ．14C ．15D ．217．已知集合{}221,M y y x x x R ==--∈，{}24P x x =-≤≤，则集合M 与集合P 的关系是（ ）A ．P MB ．P M ∈C ．M PD ．M P 8．已知A B ⊆，A C ⊆，{}1,2,3,5B =，{}0,2,4,8C =，则A 可以是 A ．{}1,2 B ．{}2,4 C ．{}2D ．{}4 9．已知集合{}21,A x y x y Z ==+∈，{}21,B y y x x Z ==+∈，则A 、B 的关系是（ ）A ．AB = B ．A BC ．B AD ．A B =∅10．设集合{}1,2A =，则下列正确的是A ．1A ∈B ．1A ∉C ．{}1A ∈D ．1A ⊆11．设集合{}4A x x =≤，a = ）A ．a A ∉B ．a A ⊆C ．{}a A ⊆D ．{}a A ∈12．已知12|,01A y y x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭，{}|1,B y y kx x A ==+∈，若A B ⊆，则实数k 的取值范围为 A ．1k =- B ．1k <-C ．10k -≤≤D ．1k ≤- 13．设集合{}|12A x x =<≤,{}|B x x a =<，若A B ⊆,则a 的取值范围是 A ．{}|1a a ≥ B ．{}|1a a ≤ C ．{}|2a a ≥D ．{}2a a ＞ 14．定义集合运算A◇B=c|c=a+b,a∈A,b∈B},若A=0,1,2},B=3,4,5},则集合A◇B 的子集个数为( )A ．32B ．31C ．30D ．1415．已知“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题：①M 的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素；③存在x P ∈且x M ∈；④存在x M ∈且x P ∉；这四个命题中，真命题的个数为（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．已知集合{}24A x x =≤<，{}3B x a x a =-<≤+，若A B A =，则a 取值范围是（ ）A ．()2,-+∞B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．()2,+∞17．已知集合(){},A x y y x ==，()21,45x y M x y x y ⎧⎫-=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬+=⎩⎪⎪⎩⎭,则下列结论中正确的是A ．M A =B ．M A ⊆C ．()1,1A ⊆D ．M A ∈18．已知集合{}1,2,4A =，{B x x =是8的正约数}，则A 与B 的关系是．A ．AB = B ．A BC ．A BD ．A B =∅19．已知集合{3A x x =>或}1x <，{}0B x x a =-<，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（）A ．()3,+∞B ．[)3,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞20．{}{}2|60,|10A x x x B x mx =+-==+=,且A B A ⋃=,则m 的取值范围是A ．11,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．110,,32⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ C ．110,,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ D ．11,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭参考答案1．C详解：试题分析：集合与集合关系为“包含”、“含于”，元素与集合关系为“属于”、“不属于”，故选C.考点：元素与集合、集合与集合的关系．2．A3．B4．B5．D6．B详解：解：根据题意，若P Q ⊆，有2种情况：①、x≠y，则必有x=2，y 可取的值为3、4、5、6、7、8、9，共7种情况，即（x ，y ）有7种情况，②、x=y ，此时x 、y 可取的值为3、4、5、6、7、8、9，共7种情况，即（x ，y ）有7种情况，则（x ，y ）有7+7=14种情况，故答案为14, 选B7．D8．C详解：∵A B ⊆，A C ⊆，∴把选项代入检验即可，只有集合{}2符合题意，故选C9．C10．A详解：试题分析：由{}1,2A =可知1，2是集合中的元素，元素与集合间的关系是∈，所以1A ∈ 考点：集合和元素的关系11．C12．D13．D详解：根据已知A B ⊆以及子集的性质可知，当2a >时，A B ⊆，故2a >，故选D.14．A15．B16．C17．B18．B19．D20．C详解：由题意{}3,2,A A B A B A =-⋃=∴⊆ 当11,0,,3,,3B m B m m φφ==≠-=-=时当时由得由112,.2m m -==-得 所以,m 的取值范围为110,,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【参考解析】1．2．解析：列举出集合A,B,C 即得三个集合的关系.详解： 由题得1171319=,,,,66666A x x k k N ⎧⎫⎧⎫==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，， 1112710={,,,,}2336366m B x x m N ⎧⎫==-∈-⎨⎬⎩⎭，，， 11271013={,,,}2663666n C x x n N ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，，，. 所以A C B .故选A点睛：本题主要考查集合的表示和集合的关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．解析：先判断出M 为奇数集，N 为整数集，从而可判断两者之间的关系.详解：∵集合{21,}M xx k k Z ==+∈∣，故M 为奇数集. 而{2,}N xx k k Z ==+∈∣，故N 为整数集， ∴M N ⊆.故选：B.点睛：本题考查集合的包含关系，一般根据集合元素的特征确定出两个集合的包含关系，本题属于基础题.4．解析：已知集合的元素，根据集合间的包含关系A B ⊆即可求参数详解：由A B ⊆，知21x B +∈且x B ∈经检验1x =符合题意∴1x =故选：B点睛：本题考查了集合间的基本关系，利用包含关系求参数5．解析：先求出A ，再找出A 中6的正约数，可确定集合B ，进而得到答案．详解：集合2{|70A x x x =-<，{}**}|07,{1x N x x x N ∈=<<∈=，2，3，4，5，6}*6{|,}{1B y N y A y=∈∈=，2，3，6}， 故B 有4216=个子集，故选：D ．点睛：本题考查的知识点是子集与真子集，求出集合B 是解答的关键，属于基础题．6．7．解析：首先，化简集合M ，就是求解函数221y x x =--，x ∈R 的值域，然后，利用集合之间的基本关系进行判断即可．详解：解：由集合M 得2221(1)2y x x x =--=--，x ∈R2y ∴-，{|2}M y y ∴=-，{}24P x x =-≤≤，M P ∴，故选：D ．点睛：本题重点考查集合之间的基本关系，属于基础题，注意落实集合M 的元素取值情形． 8．9．解析：由题意得出Z A ⊆，而集合BZ ，由此可得出A 、B 的包含关系. 详解： 由题意知，对任意的x ∈Z ，21y x Z =+∈，Z A ∴⊆.{}21,B y y x x Z ==+∈，∴集合B 是正奇数集，则B Z ，因此，B A .故选：C.点睛：本题考查集合包含关系的判断，解题时要善于抓住代表元素，认清集合的特征，考查推理能力，属于中等题. 10．114，依次判断选项即可. 详解：对选项A4<，所以a A ∈，故A 错误.对选项B ，⊆用于集合与集合之间，故B 错误.对选项C 4<，所以{}a A ⊆，故C 正确.对选项D ，∈用于元素与集合之间，故D 错误.故选：C点睛：本题主要考查集合间的包含关系，同时考查了元素与集合的关系，属于简单题.12．解析：首先求出集合A ，分类讨论0k =，0k <，0k >情况下的B 集合，从而求出满足A B ⊆的实数k ．详解：由题可得{}12|,01|01A y y x x y y ⎧⎫==≤≤=≤≤⎨⎬⎩⎭，当0k =时，{}{}|1,1B y y kx x A ==+∈=，不满足A B ⊆，舍去，当0k <时，{}{}|1,|11B y y kx x A y k y ==+∈=+≤≤，由于A B ⊆，所以10k +≤，解得：1k ≤-， 当0k >时，{}{}|1,|11B y y kx x A y y k ==+∈=≤≤+，由于11k +>，所以不满足A B ⊆，舍去， 综述所述，实数k 的取值范围为1k ≤-故答案选D点睛：本题考查集合间的关系，涉及一次函数的值域，属于基础题13．14．解析：∵A=0，1，2}，B=3，4，5}．又∵A◇B=c|c=a+b，a∈A，b∈B}，∴A◇B=3，4，5，6，7}由于集合A◇B 中共有5个元素故集合A◇B 的所有子集的个数为25=32个 故选A15．解析：根据题意，由子集的定义分析M 、P 元素的关系分析4个命题是否正确，综合即可得答案．详解：根据题意，“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题．则其否定为真， 则非空集合M 的元素不都是集合P 的元素，据此分析4个命题：①M 的元素不都是P 的元素，正确，②M 的部分元素可以为P 的元素，不正确，③可能M 的元素都不是P 的元素，故存在x P ∈且x M ∈，不正确，④存在x M ∈且x P ∉，正确，其中正确的命题有2个，故选：B ．16．解析：由条件可知A B ⊆，列不等式求a 的取值范围.详解：由A B A =知A B ⊆，故234a a -<⎧⎨+≥⎩，解得1a ≥． 故选：C ．17．解析：化简集合M ，最后根据集合的相等关系、子集关系、属于关系的概念选出正确答案.详解：因为(){}21,(1,1)45x y M x y x y ⎧⎫-=⎧⎪⎪==⎨⎨⎬+=⎩⎪⎪⎩⎭，所以M A ⊆，故本题选B. 点睛：本题考查了集合表示方法中的列举法，考查了集合之间的子集关系.18．解析：化简集合B ，比较A ，B 中的元素，即可判断A ，B 的关系．详解：{|B x x =是8的正约数}{1,2,4,8}=，又集合{1,2,4}A =，A B ∴．故选B ．点睛：本题考查集合的包含关系及集合的基本运算，属于基础题．19．解析：由题得{}B x x a =<，根据已知得1a ≤.详解： 由题得{}B x x a =<，因为B A ⊆，所以1a ≤.故选：D点睛：本题主要考查根据集合的包含关系求参数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 20．。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．已知集合(){}(){}22,1,,A x y x y B x y y x =+===，则A B 的子集个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．集合{}52,Z M x x k k ==-∈，{}|53,P x x n n Z ==+∈，{}103,Z S x x m m ==+∈之间的关系是 A ．S P M B ．S P MC ．S PMD ．PM S3．下列写法：（1）0}∈2，3，4}；（2）∅⊆0}；（3）-1，0，1 }=0，-1，1}；（4）0∈∅，其中错误写法的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．设集合{}1,1M =-,{}240N x x =-<,则下列结论正确的是A ．N M ⊆B ．N M =∅C ．M N ⊆D ．M N =R5．已知集合{|1}P x R x =∈≥，{}1,2Q =，则下列关系中正确的是（ ）A ．P Q =B ．Q P ⊆C ．P Q ⊆D ．P Q R = 6．已知集合{|12}A x x =-<<，{|01}B x x =<<，则A ．B A ⊆ B ．A B ⊆C ．A B =D ．A B =∅ 7．集合{|}A x x a =≤，2{|50}B x x x =-<，若A∩B=B，则a 的取值范围是（ ） A ．5a ≥ B ．4a ≥ C ．5a < D ．4a < 8．设集合{|14},M x x a π=<<=，则下列关系正确的是（ ）A ．a M ⊆B ．a M ∉C ．{}a M ∈D ．{}a M ⊆9．若集合{}2|1,A y y x x R ==+∈，集合{}|50B x R x =∈+>，则集合A 与B 的关系是（ ）A ．AB ∈ B ．A B ⊆C ．B A ⊆D ．A B =10．已知A ＝x|x 2﹣3x+2＝0}，B ＝x|ax ﹣1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的值为（ ） A ．1，2 B ．1，12 C ．0，1，2 D ．0，1，12二、填空题1．已知集合A=x|x ﹣a=0}，B=x|ax ﹣1=0}，且A∩B=B，则实数a 等于_____．2．符合条件{}{},,a P a b c ≠⊂⊆的集合P 的个数是个_______. 3．集合6|5M a a⎧=∈⎨-⎩N 且}a Z ∈，用列举法表示集合M =________．4．已知集合{1,2,3}A =，则集合{,}B x yx A y A =-∈∈∣的所有子集的个数是________. 5．集合{}2|340,A x ax x x R =--=∈，若A 只有一个真子集，则实数a 的值为______.三、解答题1．指出下列集合之间的关系：（1）{}1,1A =-，{}21B x N x =∈=；（2）{}1,1A =-，()()()(){}1,1,1,1,1,1,1,1B =----； （3）{}2,P x x n n Z ==∈，(){}21,Q x x n n Z ==-∈； （4）{A x x =是等边三角形}，{B x x =是三角形}； （5）}{14A x x =-<<，}{50B x x =-<.2．设{}{}2230,10M x x x N x ax =--==-=，若MN N =，求所有满足条件的a 的集合3．写出集合P 的所有子集，其中.4．已知集合{}21A x y x ==+，{}22B y y x a ==+，（1）求集合A ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．5．已知{1,}M t =，2{1}N t t =-+，若M N M ⋃=，求实数t 的取值构成的集合．参考答案一、单选题 1．A解析：解方程组221x y y x ⎧+=⎨=⎩，根据解的个数求出交集，再得出子集个数．详解：解：由221x y y x ⎧+=⎨=⎩得，x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴2=(2A B ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，∴A B 的子集个数为224=， 故选：A ． 点睛：本题主要考查集合的交集运算，考查有限集的子集个数，属于基础题． 2． C解析：先算出集合S ，用列举法表示各集合后可得各集合之间的关系. 详解： ∵{|52,},{|53,}M x xkkPx xn n Z Z ，{|103,}Sx xm m Z ，∴{,7,2,3,8,13,18,}M，{,7,2,3,8,13,18,}P， {,7,3,13,23,}S，故S PM ，故选C. 点睛：集合的表示方法有列举法和描述法，当用描述法表示的集合时，如果集合中的元素不太明晰，可用列举法表示集合，从而明确集合中的元素. 3．B解析：由集合与集合的关系判断（1），由空集的性质判断（2）（4）；由集合的无序性以及集合相等的定义判断（3）. 详解：由集合与集合的关系可知，（1）错误；空集是任何集合的子集，（2）正确；由集合的无序性以及集合相等的定义可知，（3）正确；空集是不含任何元素的集合，（4）错误； 故选：B 4．C 详解：集合{}1,1M =-,{}240{|22}N x x x x =-<=-<<,1,1N -∈,所以M N ⊆.故选C.5．B解析：本题考查的是两个集合之间的关系，题意中集合Q 中的元素较少，可以从集合Q 中的元素进行分析判断，判断集合Q 中的元素是否在P 中，从而得出结果． 详解：解：{|1}P x R x =∈≥1P ∴∈，2P ∈，且P Q ≠Q P ∴⊆故本题正确选项：B 点睛：本题考查了集合之间的运算，求解问题的方法可以用数轴法、列举法等等． 6．A解析：画数轴结合子集的概念即可得到答案. 详解：∵集合{|12}A x x =-<<，{|01}B x x =<<， ∴B A ⊆． 故选A ． 点睛：本题考查集合间的基本关系. 7．A解析：因为25005x x x -<⇒<<,又A B B B A ⋂=⇒⊆，则由{|}A x x a =≤，可得；5a ≥时满足条件A B B ⋂=． 8．D解析：由14a <<，即得：,{}a M a M ∈⊆. 详解：因为{|14},M x x a π=<<=，14a <<， 所以,{}a M a M ∈⊆， 故选：D 点睛：本题考查了元素与集合，集合与集合的关系，考查学生的分析能力，属于基础题. 9．B解析：先确定集合,A B 中的元素，然后根据子集定义判断． 详解：由题意{}2|1,{|1}[1,)A y y x x R y y ==+∈=≥=+∞，{}|50{|5}(5,)B x R x x x =∈+>=>-=-+∞，显然集合A 中的元素都属于B ， 所以A B ⊆． 故选：B ． 点睛：本题考查集合的包含关系，根据子集定义判断． 10．D解析：先计算集合A ，然后根据B ⊆A ，按a=0，a≠0进行讨论并加以计算可得结果. 详解：由题可知：集合A ＝1，2}，对于集合B ，当a=0时，B =∅，满足B 是A 的子集，符合题意； 当a≠0时，B ＝x|x ＝1a }，B ⊆A ， 则1a ＝1或1a ＝2，解得a ＝1或12； 综上可知，a 的值为0或1或12， 故选：D 点睛：本题考查集合的包含关系求参数，考查计算与分析能力，属基础题.二、填空题 1．1或﹣1或0解析：∵A∩B=B，∴B A ⊆，{}{|0}A x x a a =-==。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．已知集合{}2|320A x x x =-+=，{}|06,B x x x N =<<∈，则满足A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．16答案：C解析：求出集合A 、B ，再根据A C B ⊆⊆既可以写出所有的集合C ，从而得出正确答案. 详解：{}()(){}{}2|320|1201,2A x x x x x x =-+==--==，{}{}|06,1,2,3,4,5B x x x N =<<∈=，所以1,2都是集合C 中的元素，集合C 中的元素还可以有3、4、5所以集合C 为：{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5，{}1,2,3,4，{}1,2,3,5，{}1,2,4,5{}1,2,3,4,5共8个， 故选：C 点睛：考查了描述法，列举法表示集合，子集的概念，属于基础题.2．已知集合2560,{|}M x x x =--≤1,16xN y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==≥-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则（ ）A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．M ND ．()R M C N ⊆答案：B解析：求出集合M ，N ，然后判断M ，N 的关系即可． 详解：∵M＝x|﹣1≤x≤6}，N ＝y|0＜y≤6}， ∴N ⊆M ． 故选：B ． 点睛：本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的值域和单调性，考查了计算能力，属于基础题．3．若集合{}|2135A x a x a =+≤≤-，{}|516B x x =≤≤，则能使A B ⊆成立的所有a 组成的集合为（ ） A ．{}|27a a ≤≤ B ．{}|67a a ≤≤C ．{}7|a a ≤D ．∅答案：C解析：考虑A =∅和A ≠∅两种情况，得到21353516215a a a a +≤-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得答案.详解：当A =∅时，即2135a a +>-，6a <时成立；当A ≠∅时，满足21353516215a a a a +≤-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得67a ≤≤；综上所述：7a ≤. 故选：C. 点睛：本题考查了根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略空集的情况是容易发生的错误. 4．下列表述正确的是 A ．{0}∅= B ．{0}∅⊆C ．{0}∅⊇D ．{0}∅∈答案：B 详解：∅不含有任何元素，0}中含有一个元素0．空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集，所以答案是B ．5．已知集合M ＝｛x ｜x ＜0｝，N ＝｛x ｜x≤0｝，则 A ．M∩N＝∅ B ．MUN ＝RC ．M ⊆ND ．N ⊆M答案：C解析：根据具有包含关系的两个集合的交集与并集的性质求得结果. 详解：因为{}{}|0,|0M x x N x x =<=≤， 所以有M N ⊆，所以有M N M ⋂=，M N N ⋃=， 所以只有C 是正确的，故选C. 点睛：该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有判断两集合的关系，具备包含关系的两集合的交并运算的性质，属于简单题目.6．集合{}22A x N x =∈-<<的真子集个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8答案：A解析：根据若集合中有n 个元素，则真子集个数为21n -求解. 详解：因为集合{}{}220,1A x N x =∈-<<=， 所以集合A 的真子集个数为2213-=， 故选：A 点睛：本题主要考查集合的基本关系，属于基础题. 7．集合{|04}A x N x =∈<<的真子集个数为( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．8答案：C解析：{}1,2,3A =，集合有3个元素，所以集合的真子集个数为3217-=，故填：C.8．已知集合{|A x y =，集合{|}B x x a =≥，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞- B ．(],2-∞-C ．()2+∞，D ．[)2+∞，答案：B解析：由题意得，[]2,2A =-，再根据集合间包含关系即可求出答案． 详解：解：∵[]{|2,2A x y ==-，{|}B x x a =≥，A B ⊆， ∴2a ≤-， 故选：B ． 点睛：本题主要考查根据集合间的包含关系求参数的取值范围，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．9．已知集合{|1}P x R x =∈≥，{2,3}Q =，则下列关系中正确的是A ．P Q =B ．P QC ．Q PD ．P Q R =答案：C解析：由2,3均大于等于1,即可判断集合P 与Q 的关系. 详解：因为21≥,3≥1,所以Q P,故选:C 点睛：本题考查集合之间的关系,属于基础题.10．设集合{1,2,3,4,5}A =，{2,4}B =则正确的是（ ） A ．A B ⊆ B ．A B ∉C ．B A ⊆D ．B A ∉答案：C解析：根据集合之间的关系，以及集合之间的表示符号，即可容易判断. 详解：因为{1,2,3,4,5}A =，{2,4}B =， 可得集合B 是集合A 的子集. 故B A ⊆. 故选：C. 点睛：本题考查集合之间的关系，属基础题. 二、填空题 1．已知集合,2{|0}B x x ax b =++=，若A=B ，则a+b=_______． 答案：解析：试题解析：由题意可得：，所以．考点：集合间的基本关系．2．已知集合{1A x x =<-或}4x >，{}23B x a x a =≤≤+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是________．答案：{4a a <-或}2a >解析：分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，结合B A ⊆得出关于实数a 的不等式组，解出即可得出实数a 的取值范围.详解：当B =∅时，23a a >+，即3a >，满足要求； 当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得3231a a a +≥⎧⎨+<-⎩或3224a aa +≥⎧⎨>⎩，解得4a或23a <≤．综上，实数a 的取值范围为{4a a <-或}2a >. 故答案为{4a a <-或}2a >. 点睛：本题考查利用集合包含关系求参数，解题时要对含参数的集合分空集和非空集合两种情况讨论，结合包含关系列不等式（组）进行求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 3．已知集合2{|430,}A x x x x R =-+=∈，{|15,}B x x x N =-<<∈，则满足A C B ⊆⊆的集合C 的个数是___________． 答案：8解析：先求得集合,A B ，根据A C B ⊆⊆求得C 的个数，由此得出结论. 详解：由()()243310x x x x -+=--=，解得1x =或3x =，所以{}1,3A =，{}0,1,2,3,4B =.由于A C B ⊆⊆，C 的元素除1,3外，可取0,2,4，所以集合C 的个数是328=个.故答案为：8 点睛：本小题主要考查根据包含关系求集合，属于基础题.4．满足{}{}1,30,1,3,5,7A ⊆⊆条件的集合A 的个数有__________个. 答案：8解析：由集合的包含关系知1,3A ∈，而0,5,7要么属于A 要么不属于A ，所以三个元素中任意元素与集合A 的关系都有两种可能，即可求集合个数. 详解：由{}{}1,30,1,3,5,7A ⊆⊆知：1,3A ∈，而0,5,7可能属于A ，也可能不属于A ， ∴集合A 的个数有328=，故答案为：85．已知*n N ∈，集合13521,,,,2482n n n M -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合n M 所有非空子集的最小元素之和为n T ，则使得180n T ≥的最小正整数n 的值为____________．答案：19解析：求出n M 的所有非空子集中的最小元素的和n T ，利用180n T ≥，即可求出最小正整数n 的值. 详解：当2n =时，n M 的所有非空子集为：1{}2，3{}4，13{,}24， 所以11372244S =++=.当3n =时，135424248S =⨯++⨯=. 当4n ≥时， 当最小值为212nn -时，每个元素都有或无两种情况，共有1n -个元素， 共有121n --个非空子集，1212n S -=. 当最小值为1232n n --时，不含212nn -，含1232n n --，共有2n -个元素， 有221n --个非空子集，2232S n -=. ……所以123n T S S S =+++...212322n n n S --+=++ (27531)2=2442n -++++.因为180n T ≥，2361n ≥，即19n ≥.所以使得180n T ≥的最小正整数n 的值为19. 故答案为：19 点睛：本题主要考查了数列前n 项和的求法，同时考查了集合的子集的概念，属于难题. 三、解答题1．已知集合{}20A x x x =-=,{}1B x ax ==，且B A ⊆，求实数a 的值.答案：1a =或0a =.解析：先解方程20x x -=得集合{}0,1A =，再分B =∅和B ≠∅两类解决即可得答案. 详解：解：解方程20x x -=得0x =或1x =，故{}0,1A = 因为B A ⊆，所以当B =∅时，0a =； 当B ≠∅时，{}11B x ax a ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭， 所以11a=，解得1a = 所以实数a 的值为1a =或0a = 点睛：本题考查利用集合的关系求参数值，考查分类讨论思想，本题的关键在于对集合B 分类讨论，是基础题.2．（1）已知集合(){}222,133A a a a a =++++,，当1A ∈，求2020a 的值；（2）已知集合{}2202020190A x x x =-+<，{}B x x a =<，若A B ⊆，求实数a 的取值范围．答案：（1）1；（2）[)2019,+∞.解析：（1）分21a +=，()211a +=，2331a a ++=三种情况，分别求得a 的值，再代入验证集合中的元素是否满足互异性可得答案；（2）先求得集合A ，借助数轴可得a 的取值范围． 详解：（1）若21a +=，则1a =-，{}1,0,1A =，不合题意；若()211a +=，则0a =或-2，当0a =时，{}2,1,3A =，当2a =-时，{}0,1,1A =，不合题意；若2331a a ++=，则1a =-或-2，都不合题意；因此0a =，所以020201=． （2）{}12019A x x =<<，A B ⊆，∴借助数轴可得2019a ≥，a ∴的取值范围为[)2019,+∞．点睛：易错点点睛：由已知集合间的关系，元素与集合间的关系求参数的值时，注意将求得的参数的值代入集合中验证：集合中的元素是否满足互异性.3．如图，()111,P x y ，()222,P x y ，…，(),n n n P x y 是曲线C ：()2102y x y =≥上的点，()11,0A a ，()22,0A a ，…，(),0n n A a 是x 轴正半轴上的点，且011A A P ∆，122A A P ∆，…，1n n n A A P -∆均为斜边在x 轴上的等腰直角三角形（0A 为坐标原点）.（1）写出1n a -、n a 和n x 之间的等量关系，以及1n a -、n a 和n y 之间的等量关系； （2）猜测并证明数列{}n a 的通项公式； （3）设12321111n n n n nb a a a a +++=++++，集合{}123,,,,n B b b b b =⋅⋅⋅，{}22|210,A x x ax a x R =-+-<∈，若A B =∅，求实常数a 的取值范围.答案：（1）12n n n a a x -+=，12n n n a a y --=；（2）()12n n n a +=，证明见解析；（3）(]4,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 解析：（1）依题意利用等腰直角三角形的性质可得，12n n n a a x -+=，12n n n a ay --=. （2）由212nn y x =得2111222n n n n a a a a---+⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，即()211n n n n a a a a ---=+，猜测()12n n n a +=，再用数学归纳法进行证明.（3）用裂项法求得12321111n n n n n b a a a a +++=++++的值为2123n n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，由函数()12f x x x =+在区间[)1,+∞上单调递增，且lim 0n n b →∞=，求得10,3n b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，再由{}(){}22|210,|1,1A x x ax a a R x x a a =-+-<∈=∈-+，由A B ϕ⋂=，有10a +≤，或113a -≥，由此求得实常数a 的取值范围. 详解：（1）依题意利用等腰直角三角形的性质可得，12n n n a a x -+=，12n n n a ay --=.（2）由212nn y x =得2111222n n n n a a a a---+⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，即()211n n n n a a a a ---=+，猜测()12n n n a +=. 证明：①当1n =时，可求得11212a ⨯==，命题成立. ②假设当n k =时，命题成立，即有()12k k k a +=， 则当1n k =+时，由归纳假设及()211k k k k a a a a ---=+，得()()2111122k n k k k k a a ++++⎡⎤-=+⎢⎥⎣⎦， 即()()()()()22111121022k k k k k k a k k a ++-++⎡⎤⎡⎤-+++⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 解得()()1122k k k a +++=，（()112k k k k a a +-=<不合题意，舍去）， 即当1n k =+时，命题成立. 综上所述，对所有*n N ∈，()12n n n a +=. （3）12321111n n n n nb aa a a +++=++++()()()()()2221223221n n n n n n =++⋅⋅⋅++++++22222112123123n n n n n n n =-==++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为函数()12f x x x=+在区间[)1,+∞上单调递增，且lim 0n n b →∞=， 所以10,3n b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.{}(){}22|210,|1,1A x x ax a a R x x a a =-+-<∈=∈-+，由A B ϕ⋂=，有10a +≤，或113a -≥，故(]4,1,3a ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 点睛：本题考查了数学归纳法在数列中的应用、利用函数的单调性求数列极限、利用集合的包含关系求参数的取值范围，综合性比较强，考查了学生审题、解题的能力，属于难题. 4．若集合{}24A x x =<<，{}3B x a x a =<<.（1）若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围； （2）若A B =∅，求实数a 的取值范围.答案：（1）423a ≤≤；（2）23a ≤或4a ≥ 解析：（1）考虑A 是B 的子集即可求解；（2）分类讨论当B 为空集和不为空集两种情况求解. 详解：（1）若x A ∈是x B ∈的充分条件，234a a ≤⎧⎨≥⎩，解得423a ≤≤；（2）A B =∅，当B =∅时，即3,0a a a ≥≤， 当B ≠∅时，04a a >⎧⎨≥⎩或032a a >⎧⎨≤⎩，即203a <≤或4a ≥.综上所述：23a ≤或4a ≥ 点睛：此题考查根据充分条件与集合关系求解参数取值范围，易错点在于漏掉考虑空集情况. 5．已知集合11{|12}22M x a x a =-<≤-，311{|1}222N x x =-<-<. （1）当4a =时，求()R C N M ⋃； （2）若M N M =，求实数a 的取值范围.答案：(1) (,0][3,)-∞+∞;(2) (2,4]-.解析：试题分析：（1）代入已知的参数值，再根据集合的交集和补集的运算规律的到结果即可。

1.1.2 集合间的基本关系优化训练1．下列六个关系式，其中正确的有①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}．A．6个B．5个C．4个 D．3个及3个以下解析：选C①②⑤⑥正确．2．已知集合A，B，若A不是B的子集，则下列命题中正确的是A．对任意的a∈A，都有a∉BB．对任意的b∈B，都有b∈AC．存在a0，满足a0∈A，a0∉BD．存在a0，满足a0∈A，a0∈B解析：选不是B的子集，也就是说A中存在不是B中的元素，显然正是C选项要表达的．对于A和B选项，取A＝{1,2}，B＝{2,3}可否定，对于D选项，取A＝{1}，B＝{2,3}可否定．3．设A＝{|1＜＜2}，B＝{|＜a}，若AB，则a的取值范围是A．a≥2 B．a≤1C．a≥1 D．a≤2解析：选＝{|1－1}，那么A．0⊆A B．{0}∈AC．∅∈A D．{0}⊆A解析：选、B、C的关系符号是错误的．2．已知集合A＝{|－1B B．ABC．BA D．A⊆B解析：选C利用数轴图略可看出∈B⇒∈A，但∈A⇒∈B不成立．3．定义A－B＝{|∈A且∉B}，若A＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,3,5}，则A－B等于A．A B．BC．{2} D．{1,7,9}解析：选D从定义可看出，元素在A中但是不能在B中，所以只能是D4．以下共有6组集合．1A＝{－5,3}，B＝{－5,3}；2M＝{1，－3}，N＝{3，－1}；3M＝∅，N＝{0}；4M＝{π}，N＝{}；5M＝{|是小数}，N＝{|是实数}；6M＝{|2－3＋2＝0}，N＝{|2－3＋2＝0}．其中表示相等的集合有A．2组 B．3组C．4组 D．5组解析：选A5，6表示相等的集合，注意小数是实数，而实数也是小数．5．定义集合间的一种运算“*”满足：A*B＝{ω|ω＝＋，∈A，∈B}．若集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则A*B的子集的个数是A．4 B．8C．16 D．32解析：中分别取出元素进行*的运算，有0·2·0＋2＝0·3·0＋3＝0,1·2·1＋2＝6,1·3·1＋3＝12，因此可知A*B＝{0,6,12}，因此其子集个数为23＝8，选B 6．设B＝{1,2}，A＝{|⊆B}，则A与B的关系是A．A⊆B B．B⊆AC．A∈B D．B∈A解析：选D∵B的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅，∴A＝{|⊆B}＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，∴B∈A7．设，∈R，A＝{，|＝}，B＝{，|错误!＝1}，则A、B间的关系为________．解析：在A中，0,0∈A，而0,0∉B，故BA答案：BA8．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A⊇B，则a的值为________．解析：A⊇B，则a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，解得a＝2或a＝－1或a＝1，结合集合元素的互异性，可确定a＝－1或a＝2答案：－1或29．已知A＝{|＜－1或＞5}，B＝{|a≤＜a＋4}，若AB，则实数a的取值范围是________．解析：作出数轴可得，要使AB，则必须a＋4≤－1或a＞5，解之得{a|a＞5或a≤－5}．答案：{a|a＞5或a≤－5}10．已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．解：①若错误!，消去b得a＋ac2－2ac＝0，即ac2－2c＋1＝0当a＝0时，集合B中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性，故a≠0，c2－2c＋1＝0，即c＝1；当c＝1时，集合B中的三个元素也相同，∴c＝1舍去，即此时无解．②若错误!，消去b得2ac2－ac－a＝0，即a2c2－c－1＝0∵a≠0，∴2c2－c－1＝0，即c－12c＋1＝0又∵c≠1，∴c＝－错误!11．已知集合A＝{|1≤≤2}，B＝{|1≤≤a，a≥1}．1若AB，求a的取值范围；2若B⊆A，求a的取值范围．解：1若AB，由图可知，a>22若B⊆A，由图可知，1≤a≤212．若集合A＝{|2＋－6＝0}，B＝{|m＋1＝0}，且BA，求实数m的值．解：A＝{|2＋－6＝0}＝{－3,2}．∵BA，∴m＋1＝0的解为－3或2或无解．当m＋1＝0的解为－3时，由m·－3＋1＝0，得m＝错误!；当m＋1＝0的解为2时，由m·2＋1＝0，得m＝－错误!；当m＋1＝0无解时，m＝0综上所述，m＝错误!或m＝－错误!或m＝0。