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高考专题排序不等式[读教材·填要点]1．顺序和、乱序和、反序和的概念设a1≤a2≤a3≤…≤a n，b1≤b2≤b3≤…≤b n是两组实数，c1，c2，c3，…，c n为b1，b2，…，b n的任何一个排列，称a1b1＋a2b2＋…＋a n b n为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)，称a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序原理设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n 是b1，b2，…，b n的任一排列，则有a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n.等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n.排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．[小问题·大思维]1．排序不等式的本质含义是什么？提示：排序不等式的本质含义是：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列．2．已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5，b1≤b2≤b3≤b4≤b5，其中a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b 5＝11，将b i (i ＝1,2,3,4,5)重新排列记为c 1，c 2，c 3，c 4，c 5，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5的最大值和最小值分别为何值？提示：由顺序和最大知最大值为：a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋a 4b 4＋a 5b 5＝304， 由反序和最小知最小值为：a 1b 5＋a 2b 4＋a 3b 3＋a 4b 2＋a 5b 1＝212.错误![例1] 已知a ，b ，c 为正数，a ≥b ≥c ，求证： (1)1bc ≥1ca ≥1ab ；(2)a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c .[思路点拨] 本题考查排序不等式的直接应用，解答本题需要分析式子结构，然后通过对比、联想公式，构造数组，利用公式求解．[精解详析] (1)∵a ≥b >0，于是1a ≤1b ， 又c >0，∴1c >0.从而1bc ≥1ca . 同理，∵b ≥c >0，于是1b ≤1c ， ∵a >0，∴1a >0，于是得1ca ≥1ab . 从而1bc ≥1ca ≥1ab .(2)由(1)1bc ≥1ca ≥1ab ，于是由顺序和≥乱序和得， a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥b 5b 3c 3＋c 5c 3a 3＋a 5a 3b 3 ＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3⎝ ⎛⎭⎪⎫∵a 2≥b 2≥c 2，1c 3≥1b 3≥1a 3 ≥c 2c 3＋a 2a 3＋b 2b 3＝1c ＋1a ＋1b ＝1a ＋1b ＋1c .利用排序不等式证明不等式的关键是构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组，由于本题已知a ≥b ≥c ，所以可直接利用已知构造两个数组．1．设a ，b ，c 为正数，求证：a 12bc ＋b 12ac ＋c 12ab ≥a 10＋b 10＋c 10. 证明：不妨设a ≥b ≥c >0， 则a 12≥b 12≥c 12，1bc ≥1ac ≥1ab >0，∴由顺序和≥乱序和，得a 12bc ＋b 12ac ＋c 12ab ≥a 12ab ＋b 12bc ＋c 12ac ＝a 11b ＋b 11c ＋c 11a . ①又∵a 11≥b 11≥c 11，1c ≥1b ≥1a ，∴由乱序和≥反序和得：a 11b ＋b 11c ＋c 11a ≥a 11a ＋b 11b ＋c 11c ＝a 10＋b 10＋c 10， ②由①②两式得：a 12bc ＋b 12ac ＋c 12ab ≥a 10＋b 10＋c 10.[例2]设x>0，求证：1＋x＋x2＋…＋x n≥(2n＋1)x n.[思路点拨]本题考查排序不等式的应用．解答本题需要注意：题目中只给出了x>0，但对于x≥1，x<1没有明确，因此需要进行分类讨论．[精解详析](1)当x≥1时，1≤x≤x2≤…≤x n，由排序原理：顺序和≥反序和，得1·1＋x·x＋x2·x2＋…＋x n·x n≥1·x n＋x·x n－1＋…＋x n－1·x＋x n·1，即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)x n. ①又因为x，x2，…，x n,1为序列1，x，x2，…，x n的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和，得1·x＋x·x2＋…＋x n－1·x n＋x n·1≥1·x n＋x·x n－1＋…＋x n－1·x＋x n·1，得x＋x3＋…＋x2n－1＋x n≥(n＋1)x n. ②将①和②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)x n.(2)当0<x<1时，1>x>x2>…>x n，但①②仍然成立，于是③也成立．综合(1)(2)，证毕．在没有给定字母大小的情况下，要使用排序不等式，必须限定字母的大小顺序，而只有具有对称性的字母才可以直接限定字母的大小顺序，否则要根据具体情况分类讨论．2．设a1，a2，…，a n是1,2，…，n的一个排列，求证：12＋23＋…＋n －1n ≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n .证明：设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n －1；c 1，c 2，…，c n －1是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n －1，则1c 1>1c 2>…>1c n －1且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n .利用排序不等式，有a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ≥b 1c 1＋b 2c 2＋…＋b n －1c n －1≥12＋23＋…＋ n －1n .∴原不等式成立．[对应学生用书P32]一、选择题1．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P 、Q 的关系为( )A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤QD ．不能确定解析：不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ，则由排序不等式有 Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A ) ≥R [sin(A ＋B )＋sin(B ＋C )＋sin(A ＋C )] ＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝a ＋b ＋c2＝P . 答案：C2．已知a ，b ，c 为正数，P ＝b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c ，Q ＝abc ，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q解析：不妨设a ≥b ≥c >0， 则0<1a ≤1b ≤1c ，0<bc ≤ca ≤ab ， 由排序原理：顺序和≥乱序和，得 bc a ＋ca b ＋ab c ≥bc c ＋ca a ＋ab b ， 即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2abc≥a ＋b ＋c ， 因为a ，b ，c 为正数，所以abc >0，a ＋b ＋c >0， 于是b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c ≥abc ，即P ≥Q .答案：B3．设a 1，a 2，a 3为正数，E ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 1a 3a 2，F ＝a 1＋a 2＋a 3，则E ，F 的关系是( )A ．E <FB ．E ≥FC ．E ≤FD ．E >F解析：不妨设a 1≥a 2≥a 3>0，于是0<1a 1≤1a 2≤1a 3，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2.由排序不等式：顺序和≥乱序和得， a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 1a 3a 2＝a 1a 2a 3＋a 1a 3a 2＋a 2a 3a 1 ≥1a 3·a 1a 3＋1a 2·a 2a 3＋1a 1·a 1a 2＝a 1＋a 3＋a 2，即a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 1a 3a 2≥a 1＋a 2＋a 3.答案：B4．(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋161的取值范围是( ) A ．(21，＋∞)B ．(61，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(3n －2，＋∞)解析：令A ＝(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14…⎝⎛⎭⎪⎫1＋13n －2 ＝21×54×87×…×3n －13n －2，B ＝32×65×98×…×3n 3n －1，C ＝43×76×109×…×3n ＋13n . 由于21>32>43，54>65>76，87>98>109，… 3n －13n －2>3n 3n －1>3n ＋13n>0， 所以A >B >C >0.所以A 3>A ·B ·C . 由题意知3n －2＝61，所以n ＝21. 又因为A ·B ·C ＝3n ＋1＝64，所以A >4.答案：C 二、填空题5．若a ，b ，c 均是正实数，则bc a ＋ca b ＋abc ________a ＋b ＋c . 解析：不妨设a ≥b ≥c >0，则bc ≤ca ≤ab ， 1a ≤1b ≤1c .∴bc a ＋ca b ＋ab c ≥ac c ＋ab a ＋bcb ＝a ＋b ＋c . 答案：≥6．设正实数a 1，a 2，…，a n 的任一排列为a 1′，a 2′，…，a n ′，则a 1a 1′＋a 2a 2′＋…＋a n a n ′的最小值为________． 解析：不妨设0<a 1≤a 2≤a 3…≤a n ， 则1a 1≥1a 2≥…≥1a n.其反序和为a 1a 1＋a 2a 2＋…＋a na n ＝n ，则由乱序和不小于反序和知a 1a 1′＋a 2a 2′＋…＋a n a n ′≥a 1a 1＋a 2a 2＋…＋a na n ＝n ， ∴a 1a 1′＋a 2a 2′＋…＋a n a n ′的最小值为n . 答案：n7．设a 1，a 2，a 3，a 4是1,2,3,4的一个排序，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4的取值范围是________．解析：a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4的最大值为12＋22＋32＋42＝30. 最小值为1×4＋2×3＋3×2＋4×1＝20. ∴a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4的取值范围是[20,30]．答案：[20,30]8．已知：a ＋b ＋c ＝1，a 、b 、c 为正数．则1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b 的最小值是________．解析：不妨设a ≥b ≥c .∴1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b .∴a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b .①a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b .②①＋②得a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32，∴1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ≥92. 答案：92 三、解答题9．已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab . 证明：不妨设a ≥b ≥c >0，则a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a . 由排序不等式，可得a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b ≥a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ， ①a 2·1b ＋b 2·1c ＋c 2·1a ≥a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c .②由(①＋②)÷2，可得a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≥a ＋b ＋c .又因为a ≥b ≥c >0，所以a 3≥b 3≥c 3，1bc ≥1ac ≥1ab .由排序不等式，得a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab ≥a 3·1ac ＋b 3·1ab ＋c 3·1bc .③a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab ≥a 3·1ab ＋b 3·1bc ＋c 3·1ca .④由(③＋④)÷2，可得a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab ≥a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b .综上可知原式成立．10．设a ，b ，c 均为正实数，求证：1a ＋1b ＋1c ≤a 8＋b 8＋c8a 3b 3c 3.证明：不妨设a ≥b ≥c >0. 由不等式的单调性，知1c ≥1b ≥1a ， 而1b 3c 3≥1c 3a 3≥1a 3b 3.由不等式的性质，知a 5≥b 5≥c 5. 根据排序原理，知a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥a 5c 3a 3＋b 5a 3b 3＋c 5b 3c 3 ＝a 2c 3＋b 2a 3＋c 2b 3.又由不等式的性质，知a 2≥b 2≥c 2，1c 3≥1b 3≥1a 3.由排序原理，得a 2c 3＋b 2a 3＋c 2b 3≥a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝1a ＋1b ＋1c .由不等式的传递性，知1a ＋1b ＋1c ≤a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3＝a 8＋b 8＋c 8a 3b 3c 3.∴原不等式成立．11．设a ，b ，c 为某一个三角形的三条边，a ≥b ≥c ，求证：(1)c (a ＋b －c )≥b (c ＋a －b )≥a (b ＋c －a )；(2)a 2(b ＋c －a )＋b 2(c ＋a －b )＋c 2(a ＋b －c )≤3abc . 证明：(1)用比较法：c (a ＋b －c )－b (c ＋a －b )＝ac ＋bc －c 2－bc －ab ＋b 2＝b 2－c 2＋ac －ab＝(b ＋c )(b －c )－a (b －c )＝(b ＋c －a )(b －c )．因为b ≥c ，b ＋c －a >0，于是c (a ＋b －c )－b (c ＋a －b )≥0，即c (a ＋b －c )≥b (c ＋a －b )． ①同理可证b (c ＋a －b )≥a (b ＋c －a )．②综合①②，证毕．(2)由题设及(1)知a ≥b ≥c ，a (b ＋c －a )≤b (c ＋a －b )≤c (a ＋b －c )，于是由排序不等式：反序和≤乱序和，得a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤ab(b＋c－a)＋bc(c＋a－b)＋ca(a＋b－c)＝3abc＋ab(b－a)＋bc(c－b)＋ca(a－c)．①再一次由反序和≤乱序和，得a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤ac(b＋c－a)＋ba(c＋a－b)＋cb(a＋b－c)＝3abc＋ac(c－a)＋ab(a－b)＋bc(b－c)．②将①和②相加再除以2，得a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.。
