[经济学]整数规划

第5讲整数规划、非线性规划、多目标规划一、整数规划1、概念数学规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。

若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。

整数规划的分类:如不加特殊说明，一般指整数线性规划。

对于整数线性规划模型大致可分为两类：1）变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。

2）变量部分限制为整数的，称混合整数规划。

2、整数规划特点(i)原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。

②整数规划无可行解。

例1原线性规划为21min x x z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,05422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，452=x ，45min =z ③有可行解（当然就存在最优解），但最优值变差。

例2原线性规划为21min x x Z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,06422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，232=x ，23min =z 若限制整数得：11=x ，12=x ，2min =z 。

（ii ）整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。

3、0-1整数规划0−1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量j x 仅取值0或1。

这时j x 称为0−1变量，或称二进制变量。

j x 仅取值0或1这个条件可由下述约束条件：10≤≤j x ，且为整数所代替，是和一般整数规划的约束条件形式一致的。

在实际问题中，如果引入0−1变量，就可以把有各种情况需要分别讨论的线性规划问题统一在一个问题中讨论了。

引入10-变量的实际问题：（1）投资场所的选定——相互排斥的计划例3某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。

拟议中有7个位置（点）)7,,2,1( =i A i 可供选择。

规定在东区：由321,,A A A 三个点中至多选两个；在西区：由54,A A 两个点中至少选一个；在南区：由76,A A 两个点中至少选一个。

整数规划具体介绍整数规划是指规划中的变量（全部或部分）限制为整数，若在线性模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。

所流行的求解整数规划的方法往往只适用于整数线性规划。

一类要求问题的解中的全部或一部分变量为整数的数学规划。

从约束条件的构成又可细分为线性，二次和非线性的整数规划。

定义：在线性规划问题中，有些最优解可能是分数或小数，但对于某些具体问题，常要求某些变量的解必须是整数。

例如，当变量代表的是机器的台数，工作的人数或装货的车数等。

为了满足整数的要求，初看起来似乎只要把已得的非整数解舍入化整就可以了。

实际上化整后的数不见得是可行解和最优解，所以应该有特殊的方法来求解整数规划。

在整数规划中，如果所有变量都限制为整数，则称为纯整数规划；如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数规划。

整数规划的一种特殊情形是01规划，它的变数仅限于0或1。

不同于线性规划问题，整数和01规划问题至今尚未找到一般的多项式解法。

发展历程：整数规划是从1958年由R.E.戈莫里提出割平面法之后形成独立分支的，30多年来发展出很多方法解决各种问题。

解整数规划最典型的做法是逐步生成一个相关的问题，称它是原问题的衍生问题。

对每个衍生问题又伴随一个比它更易于求解的松弛问题（衍生问题称为松弛问题的源问题）。

通过松弛问题的解来确定它的源问题的归宿，即源问题应被舍弃，还是再生成一个或多个它本身的衍生问题来替代它。

随即，再选择一个尚未被舍弃的或替代的原问题的衍生问题，重复以上步骤直至不再剩有未解决的衍生问题为止。

现今比较成功又流行的方法是分支定界法和割平面法，它们都是在上述框架下形成的。

整数规划又分为：1、纯整数规划：所有决策变量均要求为整数的整数规划2、混合整数规划：部分决策变量均要求为整数的整数规划3、纯0－1整数规划：所有决策变量均要求为0－1的整数规划4、混合0－1规划：部分决策变量均要求为0－1的整数规划整数规划与线性规划不同之处只在于增加了整数约束。

整数规划知识点总结一、整数规划基本概念整数规划是指决策变量的取值受到整数限制的线性规划问题。

数学形式可以表示为：\[\min c^Tx\]\[ s.t. Ax \leq b\]\[x\geq0 \]\[x_i \in \{0, 1, 2, ...\}\]其中，c为目标函数系数，x是决策变量，A是约束系数矩阵，b是约束条件的右端向量，决策变量x是整数。

当所有的决策变量都是整数时，称为纯粹整数规划（Pure Integer Programming）。

当部分决策变量为整数，部分为连续变量时，称为混合整数规划（Mixed Integer Programming, MIP）。

二、整数规划解法整数规划问题的求解可以采用分支定界法、割平面法、隐枚举法等不同方法。

下面将对常用的整数规划解法进行简要介绍。

1.分支定界法分支定界法是一种求整数规划解的有效方法，它通过对决策变量进行分支，将整数规划问题不断分解为子问题，然后采用线性规划方法求解子问题。

具体步骤如下：1）求解线性规划松弛问题，得到一个整数解。

2）若解为整数，则成为可行解，否则确定需要分支的决策变量，分为两个子问题。

3）对子问题继续重复上述过程，直到无法再分或求解出整数解为止。

2.割平面法割平面法是在分支定界法的基础上进行改进，它在每一次迭代求解线性规划松弛问题后，引入一些额外的不等式（割平面）来改进松弛问题的界。

这些割平面是通过分析整数规划问题的特性产生的，可以有效提高整数规划问题求解的效率。

3.隐枚举法隐枚举法是一种通过隐藏对决策变量的枚举，将整数规划问题转化为线性规划问题进行求解的方法。

该方法可以高效地求解整数规划问题，是一种常用的整数规划求解算法。

以上是整数规划常用的三种求解方法，通过不同的算法可以解决不同种类的整数规划问题。

三、整数规划应用领域整数规划在实际决策问题中有着广泛的应用，如生产计划、运输调度、项目投资、资源配置等诸多领域。

下面将对整数规划在不同应用领域的具体案例进行介绍。

整数规划求解方法
整数规划是一种优化问题，其中决策变量被限制为整数。

求解整数规划问题的方法有以下几种：
1. 枚举法：对整数规划的决策变量进行枚举计算，找到满足约束条件的整数解并计算目标函数的值。

虽然这种方法可以保证找到最优解，但是在决策变量较多时计算复杂度非常高。

2. 列生成法/分支定界法：将整数规划转化为线性规划问题，然后利用线性规划求解方法求解。

通过不断添加新的决策变量，同时利用剪枝技术来减少搜索空间，从而求得整数规划的最优解。

3. 隐枚举法：通过将整数规划问题转化为混合整数规划问题，然后利用线性松弛来求解。

通过求解线性松弛问题的松弛变量，来判断是否满足整数约束条件，进而判断是否需要继续搜索。

4. 启发式方法/元启发式方法：基于某种特定的启发规则进行搜索，通过局部搜索和全局搜索相结合的方式来求解整数规划问题。

常见的启发式算法有遗传算法、粒子群算法等。

5. 对偶法/割平面法：通过对目标函数和约束条件进行线性组合，构建一个对偶问题，并求解对偶问题来间接求得原问题的最优解。

需要根据具体的整数规划问题来选择合适的求解方法。

有些方法适用于特定类型的整数规划问题，所以需要根据问题特点来选择合适的方法。

同时，对于大规模的整数规划问题，可能需要结合多种方法进行求解。

整数规划引言：整数规划是一类特殊的数学优化问题，其中一部份或者全部变量被限制为整数。

整数规划问题在许多领域都有广泛的应用，如物流、生产计划、金融投资等。

随着科技的不断发展，整数规划的应用场景和求解方法也在不断扩展和深化。

一、整数规划的定义与分类定义：整数规划是一种特殊的数学优化问题，其目标是最小化或者最大化一个数学表达式（目标函数），同时满足一系列约束条件，且一部份或者全部决策变量被限制为整数。

分类：根据问题的特性，整数规划可以分为以下几种类型：0-1背包问题：决策变量只能取0或者1。

彻底背包问题：决策变量可以取任意非负整数。

整数线性规划：线性规划的变种，要求部份或者全部决策变量为整数。

二次整数规划：目标函数或者约束条件包含二次项。

二、整数规划的应用场景生产计划：在创造业中，整数规划可以用于优化生产流程、物料需求计划等。

物流优化：通过整数规划可以解决货物配送路线、车辆调度等问题。

金融投资：整数规划在投资组合优化、风险管理等领域有广泛应用。

资源分配：整数规划可用于解决资源分配问题，如人员调度、设备配置等。

组合优化：如旅行商问题（TSP）、装箱问题等，都是整数规划的典型应用场景。

三、整数规划的求解算法穷举法：通过逐个测试所有可能的解来找到最优解，但只适合于小规模问题。

分支定界法：一种基于树结构的搜索算法，能够处理较大规模的问题。

遗传算法：摹拟生物进化过程的优化算法，适合处理大规模问题。

摹拟退火算法：借鉴物理中退火过程的优化算法，具有避免陷入局部最优解的能力。

蚁群算法：摹拟蚂蚁觅食行为的优化算法，适合于求解具有离散变量的优化问题。

元胞遗传算法：将遗传算法和元胞自动机结合，能够处理更复杂的问题。

粒子群算法：摹拟鸟群觅食行为的优化算法，具有简单易实现的特点。

深度学习算法：利用神经网络进行求解，特别在处理大规模、高维度的问题时表现出色。

四、整数规划软件介绍CPLEX：由IBM开辟的商业优化软件，支持整数规划、线性规划、混合整数规划等多种优化问题。

0-1整数规划整数规划是线性规划的一个特殊情况，其决策变量是整数。

在0-1整数规划中，决策变量只能取0或1的整数值。

0-1整数规划是一类NP-hard问题，通常以优化问题的形式出现。

0-1整数规划在实际生活中有广泛的应用。

它可以用于资源分配、生产计划、物流运输等方面。

下面将通过一个具体的例子来说明0-1整数规划的应用：假设某公司生产两种产品A和B，分别需要使用两种原材料X和Y。

每个单位的产品A需要消耗1个单位的原材料X和3个单位的原材料Y；每个单位的产品B需要消耗2个单位的原材料X和2个单位的原材料Y。

该公司每天可以获得100个单位的原材料X和150个单位的原材料Y。

假设产品A的利润为5元，产品B的利润为8元。

问如何安排生产，使得利润最大化。

首先，我们定义决策变量：设产品A的生产数量为x，产品B 的生产数量为y，决策变量为整数。

则可以列出目标函数和约束条件。

目标函数：maximize 5x + 8y约束条件：1x + 2y ≤ 100 （原材料X的限制）3x + 2y ≤ 150 （原材料Y的限制）x，y为0或1的整数根据上述目标函数和约束条件，可以构建0-1整数规划模型。

然后，可以使用相应的算法求解该模型，确定最优的生产方案，使得利润最大化。

对于这个例子来说，通过计算可以得到最优解为x=25，y=37，即生产25个单位的产品A和37个单位的产品B时，利润最大，为325元。

总结起来，0-1整数规划是一种重要的优化工具，可以应用于各种实际问题中。

通过明确决策变量的整数限制，可以获得最优解，实现最大化或最小化的目标。

在实际应用中，需要结合具体问题的特点和约束条件，构建相应的数学模型，并运用适当的算法求解。

这样可以有效地解决实际问题，提高效率和经济效益。

第4章整数规划在前面讨论的线性规划问题中，决策变量的取值可以是整数也可以是小数或分数，但在有些实际问题中，决策变量只有取整数才有意义。

例如，生产或配备的机器的台数，完成工作需要的人数等等。

这时，若得到的解为小数或分数就不符合要求，粗看起来，似乎只要把已得到的带有小数或分数的解，经过“四舍五人”的办法，就可得到问题的整数解。

但这常常是不行的，因为化整后的解不一定是可行的解。

或虽是可行解，但不一定是最优解，因此，对于此类问题有必要另行研究。

我们把有变量限制为整数的规划问题称为整数规划（Integer Programming）。

在整数规划中，若所有变量都限制为整数，称为纯整数规划；若仅有一部分变量限制为整数，称为混合整数规划。

在纯整数规划中，若所有变量的取值仅限于0或1，称为0－1型整数规划。

对于整数规划的求解，还没有像线性规划中单纯形法那样普遍有效的方法。

但已经出现了一系列的算法，常用的有分枝定界法、隐枚举法、匈牙利法等。

下面分别进行介绍。

1 分枝定界法在求解整数规划时，首先容易想到的方法就是穷举变量的所有可行的整数组合，然后比较它们的目标函数值以确定最优解。

对于小规模问题，这个方法是可行的，也是有效的。

而对于大规模问题，可行的整数组合数很大，穷举法是不可能的。

所以，一般采取的方法是仅检查可行的整数组合中的一部分来确定最优的整数解，分枝定界法（Branch and Bound Method）就是这样的一种方法。

分枝定界法是以求相应的线性规划问题的最优解为出发点，如果这个解不符合整数条件，就将原问题分为几个部分，每部分都增加了决策变量为整数这样的约束条件，这样就缩小了原线性规划问题的可行域。

考虑到整数规划的最优解不会更优于线性规划的最优解，对于求最大值问题来说，相应的线性规划的目标函数的最大值就成为整数规划目标函数值的上界。

分枝定界法就是利用这个性质进行求解的。

现举例说明这种方法。

例4—1 求解下列整数规划问题解先不考虑整数约束，求解相应的线性规划，得因x1、x2不满足整数条件，故需进行分枝迭代。

整数规划的问题的名词解释整数规划是数学规划领域中一种重要的优化方法，其目标是在满足一系列约束条件的前提下，寻找使目标函数取得最大或最小值的整数解。

整数规划在工程、经济、物流等领域中具有广泛的应用。

介绍整数规划是线性规划的一种扩展形式，它允许决策变量只取整数值。

与线性规划相比，整数规划的求解过程更加困难，因为整数变量引入了离散性，使得解空间变得离散。

这种离散性给求解算法带来了更高的复杂性。

整数规划表示整数规划可以表示为如下形式：\[\text{min/max} \quad c^T x\]\[\text{s.t.} \quad Ax \leq b\]\[x_i \in \mathbb{Z} \quad \text{for} \: i = 1,2,...,n\]其中，c是一个常数向量，x是决策变量向量，A是约束矩阵，b是约束向量。

约束条件可以包括等式约束和不等式约束。

决策变量x的取值必须满足整数要求。

线性规划和整数规划之间的联系线性规划是整数规划的一种特殊情况，当所有决策变量都可以取任意实数值时，整数规划退化为线性规划。

因此，整数规划是线性规划的推广。

整数规划的难点整数规划由于引入了整数变量，使得解空间变得离散，使得寻找最优解的过程变得复杂。

与线性规划不同，整数规划不存在直接求解的通用算法。

对于规模较小的问题，可以通过穷举法进行求解。

但是，对于规模较大的问题，穷举法是不可行的，因为解空间的规模随着决策变量数量和取值范围的增加而呈指数级增长。

因此，为了解决整数规划的难题，研究者们开发了许多求解算法，包括分支定界法、割平面法、约束生成法等。

这些算法通过不同的策略，逐步缩小解空间，最终找到最优解。

整数规划的应用领域整数规划在实际应用中得到了广泛的应用，特别是在工程、经济和物流等领域。

在工程领域，整数规划可以用于资源配送、项目进度优化等问题的求解。

在经济领域，整数规划可以用于生产计划、投资组合等方面。

在物流领域，整数规划可以用于运输路线优化、仓库管理等问题的求解。

第四章 整数线性规划（Inregre Linear Progemming ）§1 整数规划特点及应用前面讨论的LP 的最优解可能是分数或小数。

但是在经济管理和工程实践中，常常会出现要求变量值取整数的现象。

如决策变量是机器台数、人数或车辆数等。

最初有些人认为：只要对非整数解“舍入取整”即可。

但后来发现这是不行的。

因为舍入取整后的解不见得是可行解，即使是可行解，也不一定是最优整数解。

因此，这里另设一章，研究此问题，并称这种求整数最优解的LP 问题为整数线性规划，简记为“ILP ”。

整数规划分为许多类型：通常把所有变量都要求取整数的整数规划，称其为全（纯）整数规划；把部分变量要求取整数的整数规划，称为混合型ILP 。

把所有变量取值均为0或1的整数规划称为0-1规划。

等等。

求解整数规划的一种简单方法是：先不考虑整数条件，直接求解相应的线性规划问题，当最优解为非整数且数值都较大时，把非整数最优解取整到最接近的整数可行解即可。

但是，当最优解为非整数且数值都较小时，这种舍入化整的办可能导致解的可行性被破坏。

例如，我们来研究下面整数规划问题。

例4-1求解下面ILP 问题： 相应的LP ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤++=为整数2121212121,0,5.45.0143223max x x x x x x x x x x z ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,5.45.0143223max 21212121x x x x x x x x z解：若先不考虑整数约束条件求解相应的LP问题，由图解法得可行域如图4-1。

最优解X*=（3.25，2.5）。

所谓整数解，即要求变量取整数值。

而由X*舍入化整得到的解，如（4，3）或（4，2）或（3，3）都不在可行域上，所以都不是可行解，而（3，2）虽是可行解，但它并不是最优整数解，因为该例有一个可行解X=（4，1），其目标值Z=14，大于可行解（3，2）的目标值13。

为了求得该整数规划的最优整数解，我们将经过B点的目标函数等值线向可行域内平行移动，首次碰到的整数点即为所求。

整数规划的特点及应用整数规划是运筹学中的一种优化方法，它是线性规划问题的一种扩展形式。

与线性规划相比，整数规划要求变量的取值必须为整数。

整数规划具有以下几个特点：1. 计算复杂度高：整数规划问题通常是NP-hard问题，即在多项式时间内无法找到最优解，只能采用近似算法进行求解。

这是因为整数规划问题中整数约束的引入使得问题的解空间呈离散形式，导致搜索空间大大增加。

2. 解空间离散：整数规划问题的解空间是离散的，通过枚举搜索过程来寻找最优解。

在搜索的过程中，需要遍历所有可能的整数解，所以解的数量随着问题规模的增大指数增加。

3. 解空间约束：整数规划中的整数变量需要满足约束条件，这些条件可能是线性不等式、等式约束或者非线性约束。

这些约束条件限制了整数规划问题的解空间，使得问题的求解变得更有挑战性。

整数规划在实际应用中具有广泛的应用领域，以下是几个常见的应用场景：1. 生产计划：在企业的生产计划中，为了最大程度地满足需求并降低生产成本，往往需要考虑许多约束条件，如产能约束、人力资源约束等。

整数规划可以用来优化生产计划，确保每个生产批次的选择都是整数数量，以便满足实际生产需求。

2. 设备配置：在一些需要配置设备的问题中，整数规划可以帮助企业确定最佳设备配置方案。

比如，在供应链中，如何最优地安排仓库、生产设备等资源的配置，以降低运营成本和提高服务质量，整数规划可以提供有效的优化算法。

3. 项目调度：在项目管理过程中，整数规划可以用于确定最优的项目调度方案。

通过考虑项目的资源约束、任务优先级、工期等因素，整数规划可以帮助确定任务的调度顺序，以最小化项目的总工期或成本。

4. 网络设计：在网络设计中，如何选择最佳的网络节点位置、链路配置以及网络容量规划等问题，可以通过整数规划来解决。

整数规划可以帮助确定网络节点的选择，以最大化网络的覆盖范围或服务质量。

5. 旅行商问题：旅行商问题是一个经典的整数规划问题，它研究的是如何确定一条最短路径，使得旅行商可以依次访问多个城市而不重复，并最终回到起点。