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常用的立体图形体积公式：
长方体：V=abc（长方体体积=长×宽×高）
正方体：V=a³（正方体体积=棱长×棱长×棱长）
圆柱（正圆）：V=πr²×h【圆柱（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高】圆锥（正圆）：V=πr²×h÷3【圆锥（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高÷3】
角锥：V=rS×h÷3【角锥体积=底面积×高÷3】
柱体：V=sh(柱体体积=底面积×高）
表面积的公式
1、柱体
（1）棱柱
每个面的面积相加
）特殊长方体、正方体（
长方体：S=2(ab+ah+bh)
正方体：S=6a^2
（2）圆柱
S=2πr^2+2πrh
2、锥体
（1）棱锥
每个面的面积相加
（2）圆锥
S=πr^2+πrl
3、台体
（1）棱台
每个面的面积相加
（2）圆台
S=πr^2+πr′ ^2+πrl+πr′ l
4、球
S=4πr^2
提问人的追问2010-03-07 08:00 请问台体是什么呀？？
回答人的补充2010-03-07 09:49。
方锥台体积计算
方锥台是由一底面为正方形的锥体和一个底面为正方形的台体组
成的几何体。
计算方锥台的体积需要先计算出锥体部分的体积和台体
部分的体积，然后将两者相加即可。
计算锥体部分的体积，需要用到锥体体积公式：V = 1/3 × 底
面积× 高。
因为方锥台的底面为正方形，所以底面积为边长的平方。
假设方锥台的高为h，锥体部分的体积就是V1 = 1/3 × 边长^2 × h。
计算台体部分的体积，需要用到台体体积公式：V = 1/3 × (上
底面积 + 下底面积 + 上底面积×下底面积的平方根) × 高。
因为方
锥台的上下底面都为正方形，所以上下底面积相等，都为边长的平方。
假设方锥台的上底面边长为a，下底面边长为b，台体部分的高为h，
台体的体积就是V2 = 1/3 × (a^2 + b^2 + a×b) × h。
最后，将锥体部分的体积和台体部分的体积相加，即可得到方锥
台的体积公式：V = V1 + V2 = 1/3 × (a^2 × h + a×b × h +
b^2 × h)。
体积怎么算公式是什么
形状不同公式不同。
如：长方体体积=长x宽x高；圆柱体积=底面积x高=半径x半径x3.14x高；圆锥的体积=底面积x 高÷3=半径x半径x3.14x高÷3。
球的体积=（4/3）xπx半径x半径x半径=（4/3）x3.14x半径x半径x半径。
体积怎么算公式是什么
1体积公式
柱体常规公式
设S表示柱体的底面积，h表示柱体的高，则柱体的体积公式为：V=Sh
圆柱
设S表示圆柱的底面积，r代表底圆半径，h表示圆柱的高，则圆柱的体积公式为：V=Sh=πr²h
长方体
设a、b、c分别表示长方体汇于一点的三条棱的棱长，则长方体的体积公式为：V=abc
正方体
设a表示正方体的棱长，则正方体的体积公式为V=a³：
锥体常规公式
设S表示锥体的底面积，H表示锥体的高，则锥体的体积公式为：V=Sh/3
圆锥体
设S表示圆锥体的底面积，R代表底圆半径，H表示圆锥体的高，则圆锥体的体积公式为：V=Sh/3=πr²h/3
2体积常用单位
立方米、立方分米、立方厘米、立方毫米
棱长是1毫米的正方体，体积是1立方毫米
棱长是1厘米的正方体，体积是1立方厘米棱长是1分米的正方体，体积是1立方分米棱长是1米的正方体，体积是1立方米。
1. 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
【教学重难点】教学重点：运用公式解决问题教学难点：理解计算公式的由来.【教学过程】（一）情景导入讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→正方体、长方体的表面积计算公式？讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？→圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。
（二）展示目标这也是我们今天要学习的主要内容:1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（三）检查预习1．棱柱的侧面展开图是由，棱锥的侧面展开图是由，梭台的侧面展开图是由，圆柱的侧面展开图是，圆锥的侧面展开图是，圆台的侧面展开图是。
2．几何体的表面积是指，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求、，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求、、、。
3．几何体的体积是指 ，一个几何体的体积等于。
（四）合作探究面积探究:讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和） 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）体积探究:讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？五）交流展示略（六）精讲精练1. 教学表面积计算公式的推导：① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）② 练习：1.已知棱长为a ，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC 的表面积.(教材P 24页例1)2. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r 圆柱底面半径，l 为母线长。
1.3.2 柱体、锥体、台体的体积教学目标1.掌握柱、锥、台体的体积计算公式；2.能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题。
教学重难点重点：柱体、椎体、台体的体积计算. 难点：简单组合体的体积计算.复习回顾：柱体、椎体、台体表面积公式及其求法.问题提出：你还记得正方体、长方体和圆柱的体积公式吗？是否柱体的体积都是这样求呢？锥体、台体的体积呢？探究：柱体、锥体、台体的体积 1.体积：几何体所占空间的大小.思考:推广到一般的棱柱和圆柱，你猜想柱体的体积公式是什么？思考:你猜想锥体的体积公式是什么？思考:根据棱台和圆台的定义，如何计算台体的体积？2.柱体、锥体、台体的体积V 柱体＝Sh （S 为底面面积，h 为高）V 锥体＝13Sh （S 为底面面积，h 为高）V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h （S 、S ′为上、下底面面积，h 为高）注：柱体的高指两底面之间的距离；锥体的高指顶点到底面的距离；台体的高指上、下底面之间的距离。
典例讲解题型一、求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解。
例1.已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________。
例2.正四棱台的侧棱长为3 cm ，两底面边长分别为1 cm 和5 cm ，求该四棱台的体积。
例3.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比。
题型二、求以三视图为背景的几何体的体积应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解。
例4.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于________。
例5.下图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是________。
例6.已知正三棱锥V—ABC(底面是等边三角形，顶点在底面的射影是底面的中心)的主视图，俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝23，求该三棱锥的表面积与体积。
柱体锥体台体的公式大全
一、柱体：
柱体是一个由两个平行的、相等的圆形底面和连接两个底面的侧面组成的几何体。
柱体的体积和表面积的公式如下：
1.柱体的体积公式：
V=πr²h
2.柱体的表面积公式：
S=2πr²+2πrh
其中，S代表柱体的表面积，r代表柱体的底面半径，h代表柱体的高度。
二、锥体：
锥体是一个由一个圆形底面和连接底面和顶点的侧面组成的几何体。
锥体的体积和表面积的公式如下：
1.锥体的体积公式：
V=(1/3)πr²h
2.锥体的表面积公式：
S=πr(r+l)
其中，S代表锥体的表面积，r代表锥体的底面半径，l代表锥体的斜高（从顶点到底边的距离）。
三、台体：
台体是一个由两个平行、相等的圆形底面和连接两个底面的侧面以及一个横截面为矩形的侧面组成的几何体。
1.台体的体积公式：
V=(1/3)π(r₁²+r₂²+r₁r₂)h
2.台体的表面积公式：
S=π(r₁+r₂)l+πr₁²+πr₂²
其中，S代表台体的表面积，r₁和r₂分别代表台体的上底半径和下底半径，l代表侧面的斜高。
需要注意的是，以上公式的单位应保持一致，如使用米，则体积的单位为立方米，表面积的单位为平方米。
常用体积及表面积计算公式一些数学的体积和表面积计算公式3 立方图形名称符号面积S和体积V正方体 a－边长 S＝6a2 V＝a3长方体 a－长 b－宽 c－高 S＝2(ab+ac+bc)V＝abc棱柱 S－底面积 h－高 V＝Sh棱锥 S－底面积 h－高 V＝Sh/3棱台 S1和S2－上、下底面积h－高 V＝h[S1+S2+(S1S2)1/2]/3正棱台拟柱体 S1－上底面积 S2－下底面积 S0－中截面积 h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6圆柱 r－底半径 h－高 C—底面周长 S底—底面积 S侧—侧面积S表—表面积 C＝S底＝πr2 S侧＝Ch S表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h空心圆柱 R－外圆半径 r－内圆半径 h －高V＝πh(R2-r2)直圆锥 r－底半径 h－高V＝πr2h/3圆台 r－上底半径 R－下底半径 h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3球 r－半径 d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6球缺 h－球缺高 r－球半径 a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6 ＝πh2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球台 r1和r2－球台上、下底半径 h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6圆环体 R－环体半径 D－环体直径 r－环体截面半径 d－环体截面直径V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4桶状体 D－桶腹直径 d－桶底直径 h－V＝πh(2D2＋d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15 (母线是抛物我用拟柱体公式来解决一下，至于公式本身证明需要用到积分知识（需要同时推广牛顿－莱布尼茨公式），不详谈：任何立体的体积均可以归纳成：V＝1/6×h×(S1+S2+4S)S1指上表面S2指下表面S指高线垂直平分面柱体：V＝1/6×h×(S1+S2+4S)V＝1/6×h×(S1+S1+4S1)V＝1/6×h×6SV＝Sh锥体：V＝1/6×h×(S1+S2+4S)V＝1/6×h×(S2/4×4+S2)、、长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4aS＝a2长方形a和b－边长C＝2(a+b)S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S＝ah＝absinα菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2＝a2sinα梯形a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝(a+b)h/2＝mh圆r－半径d－直径C＝πd＝2πrS＝πr2＝πd2/4扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360)S＝πr2×(a/360)弓形l－弧长b－弦长h－矢高r－半径α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2＝r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3圆环R－外圆半径r－内圆半径D－外圆直径d－内圆直径S＝π(R2-r2)＝π(D2-d2)/4椭圆D－长轴d－短轴S＝πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体a－边长S＝6a2V＝a3长方体a－长b－宽c－高S＝2(ab+ac+bc)V＝abc棱柱S－底面积h－高V＝Sh棱锥S－底面积h－高V＝Sh/3棱台S1和S2－上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3拟柱体S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6圆柱r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积C＝2πrS底＝πr2S侧＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h空心圆柱R－外圆半径r－内圆半径h－高V＝πh(R2-r2)直圆锥r－底半径h－高V＝πr2h/3圆台r－上底半径R－下底半径h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3球r－半径d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6球缺h－球缺高r－球半径a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6＝πh2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球台r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6圆环体R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4桶状体D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高V＝πh(2D2＋d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15(母线是抛物线形)棱台体体积计算公式：V=（1/3）H（S上＋S下＋√[S上×S下]）H是高，S上和S下分别是上下底面的面积。
一、选择题
1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是( ) A ．6 3 B ．3 6 C ．11 D ．12
[答案] A
[解析] 设长方体长、宽、高分别为a 、b 、c ，则ab ＝2，ac ＝6，bc ＝9，相乘得(abc )2＝108，∴V ＝abc ＝6 3.
2．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则体积为( )
A ．32 3
B ．28 3
C ．24 3
D ．20 3 [答案] B
[解析] 上底面积S 1＝6×3
4×22＝63， 下底面积S 2＝6×34×42
＝243， 体积V ＝1
3(S 1＋S 2＋S 1S 2)·h
＝1
3(63＋243＋63·243)×2＝28 3.
3．(2012～2013学年枣庄模拟)一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为( )
A ．1 B.1
2 C.1
3 D.16
[答案] D
[解析] 由三视图知，该几何体是三棱锥． 体积V ＝13×12×1×1×1＝1
6.
4．体积为52cm 3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为( )
A ．54 cm 3
B ．54πcm 3
C ．58cm 3
D ．58πcm 3 [答案] A
[解析] 由底面积之比为1:9知，体积之比为1:27，截得小圆锥与圆台体积比为1:26，∴ 小圆锥体积为2cm 3，故原来圆锥的体积为54 cm 3，故选A.
5．(2012·江西(文科))若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )
A.112 B ．5 C ．4 D.92
[答案] C
[解析] 本题的几何体是一个六棱柱，由三视图可得底面为六边形，面积为4，高为1，则直接代公式可求．
6．(2009·陕西高考)若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( )
A.26
B.23
C.33
D.23
[答案] B
[解析] 由题意知，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体(即由两个同底等高的正四棱锥组成)，所有的棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为2
2，故正八面体的体积V ＝2V 正四棱锥
＝
2×13×12×22＝2
3.故选B.
7．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1
2，则该几何体的俯视图可以是( )
[答案] C
[解析] 若该几何体的俯视图是选项A ，则该几何体是正方体，其体积V ＝13＝1≠1
2，所以A 选项不是；若该几何体的俯视图是选项B ，则该几何体是圆柱，其体积V ＝π×(12)2×1＝π4≠1
2，所以B 选项不是；若该几何体的俯视是选项D ，则该几何体是圆柱的四分之一，其体积V ＝14(π×12×1)＝π4≠1
2，所以D 选项不是；若该几何体的俯视图是选项C ，则该几何体是三棱柱，其体积V ＝12×1×1×1＝12，所以C 选项符合题意，故选C.
8．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm 和半径为3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm ，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm ，则这个简单几何体的总高度为( )
A ．29 cm
B ．30 cm
C ．32 cm
D ．48 cm
[答案] A
[解析] 图(2)和图(3)中，瓶子上部没有液体的部分容积相等，设这个简单几何体的总高度为h ，则有π×12(h －20)＝π×32(h －28)，解得h ＝29(cm)．
二、填空题
9．已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝________. [答案]
3
[解析] 设底面半径为r ，则1
3πr 2×4＝4π，解得r ＝3，即底面半径为 3.
10．如图所示，三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，若E 、F 分别为AC 、
AB 的中点，平面EC ′B ′F 将三棱柱分成体积为V 1(棱台AEF －A ′C ′B ′的体积)，V 2的两部分，那么V 1 V 2＝________.
[答案] 7 5
[解析] 设三棱柱的高为h ，底面面积为S ，体积为V ，则V ＝V 1
＋V 2＝Sh .
因为E 、F 分别为AC 、AB 的中点， 所以S △AEF ＝14S ，所以V 1＝13h (S ＋14S ＋S ·S 4)＝712Sh ，V 2＝V －V 1
＝512Sh .
所以V 1:V 2＝7:5.
11．如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．
[答案] πr 2(a ＋b )
2
[解析] 两个同样的该几何体能拼接成一个高为a ＋b 的圆柱，则拼接成的圆柱的体积V ＝πr 2(a ＋b )，
所以所求几何体的体积为πr 2(a ＋b )2
.
12．(2010·天津理)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为____．
[答案] 103
[解析] 由三视图知，该几何体由一个高为1，底面边长为2的正四棱锥和一个高为2，底面边长为1的正四棱柱组成，则体积为2×2×1×13＋1×1×2＝10
3.
三、解答题
13．把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．
[答案] 272π或27
π
[解析] 如图所示，当BC 为底面周长时，半径r 1＝3
2π， 则体积
V ＝πr 21·
AB ＝π(32π)2×6＝27
2π；
当AB 的底面周长时，半径r 2＝62π＝3
π， 则体积
V ＝πr 2
2·BC ＝π(3π
)2×3＝27π
.
14．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA 1与底面圆直径AB 的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．
[解析] 如图所示，作轴截面A 1ABB 1，设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r ，R ，l ，高为h .
作A 1D ⊥AB 于点D ， 则A 1D ＝3.
又∵∠A 1AB ＝60°，∴AD ＝A 1D ·1
tan60°， 即R －r ＝3×3
3，∴R －r ＝ 3.
又∵∠BA 1A ＝90°，∴∠BA 1D ＝60°. ∴BD ＝A 1D ·tan60°，即R ＋r ＝3×3， ∴R ＋r ＝33，∴R ＝23，r ＝3，而h ＝3， ∴V 圆台＝1
3πh (R 2＋Rr ＋r 2)
＝1
3π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2] ＝21π.
所以圆台的体积为21π.
15．已知△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．
[分析] 应用锥体的侧面积和体积的计算公式求解． 解题流程：
△ABC 的特征――→AC ⊥BC 旋转体是两个同底圆锥――→底面半径为CD 求表面积――→高BD ，
AD
求体积
[解析] 如图，在△ABC 中，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D . 由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， 知AC 2＋BC 2＝AB 2，则AC ⊥BC . 所以BC ·AC ＝AB ·CD ，
所以CD ＝125，记为r ＝12
5，
那么△ABC 以AB 为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r ＝12
5，母线长分别是AC ＝3，BC ＝4，
所以S 表面积＝πr ·(AC ＋BC )＝π×125×(3＋4)＝84
5π， V ＝13πr 2(AD ＋BD )＝13πr 2·AB ＝13π×(125)2×5＝485π.
[特别提醒] 求旋转体的有关问题常需要画出其轴截面，将空间问题转化为平面问题来解决．对于与旋转体有关的组合体问题，要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，然后根据条件分清各个简单几何体底面半径及母线长，再分别代入公式求各自的表面积或体积．
16．(2011·浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，求此几何体的体积．
[解析] 该空间几何体的上部分是底面边长为4，高为2的正四棱柱，体积为16×2＝32；下部分是上底面边长为4，下底面边长为
8，高为3的正四棱台，体积为13×(16＋4×8＋64)×3＝112.故该空间
几何体的体积为144.。
