第五讲 实数

2
2,
20
3 , 5, 3 8,
0.373773777 3（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）
1 , 5 , 42
3 8,
4, 9
0 ,
有理数集合
3 2 , 7 , , 2 , 20 , 3
5 , 0.373773777 3
无理数集合
定 义：
有理数和无理数统称为实数
即实数可以分为有理数和无理数
•
二、抱歉啊，不能为你金戈铁马，也不 能许你 一世繁 华，不 过我能 给你一 个小家 ，里面 温了杯 暖茶。
•
三、从晨昏到日暮，从清贫到富足，从 少年到 老迈， 从相遇 到余生 ，只想 和你十 指相扣 ，从此 再不分 开。
•
四、你的名字，是我读过最短的情诗。 我很喜 欢你， 像春去 秋来， 海棠花 开。
•
二、抱歉啊，不能为你金戈铁马，也不 能许你 一世繁 华，不 过我能 给你一 个小家 ，里面 温了杯 暖茶。
•
三、从晨昏到日暮，从清贫到富足，从 少年到 老迈， 从相遇 到余生 ，只想 和你十 指相扣 ，从此 再不分 开。
•
四、你的名字，是我读过最短的情诗。 我很喜 欢你， 像春去 秋来， 海棠花 开。
十四、因为值得，所以等待；因为深爱 ，所以 追求； 直到拥 有，必 定珍惜 ；你若 不离， 我定不 弃。环 境影响 下，公 司面临 改革， 需要裁 员，高 学历出 身的她 赫然在 列。
彼时才发现，面临初出茅庐的年轻人 ，自己 的体力 和脑力 都已经 拼不过 ，几年 来累积 下来的 阅历和 经验没 有转化 成核心 竞争力 。
•
七、最让人羡慕的，不是被很多人追， 而是遇 见一个 不管怎 样，都 不会放 弃你的 人；纵 然知道 活不会 这么轻 易，但 我希望 你在我 的未来 里，余 生都是 你。

《实数》讲义一、实数的概念实数，这个在数学世界中极为基础且重要的概念，是我们理解数量关系和解决数学问题的关键。

简单来说，实数就是包括有理数和无理数的数集。

有理数，我们都很熟悉，像整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）都属于有理数。

而无理数呢，则是那些无限不循环小数，比如大家熟知的圆周率π，还有根号 2 等等。

实数可以直观地理解为在数轴上能找到对应点的数。

也就是说，数轴上的每一个点都代表着一个实数，反之，每一个实数也都能在数轴上找到对应的点。

二、有理数有理数是实数的重要组成部分。

整数，像－3、0、5 这样的数，它们没有小数部分，清晰明了。

分数呢，比如 1/2、3/4 ，可以表示为两个整数的比值。

有理数具有一些很重要的性质。

比如，两个有理数相加、相减、相乘或相除（除数不为 0），结果仍然是有理数。

而且，有理数是可以用有限小数或无限循环小数来表示的。

我们在日常生活中，很多常见的数量关系都可以用有理数来描述。

比如购物时的价格、物品的数量等等。

三、无理数无理数虽然不像有理数那样“规矩”，但在数学中同样不可或缺。

像根号 2 ，它的值约为 141421356……，这个小数无限且不循环。

圆周率π，约为31415926……，也是一个无限不循环小数。

无理数的发现，让人们对数学的认识更加深入和丰富。

虽然它们的数值看起来没有规律，但通过数学方法和计算，我们可以对它们进行近似和研究。

四、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法、除法和乘方等。

加法和减法：实数的加法和减法遵循相同的规则，即将对应位上的数字相加或相减，并考虑进位和借位。

乘法：两个实数相乘，先将它们按照整数乘法的规则相乘，然后确定积的符号（同号得正，异号得负），最后根据小数位数确定积的小数点位置。

除法：将除数变为倒数，然后与被除数相乘。

乘方：一个实数的 n 次幂，就是将这个实数乘以自身 n 次。

在进行实数运算时，要特别注意运算顺序，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。

实数完整版课件一、教学内容1. 实数的定义与分类：有理数和无理数。

2. 实数的性质：实数的加法、减法、乘法、除法运算规则。

3. 实数的运算律：交换律、结合律、分配律。

4. 实数与数的比较：实数的大小比较、实数的绝对值。

二、教学目标1. 让学生掌握实数的定义与分类，理解实数的概念。

2. 让学生掌握实数的性质和运算律，能够熟练进行实数的运算。

3. 培养学生运用实数解决实际问题的能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：实数的分类，特别是无理数的概念。

2. 教学重点：实数的性质，实数的运算律。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。

2. 学具：教材、笔记本、文具。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活实例，如购物时找零钱，引入实数的概念。

2. 知识讲解：讲解实数的定义与分类，重点讲解无理数的概念。

3. 例题讲解：举例子说明实数的性质和运算律的应用。

4. 随堂练习：让学生现场进行实数的运算，巩固所学知识。

5. 板书设计：列出实数的性质和运算律，方便学生记忆。

6. 作业设计：布置有关实数的运算题目，巩固所学知识。

六、作业设计（1）2 + 3 × (4) ÷ 2（2）( 3 )^2 × 3 ÷ ( 6 )（3）√9 √162. 答案：（1）2 + 3 × (4) ÷ 2 = 8（2）( 3 )^2 × 3 ÷ ( 6 ) = 3（3）√9 √16 = 3 4 = 1七、板书设计实数的性质与运算律：性质：1. 加法交换律2. 加法结合律3. 乘法交换律4. 乘法结合律5. 分配律运算律：1. 交换律2. 结合律3. 分配律八、课后反思及拓展延伸本节课通过生活实例引入实数的概念，让学生能够理解实数的重要性。

通过讲解实数的性质和运算律，让学生能够熟练进行实数的运算。

在作业设计中，布置了有关实数的运算题目，让学生能够巩固所学知识。

《实数》精品课件精品公开课一、教学内容本节课选自《数学》八年级下册教材第五章“实数”的第一节“实数的概念与性质”。

详细内容包括：实数的定义与分类、实数与数轴的关系、实数的性质（包括大小比较、运算律等）。

二、教学目标1. 理解实数的定义，掌握实数的分类，能将实数与数轴上的点一一对应。

2. 掌握实数的大小比较方法，了解实数的运算律，并能应用于实际计算。

3. 培养学生的数感和逻辑思维能力，提高解决实际问题的能力。

三、教学难点与重点教学难点：实数的性质及其在数轴上的应用。

教学重点：实数的定义与分类，实数的大小比较和运算。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、实数教学挂图。

2. 学具：直尺、圆规、练习本、铅笔。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过播放一段关于温度计的视频，引导学生关注温度计上的实数，引出实数的概念。

2. 新课导入（15分钟）（1）讲解实数的定义与分类，让学生了解实数包括有理数和无理数。

（2）通过数轴上点的移动，让学生理解实数与数轴的关系。

3. 例题讲解（20分钟）讲解实数的大小比较、实数的运算等性质，结合例题进行分析。

4. 随堂练习（10分钟）让学生完成教材上的练习题，巩固所学知识。

六、板书设计1. 实数的定义与分类2. 实数与数轴的关系3. 实数的性质① 大小比较② 运算律七、作业设计1. 作业题目：（2）比较下列各组实数的大小：2. 答案：（1）实数：有理数、无理数；不是实数：虚数。

（2）根据实数的大小比较法则进行判断。

（3）根据实数的运算规律进行计算。

八、课后反思及拓展延伸本节课通过实践情景引入，让学生了解实数在生活中的应用，激发学生的学习兴趣。

在讲解实数的性质时，结合例题进行分析，让学生掌握实数的运算方法。

课后，教师应关注学生对实数概念的理解，加强个别辅导，提高学生的数学素养。

拓展延伸方面，可以引导学生研究实数在实际问题中的应用，如物理、化学等领域的计算问题。

重点和难点解析1. 实数的定义与分类2. 实数与数轴的关系3. 实数的大小比较方法4. 实数的运算规律5. 教学过程中的实践情景引入6. 作业设计中的题目难度与答案解析一、实数的定义与分类实数的定义：实数包括有理数和无理数，有理数是可以表示为两个整数之比的数，无理数则不能表示为两个整数之比。

为分数。
实数具有完备性，即实数集在加 法、减法、乘法和除法（除数不
为0）下是封闭的。
实数的分类
有理数
有理数包括整数和分数，其中整 数包括正整数、0和负整数。分数
则可以表示为两个整数的比，如 1/2、2/3等。
无理数
无理数是无法表示为分数的数，常 见的无理数有无限不循环小数，如 π、√2等。
实数的其他分类
实数还可以根据其性质进行分类， 如正数、负数、零、正有理数、负 有理数等。
实数的性质
实数的顺序性
对于任意两个不同的实数a和b，如果 a小于b，那么在它们之间一定存在一 个实数c，使得a小于c且c小于b。
实数的四则运算性质
实数的完备性
实数集在加法、减法、乘法和除法（ 除数不为0）下是封闭的，即任何两 个实数的这四种运算的结果仍然是实 数。
减法运算
总结词
掌握减法运算的基本概念和规则
详细描述
实数的减法可以通过加法来实现，即将减数变为相反数，然后进行加法运算。例如，a - b = a + (-b) 。
乘法运算
总结词
理解乘法运算的基本概念和规则
详细描述
实数的乘法运算需要考虑正负数的特殊情况。例如，正数与正数相乘、负数与负数相乘、正数与负数相乘等。
详细描述
在建筑、工程、机械制造等领域，需要使用实数来表示物体的长度、宽度、高度等参数 。例如，在设计一座桥梁时，需要精确地测量各个部分的长度，并使用实数来表示，以
确保桥梁的安全性和稳定性。
重量测量中的实数应用
总结词
在购买商品时，我们经常需要测量物体 的重量，而实数在重量测量中的应用也 是必不可少的。
值的取值范围。
解决几何问题
在解决与几何图形相关的面积、 体积等问题时，需要比较实数的 大小，以确定相关参数的取值范

OO´的长是这个圆的周长 ,所以点O´的坐标是 无理数 可以用数轴上的点来表示出来
（1）如下图，以单位长度为边长画一个正方形,以原点 为圆心,正方形对角线为半径画弧,与正、负半轴的交点 分别为点A和点B，数轴上A点和B点对应的数是什么？
（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴 填满吗？
数轴上的点有些
绝对值为 a ；
1
（2）如果a 0，那么它的倒数为 a 。
( 3 ) 正实数的绝对值是 它本身 ，０的绝对值是 0 ， 负实数的绝对值是 它的相反数.
练习：填空
（1） 2 1的相反数是___1____2___
（2） 1
2
的倒数是___2_
（3）｜3.14 ｜=______3_._1_4__
（4）绝对值等于 6 的23,
22 , 36
2
7
1.232232223 (两个3之间依次多一个 2)
••
有理数是： 1.23 ,
无理数是： 6 ,
22
7 ,
2,
36
1.232232223 (两个3之间依次多一个 2)
有理数 实 数
无理数
实数的分类
整数 分数
有限小数或 无限循环小数
无限不循环小数
你还有其它分类方法吗？
3.14159265
无限不循环小数 无限不循环小数叫无理数
无理数的特征:
１．圆周率 及一些含有 的数
２．开方开不尽数
2
注意:带根号
３．有一定的规律，但 的数不一定是
不循环的无限小数 无理数
0.1010010001 （每两个1之间依次增加一个0）
练习：判断下列数哪些是有理数？ 哪些是无理数？
4 9

七年级数学下《实数》课件
幻灯片1：封面
•标题：《实数》课件
•副标题：七年级数学下册
•（此处可添加授课教师的姓名、日期等）
幻灯片2：课程目标
•掌握实数的概念和性质。

•理解实数的运算方法。

•培养数学思维能力和解决问题的能力。

幻灯片3：实数的基本概念
•有理数和无理数的总称。

•与数轴上的点一一对应。

幻灯片4：实数的分类
•正数、负数、零的定义与例子。

幻灯片5：实数的运算规则
•加法、减法、乘法、除法的规则与例子。

幻灯片6：实数的性质
•有序性、四则运算性质、绝对值的性质等。

幻灯片7：实数的应用
•生活中的实例，如长度、质量、时间的测量。

•数学中的定理和公式，如勾股定理等。

幻灯片8：总结与回顾
•实数的主要知识点总结。

•课堂互动与答疑。

幻灯片9：作业与预习
•布置相关练习题。

•预习下一节内容，了解无理数的基本概念。

问题思考 3
2．开方开不尽的数
总结性质
1 无理数的概念
定义：无限不循环的小数叫做无理数.
无理数的特征:
1．圆周率π及一些含有π的数
2．开方开不尽的数，如： 3、5、7 等
注意:带根号 的数不一定 都是无理数
3．有一定的规律，但不循环的无限小数，如：
▪… …
基础小练
1.判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？
一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过 来，数轴上的每一个点都表示一个实数.
与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边 的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
基础小练
6.① 2 的相反数是____, π 的相反数是____,0的相反数是____.
反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.
数 两种分类: ①根据实数的定义; 3．有一定的规律，但不循环的无限小数，如：
变式：课本P56 T2 Enter the text content directly here, the text format will not change.
(2)看它是不是不循环小
无限循环小数 3．有一定的规律，但不循环的无限小数，如：
数 实 正无理数 无理数: 无限不循环小数.
边长为1个单位长度的正方形,对角线长为多少
数 0 直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O' ，点O' 对应的数是多少？
数轴上A,B两点表示的数是－1和 ,有一点C满足A,B,C三点中总有一点是另外两点所在线段的中点，求点C所表示的数.
正无理数 负有理数 如图，数轴上A，B两点表示的数分别为 和5.

化学
在化学中，实数可以用来 描述化学反应中的反应物 和生成物的比例关系。
在日常生活中的应用
金融与经济
在金融和经济活动中，实 数被广泛应用于财务计算 、成本分析、市场预测等 方面。
计算机科学
在计算机科学中，实数被 用于各种算法和数据结构 的实现，如浮点数运算、 排序算法等。
统计学
在统计学中，实数被用于 描述各种数据的分布特征 和规律，如平均数、中位 数、方差等。
数轴的表示
在数轴上，正实数表示为向右的箭头，负实数表示为向左的箭头，零表示为原点。实数的 序关系可以通过数轴上的位置关系来表示，例如a>b表示a在b的右侧。
数轴的应用
数轴是学习数学的重要工具之一，可以用于比较大小、计算距离、表示不等式等。通过数 轴可以直观地理解实数的性质和运算规则，帮助我们更好地掌握实数的知识。
实数的性质
01 02
实数的四则运算
实数可以进行加、减、乘、除四则运算，运算结果仍然属于实数集合。 实数的加法、减法和乘法满足交换律、结合律和分配律，除法满足除法 的可交换性、可结合性和除法的倒数关系。
实数的序关系
实数集合是有序的，可以比较大小。实数的序关系满足传递性、反对称 性和可比较性，使得实数可以进行大小比较和排序。
实数ppt课件
• 实数简介 • 实数的运算 • 实数的分类 • 实数的应用 • 实数的扩展知识
目录
Part
01
实数简介
实数的定义
实数定义
实数是包括有理数和无理数的所有数的集合，具有连续性和完备性。实数包括有理数和 无理数，有理数包括整数和分数，无理数则无法表示为两个整数的比值。
实数集合
实数集合在数学中常用字母R表示，是一个无限大的集合，包含了所有的有理数和无理数 。实数在数轴上表示为连续的点，具有稠密性。

第五讲 实数及其运算知识导引1、实数的有关概念⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无理数正无理数无理数负分数正分数分数负整数正整数整数有理数实数0 整数和分数统称为有理数，；无限不循环的小数叫无理数；有理数和无理数统称为实数．相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；倒数：乘积为1的两个数互为倒数；绝对值：在数轴上，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离． 2、实数的运算实数的运算法则同有理数一样；运算顺序：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减，右括号的先算括号里的数；运算律：加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律、分配律． 3、整数部分、小数部分 在日常生活与生产实际中，有时并不要求某个量或某个结果的准确值，而只需要取出它的整数部分，由此定义了一种叫做“取整”的运算，即取出不超过实数x 的最大整数，记为[x ] ．在数轴上就是取出实数x 对应点左边最近的整数点（包括x 本身）．这里[x ]＝x －a ，[x ] ＋a ＝x ，其中[x ]是一个整数，a 是0或者一个正的纯小数．a 称为实数的小数部分，记为{x }，通常有x ＝[x ] ＋{x }．关于取整运算常用的一些性质： （1）x －1＜[x ]≤x ，[x ]≤x ＜[x ]＋1； （2）如果x ≤y ，那么[x ]≤[y ]；（3）[x ] ＋[y ] ≤[x ＋y ]，{x }＋{x }≥{x ＋y }． 4、课题学习对实数部分课题学习的考查，主要以规律探索、阅读理解、定义新运算等形式呈现．典例精析例1：在数0.456，π-，3.14，7-，0，0.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0），4，－1，117中，无理数有 个．例2：计算：（1）103)21()2008(8-+--π （2）20)23(2510+--+例3：现规定一种新的运算“*”，b a b a =*，如93232==*，则321*＝ ．例3—1：规定运算：b a b a -=*)(，其中a 、b 为实数，则7)37(+*＝ ．例3—2：定义运算“※”为a ※b ＝a ×b －（a ＋b ）．（1）求5※7和7※5；（2）求12※（3※4）和（12※3）※4；（3）这个运算“※”有交换律和结合律吗？例4：若实数x 、y 满足0)3(22=-++y x ，则22)(y x +-的值是 ．例4—1：若x 、y 为实数，且42112=+-+-y x x ，则xy 的值为（ ） A 、0 B 、21C 、2D 、不能确定 例5：若731-的整数部分是a ，小数部分是b ，求ab a )71(2++的值．探究活动例：数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对（a ，b ）进入其中时，会得到一个新的实数：12++b a ．例如把（3，－2）放入其中，就会得到81)2(32=+-+．现将实数对（－2，3）放入其中得到实数m ，再将实数对（m ，1）放入其中后，得到的实数是 ．学力训练A 组 务实基础1、化简311--的结果是（ ）A 、3-B 、32-C 、3D 、32+2、下列说法中，正确的个数有（ ）①一个实数的平方根有两个，它们互为相反数；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③负数没有立方根；④立方根是这个数本身的数共有三个；⑤平方根等于其本身的数是0和1． A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、若a 和a -都有意义，则a 的值是（ ）A 、a ≥0B 、a ≤0C 、a ＝0D 、a ≠04、数轴上两点A ，B 分别表示实数32和632+，则这两个点的距离是（ ） A 、634+ B 、34 C 、6 D 、634-5、（1）把下列各数填入相应的集合中． 0.456，23π-，0)(π-，3.14，－0.80108，0，0.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0），4，－1．（2）任意写出3个无理数： ．（3）下面给出四种说法：①无限小数都是无理数；②有限小数都是有理数；③无理数是无限小数；④有理数是有限小数．其中正确的说法是： （写出序号）． 6、（1）2-的相反数是 ，绝对值是 ；（2）比较大小：3.14 π，2-23-，32-- 0； （3）如果整数a 满足105<<a ，则a ＝ ．（4）如果0)6(42=++-y x 你那么x ＋y ＝ ．（5）比较大小：75 114（填“＞”或“＜”）；2)21(-＝ ．7、已知611+=-+-y x x ，则xy 的值为 ． 8、设a 是实数，则a a - 0．9、设a 为5353--+的小数部分，b 为336336--+的小数部分，求ab 12-的值．10、问题：判断下面各式是否成立． （1）322322=；（2）833833=；（3）15441544=． 探究1：你判断上面各式后，根据发现的规律猜想=2455． 探究2：归纳上面各式，得出一个猜想，求一个带分数的算术平方根就等于把这个带分数的整数部分直接移到根号外，这个猜想正确吗？为什么？探究3：什么情况下根号里面的数能直接放到根号外面来呢？根据观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，用含有n 的式子将规律表示出来，说明n 的取值范围，并用数学知识说明你所写式子的正确性． 探究4：33722722=，3326322633=，3363446344=，…，根据观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并验证你的猜想．B 组 瞄准中考1、（厦门中考）下列四个结论中，正确的是（ ） A 、252523<< B 、232545<< C 、22523<< D 、45251<<2、（广安中考）下列运算正确的是（ ）A 、－（－x ＋1）＝x ＋1B 、459=-C 、3223-=- D 、222)(b a b a -=-3、（贵阳中考）如图，矩形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）A 、2.5B 、22C 、3D 、5 4、（杭州中考）设23-=a ，32-=b ，25-=c ，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A 、a ＞b ＞cB 、a ＞c ＞bC 、c ＞b ＞aD 、b ＞c ＞a 5、（无锡中考）在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下： 当a ≥b 时，a ⊕b ＝2b ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝a ．当x ＝2时，（1⊕x ）·x －（3⊕x ）的值为 （“·”和“－”仍为实数运算中的乘号和减号）． 6、（成都中考）设22121111++=S ，22231211++=S ，22341311++=S ， (22)1(111+++=n n S n ．设n S S S S +⋯++=21，则S ＝ （用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）．7、（1）（綦江中考）计算：310)2()21()2(2-++----π． （2）（邵阳中考）计算：318515)31(+⨯--8、（重庆中考）计算：201)1(9)2()31(2-+--⨯+--π9、（上海中考）计算：134)21()13(27123++--+-10、（青岛中考）化简：20)21()23(3632918-+-++--C 组 冲击金牌1、设a ＜b ＜0，ab b a 422=+，则ba ba -+的值为（ ） A 、3 B 、6 C 、2 D 、32、设[x ]表示最接近x 的整数（x ≠n ＋0.5，n 为整数），则+⨯+⨯+⨯]43[]32[]21[]101100[⨯+⋯的值为（ ）A 、5151B 、5150C 、5050D 、50493、一棵智利南美杉的树干直径是40cm ，此树干的皮占体积的19%，可防火，请粗略估算此树皮的平均厚度（ ）A 、0.4cmB 、1.2cmC 、2cmD 、2.8cm 4、我们定义bc ad d c b a -=，例如2121043525432-=-=⨯-⨯=，若x 、y 均为整数，且满足3411<<y x，则x ＋y 的值是 ．第五讲 实数及其运算参考答案典例精析1、32、（1）3；（2）3-533、813—1、3 3—2、（1）2；（2）43；（3）有交换律，没有结合律 4、5 5、10探究活动解：66学力训练 A 组1、B2、A3、C4、C5、（1）有理数集：0.456，0)(π-，3.14，－0.80108，0，4，－1；无理数集：23π-，0.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0） （2）π，7，3（不唯一）；（3）②③ 6、（1）2 2；（2）＜ ＞ ＜（3）3；（4）－2；（5）＜1-2 7、－6 8、≥ 9、126+- 10、略B 组1、D2、C3、D4、A5、－26、122++n n n 7、（1）－5；（2）4 8、3 9、3 10、1223- C 组1、A2、C3、C4、±3初中数学试卷。

原点
数轴上的零点，表示0。
正半轴
数轴上右边的点表示正实数。
负半轴
数轴上左边的点表示负实数。
实数在数轴上的表示
实数
在数轴上有唯一确定的点与之对 应。
相反数
在数轴上与原点对称的点表示相反 数。
绝对值
在数轴上到原点的距离表示绝对值 。
数轴上的点与实数的关系
点与实数一一对应
数轴上的每一个点都表示一个唯一的实数。
实数的四则运算
01
总结词：实数的四则运算是加 法、减法、乘法和除法的统称
。
02
详细描述
03
04
1. 加法和减法：实数的加法 和减法满足交换律、结合律和
相反律。
2. 乘法和除法：实数的乘法 和除法满足交换律、结合律和
分配律。
03
实数与数轴
数轴的定义
01
02
03
04
数轴
一条水平的直线，用来表示实 数的连续范围。
实数还可以根据其正 负性分为正实数、负 实数和零。
无理数：无限不循环 小数，如π、根号2 等。
02
实数的运算
加法与减法
详细描述
2. 结合律：加法或减法的结合律 是指括号如何结合不会影响结果 。例如，a+(b+c)=(a+b)+c和a(b+c)=a-(b+c)。
总结词：实数的加法与减法是基 础运算，它们具有交换律、结合 律和相反律。
2. 结合律：乘法或除法的结合律是指括 号如何结合不会影响结果。例如， a(bc)=(ab)c。
详细描述
1. 交换律：乘法或除法的交换律是指改 变运算顺序不会影响结果。例如， ab=ba和a/b=b/a。

感谢您的观看
THANKS
。
04 实数的应用
在数学中的应用
01
02
03
代数运算
实数可用于解决代数方程 、不等式和函数等问题， 如求解一元二次方程、求 函数的极值等。
几何学
实数与几何学紧密相关， 如长度、角度、面积和体 积等都可以用实数表示。
概率论与统计学
在概率论和统计学中，实 数用于描述随机事件发生 的可能性以及数据的分布 和统计分析。
金融与经济
在金融和经济领域，实数被用于描述货币交易、投资回报、成本 和利润等经济活动。
科学实验与工程设计
在科学实验和工程设计中，实数用于测量各种参数、计算结果和评 估设计方案的有效性。
计算机科学
在计算机科学中，实数用于表示数字、编码和算法等，并用于处理 数据和执行计算任务。
05 实数的扩展知识
无理数的定义与性质
无理数
无理数是一些无法表示为两个整数的比的数，如圆周率π、自然对数的底数e等 。无理数在实数中占据了大部分，它们在数学分析和高等数学中有着广泛的应 用。
02 实数的运算
加法运算
总结词
理解加法运算的意义，掌握加法运算的规则和技巧。
详细描述
实数的加法运算是指将两个或多个实数相加，得到一个新的实数。在进行加法运 算时，应遵循实数的加法规则，即同号数相加取相同的符号，异号数相加取绝对 值较大数的符号，并把绝对值相减。
实数集是数学中最基本的概念之一，它具有完备性和连续性 ，是数学分析和高等数学的基础。实数在日常生活中有着广 泛的应用，如长度、重量、时间等计量单位都是用实数来表 示的。
实数的性质
实数的四则运算
实数的连续性
实数的加法、减法、乘法和除法满足 交换律、结合律和分配律，这些性质 使得实数在数学中具有重要的作用。

中考数学总复习（五）第五讲：实数及二次根式本章非常重要，是中学代数的基础。

数学概念的学习从有理数扩大到实数。

学习方法：回忆法、比较法。

主要知识点：1、实数及其相关概念、性质；2、根式、平方根和立方根；3、实数的运算。

☆本章知识体系：考点1：实数及其相关概念、性质1、实数的分类：（分类的原则：不重合、不遗漏、有标准）按照定义按照大小2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

常见的无理数有：所有开不尽的方根、圆周率π及一些含有π的数、无限不循环、具有一定规律的数，如1.023 233 233 3…（2与2之间依次多一个3） 判断：所有无理数都可以写成根式的形式（ ）；带根号的数一定是无理数（ ）；无理数能写成两个整数之比（ ）。

例题：实数中绝对值最小的数是 ，最大的负整数是 ，最小的正整数是 。

3、相关概念：相反数、绝对值、倒数、非负数等【例题】若a 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( )实数无理数(无限不循环小数)0 整数分数 正无理数 负无理数 0 实数 负数负整数 负分无理数 有理数正数正整数正分无理数有理数A. －a 2B. －( a +1)2C.－2a D.－(a -+1)练习：下列结论正确的是（ ） A.∵b a> ，∴ a ﹥b B. 22)(a a = C. a 与a1不一定互为相反数 D. a +b ﹥a －b【例题】实数a 在数轴上的位置如图所示,化简:2)2(1-+-a a =练习：1、已知a 、b 是有理数且满足（a －2）2+3-b =0，则a b的值为2、若数轴上表示数a 的点在原点的左边，则化简22a a +的结果是（ ） A.－ a B. －3a C. a D. 3a【例题】如图所示,数轴上A 、B 两点分别表示实数1，5，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的实数为（ ）A. 5－2B. 2－5C. 5－3D.3－5综合运用：已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 、y 满足04422=+++-y y x ，求2008220092()()()a b x cd y a b cd y +-+++的值。

指数运算法则可以用于简化复杂的数 学表达式。
03
CATALOGUE
实数的分类
有理数和无理数
有理数
可以表示为两个整数之比的数， 包括整数、有限小数和无限循环 小数。
无理数
无法表示为两个整数之比的数， 常见于无限不循环小数，如π和 √2。
正数、负数和零
01
02
03
正数
大于零的实数，包括正整 数、正小数和正无理数。
其结果仍为实数。
详细描述
实数的加法运算与整数、有理 数类似，遵循交换律和结合律 ，即a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)。
总结词
正数与负数相加，结果的符号 取决于绝对值较大的数。
详细描述
如果a>0，b<0，则a+b=a-(b)；如果a<0，b>0，则 a+b=b-(-a)。
减法运算
总结词
《实数》PPT课件
目 录
• 实数的基本概念 • 实数的运算 • 实数的分类 • 实数在生活实数的基本概念
实数的定义
实数的定义
实数是包括有理数和无理数在内的所有数的集合，即实数集。实数集可以用实数轴来表 示，实数轴上的每一个点都对应一个实数，每一个实数都可以在实数轴上找到一个点来
乘法运算
总结词
乘法运算在实数范围内具有封闭性， 即任何两个实数相乘，其结果仍为实 数。
详细描述
实数的乘法运算遵循交换律和结合律 ，即ab=ba，(ab)c=a(bc)。
总结词
正数与负数相乘得负数，负数与负数 相乘得正数。
详细描述
正数乘以正数得正数，如2*3=6；正 数乘以负数得负数，如2*(-3)=-6； 负数乘以负数得正数，如(-2)*(3)=6。

1
12 1
初中数学课件
2
－2 - 2 －1
0
12 2
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； 反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.
★实数和数轴上的点是一一对应的.
初中数学课件
三 实数的大小比较 与有理数一样，实数也可以比较大小：
与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示 的实数比左边的点表示的实数大.
①根据实数的定义 ②根据实数的正负性
3.实数与数轴上的点成一一对应关系
初中数学课件
谢谢
为什么？
当堂练习
初中数学课件
1.下列说法正确的是（ B ） A.a一定是正实数 B. 是有理数 C. 2 2 是有理数 D.数轴上任一点都对应一个有理数
初中数学课件
2.有一个数值转换器，原理如下，当输x=81时，输出 的y是 （ C ）
输入x
取算术平方根 是有理数
是无理数 输出y
A.9 B.3 C. 3 D.±3
初中数学课件
3.判断快枪手——看谁最快最准！
（1）实数不是有理数就是无理数. （ ）
（2）无理数都是无限不循环小数. （
）
（3）带根号的数都是无理数.
（× ）
（4）无理数都是无限小数.
（）
（5）无理数一定都带根号.
（× ）
初中数学课件
4.把下列各数填入相应的括号内：
9 35
64
π
•
0. 6
3 4
初中数学课件
实数 课件
初中数学课件
学习目标 1.了解实数的意义，并能将实数按要求进行准确的分类； 2.熟练掌握实数大小比较方法；（重点） 3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点 表示无理数.（难点）

几何学应用
实数运算在几何学中也有着重要的应用。例如，在平面几何中，我们可以通过实数运算来 计算两点之间的距离、点到直线的距离等；在立体几何中，我们可以通过实数运算来计算 体积、表面积等。
在物理中的应用
力学研究
在物理学中，实数运算广泛应用于力学研究。例如，在经典力学中，我们可以通过实数运算来计算物体的运动轨迹、 速度、加速度等；在流体力学中，我们可以通过实数运算来计算流体的速度、压强等。
反身律
a+a=a
减法运算律
反身律
a-a=0
减法的可交换性
a-b=b-a
减法的可结合性
a - (b + c) = a - b - c
乘法运算律
交换律
01
a×b=b×a
结合律
02
(a × b) × c = a × (b × c)
反身律
03
a × a = a^2
除法运算律
反身律
a / a = 1（a ≠ 0）
举例
如2+3=3+2，(-5)*(-6)=(-6)*(-5)。
结合律
01
总结词
结合律是指实数运算中，改变运算的结合顺序，其运算结果不变。
02 03
详细描述
结合律也是数学中重要的运算性质之一，对于任何实数a、b和c，都有 (a+b)+c=a+(b+c)和(ab)c=a(bc)。这意味着加法和乘法都是可结合的 。
实数的定义和性质
定义
实数是包括有理数和无理数的所有数 ，具有连续性和完备性。
性质
实数具有加法、减法、乘法和除法的 封闭性，即这四种运算的结果仍为实 数。实数还具有顺序性、完备性和连 续性等性质。

实数的知识点总结课件一、实数的概念1.1 实数的定义实数是数学领域中的一种数字概念，包括有理数和无理数。

实数是可以用来度量和计算数量的数，是数学中最基本的数。

1.2 实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。

有理数是可以用整数或整数分数表示的数，而无理数是不能用有限的整数或整数分数表示的数。

二、实数的性质2.1 实数的加法实数的加法满足交换律、结合律和分配律。

即对于任意的实数a、b、c有：a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，a(b+c)=ab+ac。

2.2 实数的减法实数的减法满足异减法a-b=a+(-b)，其中-a称为a的相反数，满足a+(-a)=0。

2.3 实数的乘法实数的乘法满足交换律、结合律和分配律。

即对于任意的实数a、b、c有：ab=ba，(ab)c=a(bc)，a(b+c)=ab+ac。

2.4 实数的除法实数的除法满足a÷b=a×(1/b)，其中b≠0。

2.5 实数的乘方实数的乘方满足乘方的次序异法则：(a^m )^n=a^(mn)，其中a为非零实数，m和n为任意实数。

三、实数的表示和比较3.1 实数的表示实数可以用数轴上的点表示，数轴上任意一点与原点的距离称为这个点的坐标。

3.2 实数的比较实数的比较可以通过数轴上的位置进行比较，即若a在b的左边，则a小于b，若a在b的右边，则a大于b。

四、实数的运算4.1 实数的加减运算实数的加减运算即是对实数进行加法和减法的操作，按照加法和减法的性质进行运算。

4.2 实数的乘除运算实数的乘除运算即是对实数进行乘法和除法的操作，按照乘法和除法的性质进行运算。

4.3 实数的乘方运算实数的乘方运算即是对实数进行乘方的操作，按照乘方的性质进行运算。

五、实数的应用5.1 实数在代数中的应用实数在代数中可以用来解方程、求根以及进行代数计算。

5.2 实数在几何中的应用实数在几何中可以用来表示线段、面积、体积等几何量，并进行几何计算。