三维轴对称功能梯度材料瞬态热传导问题的自然单元法

热扩散率
介绍 -- 类比
Stress Heat
u

I T dV
V
q
I T qdV
V
D
K
T DdV
V
T KdV
V
分析过程 •在 ABAQUS/Standard 中，热传导分析的执行是通过将几何体离散 成扩散热传导单元，并且使用 *HEAT TRANSFER 过程选项
•多层复合材料热壳的默认截面点数量为 3 •所有层的单层截面点数量必须相等
边界条件与载荷
边界条件
应力分析中，每个自由度都有一对共轭变量： 位移 -- 作用或反作用力 默认情况下位移是未知的，力是已知的。 热传导分析中，这对共轭变量是 温度 --- 热率(单位时间的能量流) 默认情况下温度是未知的，热率是已知的 -- 已知的热率 = 0， 相当于绝热边界条件； -- 没有外部的能量流进或流出节点。 ABAQUS 中的几种热边界条件和热载荷 1. 在某些节点上预设温度， *BOUNDARY， 自由度11 2. 在某些点上或者某些表面上或者体积内预设热率 q *CFLUX, *DFLUX, *DSFLUX 3. 在某些点上或者某些表面上的边界层（薄膜）条件 *CFILM, *FILM 和 *SFILM 4. 在某些点上或者某些表面上的辐射条件 *CRADIATE, *RADIATE, 和 *SRADIATE 5. 自然边界条件(默认)
Film, coefficient h
边界条件与载荷
3. 边界层(薄膜)条件
*CFILM 施加在节点上
*CFILM NODESET， 100.， 450， 2.3E-3
面积
温度
h
*FILM 二维情况下施加在单边上，三维情况下施加在单元面上

对 于 常 数 型 或 指 数 型 热 扩 散 系 数
口ｚ （）＝五 ，比值 旦 为一 常数 人。取 厚度 方 向 ｅ
以
为解 析方 向 ，另外 两个方 向为离散 方 向 ，网格步 长 为ｈ ×ｈ ，离散 网格 数为 （ ＋１ ×（ ｍ ） ｎ＋１ ），如
图 １所示 。
‘ ｙ
比较粗糙 ，但形式简单 ，便于应用 ，有一定的适用
ｄ ｔｏ ｑ ａ ｉｎ ｉ ｉｃ ｅ ｉｅ ｑ ｉ ｉｔｎ ｌ ｌ ｎ ｈ ｈ ｃ ｎ ｓ ｉｅ ｔｏ ｔ ｈ ｉｃ ｅ ｅ ｎ ｍｂ ｒＭ ｎ ｕｃｉｎ ｅ ｕ ｔ ｓｄ ｓ ｒ ｔ ｄ ｅ ｕ ｄ ｓａ ｔｙ ａｏ ｇ ｔ ｅ ｔ ｉ ｋ ｅ ｓｄ ｒ ｃｉｎ ｗｉｈ ｔ ｅ ｄｓ ｒ ｔ ｕ ｅ ａ ｄ ｏ ｚ
其 中 ， （ ｙｚ 是 所要 求 的温度 分布 场 ， （）为热 ，，） ａｚ
扩散系数 ， Ｑ为区域 内部 ｛ ＜ｘ； ＜Ｙ＜Ｙ； ０＜ ｓ Ｏ ｓ
０ ＜ｚ＜ ｝ Ｑ 为 区 域 边 界 ， （ Ｙｚ ， ｇ ，，）为 空 间 热 源场 ， （ ，，）为 已知 的边界 温度 场 。 ｖ ｘｙｚ
ｆｒ ｅｉ ｎ ｔ ｎ ｉ ｇｖ ｎ ｆ ｍ ｐ ｅ ｇ ｂ ａｃ ｅ ｕ ｔ ｎ ．Ｔ ｅ ｒ ｓ ｌ ｆ ａ ｅ ｅ ｒ ｃｓ ｘ ｏ ｅ ｔ ｌＭｅｈ ｏ ｌ ｍｉ ａ ｉ ｓ ｉｅ ｒ ｕ ｐ ｒａ ｅ ｒ ｉ ｑ ａｉ ｓ ｈ ｅ ｕ ｔ ｏ ｙ ｒ ｄ Ｐ ｅ ｉｅ Ｅ ｐ ｎ ｎ ｉ ｔ — ｏ ｏ ｌ ｏ ｓ Ｌ ａ
功 能 梯度 材 料 （ ｕｃｏａｙＧａｅ ｔ ａｓ Ｆ ｎｔｎｌ ｒｄｄＭａｅｌ ， ｉ ｌ ｉ ｒ 简称 Ｆ Ｍｓ ，是 一 种 材 料 性 质 和 功 能 沿 厚 度 方 向 Ｇ ） 呈 连续 变化 的新 型材 料 ，它通 过连 续改 变两 种材 料

三维非稳态导热问题的高效稳定数值解法介绍随着计算机技术的快速发展，数值模拟已经成为研究热传导问题的一种重要方法。

在工程领域，三维非稳态导热问题的数值解法应用广泛。

本文将详细探讨三维非稳态导热问题的高效稳定数值解法。

理论基础1. 热传导方程热传导方程是描述热量在物质中传递的方程，对于三维非稳态导热问题，可以表示为：∂u=α∇2u∂t其中，u是温度场，t是时间，α是热扩散系数，∇2是拉普拉斯算子。

2. 数值方法为了求解三维非稳态导热问题的数值解，有多种数值方法可供选择，例如有限差分法、有限元法和边界元法等。

本文将重点介绍有限差分法。

有限差分法是一种常用的数值方法，用于离散化偏微分方程。

对于三维非稳态导热问题，可以将空间和时间分别离散化，从而得到离散化的方程组。

通过迭代求解，可以得到数值解。

三维非稳态导热问题的数值解法1. 网格划分在使用有限差分法求解三维非稳态导热问题时，需要将计算区域进行网格划分。

通常采用正交网格的方式，将计算区域划分为多个小立方体。

2. 初始条件和边界条件为了求解三维非稳态导热问题，需要指定初始条件和边界条件。

初始条件用于确定初始温度分布，边界条件用于描述物体表面与外界的热交换过程。

3. 显式差分格式显式差分格式是一种简单但稳定性较差的差分格式，用于求解三维非稳态导热问题。

该方法基于前向差分公式，通过迭代计算得到数值解。

4. 隐式差分格式隐式差分格式是一种复杂但稳定性较好的差分格式，用于求解三维非稳态导热问题。

该方法基于后向差分公式，通过迭代求解线性方程组得到数值解。

数值实验为了验证所提出的数值方法的有效性和稳定性，进行了一系列数值实验。

以下是数值实验的步骤：1.确定计算区域和网格划分方式。

2.指定初始条件和边界条件。

3.选择显式差分格式或隐式差分格式进行数值求解。

4.通过迭代计算得到数值解。

5.与解析解进行比较，评估数值方法的精确度和稳定性。

数值实验结果表明，所提出的方法在求解三维非稳态导热问题方面具有较高的精确度和稳定性。

能解决简单 问题 ， 以大量复杂的工程 问题 只能借助数值 方 所 法 。有 学 者 尝 试 用 有 限元 法 、 网 格 Ｇ ｌ ｋｎ方 法 无 ａｅ ｉ ｒ
滑 连续地变 化。Ｆ Ｍ 因其 良好 的热力学 性能被 广泛应 用于 Ｇ
航 空航 天 、 核能 、 械等 领域 … 。由于功能 梯度 材料 大多在 机 高温环境下 工作 ， 故对其进行热传导分 析以 了解其 温度分布
３ ｃ ｏｌ ｆ ｔｒ ｓＳｉｎｅａｄＥ ｇｎｅ ｎ Ｃ ａｇ ｎＵ ｉｅｓｙ Ｘ’ ｈｎ ｉ １０４， ｈｎ ） ．Ｓ ｈｏ ｏ ｅ ａ ｃｅｃ ｎ ｎ ｅｒ ｇ， ｈ ｎ’ ｎｖｒｔ， ｉｎＳ ａｘ ７０ ６ Ｃ ｉ Ｍａ ｉ ｌ ｉ ｉ ａ ｉ ａ ａ
ＡＢＳ ＲＡＣＴ ： ｈ ｕ ｄ ｍｅ ｔ ｏｕ ｉｎ ｏ ｓｅ ｄ Ｔ Ｔ ｅ ｆ ｎ ａ ｎ ａ ｓ ｌ ｔ ｓ ｔ ｔ ａ ｙ—ｓａｅ ｈ ａ ｏ ｄ ｃｉｎ ｐ ｏ ｌｍ ｒｔ ｒｅ ｔｐ ｓｆ ｎ ｔ ｎ ｌ ｒ ｄ ｄ ｌ ｏ ｔ ｔ ｅ ｔｃ ｎ ｕ ｔ ｒ ｂｅ ｆ ｅ ｙ ｅ ｕ ｃ ｉ ａ ｙ ｇ ａ ｅ ｏ ｏ ｈ ｏｌ
Ｃ Ｏ Ｌ ｉ ｌｉ， Ｅ ｉｎ—ｚｏ ｇ ， ＨＡ Ｇ Ｘ ｅ—ｍ ｎ ， Ｉ ｉ ｇ Ａ ｅ—ｅ Ｐ Ｉ ａ Ｊ ｈｎ Ｚ Ｎ ｕ ｉ ＬＵ Ｑｏ ｎ
（ ．Ｋｅ ａ ｏａｏｙｆｒＲ ａ ｏ ｓｒｃｉｎＴ ｃ ｎ ｌｇ １ ｙＬ ｂ ｒｔｒ ｏ ｄ Ｃ ｎｔｕ ｔ ｅ ｈ ｏｏ ｙ＆ Ｅｑ ｉｍｅ ｔ ｈ ｎ ’ｎＵｎｖ ｒｉ ，Ｘｉ ｎ Ｓ ａｘ ０ ４，Ｃ ｉａ； ｏ ｏ ｕｐ ｎ ，Ｃ ａ ｇａ ｉｅｓｔ ｙ ’ ｈｎ ｉ １ ６ ａ ７０ ｈｎ
１ （ ） ２ｒ ） （ ） ７ （ “
（２ １）
因此 ， 于指数型 Ｆ Ｍ， 对 Ｇ 其热传导方程 的基本解为

材料参 数模 拟功 能梯 度材 料特 性 的 变化 ．温度 场采 用 自然邻接 点插值 形 函数 进 行 离散 插值 ．数值
算例验 证 该数值 算 法的 正确性 和有 效性 ．
关 键词 ：功 能梯度 材料 ；热传 导 ；自然单元 法 ；精 细积 分法
中 图分 类 号 ： Ｂ ３ ； Ｂ １ ． Ｔ ３ ３ Ｔ １５ １ 文献 标 志码 ： Ａ
盖Ｋ） （ （ ＋， ＝ ｃ 驯ｄ
（Ｏ—） （ ｐ Ｔ Ｑｎ ７ ｃ ｄ ）
对式（） ７ 进行 分部 积分 并考 虑式 （ ） ２ 的第 二个 条 件 ，
可 得
Ｑ＝Ｑ（ ｔ为单位 体 积 的 内部 热 源． 应 的边 界 条 Ｘ，） 对
件 和初 始条 件 为
，
ｆ ａ一， ｓｑ （ ） ＝ ｒ ｃ 警 ＋ ｄ
Ｔ，＝ ｛ ∈ Ｒ ： （ ， ／ ｄ ， ） ＜ｄ ， ） （ ， ＜ ｄ ， ） ＶＪ≠ ，≠ Ｋ｝ （ ， （） ４
在几 何意 义上 ， 是那 些 以 ， 为最 近点 ， ， 第 以 为 二 近点 的空 间点 的位 置集合 ．
当采 用 Ｓｂｏ ｉｓｎ插值 时 ， 计算 点 对 节点 ， 的形
ｃ 一
７ ） ： ， １ （
∈ 厂ｒ
｛ ＋ ）ｑ） Ｋ ＝ｘ （ （，
Ｌ ， Ｔ（ ｔ： ０） ＝ ７ （ ） ＇ ， ｏ ∈
（ ２ ）
ｆ Ｑ２ （ ｄ ８ Ｓｇ ） Ｔ
由于 只对空 间域 进 行离 散 ， 解 域 内的试 函 求 数 （ 可 由式 （ ） ，） ６ 表示 为
第２ Ｏ卷 第 ３期
２ １ 年 ９月 ０１
计 算 机 辅 助 工 程
Ｃｏ ｍｐｕ ｅ ｄ ｄ Ｅｎ ｉ ｅ ｎ ｔｒＡｉ ｅ ｇｎｅ ｒ ｇ ｉ

COMSOL APPLICATION NOTES | 1COMSOL 工程应用系列手册多物理场仿真在电子设备热管理中的应用多物理场仿真在电子设备热管理中的应用目 录简介 3工程目标 4电子设备的热管理 4传热的应用领域 4传热机理 5数值仿真 6电子设计中的数值仿真 6传热建模的物理场接口 7单物理场接口 8多物理场接口 9扩展接口 10建模案例 10平板上方的非等温湍流 10圆管中的非等温层流 11一种热光型硅光子开关的优化 11平板热管的传热与流体动力学 12大型强子对撞机中的超导磁体 12植入式医疗设备的温度适应性 13仿真 App 案例 14使用仿真 App 进行传热与流体动力学教学 14使用仿真 App 模拟定制化电容器 15使用仿真 App 比较石墨箔传热性能 16结语 17参考文献 18更多资源 19© 版权所有 2019 COMSOL。

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2 | COMSOL 工程应用系列手册COMSOL 工程应用系列手册 | 3简介简 介通常，在设计电子设备时，需要充分考虑热管理因素。

随着设备性能的提升和市场竞争的加剧，为了实现可靠性更高、能耗和成本更低、安全性更强以及用户体验更好的设计目标，越来越多的研究人员开始使用数值仿真技术进行设计工作。

本手册介绍的仿真案例涉及多种系统，这些系统各不相同，但均有电流存在。

在这些案例以及大多数工程应用案例中，对系统中引起温度变化的传热机制和因素进行研究，可以帮助工程师更好地理解设计对产品性能产生的影响。

摘 要 ：基于线性热弹性理论的基本方程 ， 采用两个位移分量 ， 两个应力分量 ， 温度变量和一个热 流分量作 为状 态
变量 ， 应用状态空间理论 ， 建立 了功 能梯度材料轴对称 圆板结构在动态热载荷作用下的状态方程 ， 考虑 了运动惯性项 以及
热传导过程 中的耦合效应 ， 根据微分求积法 ， 将状态方程沿径 向进行离散 。采用 Ｌｐａｅ ａｌ 变换 和打靶法 ， ｃ 数值求解 了材 料 常数按幂率变化的周边固支圆板在热 冲击下 的热 响应 。为求解 功能梯度结构 三维 热弹性瞬 态响应提供 了一种方法 。分 析 了组分材料分布对功能梯度圆板 的热 响应行为 ， 括板内温度变化 ， 向挠度以及板内应力分量 的影 响规律 。 包 横
ＣＩ Ｃｌ Ｃｔ ｌ ２ ２ Ｃｌ Ｃｌ Ｃｌ ２ ｌ ２ Ｃｌ Ｃｌ Ｃｌ ２ ２ ｌ Ｏ Ｏ ０
０ ０ ０ Ｃ４ ４
１ 问题的描述
考虑如 图所 示 的一 个 半 径 为 ａ 厚 度 为 ｈ 初 始 温 ， ，
一 一
（） ２
度 为 的功能 梯度 圆板 受 到热 载荷 作用 ， 料 性质 沿 材 厚 度变化 ， 内无初始 应力 和变形 。 板 在 柱 坐 标 系 ００ ， 对 称 问题 的 运 动 微 分 方 ｒ ｚ下 轴
程 为
０ ａ ｏＴ ｒ ｒ ｏ ｆｚ ｒ—ｏ ｒ Ｔ
—
分Ｕ
式 中 ， Ｃ 为弹性 常数 ， Ｃ 而 ＝（ 一Ｃ： ／ ； 为 温差 ， Ｃ 。 。） ２ 为热模 量 ， 有 ＝ 一（ 。 ＋ Ｃ： ， 中 ， 为线 热 且 Ｃ。 ２ 。 ） 其
Ｏ ＋ｄ ＋ —＿ ｐ０ — —一 —— ｒ ＿ ｚ ｒ ’７ －
来研 究功 能梯 度 材料 已取 得 了一些 进 展

ＡＢＳ ＴＲＡＣＴ： Ｔ ｈ ｅ ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｔ ｅ ｍｅ ａ ｓ ｕ ｒ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ｗａ ｓ ｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｅ ｄ ｆ ｏ ｒ ｃ ｏ ｍｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｅ ｈ ｅ ａ ｔ ｃ ｏ ｎ ｄ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ．Ｂ ｅ ｃ ａ ｕ ｓ ｅ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｎ ｏ ｎ—ｈ ｏ ｍｏ ｇ ｅ ｎ ｅ — ｉ ｔ ｙ ｐ ａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ，ｉ ｔ ｉ ｓ ｄ ｉ ｆ ｉ ｃ ｕ ｌ ｔ ｔ ｏ ｍｅ ａ ｓ ｕ ｒ ｅ ｔ ｈ ｅ ｓ ｕ ｆａ ｒ ｃ ｅ ｈ ｅ ａ ｔ ｌ ｆ ｕ ｘ ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｔ ｅ ｌ ｙ ．Ｔ ｈ ｅ ｆ ｕ ｎ ｄ ａ ｍｅ ｎ ｔ ａ ｌ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｏｒ ｆ ｈ ｅ ａ ｔ ｃ ｏ ｎ ｄ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ
第３ Ｏ 卷 第１ ２ 期
文章编号 ： １ ０ ０ ６— ９ ３ ４ ８ （ ２ ０ １ ３ ） １ ２—０ ０ ２ ５— ０ ５
计
算
机
仿
真
２ ０ １ ３ 年１ ２ 月
基 于 边界 元 的 功 能梯 度材 料 瞬态 热 传 导 仿 真
张 驰 ， 张 硕 ， 校金 友
（ １ ．沈阳航空航 天大学 民用航空学 院， 辽宁 沈阳 １ １ ０ １ ３ ６；
参数 ， 得到 了拉普拉斯域的边界积分方程 ， 采用伽 辽金法插值 求得其 数值解 。然后 根据 以上推导结果 开发 Ｃ语言程 序包 ，
引入数值算例对其温度分布情况及热流密度情况进行仿 真， 并与解析解对 比分析 。结果表明采用边界元法 的数值仿真解可
以很好地与解析解吻合 ， 证明数值推 导的正确性及程序调试 的有效性 ， 并且上述方法理论简单 ， 可用于准确测量复合材料表

二维Al1100/Ti-6Al-4V/SiC FGM板瞬态热传导问题辛海广 董利文（河北工程大学 土木工程学院 河北 邯郸 056038）摘 要： 引入二维 Al1100/Ti-6Al-4V/SiC FGM结构进行研究，根据热传导理论，从计算传热学的角度，研究第一类加热边界条件下FGM板瞬态温度场问题的有限元算法。

采用变分有限元法和有限差分法推导出瞬态热传导有限元基本方程。

应用有限元方法，编写计算程序，通过数值计算和分析，研究采用二维Al1100/Ti-6Al-4V/SiC FGM的热力学物性参数时二维FGM金属/金属/陶瓷平板在第一类加热边界条件下瞬态温度场随mx的变化规律.。

关键词： 二维；功能梯度材料；瞬态；温度场；有限元法中图分类号：KN25 文献标识码：A 文章编号：1671-7597（2012）1120007－01功能梯度材料（简称FGM）是新型复合材料，其材料特性度值的列向量。

是随组分的变化而变化的。

由于耐热FGM主要应用在超高温且内 3 数值计算与分析部温差非常大的环境中，所以，分析该材料组成结构的热传导问题非常重要[1-3]。

但在相关研究中，很少有关二维功能梯度材料平板的热传导问题的研究，且这种新型二维FGM平板在线性温度作用下具有较一维FGM平板更加合理的温度场分布。

因此本文引入由三种材料组成的二维功能梯度材料进行研究。

1 分析模型本文结合二维Al1100/Ti-6Al-4V/SiC FGM实际应用环境和边界条件对研究模型作如下假设：1）该板沿厚度方向具有线性分布的材料性质，沿宽度方向具有非线性分布的材料性质；2）该板的初始温度为常数 ，当时间t>0时，在板的上下表面处分别加上沿板宽方向线性变化的环境介质温度 和保持不变的环境介质温度 ，且保持下去；3）该板周边绝热，内部无内热源；4）不考虑热固耦合项作用影响。

2 热传导分析设图1所示二维FGM板的热学性质为位置坐标x和y的函数，该板瞬态热传导的泛函为[4]：式中 为 的初始瞬时 的给定 值，此泛函是将平面离散成N个三角形单元，时间过程划分为n个间隔全部节点在瞬时 的温度值为列阵 。

Ω
{Q} = ∫ Q[ N ]T Ω + ∫ q [ N ]T dΓ + ∫ hT0 [ N ]T dΓ
Ω Γ2 Γ3
根据 {δq} 的任意性得到瞬态热传导问题的有限元方程组
&} + [ K ]{q} = {Q} [C ]{q
称 [ K ] 热传导矩阵， [C ] 是比热矩阵， {Q} 是等效节点热流量。
δT = [ N ]δ {q}
∇T = [ B]{q} ∇(δT ) = [ B]δ {q}
代入方程(7.1.1)得 &} − {Q}) = 0 {δq}T ([ K ]{q} + [C ]{q 其中
[ K ] = ∫ k[ B]T [ B]dΩ
Ω
(7.1.2)
[C ] = ∫ ρC[ N ]T [ N ]dΩ
2 0 1
[C ] =
7.2.2 其他单元
(从略)
7.3 瞬态热传导问题的数值解
方程(7.1.3)可以写成一阶线性常微分方程组的标准形式
{q &} = [C ]−1 ({Q} − [ K ]{q}) {q (0)} = {q0 }
Байду номын сангаас
可以用 Euler 法，Runge-Kutta 法等方法求解。 例 1 等截面均匀直杆如图 7.3.1，长度为 1。初始状态下温度为 0，从 t = 0 开 始两端有单位的热流输入量。整个杆划分为 4 个单元，取
ρ = k = C =1
每个单元的热传导矩阵和比热矩阵分别是
1 − 1 1 2 1 [ K (e ) ] = 4 [C ( e ) ] = 24 − 1 1 1 2
装配后的热传导矩阵、比热矩阵和等效节点热流分别是

针对磁电层合板的弥散特性问题进行了研究，并计算了由压电材料PZT和压磁材料Terfenol-D构成复合压电压磁层合板的特征值方程，得到了波数和频率的关系。通过计算得出以下结论：
(1)电效应对磁电复合材料结构中波的弥散特性有一定影响。 (2)磁效应对磁电复合材料结构中波的弥散特性的影响很小。
饱和地基中瑞利
另一方面，R波的这种独特的传播性质也可造福人类。例如，由地震波中的R波信号可确定地壳构造，由人工 激振产生的R波信号可用来分析浅层地基土的特性参数。这种表面波频谱分析(SASW)法因测试简便、快速和经济 等优点已日益受有关科技界的重视。在地震波传播、地基减振和SASW法研究中，以往大多依据单相介质中的经典 波动理论。但对广泛存在的饱和地基来说，因可能存在着孔隙水与土骨架间的相互作用，用单相介质波动理论来 分析问题的适用性就需要加以考证。自Biot发表饱和多孔连续介质中的一般弹性波动理论以来，国内外有些学者 在此基础上研究饱和地层中R波的传播问题。但对饱和地基中R波的弥散性，在定量上还缺乏较完整的描述。
为避免Biot理论中一些参数确定的困难，相关研究曾提出过一组饱和土弹性波动方程，其中孔隙水和骨架的 物理力学参数含义明确且容易测定。本文拟在此基础上，建立匀质饱和地基中R波的频率特征方程，并由此分析R 波的传播速度和衰减系数随振动频率、土渗透系数等而变的规律性。在工程实用的低频条件下，研究还将考察第 二P波对饱和地基中R波传播速度是否产生影响以及经典波速公式的适用性。
饱和土的弹性波动 方程
研究背景
研究结论
பைடு நூலகம்
当地震发生时，震源释放的巨大能量由近及远地使大地产生强烈的振动。在导致工程结构物和其它设施破坏 的地基振动中，由于瑞利波(R波，又称表面波)传播所携带的能量要比纵波(P波)和剪切波(S波)的大得多，而且 几何衰减又慢，瑞利波已被认为是危害性最大的一种地震波。由于同样的原因，在减小建筑施工、交通车辆和机 器运行产生的地基振动中，R波也是工程技术人员关心的主要波种。

文章编号： 1009 − 444X （2020）04 − 0305 − 09基于杂交基本解的正交各向异性材料热传导问题有限元法仇文凯 ，王克用（上海工程技术大学 机械与汽车工程学院，上海 201620）摘要：采用基于杂交基本解的有限元法（HFS-FEM ）对二维正交各向异性材料进行热传导分析. 单元域内和单元边界上的温度分布由两个温度场独立描述. 采用基本解的线性组合来近似单元内部温度场，采用标准一维线单元形函数来定义网线温度场. 利用修正变分泛函和散度定理导得相应的有限元列式，通过2个算例与ABAQUS 结果对比，验证了该方法具有有效性. 数值结果表明，该方法在单元形状极度扭曲情形下仍能保持良好的精度，这是区别于传统有限元法的显著特点.关键词：热传导；有限元法；基本解；坐标变换；正交各向异性材料中图分类号： O 343.1 文献标志码： AHybrid Fundamental-Solution-Based FEM for Heat ConductionProblems in Orthotropic MaterialsQIU Wenkai ，WANG Keyong（ School of Mechanical and Automotive Engineering, Shanghai University of Engineering Science, Shanghai 201620, China ）Abstract ：A heat conduction analysis of two-dimensional orthotropic materials was carried out by the hybrid fundamental-solution-based finite element method (HFS-FEM). Temperature distributions within the element domain and on the element boundary were independently described by two temperature fields. A linear combination of fundamental solutions was utilized to approximate the intra-element temperature field while standard one-dimensional shape functions were employed to define the frame temperature field. By virtue of the modified variational functional and divergence theorem, the resultant finite element formulation was derived. The effectiveness of the proposed method was verified by comparing two numerical examples with ABAQUS result. The numerical results demonstrate that the proposed method can still keep excellent accuracy even when the element shape degenerates to a situation of extreme distortion. This is one of marked features which differs from conventional finite element methods.Key words ：heat conduction ；finite element method （FEM ）；fundamental solution ；coordinate transformation ；orthotropic materials材料按照性质和内部结构，一般可分为各向同性材料和各向异性材料. 各向同性材料具有简单、优良的特性，在材料工程领域得到广泛的应用[1 − 3]. Wang 等[1]采用基于杂交基本解的有限元收稿日期： 2020 − 06 − 01基金项目： 上海市自然科学基金资助项目（19ZR1421400）作者简介： 仇文凯（1994−），男，在读硕士，研究方向为杂交有限元法. E-mail ：*****************通信作者： 王克用（1975−），男，副教授，博士，研究方向为Trefftz 有限元法和多孔介质传热. E-mail ：*******************第 34 卷 第 4 期上 海 工 程 技 术 大 学 学 报Vol. 34 No. 42020 年 12 月JOURNAL OF SHANGHAI UNIVERSITY OF ENGINEERING SCIENCEDec. 2020方法（HFS-FEM）研究各向同性材料的热传导问题. Gao[2]提出一种求解各向同性材料热传导问题的无网格边界元方法. 目前，在汽车、造船、机械加工、航空航天、军工等工程领域中，许多各向同性材料还不能满足性能需求，因此，研究各向异性材料仍具有重要的理论和实际意义.在热传导问题[4 − 5]中，各向异性材料可分为一般各向异性材料和正交各向异性材料[6 − 9]. 各向异性材料的导热系数在各个方向上是不同的：一般各向异性材料导热系数张量中的所有元素都不为零，而正交各向异性材料导热系数张量中只有主对角线上的元素不为零. 根据导热系数的不同形式，正交各向异性材料可以进一步细分为常系数或变系数两种情况. 目前，关于用边界元法研究正交各向异性热传导问题的报道有很多. Perez 等[10]研究一般积分方程公式并用于求解均匀正交各向异性位势问题. Divo等[11]推导正交各向异性问题基本解的形式. Zhou等[12]针对二维正交各向异性位势问题，建立一个新的势导数边界积分方程，称为自然边界积分方程（NBIE）. 通过边界元法以及其他数值方法分析此类问题已经开展了许多工作，而利用杂交基本解有限元法分析正交各向异性热传导问题的报道却非常少.杂交基本解有限元法是基于杂交Trefftz法的一种高效数值方法. Trefftz方法是由Trefftz于1926年提出的，利用满足控制方程的叠加函数来求解边值问题. 随后，Jirousek等[13]于1977年提出杂交Trefftz有限元法，将边界概念推广到单元间边界，并在单元内部构造满足非齐次Lagrange方程的坐标函数. 目前，杂交Trefftz有限元法已成功地应用于许多工程问题，如位势问题[14 − 15]、平面弹性问题[16]、夹杂分析[17 − 18]、接触问题[19]、轴对称问题[20 − 21]等. Wang等[22]采用杂交Trefftz有限元法（HT-FEM），以T-完备函数作为内部插值函数，研究轴对称位势问题. Wang等[23]基于完备解系提出分析正交各向异性位势问题的杂交Trefftz 有限元模型. 王克用等[24]利用杂交完备解有限元法分析功能梯度材料位势问题. 刘博等[25]利用含有特解的Poisson方程分析杂交Trefftz有限元法的轴对称问题. 杂交基本解有限元法的原始思想由Kompiš等[26]提出，其利用基本解近似位移场和应力场，并利用网线函数来实现相邻单元之间的连接. 高可乐等[27]采用杂交基本解有限元法分析考虑体力项的轴对称弹性问题，与杂交Trefftz 完备解有限元法相比，该方法可避免T-完备函数项选取困难，直接利用基本解来构造满足控制微分方程的单元内部插值函数. 此外，与边界元法相比，该方法消除了积分奇异性的缺点，在网格畸变方面表现出良好性能[28].本文基于文献[10 − 12, 23]的研究工作，利用杂交基本解有限元法分析正交各向异性材料的热传导问题.1 问题描述及基本方程u Qk=[k11k12k21k22]设为温度；为内部热源；k为各向异性材料的导热系数张量，，二维各向异性k12=k21=0k11 k22 0Q=0当，，时，式（1）可表示为式（2）即为二维正交各向异性热传导问题的控制方程. 考虑Dirichlet和Neumann两类边界条件，为¯u¯q n x n yΓ=Γu∪Γq 式中：和分别为给定的温度和热流；和分别为边界上任意点外法线向量的分量；为求解区域的整个边界.2 假定温度场与杂交Trefftz有限元法类似，杂交基本解有限元法采用两套假定的温度场来建立有限元模型，包括非协调单元内部温度场和辅助协调网线场. 精确满足控制方程的单元内部温度场，可保证单元内各点的计算精度，而相邻单元之间则由独立定义在单元边界上的辅助协调网线场连接，与杂交Trefftz有限元法不同的是，单元内部温度场由已知的基本解而不是T-完备函数构造.· 306 ·上海工程技术大学学报第 34 卷2.1 非协调单元内部温度场对于正交各向异性热传导问题，非协调的单元内部温度场可以表示为n s c e j N e (x ,y j )Ωe Γe 式中：为每个单元的源点个数；为待定参数；为二维正交各向异性热传导问题的基本解；为边界包围的单元域. 问题的基本解[10 − 12]应完全满足方程其中r =√(x P −x Q )2k 11+(y P −y Q )2k 22x P y P x Q y Q 式中：、和分别为场点坐标；和分别为源点坐标. x 向和y 向的采用以下关系确定源点的布局，为x c x b λ式中：为单元形心；为单元边界上的点；为无量纲参数. 特殊单元的源点分布如图1所示.中心点yxu e = N e c e (单元域内场)~~u e = N e d e (辅助网线场)源点节点图 1 两个假定温度场及其源点Fig. 1 Two assumed temperature fields with source points2.2 辅助协调网线温度场为保证相邻2个单元之间的连续性，在单元边界上建立一个辅助协调的网线温度场，为Ne (x )d e 式中：为形函数向量；为由单元的节点自由度组成的向量. 两节点单元边上的形函数如图2所示.12−1(1 + ξ)2−1(1 − ξ)2ξ = −1ξ = 0ξ = +1N 2~N 1~图 2 两节点单元边上的形函数Fig. 2 Shape functions on each two-node side of an element沿单元每两节点边上的温度分布为N 1 N 2ξ∈[−1,1]其中，和为在自然坐标系中定义的一维形函数，可表示为相应地，热流可表示为其中3 杂交基本解有限元列式3.1 修正的变分泛函∏m =∑e∏me∏me热传导问题总的杂交变分泛函可以通过得到，其中每个单元上的泛函可表示为第 4 期仇文凯 等：基于杂交基本解的正交各向异性材料热传导问题有限元法· 307 ·K ε=G T εH −1εG εP ε式中：为单元刚度矩阵；为等效的节点矢量.3.2 刚体运动的恢复为保证矩阵满秩，在计算单元内部场变量时，需要恢复舍弃的刚体运动项. 为获得单元内任意点的真实温度，根据现有研究[1, 18 − 19]提出的方法，可以很容易地恢复单元内温度场中舍弃的刚体运动项. 因此，温度的最终表达式为c 0u e ˜u ei 式中：为刚体运动参数，该参数可由单元所有节点处的和的最小二乘匹配确定，可写成c 0进一步地，刚体运动参数可表示为m 式中：为单元节点数.4 数值算例ε为定量理解计算精度，对任意变量f 引入相对误差()，可得f HFS −FEM f reference 式中：和分别为杂交基本解有限元解和参考解.为方便表达，算例中所有参数都采用无量纲（没有单位的物理量）的形式表示.4.1 方形区域内的热传导k 11=1k 22=2u =0u =10q =10在第1个算例中，考虑边长为0.1的正方形区域，其中材料的导热系数为和. 对正方形区域左右边界分别施加温度和；上部边界施加热流，下部边界假设为绝热；将整个模型划分为16个四节点四边形单元进行求解计算，如图3所示.yq = −10u = 0u = 10q = 0x4 × 4网格图 3 正方形区域、边界条件和有限元网格Fig. 3 Square domain, boundary conditions andfinite element mesh· 308 ·上 海 工 程 技 术 大 学 学 报第 34 卷γ=e /l γ=0为验证杂交基本解有限元法对网格畸变的不敏感性，定义5种网格变形方案，畸变参数()分别为0.1、0.3、0.5、0.7和0.9，与规则网格（，不变形）的计算结果对比如图4所示. 温度u 和热流q x ε(u )ε(q x )分量的相对误差如图5所示. 从图4中可以看出，即使对于γ = 0.9的极度扭曲网格，的最大值仍低于0.6%，且低于3%，这在工程实践中是可以接受的. 不同畸变程度下相同点的温度结果见表1.(a) γ = 0.1(b) γ = 0.3(c) γ = 0.5(d) γ = 0.7(e) γ = 0.9el图 4 网格畸变方案Fig. 4 Mesh distortion schemes1.0γ(a) 温度 u 的相对误差0.10.20.30.40.50.60.70.80.90.80.60.40.20Point 1 (0.050, 0.025)Point 2 (0.025, 0.025)Point 3 (0.035, 0.075)Point 4 (0.075, 0.075)Point 5 (0.015, 0.045)γ(b) 热流分量 q x 的相对误差0.10.20.30.40.50.60.70.80.94.03.53.02.52.01.51.00.50Point 1 (0.050, 0.025)Point 2 (0.025, 0.025)Point 3 (0.035, 0.075)Point 4 (0.075, 0.075)Point 5 (0.015, 0.045)q x 图 5 温度u 和热流分量的相对误差u q xFig. 5 Relative errors of temperature and heat flux component综上表明，该方法具有对网格畸变不敏感的优点. 将利用有限元软件ABAQUS 在划分841个单元网格时的计算结果作为参考解，杂交基本解有限元法在16个单元网格下的计算结果与之对比，两者能够较好地吻合，如图6所示.4.2 带圆孔的三角陀螺区域内的热传导在此算例中，研究包含圆孔的三角陀螺域的热传导，如图7所示. 模型中，圆孔半径0.1，小弧半径0.1，大弧半径0.4. 外边界上给定温度为u = 20，内边界上给定温度为u = 0. 考虑两种网格划分，分第 4 期仇文凯 等：基于杂交基本解的正交各向异性材料热传导问题有限元法· 309 ·k 11=1k 22=3别包含147和1 960个四节点四边形单元. 材料的导热系数为和. 三角陀螺域的温度云图如图8所示. 在粗网格下（含147个单元），杂交基本解有限元计算结果与ABAQUS 计算结果相差不大. 而与1 960个单元下的ABAQUS 计算结果相比，该方法可以在不牺牲精度的前提下，用粗网格（147个单元）计算出几乎相同的结果，这表明了该方法的有效性.q x q y 热流分量和云图分别如图9和图10所示.结果表明，用147个单元的杂交基本解有限元计算结果与用1 960个单元的ABAQUS 解更接近.对比表明，在相同条件下杂交基本解有限元法表现出更好的性能.5 结　语本文利用基于杂交基本解有限元法研究正交各向异性介质中的热传导问题. 该方法采用基本解的线性组合来近似单元域内的温度场，并引入定义在单元边界上的网线场来保证单元间的连续性. 借鉴文献[10 − 12]的工作，构建正交各向异性热传导问题的基本解，通过修正变分泛函，将两个假定的温度场关联起来，并利用高斯散度定理和驻值定理，从而导得单元刚度方程. 该方法在处理一些工程问题和物理问题时，由于其高效灵活的特点受到广泛关注和应用.数值算例表明，该方法具有计算精度高，对网格畸变不敏感且收敛速度快的优势. 虽然该方法解决了稳态正交各向异性热传导问题，但是仍然可以方便地推广至瞬态情形.表 1 不同网格畸变下选定5个点的温度结果Table 1 Results of temperatures at selected five points under different mesh distortions坐标γ=0γ=0.1γ=0.3γ=0.5γ=0.7γ=0.9(0.05,0.025) 5.077 8 5.077 1 5.078 8 5.080 9 5.080 1 5.059 6(0.025,0.025) 2.538 6 2.547 8 2.550 8 2.552 5 2.552 3 2.548 7(0.035,0.075) 3.636 1 3.639 3 3.633 2 3.643 9 3.647 1 3.626 8(0.075,0.075)7.627 57.620 57.628 07.621 67.627 57.635 6(0.015,0.045)1.541 51.540 81.540 11.543 01.547 21.550 9NT1110.0009.1678.3337.5006.6675.8335.0004.1673.3332.5001.6670.8330.000(a) ABAQUS 841网格(b) HFS-FEM 16网格10.0009.1678.3337.5006.6675.8335.0004.1673.3332.5001.6670.8330.000图 6 方形区域温度云图Fig. 6 Cloud maps of temperature in square domainu = 20147网格1 960网格u = 0R 1R 2R 3xy图 7 三角陀螺域，边界条件及有限元网格Fig. 7 Trigonometric gyroscopic domain, boundary conditionsand finite element mesh· 310 ·上 海 工 程 技 术 大 学 学 报第 34 卷(a) ABAQUS 147网格(b) HFS-FEM 147网格(c) ABAQUS 1 960网格20.000NT11NT1118.33316.66715.00013.33311.66710.0008.3336.6675.0003.3331.6670.00020.00018.33316.66715.00013.33311.66710.0008.3336.6675.0003.3331.6670.00020.00018.33316.66715.00013.33311.66710.0008.3336.6675.0003.3331.6670.000图 8 三角陀螺域温度云图Fig. 8 Cloud maps of temperature in the trigonometric gyroscopic domain(a) ABAQUS 147网格(b) HFS-FEM 147网格(c) ABAQUS 1 960网格315.036260.176205.316150.45595.59540.735−14.125−68.986−123.846−178.706−233.566−288.426−343.287387.894323.319258.744194.168129.59365.0180.443−64.133−128.708−193.283−257.859−322. 434−387.009387.894323.319258.744194.168129.59365.0180.443−64.133−128.708−193.283−257.859−322.434−387.009HFL, HFL1(Avg: 75%)HFL, HFL1(Avg: 75%)图 9 三角陀螺域热流分量q x 云图q x Fig. 9 Cloud maps of heat flux component in the trigonometric gyroscopic domain第 4 期仇文凯 等：基于杂交基本解的正交各向异性材料热传导问题有限元法· 311 ·参考文献：WANG H, QIN Q H. Hybrid FEM with fundamentalsolutions as trial functions for heat conduction simulation ［J ］ . Acta Mechanica Solida Sinica ，2009，22（5）：487 − 498.［ 1 ］GAO X W. A meshless BEM for isotropic heat conductionproblems with heat generation and spatially varying conductivity ［J ］ . International Journal for Numerical Methods in Engineering ，2006，66（9）：1411 − 1431.［ 2 ］KASSAB A J, DIVO E. A generalized boundary integralequation for isotropic heat conduction with spatially varying thermal conductivity ［J ］ . Engineering Analysis with Boundary Elements ，1996，18（4）：273 − 286.［ 3 ］WANG Z, YAN P, GUO Z, et al. BEM/FDM conjugateheat transfer analysis of a two-dimensional air-cooled turbine blade boundary layer ［J ］ . Journal of Thermal Science ，2008，17（3）：199 − 206.［ 4 ］DUDA P, Institute of Thermal Power Engineering, Facultyof Mechanical Engineering, et al. Finite element method formulation in polar coordinates for transient heat conduction problems ［J ］ . Journal of Thermal Science ，［ 5 ］2016，25（2）：188 − 194.MERA N S, ELLIOTT L, INGHAM D B, et al. Acomparison of boundary element method formulations for steady state anisotropic heat conduction problems ［J ］ .Engineering Analysis with Boundary Elements ，2001，25（2）：115 − 128.［ 6 ］PEREZ M M, WROBEL L C. Use of isotropicfundamental solutions for heat conduction in anisotropic media ［J ］ . International Journal of Numerical Methods for Heat and Fluid Flow ，1993，3（1）：49 − 62.［ 7 ］GAO X W. Source point isolation boundary elementmethod for solving general anisotropic potential and elastic problemswithvaryingmaterialproperties ［J ］.Engineering Analysis with Boundary Elements ，2010，34（12）：1049 − 1057.［ 8 ］WANG H M, QIN Q H, KANG Y L. A new meshlessmethod for steady-state heat conduction problems in anisotropic and inhomogeneous media ［J ］ . Archive of Applied Mechanics ，2005，74（8）：563 − 579.［ 9 ］PEREZ M M, WROBEL L C. A general integral equationformulation for homogeneous orthotropic potential problems ［J ］ . Engineering Analysis with Boundary［10］763.936661.674559.412457.151354.889252.627150.36548.104−54.158−156.420−258.682−360.944−463.205821.233710.815600.397489.980379.562269.144158.72748.309−62.109−172.526−282. 944−393.362−503.780821.233710.815600.397489.980379.562269.144158.72748.309−62.109−172.526−282 944−393.362−503.780HFL, HFL2(Avg: 75%)HFL, HFL2(Avg: 75%)(a) ABAQUS 147网格(b) HFS-FEM 147网格(c) ABAQUS 1 960网格图 10 三角陀螺域热流分量q y 云图q y Fig. 10 Cloud maps of heat flux component in trigonometric gyroscopic domain· 312 ·上 海 工 程 技 术 大 学 学 报第 34 卷Elements ，1992，10（4）：323 − 332.DIVO E, KASSAB A J. A generalized boundary-elementmethod for steady-state heat conduction in heterogeneous anisotropic media ［J ］ . Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals ，1997，32（1）：37 − 61.［11］ZHOU H L, TIAN Y, YU B, et al. The natural boundaryintegral equation of the orthotropic potential problem ［J ］ .Engineering Analysis with Boundary Element ，2016，62：186 − 192.［12］JIROUSEK J, LEON N. A powerful finite element forplate bending ［J ］ . Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering ，1977，12（1）：77 − 96.［13］WANG K Y, ZHANG L Q, LI P C. A four-node hybrid-Trefftz annular element for analysis of axisymmetric potential problems ［J ］ . Finite Elements in Analysis and Design ，2012，60：49 − 56.［14］王克用, 岑皓, 李培超. 位势问题Trefftz 有限元法的研究进展［J ］ . 上海工程技术大学学报，2017，31（3）：204 −209.［15］WANG K Y. A four-node hybrid-Trefftz plane elasticityelement with fundamental analytical solutions ［J ］ .Advanced Materials Research ，2011，279：194 − 199.［16］SHE Z, WANG K Y, LI P C. Hybrid Trefftz polygonalelements for heat conduction problems withinclusions/voids ［J ］ . Computers & Mathematics with Applications ，2019，78（6）：1978 − 1992.［17］SHE Z, WANG K Y, LIU H. Thermal analysis of ellipticalfiber-reinforced composites by the hybrid Trefftz finite element method ［J ］ . International Journal of Heat and Mass Transfer ，2019，144：118596.［18］WANG K Y, QIN Q H, KANG Y L, et al. A directconstraint-Trefftz FEM for analysing elastic contact problems ［J ］ . International Journal for Numerical Methods in Engineering ，2005，63（12）：1694 − 1718.［19］ZHOU J C, WANG K Y, LI P C, et al. Hybrid fundamentalsolution based finite element method for axisymmetric potential problems ［J ］ . Engineering Analysis with Boundary Elements ，2018，91：82 − 91.［20］高可乐, 王克用. 轴对称热弹性问题杂交基本解Trefftz有限元分析［J ］ . 上海工程技术大学学报，2020，34（1）：54 − 58, 75.［21］WANG K Y, HUANG Z M, LI P C, et al. Trefftz finiteelement analysis of axisymmetric potential problems in orthotropic media ［J ］ . Applied Mathematics and Mechanics ，2013，34（5）：462 − 469.［22］WANG K Y, LI P C, WANG D Z. Trefftz-type FEM forsolving orthotropic potential problems ［J ］ . Latin American Journal of Solids and Structures ，2014，11（14）：2537 − 2554.［23］王克用, 李培超. 变系数位势问题的Trefftz 有限元法［J ］ . 上海工程技术大学学报，2014，28（1）：58 − 62,67.［24］刘博, 王克用, 王明红. 轴对称Poisson 方程的Trefftz 有限元解法［J ］ . 应用数学和力学，2015，36（2）：140 − 148.［25］KOMPIŠ V, BÚRY J. Hybrid-Trefffz finite elementformulations based on the fundamental solution [C ] //Proceedings of IUTAM Symposium on Discretization Methods in Structural Mechanics, Solid Mechanics and its Applications. Dordrecht: Springer, 1999: 181-187.［26］高可乐, 王克用, 李培超. 考虑体力的轴对称弹性问题杂交基本解有限元法［J ］ . 轻工机械，2020，38（1）：5 − 11,17.［27］CAO L L, WANG H, QIN Q H. Fundamental solutionbased graded element model for steady-state heat transfer in FGM ［J ］ . Acta Mechanica Solida Sinica ，2012，25（4）：377 − 392.［28］（编辑：韩琳）第 4 期仇文凯 等：基于杂交基本解的正交各向异性材料热传导问题有限元法· 313 ·。

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递进或阶越选项：如果定义阶越(stepped)选 项，载荷值在这个载荷步内保持不变；如 果 为 递 进 (ramped) 选 项 ， 则 载 荷 值 由 上 一 载荷步值到本载荷步值随每一子步线性变 化。
3 稳态传热分析 (1)、稳态传热的定义 (2)、热分析的单元 (3)、ANSYS稳态热分析的基本过程 练习
4 瞬态传热分析 (1)、瞬态传热分析的定义 (2)、瞬态热分析的单元及命令 (3)、ANSYS瞬态热分析的主要步骤
1、建模 2、加载求解 3、后处理
Command Family: F GUI ： Main Menu>Solution>-Loads-Apply>-Thermal-
Heat Flux
e、生热率
生热率作为体载施加于单元上，可以模拟化 学反应生热或电流生热。它的单位是单位 体积的热流率。
Command Family: BF GUI ： Main Menu>Solution>-Loads-Apply>-
温度; 热流率; 热流密度; 对流; 辐射; 绝热; 生热。
8、热分析误差估计
· 仅用于评估由于网格密度不够带来的误差； · 仅适用于SOLID或SHELL的热单元（只有温
度一个自由度）； · 基于单元边界的热流密度的不连续； · 仅对一种材料、线性、稳态热分析有效； · 使用自适应网格划分可以对误差进行控制。

[C]{ }+[K]{T}={Q}
式中: [K]为传导矩阵，包含导热系数、对流 系数及辐射率和形状系数；
[C]为比热矩阵,考虑系统内能的增加;
{T}为节点温度向量；
{ }为温度对时间的导数;

瞬态热传导问题的数值模拟方法一、瞬态热传导问题概述瞬态热传导问题是指在热力学系统中，物体内部的温度随时间变化的现象。

这种现象在工程和科学研究中非常常见，涉及到材料的热处理、电子设备的散热、建筑的保温等多个领域。

瞬态热传导问题的研究不仅可以帮助我们更好地理解热传递的基本原理，还能为实际工程问题的解决提供理论支持和方法指导。

1.1 瞬态热传导问题的基本特性瞬态热传导问题的基本特性包括温度随时间的变化、热流的传播方式以及物体内部的温度分布。

温度随时间的变化是瞬态热传导问题的核心特征，它决定了热传导过程的动态特性。

热流的传播方式则涉及到热传导、热对流和热辐射等多种方式，这些方式共同作用于物体内部，影响其温度分布。

物体内部的温度分布则是瞬态热传导问题研究的重点，它直接关系到热传导过程的效率和效果。

1.2 瞬态热传导问题的应用场景瞬态热传导问题的应用场景非常广泛，包括但不限于以下几个方面：- 材料热处理：在金属材料的热处理过程中，瞬态热传导问题的研究可以帮助控制材料的微观结构和性能。

- 电子设备散热：在电子设备的散热设计中，瞬态热传导问题的研究有助于优化散热方案，提高设备的稳定性和可靠性。

- 建筑保温：在建筑保温设计中，瞬态热传导问题的研究可以指导保温材料的选择和应用，提高建筑的节能效果。

二、瞬态热传导问题的数学模型瞬态热传导问题的数学模型是研究该问题的基础。

通过建立准确的数学模型，可以模拟和分析热传导过程中的温度变化和热流传播。

数学模型的建立通常包括以下几个步骤：2.1 热传导方程的建立热传导方程是描述热传导过程的基本方程，通常采用傅里叶定律进行描述。

傅里叶定律指出，单位时间内通过单位面积的热流量与该处的温差成正比。

通过引入热扩散率和初始条件，可以建立热传导方程的一般形式。

2.2 边界条件的确定边界条件是热传导方程求解的关键因素之一。

根据热传导问题的具体场景，边界条件可以是温度边界条件、热流边界条件或混合边界条件。

瞬态热传导方程含义
摘要：
1.瞬态热传导方程的定义
2.瞬态热传导方程在工程领域中的应用
3.求解瞬态热传导方程的方法
4.瞬态热传导方程在实际问题中的案例分析
5.瞬态热传导方程对我国工程技术发展的影响
正文：
瞬态热传导方程是描述固体材料内部热量传递过程的偏微分方程。

在工程领域中，瞬态热传导方程广泛应用于材料的热处理、电子散热、建筑节能等方面。

通过求解瞬态热传导方程，可以预测和优化材料在不同温度下的性能，为实际工程问题提供理论指导。

求解瞬态热传导方程的方法主要有有限差分法、有限元法、矩方法等。

这些方法各有优缺点，适用于不同的问题和场景。

例如，有限差分法适用于边界条件简单的问题，而有限元法则适用于复杂几何结构的问题。

在实际问题中，瞬态热传导方程的求解具有重要意义。

例如，在电子散热问题中，瞬态热传导方程可以帮助工程师优化散热器的结构，提高电子产品的可靠性和使用寿命。

在建筑节能领域，瞬态热传导方程可以指导建筑师设计保温性能更好的建筑结构，降低能源消耗。

瞬态热传导方程在我国工程技术发展中发挥了重要作用。

随着我国工程技术水平的不断提高，对瞬态热传导方程的研究和应用也将更加深入。

Kg/m3
lbm/ft3
DENS
比热
J/Kg-℃
BTU/lbm-oF
C
焓
J/m3
BTU/ft3
ENTH
表征物体吸收的热量，为一个体系的内能与体系的体积和外界施加于体系的压强的乘积之和
PPT课件
Them-12
第二讲、传热学经典理论回顾
PPT课件
Them-13
第三讲、热传递的方式
Definition
1. ..... 2. ..... 3. .....
Procedure
ANSYS热分析可分为三个步骤： · 前处理： 建模 · 求解： 施加载荷计算 · 后处理： 查看结果
PPT课件
Them-25
稳态热分析步骤一：建模
①、确定jobname、title、unit； ②、进入PREP7前处理，定义单元类型，设定单元选项； ③、定义单元实常数； ④、定义材料热性能参数，对于稳态传热，一般只需定义导热
热分析涉及到的单元有大约40种，其中纯粹用于热分析的有14种：
线性： LINK32
两维二节点热传导单元
LINK33
三维二节点热传导单元
LINK34
二节点热对流单元
LINK31
二节点热辐射单元
二维实体：PLANE55
四节点四边形单元
PLANE77
八节点四边形单元
PLANE35
三节点三角形单元
PLANE75
Lesson Objectives
第一讲、符号与单位 第二讲、传热学经典理论回顾 第三讲、热传递的方式 第四讲、稳态传热 第五讲、瞬态传热 第六讲、线性与非线性 第七讲、边界条件、初始条件 第八讲、热分析误差估计