《高斯消元法简介》教案
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高斯消元法(完整)高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型,这些模型中方程和未知量个数常常有多个,而且方程个数与未知量个数也不一定相同。
那么这样的线性方程组是否有解呢?如果有解,解是否唯一?若解不唯一,解的结构如何呢?这就是下面要讨论的问题。
一、线性方程组设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m11112211211222221122+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ (3.1) 其中系数a ij ,常数b j 都是已知数,x i 是未知量(也称为未知数)。
当右端常数项b 1,b 2, …, b m 不全为0时,称方程组(3.1)为非齐次线性方程组;当b 1=b 2= … =b m = 0时,即a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ (3.2) 称为齐次线性方程组。
由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组(k 1, k 2, …, k n ),如果将它们依次代入方程组(3.1)中的x 1, x 2, …, x n 后,(3.1)中的每个方程都变成恒等式,则称这个有序数组(k 1, k 2, …, k n )为方程组(3.1)的一个解。
显然由x 1=0,x 2=0, …, x n =0组成的有序数组(0, 0, …, 0)是齐次线性方程组(3.2)的一个解,称之为齐次线性方程组(3.2)的零解,而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时,称之为非零解。
(利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。
因此,我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。
c 课程设计(高斯消元一、教学目标本节课的学习目标主要包括以下三个方面:1.知识目标:学生需要掌握高斯消元法的基本原理和步骤,了解其在我国数学发展史上的地位和应用。
2.技能目标:学生能够运用高斯消元法解决二元一次方程组和三元一次方程组的问题,提高解题能力。
3.情感态度价值观目标:通过学习高斯消元法,培养学生对数学的兴趣和热爱,增强民族自豪感,激发学生积极探索数学奥秘的热情。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括以下三个方面:1.高斯消元法的原理与步骤:介绍高斯消元法的起源、发展及其基本原理,讲解消元法的具体步骤。
2.高斯消元法的应用:通过例题讲解,让学生掌握高斯消元法在解决二元一次方程组和三元一次方程组中的应用。
3.高斯消元法在我国数学发展史上的地位:介绍高斯消元法在我国数学研究中的应用和地位,激发学生的民族自豪感。
三、教学方法为了提高教学效果,本节课将采用以下几种教学方法:1.讲授法:讲解高斯消元法的原理、步骤及其应用,让学生掌握基本知识。
2.案例分析法:通过分析典型例题,让学生学会如何运用高斯消元法解决问题。
3.讨论法:学生分组讨论,培养学生的合作精神和解决问题的能力。
4.实验法:让学生动手实践,体会高斯消元法的实际应用,提高学生的操作能力。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施,本节课将准备以下教学资源:1.教材:选用国内权威的数学教材,为学生提供系统的学习资料。
2.参考书:推荐学生阅读相关数学参考书,丰富学生的知识体系。
3.多媒体资料:制作课件、动画等多媒体资料,直观展示高斯消元法的原理和应用。
4.实验设备:准备足够的计算机和数学软件,让学生进行实践操作。
五、教学评估为了全面、客观地评估学生的学习成果,本节课将采用以下几种评估方式:1.平时表现:通过观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等方式,了解学生的学习态度和掌握程度。
2.作业:布置与高斯消元法相关的练习题,要求学生在规定时间内完成,以此评估学生的理解程度和应用能力。
《高斯消元法简介》教案一、教学目标知识与技能:了解高斯消元法过程与方法:直接演示说明,学习做简单练习情感,态度和价值观:进一步体会解方程组的根本思想消元,通过高斯消元的学习增强学习数学的能力二、重点与难点:高斯消元法三、课型新授课四、教学过程:1.在前面的几节课,已经用加减消元和代入消元法求解二元或者三元一次方程组,其基本的思想就是从已知的方程导出未知数较少的方程组,直到最后得到一个一元一次方程,这种做法可适用于一般的n 元线性方程组(线性方程组),但是由于未知数的增加,我们希望我们的消元是有规律的,以避免混乱,下面介绍高斯消元法2.例1:解方程组1234123412341234251027612632517315292763x x x x x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪-++-=⎪⎨---=⎪⎪--++=-⎩解:把第一个方程的2倍,-3倍,5倍分别加到第2,3,4个方程上,可以消去2,3,4个方程的未知数1x12342342342342510 522226 2 17213x x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪+-=⎪⎨+-=⎪⎪--+=-⎩为了使以后少出现分数运算,交换第二,三个方程的位置12342342342342510 2 1 5222267213x x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪+-=⎪⎨+-=⎪⎪--+=-⎩把第2个方程的-5倍,7倍分别加到第3,4个方程,可以消去第3,4个方程未知数2x 123423434342510 2 1 312216126x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪+-=⎪⎨--=⎪⎪-=-⎩整理一下方程,第3个方程的左右两边乘以13-,第4个方程左右两边乘以16 123423434342510 2 1 4721x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪+-=⎪⎨+=-⎪⎪-=-⎩把第3个方程的-1倍加到第4个方程,可以消去第4个方程的未知数3x12342343442510 2 1 4766x x x x x x x x x x ---=⎧⎪+-=⎪⎨+=-⎪⎪-=⎩把第4个方程两边除以-612342343442510 2 1 471x x x x x x x x x x ---=⎧⎪+-=⎪⎨+=-⎪⎪=-⎩把第4个方程41x =-的5,2,-4分别加到第1,2,3个方程12323342 5 1 31x x x x x x x --=⎧⎪+=-⎪⎨=-⎪⎪=-⎩把第3个方程33x =-的2倍,-1倍分别加到第1,2个方程12234 1 2 31x x x x x -=-⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=-⎩把第2个方程的1倍加到第一个方程1234 1 2 31x x x x =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=-⎩所以这个方程组的解是12341231x x x x =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=-⎩说明:①以上自上而下求解方程组的过程就是高斯消元法利用高斯消元法任意的n 元一次方程组都是可以有规律的得以求解②消元时要注意要让每一个方程的主元(第一个未知数的系数为1,以便消元)③注意未知数的位置*高斯消元法其实在我国的数学著作《九章算术》中早就有记载,叫高斯消元法西方人的叫法,实际比九章算术晚了1000多年2.练习:利用高斯消元法解方程组(1)2334x y x y +=⎧⎨+=⎩;(2)3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩.解:略3.练习:利用高斯消元法解方程组6342312x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩4. 练习:利用高斯消元法解方程组(1)12341234123413423434622333 223x x x x x x x x x x x x x x x -++=-⎧⎪+-+=⎪⎨-+-=⎪⎪++=⎩;(2)12341234123234236 =72 =13x x x x x x x x x x x x x x -+-=-⎧⎪+-+⎪⎨-+⎪⎪++=⎩.解:略123455(1)81x x x x =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩,()123447204x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩数学家【人物介绍】物理学家、数学家卡尔·弗里德里希·高斯高斯[1](Johann Carl Friedrich Gauss )(1777年4月30日—1855年2月23日),生于不伦瑞克,卒于哥廷根,德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。
高斯消元法和高斯约旦消元法1. 走进高斯的世界说到高斯消元法和高斯约旦消元法,可能很多人会皱眉头,觉得这俩名字听起来像是外星语言,别担心,我来给你说说它们的故事!高斯消元法,这个名字起源于一个名叫高斯的德国数学家,他可是个大牛,很多数学理论都跟他有关系。
简单来说,这个方法就是通过一系列的行变换,把一个复杂的方程组变得简单,像是把一团乱麻理顺一样。
你想想,要是你有一堆衣服没洗,怎么办?先把它们分类嘛,先洗白色的,再洗深色的。
高斯消元法就是这样的思路,把复杂的方程一层层剥开,变得清清爽爽。
1.1 高斯消元法的基本步骤高斯消元法的第一步,就是把方程组写成增广矩阵。
这就好比你先把所有的衣服放进洗衣机,然后设置洗涤程序。
接下来,我们需要通过初等行变换来消元,简单来说,就是把某一行的某个元素变成零,降低方程的复杂度。
举个例子,假设你在解一个关于小猫、小狗和小鸟的方程,可能有点乱,想象一下你在这场宠物大战中,用高斯消元法把小猫的数量化简,最后只剩下小狗和小鸟。
听起来是不是挺有趣的?1.2 优点与缺点不过呢,高斯消元法也不是没有缺点。
有时候,如果方程组的系数很小,可能会出现计算误差,哎呀,这就像你去买菜,发现蔬菜价格涨了,结果买了个大葱,回家发现还得换!而且,处理大规模的方程组时,高斯消元法可能会变得很麻烦,毕竟事情一多,难免会出现小差错。
不过,总体来说,它还是个好帮手,尤其是在基础学习阶段,帮助我们理解线性方程组的奥秘。
2. 高斯约旦消元法的魅力说完高斯消元法,咱们得提提高斯约旦消元法。
这个名字听起来似乎比前者还复杂,但其实它是高斯消元法的“进阶版”。
想象一下,你刚学会了骑自行车,突然来了个高级骑行课程,那就是高斯约旦消元法!这个方法的关键在于把矩阵变成简化的行阶梯形式,最终实现每一列都能得到标准基,哇,听起来好高级对吧?2.1 高斯约旦消元法的操作高斯约旦消元法同样也要写出增广矩阵,但在消元的过程中,不仅仅是把下面的元素变成零,还要把主对角线的元素变成1,甚至有时候还要把上面的元素也处理成零。
高斯消元法3 高斯消元法高斯消元法以著名德国数学家Carl Friedrich Gauss(1777-1855)命名. Gauss被认为是历史上最重要的数学家之一,他在数学的众多分支,如数论、代数、分析、微分几何等以及统计学、物理学、天文学、大地测量学、地理学、电磁学、光学等领域都有重要的贡献. Gauss还享有“数学王子”的美誉.值得一提的是,这种解线性方程组的消元法最早出现在中国古代数学著作《九章算术》中,相关内容在大C. F. Gauss约公元前150年前就出现了.先看简单的例子:例3.1例3.2问:什么时候消元法停止呢?例3.3例3.4无解无穷多解小结:若消元过程中出现或则消元法中止.线性方程组的解有下列三种情况:1.有唯一解;2.无解;3.有无穷多解.有唯一解行图:两直线相交,有唯一交点列图:两列向量不共线无解行图:两直线平行,无交点列图:两列向量共线有无穷多解行图:两直线重合列图:两列向量共线例3.5上述求解过程可以推广到含个未知量个方程的情形.Gauss消元法的步骤:(1) 若方程组的第一个主元位置为则交换方程以得到第一个主元;(2) 用第一个方程的倍数消去第一个主元下方所有系数;(3) 确定第二个主元,继续以上消元过程;(4) 最后得到含一个未知量的方程,回代得方程组的解.个方程有个主元方程组有唯一解.消元中止方程组无解或有无穷多解(即出现或).例3.6个方程个未知量消元法成功个主元•若将系数矩阵第二行第二列元素由换成则消元法第二步要暂停,需先交换第二三行.•若将系数矩阵第三行第三列元素由换成则消元法中止,得不到第三个主元.个方程个未知量时,消元法成功是可逆上三角阵是可逆矩阵.已用来描述线性方程组.目标:用尽可能简洁的方式来描述对方程组消元化简的过程.回顾:设为行列的方阵, 为维向量.矩阵乘向量特别,的第个分量再看例3.6消元法第一步:第二个方程减去第一个方程的倍.我们想用一个矩阵实现这步消元.消元法第二步:第三个方程减去第二个方程的倍.•恰是单位矩阵的第二行减去第一行的倍得到的.•恰是单位矩阵的第三行减去第二行的倍得到的.称这样的矩阵为消去矩阵(elimination matrix), 这是一类初等矩阵(elementary matrix).注:单位矩阵(identity matrix) 与任何维向量相乘需定义矩阵与的乘法运算, 使上式成立.这种运算需满足定义:验证:••小结:消去过程消去矩阵同时左乘系数矩阵和常数项3.2 消元法的矩阵表示:置换阵若主元位置为零,需先交换方程再换元.再看例3.5交换第一、二方程交换第一、二行问:是否存在矩阵使3.2 消元法的矩阵表示:置换阵•满足要求.•为单位矩阵交换第一、二行得到的.•将单位阵的第行交换得到的矩阵是置换阵(permutation matrix).小结:将矩阵的第行交换.对方程组, 消元法涉及以下三种同解变形:(1)把一个方程减去另一个方程的倍数;(2)交换两个方程;(3)用一个非零数乘一个方程.相应地对增广矩阵作以下三种行变换:(1)把一行减去另一行的倍数;(2)交换两行;(3)用一个非零数乘一行.由单位矩阵经过一次初等行变换得到的矩阵称为初等矩阵.例:为初等矩阵.对线性方程组作消元法,实质上是对矩阵作消元或换行.称矩阵为增广矩阵(augmented matrix).例:计算小结:对线性方程组的消元过程,即为一系列初等矩阵左乘增广矩阵例3.7 令为三阶矩阵.则的第二行减去第一行的倍.的第二行与第三行交换.小结:“左乘换行,右乘换列”.的第一列减去第二列的倍的第二列与第三列交换。
高斯消元法与线性方程组的解集一、高斯消元法概述1.高斯消元法的定义:高斯消元法是一种解决线性方程组的数学方法,通过一系列的行操作将线性方程组的矩阵转化为梯形矩阵或行简化阶梯形矩阵,从而求出线性方程组的解。
2.高斯消元法的步骤:a.选取主元,将矩阵的第一列元素变为非负数;b.进行行消元,将矩阵的后续列元素化为0;c.重复上述操作,直至整个矩阵转化为梯形矩阵或行简化阶梯形矩阵。
二、线性方程组的概念及分类1.线性方程组的定义:线性方程组是由多个线性方程构成的方程组,其未知数的次数均为1。
2.线性方程组的分类:a.二元线性方程组:包含两个未知数和两个方程的线性方程组;b.三元线性方程组:包含三个未知数和三个方程的线性方程组;c.多元线性方程组:包含四个或四个以上未知数和方程的线性方程组。
三、线性方程组的解集1.线性方程组的解集概念:线性方程组的解集是指所有满足方程组的解的集合。
2.线性方程组的解集特点:a.线性方程组的解集为非空集合;b.线性方程组的解集具有封闭性;c.线性方程组的解集满足叠加原理。
四、高斯消元法在求解线性方程组中的应用1.利用高斯消元法将线性方程组化为行简化阶梯形矩阵;2.通过对行简化阶梯形矩阵进行回代,求出线性方程组的解集。
五、高斯消元法的拓展1.高斯消元法的变形:高斯-若尔当消元法和列主元高斯消元法;2.高斯消元法在求解线性方程组中的应用:高斯消元法不仅可以求解线性方程组,还可以求解线性方程组的逆矩阵、线性变换等问题。
六、线性方程组的解集与高斯消元法的关系1.高斯消元法可以求解线性方程组的解集;2.线性方程组的解集的性质可以通过高斯消元法进行验证;3.高斯消元法的算法效率与线性方程组的解集的性质有关。
综上所述,高斯消元法是一种有效的求解线性方程组的方法,通过对线性方程组进行行操作,可以求出其解集。
同时,线性方程组的解集的性质与高斯消元法有着密切的关系。
习题及方法:1.习题:已知线性方程组:2x + 3y - z = 74x - y + 5z = 25x + 2y - 3z = 0求该线性方程组的解集。