《双曲线的参数方程》(优质课)

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高中数学 2.2.2双曲线的参数方程课件新人教A版选修4-4

答案;60°
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6
题型二双曲线参数方程应用
例 2 求点 M0(0，2)到双曲线 x2－y2＝1 的最小距离(即双曲线上
任一点 M 与点 M0 距离的最小值)．
栏
分析：点 M0 与双曲线上任一点 M 距离可转化为一个函数关系式目链
接
来进一步研究求解．
解析：把双曲线方程化为参数方程x＝sec y＝tan
由题意知|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|. |O1Q|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2
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9
析疑难
提
能
力栏目链
接
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10
θ， θ (θ 为参数)，
设双曲线上动点为 M(sec θ，tan θ)，则
|M0M|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2
完整版பைடு நூலகம்pt
7
＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)
＝2tan2θ－4tan θ＋5
＝2(tan θ－1)2＋3，
栏
目
当 tan θ－1＝0，即 θ＝π4 时，|M0M|2 取最小值 3，此时有|M0M|
链接
＝ 3.
即点 M0 到双曲线的最小距离为 3.
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8
►变式训练
2．已知圆 O1：x2＋(y－2)2＝1 上一点 P 与双曲线 x2－y2＝1 上一
点 Q，求 P，Q 两点间距离的最小值．
栏
点拨：先求圆心
O1
与点
Q
的距离的最小值，再利用圆的性质得目
链
出 PQ 的最小值．
接
解析：设 Q(sec θ，tan θ)，
2．2.2 双曲线的参数方程

2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程抛物线的参数方程课件(人教A选修4-4)

x2 y2 设椭圆a2＋b2＝1，∴a＝5，c＝4，b＝3. x2 y2 ∴方程为25＋ 9 ＝1. 设椭圆上一点 P(5cos θ，3sin θ)，双曲线一渐近线为 3x－4y＝0， |3×5cos θ－12sin θ| ∴点 P 到直线的距离 d＝ 5 3| 41sin θ－φ| 5 ＝ (tan φ＝4)． 5 3 41 ∴dmax＝ 5 .
[通一类] 2．已知抛物线
x＝2t2 C： y＝2t
(t 为参数)，设 O 为坐标原点，点 M
在抛物线 C 上，且点 M 的纵坐标为 2，求点 M 到抛物线焦点的距离．
x＝2t2 解：由 y＝2t
，得 y2＝2x，即抛物线的标准方程为 y2＝2x.
又∵M 点的纵坐标为 2，∴M 点的横坐标也为 2. 即 M(2,2)． 1 又∵抛物线的准线方程为 x＝－2. 1 1 5 ∴由抛物线的定义知|MF|＝2－(－2)＝2＋2＝2. 5 即点 M 到抛物线焦点的距离为2.
[研一题] [例 2] 连结原点 O 和抛物线 2y＝x2 上的动点 M，延长 OM
到 P 点，使|OM|＝|MP|，求 P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．
[精讲详析]

本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用．解
答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出 M、P 的坐标，然后借助中点坐标公式求解．
[悟一法] 对于同一个方程，确定的参数不同，所表示的曲线就不同，当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．
[通一类]
x＝ 5cos 3．(2011· 广东高考)已知两曲线参数方程分别为 y＝sin θ
θ
5 x＝ t2 4 (0≤θ≤π)和 (t∈R)，它们的交点坐标为___________． y＝t

高中数学第二讲二圆锥曲线的参数方程 2-3 双曲线的参数方程抛物线的参数方程课件新人教A版

方程是xy＝＝abstaecn
φ， φ
(φ 为参数)．
2．抛物线的参数方程
(1)抛物线 y2参数)． (2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与
原点连线的斜率的倒数．
双曲线、抛物线参数方程的基本问题
[例 1] (1)双曲线xy＝＝62se3ctαan α， (α 为参数)的焦点坐标是
＝(sec2 θ＋2 2sec θ＋2＋tan2θ)(sec2 θ－2 2sec θ＋2＋tan2θ) ＝( 2sec θ＋1)2( 2sec θ－1)2 ＝(2sec2 θ－1)2. 又|OP|2＝sec2 θ＋tan2θ＝2sec2 θ－1，由此得|F1P|·|F2P|＝|OP|2.
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
_______．
x＝tan t，
(2)将方程y＝11－＋ccooss
2t 2t
(t 为参数)化为普通方程是_______．
[思路点拨] (1)可先将方程化为普通方程求解；
(2)利用代入法消去 t.
[解析] (1)将xy＝＝62se3ctαan α，化为3y62 －1x22＝1，可知双曲线焦点在 y 轴，且 c＝ 36＋12＝4 3，故焦点坐标是(0，±4 3)． (2)由 y＝11－＋ccooss 22tt＝22csions22tt＝tan2t，将 tan t＝x 代入上式，得 y＝x2，即为所求方程． [答案] (1)(0，±4 3)；(2)y＝x2
的距离是8，那么P到它的左焦点距离是________．
解析：由双曲线参数方程可知a＝1，
故P到它左焦点的距离|PF|＝10或|PF|＝6.
答案：10或6

人教版数学高二-《双曲线参数方程》同步课件人教

(是参数,
2
)
2
表示什么曲线?画出图形.
2021/5/12
5
3.若双曲线
x2 a2
y2 b2
1(b
a
0)上有两点A, B与它的
中心的连线互相垂直.
求证:
1 |OA|2
1 |OB|2
为定值.
2021/5/12
6
)
•
sin2
=
a2 2
•
tan
a2 2
•
b a
ab . 2
由2此02可1/5见/12，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。4
练习:
1.已知参数方程
x t1 t
y t 1 (t 是参数, t >0)
t
化为普通方程,画出方程的曲线.
2.参数方程
x y
a sec b tan
通常规定 [o,2 )且
，
3
。
b
22
说明：
o B A' x
⑴ 这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
⑵se双c2曲线的1参t数an方2 程相可比以较由而方得程到，ax22所以by22双曲1与线三的角参恒数等方式程
的20实21/质5/12是三角代换.
3
例2、如图，设M
为双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)任意一点，O为原点，
过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点。
探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？
解：双曲线的渐近线方程为：y b x.
a 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asec,btan）,

《2.1.2 曲线的参数方程》课件1-优质公开课-人教B版选修4-4精品

2
(3) 2bt y＝t ＋1
2
a 1－ t2 x＝ 2 t ＋1
(t 为参数 ,a>0,b>0);
(4) 2t y＝ 1＋ t
2 x＝ 1＋ t2
2
(t 为参数 ).
2t－ 1 x＋1 【解】 (1)法一:由 x＝解得 t＝ (x≠2). t＋ 1 2－x 3t 代入 y＝化简得 : t＋ 1 x－ y＋ 1＝ 0(x≠ 2). 3 x＝2－ t＋ 1 法二:原参数方程即 , 3 y＝ 3－ t＋ 1
2π).
(1)x2＋ y2＝(－1＋ 2cos θ)2＋ ( 3＋ 2sin θ)2 π ＝ 4( 3sin θ－ cos θ)＋ 8＝ 8sin(θ－ )＋ 8, 6 π π 2π ∴当 θ－＝ ,即 θ＝时 ,(x2＋ y2)max＝ 16. 6 2 3 (2)x＋ y＝ 2(sin θ＋ cos θ)＋ 3－ 1 π ＝ 2 2sin(θ＋ )＋ 3－1, 4 π 3π 5π ∴当 θ＋＝ ,即 θ＝时 , 4 2 4 (x＋ y)min＝ 3－ 2 2－ 1.
参数方程去解决一些简单的问题.
新知初探思维启动
1.参数方程的概念一般地 ,在平面直角坐标系中 ,如果曲线上任意一点的坐标
x＝ ft 变数t x,y 都是某个_________ 的函数 : ① ,并且对于 t 的 y＝ g t
每一个允许值由方程组①所确定的点 M(x,y)都在这条 _______________, 参数方程曲线上 ,那么方程①就叫做这条曲线的 ____________, 联系参变数简称 ______. 参数相对于参数方变数 x,y 的变数 t 叫做 _________,
2

2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程抛物线的参数方程课件(人教A选修4-4)

提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P， P 到直线 y＝x 的使
[精讲详析]
本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程，设出 P 点的坐标，建立方程求解．设 P 的坐标为(secφ， φ)， P 到直线 x－y＝0 的距离为 2 tan 由 |secφ－tan φ| 得＝ 2 2 1 sin φ 得|cos φ－cos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
证明：设双曲线为 x2－y2＝a2，取顶点 A(a,0)，弦 B′B∥Ox，B(asecα，atan α)，则 B′(－asecα，atan α)． atan α atan α ∵kB′A＝，kBA＝，－asecα－a asecα－a ∴kB′A·BA＝－1. k ∴以 BB′为直径的圆过双曲线的顶点.
[读教材· 填要点] 1．双曲线的参数方程 x2 y2 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线a2－b2＝1 的参数方程是 x＝asecφ π 3π φ∈[0,2π)且 φ≠2，φ≠ 2 y＝btan φ 规定参数 φ 的取值范围为 y2 x2 (2)中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线a2－b2＝1 的参数方程是 x＝btan φ y＝asecφ .
x2 y2 设椭圆a2＋b2＝1，∴a＝5，c＝4，b＝3. x2 y2 ∴方程为25＋ 9 ＝1. 设椭圆上一点 P(5cos θ，3sin θ)，双曲线一渐近线为 3x－4y＝0， |3×5cos θ－12sin θ| ∴点 P 到直线的距离 d＝ 5 3| 41sin θ－φ| 5 ＝ (tan φ＝4)． 5 3 41 ∴dmax＝ 5 .

双曲线及其标准方程课件

双曲线及其标准方程ppt 课件
欢迎来到本次ppt课件，将带您深入了解双曲线及其标准方程。让我们一起探索这个有趣而美丽的数学概念！
什么是双曲线？
双曲线是数学中的一种曲线，它的形状类似于一个张开的双金属圆弧。它具有很多独特的特性和性质。
图形特征
形状
双曲线的主轴长度大于副轴长度，呈现出独特的开口形状。
双曲线的图像与性质
焦点与准线
双曲线有两个焦点和两条准线，这些元素决定了曲线的位置和形状。
双曲线的离心率
离心率是衡量曲线弯曲程度的指标，对于双曲线而言，离心率大于1。
双曲线的对称性
双曲线具有对称性，关于焦点、顶点、中心和原点都存在对称性。
双曲线的应用
天文学
双曲线在行星轨道和彗星轨道的描述中发挥着重要作用。
渐近线
双曲线具有两条渐近线，可以帮助我们更好地理解其形状和趋势。
顶点
双曲线有两个顶点，它们是曲线的最近点和最远点。
双曲线的标准方程
1 横轴标准方程
x²/a² - y²/b² = 1
2 纵轴标准方程
y²/a² - x²/b² = 1
3 参数方程
x = a*cos(θ), y = b*sin(θ)
通信技术
双曲线广泛应用于卫星通信和雷达系统中。
工程建模
双曲线在工程建模、电子设计和信号处理等领Leabharlann 具有广泛的应用价值。练习题
1
问题1
找到双曲线的焦点和准线。
问题2
2
计算给定双曲线的离心率。
3
问题3
应用双曲线方程解决实际问题。
结论和要点
1 双曲线是一种独特的数学曲线。
它具有特殊的形状、标准方程和性质。

2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程抛物线的参数方程课件(人教A选修4-4)

提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P， P 到直线 y＝x 的使
[精讲详析]
本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程，设出 P 点的坐标，建立方程求解．设 P 的坐标为(secφ， φ)， P 到直线 x－y＝0 的距离为 2 tan 由 |secφ－tan φ| 得＝ 2 2 1 sin φ 得|cos φ－cos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
[悟一法] 参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．
[通一类] 1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点．
证明：设双曲线为 x2－y2＝a2，取顶点 A(a,0)，弦 B′B∥Ox，B(asecα，atan α)，则 B′(－asecα，atan α)． atan α atan α ∵kB′A＝，kBA＝，－asecα－a asecα－a ∴kB′A·BA＝－1. k ∴以 BB′为直径的圆过双曲线的顶点.
2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px 的参数方程为
x＝2pt2 y＝2pt
，t∈ R .
(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
[小问题·大思维]
1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？提示：参数φ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点 M的离心角)，而不是OM的旋转角．

2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程抛物线的参数方程课件(人教A选修4-4)

提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P， P 到直线 y＝x 的使
[精讲详析]
本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程，设出 P 点的坐标，建立方程求解．设 P 的坐标为(secφ， φ)， P 到直线 x－y＝0 的距离为 2 tan 由 |secφ－tan φ| 得＝ 2 2 1 sin φ 得|cos φ－cos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
设 M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在抛物线的延长线上， M 为线段 OP 且
x＝2t，的中点，抛物线的参数方程为 y＝2t2，
x0＝4t，由中点坐标公式得 y0＝4t2，
1 2 变形为 y0＝4x0，即 x2＝4y. 表示的为抛物线．
[悟一法] 在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将 x，y 表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．
平方得 1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)，即 5sin 2φ－2sin φ－3＝0. 3 解得 sin φ＝1 或 sin φ＝－5. sin φ＝1 时，cos φ＝0(舍去)． 3 4 sin φ＝－5时，cos φ＝± . 5 5 3 5 3 ∴P 的坐标为(4，－4)或(－4，4)．
[通一类] 2．已知抛物线
x＝2t2 C： y＝2t
(t 为参数)，设 O 为坐标原点，点 M
在抛物线 C 上，且点 M 的纵坐标为 2，求点 M 到抛物线焦点的距离．

高中数学第二章参数方程224双曲线的参数方程课件北师大版选修4

得(|F1P|·|F2P|)2＝[(secθ＋ 2)2＋tan2θ]·[(secθ－ 2)2＋tan2θ] ＝(sec2θ＋2 2secθ＋2＋tan2θ)·(sec2θ－2 2secθ＋2＋tan2θ) ＝(2sec2θ＋1)2－(2 2secθ)2 ＝4sec4θ－4sec2θ＋1＝(2sec2θ－1)2. 又|OP|2＝sec2θ＋tan2θ＝2sec2θ－1，由此得|F1P|·|F2P|＝|OP|2.
第13页
题型三抛物线参数方程的应用例 3 由抛物线 y2＝2x 上各点作 y 轴的垂线段，求线段中点的轨迹方程(参数形式)．
第14页
【解析】 ∵抛物线的方程为 y2＝2x， ∴可设抛物线上任一点坐标为(2t2，2t)，向 y 轴作垂线垂足为(0，2t)． ∴它们的中点坐标为(t2，2t)． ∴中点的轨迹方程为yx＝＝2t2t，(t 为参数)．轨迹为一条抛物线．
y＝sinθ
A．抛物线的一部分
B．抛物线
C．双曲线的一部分
D．双曲线
第21页
答案 A 解析 ∵x＝cos2θ＝1－sin2θ，y＝sinθ， ∴x＝1－y2，即 y2＝－x＋1(0≤x≤1)．故曲线为抛物线的一部分．
第22页
3．方程 x＝ 3y2－1所表示的曲线的参数方程为________．
答案
| ab ＋abtanφ| | ab －abtanφ|
cosφ
则 d1·d2＝
b2＋a2
cosφ · b2＋（－a）2
＝a2a＋2b2b2(定值)．
第26页
第27页
结束
语同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，考试加油。

2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程抛物线的参数方程课件(人教A选修4-4)

x＝ 5cos 解析：由 y＝sin θ
θ
x2 2 (0≤θ≤π)得 5 ＋y ＝1(y≥0)，
52 x＝ t 5 2 4 由 (t∈R)得 x＝4y . y＝t
2 x ＋y2＝1， 5 联立方程可得 x＝5y2 4
则 5y4＋16y2－16＝0，
4 5 2 2 解得 y ＝5或 y ＝－4(舍去)，则 x＝4y ＝1.
提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P， P 到直线 y＝x 的使
[精讲详析]
本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程，设出 P 点的坐标，建立方程求解．设 P 的坐标为(secφ， φ)， P 到直线 x－y＝0 的距离为 2 tan 由 |secφ－tan φ| 得＝ 2 2 1 sin φ 得|cos φ－cos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px 的参数方程为
x＝2pt2 y＝2pt
，t∈ R .
(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
[小问题·大思维]
1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？提示：参数φ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点 M的离心角)，而不是OM的旋转角．
[通一类] 2．已知抛物线
x＝2t2 C： y＝2t
(t 为参数)，设 O 为坐标原点，点 M
在抛物线 C 上，且点 M 的纵坐标为 2，求点 M 到抛物线焦点的距离．
x＝2t2 解：由 y＝2t

《双曲线的参数方程》(优质课)省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件

例2、
a
b
过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于 A， B两点。
探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？
解：双曲线的渐近线方程为：y b x.
a
y
不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asec ,btan）,
b
A
则直线MA的方程为：y b tan ( x a sec ).
1
t
1 (t 是参数, t >0)
yt
t
xt
练习:
1.已知参数方程
化为一般方程,画出方程旳曲线.
2.参数方程
x a sec

y b tan ( 是参数, 2 2 )
表达什么曲线?画出图形.
x2 y 2
如图，设M 为双曲线 2 2 1( a 0, b 0)任意一点，O为原点，
=
1
θ 取一切实数时,A(4sin θ,6cos θ)和 B(-4cos
θ,6sin θ)两点连线段的中点轨迹是( B ).
A.圆
B.椭圆
C.直线
D.线段
【解析】设中点 M (x, y),则
= -,

消去 θ,得 + =2,即

= + ,
= ,
(α 为参数).
=
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,
且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为
参数方程为

(4, ),判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的

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二、圆锥曲线的参数方程
1、椭圆的参数方程 2、双曲线的参数方程 3、抛物线的参数方程
复习
椭圆的参数方程椭圆 ��+ ��=1(a>b>0)的参数方程为 �� = ��, ( φ 为参数 ); �� = �� 椭圆 ��+ ��=1(a>b>0)的参数方程为
消去参数 t,得 -x =1,但由于 x= ��≥0,t≥0,而 y=2 �� + ��≥2,故选 D.
练习:
xt
1.已知参数方程
1 t 1 (t 是参数, t >0) y t t
化为普通方程,画出方程的曲线.
2.参数方程
x a sec
y b tan ( 是参数, 2 2 )
��
2
��
2
2
2
【解析】由参数方程
��
2
�� = ��, (t 为参数) �� = �� + ��

表示什么曲线?画出图形.
x2 y 2 如图，设M 为双曲线 2 2 1( a 0, b 0)任意一点，O为原点，例 2、 a b 过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点。探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？解：双曲线的渐近线方程为：y b x. a y 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asec ,btan）, b A 则直线MA的方程为：y b tan ( x a sec ). ① M x a b 将y= x代入①，解得点A的横坐标为 O a a B xA = （sec tan）. 2 a 同理可得，点B的横坐标为xB = （sec tan）. 2 b 设AOx= ,则tan . a xA xB sin2 = 所以MAOB的面积为 S MAOB =|OA||OB|sin2 cos cos 2 2 a2(sec2 -tan2 ) a a = sin2 = tan b ab . 2 4cos 2 2 a 2
⑴ 这里参数
叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
x2 y 2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 2 1与三角恒等式 2 a b 2 2
的实质是三角代换.
sec 1 tan 相比较而得到，所以双曲线的参数方程
练习
�� = ��, 与参数方程 (t 为参数)等价的普 �� = �� + �� 通方程为( D ). A. -x =1 B. -x =1(x≥0) C. -x =1(y≥2) D. -x =1(x≥0,y≥2)
��
�� = ��, (φ 为参数). �� = ��
A.x + =1 B.x + =1(0≤x≤1) C.x + =1(0≤y≤2) D.x + =1(0≤x≤1,0≤y≤2)
2 2 2
2
【解析】x =t, =1-t=1-x ,x + =1,而 t≥0,1��
2
��
2
2
��
t≥0,可知 0≤t≤1,得 0≤y≤2.
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。
作业：
椭圆的参数方程在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的 �� = ��, (α 为参数). �� = �� (1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为参数方程为 (4, ),判断点 P 与直线 l 的位置关系;
��
的取值范围.
��
【解析】 ∵点 M(x,y)是椭圆 + =1 上的任意
��
一点,则设 M 为(3cos θ ,4sin θ ), ∴x-y=3cos θ -4sin θ =5sin(φ -θ ),其中 tan φ =- ,∴x-y 的取值范围是[-5,5].
��
(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.
在椭圆 + =1 上找一点,使这一点到直线 x��
��
2y-12=0 的距离最小,并求这个最小值.
1
θ 取一切实数时,A(4sin θ ,6cos θ )和 B(-4cos θ ,6sin θ )两点连线段的中点轨迹是( B ). A.圆 B.椭圆 C.直线 D.线段
【解析】设中点 M (x, y),则 �� = ��-��, �� 消去 θ ,得 + =2,即 �� = �� + ��,
��
双曲gt;0,b>0)的参数方程为： 2 a b
2 2
y a A B' o B b

•M
A' x
说明：
3 通常规定 [o,2 )且，。 2 2
x a sec (为参数) y b tan
��
+ =1.选择 B.
2
与参数方程为( D ).
��
�� = ��, (t 为参数)等价的普通方程 �� = �� -��
3
椭圆
�� = ��, 的离心率是 �� = ��
��
.
4
已知点 M(x,y)是椭圆 + =1 上的任意一点,求 x-y
��

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