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21.2.4一元二次方程解法复习

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出示习题，导入新课
（一）情景引入：三位同学在作业中对方程（2x-1）2=3(2x-1)采用的不同解法如下：
第一位同学：第三位同学：
解：移项：（2x-1）2-3(2x-1) =0 解：整理：
(2x-1)[(2x-1)-3]=0 即
2x-1=0或(2x-1)-3=0
X= 或 x=2
第二位同学： =
解：方程两边除以(2x-1)：
4.因式分解法：因式分解法就是利用所学过的分解因式的知识来求解。
一般步骤：①将方程右边化为零；②将方程左边分解为两个一次因式乘积；③令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程
练习二：选用适当的方法解下列方程
（1）2(1-x)2-6=0（3）3(1-x)2=2-2x
（2）（2x－1） ＋3（2x－1）＋2＝0；（4）(x+2)(x+3)=6
练习一：按括号中的要求解下列一元二次方程：
（1）4(1+x)2=9（直接开平方法）；（2）x2+4x+2=0（配方法）；
（3）3x2+2x-1=0（公式法）；（4）(2x+1)2= -3 (2x+1) （因式分解法）
概括四种解法的特点及步骤：
1.直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法，这是最基础的方法，与此前解一元一次方程类似。（在降次时注意正负两个值）
交流讨论：
1．与同桌或邻桌同学比较，看谁的解法更简单。
2．你如何根据方程的特征选择解法？
(1)说说你对解一元二次方程的感受：
(2)四种方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：
在教师引导下学生在解决问题的过程中认识到每种解方程方法的特点，可行性和优越性。清楚其中每一步的意义。
学生尝试练习，拓展思维。
(2x-1)=3
X=2
针对三位同学的解法谈谈你自己的看法：
（1）他们的解法都正确吗？
（2）哪一位同学的解法较简便呢？
激发学生思考。
学生观察这笔，突出本节课重点。
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
自学探究
合作探究，总结经验
拓展提升
课堂小结
2.配方法：配方法就是把方程配成一个完全平方式，再用直接开平法求解，配方时，方程左右两边同时【加上一次项系数一半的平方】。（方法：先移项，再化二次项系数为一，然后配方，最后利用直接开平法求解。）
3.公式法：用公式法解一元二次方程时首先要将方程化成一般形式，也就是ax2+bx+c=0的形式，然后才能做。在用公式法解一元二次方程中，先算b2-4ac的值。
学生练习，并找出自身在解决问题过程中出现的困难。
学生总结，教师补充
层层递进的问题设置让学生在解决问题的过程中初步认识到因式分解法解方程的可行性和优越性。清楚其中每一步的意义。
将理论运用于实践
提升思维
体会数学思想，培养数学思维。
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
板书设计
21.2.3因式分解法（第1课时）
难点：
通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
复习引入
复习提问：
1.我们学了一元二次方程的哪些解法？ 直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
2.每种解法的步骤分别是很么？
教师提问，学生回顾。
学生回顾解一元二次方程的方法。
本节课是在因式分解的基础上进一步学习的，学生对因式分解有所遗忘，因此适当的因式分解训练为后面的突破难点扫清障碍
课时安排
一元二次方程解法（习题课）
课时目标
1．掌握一元二次方程的四种解法，会根据方程的不同特点，灵活选用适当的方法求解方程。
2．方程求解过程中注重方式、方法的引导，特殊到一般、字母表示数、整体代入等数学思想方法的渗透。
3．培养学生概括、归纳总结能力。
课时重难点
重点：
会根据不同的方程特点选用恰当的方法，使解题过程简单合理。
一、复习引入
二、探索新知直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
三、练习
四、知识拓展．
课后反思

合集下载

一元二次方程的解法复习课

一元二次方程的解法复习课


2
x2 4x 4 5 4
2
x 22 13
2 x2
26
2
x1
26 2 2
x2
26 2 2
例题讲解
四 公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是:
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
x

2 9
2
4 17
.
4
4 16
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因 式,右边合并同类;
x 9 17 . 44
5.开方:两边开平方;
x 9 17 .
44
x1
9
4
17
;
x2
用配方法解一元二次方程的方法的助手:
平方根的意义: 如果x2=a, 那么x= a.
完全平方式:式子 a2±2ab+b2 叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
用配方法解一元二次方程：
2x2-9x+8=0
解 : x2 9 x 4 0.
x2
9
2 x
4.
x2
9
2 x
9
2
9
2
4.
解：原方程变形为： (2 x)2 9 16
直接开平方得：
2 x 3
4
x1
5 4
x2
11 4
（2） x(x 2) 1 0
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

21.2.4 一元二次方程根与系数关系一、内容和内容解析1．内容一元二次方程根与系数的关系．2．内容解析一元二次方程的根与系数关系反映了一元二次方程的根与它的系数之间的一种确定关系．利用这一关系可以解决许多问题，同时它在高中数学的学习中有着更加广泛的应用．实际上，一元n 次方程的根与系数之间也有确定的数量关系，我们把它称之为韦达定理，一元二次方程的根与系数关系是韦达定理在n =2时的特例．一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式x =，反映了方程的根的值是由系数a 、b 、c 所决定的，从一方面反映了根与系数之间的联系；而本节课中的12b x x a +=-，12c x x a⋅=是从另一方面更简洁地反映了一元二次方程的根与系数之间的联系．本节课从思考一元二次方程的根与方程中的系数之间的关系开始，由特殊到一般，先让学生思考二次项系数为1的情形，然后再思考并证明一般形式时的根与系数的关系．本节课为选学内容．基于以上分析，确定本课的教学重点：一元二次方程根与系数关系的探索及简单应用．二、目标和目标解析1．目标（1）了解一元二次方程的根与系数关系，能进行简单应用．（2）在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由特殊到一般的认识方法．2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能说出一元二次方程的根与系数关系，并能利用根与系数关系求出两根之和、两根之积．达成目标（2）的标志是：学生能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方程根与系数的关系．三、教学问题诊断分析一元二次方程的根与系数关系是在学生已经学习了一元二次方程的解法的基础上，对一元二次方程根与系数之间的关系进行再探究．如果让学生思考一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个根与系数之间有怎样的关系，学生会回答出求根公式x =，而不会想到两根之和、两根之积与系数之间的关系。

因此，先引导学生从特殊的一元二次方程得到两根之和、两根之积与系数之间关系的猜想，再推广到一般，探索一元二次方程根与系数关系．另外，在计算两根之积时，能否观察出式子中具有平方差公式的结构，并运用平方差公式正确进行计算，也是一部分学生的难点．本节课的教学难点是：发现一元二次方程根与系数关系的过程．四、教学过程设计1．复习一元二次方程一般形式及求根公式问题1 一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系？师生活动：学生回顾一元二次方程的一般形式及求根公式．设计意图：复习一元二次方程的一般形式及求根公式，使学生进一步明确求根公式是方程的根与系数之间的一种关系，为推导根与系数之间的关系作好准备．2．猜想二次项系数为1时的根与系数关系问题 2 方程()()120x x x x --=（1x ，2x 为已知数）的两根是什么？将方程化为20x px q ++=的形式，你能看出1x ，2x 与p ，q 之间的关系吗？师生活动：学生独立思考，得出方程两根为1x ，2x ，通过将()()120x x x x --=的左边展开，化为一般形式，得到方程()212120x x x x x x -++=．发现这个方程的二次项系数为1，一次项系数()12p x x =-+，常数项12q x x =．学生独立观察并讨论后，发现这两个方程的两根之和是12x x p +=-，两根之积是12x x q =．设计意图：通过教师引导和点拨，让学生在二次项系数为１的方程中发现一元二次方程根与系数关系．3．猜想、验证一元二次方程根与系数关系问题3 一元二次方程20ax bx c ++=中，二次项系数a 未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？师生活动：学生独立思考后，教师追问：如何探究这两者之间的关系呢？（利用一元二次方程的一般形式和求根公式）学生独立完成证明过程，然后再全班交流。

一元二次方程的解法复习

一元二次方程的解法复习


你学过一元二次方程的哪些解法?
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
你能说出每一种解法的特点吗?
2. 一元二次方程的解法
适用题型
方法或步骤
直
1. 观察方程是否符合x2=m(m≥0)
接 x2=m(m≥0) 或(x±m)2=n(n≥0)的形式；
开或
2. 直接开方，得两个一元一次
平 (x±m)2=n( 方程；
解：2x2 6x 3 0
x2 3x 3 0 2
x2 3x 9 3 0 44
(x 3)2 3 0 24
(x 3)2 3 24
x 3 2
3 2

x1
3 2
3 ，x2
3 2
3
（3） 9x2 10x 4 0
——公式法
解： a 9，b 10，c 4
b2 4ac 102 4 9 (4) 244
一元二次方程
中考考点清单
考点一 一元二次方程及有关概念 1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一 元），并且未知数的最高次数是2（二次） 的整式方程，叫做一元二次方程. 2. 一般形式:ax2+bx+c=0(其中a、b、c为常 数，a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、 一次项和常数项，a、b分别称为二次项系 数和一次项系数.
1. 把方程化为
公
ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；
所 有 有 根 2. 确定a、b、c的值；
式 的一元二
次方程 3. 求出b2-4ac的值；
法
4. 将a、b、c的值代入x=
⑦ b b2 - 4ac 2a
b2 4ac 0
适用题型
方法或步骤
一元二次方程 解法复习及根与系数关系

一元二次方程 解法复习及根与系数关系

一元二次方程 解法复习一、回顾知识点1．解一元二次方程的一般解法有（1）_________________ （2） （3）公式法，求根公式是 ___________________ （4） 2、①直接开平方法适用于 类型的方程。

②配方法适用于 类型的方程。

③公式法适用于 类型的方程。

④因式分解法适用于 类型的方程。

3、你认为下列方程你用什么方法来解更简便。

（1）12y 2－25＝0；（你用___________法） （2）x 2－2x ＝0；（你用_________法） （3）()150x x x +-=（你用_____法） （4）x 2－6x ＋1＝0；（你用________法）（5）3x 2＝4x －1；（你用_________法） （6） 3x 2＝4x. （你用_________法） 二、解法训练1、用直接开平方法解下列方程(1)9x 2-169=0 (2) (x-3)2=49 (3) (x-1)2-241=0 (4) (2x-1)2=(x+1)22、用配方法解下列方程(1) x 2-4x+2=0 (2) 3x 2+2x-1=0 (3) 2x 2-3x+3=03、 用公式法解下列方程（1）x 2-21x+3=0 （2）x 2+4x+4=0 （3）6x 2+5x=1（4）9x 2-12x=-4 （5）7x-x 2=3x-3 （6）x 2-3x-5=-3x4、用因式分解法解下列方程（1）x2-7x=0 （2）16x2-144=0 （3）x2=4x（4）2x(x+2)=3x+6 （5）3(x-2)2=4-x2（6）3x2-2x=55、选用适当的方法解下列方程（1）196x2-1=0 (2) 4x2+12x+9=81 (3)x2-7x-1=0(4) x2-2x+1=25 (5) x(2x-5)=4x-10 (6) 1-8x+16x2=2-8x(7) x(x-1)=3x+7 (8) 2x2+3x=3 (9)(x-4)2=(5-2x)221.2.4一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1.通过观察，归纳，猜想根与系数的关系，并证明，使学生理解其理论依据； 2.使学生会运用根与系数关系解决有关问题；3.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神。