21.2.2公式法解一元二次方程 -

21.2.4解一元二次方程

学习目标：

1、理解并掌握用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程的方法

2、选择合适的方法解一元二次方程

重点、难点

1、 重点：用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程

2、 难点：选择合适的方法解一元二次方程

【课前预习】

一、梳理知识

1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次

2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：

方法名称 理论根据 适用方程的形式

直接开平方法 平方根的定义 2xp或2()mxnp(0)p

配方法 完全平方公式 所有的一元二次方程

公式法 配方法 所有的一元二次方程

因式分解法 两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0 一边是0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程

3、一般考虑选择方法的顺序是：

直接开平方法、分解因式法、配方法或公式法

二、用适当的方法解下列方程：

1. 270xx 2. 21227xx

3、X（x-2）+X-2=0 4. 224xx

5、5x2-2X-41 =x2-2X+ 6. 224(2)9(21)xx

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【课堂活动】

活动1：预习反馈

活动2：典型例题

1．用直接开方法解方程：

⑴01362x ⑵8142x

⑶1652x ⑷4122xx

2．用因式分解法解方程：

⑴02xx ⑵012142x

⑶012123xxx ⑷025422xx

21.2.2用公式法求解一元二次方程（教案）

一、教学内容

本节课选自八年级数学下册第21章第2节“用公式法求解一元二次方程”。教学内容主要包括以下两个方面：

1. 公式法求解一元二次方程的基本概念：介绍一元二次方程的标准形式 ax^2 + bx + c = 0，以及求解该方程的公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

2. 应用公式法求解一元二次方程的步骤及实例：通过具体实例，让学生掌握如何将一元二次方程转化为标准形式，并运用公式求解。同时，讨论判别式 b^2 - 4ac 的值对方程解的性质的影响，分为有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根和无实数根三种情况。

二、核心素养目标

1. 让学生掌握一元二次方程公式法的基本概念和求解步骤，培养其逻辑思维能力和数学运算能力。

2. 培养学生将实际问题抽象为一元二次方程，并运用公式法解决问题的能力，提升数学建模素养。

3. 通过对判别式 b^2 - 4ac 的讨论，培养学生分析问题和解决问题的能力，提高数学推理素养。

4. 引导学生在解决问题过程中体会数学的严谨性和应用的广泛性，培养数学抽象、数学思维和数学应用的核心素养。

5. 培养学生合作交流、勇于探索的精神，提高数学探究和数学交流的核心素养。

三、教学难点与重点

1. 教学重点

- 理解并掌握一元二次方程的标准形式及其求解公式。

- 学会运用公式法求解一元二次方程的步骤，包括将方程化为标准形式、计算判别式、根据判别式的值求解方程。

- 掌握判别式 b^2 - 4ac 的值对方程解的性质的影响，能够根据判别式的值判断方程解的情况。

举例：对于方程 3x^2 - 4x - 7 = 0，学生需要能够将其识别为标准形式的一元二次方程，并正确应用公式求解，得出 x = (4 ± √52) / 6。

2. 教学难点

- 公式法的推导过程理解：学生对公式法的推导过程可能感到难以理解，特别是对根号下的判别式的物理意义。

学校 学科 数学 班级 人数

课题 8.3用公式法解一元二次方程（2） 课时 1课时 执教 日期

※教学目标：

1 .熟练运用公式法解简单的数字系数的一元二次方程

2 .进一步运用公式法解较为复杂的一元二次方程，提高学生解决复杂问题的能力

3.通过运用一元二次方程的求根公式，进一步提高学生的推理能力、计算能力和符号意识

4.通过解方程，体会方程根的不同情况。

※制定依据：

★内容分析：这是运用公式法解一元二次方程的第二课时，主要是熟练掌握运用公式法解一元二次方程的方法，需要先整理成一般形式，并通过计算判别式的值确定方程有解时，再代入求根公式进行计算。

★学生实际： 公式法解一元二次方程是在学完直接开方法、配方法解一元二次方程的基础上，掌握用求根公式解一元二次方程，培养学生由特殊到一般的解题思想。学生的问题困难点在于公式中a、b、c的值。

教学过程

教学环节 教师活动 学生活动 设计意图

一、常规积累 1、请写出一元二次方程的一般形式是

2、一元二次方程的求根公式是_____________

3、用公式法解一元二次方程的一般步骤是：

4、用公式法解方程：2x2-8x-9=0

掌握解方程每一步的理论依据，增强解题信心

二、核心过程推进 合作探究

用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？

（1）03522xx；

（2）8(25)25yy；

（3）210xx

经过讨论得出下列结论：

式子b2-4ac叫做方程根的判别式，通常用希腊字母∆表示。即∆=b2-4ac

（1）当240bac时，一元二次方程20(0)axbxca有两个不等实数根

2142bbacxa，2242bbacxa；

（2）当240bac时，一元二次方程学生独立利用公式法解3个方程，然后观察方程的解的情况，观察解题过程，通过小组交总结一元二次方程根的规律和b2-4ac的关系，经过讨论得出结论

1 21.2.2 公式法

※教学目标※

【知识与技能】

1.理解并掌握求根公式的推导过程．

2.能利用公式法求一元二次方程的解．

【过程与方法】

经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力．

【情感态度】

用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严禁认真的科学态度．

【教学重点】

求根公式的推导和公式法的应用．

【教学难点】

一元二次方程求根公式的推导．

※教学过程※

一、复习导入

1.前面我们学习过直接开平方法解一元二次方程，比如，方程24x=，()227x-=：

提问1 这种解法的（理论）依据是什么？

提问2 这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊的一元二次方程有效，不能实施于一般形式的一元二次方程）

2.面对这种局限性，我们该怎么办？（使用配方法，把一般形式的一元二次方程化为能够直接开平方的形式）

（学生活动） 用配方法解方程：2237xx+=．

总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）

（1）先将已知方程化为一般形式；

（2）二次项系数化为1；

（3）常数项移到右边；

（4）方程两边都加上一次项系数的一般的平方，使左边配成一个完全平方式；

（5）变形为()2xnp+=的形式，如果0p³，就可以直接开平方求出方程的解，如果

0p<，则一元二次方程无解．

二、探索新知

能否用上面配方法的步骤求出一元二次方程()200axbxca++=?的两根？

移项，得2axbxc+=-．

二次项系数化为1，得2bcxxaa+=-．

配方，得22222bbcbxxaaaa骣骣琪琪++=-+琪琪桫桫，即222424bbacxaa骣-琪+=琪桫．

此时，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：

（1）两边能直接开平方吗？为什么？ 2 （2）你认为下一步该怎么办？

师生共同完善认知：