反比例函数培优生试题讲义

反比例函数培优专题(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2第3课时 反比例函数的图像和性质的综合应用专题一、反比例函数的图像的增减性1.若()()1122,,,A a b B a b 是反比例函数1y x=-图像上的两个点，且120a a <<，则1b 与2b 的大小关系是 .（用“<”连接）2.若()()()1233,,2,,1,A y B y C y --三点都在反比例函数6y x=-的图像上，则123,,y y y 的大小关系是 .（用“<”连接）3.在双曲线23k y x+=上有三点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，已知1230x x x <<<，则123,,y y y 的大小关系是 .（用“<”连接）4. 若()123111,,,,,42A y B y C y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三点都在反比例函数21a y x --=-的图像上，则123,,y y y 的大小关系是 .（用“<”连接） 5.在反比例函数2m y x-=的图像上有两点()()1122,,,A x y B x y ，若21120,x x y y <<>，则m 的取值范围是 . 6.设有反比例函数()()11221,,,,k y x y x y x+=为其图像上的两点，若120x x <<时，12y y <，则k 的取值范围是 . 7.反比例函数2y x=的图像上有两点()(),,,A a m B b n ，且0m n <<，则a b -的值是 数.专题二、反比例函数与面积 8．如图，点A 是反比例函数ky x=的图像上的一点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，且ABO 的面积是3，则k 的值是 .39.如图，A 是反比例函数ky x=图像上的一点，过点A 作AB y ⊥轴于点B ，点P 为x 轴上任意一点，已知ABP 的面积是2，则k 的值是 .10.反比例函数6y x =与3y x=在第一象限的图像如图所示，作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则AOB 的面积是 .11.如图，点A 是反比例函数()20y x x =>的图象上任意一点，AB ∥x 轴交反比例函数3y x =-的图像于点B ，以AB 为边作ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则ABCDS为 .12.如图，直线x=t （t>0）与反比例函数21,y y x x==-的图像分别交于B 、C 两点，A 为y 轴上任意一点，则ABC 的面积为 .13.如图，双曲线ky x=与直线y mx =交于点A 、B ，AC x ⊥轴于点C ，BC 交y 轴于D ，且2OCDS =，求k 的值.414.如图，点B 为x 轴正半轴上一点，点A 为双曲线()40y x x=>上一点，且AO=AB ，过B 作BC x ⊥轴交双曲线于点C ，求ABCS 的值.14．如图，直线y x b =-+与双曲线()10y x x=>交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交于E 、F 两点，AC x ⊥轴于C ，BD y ⊥轴于点D ，,,ACE BDF ABO 三个三角形的面积和是EOF 的34，求b 的值.专题三、反比例函数与全等 13.如图，点A 为双曲线()40y x x=>上一点，若线段AB AC ⊥，AB AC =，点C 恰好落在x 轴上，点B 恰好落在y 轴上，求OC OB -的值.14.如图，在平面直角坐标系中，点B 在x 轴上，090ABO ∠=,点A 的坐标是（1，2）.线段AC AO ⊥于点A ，点C 恰好落在双曲线()0ky x x=>上，且AO=AC ，求k 的值.515.如图，点A 、B 是反比例函数()30y x x=>图像上的两个点，在AOB 中，OA=OB ，BD ⊥x 轴，垂足为D ，且2AB BD =,求AOB 的面积.16.如图，直线122y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P为双曲线()0ky x x=>上一点，且0,90PA PB APB =∠=,求k 的值.17.如图，55y x =-+与坐标轴交于A 、B 两点，ABC 为等腰直角三角形，双曲线()0ky x x=<过点C ，求k 的值.专题四、反比例函数于几何小综合18.如图，双曲线ky x=经过12,P P 两点，1AOP 为等腰三角形，2AP x ⊥轴，2AP =1,求k 的值.619.如图，直线115y x =-与x 轴、y 轴分别交于B 、A,点M 为双曲线()0ky x x=>上一点，若AMB 是以AB 为底的等腰直角三角形，求k 的值.20.如图，点P （1，n ）为反比例函数()0my x x=>图像上一点，过点P 的直线为3y kx k =+与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点C ，PB x ⊥轴于点B ，3AOPS=（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）在双曲线上是否存在一点Q ，使23QOB QOCS s=若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由.21.如图，直线24y x =-分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，交双曲线()0ky x x=>于点C ，且8AOCS=(1)求双曲线的解析式；(2)在C 点右侧的双曲线上是否存在点P ，使045PBC ∠=若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由.。

yxAB CDEO一、典型例题讲解例题1、已知21y y y ，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，并且当x =2时，y = —4；当x = —1时，y =5，求出y 与x 的函数关系式。

变式练习：已知21y y y ,1y 与x+1成正比，2y 与x+1成反比，当x=0时，y=-5;当x=2时，y=-7,求y 与x 的函数关系式。

例2、如图，点A 、B 是双曲线3y x上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S 阴影，则12S S ．变式训练：如图，Rt △ABC 的直角边BC 在x 轴正半轴上，斜边AC 边上的中线BD 反向延长线交y 轴负半轴于E ，双曲线 0 x xky 的图象经过点A ，若S △BEC ＝8，则k 等于___________．例3、如图，点A 、B 是函数y ＝x 与xy 1的图象的两个交点，作AC ⊥x 轴于C ，作BD ⊥x 轴于D ，则四边形ACBD 的面积为 ． 变式训练：如图，直线y ＝mx 与双曲线xky交于A ，B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM ，若S △ABM ＝2，则k 的值是( )．xyABO1S2S例4、已知：如图，在平面直角坐标系中，Rt △OCD 的一边OC 在x 轴上，∠C ＝90°，点D在第一象限，OC ＝3，DC ＝4，反比例函数的图象经过OD 的中点A ． (1)求该反比例函数的解析式；(2)若该反比例函数的图象与Rt △OCD 的另一边交于点B ，求过A 、B 两点的直线的解析式．例5、如图，已知A (－4，n )，B (2，－4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数xmy 的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积；(3)求方程0x mb kx 的解(请直接写出答案)； (4)求不等式0 xmb kx 的解集(请直接写出答案)．变式训练：如图 7，已知一次函数1y x m （m 为常数）的图象与反比例函数 2k y x（k 为常数，0k ）的图象相交于点 A （1，3）．（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B 的坐标； （2）观察图象，写出使函数值12y y ≥的自变量x 的取值范围．yB 11 123 3 12 A （1，3）例6、如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y＝2x（x＞0）的图像上，顶点A1、B1分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y＝2x （x＞0）的图象上，顶点A3在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为变式训练：如图，111P,x y，222P,x y，……P,n n nx y在函数4y xx的图像上，11P OA，212P A A，323P A A，……1P A An n n都是等腰直角三角形，斜边1OA、12A A、23A A，……1A An n都在x轴上⑴求1P的坐标⑵求12310y y y yL L的值yxP1P2P3A3A2A1O例7、如图，双曲线 02 xxy 经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC＝90°，OC平分OA 与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB＇C，B＇点落在OA上，则四边形OABC的面积是.例8、如图，双曲线xky (k＞0)经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D。

讲义反比例函数(总12页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除教师： 学生： 时间：一般地，形如ky x=(k 为常数，k 不等于零)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数或叫因变量，ky x=也可以写成:,.要点诠释： 1、y=k x 中分母x 的指数为1，如，2ky x =就不是反比例函数；2、y= k x()可以写成()的形式，自变量x 的指数是-1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件；3、y=k x()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得到反比例函数的解析式。

两个变量的积均是一个常数（或定值），这也是识别两个量是否成反比例函数关系的关键。

典例分析1．下列哪个等式中的y 是x 的反比例函数？思楷教育学生辅导讲义期末复习专题：反比例函数23y x =（ ）12y x -=（ ）1y x =（ ）31y x =-（ ）6xy =（ ）k y x=（ ） 32y x =（ ）4x y =（ ） 12y x -=（ ）11y x =-（ ） 11y x=- （ ） 2.下列函数中，y 是x 的反比例函数的是 ( ) A.()12x y -= B.12y x =- C.21y x = D.17y x=- 3.若函数()221ny n x -=-是反比例函数，则n 的值是 ( )A. ±1B. -1C. 1D. 2 4.已知函数2211k k y k x --=-（）是反比例函数,你知道k 的值是多少吗？5.已知函数()211m y m x -=-.请你探求当m 取何值时:(1)该函数是正比例函数 (2)该函数是反比例函数图象性质①x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0.②当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限。

在每个象限内，y随x的增大而减小。

反比例函数一、反比例函数的概念1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，你们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量x 、y 成反比例，就是xy k =，或表示为ky x=，其中k 是不等于0的常数． 2、解析式形如ky x=（k 是常数，0k ≠）的函数叫做反比例函数，其中k 称也叫做比例系数．3、反比例函数ky x=的定义域是不等于零的一切实数．例1、下列变化过程中的两个变量是否成反比例?为什么？ （1）被除数为100，变量分别是除数r 和商q ；（2）三角形面积S 一定时，三角形一边上的长a 和这条边上的高h ；（3）一位男同学练习1000米长跑，变量分别是男生跑步的平均速度v （米/秒）和跑完全程所用时间t （秒）；（4）完成工作量Q 一定时，完成工作量所需的时间t 与工人人数n （假设每个工人的 工作效率相同）例2、一个长方体的体积是20cm 3，它的长是ycm ，宽是5cm ，高是xcm .写出长y 与高x 之间的函数关系式.例3、下列函数（其中x 是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？（1）23y x = (2)1y x -= (3)3xy =（4）3y x=（5）27y x =+（6）y =8x+7例4、已知y 是x 的反比例函数，且3x =-时，2y =，那么y 关于x 的函数解析式是________．例5、已知y 4x =时，2y =-，求y 与x 的函数解析式．例6、若函数231(2)m m y m x -+=-是反比例函数，则m 的值为________．例7、如果2212n n n n y x+++=是反比例函数，那么n 的值是________．例8、已知y 是x 的反比例函数，且当2x =时，2y ，那么当1y =时，x 的值是________．例9、如果变量1x 和变量y 成正比例，变量1y 和变量z 成反比例，那么变量x 和z 成________比例关系．例10、已知反比例函数22++=k xk y ，求k 的值，并求当x =2时的函数值例11、已知12y y y =+，若1y 与x 正比例，2y 与x 成反比例函数，且当2x =时，14y =，当3x =时，1293y =，求y 与x 间的函数关系式．例12、已知12y y y =+，若1y 与1x -正比例，2y 与1x +成反比例，且当0x =时5y =-，当2x =时1y =；（1）求y 与x 间的函数关系式； （2）求当3y =-时，x 的值．例13、已知：正比例函数与反比例函数的比例系数互为相反数，且正比例函数的图像过点-，求反比例函数的解析式．一、 反比例函数的图像1、反比例函数ky x=（k 是常数，0k ≠）的图像叫做双曲线，它有两支． 二、 反比例函数的性质 1、当0k >时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐减小．2、当0k <时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐增大．3、图像的两支都无限接近于x 轴和y 轴，但不会与x 轴和y 轴相交．例1、已知反比例函数3y x=-，那么当x ＜0时，y 的值随着x 的增大而________． 例2、反比例函数25(2)my m x -=+在它的图像所在的每个象限内，y 随x 的增大而________．例3、若反比例函数的图像经过点(25)-，，那么函数图像在________象限． 例4、已知反比例函数2k y x-=，其图象在第一、第三象限内，则k 的取值范围是________． 例5、函数135k y x --=的图像在一、三象限，那么k 的取值范围是________ 例6、已知函数ky x=的图象不经过第一、三象限，则y kx =-的图象经过第________象限．例7、如果反比例函数ky x=（k 是常数，0k ≠）的图像在第二、四象限，那么正比例函数y kx =（k 是常数，0k ≠）的图像经过哪几个象限？例8、若正比例函数(0)y kx k =≠，与反比例函数(0)my m x=≠的图像没有交点，那么k 与m 满足关系式可以是________．例9、已知反比例函数1y x=-的图像上有两点11()A x y ，、22()B x y ，，且12x x <，那么下列结论正确的是（ ）A ．12y y <B ．12y y >C ．12y y =D ．1y 与2y 的大小关系无法确定例10、反比例函数4y x=-的图像上一点的横坐标是3，那么这点到x 轴的距离是________． 例11、已知反比例函数21k y x+=（1）若该函数图像经过点(21)-，，求k 的值；（2）若该函数图像在每一象限内y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围．例12、直线y kx =(k ＞0)与双曲线xy 4=交于11()A x y ，、22()B x y ，两点，求122127x y x y -的值．例13、反比例函数2y x=的图像上一点A ，过A 点分别作x 轴、y 轴垂线，垂足为B 、C ； （1） 求矩形ABOC 的面积；（2） 当点A 沿双曲线移动时（1）中矩形面积有变化吗？为什么？例14、若P （a ，b ）是反比例函数图像上的一点，且a 是b 是的小数部分，求反比例函数的解析式．例15、已知：点A 、B 是函数3y x=-图像上关于原点对称的任意两点，AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，求△ABC 的面积．例16、反比例函数xky =(0)k <的图像经过点()A m ，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为3，求k 和m 的值．例17、已知：反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于A ，B 两点，若点A 在第二象限，且点A 的横坐标为-3，且AD ⊥x 轴，垂足为D ，△AOD 的面积是4． （1）写出反比例函数的解析式； （2）求出点B 的坐标；（3）若点C 的坐标为（6，0），求△ABC 的面积． 练习11、下列问题中的两个变量是否成反比例？如果是，可以用怎样的数学式来表示？ （1）平行四边形的面积为20平方厘米，变量分别是平行四边形的一条边长a （厘米）和这条边上的高h （厘米）；（2）一位男同学练习一千米长跑，变量分别是男生跑步的的平均速度v （米）和跑完全程所用时间t （秒）.2、下列函数是不是反比例函数？为什么？ （1）13y x =-； （2）4xy =；（3）15y x =-； （4）2(0)ay a a x =≠为常数，； （5）1y x π= ； （6）21y x= ．3、若函数223()kk y k k x --=+是反比例函数，则k 的值是________．4、在同一平面直角坐标系内，分别画出下列函数的图像．（1）4y x=； （2）4y x=-． 求：（1）这两个函数的图像分别位于哪几个象限内？（2）在每一象限内，随着图像上的点的横坐标x 逐渐增大，纵坐标y 是怎样变化的？ （3）图像的每支都向两方无限延伸，它们可能与x 轴、y 轴相交吗？为什么？5、已知正比例函数y kx =与反比例函数xky -=6图像的一个交点坐标是（1，3），则反比例函数的解析式是________．6、已知反比例函数xk y 1+=，11()x y ，、22()x y ，为其图像上的两点，若当120x x <<时，12y y >，则k 的取值范围是________．7、若点(34)，是反比例函数221m m y x ++=图像上一点，则此函数图像必经过点 （ ）A.(34)-，B.(26)-，C.(43)-，D. (26)，8、已知M 是反比例函数ky x=(0)k ≠ (k ≠0)图像上一点，MA x ⊥轴于点A ，若4AOMS =，则这个反比例函数的解析式是（ ） A ．8y x =； B ．8y x =-； C ．8y x =或8y x =-； D ．4y x =或4y x=-. 9、已知122y y y =+，若1y 与(1)x +正比例，2y 与x 成反比例函数，且当1x =时，1y =-；当3x =-时，3y =，求y 与x 间的函数关系式．10、已知第三象限内的点B （3m ，m ）在反比例函数的图像上，且10OB =A （1，y ）也在双曲线上，求反比例函数的解析式，并求出△AOB 的面积．11、11POA ∆、212P A A ∆都是等腰直角三角形，点P 1、P 2在4y x=（x ＞0）的图像上，斜边OA 1、A 1A 2都在x 轴上，求点A 2的坐标．12、两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图像如图所示，点P 在ky x =的图像上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图像于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图像于点B ，当点P 在ky x=的图像上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等； ②四边形PAOB 的面积不会发生变化； ③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．练习21、反比例函数ay x=的图像在第二、四象限，则a ________． 2、当n =________时，函数224(3)n n y n x --=-是反比例函数．3、函数21(1)my m x -=-是反比例函数，且图像经过第二、四象限，则m =________．4、已知反比例函数13ky x-=，当k ________时，它的图像在第二、四象限，此时，在每个象限内，y 随x 的增大而________．5、已知长方形的面积为20平方厘米，它的一边长为x 厘米，求这个边的邻边长y （厘米）关于x （厘米）的函数解析式，并写出这个函数的定义域．6、反比例函数ky x=的图像上有两点111()p x y ，，222(,)p x y ，若120x x <<，12y y >，则k ________0，图像经过第________象限．7、在平面直角坐标系内，从反比例函数ky x=(0)k ≠上一点作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴围成面积为3的矩形，求函数解析式．8、（1）已知y 与2x -成反比例，当4x =时，3y =，求5x =时，y 的值； （2）已知y 与2x 成反比例，并当3x =时，2y =，求 1.5x =时，y 的值．9、已知12y y y =+，1y 与x 成正比例，2y 与2x 成反比例，当2x =与3x =时，19y =，求y 关于x 的函数解析式．10、点A 是反比例函数6y x=的图像上的一点，AB ⊥y 轴于点B ，求△AOB 的面积．11、已知n 是正整数，111()P x y ，，222()P x y ，，…()n n n P x y ，，…是反比例函数图像上的一列点，其中11x =， 22x =，…，n x n =，…．记112A x y =，223A x y =，…，1n n n A x y +=，…，若1A a =(a 是非零常数)，求12n A A A ⋅⋅⋅的值(用含a 和n 的代数式表示)．。

反比例函数 第1讲（反比例函数的图象与性质）反比例函数的图象与性质 命题点一：根据反比例函数的定义求函数表达式 【方法归纳】确定反比例函数的表达式，关键是确定比例系数k 的值，常用的方法：①根据反比例函数的定义或性质列方程求解；②根据图象中点的坐标求解；③利用待定系数法求解；④利用好比例系数k 的几何意义求解.例1如图，菱形ABCD 的顶点A 在x 轴上，D 在y 轴上，B ，C 在反比例函数的图象上，对角线AC ，BD 交于点E ，且BD ∥x 轴，若AE ＝1，∠ADE ＝30°，则反比例函数的表达式为( D )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝3xD ．y ＝23x例2已知反比例函数y ＝(m －1)xm 2－m －3，当x <0时，y 随x 的增大而减小，求反比例函数的表达式．解：由反比例函数y ＝(m －1)xm 2－m －3，得⎩⎨⎧m 2－m －3＝－1，m －1≠0，解得m ＝2或m ＝－1.由当x <0时，y 随x 的增大而减小，得m －1＞0，m ＞1， ∴m ＝2.故反比例函数的表达式为y ＝1x.命题点二：利用反比例函数的增减性解题 【方法归纳】比较函数值大小的方法一般有三种：①性质法，即利用反比例函数的额增减性进行比较；②求值法(或特殊值法)，即代入自变量的值，求出函数值进行比较；③图象法，即画出函数的图象，在图象上画出点的相应位置，由点的位置直接比较函数值大小.例3已知反比例函数y ＝1－3m x的图象上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2), 当x 1<0<x 2时，y 1<y 2，则m 的取值范围是( C )A ．m <0B ．m >0C ．m <13D ．m >13例4若点A(－1，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝mx(m<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为( B )A．y1<y2<y3 B．y2<y3<y1 C．y3<y2<y1 D．y2<y1<y3命题点三：根据反比例函数的定义求比例系数k的值或范围例5(1)如图，过点C(1,2)分别作x轴，y轴的平行线，交直线y＝－x＋6于A，B两点，若反比例函数y＝kx(x>0)的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是( A )A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8【方法归纳】当反比例函数与一次函数或平面图形结合时，常因条件的隐含性、综合性而增加难度，从代数式的表达形式和图形性质综合考虑是突破难点的关键，而点的坐标与线段长度的转化是数形结合的桥梁．(2)如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，CB＝CA＝5，点C(0,3)，点B在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数y＝kx的图象上，则k的值为( A )A．3 B．4 C．6 D．12例6如图，在平面直角坐标系xOy中，等边三角形AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3B D.反比例函数y＝kx(k≠0)的图象恰好经过点C和点D，则k的值为( A )A ．81325 B ．81316 C ．8135 D ．8134命题点四：利用反比例函数代数式求值 【方法归纳】如图，反比例函数||k 的几何意义：①S △AOB ＝S △AOC ＝12|k |；②S 矩形OBAC ＝|k |.下面两个结论是上述结论的 拓展：①如图①，S △OPA ＝S △OCD ，S △OPC ＝S 梯形PADC ； ②如图②，S 梯形OAPB ＝S 梯形OBCA ， S △BPE ＝S △ACE .例7(1)如图，直线y＝kx(k>0)与双曲线y＝4x交于A(x1，y1), B(x2，y2) 两点，则2x1y2－7x2y1的值等于 20 .(2)如图所示，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝9x在第一象限的图象经过点B，则OA2－AB2的为 18 .例8(1)如果一个正比例函数的图象与反比例函数y＝6x的图象交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么(x2－x1)(y2－y1)的值为 24 .(2)如图，A，B为直线y＝x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y＝1x (x>0)于C，D两点．若BD＝2AC，则4OC2－OD2的值为 6 .命题点五：利用函数的系数，判断函数图象的可能性例9反比例函数y＝kbx的图象如图所示，则一次函数y＝kx＋b的图象可能是( C )例10如图，在同一直角坐标系中，函数y＝kx与y＝kx＋k2的大致图象是( C )命题点六：利用反比例函数k的几何意义解题例11(1)下列选项中，涂色部分面积最小的是( C )(2)如图，在平面直角坐标系中，A(－6,0)，曲线上每一点到x轴与y轴的距离的乘积都相等，过曲线上横坐标分别为－6，－4，－2的三点B，C，D分别向x轴，y轴作垂线，图中的涂色部分是由这些垂线围成的，且面积是6，则由O，A，C三点围成的三角形的面积为 27 .例12如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点C(3,4)，边OA落在x正半轴上，P为线段AC上一点，过点P分别作DE∥OC，FG∥OA，交平行四边形各边如图．若反比例函数y＝kx的图象经过点D，四边形BCFG的面积为8，则k的值为( B )A．16 B．20 C．24 D．26 命题点七：关于叠加曲线的问题例13(2018·宁波)如图，平行于x轴的直线与函数y＝k1x(k1>0，x>0)，y＝k2x(k2>0，x>0)的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1－k2的值为( A )A．8 B．－8 C．4 D．－4例14(1)如图，A为函数y＝9x (x>0)图象上一点，连结OA，交函数y＝1x(x>0)的图象于点B，C是x轴上的一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为 6 .命题点八：关于反比例函数的规律性问题例15如图，在反比例函数y＝10x(x>0)的图象上，有点P1，P2，P3, P4，…，它们的横坐标依次为2,4,6,8，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的涂色部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，S n，则S1＋S2＋S3＋…＋S n＝10－10n＋1(用含n的代数式表示)．例16如图，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△P100A99A100是等腰直角三角形，点P1，P2，P3，…，P100在反比例函数y＝4x的图象上，斜边OA1，A1A2，A2A3，…，A99A100都在x轴上，则点A100的坐标是 (40,0) .课后练习1．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为(－4,0)，点B在y轴上．若反比例函数y＝kx(k≠0)的图象过点C，则该反比例函数的表达式为( A )A．y＝3x B．y＝4xC．y＝5xD．y＝6x2．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是反比例函数y＝2x上的三点，x1<x2<x3，y2<y1<y3，则下列关系式不正确的是( A )A．x1·x2<0 B．x1·x3<0 C．x2·x3<0 D．x1＋x2<03．(2018·徐州)如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝kx 与y ＝－2x的图象交于A ，B 两点，过A 作y 轴的垂线，交函数y ＝4x的图象于点C ，连结BC ，则△ABC 的面积为( C )A ．2B ．4C ．6D ．84．如图，A ，B 两点在反比例函数y ＝k 1x 的图象上，C ，D 两点在反比例函数y ＝k 2x的图象上，AC 交x 轴于点E ，BD 交x 轴于点F ，AC ＝2，BD ＝3，EF ＝103，则k 2－k 1等于( A )A ．4B ．143 C ．163D ．6 5．如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点O ，矩形的边分别平行于坐标轴，反比例函数y ＝k x (k >0)的图象交BC 于点M ，交CD 于点N .若A 点坐标为(－2，－2)，S OMN ＝32，则k 的值为( B )A ．52B ．2C ．32D ．16．如图，△ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(2,5)，C(6,1)．若函数y＝kx在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围为2≤k≤494.7．(2018·德州)如图，反比例函数y＝3x与一次函数y＝x－2的图象在第三象限相交于点A，点B的坐标为(－3,0)，P是y轴左侧的一点．若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为 (－4，－3)，(－2,3) .8．如图，点A，B在反比例函数y＝1x(x>0)的图象上，点C，D在反比例函数y＝kx(k>0)的图象上，AC∥BD∥y轴．已知点A，B的横坐标分别为1,2，△OAC与△ABD的面积之和为32，则k的值为 3 .9．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为(a，a)．如图，若曲线y＝3x(x>0)与此正方形的边有交点，则a的取值范围是3≤a≤3＋1.10．(2018·金华)如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝mx与y＝nx(x>0,0<m<n)的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.(1)当m＝4，n＝20时，①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式；②若P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．(2)四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．解：(1)①∵m＝4，∴反比例函数y＝mx为y＝4x.当x＝4时，y＝1，∴点B的坐标为(4,1)．当y＝2时，2＝4x，x＝2，∴点A的坐标为(2,2)．设直线AB的表达式为y＝kx＋b.∴⎩⎨⎧2k ＋b ＝2，4k ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧k ＝－12，b ＝3.∴直线AB 的表达式为y ＝－12x ＋3.②四边形ABCD 是菱形．理由如下： 由题①，知点B 的坐标为(4,1)． ∵BD ∥y 轴，∴点D 的坐标为(4,5)． ∵点P 是线段BD 的中点， ∴点P 的坐标为(4,3)． 当y ＝3时，由y ＝4x ，得x ＝43；由y ＝20x ，得x ＝203.∴PA ＝4－43＝83，PC ＝203－4＝83.∴PA ＝P C.∵PB ＝PD ，∴四边形ABCD 为平行四边形． ∵BD ⊥AC ，∴四边形ABCD 是菱形．(2)能．理由如下：当四边形ABCD 是正方形时，记AC ，BD 的交点为P ， ∴BD ＝A C.当x ＝4时，y ＝m x ＝m 4，y ＝n x ＝n4，∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，m 4，点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，n 4.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，m ＋n 8. ∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8m m ＋n ，m ＋n 8，点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8n m ＋n ，m ＋n 8. ∵AC ＝BD ，∴8n m ＋n －8m m ＋n ＝n 4－m 4. ∴m ＋n ＝32.11．(2018·泰州)在平面直角坐标系xOy 中，横坐标为a 的点A 在反比例函数y 1＝k x(x >0)的图象上，点A ′与点A 关于点O 对称，一次函数y 2＝mx ＋n 的图象经过点A ′.(1)设a ＝2，点B (4,2)在函数y 1，y 2的图象上， ①分别求函数y 1，y 2的表达式； ②直接写出使y 1>y 2>0成立的x 的范围．(2)如图①，设函数y 1，y 2的图象相交于点B ，点B 的横坐标为3a ，△AA ′B 的面积为16，求k 的值．(3)设m ＝12，如图②，过点A 作AD ⊥x 轴，与函数y 2的图象相交于点D ，以AD 为一边向右侧作正方形ADEF ，试说明函数y 2的图象与线段EF 的交点P 一定在函数y 1的图象上．解：(1)①∵点B 在y 1的图象上，∴k ＝2×4＝8.∴y 1＝8x.∵a ＝2，点A 在y 1的图象上，∴点A 的坐标为(2,4)，点A ′的坐标为(－2，－4)．将点A ′和B 的坐标代入y 2，得⎩⎨⎧4m ＋n ＝2，－2m ＋n ＝－4，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝－2.∴y 2＝x －2.②2<x <4.(2)分别过点A ，B 作AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，连结O B.∵O 为AA ′的中点，∴S △AOB ＝12S △AA ′B ＝8.∵点A ，B 在双曲线上，∴S △AOC ＝S △BO D . ∴S △AOB ＝S 四边形ACDB ＝8.根据已知，点A ，B 坐标可设为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，k a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ，k 3a ，∴12×⎝ ⎛⎭⎪⎫k 3a ＋k a ×2a ＝8，解得k ＝6. (3)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，k a ，则A ′⎝⎛⎭⎪⎫－a ，－k a .把A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，－k a 代入y ＝12x ＋n ，得－k a ＝－12a ＋n ，∴n ＝12a －k a .∴A ′D 的表达式为y 2＝12x ＋12a －ka .当x ＝a 时，点D 的纵坐标为a －ka， ∴AD ＝2ka－a.∵在正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∴点F 和点P 的横坐标为a ＋2k a －a ＝2k a.∴点P 的纵坐标为12×2k a ＋12a －k a ＝12a ，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k a ，12a .把点P 的横坐标2k a 代入y 1＝k x (x >0)，得y 1＝12a.∴点P 在y 1＝kx(x >0)的图象上．12．(自主招生模拟题)如图，反比例函数y ＝kx位于第一象限的图象上有A ，B 两点，从点A 作AD ⊥y 轴于点D ，从点B 作BC ⊥x 轴于点C ，若△OAB 的面积为56，△OCD 的面积为32，则k 的值为( B )A ．32B ．2C ．52D ．313．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y ＝ －x －1，双曲线y ＝1x.在l 上取点A 1，过A 1作x 轴的垂线交双曲线于点B 1，过B 1作y 轴的垂线交l 于点A 2.请继续操作并探究：过A 2作x 轴的垂线交双曲线于点B 2，过B 2作y 轴的垂线交l 于点A 3，…，这样依次得到l 上的点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…，记点A n 的横坐标为a n .若a 1＝2, 则a 2＝ －32 ，a 2013＝ －13 ；若要将上述操作无限次地进行下去，则a 1不能取的值是 0，－1 .14．(自主招生模拟题)已知点O 是坐标系的原点，直线y ＝－x ＋m ＋n 与双曲线y ＝1x交于两个不同点A (m ，n )(m ≥2)和B (p ，q )，直线y ＝－x ＋m ＋n 与y 轴交于点C ，求△OBC 的面积S 的取值范围．解：∵直线y ＝－x ＋m ＋n 与y 轴交于点C ， ∴C (0，m ＋n )．∵点B (p ，q )在直线y ＝－x ＋m ＋n 上， ∴q ＝－p ＋m ＋n .又∵点A ，B 在双曲线y ＝1x上，∴1p ＝－p ＋m ＋1m ，即p －m ＝p －m pm.∵点A ，B 是不同的点， ∴p －m ≠0. ∴pm ＝1. ∵mn ＝1， ∴p ＝n ，q ＝m . ∵1＞0，∴在每一个象限内，反比例函数y ＝1x的函数值y 随自变量x 的增大而减小．∴当m ≥2时，0<n ≤12.∵S ＝12(p ＋q )p ＝12p 2＋12pq ＝12n 2＋12，∴当0<n ≤12时，S 随自变量n 的增大而增大．∴12<S ≤58.。

第二十六章 反比例函数1. 反比例函数的意义预习归纳两个变量x ，y 满足 时，y 是x 的反比例函数，其中k 是 ．例题讲解【例】在反比例函数4y x=中，当x =2时，函数 y 的值为( ) A ．4 B ．2 C ．-2 D ．0基础题训练1．下列函数中是反比例函数的是( ) A ．y =2x B ．2x y = C ． 2y x = D ． 21y x =+ 2．下列函数:①12y x =；②2x y =③xy =3 ；④ky x=；⑤12y x -=，其中y 是x 的反比例函数的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．若函数1a y x+=是反比例函数，则 a 的取值范围是( )． A ．a>-1 B ．a≠-1 C ．a<-1 D ．a≠0 4．当路程 s 一定时，速度 v 与时间 t 之间的函数关系是( )．A ．正比例函数B ． 一次函数C ．反比例函数D ．不同于以上的函数关系 5．下列函数关系中是反比例函数的是( )A ．等边三角形面积与边长的关系B ．直角三角形两锐角的关系C ．长方形面积一定时，长与宽的关系D ．等腰三角形顶角与底角的关系 6．下列各点中，在函数2y x=的图象上的是( ) A ．(2，1) B ．(-2，1) C ．(2，-2) D ．(2，2) 7． (2014.齐齐哈尔)在平面直角坐标系x o y 中，点 P 到x 轴的距离为3个单位长度，到原点o 的距离为5个单位长度，则经过点 P 的反比例函数的解析式为 ． 8．已知 y 是x 的反比例函数，当 x =2时，y =-6 (1)求 y 与x 的函数关系式； (2)当 x =4时，求 y 的值中档题训练9．函数21y k x +=是反比例函数，则k 的取值范围是( )． A ．k ≠12- B ．k >12- C ．k ＜12- D ．k ≠0 ．10．若 y 与x 成正比例，y 与 z 成反比例，则下列说法正确的是( )A ．z 是x 的正比例函数B ．z 是x 的反比例函数C ．z 是x 的一次函数D ．z 不是x 的函数 11．若y 与一3x 成反比例，x 与z 成正比例，则 y 是z 的( )A ．正比例函数B ．反比例函数C ． 一次函数D ．不能确定12．反比例函数()212m y m +=-的函数值为3时，求自变量x 的值．13．已知梯形的面积为60cm 2 ，其上底是下底的13，设下底长为x cm ，高为 y cm ． (1)求y 与．x 的函数关系式； (2)当 y =6时，求x 的值．综合题训练14．已知函数 y =y 1-y 2 ，y 1与x 成反比例，y 2与 x -2成正比例，且当x =1时，y =-1；当x =3时，y =5(l)求 y 与x 的函数关系式；(2)当x =-3时，求y 的值．2.比例函数的图象与性质（一）预习归纳1.反比例函数的图象叫做2.反比例函数kyx=与kyx=-的图象关于对称，也关于对称.例题讲解【例】如图是我们学过的反比例函数的图象,它的函数解析式可能是( )A. y=x2B.4yx= C.3yx=- D. y=12x基础题训练1.(2014 邵阳)若反比例函数kyx=的图象经过点（－1，2），则k的值是.2. (2015 河南) 如图，直线y = kx与双曲线y =2x(x＞0)交于点A（1，a），则k= .3.函数2(1)my m x-=-为反比例函数，则m为（）A. 1B.±1C.0D. －14.反比例函数的图象经过点（3，2），下列各点中，在此函数图象上的点是（）A. （3，－2）B. （－3，2）C. （－3，－2）D. （－2，3）5.反比例函数2yx=的图象位于（）A.第一、三象限B.第二、三象限C. 第二、四象限D.第三、四象限6.已知点（1，1）在反比例函数ky x=（k 为常数，k ≠0）的图象上，则这个反比例函数的大致图象是（ ）7.(2014年漳州)双曲线1k y x+=所在象限内，y 的值随x 值的增大而减小，则满足条件的一个数值k 为8.（2015温州）如图，点A 的坐标是（2,0），△ABO 是等边三角形，点B 在第一象限，若反比例函数ky x=的图象经过点B ，则k 的值.9.若点（-1,4）是反比例函数ky x=图象上一点，则此函数图象必经过点（ ）. A. (2,2) B .（2，-2） C .（-4，-1） D .（-1，-4） 10.已知反比例函数1y x=，下列结论不正确的是（ ）. A.图象经过点（1，1） B.图象在第一、三象限 C. C. 当x>1时，0<y<1D.当x<0时，y 随x 的增大而增大11.在同一直角坐标系中，正比例函数y=x 与反比例函数2y x=的图象大致是（ ）A. B. C. D.12.反比例函数3y x=关于x 轴对称的图象的函数解析式为13.（2015·哈尔滨）点A （-1，1y ),B (-2,2y )在反比例函数2y x=的图象上，则1y ，2y 的大小关系是（ ）.A. 1y > 2yB.1y = 2yC.1y <1y D .不能确定 14.如图，若点A 在反比例函数ky x=（k≠0)的图象上，AM ⊥x 轴于点M ，△AMO 的面积为3.（1）求k 的值；（2）当A 点在反比例函数图象上运动时，其他条件不变，△AMO 的面积会发生变化吗？并说明你的理由.综合题训练15.（2015·沈阳）如图，已知一次函数332y x =-与反比例函数ky x=的图象相交于点A（4，n ），与x 轴相交于点B.(1)填空：n 的值为 ，k 的值为 ；（2）以AB 为边作菱形ABCD ，使点C 在x 轴正半轴上，点D 在第一象限，求点D 的坐标； （3）考察反比例函数ky x=的图象，当y≥2时，请直接写出自变量x 的取值范围.3．反比例函数的图象与性质（二）预习归纳1．当k ＞0时，反比例函数()0ky k x=≠的图象在第 象限；在每个象限的图象上，y 随x 的增大而 ． 2．当k ＜0时，反比例函数()0ky k x=≠的图象在第 象限；在每个象限的图象上，y 随x 的增大而 ．例题讲解【例】(2015·泰州)点(a －1，y 1)、（a ＋1，y 2）在反比例函数()0ky k x=>的图象上，若y 12，则a 的取值范围是 ．基础题训练1．若双曲线21k y x -=经过第一、三象限，则k 的取值范围是（ ）． A ．12k > B ．12k < C ．12k = D ．不存在2．反比例函数1k y x-=的图象，当0x <时，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（ ）．A ．k <1B ．k ≤1C ．k >1D ．k ≥13．（2015·包头）已知点A （-2，y 1）B (-1，y 2)和C （3，y 3）都在反比例函数3y x=的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为 （用“＜”连接）． 4．正比例函数y =kx 和反比例函数ky x=在同一坐标系内的图象为（ ）．ABC D5．（2014·天水）已知函数my x=的图象如图，以下结论：①m ＜0；②在每个分支上，y 随x 的增大而增大； ③若点A （-1，a ）点B （2，b ）在图象上，则a ＜b ；④若点P （x ，y ）在图象上，则点P 1（-x ， -y ）也在图象上．其中正确的个数是（ ）．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 6．（2015·广州）已知反比例函数7m y x-=的图象的一支位于第一象限． （1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m 的取值范围； （2）如图，O 为坐标原点，点A 在该反比例函数位于第一象限的图 象上，点B 与点A 关于x 轴对称，若△OAB 的面积为6，求m 的值．7．如图，已知一次函数()0y kx b k =+≠的图像与x 轴，y 轴分别交于A （1，0），B （0，1）两点，且又与反比例函数()0my m x=≠的图象在第一象限交于C 点，C 标为2．(1)求一次函数的解析式；(2)求C 点坐标及反比例函数的解析式．中档题训练8．(2015·兰州)在同一直角坐标系中，一次函数y ＝kx －k 与反比例函数()0≠=k xky 的图象大致是（ ）ABC D9．反比例函数xky =的图象与正比例函数y ＝kx 的图象的交点个数为（ ）． A ． 0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 10．(2015·天津)已知反比例函数xy 6=，当1时，y 的取值范围是（ ）． A ．0＜y ＜1 B ．1＜y ＜2 C ．2＜y ＜6 D ．y ＞6综合题训练11．(2015·上海)已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数x y 34=的图象经过点A ，点A 的坐标为4，反比例函数xmy =的图象也经过点A ，第一象限内的点B 在这个反比例函数的图象上，过点B 作BC ∥x 轴，交y 轴于点C ，且AC ＝AB ，求： (1)这个反比例函数的解析式； (2)直线AB 的表达式 ．专题 反比例函数的概念、性质小结与复习一、反比例函数的基本概念1．在下列函数中，m 为何值时y 是x 的反比例函数？(1)xm y 2+= （2）x m y 42-= （3）()221-+=m x m y2．已知点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2）都在xy 6=的图象上，若x 1· x 2＝４，求y 1· y 2的值．二、反比例函数图象的性质3． 若反比例函数xm y 1+=的图象在第一、三象限，则m 的取值范围是（ ）． A ． m ＞－1 B ．m ≥－1 C ．m ＜－1 D ．m ≤－1 4．若反比例函数ky x=的图象在第二、四象限， 则一次函数y ＝kx ＋k 图象经过（ ）． A ．第一、二、三象限 B ．第二、三、四象限 C ．第一、二、四象限 D ．第一、三、四象限5．（2015·武汉）在反比例函数xmy 31-=图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1＜0＜ x 2，y 1＜ y 2，则m 的取值范围是（ ）． A ． 31>m B ．31<m C ．31≥m D ．31≤m 6．在同一坐标系中,函数xky =与k kx y +=的图象大致是( )．ＢＤO7．(2014·赤峰)如图,反比例函数xky =（k ＞0）的图象与以原点(0，0)为圆心的圆 交于A 、B 两点，且A (1，)，图中阴影部分的面积等于 ．（结果保留π）8．(2015·兰州)若点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）在反比例函数xky =（k ＞0）的图 象上，且x 1＝－x 2，则（ ）．Ａ．y 1＜y 2 Ｂ．y 1＝y 2 Ｃ．y 1＞y 2 Ｄ．y 1＝－y 29．如图，已知反比例函数xky =（x ＞0），则k 的取值范围是（ ）． A ．１＜k ＜ B ．2＜k ＜3 C ．2＜k ＜4 D ．2≤k ≤4211 B专题 反比例函数与一次函数1．已知反比例函数xky =(k 为常数，k ≠0)的图象经过点A （2，3）． （1）求这个函数的解析式；（2）判断点B (－1，6)，C （3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由； （3）当－3＜x ＜－1时，求y 的取值范围．２．(2015·广东)如图，反比例函数xky =(k ≠0，x ＞0)的图象与直线y ＝3x 相交于点C ，过直线上点A （1，3）作AB ⊥x 轴于点B ，交反比例函数图象于点D ，且AB ＝3BD ． （1）求k 的值；（2）求点C 的坐标；（3）在y 轴上确定一点M ，使点M 到C ，D 两点距离之和d ＝MC ＋MD 最小，求点M 的坐标．3．如图，A (－4，n )，B （2，－4）是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数xmy =的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式 ；（2）求方程kx ＋b －xm＝0的解（请直接写出答案）；B（3）求不等式kx ＋b －xm＜0的解集（请直接写出答案）．4．如图，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝xm的图象交于A （2，3）、B （－3，n ）两点. （1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx ＋b ＞xm的解集 ； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，求S △ABC ．5．（2015·北京）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx ＋b （k ≠0）与双曲线y ＝x8的一个交点为P （2，m ），与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ． （1）求m 的值；（2）若P A ＝2AB ，求k 的值．6．如图，已知反比例函数y ＝xk的图象经过第二象限内的点A （－1，m ），AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为2，若直线y ＝ax ＋b 经过点A ，并且经过反比例函数y ＝xk的图象上另一点C （n ，－2）.（1）求直线y ＝ax ＋b 的解析式；（2）设直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点M ，求AM 的长．专题 勾股定理与反比例函数1．如图，直线y ＝2x 与双曲线y ＝xk（x ＞0）的图象交于点A ，且OA ＝5，求k 的值．2．如图，直线y ＝x 向右平移b 个单位后得到直线l ，l 与函数y ＝xk（x ＞0）的图象相交于点A ，与x 轴相交于点B ，且228OA OB -=，求k 的值．x3．如图，点B 为双曲线y ＝xk（x ＞0）上一点，直线AB 平行于y 轴交直线y ＝x 于点A ，若224OB AB -=，求k 的值．4．如图，点A 为双曲线()20y x x=-<上一点，AB ∥x 轴交直线y x =于点B ，求22AB OA -的值．5．如图，反比例函数y ＝xk（x ＞0）图象上的两点A 、B 的横坐标分别为1，3．点P 为x 轴正半轴上一点，若PA PB -的最大值为，则k ＝ ．6．如图，直线y ＝x －1交x 轴于D ，交双曲线y ＝xk（x ＞0）于B ，直线y ＝2x 交双曲线y ＝xk（x ＞0）于A ，OA ＝OB ，求k 的值．7．如图，直线y x =向右平移b 个单位后得直线l ，l 与双曲线()60y x x=>相交于点A ，与x 轴相交于点B ，求22OA OB -的值．8．如图，B 点为双曲线()100y x x=>上一点，直线AB 平行于y 轴，交直线y x =于点A ，求22OB AB -的值．9．如图，直线y x m =-+与双曲线2y x=-相交于C 点，与y 轴交于B ，与x 轴交于A 点，求BC AC ⋅的值．10．如图，直线4y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 为双曲线()60y x x=>上一点，PC ⊥x 轴于C ，交AB 于点N ，PD ⊥y 轴于D ，交AB 于点M . （1）求证：OA ＝OB ；（2）当P 点运动时，AM BN ⋅的值是否发生变化？若不变，求其值．4．实际问题与反比例函数预习归纳基本公式：s ＝vt ，F ＝PS ，U ＝IR ，S △＝21ah ．例题讲解【例】在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会改变．密度ρ（单位：kg/m 3）是体积V （单位：m 3）的反比例函数，它的图象如图所示，则当体积V ＝10cm 3时，气体的密度为（ ）． A ．5kg/m 3 B ．2kg/m 3 C ．100kg/m 3 D ．1kg/m3(m 3)基础题训练1．某同学要到离家2000米外的学校上学，那么他每分钟走m （米）和所用时间t （分钟）之间的函数关系式为______________．2．已知三角形的面积一定，则它底边a 上的高h 与底边a 之间的函数关系的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．3．已知甲、已两地相距s （km ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （h ）与行驶速度v （km/h ）的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．（2015·河北）一台印刷机每年可印刷的书本数量y （万册）与它的使用时间x （年）成反比例关系，当x ＝2时，y ＝20，则y 与x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．你吃过拉面吗？实际在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y （m ）是面条粗细（横截面积）S （mm 2）的反比例关系，其图象如图所示． （1）写出y 与S 之间的函数关系式；（2）当面条粗1．62mm 时，求面条的总长度．中档题训练6．某空调厂的装配车间计划组装9000台空调．（1）从组装空调开始，每天组装的台数y （台）与组装的天数x （天）有怎样的函数关系？（2）原计划60天完成，由于气温升高，厂家决定让这批空调提前10天上市，那么组装车间每天至少要多组装多少台？(mm 2)m，6小时可将满池水全部排空．7．某蓄水池的排水管每小时排水83（1）求蓄水池的容积；m），此时将满池水排空所需时间t （2）如果增加排水管，使每小时排水量达到Q（3（h），求Q与t之间的函数关系式；（3）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？8．有200个零件需要一天内加工完成，设当工作效率为每人加工P个零件时，需要q个工人．（1）求q与p的函数关系式；（2）若每人每天工作效率提高25％，则工人数减少百分之多少？综合题训练9．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x（元）与日销售量y（1）猜测并确定y与x之间的函数关系式；（2）设销售贺卡的利润为w元，求w与x之间的函数关系式；（3）若规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日销售利润？5．实际问题与反比例函数（二）预习归纳基本公式：s ＝vt ，F ＝PS ，U ＝IR ，S ∆＝12ah ． 例题讲解【例】汽车油箱中有油20升，汽车行驶过程中每小时耗油x 升，则其行驶时间y （小时）与x （升）之间的函数关系式为（ ） A ．y ＝20x B ．y ＝20x C ．y ＝20x D ．y ＝20—x 基础题训练1． 面积为4的矩形一边为x ，另一边为y ，则y 与x 的变化规律用图象大致表示为（ ）2． 一定质量的二氧化碳，当它的体积V ＝53m 时，它的密度3=1.98kg m ρ／ ． （1）求ρ与V 的函数关系式；（2）当V ＝93m 时，求二氧化碳的密度ρ．3．几位同学玩撬石头的游戏，已知阻力和阻力臂不变，分别是1200牛顿和0．5米，设动力为F ，动力臂为l ．（1）动力F 与动力臂有怎样的函数关系？（2）小刚选取了动力臂为2米的撬棍，你能得出他撬动石头至少需要多大的力吗？ 4．（2014▪云南）将油箱注满k 升油后，轿车行驶的总路程s （单位：千米）与平均耗油量a （单位：升／千米）之间满足反比例函数关系s ＝ka（k 是常数，k ≠0）．已知某轿车油箱 注满后，以平均耗油量为每千米耗油0．1升的速度行驶，可行驶700千米．D（1）求该轿车可行驶的总路程s 与平均耗油量a 之间的函数解析式（关系式）； （2）当平均耗油量为0．08升／千米时，该轿车可以行驶多少千米？中档题训练5．如图，一个圆台形的物体的上底面是下底面的12，放在桌子上它对桌面的压强为100Pa ，若倒过来后，它对桌面的压强是 Pa ．6．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （kPa）是气球体积V （3m ）的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于160kPa 时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（ ）．A ．不大于0．63m B ．不大于963m C ．不小于0．63m D ．不小于963m7．码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间 （1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v （单位：吨／天）与卸货时间t （单位：天）之间有怎样的函数关系？（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？3m ）18．制作一种产品，需先将材料加热，达到60℃后，再进行操作．据了解，该材料停止加热时，温度y （℃）与时间x （min ）成反比例关系，如图所示．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5min 后温度达到60℃． （1）当x ≥5时，求y 与x 的函数关系式；（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，必须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？综合题训练9．（2015▪衡阳）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物浓度y （微克／毫升）与服药时间x （时）之间的函数关系如图所示（当4≤x ≤10时，y 与x 成反比）．（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与x 之间的函数关系式； （2）血液中药物浓度不低于4微克／毫升的持续时间为多少小时？）专题 反比例函数与面积问题1．如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上，△ABP的面积为2，求反比例函数的解析式．2．如图，点A 为双曲线y ＝2x 的图象上一点，过A 作AB ∥x 轴交双曲线y ＝－4x于点B ，连AO ，BO ，求△AOB 的面积．3．如图，点A 在双曲线y ＝1x 上，点B 在双曲线y ＝kx上，且AB ∥x 轴，AD ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，C 、D 在x 轴上，若长方形ABCD 的面积为6，求k 的值．4．如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝kx（x ＞0，常数k ＞0）的图象经过点A （1，2）和点B ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ，若△ABC 的面积为2，求点B 的坐标．5．如图，直线y ＝2x —4交x 轴、y 轴于B 、C ，交双曲线y ＝kx于E ，且BC ＝2BE ，求k6．(2015·成都)如图，一次函数y ＝－x ＋4的图象与反比例函数ky x(k 为常数，且k ≠0)的图象交于A (1，a )，B 两点．⑴求反比例函数的表达式及点B 的坐标；⑵在x 轴上找一点P ，使PA ＋PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标及△PAB 的面积．7．(2015·陕西)如图，在平面直角坐标系中，过点M (－3，2)分别作x 轴、y 轴的垂线与反比例函数4y=的图象交于A 、B 两点，求四边形MAOB 的面积．8．如图，点B 为x 轴正半轴上一点，点A 为双曲线4y x=(x ＞0)上一点，且AO ＝AB ，过B 作BC ⊥x 轴交双曲线于C 点，求S △ABC ．9．(2015·南通)如图，直线y ＝－mx ＋n 与双曲线ky x=相交于A (－1，2)，B (2，b )两点，与y 轴相交于点C ． ⑴求m 、n 的值；⑵若点D 与点C 关于x 轴对称，求△ABD 的面积．x专题 反比例函数与几何小综合1．如图，直线122y x =-+交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，点P 为双曲线ky x=(x ＞0)上一点，且PA ＝PB ，∠APB ＝90°，求k 的值．2．如图，直线122y x =--与坐标轴交于A 、B 两点，与双曲线ky x=(x ＜0)交于C 点，且AC ＝AB ．求k 的值．3．如图，y ＝－5x ＋5与坐标轴交于A 、B 两点，△ABC 为等腰直角三角形，BC ＝AC ，双曲线ky =(x ＜0)过C 点．求k 的值．4．双曲线ky x=经过P 1，P 2两点，△AOP 1为等腰直角三角形，AP 2⊥x 轴且AP 2＝1，求k 的值．5．如图，直线115y x =-分别与x 轴、y 轴相交于B 、A ，点M 为双曲线ky x=(x ＞0)上一点，若△AMB 是以AB 为底的等腰三角形，求k 的值．6．(2010·兰州) 如图，P 1是反比例函数ky x=(k ＞0)在第一象限图象上的一点，点A 1的坐标为(2，0) ．⑴当点P 1的横坐标逐渐增大时，△P 1OA 1的面积将如何变化？⑵若△P OA 与△P A A 均为等边三角形，求反比例函数的解析式及A 2点的坐标．7．如图，直线y ＝2x －4分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，交双曲线ky x=(x ＞0)于点C ，且S △AOC ＝8．⑴求双曲线的解析式；⑵在C 点右侧的双曲线上是否存在点P ，使∠PBC ＝45°？若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由．8．如图所示，已知A(4，m)，B(－1，n)在反比例函数8yx=的图象上，直线AB与x轴交于C，如果点D在y轴上，且DA＝DC，⑴求C点的坐标；⑵求D点的坐标．9．如图1，直线y＝－x＋4交x轴、y轴于B、C，点A为x轴正半轴上一点，S△ABC＝165，C A的延长线交双曲线kyx=(x＞0)于E点，且A C＝4AE．⑴求点A的坐标及k的值；⑵如图2，正方形OMKN的顶点M、N分别在双曲线及线段BC上，求出点M、N的坐标．专题反比例函数与四边形1．如图，四边形ABCO为等腰梯形，双曲线kyx=过点B，且S四ABCO＝4，求k的值．2．如图，矩形ABCO，点E在AB上，且BE＝2AE，点F在BC上，双曲线kyx=正好过E、F两点，S△BOF＝4，求k的值．3．如图，B（－1，0），正方形ABCD的中心为O1，双曲线kyx=正好经过C，O1两点，求k的值．4．如图，矩形ABCD的面积为8，点A坐标为（1，2），双曲线kyx=正好经过B、D两点，且AB∥x轴，求k的值．5．如图，正方形ABCD，A（0，1），C（－5，0），双曲线kyx=过D点，求k的值．6．在平面直角坐标系中，直线y＝－2x＋2分别与x轴、y轴相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，双曲线kyx=在第一象限经过D点．（1）求双曲线的函数解析式；（2）将正方形ABCD沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C的对应点C’恰好落在（1）中的双曲线上？专题反比例函数与一元二次方程1．如图，已知直线y＝－x＋2分别与x轴、y轴相交于点A、B，与双曲线kyx=交于点E、F，若AB＝3EF，求k的值．2．(2010·武汉)如图，直线y x b=+与y轴交于点A，与双曲线kyx=在第一象限交于B、C两点，且AB·AC＝4，求k的值．3．如图，直线y＝－x＋5与双曲线kyx=交于A、B两点，点C为双曲线上A、B之间的一点，求△ABC的最大面积．4．如图，将直线y ＝－x 沿x 轴正方向平移5个单位后与()0ky k x=>的图像交于A 、B 两点，且AB＝，求k 的值．5．如图，△ABC 的三个顶点分别为A （1，2），B （2，5），C （6，1）．若函数ky x=在第一象限内的图象与△ABC 有交点，求k 的取值范围．专题 反比例函数与圆1．如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于M （0，－4），N （0，－10）两点，函数()0ky x x=<的图象过P 点，求k 的值．2．如图，直线AB 与坐标轴交于A （－2，0），B （0，1）两点，M 为线段AB 上的一点，⊙M 分别与OA 、OB 相切与点C 、D ，反比例函数ky x=的图象过点M ，求k 的值．3．如图，⊙O 1与y 轴切于点C （0，－2），与x 轴负半轴交于点A （－2，0），B 两点，双曲线ky x=过点O 1，点P 在双曲线上，PE ⊥x 轴，垂足为E ，求S △OPE ．4．如图，⊙O 1与坐标轴于A 、B 、C 、D 四点，A （1，0），B （－3，0），D （0，－1），双曲线ky x=过点O 1，求k 的值．5．如图，半径为5的⊙O 1与直线y ＝x ＋2于A （0，2），C 两点，交y 轴于B （0，10），CD 是⊙O 1的直径，若函数()0ky x x=<的图象过点D ，求k 的值．专题 反比例函数与二次函数1．(2010·武汉)二次函数()20y ax b b =+>与反比例函数ay x=在同一坐标系中的图象可能是（ ）A B C D 2．(2014·长沙) 函数ay x=与函数()20y ax a =≠在同一坐标系中的图象可能是（ ）A B C D3．(2014·南昌) 已知反比例函数ky x=与的图象如右图，则二次函数2224y kx x k =-+的图象大致是（）A B C D4．(2014·河北)定义新运算：a ○＋b ＝()()00ab ba b b⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，例如：4○＋5＝45，4○＋(－5)＝－45．则函数y ＝2○＋x(x ≠0)的图象大致是（ ）A B C D专题 反比例函数综合1．（2014·济南）如图1，反比例函数ky x(x ＞0)的图象经过点A(1)，射线AB 与反比例函数图象交于另一点B (1，a )，射线AC 与y 轴交于点C ，∠BAC =75°，AD ⊥y 轴，垂足为D ．(1)求k 的值；(2)求tan ∠DAC 的值及直线AC 的解析式； (3)如图2，M 是线段AC 上方反比例函数图象上一动点，过M 作直线l ⊥x 轴，与AC 相交于点N ，连接CM ，求△CMN 面积的最大值．2．水产公司有一种产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下表：观察表中数据，发现这种海产品的每天销售量y （千克）是销售价格x （元/千克）的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数中的一种．（1）请你选择一种合适的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另一种函数的理由；（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？（3）按（2）中定价继续销售15天后，公司发现声音的这些海产品不超过2天必须全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？图1第二十七章相似1．图形的相似预习归纳两个形状，大小的图形是相似形．例题讲解【例】两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为40°，60°，那么另一个三角形的最大角为，最小角为．基础题训练1．下列图形中，不是相似图形的是（）2．下列说法正确的是（）A．相似三角形一定全等B．不全等的两个三角形一定不相似C．全等三角形不一定是相似三角形D．全等三角形一定是相似三角形3．在比例尺为1:5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地的实际距离是（）A．1250km B．125km C．12.5km D．1.25km4．已知△ABC与△A1B1C1相似，顶点A、B、C的对应点分别是A1、B、C1，∠A=55°，∠B=100°，则∠C1的度数是（）A．55°B．100°C．25°D．不能确定5．在下面的三个矩形中，相似的是（）A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．甲、乙和丙1cm 2cm2cm4cm3cm4cm 丙乙甲6．如图，梯形ABCD与梯形A`B`C`D`相似（A、B、C、D的对应点分别为A`、B`、C`、D`），则α= ，β= ，x= ，y= ，z= ．A`A7．请在方格纸中画出与原图形相似的图形．8．如图，DE ∥BC ． （1）求AB AD 、AC AE 、BCDE的值； （2）证明△ADE 与△ABC 相似．2.523954ED CBA中档题训练9．下列五个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似．其中正确的结论是 ． 10． 要做甲乙两种形状相同（相似）的三角形框架，已知三角形框架甲的三边长分别为50cm 、60cm 、80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，那么，符合条件的三角形框架乙共有（ ） A ． 1种 B ． 2种 C ． 3种 D ． 4种 11． 如图，△ABC 与△DEF 相似，∠B 、∠E 为钝角，求未知边x 、y 的长度．y x 8241614FE DCBA12．如图，△ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD =2BD ，AE =2CE ，32BC DE ． 求证：△ABC 与△ADE 相似．E D CBA综合题训练13．在AB =30m ，AD =20m 的矩形花坛四周修筑小路．（1）如图1，如果四周小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形ABCD 和矩形ABCD 相似吗？请说明理由．图1D`C`B`A`DCBA（2）如图2，如果相对着的两条小路的宽均相等，小路的宽x 与y 的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形ABCD 和矩形ABCD 相似？请说明理由．图2D`C`B`A`yxDCBA2． 相似三角形的判定（一）预习归纳1．三条平行线截两条直线，所得的 比相等． 2．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的 相等． 3．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所得的三角形与原三角形 ．例题讲解【例】如图，在△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，DF ∥AC ，若AC =10，BC =20，DE =12，求DF 的长．E FDCBA基础题训练1．如图l 1∥l 2∥l 3，下列比例式不成立的是（ ）A ．EF DE BC AB = B ． EF DF BC AC = C ． CF AD AC AB = D ． DFACDE AB =2．（2015·长沙）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，31=BC DE ，DE =6，则BC 的长是 ．3．（2015·哈尔滨）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在BA 的延长线上，点F 在BC的延长线上，连接EF ，分别交AD 、CD 于点G 、H ，则下列结论错误的是（ ）A ．EF EG BE EA = B ． GD AG GH EG = C ． CF BC AE AB = D ． ADCFEH FH =4．（2015·成都）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD =6,DB =3,AE =4,则EC 的长为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4第2题图第3题图第4题图第1题图l 3l 2l 1ABCDE H ABDEABCDE F G E D CB A5．如图，菱形ABCD 内接于△AEF ，AE =5，AF =4，求菱形的边长．AEFBDC6．如图，在△ABC 中，直线DN 平行于中线AF 交AB 于点D ，交AC 的延长线于点E ，交边BC 于点N ．求证：ACAEAB AD =． N A EF BDC中档题训练7．（2015·宁夏）在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点，连接AE ． （1）若AB ＝AE ，求证：∠DAE ＝∠ADC ；（2）若点E 为BC 的中点，连接BD ，交AE 于点F ，求EF ：F A 的值．BE8．如图，△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于D ，过B 作BE ∥CD 交AC 的延长线于点E ． 求证：AD ACDB CB=．9．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ，BD 交于点O ，过点O 作EF 分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，求证：OE ＝OF ．B10．如图，在△ABC 中，点E 是AC 上一点，DE ∥BC 交AB 于D ，EF ∥AB 交BC 于F ，AD ＝3，BD ＝5，DE ＝4，求CF 的长．BC综合题训练11．在△ABC 中，点D 为边BC 上一点，点E 为边AC 的中点，AD 与BE 交于点P ．（1）如图1，当BD ＝CD 时，PEPB＝ ； （2）如图2，当CD ＝2BD 时，求证：PE ＝PB ．图1CDCD图23． 相似三角形的判定（二）预习归纳如果两个三角形的三组 的比相等，那么这两个三角形相似．例题讲解【例】△ABC 的三边长分别为6、8、12，△A 1B 1C 1的三边长分别为2、3、2．5，△A 2B 2C 2的三边长分别为6、3、4，则△ABC 与 相似．基础题训练1．一个三角形三边的长分别是3、5、7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其他两边长的和是（ ）A ．19B ．17C ．24D ．212．已知△ABC 的三边长分别为6，7．5，9，△DEF 的一边长为4，若△DEF 与△ABC 相似，则△DEF 的另两边长可能为（ ） A ．2，3 B ．4，5 C ．5，6 D ．6，73．如图，A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是正方形网格的格点，为使△PQR ∽△ABC ，则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）．CB5．△ABC 的三边长分别为2A 1B 1C 1的两边长分别为1，当△A 1B 1C 1的第三边长为 时，△ABC 与△A 1B1C 1相似．ABCD。

北师大版九年级数学上册第六章反比例函数提高培优讲义：反比例函数和一次函数综合知识梳理：模块一：反比例函数和一次函数图象综合模块二：反比例函数的对称性(第14题)模块三：平行和相等模型AM BN =AM BN =模块四、例题讲解:例1、（1）函数y kx k =+与()ky k x=≠0在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．（2）在同一坐标系内，表示函数y kx b =+与kby x=（k ≠0，b ≠0）的图像只可能是下图中的（ ）D C B AD C BD CDA ．B ．C ．D ．（1）C ；（2）B ．例2、如图，反比例函数ky x=与一次函数y mx b =+的图象交于(,)A 13，(,)B n -1两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值小于一次函数的值．（1）y x3=，y x =+2； （2）x -3<<0或x >1．例3、（1）如图3-1，直线()y kx k =>0与双曲线y x2=交于A 、B 两点，坐标分别为(,)A x y 11，(,)B x y 22，则x y x y 1221+的值为_________．（2）如图3-2，已知直线y x 1=2与双曲线()ky k x=>0交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4．过原点O 的另一条直线l 交双曲线()ky k x=>0于P 、Q 两点（P 点在第一象限），若由点P 、Q 、A 、B 为顶点组成的四边形面积为24，则点P 的坐标为____________．图3-1 图3-2（1）-4；（提示：x x 21=-，y y 21=-）（2）由对称性可得，OP OQ =，OA OB =，则四边形APBQ 是平行四边形，∴△POA APBQ S S 11==⨯24=644，设P 点坐标为,p p x x 8⎛⎫ ⎪⎝⎭，若p x 0<<4，则()p p x x 18⎛⎫2+4-=6 ⎪2⎝⎭，解得p x =2（舍负），∴(,)P 24；若p x >4，则()p p x x 18⎛⎫2+-4=6 ⎪2⎝⎭，解得p x =8（舍负），∴(,)P 81，故P 点坐标为(,)24或(,)81．例4、（1）已知一次函数y x b =-+的图象与反比例函数()ky k x=>0的图象的一个交点坐标是(,)26，则另一个交点的坐标是_________．（2）已知一次函数y x b =+的图象与反比例函数()ky k x=<0的图象的一个交点坐标是(,)-15，则另一个交点的坐标是_________．（1）(,)62；（2）(,)-51．例5、（1）如图5-1，直线y x =-+1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数ky x=在第一象限内的图象交于C 、D 两点，已知C 点的横坐标为14．则△OCD 的面积为______________．（2）如图5-2，已知直线y x m n =-++与双曲线y x1=交于两个不同的点(,)A m n (≥m 2)和(,)B p q ．直线y x m n =-++与y 轴交于点C ，则△OBC 的面积S 和m 的函数关系式为_________________．（3）如图5-3，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB AC ==2，直角顶点A 直线y x =上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若双曲线()ky k x=≠0与△ABC 有交点，则k 的取值范围是 ．图5-1 图5-2 图5-3（1）由题意，C 点的坐标为,13⎛⎫ ⎪44⎝⎭，∴D 点的坐标为31⎛⎫⎪44⎝⎭，，∴△OCD S 13111⎛⎫=+⨯⨯= ⎪44224⎝⎭．（2）由题意，点A 与点B 关于直线y x =对称，则B 点坐标为(,)n m ，∴(△)OBC S S m n n mn n 2111==+⋅=+222，又n m 1=，∴S m 211=+22．（3）≤≤k 14．例6、在平面直角坐标系中，函数my x=（x >0，m 是常数）的图象经过点(,)A 14，点(,)B a b ，其中a >1，过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，AC 与BD 相交于点M ，连接AD ，DC ，CB 与AB ． （1）求m 的值； （2）求证：DC//AB ；（3）当AD BC =时，求直线AB 的函数解析式．（1）m =4；（2）略；（3）当四边形ABCD 为平行四边形或为等腰梯形时，对应的直线AB 的解的式为y x =-2+6或y x =-+5．例7、（1）如图7-1，一次函数y ax b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有以下四个结论：①△CEF 与△DEF 的面积相等；②△≌△AOB FOE ；③△≌△DCE CDF ；④AC BD =．其中正确的结论是________（把你认为正确结论的序号都填上）．（2）如图7-2，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x 3=2与双曲线y x6=相交于A ，B 两点，C 是第一象限内双曲线上一点，连接CA 并延长交y 轴于点P ，连接BP ，BC ．若△PBC 的面积是20，则点C 的坐标为___________．（3）如图7-3，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点A 在x 轴正半轴上，OC 是△OAB的中线，点B ，C 在反比例函数()y x x3=>0的图象上，则△OAB 的面积等于________．图7-1 图7-2 图7-3（1）①④（2）,149⎛⎫⎪37⎝⎭；（3）92．模块五、课后作业：1、（1）已知关于x 的函数()y k x =+1和()≠ky k x=-0，它们在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．（2）已知a ≠0，b ≠0，a b +≠0，则函数y ax b =+与a by x+=在同一坐标系中的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．（1）A ；（2）B ．2、（1）若一次函数y x b =3+和反比例函数b y x-3=的图像有两个交点，当b =______时，有一个交点的纵坐标为6．（2）如图是一次函数y kx b 1=+和反比例函数my x2=的图象，观察图象写出y y 12>时，x 的取值范围为____________．（1）由题意可得y =6，代入y x b =3+，b y x-3=可得b =5． （2）观察图象得3x >或20x -<<．3、如图，双曲线my x=在第一象限的一支上有一点(,)C 15，经过点C 的直线()y kx b k =-+>0与x 轴交于点(,)A a 0． （1）求点A 的横坐标a 与k 之间的函数关系式； （2）当这条直线与双曲线的另一交点D 的横坐标为9时，求△COA 的面积．（1）由(,)A a 0、(,)C 15两点在直线y kx b =-+上， 有,.k b ka b -+=5⎧⎨-+=0⎩消去b 得a k 5=1+． （2）容易求得双曲线解析式5y x =，从而交点59,9D ⎛⎫⎪⎝⎭， 可得，解得 由（1）的结论，可得，故． 4、（1）如图4-1，直线()y ax a =>0与双曲线y x3=交于(,)A x y 11，(,)B x y 22两点，则x y x y 12214-3=_______．（2）如图4-2，已知反比例函数y x4=与直线y x b =-+交于P 、Q 两点，其中点Q 为(4, m )，则△OPQ 的面积为________．5599k b k b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，5950.9k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，51a k =+10a =1105252COA S ∆=⨯⨯=图4-1 图4-2（1）-3；（提示：x x 21=-，y y 21=-）； （2）152． 5、一次函数y ax b =+的图象分别于x 轴、y 轴交于点M 、N ，与反比例函数ky x=的图象相交于A 、B ，过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为C 、E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F 、D ；AC 与BD 交于点K ，连结CD ．（1）若点A 、B 在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图5-1，试证明：①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =．（2）若点A 、B 分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图5-2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．图5-1 图5-2（1）①AEOC BDOF S S k ==矩形矩形，AEOC DOCK BDOF DOCK S S S S ∴-=-矩形矩形矩形矩形，即AEDK CFBK S S =四边形四边形．②如图①，连AD 、BC ，得△△ADK BCK S S =， △△ADC BDC S S ∴=，得BC//AB ．AC //y 轴，∴四边形ACDN 是平行四边形，AN CD ∴=，同理BM CD =，故AN BM =；（2）AN 与BM 仍然相等，证法同①．6、平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线()k y k x=>0经过A ，E 两点，若平行四边形AOBC 的面积为18，则k =________．k=6．。

第五讲 反比例函数的图象与性质培优竞赛辅导知识点一、反比例函数的概念：一般地，形如_______________ ( k 是常数, ____ ) 的函数叫做反比例函数。

注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；（2）解析式有三种常见的表达形式：（A ）___________ ， （B ）___________ （C ）__________ （3）求解析式的方法：___________【例题精讲】反比例函数的概念例1、（1）下列函数，①x k y =②xk y 12+=③x y 53=④14+=x y ⑤2x y =-⑥31-=x y 、⑦24x y = ⑧xy=—2⑨y ＝3x－1其中是y 关于x 的反比例函数的有：_________________。

例2、已知反比例函数62)2(--=a x a y ，且其函数图像在每一个象限内y 随x 增大而减小，则a 的值是________，其解析式是________．例3求反比例函数的解析式及相关函数的表达式 1、反比例函数(0ky k x=≠）的图象经过（—2，5）和（2， n ），求（1）n 的值；（2）判断点B （24，.2、已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝—1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值．3、如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ）A ．反比例函数B ．正比例函数C ．一次函数D ．反比例或正比例函数 知识要点二、反比例函数的图象和性质：1、形状：图象是________。

2、变化趋势：双曲线无限接近于______轴或________轴,但永远不会与 相交。

3、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点成_________对称，且关于第一三象限角平分线_______或第二四象限角平分线_______成轴对称； （2）对于k 取互为相反数的两个反比例函数（如：y =x 6 和y = x6-）来说，它们是关于x 轴，y 轴_________。

k 中考数学一轮复习——反比例函数及其综合应用专题培优、拔高讲义【中考考点梳理】1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝或（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图像的大致位置k＞0yo xk＜0yo x经过象限性质第象限在每一象限内,y随x的增大而第象限在每一象限内,y随x的增大而3．的几何含义：反比例函数y＝k(k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y＝k(kx x ≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积为.【思想方法】数形结合【例题精讲】例1某汽车的功率P为一定值，汽车行驶时的速度v（米／秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如右图所示：（1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；（2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米／时？（3）如果限定汽车的速度不超过30米／秒，则F在什么范围内？AyOxBm（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）x为何值时，一次函数值大于反比例函数值．【当堂检测】1.已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3），则m的值为．2.若正方形AOBC的边OA、OB在坐标轴上，顶点C在第一象限且在反比例函数y＝1的x 图像上，则点C的坐标是.3．在反比例函数y=k-3图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围x是（）A．k＞3B．k＞0C．k＜3D．k＜04.如图,反比例函数图象过点P,则它的解析式为()y．．．-A.y ＝ 1 (x>0)B.y ＝－ 1 (x>0) x xC.y ＝ 1 (x<0)D.y ＝－ 1 (x<0)xx5．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 P ( kPa ) 是气体体积 V ( m 3 ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于 120 kPa 时，气球将 爆炸．为了安全起见，气球的体积应（）A ．不小于 5 m 3B ．小于 5 m 344C ．不小于 4 m 35D ．小于 4 m 35第 5 题图6．如图，若点 A 在反比例函数 y = k (k ≠ 0) 的图象上， AM ⊥ x 轴于点 M ，△AMO 的面积x为 3，则 k =．第 6 题图7．对于反比例函数 y = 2 ，下列说法不正确的是（）xA ．点 (-2， 1) 在它图象上B ．图象在第一、三象限1.对于反比例函数 y = 2，下列说法不正确的是（）x-C ．当 x > 0 时， y 随 x 的增大而增大D ．当 x < 0 时， y 随 x 的增大而减小8.反比例函数 y = - 6 的图象位于（）xA ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第二、三象限D ．第一、二象限9．某空调厂装配车间原计划用 2 个月时间（每月以 30 天计算），每天组装 150 台空调.（1）从组装空调开始，每天组装的台数 m （单位：台／天）与生产的时间 t （单位:天）之间有怎样的函数关系？（2）由于气温提前升高、厂家决定这批空调提前十天上市，那么装配车间每天至少要组装多少空调？【课后过关自测小练习】一、选择题．．．A ．点 (-2， 1) 在它的图象上B ．它的图象在第一、三象限xB xOC ．当 x > 0 时， y 随 x 的增大而增大D ．当 x < 0 时， y 随 x 的增大而减小2.在反比例函数 y = 1 - 2m的图象上有两点 A (x , y ) ， (x , y )，当 x < 0 < x 时，有 y < y ，1 12 2 1 2 1 2则 m 的取值范围是（）A ． m < 0 B. m > 0 C. m <1D. m >1223.如果点（3，－4）在反比例函数 y = k的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是（xA.（3,4）B. （－2，－6）C.（－2，6）D.（－3，－4））4.如图,一次函数ｙ =ｘ－1 与反比例函数ｙ = 2的图像交于点 A (2,1),B (－1,－2),则使ｙ1 2 1＞ｙ 的ｘ的取值范围是（）2A.ｘ＞2B.ｘ＞2 或－1＜ｘ＜0C.－1＜ｘ＜2D.ｘ＞2 或ｘ＜－15.如图：等腰直角三角形 ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点 A 在直线 y =x 上，其中 A 点的横坐标为 1，且两条直角边 AB 、AC 分别平行于 x 轴、y 轴，若双曲线 y = k (k ≠x0)与 ∆ABC 有交点，则 k 的取值范围是（）A ．1 < k < 2B ．1≤ k ≤ 3C ．1≤ k ≤ 4D ．1≤ k < 4ｙ yACBOｘAB第 4 题图1第 5 题图xx2x，y=（第9题）O A二、填空题6.点P(2m-31)在反比例函数y=1的图象上，则m=．x7.老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质，甲：第一象限内有它的图象；乙：第三象限内有它的图象；丙：在每个象限内，y随x的增大而减小．请你写一个满足上述性质的函数解析式_________________．8.在函数y=1的图象上有三个点的坐标分别为（1，y）、（1，y）、（-3，y），函数值123y1、y2、y3的大小关系是.9.如图，在反比例函数y=2（x>0）的图象上，有点P，P，P，P，它们的横坐标依次1234为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S，S，S，则S+S+S=．123123y y2P1xP2P3P4CEBFO1234x第10题图x第9题图10.如图，已知双曲线y=k（x>0）经过矩形OABC的边AB，BC的中点F，E，且四边x形OEBF的面积为2，则k=．．11.如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m的图象x的两个交点.(1)求此反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.第11题图12.为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg．据以上信息解答下列问题：（1）求药物燃烧时y与x的函数关系式．（2）求药物燃烧后y与x的函数关系式．（3）当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？第12题图。

2019年秋初中数学《反比例函数》专题培优提升讲义一、考点概况反比例函数图象性质考点1、 表达式：)0(≠=k xky 考点2、 图像：反比例函数是分布在象限中的双曲线考点3、 增减性：k>0时，图象分布在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小； K<0时，图象分布在第二、第四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大； 考点四4、二、常考题型（一）反比例函数自变量范围的确定 1、函数y ＝x ＋1x中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥－1B ．x ＞－1C ．x ≥－1且x ≠0D ．x ＞－1且x ≠02、如图所示，反比例函数1y 与正比例函数2y的图象的一个交点是(21)A ，，若210y y >>，则x 的取值范围在数轴上表示为（ ）3、如图2，反比例函数11k y x=和正比例函数22y k x =的图像都经过点(1,2)A -，若12y y >，则x 的取值范围是（ ）（AA. 10x -<<B. 11x -<<C. 1x <-或01x <<D. 10x -<<或1x >4、已知函数1y x=的图象如图所示，当x≥－1时，y 的取值范围是（ ）A.y ＜－1B.y≤－1C. y≤－1或y ＞0D. y ＜－1或y≥05、如图，反比例函数y 1=k 1x 和正比例函数y 2=k 2x 的图象交于A （-1，-3）、B （1，3）两点，若k 1x＞k 2x ，则x 的取值范围是（ ）（第5题图） （第6题图）（A ）-1＜x ＜0 （B ）-1＜x ＜1 （C ）x ＜-1或0＜x ＜1 （D ）-1＜x ＜0或x ＞1 6、如图，函数11y x =-和函数22y x=的图象相交于点M (2，m )，N (-1，n )，若12y y >，则x 的取值范围是（ ） A ．102x x <-<<或 B ．12x x <->或 C ．1002x x -<<<<或 D ．102x x -<<>或 7、若点A(m ，－2)在反比例函数4y x=的图像上，则当函数值y ≥－2时，自变量x 的取值范围是___________. （二）根据反比例函数的性质判断图象1、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝ a x与正比例函数y ＝（b ＋c ）x 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）2、函数y ax a =-与ay x=（a ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）3、反例函数4y x=图象的对称轴的条数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．34、已知反比例函数的图象y ＝k x过点P (1，3)，则该反比例函数图象位于( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限 5、函数2y x =与函数1y x-=在同一坐标系中的大致图像是（ ）6、 小明乘车从南充到成都，行车的平均速度y (km/h)和行车时间x (h)之间的函数图像是（ ）（三）根据反比例函数的图象性质求最值1、 已知点（-1，1y ），（2，2y ），（3，3y ）在反比例函数x k y 12--=的图像上. 下列结论中正确的是（ ）A ．321y y y >> B ．231y y y >> C ．213y y y >> D ． 132y y y >> 2、反比例函数xy 6=图象上有三个点)(11y x ，，)(22y x ，，)(33y x ，，其中3210x x x <<<，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( )A ．321y y y <<B ．312y y y <<C ．213y y y <<D ．123y y y <<3、已知（x 1, y 1）,（x 2, y 2）,（x 3, y 3）是反比例函数xy 4-=的图象上的三个点,且x 1＜x 2＜0，x 3＞0,则y 1,y 2,y 3的大小关系是( )A. y 3＜y 1＜y 2B. y 2＜y 1＜y 3C. y 1＜y 2＜y 3D. y 3＜y 2＜y 1（四）反比例函数多种情况求未知数的值 1、已知函数25(1)my m x -=+是反比例函数，且图像在第二、四象限内，则m 的值是（ ）A ．2B ．2-C ．2±D ．12-2、如图，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线ky x= 交OB 于D ，且OD ：DB=1:2，若△OBC 的面积等于3，则k 的值 （ ）A ． 等于2B ．等于34C ．等于245D ．无法确定3、函数1ky x-=的图象与直线y x =没有交点，那么k 的取值范围是（ ） A ．1k > B ．1k < C ．1k >- D ．1k <-4、若正比例函数y ＝2kx 与反比例函数y ＝kx（k ≠0）的图象交于点A （m ，1），则k 的值是（ ）．ABCD5、如图，直线ｌ是经过点（1,0）且与y 轴平行的直线．Rt △ABC 中直角边AC=4，BC=3．将BC 边在直线ｌ上滑动，使A ，B 在函数x ky =的图象上．那么k 的值是( ) A ．3 B ．６ Ｃ．12 D ．415( 第5题图)6、若双曲线y=x k 12-的图象经过第二、四象限，则k 的取值范围是（ ）A.k ＞21B. k ＜21C. k =21D. 不存在 7、若函数xm y 2+=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是（ ）A ．2->mB ．2-<mC ．2>mD ．2<m8、在平面直角坐标系xOy 中，已知反比例函数2(0)ky k x=≠满足：当0x <时，y 随x 的增大而减小．若该反比例函数的图象与直线y x =-都经过点P，且OP =k=_________.（四）利用反比例函数求几何图形的面积 1、如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为（ ）A ．12B ．9C ．6D ．4（ 第1题图） （ 第2题图） 2、如图,直线l 和双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 亮点,P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合）,过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线,垂足分别是C 、D 、E,连接OA 、OB 、OP,设△AOC 面积是S 1、△B OD 面积是S 2、△P OE 面积是S 3、则（ ） A. S 1＜S 2＜S 3 B. S 1>S 2>S 3 C. S 1=S 2>S 3 D. S 1=S 2<S 3 (五)反比例函数的综合运用1、 如图，四边形OABC 是面积为4的正方形，函数ky x=(x ＞0)的图象经过点B ． (1)求k 的值；(2)将正方形OABC 分别沿直线AB 、BC 翻折，得到正方形MABC′、MA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数k y x=(x ＞0)的图象交于点E 、F ，求线段EF 所在直线的解析式．2、 已知：y ＝y 1＋y 2，y 1与x 2成正比例，y 2与x 成反比例，且x ＝1时，y ＝3；x ＝-1时，y ＝1. 求x ＝-21时，y 的值．3、如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xmy =的图象交于点A ﹙-2，-5﹚C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．(1) 求反比例函数xmy =和一次函数b kx y +=的表达式； (2) 连接OA ，OC ．求△AOC 的面积．4、如图，已知反比例函数ky x=与一次函数y x b =+的图象在第一象限相交于点(1,4)A k -+． （1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．5、已知Rt△ABC 的斜边AB 在平面直角坐标系的x 轴上，点C （1，3）在反比例函数y = k x的图象上，且sin∠BAC = 35．（1）求k 的值和边AC 的长；（2）求点B 的坐标．。

反比例函数专题综合讲解(解答题)1．（2010 四川成都）如图，已知反比例函数ky x=与一次函数y x b =+的图象在第一象限相交于点(1,4)A k -+． （1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．【答案】解：（1）∵已知反比例函数ky x=经过点(1,4)A k -+， ∴41kk -+=，即4k k -+= ∴2k = ∴A(1，2) ∵一次函数y x b =+的图象经过点A(1，2)， ∴21b =+ ∴1b = ∴反比例函数的表达式为2y x=， 一次函数的表达式为1y x =+。

（2）由12y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去y ，得220x x +-=。

即(2)(1)0x x +-=,∴2x =-或1x =。

∴1y =-或2y =。

∴21x y =-⎧⎨=-⎩或12x y =⎧⎨=⎩ ∵点B 在第三象限，∴点B 的坐标为(21)--，。

由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，x 的取值范围是2x <-或01x <<。

2．（2010江苏徐州）如图，已知A(n ，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b 的图象和反比例函数y=xm的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ．(1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOC 的面积； (3)求不等式kx+b-xm<0的解集(直接写出答案)． 【答案】3．（2010 浙江义乌）如图，一次函数2y kx =+的图象与反比例函数m y x=的图象交于点P ，点P 在第一象限．PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ．一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、D ， 且S △PBD =4，12OC OA =．（1）求点D 的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当0x >时，一次函数的值大于反比例 函数的值的x 的取值范围.【答案】解：（1）在2y kx =+中，令0x =得2y = ∴点D 的坐标为（0，2） （2）∵ AP ∥OD ∴Rt △PAC ∽ Rt △DOC∵12OC OA = ∴13OD OC AP AC == ∴AP =6 又∵BD =624-= ∴由S △PBD =4可得BP =2∴P (2，6) 把P (2，6)分别代入2y kx =+与my x=可得 一次函数解析式为：y =2x +2反比例函数解析式为：12y x=（3）由图可得x ＞2 4．（2010江苏泰州）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x 个月的利润为y 万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y 与x 成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）． ⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y 与x 之间对应的函数关系式． ⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？ ⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】⑴①当1≤x ≤5时，设ky x=，把（1，200）代入，得200k =，即200y x=；②当5x =时，40y =，所以当x ＞5时，4020(5)2060y x x =+-=-；⑵当y =200时，20x -60=200，x=13，所以治污改造工程顺利完工后经过13-5=8个月后，该厂利润达到200万元； ⑶对于200y x=，当y =100时，x =2；对于y =20x -60，当y =100时，x =8，所以资金紧张的时间为8-2=6个月． 5．（2010 山东）如图,已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为4. （1）求k 的值； （2）若双曲线(0)ky k x=>上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于P ，Q 两点（P 点在第一象限），若由点A ，B ，P ，Q 为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．【答案】(1）∵点A 横坐标为4 ， ∴当 x = 4时，y = 2∴ 点A 的坐标为（4，2 ） …………2’ ∵点A 是直线12y x =与双曲线8y x=（k>0）的交点， ∴ k = 4×2 = 8 ………….3’(2)解法一：∵ 点C 在双曲线上，当y = 8时，x = 1 ∴ 点C 的坐标为（1，8）………..4’ 过点A 、C 分别做x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，得矩形DMONS 矩形ONDM = 32 ， S △ONC = 4 ， S △CDA = 9， S △OAM = 4 S △AOC = S 矩形ONDM －S △ONC －S △CDA －S △OAM = 32－4－9－4 = 15 ………..6’解法二：过点 C 、A 分别做x 轴的垂线，垂足为E 、F ， ∵ 点C 在双曲线8y x=上，当y = 8时，x = 1。

反比例函数专题综合讲解(解答题)1．（2010 四川成都）如图，已知反比例函数ky x=与一次函数y x b =+的图象在第一象限相交于点(1,4)A k -+．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．【答案】解：（1）∵已知反比例函数ky x=经过点(1,4)A k -+， ∴41kk -+=，即4k k -+= ∴2k = ∴A(1，2) ∵一次函数y x b =+的图象经过点A(1，2)， ∴21b =+ ∴1b = ∴反比例函数的表达式为2y x=， 一次函数的表达式为1y x =+。

（2）由12y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去y ，得220x x +-=。

即(2)(1)0x x +-=,∴2x =-或1x =。

∴1y =-或2y =。

∴21x y =-⎧⎨=-⎩或12x y =⎧⎨=⎩ ∵点B 在第三象限，∴点B 的坐标为(21)--，。

由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，x 的取值范围是2x <-或01x <<。

2．（2010江苏徐州）如图，已知A(n ，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b 的图象和反比例函数y=xm的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ．(1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOC 的面积； (3)求不等式kx+b-xm<0的解集(直接写出答案)． 【答案】3．（2010 浙江义乌）如图，一次函数2y kx =+的图象与反比例函数my x=的图象交于点P ，点P 在第一象限．P A ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ．一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、D ， 且S △PBD =4，12OC OA =．（1）求点D 的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当0x >时，一次函数的值大于反比例 函数的值的x 的取值范围.【答案】解：（1）在2y kx =+中，令0x =得2y = ∴点D 的坐标为（0，2） （2）∵ AP ∥OD ∴Rt △P AC ∽ Rt △DOC∵12OC OA = ∴13OD OC AP AC == ∴AP =6 又∵BD =624-= ∴由S △PBD =4可得BP =2∴P (2，6) 把P (2，6)分别代入2y kx =+与my x=可得 一次函数解析式为：y =2x +2反比例函数解析式为：12y x=（3）由图可得x ＞2 4．（2010江苏泰州）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x 个月的利润为y 万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y 与x 成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）． ⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y 与x 之间对应的函数关系式． ⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？ ⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？【答案】⑴①当1≤x ≤5时，设ky x=，把（1，200）代入，得200k =，即200y x=；②当5x =时，40y =，所以当x ＞5时，4020(5)2060y x x =+-=-；⑵当y =200时，20x -60=200，x=13，所以治污改造工程顺利完工后经过13-5=8个月后，该厂利润达到200万元； ⑶对于200y x=，当y =100时，x =2；对于y =20x -60，当y =100时，x =8，所以资金紧张的时间为8-2=6个月．5．（2010 山东）如图,已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为4. （1）求k 的值；y xPBD AO C（2）若双曲线(0)ky k x=>上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于P ，Q 两点（P 点在第一象限），若由点A ，B ，P ，Q 为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．【答案】(1）∵点A 横坐标为4 ， ∴当 x = 4时，y = 2∴ 点A 的坐标为（4，2 ） …………2’ ∵点A 是直线12y x =与双曲线8y x=（k>0）的交点， ∴ k = 4×2 = 8 ………….3’(2)解法一：∵ 点C 在双曲线上，当y = 8时，x = 1 ∴ 点C 的坐标为（1，8）………..4’ 过点A 、C 分别做x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，得矩形DMON S 矩形ONDM = 32 ， S △ONC = 4 ， S △CDA = 9， S △OAM = 4 S △AOC = S 矩形ONDM －S △ONC －S △CDA －S △OAM = 32－4－9－4 =15 ………..6’解法二：过点 C 、A 分别做x 轴的垂线，垂足为E 、F ， ∵ 点C 在双曲线8y x=上，当y = 8时，x = 1。

第六章反比例函数培优生试题讲义（资料编辑：薛思优）1．如图，函数y=与y=﹣kx+1（k≠0）在同一直角坐标系中的图象大致为（）A．B．C．D．2．如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=（x＞0）的图象上运动，且AC=BC，则△ABC的面积大小变化情况是（）A．一直不变B．先增大后减小C．先减小后增大D．先增大后不变3．函数y=（m2﹣m）是反比例函数，则（）A．m≠0 B．m≠0且m≠1 C．m=2 D．m=1或24．反比例函数y=的图象如图所示，以下结论正确的是（）①常数m＜1；②y随x的增大而减小；③若A为x轴上一点，B为反比例函数上一点，则S△ABC=；④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．A．①②③B．①③④C．①②③④D．①④5．如图，在直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=（x＞0）交于点C，过点D作CD⊥x轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论：①S△ADB=S△ADC；②当0＜x＜3时，y1＜y2；③如图，当x=3时，EF=；④方程2x2﹣2x﹣k=0有解．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．反比例函数的图象上有两点M，N，那么图中阴影部分面积最大的是（）A．B．C．D．7．如图所示，在平面坐标系中，AB⊥x轴，反比例函数y=（k1≠0）过B点，反比例函数y=（k2≠0）过C、D点，OC=BC，B（2，3），则D点的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）8．如图，直线y=﹣x+b与双曲线交于点A、B，则不等式组的解集为（）A．﹣1＜x＜0 B．x＜﹣1或x＞2 C．﹣1＜x≤1 D．﹣1＜x＜19．如果点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2B．y2＜y1＜y3C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y110．反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（﹣1，﹣2），当自变量x＞1时，函数值y的取值范围是（）A．y＞1 B．y＜1 C．y＞2 D．0＜y＜211．如图，一次函数y=ax+b与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴、x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE、EF．有下列三个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△DCE≌△CDF；③AC=BD．其中正确的结论个数是（）A．0 B．1 C．2 D．312．如图，反比例函数的图象经过点A（2，1），若y≤1，则x的范围为（）A．x≥1 B．x≥2 C．x＜0或0＜x≤1 D．x＜0或x≥213．若函数的图象经过点（3，﹣4），则它的图象一定还经过点（）A．（3，4）B．（2，6）C．（﹣12，1） D．（﹣3，﹣4）14．若直线y=2x﹣1与反比例函数y=的图象交于点P（2，a），则反比例函数y=的图象还必过点（）A．（﹣1，6）B．（1，﹣6）C．（﹣2，﹣3）D．（2，12）15．如图，反比例函数y=﹣（x＞0）图象经过矩形OABC边AB的中点E，交边BC于F点，连接EF、OE、OF，则△OEF的面积是（）A．B．C．D．16．如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y=（k≠0）的图象上，则点E的坐标为（）A．B．（）C．（）D．（）17．若点（﹣，y1），（﹣π，y2），（a2+1，y3）都是反比例函数y=上的点，则下列各式中，正确的是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y117．如图，点A在双曲线y=上，且OA=4，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为（）A． B．5 C． D．18．在反比例函数y=图象上的有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围为（）A．m＞0 B．m＜0 C．m＜ D．m＞19．如图，反比例函数y=（k≠0）的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC=CD，四边形BDCE的面积为2，则k的值为．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+2与反比例函数y=的图象有唯一公点，若直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象没有公共点，则b的取值范围是．二、填空题21．如图，直线y=﹣x+b与双曲线y=（x＞0）交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于E、F两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，当b= 时，△ACE、△BDF与△ABO面积的和等于△EFO面积的．22．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k= ．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象过点B，E．若AB=2，则k的值为．24．如图，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴的正半轴上，点G为矩形对角线的交点，经过点G的双曲线y=在第一象限的图象与BC相交于点M，交AB于N，若B（4，2），则的值为．三、解答题25．如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积；（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围．26．如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D 是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k= ；（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．27．如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（4，3），反比例函数y=（k＞0）的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上．（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；（2）求反比例函数的解析式；（3）如图2，P点坐标为（2，﹣3），在反比例函数y=的图象上是否存在点M、N（M在N的左侧），使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象交于A、B两点，点A坐标为（m，2），点B坐标为（﹣4，n），OA与x轴正半轴夹角的正切值为，直线AB交y轴于点C，过C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，连接OD、BD．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求四边形OCBD的面积．29．如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y=图象的两支上，且PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E、F．已知B（1，3）．（1）k= ；（2）试说明AE=BF；（3）当四边形ABCD的面积为时，求点P的坐标．30．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的一边OA在x轴上且B（4，3）．双曲线交BC于点P，交AB于点Q．（1）若P为边BC的中点，求双曲线的函数表达式及点Q的坐标；（2）若双曲线和线段BC有公共点，求k的取值范围；（3）连接PQ，AC，当PQ存在时，PQ∥AC是否总成立？若成立请证明，若不成立也请说明理由．31．如图，双曲线y=经过矩形OABC的边AB的中点D，交BC于点E．若四边形ODBE的面积为6．（1）试说明BE=CE；（2）求k的值．32．已知一次函数y=2x﹣k与反比例函数y=的图象相交于A和B两点，其中有一个交点A的横坐标为3．（1）分别求两个函数的关系式；（2）求A、B两点的坐标及△AOB的面积；（3）若直线AB上有一点P，使得△APO∽△AOB，求P点坐标．33．已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2）．（1）求这两个函数的表达式；（2）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．34．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=﹣x+3交AB，BC于点M，N，反比例函数y=的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．35．据媒体报道，近期“禽流感H7N9”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“禽流感H7N9”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x（分钟）之间的系如图所示（即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？36．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（分钟）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内注意力指数y是时间x的一次函数．10分钟以后注意力指数y是x的反比例函数．（1）当0≤x≤10时，求y关于x的函数关系式；（2）当10≤x≤40时，求y关于x的函数关系式；（3）如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果本节课讲完这道题不能超过多少分钟？。

《反比例函数》讲义一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。

需要注意的是，这里的x 不能为0，因为在分数中，分母不能为0。

例如，当速度 v 一定时，路程 s 与时间 t 的关系可以表示为 s ＝ vt。

如果路程一定，为常数 s₀，那么时间 t 与速度 v 的关系就可以表示为 t ＝ s₀/v，此时 t 是 v 的反比例函数。

二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式：1、 y ＝ k/x （k 为常数，k≠0）这是最基本的形式，也是我们最常见的形式。

2、 xy ＝ k （k 为常数，k≠0）将 y ＝ k/x 两边同乘 x 就可以得到 xy ＝ k。

3、 y ＝ kx⁻¹（k 为常数，k≠0）因为 x⁻¹＝ 1/x，所以这种形式与 y ＝ k/x 是等价的。

三、反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线。

当 k ＞ 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y 随 x 的增大而减小；当 k ＜ 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。

例如，函数 y ＝ 2/x，因为 k ＝ 2 ＞ 0，所以它的图象在第一、三象限，在每个象限内，当 x 增大时，y 会减小。

而函数 y ＝－3/x，因为 k ＝－3 ＜ 0，所以它的图象在第二、四象限，在每个象限内，当 x 增大时，y 会增大。

四、反比例函数图象的性质1、对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形。

它的对称轴有两条，分别是直线 y ＝ x 和直线 y ＝ x。

其对称中心是坐标原点（0，0）。

2、渐近线当 x 趋向于正无穷大或负无穷大时，反比例函数的图象无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。

也就是说，x 轴和 y 轴是反比例函数图象的渐近线。

3、增减性在反比例函数 y ＝ k/x 中，当 k ＞ 0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k ＜ 0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。

变式1 如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 变式2 若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．题型二：反比例函数解析式例3 已知A （﹣1，m ）与B （2，m ﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m 的值 ．例4 已知y 与2x －3成反比例，且41=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．变式3已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－23时，求x 的值．变式4 已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值．1、反比例函数的图像（1）形状与位置：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

（2）变化趋势：由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2、反比例函数的性质（1）对称性：反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形，同时也是轴对称图形，有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，即直线y x =±。

（注：过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称）（2）双曲线的位置：当k>0时，双曲线位于一、三象限（x ，y 同号）；当k<0时，双曲线位于二、四象限（x ，y 同号异号），反之也成立。

（3）增减性： 当k>0时，双曲线走下坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，双曲线走上坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而增大。

反比例函数专题一、典型例题讲解例题1、己知丫 = 乂+力，Vi与工成正比例，力与X成反比例，并且当工=2时，y= —4；当x= — 1时，y =5,求出y与工的函数关系式。

变式练习：已知y二凹+力，凹与x+1成正比，力与x+1成反比，当x=0时，y=-5;当x=2 时，y=-7,求y与x的函数关系式。

3例2、如图，点4、B是双曲线），=一上的点，分别经过4、B两点向工轴、），轴作垂线x段，若S阴影=1,则§ + S2 =.变式训练：如图，R4ABC的直角边必在X轴正半轴上，斜边』C边上的中线彻反向延长线交y轴负半轴于E,双曲线^ = -（x>0）的图象经过点A,若S^BECf贝ij k等于X .例3、如图，点A、3是函数y=x与y =-的图象的两个交点，作AC±x轴于C,作BD3x X 轴于〃，则四边形的面积为.k变式训练：如图，直线与双曲线y =—交于，，3两点，过点，作AMLx轴，垂足为x连结例，若d例=2,则A的值是（）.例4、己知：如图，在平面直角坐标系中，Rt'OCD的一边％在*轴上，ZC=90° ,点〃在第一象限，0C=3,〃牛4,反比例函数的图象经过仞的中点⑴求该反比例函数的解析式;(2)若该反比例函数的图象与EOCD的另一边交于点B,求过4、伊两点的直线的解析式.例5、如图，已知J(-4, 〃)，3(2, —4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y =— x 的图象的两个交点.(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线砂与*轴的交点。

的坐标及△/!游的面积；⑶求方程kx + b-- = 0的解(请直接写出答案):⑷求不等式农+人_竺＜ 0的解集(清直接写出答案).变式训练：如图7,己知一次函数乂 =尤+所顷为常数)的图象与反比例函数V =4 (k X为常数，的图象相交于点A (1, 3).(1)求这两个函数的解析式及其图象的另一交点8的坐标;(2)观察图象,写出使函数值乂与力的自变量工的取值范围・图72 例6、如图，正方形A\B\l\Pi 的顶点P\、R 在反比例函数*=-（才>0）的图像上，顶点4、 x9 3分别在x 轴和y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形"ABz,顶点R 在反比例函数*=-（x>0）的图象上，顶点玲在x 轴的正半轴上，则点尺的坐标为4变式训练：如图，R （而,Ni ），P 2（^,^2）, .. P 〃（玉，乂）在函数y =—（x>0）的图像上,X△PQA|, AP 2A,A 2, △PQ2A3,……AP 〃A 〃T A 〃都是等腰直角三角形，斜边OA ］、A 、、、A.A V ……A .A,;都在x 轴上⑴求Pl 的坐标2 /例7、如图，双曲线经过四边形OABC 的顶点A 、C, ZABC=90° , 0C 平分OA与工轴正半.轴的夹角，AB 〃工轴，将Z\ABC 沿AC 翻折后得到AAB' C, B'点落在0A±,则 四边形OABC 的面积是.k 例9、如图，直线y=kx+b 与反比例函数y = — (^<0)的图象交于点』，B,与x轴交于点⑵求叫+力+为+ +乂0的值 X的面积为3,则双曲线的解析式为（）.xC,其中点刀的坐标为(一2, 4),点月的横坐标为一4.(1)试确定反比例函数的关系式；(2)求△/!%的面积.例10、己知直线y = -x与双曲线y = -(k>0)交于& B两点，且点A的横坐标为4.2 x(1)求k的值；(2)若双曲线y = -(k>0)±一点C的纵坐标为8,求左AOC的面积；(3)过原点。

反比例函数一、 形如xky =(0≠k )的函数叫做反比例函数，它的图象是由两条曲线组成的双曲线，与双曲线相关的知识有：1．反比例函数解析式xky =中的系数k 决定图象的大致位置及y 随x 变化的状况．2．双曲线图象上的点是关于原点O 成中心对称，在k ＞0时函数的图象关于直线x y =轴对称；在k ＜0时函数的图象关于直线x y -=轴对称． 3．自变量的取值是不等于零的全体实数，双曲线向坐标轴无限延伸但不能接近坐标轴． 二、利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题 设P 为双曲线上任意一点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ，垂足分别为M 、N ，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON 的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k 故S=|k| 从而得结论1：过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积S 为定值|k|对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO 中，面积S= 结论3：在直角三角形ACB 中，面积为S=2|k| 结论4：在三角形AMB 中，面积为S=|k|例题讲解【例1】 已知反比例函数xky =的图象与直线x y 2=和1+=x y 过同一点，则当0>x 时，这个反比例函数的函数值y 随x 的增大而 (填增大或减小)．【例2】 如图，正比例函数kx y = (0>k )与反比例函数xy 1=的图象相交于A 、C 两点，过A 作AB ⊥x 轴于B ，连结BC ，若S △ABC 的面积为S ，则( )A ．S ＝1B ．S ＝2C ．S ＝kD ．S ＝2k【例3】 如图，已知一次函数8+-=x y 和反比例函数xky =(0≠k )的图象在第一象限内有两个不同的公共点A 、B ．(1)求实数k 的取值范围；(2)若△AOB 面积S ＝24，求k 的值．【例4】如图，已知直线y=x 与双曲线y=（k ＞0）交于A 、B 两点，点B 的坐标为（﹣4，﹣2），C 为双曲线y=（k ＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC 的面积为6，则点C 的坐标为 ．【例5】 如图，正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上， 点B 在函数x k y =(0>k ，0>x )的图象上，点P (m ，n )是函数xky = (0>k ，0>x )的图象上的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S ．(1)求B 点坐标和k 的值； (2)当29=S 时，求点P 的坐标； (3)写出S 关于m 的函数关系式.例6如右图，已知点（1,3）在函数的中点，函数y=A,E 两点，点E 的横坐标为m ，解答下列各题 1.求k 的值2.求点C 的横坐标（用m 表示）3.当∠ABD=45°时，求m 的值.学历训练 1．反比例函数xky =的图象经过点A (m ，n )，其中m ，n 是一元二次方程042=++kx x 的两个根，则A 点坐标为 ．2．如图：函数kx y -=（k ≠0）与xy 4-=的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC ⊥y 轴，垂足为点C ，则△BOC 的面积为 ．3．已知，点P (n ，2n )是第一象限的点，下面四个命题：(1)点P 关于y 轴对称的点P 1的坐标是(n ，－2n )；(2)点P 到原点O ； (3)直线 y ＝－nx ＋2n 不经过第三象限； (4)对于函数y ＝nx，当x ＜0时,y 随x 的增大而减小；其中真命题是 .(填上所有真命题的序号)4．已知反比例函数y ＝1mx-的图像上两点A (x 1，y 1)、B （x 2，y 2），当x 1＜0＜x 2时，有y 1＜y 2 ,则m 的取值范围是( )A ．m ＜0B ．m ＞0C . m ＜12D .m ＞125．已知反比例函数),0(≠=k xky 当0<x 时，y 随x 的增大面增大，那么一次函数k kx y -=的图象经过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 6.下列图形中，阴影部分面积最大的是（ ）B7.如图，P是函数（x＞0）图象上一点，直线y=﹣x+1分别交x轴、y轴于点A、B，作PM⊥x轴于点M，交AB于点E，作PN⊥y轴于点N，交AB于点F．则AF•BE的值为（）8.如图，点A（a，1）、B（﹣1，b）都在双曲线y=﹣上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是（）9.点A（5，m）在双曲线上，AB⊥x轴于B，AO的垂直平分线DC分别交AO、BO于点D、C．则△ABC 的周长等于（）10.如图，已知直线y=mx+n 交x 轴于A ，交y 轴于b ，且∠BAO=30°，P 为上一点，PE ⊥y 轴于E ，PF ⊥x轴于F ，分别交AB 于M ，N ，若AM •BN=，则k= ．11.函数y=x 1与y=x －2图象交点的横坐标分别为a,b ,则ba 11+的值为 。

第一讲 反比例函数【知识梳理】1、反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y=kx（k•为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数．反比例函数y=k x（k ≠0）还可以写成1-=kx y （k ≠0）或k xy =（k ≠0）.2、反比例函数y=kx具有如下的性质:（1）当k ＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y 随x 的增加而减小；（2）当k ＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y 随x 的增加而增大． 3、反比例函数y=kx （k ≠0）中k 的几何意义： 过函数 y=kx（k ≠0）的图像上任一点),(y x p 作PM ⊥x轴，PN ⊥y 轴，所得矩形PMON 的面积S=∣xy ∣=∣k ∣；所得△POM 的面积S=21∣k ∣。

【例题精讲】例1：（湖州市中考题）已知：在矩形AOBC 中，OB=4，OA=3，分别以OB 、OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系,F 是边BC 的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数()0>=x xky 的图像与AC 边交于点E. （1）求证：△AOE 与△BOF 的面积相等.（2）记ECF OEF S S S ∆∆-=,求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的一点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由.例2：（1）（兰州）如图（1），已知双曲线y=kx（x>0）经过矩形OABC 边中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k= 。

（2）（全国初中数学竞赛）如图（2），点A ，C 都在函数33y x=（x>0）的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BDC 都是等边三角形，则点D 的坐标为 。

初二优秀生讲义-----反比例函数知识点讲解1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y=kx（k•为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2．反比例函数的图象和性质．利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y=k x具有如下的性质①当k>0时，函数的图象在第一、三象限，•在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y 随x 的增加是减小；②当k<0时，•函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y 随x 的增加而增大．3．反比例函数的确定方法：由于在反比例函数关系式y=kx中，•只有一个待定系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数．因此，只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入y=kx中即可求出k 的值，从而确定反比例函数的关系式．4．用待定系数法求与反比例函数关系式的一般步骤是：①设所求的反比例函数为：y=kx（k ≠0）；•②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k 的方程；③由代入法解待定系数k 的值；④把k 值代入函数关系式y=kx中．例题剖析例1 如果函数y=k 222k k x +-的图象是双曲线，且在第二、四象限，•那么k 的值是多少？例2 函数y=kx 和y=kx（k<0）•在同一坐标系中的图象是（ ）例3 如图，正比例函数y=3x 的图象与反比例函数y=kx（k>0）的图象交于点A ，若取k 为1，2，3，…，20，对应的Rt △AOB 的面积分别为S 1，S 2，…，S 20，则S 1+S 2+…+S 20=_________．例4 正比例函数y=-x 与反比例函数y=-1x的图象相交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥x 轴于D （如图）•，•则四边形ABCD•的面积为________．例5 两个反比例函数y=3x ，y=6x在第一象限内的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3，…，P 2005在反比例函数y=6x图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…，x 2005，纵坐标分别是1，3，•5，•…，•共2005个连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 2005分别作y 轴的平行线，与y=3x的图象交点依次是Q 1（•x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2005（x 2005，y 2005），则y 2005=________．例6 设函数f （x ）对所有非零实数x ，有f （x ）+2f （1x）=3x ，求方程f （x ）=f （-x ）的解．例7 反比例函数y=kx（k>0）在第一象限内的图像如图所示，P 为该图像上任意一点，PQ 垂直于x 轴，垂足为Q ．设△POQ 的面积为S ，•那么S 的值与k 的值是否存在关系？若有关系，请写出S 与k 之间的关系式；若没有关系，请说明理由．例8 如图所示，已知反比例函数y=12x的图像与一次函数y=kx+4的图像相交于P 、•Q 两点，并且P 点的纵坐标是6．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求△POQ 的面积．例9 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧后，y 与x 成反比例（如图）．观测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，•请根据题中提供的信息，解答下列问题：（1）•药物燃烧时，•y•关于x•的函数关系式为________，•自变量x•的取值范围是__________；药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为________．（2）研究表明，当空气中的每立方米含药量低于1.6毫克时，学生方可进教室，•那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室．（3）研究表示，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10•分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？例10 某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式； （2）按照这种变化规律，若2005年已投入技改资金5万元．①预计生产成本每件比2004年降低多少万元？②如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）？例11 已知，如图所示，正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，•点C 在y 轴上，点B 在函数y=k x （k>0，x>0）的图像上，点P （m ，n ）是函数y=kx上的任意一点，过P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合的部分面积为S ． （1）求B 点的坐标和k 的值；（2）当S=92时，求点P 的坐标； （3）写出S 关于m 的函数关系式．例12 三个反比例函数（1）y=1k x ；（2）y=2kx ；（3）y=3k x在x 轴上方的图象如图所示，•由此推出k 1，k 2，k 3的大小关系．例13 已知点（1，3）在函数y=kx（k>0）的图象上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E•是对角线BD 的中点，函数y=kx（k>0）的图象．经过A 、E 两点，点E 的横坐标为m ．（1）求k 的值；（2）求点C 的横坐标（用m 表示）；（3）当∠ABD=45°时，求m 的值．例14 有一个Rt △ABC ，∠A=90°，∠B=60°，AB=1，•将它放在直角坐标系中，使斜边BC 在x 轴上，直角顶点A 在反比例函数y=x的图象上，求点C 的坐标．巩 固 练 习一、填空题1．如图：函数y=-kx （k ≠0）与y=-4x的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC⊥y 轴，•垂足为点C ，则△BOC 的面积为________． 2．已知，点P （n ，2n ）是第一象限的点，下面四个命题： （1）点P 关于y 轴对称的点P 1的坐标是（n ，-2n ）； （2）点P 到原点O； （3）直线y=-nx+2n 不经过第三象限；（4）对于函数y=nx，当x<0时，y 随x 的增大而减小；其中真命题是_______．（填上所有真命题的序号） 二、选择题1．已知反比例函数y=1mx的图像上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），当x 1<0<x 2时，有y 1<y 2，则m 的取值范围是（ ）（A ）m<0 （B ）m>0 （C ）m<12 （D ）m>122．函数y=-ax+a 与y=ax（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）3．如图，A 、B 是函数y=1x的图象上的点，且A 、B 关于原点O 对称，AC ⊥x 轴于C ，BD•⊥x 轴于D ，如果四边形ACBD 的面积为S ，那么（ ）（A ）S=1 （B ）1<S<2 （C ）S>2 （D ）S=24．如图，在直角坐标系中，直线y=6-x 与函数y=4x（x>0）的图象相交于点A 、B ，•设点A 的坐标为（x 1，y 1），那么长为x 1，宽为y 1的矩形面积和周长分别为（ ） （A ）4，12 （B ）8，12 （C ）4，6 （D ）8，6 三、解答题1．如图，已知一次函数y=kx+b （k≠0）的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，•且与反比例函数y=mx（m ≠0）的图像在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D ，若OA=OB=OD=1．（1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．2．如图，一次函数y=ax+b 的图象与反比例函数y=kx的图象交于M 、N 两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．3．已知反比例函数y=2kx和一次函数y=2x-1，其中一次函数图像经过（a ，b ），（a+•1，b+k ）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求A 点坐标； （3）利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．4．老师给出一个函数y=f （x ），甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图像不经过第三象限； 乙：函数图像经过第一象限； 丙：当x<2时，y 随x 的增大而减小； 丁：当x<2时，y>0已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数：_______． 5．已知反比例函数y=12x的图象和一次函数y=kx-7的图象都经过点P （m ，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点C、D在这个反比例函数的图象上，两底AD、BC与y轴平行，且A、B的横坐标分别为a和a+2，求a的值．6．通过市场调查，一段时间内某地区特种农产品的需求量y（千克）•与市场价格x（元/千克）存在下列函数关系式：y=100000x+6000（0<x<100）；又已知该地区农民的这种农产品的生产数量z（千克）与市场价格x（元/千克）成正比例关系：z=400x（0<x<100），现不计其他因素影响，如果需求数量y等于生产数量z时，即供需平衡，•此时市场处于平衡状态．（1）根据以上市场调查，请你分析当市场处于平衡状态时，•该地区这种农产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？（2）受国家“三农”政策支持，该地区农民运用高科技改造传统生产方式，减少产量，以大力提高产品质量．此时生产数量z与市场价格x的函数关系发生改变，•而需求函数关系未发生变化，当市场再次处于平衡状态时，市场价格已上涨了a（0<a<25）•元，问在此后的相同时间段内该地区农民的总销售收入是增加了还是减少了？变化多少？7．如图，直线经过A（1，0），B（0，1）两点，点P是双曲线y=12x（x>0）上任意一点，PM•⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N．PM与直线AB交于点E，PN的延长线与直线AB交于点F．（1）求证：AF×BE=1；（2）若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点的坐标．8．已知矩形ABCD的面积为36，以此矩形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，设点A的坐标为（x，y），其中x>0，y>0．（1）求出y与x之间的函数关系式，求出自变量x的取值范围；（2）用x、y表示矩形ABCD的外接圆的面积S，并用下列方法，解答后面的问题：方法：∵a2+22ka=（a-ka）+2k（k为常数且k>0，a≠0），且（a-ka）2≥0，∴a2+22ka≥2k，∴当a-ka=0，•即a=a2+22ka取得最小值2k．问题：当点A在何位置时，矩形ABCD的外接圆面积S最小？并求出S的最小值；（3）如果直线y=mx+2（m<0）与x轴交于点P，与y轴交于点Q，那么是否存在这样的实数m，使得点P、Q与（2）中求出的点A构成△PAQ的面积是矩形ABCD面积的16？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．9．已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1，这条曲线是函数y=12x的图象在第一象限内的一个分支，点P•是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a，b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN（点M、N•为垂足）分别与直线AB相交于点E和点F．（1）设交点E和F都在线段AB上（如图所示），分别求点E、点F的坐标（用a的代数式表示点E的坐标，用b的代数式表示点F的坐标，只须写出答案，不要求写出计算过程）．（2）求△OEF的面积（结果用a、b的代数式表示）．（3）△AOF与△BOE是否一定相似，如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或者一定不相似，请简要说明理由．（4）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，•大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论．。

内容基本要求略高要求较高要求反比例函数能结合具体问题了解反比例函数的意义；能画出反比例函数的图象； 理解反比例函数的性质会根据已知条件确定反比例函数的解析式；能用反比例函数的知识解决有关问题模块一、反比例函数的概念☞反比例函数的定义函数ky x=(k 为常数，0k ≠)叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数，x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.【例1】 已知()2212m m y m m x +-=+是关于x 的反比例函数，求m 的值及函数的解析式。

【巩固】已知函数1mm y x-=是y 关于x 的反比例函数，求m 的值.例题精讲中考要求反比例函数综合模块二、反比例函数的图象及性质☞反比例函数的图像：反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图像由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图像属于双曲线.☞反比例函数图像的性质：反比例函数ky x =(k 为常数，0k ≠)的图像是双曲线；当0k >时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大.【例2】 已知点P (1，a )在反比例函数ky x=(0k ≠)的图像上，其中223a m m =++(m 为实数)，则这个函数的图像在第_____象限.【例3】 反比例函数()2231my m x -=-的图像所在的象限内，y 随x 增大而增大，则反比例函数的解析式是（ ） A.4y x =B.4y x =-C.4y x =或4y x=- D.不能确定【巩固】若点A (1-，1y )、B (2，2y )、B (π，3y )都是反比例函数21k y x+=的图像上，试比较1y 、2y 、3y 的大小关系 .模块三、反比例函数解析式的确定【例4】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt OCDC∠=︒，点D在第一∆的一边OC在x轴上，90象限，3DC=，反比例函数的图象经过OD的中点A．OC=，4⑴求该反比例函数的解析式；⑵若该反比例函数的图象与Rt OCD∆的另一边交于点B，求过A、B两点的直线的解析式．模块四、反比例函数的应用【例5】为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释效过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室?【例6】 如图，帆船A 和帆船B 在太湖湖面上训练，O 为湖面上的一个定点，教练船静候于O 点．训练时要求A B ，两船始终关于O 点对称．以O 为原点，建立如图所示的坐标系，x 轴，y 轴的正方向分别表示正东、正北方向．设A B ，两船可近似看成在双曲线4y x=上运动．湖面风平浪静，双帆远影优美．训练中当教练船与A B ，两船恰好在直线y x =上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C 船，此时教练船测得C 船在东南45o 方向上，A 船测得AC 与AB 的夹角为60o ，B 船也同时测得C 船的位置（假设C 船位置不再改变，A B C ，，三船可分别用A B C ，，三点表示）． （1）发现C 船时，A B C ，，三船所在位置的坐标分别为(______)(______)A B ，，，和(______)C ，； （2）发现C 船，三船立即停止训练，并分别从A O B ，，三点出发船沿最短路线同时．．前往救援，设A B ，两船的速度相等，教练船与A 船的速度之比为3:4，问教练船是否最先赶到？请说明理由．模块五 反比例函数k 的几何意义1.反比例函数k 的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为k 。