理论力学第九章习题

第九章 作业解答参考9-2 图示A 、B 两物体的质量分别为m 1 与m 2 ，二者间用一绳子连接，此绳跨过一滑轮，滑轮半径为r 。

如在开始时，两物体的高度差为h ，而且m 1 > m 2 ，不计滑轮质量。

求由静止释放后，两物体达到相同的高度时所需的时间。

解：分别取重物m 1、m 2为研究对象，它们的受力和运动情况如右下图所示，则此两物体在铅垂方向上的运动方程分别为：()()111122221 2m a m g F m a F m g =-=- 由于不计滑轮质量，因此有：1212=F F a a a ==，且：代入⑴⑵式解得：1212m m a g m m -=+ a 为常数，说明两物体以相等的加速度相向作匀加速运动设两物体由静止释放至达到相同高度所经历的时间为t则有： 212122h s s at === 将1212m m a g m m -=+代入，解得： ()()1212m m h t gm m +=⋅- 即：由静止释放后，两物体达到相同高度所经历的时间为：()()1212m m h t g m m +=⋅- 9-7 图示质量为10 t 的物体随同跑车以v 0 = 1.0 m/s 的速度沿桥式吊车的桥架移动，今因故急刹车，物体由于惯性绕悬挂点C 向前摆动。

绳长l = 5 m ，求：⑴ 刹车时绳子的张力；⑵ 最大摆角φ 的大小。

解：⑴ 取物体为研究对象，由题意可知，刹车时，物体将作圆周运动，其此时的受力和运动情况如右中图所示；由题意可知： 20n v a l= 则其在铅垂方向的运动方程为： 20T v m F mg l=- 因此： ()()2203T 3 1.010109.85 10010N 100kN v F m g l ⎛⎫⎛⎫=+=⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯=⑵ 设物体至最大摆角时物体上升了h （如右下图所示），则有：cos l h l ϕ-= 由于刹车之后，物体的运动中只有重力做功，因此其机械能守恒 故有：20/2mv mgh =，即： 202v h g= 则： 220 1.0cos 110.98980229.85v gl ϕ=-=-≈⨯⨯ 即： 1cos 0.989808.192ϕ-=≈︒故：刹车时绳子的张力为100 kN ，最大摆角φ 约为 8.192°。

第九章部分习题解答9－2解：取整个系统为研究对象，不考虑摩擦，该系统具有理想约束。

作用在系统上的主动力为重力g M g M 21,。

如图（a ）所示，假设重物2M 的加速度2a 的方向竖直向下，则重物1M 的加速度1a 竖直向上，两个重物惯性力I2I1,F F 为11I1a M F = 22I2a M F =（a ）该系统有一个自由度，假设重物2M 有一向下的虚位移2x δ，则重物1M 的虚位移1x δ竖直向上。

由动力学普遍方程有 （a ）02I21I12211=--+-=x F x F x g M x g M W δδδδδ （b ）根据运动学关系可知2121x x δδ=2121a a =（c ）将(a)式、(c)式代入(b)式可得，对于任意02≠x δ有212122m/s 8.2424=+-=g M M M M a （b ）方向竖直向下。

取重物2M 为研究对象，受力如图（b ）所示，由牛顿第二定律有222a M T g M =-解得绳子的拉力N 1.56=T 。

本题也可以用动能定理，动静法，拉格朗日方程求解。

9－4解：如图所示该系统为保守系统，有一个自由度，取θ为广义坐标。

系统的动能为2])[(21θθ R l m T +=取圆柱轴线O 所在的水平面为零势面，图示瞬时系统的势能为]cos )(sin [θθθR l R mg V +-=M 1gM 2gF I2F I1δx 2δx 1M 2gT a 2拉格朗日函数V T L -=，代入拉格朗日方程0)(=∂∂-∂∂θθL L dt d 整理得摆的运动微分方程为0sin )(2=+++θθθθg R R l 。

9－6解：如图所示，该系统为保守系统，有一个自由度，取弧坐标s 为广义坐标。

系统的动能为221S m T =取轨线最低点O 所在的水平面为零势面，图示瞬时系统的势能为mgh V =由题可知b s ds dh 4sin ==ϕ，因此有b s d b s h So8s 42==⎰。

理论力学习题解答第九章题9－2图9－2 如图所示，均质圆盘半径为R，质量为m ，不计质量的细杆长，绕轴O转动，角速度为，求下列三种情况下圆盘对固定轴的动量矩：（a）圆盘固结于杆；（b）圆盘绕A轴转动，相对于杆OA的角速度为；（c）圆盘绕A轴转动，相对于杆OA的角速度为。

（a）；（b）；（c）9－3水平圆盘可绕铅直轴转动，如图所示，其对轴的转动惯量为。

一质量为m的质点，在圆盘上作匀速圆周运动，质点的速度为，圆的半径为r，圆心到盘中心的距离为。

开始运动时，质点在位置，圆盘角速度为零。

求圆盘角速度与角间的关系，轴承摩擦不计。

9－4如图所示，质量为m的滑块A，可以在水平光滑槽中运动，具有刚性系数为k的弹簧一端与滑块相连接，另一端固定。

杆AB长度为l，质量忽略不计，A端与滑块A铰接，B端装有质量，在铅直平面内可绕点A旋转。

设在力偶M作用下转动角速度为常数。

求滑块A的运动微分方程。

9－5质量为m ，半径为R的均质圆盘，置于质量为M的平板上，沿平板加一常力F。

设平板与地面间摩擦系数为f，平板与圆盘间的接触是足够粗糙的，求圆盘中心A点的加速度。

9－6均质实心圆柱体A和薄铁环B的质量均为m，半径都等于r，两者用杆AB铰接，无滑动地沿斜面滚下，斜面与水平面的夹角为，如图所示。

如杆的质量忽略不计，求杆AB的加速度和杆的内力。

；9－7均质圆柱体A和B的质量均为m，半径为r，一绳缠在绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，如图所示。

摩擦不计。

求：（1）圆柱体B下落时质心的加速度；（2）若在圆柱体A上作用一逆时针转向，矩为M 的力偶，试问在什么条件下圆柱体B的质心加速度将向上。

9－8平面机构由两匀质杆AB，BO组成，两杆的质量均为m，长度均为l，在铅垂平面内运动。

在杆AB上作用一不变的力偶矩M，从图示位置由静止开始运动。

不计摩擦，试求当A即将碰到铰支座O时A 端的速度。

9－9长为l、质量为m的均质杆OA以球铰链O固定，并以等角速度绕铅直线转动，如图所示。

第九章刚体的平面运动1．平面运动刚体相对其上任意两点的（ ）。

① 角速度相等，角加速度相等② 角速度相等，角加速度不相等③ 角速度不相等，角加速度相等④ 角速度不相等，角加速度不相等正确答案：①2．在图示瞬时，已知O 1A = O 2B ，且O 1A 与O 2 B 平行，则（ ）。

① ω1 = ω2，α1 = α2② ω1≠ω2，α1 = α2③ ω1 = ω2，α1 ≠α2④ ω1≠ω2，α1 ≠α2正确答案：③3．设平面图形上各点的加速度分布如图①~④所示，其中不可能发生的是（ ）。

正确答案：②4．刚体平面运动的瞬时平动，其特点是（ ）。

① 各点轨迹相同；速度相同，加速度相同② 该瞬时图形上各点的速度相同③ 该瞬时图形上各点的速度相同，加速度相同④ 每瞬时图形上各点的速度相同正确答案：②5．某瞬时，平面图形上任意两点A 、B 的速度分别v A 和v B ，如图所示。

则此时该两点连线中点C 的速度v C 和C 点相对基点A的速度v CA 分别为（ ）和（ ）。

① v C = v A + v B ② v C = ( v A + v B )/2③ v C A = ( v A - v B )/2 ④ v C A = ( v B - v A )/2正确答案：② ④α1α2 ①②③④6．平面图形上任意两点A 、B 的加速度a A 、a B 与连线AB 垂直，且a A ≠ a B ，则该瞬时，平面图形的角速度ω和角加速度α应为（ ）。

① ω≠0，α ≠0② ω≠0，α = 0③ ω = 0，α ≠0④ ω = 0，α = 0正确答案：③7．平面机构在图示位置时，AB 杆水平，OA 杆鉛直。

若B 点的速度v B ≠0，加速度τB a = 0，则此瞬时OA 杆的角速度ω和角加速度α为（ ）。

① ω = 0，α ≠0② ω≠0，α = 0③ ω = 0，α = 0④ ω≠0，α ≠0正确答案：②8．在图示三种运动情况下，平面运动刚体的速度瞬心：（a ）为（ ）；（b ）为（ ）；（c ）为（ ）。

9-10 在瓦特行星传动机构中，平衡杆O 1A 绕O 1轴转动，并借连杆AB 带动曲柄OB ；而曲柄OB 活动地装置在O 轴上，如图所示。

在O 轴上装有齿轮Ⅰ，齿轮Ⅱ与连杆AB 固连于一体。

已知：r 1＝r 2＝0.33m ，O 1A ＝0.75m ，AB ＝1.5m ；又平衡杆的角速度O 1＝6rad/s 。

求当＝60°且＝90°时，曲柄OB 和齿轮Ⅰ的角速度。

题9－10图【知识要点】 Ⅰ、Ⅱ两轮运动相关性。

【解题分析】 本题已知平衡杆的角速度，利用两轮边缘切向线速度相等，找出ωAB ,ωOB 之间的关系，从而得到Ⅰ轮运动的相关参数。

【解答】 A 、B 、M 三点的速度分析如图所示，点C 为AB 杆的瞬心，故有 ABA O CA v A AB ⋅⋅==21ωω ωω⋅=⋅=A O CD v AB B 123所以 s rad r r v BOB /75.321=+=ωs rad r v CM v MAB M /6,1==⋅=I ωω ]9-12 图示小型精压机的传动机构，OA ＝O 1B ＝r ＝0.1m ，EB ＝BD ＝AD ＝l ＝0.4m 。

在图示瞬时，OA ⊥AD ，O 1B ⊥ED ，O 1D 在水平位置，OD 和EF 在铅直位置。

已知曲柄OA 的转速n ＝120r/min ，求此时压头F 的速度。

题9－12图【知识要点】 速度投影定理。

【解题分析】 由速度投影定理找到A 、D 两点速度的关系。

再由D 、E 、F 三者关系，求F 速度。

【解答】 速度分析如图，杆ED 与AD 均为平面运动，点P 为杆ED 的速度瞬心，故 v F = v E = v D由速度投影定理，有A D v v =⋅θcos可得 s ll r n r v v A F /30.1602cos 22m =+⋅⋅==πθ 9-16 曲柄OA 以恒定的角速度＝2rad/s 绕轴O 转动，并借助连杆AB 驱动半径为r 的轮子在半径为R 的圆弧槽中作无滑动的滚动。

9-1．塔式起重机的水平悬臂以匀角速度ω=0.1rad/s 绕铅垂轴OO 1转动，同时跑车A 带着重物B 沿悬臂按x=20-0.5t 的规律运动，单位为米、秒，且悬挂钢索AB 始终保持铅垂。

求当t=10s 时重物B 的绝对速度。

解：动 点：A ；动 系：起重机运动分析：牵连运动：定轴转动； 相对运动：直线运动； 绝对运动：曲线运动；e e r ωx v sm 50dtdxv =-==/. 当t=10s 时sm 58151)50(v v v s m 5110)105020(v 222r2ea e /.../...=+-=+==⨯⨯-=9-2．图示曲柄滑道机构中，曲柄长OA=r ，它以匀角速度ω绕O 轴转动。

装在水平上的滑槽DE 与水平线成60o 角。

求当曲柄与水平线的交角分别为ϕ=0、30o 、60o 时，杆BC 的速度。

解：动 点：A ；动 系：ABC 运动分析：牵连运动：平动； 相对运动：直线运动； 绝对运动：圆周运动；OBC v rv a由正弦定理得：()()()12030φv v φ90v 30φv 120v ae re a sin sin sin sin sin -=-=-=当ϕ=0o 时， ωr 33v e -= 当ϕ=30o 时， 0v e =当ϕ=60o时， ωr 33v e =9-3．图示曲柄滑道机构中，杆BC 为水平，而杆DE 保持铅垂。

曲柄长OA=10cm ，以匀角速度ω=20rad/s 绕O 轴转动，通过滑块A 使杆BC 作往复运动。

求当曲柄与水平线的交角分别为ϕ=0、30o 、90o 时，杆BC 的速度。

解：动 点：A ；动 系：BDC 运动分析：牵连运动：平动；相对运动：直线运动； 绝对运动：圆周运动；φv v s cm 200ωr v a e a sin /===当ϕ=0o 时， 0v e =；当ϕ=30o 时， s cm 100v e /=； 当ϕ=90o 时， s cm 200v e /=9-4．矿砂从传送带A 落到另一传送带B 的绝对速度为v 1=4m/s ，其方向与铅垂线成30o 角。

O ωRrABθ习题9－2图习题20-3图OxF Oy F gm Ddα习题20-3解图第9章 动量矩定理及其应用9－1 计算下列情形下系统的动量矩。

1. 圆盘以ω的角速度绕O 轴转动，质量为m 的小球M 可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时小球以相对于圆盘的速度v r 运动到OM = s 处（图a ）；求小球对O 点的动量矩。

2. 图示质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。

轮心为A ，质心为C ，且AC = e ；轮子半径为R ，对轮心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅垂线上（图b ）。

（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩；（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩。

解：1、2s m L O ω=（逆）2、（1）)1()(Remv e v m mv p A A C +=+==ω（逆）Rv me J R e R mv J e R mv L A A A C C B )()()(22-++=++=ω（2）)(e v m mv p A C ω+==ωωωω)()()())(()(2meR J v e R m me J e R e v m J e R mv L A A A A C C B +++=-+++=++=9－2 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O 轴转动，其大、小半径分别为R 、r ，对O 轴的转动惯量为J O ；物块A 、B 的质量分别为m A 和m B ；试求系统对O 轴的动量矩。

解：ω)(22r m R m J L B A O O ++=9－3 图示匀质细杆OA 和EC 的质量分别为50kg 和100kg ，并在点A 焊成一体。

若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时，杆的角加速度及铰链O 处的约束力。

不计铰链摩擦。

解：令m = m OA = 50 kg ，则m EC = 2m 质心D 位置：（设l = 1 m) m 6565===l OD d 刚体作定轴转动，初瞬时ω=0l mg lmg J O ⋅+⋅=22α222232)2(212131ml ml l m ml J O =+⋅⋅+=即mgl ml 2532=α2rad/s 17.865==g l α gl a D 362565t =⋅=α 由质心运动定理： Oy D F mg a m -=⋅33t4491211362533==-=mg g mmg F Oy N （↑） 0=ω，0n=D a ， 0=Ox F(a)OMvωωA BC Rv A(b)习题9－1图（b ）习题9－5解图J习题9－5图9－4 卷扬机机构如图所示。