河南省鲁山县第一高级中学2020届高三数学上学期期末考试试题理【含答案】

河南省鲁山县第一高级中学2020届高三数学上学期期末考试试题 理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B ⋃=（ ）A ．3(1,)2B ．(1,)+∞C ．(1,3)D ．3(,3)22．设曲线ln(1)axy e x =-+在0x =处的切线方程为210x y -+=，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3 3．()5(1)12x x ++的展开式中4x 的系数为（ ）A ．100B ．120C ．140D ．1604．已知在圆22:4240M x y x y +-+-=内，过点(0,0)O 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A.6B.8C.10D.125．已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<6.已知函数5cos sin ()xx x x f x e-=，则函数()f x 的大致图像为（ ）A B C D 7．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ）A ．4x π=B ．3x π=C ．56x π=D ．1912x π=8．元代数学家朱世杰在算学启蒙中提及如下问题：今有银一秤一斤十两秤=10斤,1斤=10两,令甲、乙、丙从上作折半差分之,问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两,现将银分给甲、乙、丙三人,他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半”若银的数量不变,按此法将银依次分给5个人,则得银最少的3个人一共得银A. 266 127两B.889127两 C.84031两 D.111131两9．如图，平面四边形ABCD中，1AB AD CD===，2BD=，BD CD⊥，将其沿对角线BD折成四面体'A BCD-，使平面'A BD⊥平面BCD，若四面体'A BCD-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )A．3π B．32C．4π D．3410.已知O为平面直角坐标系的原点，2F为双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点，E为2OF的中点，过双曲线左顶点A作两渐近线的平行线分别与y轴交于,C D两点，B为双曲线的右顶点，若四边形ACBD的内切圆经过点E，则双曲线的离心率为( ) A．2232311.对于定义域为R的函数()f x，若满足① ()00f=；② 当Rx∈，且0x≠时，都有()0xf x'>；③ 当12x x<<，且12x x=时，都有()()12f x f x<，则称()f x为“偏对称函数”．现给出四个函数：()32132f x x x=-+；()21xf x e x=--；()3ln(1),0,2,0.x xf xx x-+≤⎧=⎨>⎩()411,0,2120,0.xx xf xx⎧⎛⎫+≠⎪ ⎪=-⎝⎭⎨⎪=⎩则其中是“偏对称函数”的函数个数为A.0B.1C.2D.312．已知函数211()(0)42f x x x a x =++<，()ln (0)g x x x =>，其中R a ∈．若()f x 的图象在点()()11,A x f x 处的切线与g x （）的图象在点()()22,B x f x 处的切线重合，则a 的取值范围为（）A ．3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．(1ln 2,)--+∞C ．(1ln 2,)-++∞D ．(ln 2ln3,)-+∞二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．()()2020202011i i +--的值是__________；14．交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在5090km/h -的汽车中抽取600辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km / h 以下的汽车有________辆；15．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160,90A AB A AD DAB ∠=∠=︒∠=︒，1A A AB AD ==，11E F A D DC 、分别是棱和的中点则EF 与AC 所成角为_________；（用弧度表示）16．如图，过抛物线22y px =(0)p >的焦点F 作两条互相垂直的弦AB 、CD ，若ACF与BDF △面积之和的最小值为32，则抛物线的方程为_________.三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)箱中装有4个白球和()*m m N ∈个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量X 为取出的3个球所得分数之和.（1）若1(6)5P X ==，求m 的值； （2）当4m =时，求随机变量X 的分布列与数学期望.18．(本小题满分12分)已知函数π()3cos(2)2sin cos 3f x x x x =--. (1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC 中，3AC =且02B f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求ABC 面积的最大值．19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥S ABC -中，SA ABC ⊥底面，=2AC AB SA ==，AC AB ⊥，D ，E 分别是AC ，BC 的中点，F 在SE 上且2SF FE =.（I ）求证：AF SBC ⊥平面；（II ）在线段DE 上是否存在点G ，使二面角G AF E --的大小为o30？若存在，求出DG 的长；若不存在，请说明理由.20．(本小题满分12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点(2,0)A ，离心率为22，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设,,P Q R 为椭圆C 上的三点，OQ 与PR 交于点M ，且3OQ OM =，当PR 的中点恰为点M 时，判断OPR △的面积是否为常数，并说明理由．21．(本小题满分12分)设数列{}n a ,{}n b ，已知11144,6,2n n b a b a ++===，142nn a b ++=()n N *∈， （1)求数列{}n n b a -的通项公式；（2)设n S 为数列{}n b 的前n 项和,对任意N n *∈,若[](4)1,3n p S n ⋅-∈恒成立，求实数p 的取值范围．22．(本小题满分12分) 设()ln f x a x bx b =+-，()xexg x e =，其中,a b R ∈． (Ⅰ)求()g x 的极大值；(Ⅱ)设1b =，0a >，若()()()()212111f x f xg x g x -<-对任意的1x ，[]()2123,4x x x ∈≠恒成立，求a 的最大值；(Ⅲ)设2a =-，若对任意给定的(]00,x e ∈，在区间(]0,e 上总存在s ，()t s t ≠，使()()()0f s f t g x ==成立，求b 的取值范围．数学（理科）一、选择题二、填空题13．0; 14．300; 15．2π;16．28y x =. 三、解答题17．【答案】（1）由题意得：取出的3个球都是白球时，随机变量6X =()3434165m C C P X +∴===，即：3420m C +=，解得：2m =（2）由题意得：X 所有可能的取值为：3,4,5,6则()34381314C P X C ===；()214438347C P C C X ===；()124438357C P C C X ===；()34381614C C P X ===.X ∴的分布列为：()345614771414E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查服从超几何分布的随机变量的概率及分布列的求解问题，关键是能够明确随机变量所服从的分布类型，从而利用对应的公式来进行求解. 18．【答案】(1)解：π())2sin cos 3f x x x x =--32sin 2sin 22x x x +- 1sin 2sin(2)23x x x π=+=+.-+22+2k ,232k x k Z πππππ≤+≤∈由，5-++k ,1212k x k Z ππππ≤≤∈得5()[-+,+k ],1212f x k k Z ππππ∈所以的单调递增区间为：（2）π()sin(2)3f x x+=由题可得，因为02B f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 03B π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 又0B π<<，所以3B π=．在ABC 中，由余弦定理可得22221922a c ac a c ac ac =+-⋅=+-≥，即9ac ≤．所以11393sin 922ABCSac B =≤⨯⨯=，当且仅当3a c ==时等号成立， 故ABC 面积的最大值为93． 19．【答案】I.以A 为坐标原点，分别以AC ，AB.AS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系C-xyz.则A （0，0，0），B （0，2，0），C （2，0，0），S （0，0，2），D （1，0，0），E （1，1，0） 由SF=2FE 得F(23,23,23)()222,,,2,2,0333AF BC ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭()2,0,2SC =-平面0,0AF BC AF SC ⋅=⋅=,AF BC AF SC ∴⊥⊥AF ∴⊥平面SBCⅡ.假设满足条件的点G 存在，并设DG=t .则G （1，t ，0）.所以1,1010AE AG t ==（，），（，，）设平面AFG 的法向量为()2222,,n x y z =，则()()()2222222222222222222,,,,0333333,,1,,00n AF x y z x y z n AG x y z t x ty ⎧⎛⎫⋅=⋅=++=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩取21y =，得22,1x t z t =-=-即()2,1,1n t t =--.（法一）设平面AFE 的法向量为()3333,,n x y z =则()()()3333333333333222222,,,,0333333,,1,1,00n AF x y z x y z n AE x y z x y ⎧⎛⎫⋅=⋅=++=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩取31y =，得331,0x z =-=，即()31,1,0n =- （法二）,AF SBC BC SBC AF BC ⊥⊂∴⊥平面平面.,,,AB AC E BC AE BC AE AF A AE AF AEF BC AEF=∴⊥⋂=⊂∴⊥又为中点，、平面平面所以平面AFE 的法向量为：=-BC （1,1,0）；由得二面角G-AF-E 的大小为30得2323cos3022n n t n n ⋅-⨯===⋅，化简得22520t t -+=， 又01t ≤≤，求得12t =，于是满足条件的点G 存在，且12DG =20．【答案】（1）由已知易得24122a a c c a⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩解得∴2222b a c =-=，故椭圆C 的标准方程为：22214x y +=. （2）①若点Q 是椭圆的右顶点（左顶点一样），则()2,0Q ，∵3OQ OM =，M 在线段OQ 上，∴2,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，此时PR x ⊥轴，求得83PR =，∴OPR 的面积等于18282339⨯⨯=.②若点Q 不是椭圆的左、右顶点，则设直线PR 的方程为：()0y kx m m =+≠，()11,P x y ，()22,R x y ，由2224x y y kx m⎧+=⎨=+⎩得()222214240k x kmx m +++-=，则122421kmx x k +=-+，21222421m x x k -=+， ∴PR 的中点M 的坐标为222,2121km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，∴点Q 的坐标为2263,2121km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，将其代入椭圆方程，化简得229212k m +=．∴PR =2219k m ==+．点O 到直线PR的距离d =OPR的面积118229OPRSPR d =⋅==． 综上可知，OPR 的面积为常数89．21．【答案】(1)11441()2222n n n n n n n n a b a b b a b a ++++--=-==--，又112b a -=， {}n n b a ∴-是以2为首项，12-为公比的等比数列，1122n n n b a -⎛⎫∴-=⋅- ⎪⎝⎭；（2）11444222n n n n n n a b a b b a ++++++=+=+，1118(8)2n n n n a b a b ++∴+-=+- 又111182,82()2n n n a b a b -+-=∴+-=⨯,1122n n n b a -⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭，两式相加即得：11114()()22n n n b --=+-+，11111212244211112321122n nn n n S n n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭∴=++=+-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭841433281413,2nn nn S n n n ⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭∴⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎭⎢⎥⎣⎦⎩为奇数为偶数，()[]41,3n p S n -∈,40n S n ->(o1)当n 为奇数时()[]841134=1,3332841841332332n n n np S n p p ⎡⎤⎛⎫--⨯∈∴≤≤⎢⎥ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎣⎦-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭131928418413323328nnp p ∴≤≤⇔≤<⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时(o2)当n 为偶数时，()[]81134=11,3328181113232nn n n p S n p p ⎡⎤⎛⎫-⨯-∈∴≤≤⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎛⎫-⎢⎥- ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，1319281811132823nnp p ∴≤≤⇔≤<⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦此时综上，所以实数p 的取值范围为19[,)28．22.【答案】 (Ⅰ()()21)'()x x x xe x e e e ex g x e e -⋅-⋅==，当1x >时，()'0g x <，()g x 在()1,+∞递增；当1x <时，()'0g x >，()g x 在(),1-∞递减．则有()g x 的极大值为()11g =；(Ⅱ)当1b =，0a >时，()ln 1f x a x x =+-，0x >，()'10a a x f x x x+=+=>在[]3,4恒成立，()f x 在[]3,4递增；由()()1xe h x g x ex==，()()21'0x e x h x ex -=>在[]3,4恒成立，()h x 在[]3,4递增．设12x x <，原不等式等价为()()()()2121f x f x h x h x -<-，即()()()()2211f x h x f x h x -<-，()()()F x f x h x =-，()F x 在[]3,4递减，又()ln 1x e F x a x x ex =+--，()()21'10x e x aF x x ex -=+-≤在[]3,4恒成立，故()h x 在[]3,4递增，()11xex a xex-≤⋅-，令()()11xex G x xex-=⋅-，34x ≤≤，∴()()21221111'111x x e x x G x e e x x x -⋅-+⎛⎫=⋅-=-+- ⎪⎝⎭1221133[)110244x e e x -⎛⎤=-+->-> ⎥⎝⎦，()G x 在[]3,4递增，即有2233a e ≤-，即2233max a e =-； (Ⅲ()()111)'1x x x g x e xe x e ---=-=-，当()0,1x ∈时，()'0g x >，函数()g x 单调递增；当(]1,x e ∈时，()'0g x <，函数()g x 单调递减．又因为()00g =，()11g =，()20e g e e -=>，所以，函数()g x 在(]0,e 上的值域为(]0,1．由题意，当()f x 取(]0,1的每一个值时，在区间(]0,e 上存在1t ，()212t t t ≠与该值对应．2a =-时，()()12ln f x b x x =--，()22'bx f x b x x-=-=， 当0b =时，()2'0f x x =-<，()f x 单调递减，不合题意，当0b ≠时，2x b =时，()'0f x =，由题意，()f x 在区间(]0,e 上不单调，所以，20e b <<，当20,x b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，，当2,b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时，所以，当(]0,x e ∈时，22()22ln min f x f a b b ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭， 由题意，只需满足以下三个条件：22()22ln 0min f x f b b b ⎛⎫==--< ⎪⎝⎭①，()()121f e b e =--≥②，020,x b ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭③使()01f x >． ()210f f b ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以①成立由()()12ln f x b x x =--→+∞②，所以③满足，所以当b 满足2031e b b e ⎧<<⎪⎪⎨⎪≥⎪-⎩即31b e ≥-时，符合题意，故b 的取值范围为3,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭． 【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间和极值，主要考查不等式恒成立和存在性问题，注意运用参数分离和构造函数通过导数判断单调性，求出最值，属于难题．。