概率论与数理统计第九章

9. Nonparametric Statistics9.1 Sign Test 符号检验1The simplest of all nonparametric methods is the sign test, which is usually used to test the significance of the difference between two means in a paired experiment.最简单的非参数检验是符号检验检验两个总体均值差的显著程度It is particularly suitable when the various pairs are observed under different conditions, a case in which the assumption of normality may not hold. However, because of its simplicity, the sign test is often used even though the populations are normally distributed. As is implied by its name in this test only the sign of the differencebetween the paired variates is used.若两个总体的均值相等，那么符号‘＋’、‘－’的概率一样。

D = sign of (X 1－X 2 )If p denotes the probability of a difference D being positive andq the probability of its being negative, we have as hypothesis p=1/2. appropriate test statistic is X , X~B (n, p)， X --- N(‘+”)we will reject 0Hin favor of1Honly if the proportion of plussigns is sufficiently less than 1/2, that is , when the value x of our random variable is small. Hence, if the computed P -value12()P P X x when p =≤=is less than or equal to the significance level α, we reject 0Hinfavor of1H .we reject0Hin favor1Hwhen the proportion of plus signs issignificantly less than or significantly greater than 1/2. This, of course, is equivalent to x being sufficiently small or sufficiently large, respectively. Therefore, if /2x n < and the computed P-value 122()P P X x when p =≤=is less than or equal to α, or if /2x n > and the computed P-value 122()P P X x when p =≥= is less than or equal to α, we reject 0Hin favor1H .Car Radial tires Belted tires D1 4.2 4.1 ＋ 2 4.7 4.9 －3 6.6 6.2 ＋4 7.0 6.9 ＋5 6.7 6.8 －6 4.5 4.4 ＋7 5.7 5.78 6.0 5.8 ＋9 7.4 6.9 ＋10 4.9 4.911 6.1 6.0 ＋12 5.2 4.9 ＋13 5.7 5.3 ＋14 6.9 6.5 ＋15 6.8 7.1 －16 4.9 4.8 ＋符号检验的利弊n 必须比较大因为对于n =5的样本，会出现永远不拒绝“总体均值相等“的假设。

令 X ,
则 ˆ x 1 (0 75 1 90 6 1) 1.22
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二.极大似然估计法 特点：适用总体的分布类型已知的统计模型
极大似然估计法是求估计用的最多的方法， 它最早是由高斯在1821年提出，但一般将之归 功于费舍尔(R.A.Fisher)，因为费舍尔在1922 年再次提出了这种想法，并证明它的一些性质， 从而使得极大似然法得到了广泛的应用。
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第二节 估计方法
矩估计法 极大似然估计法
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一.矩估计法 定义：用样本矩来代替总体矩,从而得到总体 分布中参数的一种估计.这种估计方法称为 矩估计法.它的思想实质是用样本的经验分 布和样本矩去替换总体的分布和总体矩.也 称之为替换原则.
特点：不需要假定总体分布有明确的分布类型。
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设总体X具有已知类型的概率函数 f(x;θ), θ=(θ1,…,θk) ∈Θ是k个未知参数.(X1,X2,…,Xn)是 来自总体X的一个样本.
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参数估计的分类：
参 点估计 估计未知参数的值
数
估 计
估计未知参数的取值范围，
区间估计 并使此范围包含未知参数的
真值的概率为给定的值
3
这里所指的参数是指如下三类未知参数：
1.分布中所含的未知参数 .
如：两点分布B（1，p）中的概率p;
正态分布 N (, 2 )中的,． 2、分布中所含的未知参数的函数. 如：服从正态分布N (, 2 )的变量X不超过给定值a的
Xi＝１，反之记 Xi＝ ０ i 1,, n ．则
X1, X2 , , Xn 就是样本．总体分布为二点分
布 B1, ，参数空间 0,1 ，容易得到统计
模型
n
xi
i1

数学基础课许述文副教授假设检验雷达信号处理国家重点实验室许述文作品前言FOREWORD统计推断的另一类重要问题是假设检验问题。

在总体的分布函数完全未知或只知其形式、但不知其参数的情况，为了推断总体的某些未知特性，提出某些关于总体的假设。

例如，提出总体服从泊松分布的假设，又如，对于正态总体提出数学期望等于μ的假设等。

我们要根据样本对所提出的假设作出是接受还是拒绝的决策。

假设检验是作出这一决策的过程。

LOGO过渡页TRANSITION PAGE第一部分假设检验LOGO假设检验根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确。

参数假设检验非参数假设检验LOGO参数假设检验让我们先看一个例子：罐装可乐的容量按标准为355毫升。

生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱外运。

怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？LOGO通常的办法是进行抽样检查：如每隔1小时，抽查5罐，得到一个容量为5的子样（x1，…，x5）。

每隔一定时间，抽查若干罐。

如何根据这些值来判断生产是否正常？LOGO在正常生产条件下，由于种种随机因素的影响，每罐可乐的容量应在355毫升上下波动。

这些因素中没有哪一个占有特殊重要的地位。

因此，根据中心极限定理，假定每罐容量服从正态分布是合理的。

μσX N(,)～2LOGOLOGO要检验的假设：0μμ=H 0：（= 355）0μ对立假设：H 1：0μμ≠称H 0为原假设（零假设）；称H 1为备择假设（对立假设）。

在实际工作中，往往把不轻易否定的命题作为原假设。

LOGO如何判断原假设H 0是否成立？X 355-∴不应太大X μ∵为的无偏估计X 355-考虑对差异作定量的分析，以确定其性质：1.差异可能是由抽样的随机性引起的，称为“抽样误差”或随机误差LOGO X 355 若较大合理的界限在何处？应由什么原则来确定？认为这个差异反映了事物的本质差别，即反映了生产已不正常。

这种差异称作“系统误差”2.LOGO带概率性质的反证法小概率事件在一次试验中基本上不会发生。

第九章 方差分析与回归分析注意： 这是第一稿（存在一些错误）1．解：()()()211,,n niii i i i L f y y f y x αβσεαβ======--∏∏()()()221222211122ni i i i i y x y x nni e eαβαβσσπσπσ=------=∑==∏()()()()22212,,ln ,,ln22ni i i y x l L n αβαβσαβσπσσ=--==--∑()()()()()()212212221242,,0,,0,,1022ni i i n i i i i n i i i y x l y x x l y x l n αβαβσασαβαβσβσαβαβσσσσ===⎧--⎪∂⎪==∂⎪⎪--⎪∂⎪==⎨∂⎪⎪--⎪∂⎪=-=⎪∂⎪⎩∑∑∑ 解得2ˆˆ,ˆ,ˆ.xyxxy x s s SSE n αββσ⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩则α、β的极大似然估计与最小二乘估计一致。

2σ的极大似然估计为SSE n ，最小二乘估计为2SSE n -，为2σ的无偏估计。

2．解： （1）由题意，知0123:H μμμ==，1123:,,H μμμ不全相等计算有112312.54ni i i x n x n n n ⋅===++∑ 321()0.738i A i i S n x x ⋅==-=∑，321() 5.534in T ij i i jS x x ===-=∑∑4.796E T A S S S =-=，/(31)0.369A A MS S =-=123/(3)0.178E E MS S n n n =++-=，/ 2.077A E F MS MS == 所以单因素方差分析表为： 方差来源 自由度 平方和 均方 F 比 因素A 2 0.738 0.369 2.077 误差 27 4.796 0.178 总和295.534由于 2.077F =<(2,27) 3.3541F α=，接受0H（2）2σ的无偏估计量为：123/(3)0.178E E MS S n n n =++-=3．解：(1)61n =，4r =,(2)0.05(3,57) 2.76 3.564F ≈<,则拒绝原假设，即认为不同年级学生的月生活费水平有显著差异。