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福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.在中，，满足条件的（）A．有一解B．有两解C．无解D．不能确定2.下列命题中，正确的是（）A．若，则；B．，则C．若则，D．若，，则3.已知，则（）A．B．C．D．4.在等差数列中，，表示数列的前项和，则( )A．B．C．D．5.已知满足，则的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6.记等比数列的前项和为，若则（）A． 9B．27C．8D．87.在平面直角坐标系中,若点在直线的右下方区域包括边界,则的取值范围是( ) A．B．C．D．8.某商场今年销售计算机5 000台.如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约（）年可以使总销售量达到30 000台.（结果保留到个位）（参考数据）A．3B．4C．5D．69.若实数满足，则的最小值为（）A．B．C．D．10.如果方程的两个实根一个小于0，另一个大于1，那么实数m的取值范围是（）A．B．C．D．11.下列命题正确的是（）A．B．对任意的实数,都有恒成立.C．的最大值为2D．的最小值为212.设若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则（）A．B．C．D．二、填空题1.已知，则=_________.2.数列的前项和为__________3.已知三条线段的大小关系为：，若这三条线段能构成钝角三角形，则的取值范围为_______________.4.如图所示,从中间阴影算起，图1表示蜂巢有1层只有一个室,图2表示蜂巢有2层共有7个室,图3表示蜂巢有3层共有19个室,图4表示蜂巢有4层共有37个室. 观察蜂巢的室的规律，指出蜂巢有n层时共有_______个室.2107三、解答题1.（本小题满分12分）已知等差数列满足。
（Ⅰ）求通项的通项公式及的最大值;（Ⅱ）设,求数列的其前项和.2.（本小题满分12分）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为且．( I ) 若，求周长的最小值； (Ⅱ) 若，求边的值．3.(本小题满分12分）福州市某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大,对某月即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：利润的最大值为多少元？4.（本小题满分12分）如图所示，某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成.已知休闲区的面积为4000 m 2，人行道的宽分别为4 m和10 m.（ I ）设休闲区的长m ，求公园ABCD所占面积关于 x 的函数的解析式；（Ⅱ）要使公园ABCD所占总面积最小，休闲区的长和宽该如何设计？5.（本小题满分12分）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行时间应为多少小时？(Ⅱ)为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；6.（本小题满分14分）已知二次函数满足以下两个条件：①不等式的解集是（-2，0）②函数在上的最小值是3（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若点在函数的图象上，且（ⅰ）求证：数列为等比数列（ⅱ）令，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在，指出的取值范围；若不存在，请说明理由．福建高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.在中，，满足条件的（）A．有一解B．有两解C．无解D．不能确定【答案】C【解析】因为根据三角形中正弦定理可知：>1，因此无解，故选C【考点】本试题主要考查了解三角形的运用。
福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数的值是（）A．B．C．D．2.用反证法证明命题：“已知，为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程没有实根B．方程至多有一个实根C．方程至多有两个实根D．方程恰好有两个实根3.名学生报名参加体操、美术、计算机、航模课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有（）A．B．C．D．4.定积分的值为（）A．B．C．D．5.若曲线在点处的切线方程是，则（）A．，B．，C．，D．，6.函数在区间上的最小值为（）A．B．C．D．7.四个人从左到右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．B．C．D．8.已知函数在其定义域内是增函数，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．9.函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题：①是函数的极值点；②是函数的最小值点；③在区间上单调递增；④在处切线的斜率小于零．以上正确命题的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④10.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．11.设函数，关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是A．B．C．D．二、填空题1.曲线在点处的切线方程为____________________．2.从进入决赛的名选手中决出名一等奖，名二等奖，名三等奖，则可能的决赛结果共有_____种．（用数字作答）3.如图，直线与函数的图象围成的封闭图形（阴影部分）的面积是_____________．三、解答题1.（Ⅰ）设复数满足，其中为虚数单位，求复数.（Ⅱ）实数取何值时，复数,（ⅰ）是实数；（ⅱ）是纯虚数.2.已知．（Ⅰ）若在处的切线方程为，求与的值；（Ⅱ）求．3.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加三个智力竞赛项目，每个人都要报名参加．分别求在下列情况下不同的报名方法的种数：（Ⅰ）每个项目都要有人报名；（Ⅱ）甲、乙报同一项目，丙不报项目；（Ⅲ）甲不报项目，且、项目报名的人数相同；4.设函数．（Ⅰ）若在时有极值，求实数的值和的极大值；（Ⅱ）若在定义域上是增函数，求实数的取值范围．5.设函数.N，（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）求证：≥；（Ⅲ）当时，若≥对于任意恒成立，求实数的取值范围.福建高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.复数的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】化简复数的分母，然后复数的分子、分母同乘，即可得到结果.复数.故选A.【考点】复数代数形式的混合运算.2.用反证法证明命题：“已知，为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程没有实根B．方程至多有一个实根C．方程至多有两个实根D．方程恰好有两个实根【答案】A【解析】反证法的步骤：第一步是假设命题反面成立，而“方程至少有一实根”的反面是“方程没有实根”.故选A.【考点】综合法与分析法；反证法.3.名学生报名参加体操、美术、计算机、航模课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，易得3名同学中每人有4种报名方法，由分步计数原理计算可得答案.根据题意，每个同学可以在艺术体操、美术、计算机、航模课外兴趣小组中任选1个，有4种选法，则3名学生一共有种不同的报名情况.故选D.【考点】计数原理的应用.4.定积分的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故选C.【考点】定积分的概念及几何意义.5.若曲线在点处的切线方程是，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】因为曲线在点处的切线方程是，所以，且满足在x=0处的导数值为a, 那么切线方程为y-a=a（x-0）,即，故选A.【考点】曲线的导函数；曲线上点的切线方程.6.函数在区间上的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，令，解得或x＜－1；再令，解得；所以，分别是函数的极大值点和极小值点，所以，，，，所以最小值为－1．故选C．【考点】函数的导函数；函数的极值和最值.7.四个人从左到右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．最左端排甲，共有种；最左端只排乙，最右端不能排甲，有种，根据加法原理可得，共有6+4=10种．故选B．【考点】排列、组合及简单计数问题.8.已知函数在其定义域内是增函数，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵函数在其定义域（）内是增函数，∴对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，即，令，则，解，得；解，得；因此当时，取得最大值，∴，故实数的取值范围为.故选D.【考点】导数研究函数的单调性、极值与最值；二次函数的性质．9.函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题：①是函数的极值点；②是函数的最小值点；③在区间上单调递增；④在处切线的斜率小于零．以上正确命题的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】C【解析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．根据导函数图象可知：当x∈（-∞，-3）时，f'（x）＜0，在x∈（-3，1）时，∴函数y=f（x）在（-∞，-3）上单调递减，在（-3，1）上单调递增，故③正确；则-3是函数y=f（x）的极小值点，故①正确；∵在（-3，1）上单调递增∴-1不是函数y=f（x）的最小值点，故②不正确；∵函数y=f（x）在x=0处的导数大于0∴切线的斜率大于零，故④不正确.故选C.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的单调性与导数的关系；函数极值的判定.10.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数有两个极值点，由.所以有两个不同的正实数根，令，所以.令所以（小于零不成立）.所以可得，解得.综上所以.故选B.【考点】函数的极值与导数的关系.11.设函数，关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】由函数知，；则，当时，，函数在上单调递增；时，，函数在上单调递减；时，，函数取得最大值；由此可画出函数的图像如下：设，则关于的方程可变形为；因为，所以方程有两个不相等的实根；设方程的两根分别为，由得；若，由函数的图像知此时存在唯一根使，故要使的方程有三个不同的实数解，必有有两不相等实根，故，所以有两不相等实根，且；则，即，解得，故则实数的取值范围是.故选B.【考点】函数的零点与方程根的联系.二、填空题1.曲线在点处的切线方程为____________________．【答案】.【解析】由曲线得，所以，则曲线在点处的切线方程为，即．故答案为．【考点】导数的概念及其几何意义.2.从进入决赛的名选手中决出名一等奖，名二等奖，名三等奖，则可能的决赛结果共有_____种．（用数字作答）【答案】60.【解析】6名选手中决出1名一等奖有种方法；2名二等奖，种方法，利用分步计数原理即可得答案．依题意，可分三步，第一步从6名选手中决出1名一等奖有种可能的结果，第二步，再决出2名二等奖，有种可能的结果，第三步，三等奖有种可能的结果，故共有（种）可能的结果.故答案为60．【考点】排列组合与简单计数问题.3.如图，直线与函数的图象围成的封闭图形（阴影部分）的面积是_____________．【答案】.【解析】由图形可知，直线与函数联立，得它们图象的交点为，则围成的封闭图形（阴影部分）的面积是.故答案为.【考点】定积分.三、解答题1.（Ⅰ）设复数满足，其中为虚数单位，求复数.（Ⅱ）实数取何值时，复数,（ⅰ）是实数；（ⅱ）是纯虚数.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）或；（ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由复数的乘除运算即可解得；（Ⅱ）（ⅰ）直接由复数Z的虚部等于0列出方程求解即可；（ⅱ）直接由复数Z的实部等于0且虚部不等于0列不等式组求解即可.试题解析：解：（Ⅰ）设（Ⅱ）当为实数时，解得或当为纯虚数时，解得【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义.2.已知．（Ⅰ）若在处的切线方程为，求与的值；（Ⅱ）求．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求出函数的的导函数；根据题意知，可解得，；（Ⅱ）根据微积分的基本定理设，解得，，得，从而求得．试题解析：解：．（Ⅰ）依题意：，解得，；（Ⅱ）设，则，解得，，即，∴．【考点】导数的几何意义；微积分的基本定理.3.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加三个智力竞赛项目，每个人都要报名参加．分别求在下列情况下不同的报名方法的种数：（Ⅰ）每个项目都要有人报名；（Ⅱ）甲、乙报同一项目，丙不报项目；（Ⅲ）甲不报项目，且、项目报名的人数相同；【答案】（Ⅰ）36；（Ⅱ）9；（Ⅲ）18.【解析】（Ⅰ）每个项目都要有人报名，其中一个项目有两人报名，所以先从四人中选两个人报名一个项目，再全排列即可；（Ⅱ）甲、乙报同一项目，丙不报项目，丙从三个项目中选择B、C项目中的一个，同时甲、乙从三个项目中任选一个即可；（Ⅲ）甲不报项目，且、项目报名的人数相同，可分、项目各有一人和、项目各有两人两种情况讨论.试题解析：解：（Ⅰ）每个项目都要有人报名，共有种；（Ⅱ）甲、乙报同一项目，丙不报项目，共有种；（Ⅲ）甲不报项目，且、项目报名的人数相同，若、项目各有一人，有种；若、项目各有两人，有种，所以甲不报项目，且、项目报名的人数相同共有18种．【考点】排列与组合.4.设函数．（Ⅰ）若在时有极值，求实数的值和的极大值；（Ⅱ）若在定义域上是增函数，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ），取得极大值为；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求f′（x），所以f′（2）=0，这样即可求出，这样就可求出f′（x），并令f′（x）=0，这样方程的解将区间（0，+∞）划分为几个区间，通过判断f′（x）在这几个区间上的符号，即可找到极大值点，从而求出极大值；（Ⅱ）求f′（x），所以f′（x）≥0对于x＞0时恒成立，进而得到对于x＞0时恒成立，所以得到，利用均值不等式得的最大值是1，所以得到a≥1．试题解析：解：（1）定义域为，由题意知在时有极值，则，经检验，当时，在时有极值，满足题意所以当时，取得极大值为（2）在上是增函数对于上恒成立即对于上恒成立对于上恒成立综上【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性.5.设函数.N，（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）求证：≥；（Ⅲ）当时，若≥对于任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）的单调递减区间为，的单调递增区间为；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）将代入函数的解析式得，对函数求导得.令，得，令得，从而求得的单调递减区间为，的单调递增区间为；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，时，取得极小值，即最小值，即≥，从而得≥，当且仅当时等号成立；（Ⅲ）当时，，对函数求导得，由（Ⅱ）知≥，当且仅当时等号成立；得≥，讨论当≥，即≥时，≥；当时，，此时；综上可得，实数的取值范围为.试题解析：（Ⅰ）解：当时，，.当时，；当时，.的单调递减区间为，的单调递增区间为.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，若，则当时，取得极小值，即最小值.，即≥≥，当且仅当时等号成立.（Ⅲ）解：当时，，由（Ⅱ）知≥，当且仅当时等号成立.≥，当≥，即≥时，≥（≥），单调递增，而，当≥时，≥.又由，可得，即当时，，当时，，单调递减，而，此时综上可得，实数的取值范围为.【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值和最值.。
福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.数列中，，且，则（）A．15B．7C．3D．12.数列1，-3，5，-7，9，的一个通项公式为（）A．B．C．D．3.已知数列的前n项和，则的值为（）A．80B．40C．20D．104.若成等差数列，则等于（）A．1或2B．－1或－2C．1或－2D．－1或2 5.1与16的等比中项为（）A．B．C．或D．或6.在△ABC中,=2,b=6,C=60°,则三角形的面积S=（）A．3B．C．D．67.已知中，则等于（）A．60°或120°B．30°C．60°D．30°或150°8.在DABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC=（）A．B．C．D．9.已知满足，则的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形10.若，则的最小值为（）A．2B．C．4D．811.已知a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ）A ．a 2－b 2＞0B ．ac 2＞bc 2C ．ac ＞bcD ．2a ＞2b12.设一元二次不等式的解集为则的值为（ ）A ．1B ．C ．4D ．13.二次不等式的解集是全体实数的条件是（ ） A ．B ．C ．D ．14.表示不等式的平面区域（不含边界的阴影部分）是（ ）15.若变量x ，y 满足约束条件则z ＝x －2y 的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．116.在中,若,则是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．等腰或直角三角形D ．直角三角形二、填空题1.不等式的解集为 ． 2.在△ABC 中，若∶∶∶∶，则_______．3.数列{}的通项公式为，则{}的前10项之和为 ．4.数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n 2＋n ＋1，则此数列的通项a n ＝________．三、解答题1.如图，货轮在海上以35n mile/h 的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为的方向航行．为了确定船位，在B 点处观测到灯塔A 的方位角为．半小时后，货轮到达C 点处，观测到灯塔A 的方位角为．求此时货轮与灯塔之间的距离．2.已知分别是内角的对边，．（1）若，求（2）若，且 求的面积．3.数列和函数，已知，，试判断是否为等差数列，并求的前项和的最大值。
福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若是虚数单位，则（）A．B．C．D．2.如果物体做的直线运动，则其在时的瞬时速度为：A．12B． -12C． 4D． -43.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）A．假设都是偶数B．假设都不是偶数C．假设至多有一个是偶数D．假设至多有两个是偶数4.已知，，，。
，若 (a , b) , 则（）A．a=5, b=24B．a=6, b=24C．a=6, b=35D．a=5, b=355.函数处的切线方程为( )A．B．C．D．6.复数满足，则( )A．；B．；C．；D．．7.曲线的单调增区间是( )A．;B．;C．及;D．及;8.曲线与坐标周围成的面积（）A．4B．2C．3D．9.下面几种推理过程是演绎推理的是( )A．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则．B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．C．某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人D．在数列中，由此归纳出的通项公式．10.如图，直线从开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速（转动角度不超过90度）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是（）11.设，若函数，，有大于零的极值点，则（）A．B．C．D．12.设在区间[1,3]上为单调增函数,则实数a的取值范围是( )A．[ -,+∞)B．(-∞,-3]C．(-∞,-3]∪[-,+∞)D．[- , ]二、填空题1.用定积分的几何意义，则=----------------________________2.曲线与直线，及轴所围成图形的面积为 .3.若三角形内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积等于，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，则四面体的体积_____4.如果关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围为_____________.三、解答题1.(本题满分12分)已知m,复数z=.（Ⅰ）实数m取什么值时？复数z为实数、纯虚数.（Ⅱ）实数m取值范围是什么时？复数z对应的点在第四象限.2.(本题满分12分)已知函数,（1）求函数极值.（2）求函数在上的最大值和最小值.3.(本题满分12分)已知都是正数，且求的最小值.4.(本题满分12分)某地区预计从2011年初开始的第月，商品A的价格（，价格单位：元），且第月该商品的销售量（单位：万件）.（1）2011年的最低价格是多少？（2）2011年的哪一个月的销售收入最少？5.(本题满分12分)用数学归纳法证明：（）6.(本题满分14分)设函数．（Ⅰ）若，⑴求的值；⑵在存在，使得不等式成立，求c最小值。
福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知数列的前几项为1，，，，它的第n项()是( )A．B．C．D．2.已知等差数列的通项公式为，则它的公差为（）A．2B．3C．D．3.在ABC中，已知,则角A等于（）A．B．C．D．4.已知满足，则下列选项成立的是（）A．B．C．D．5.在△ABC中，若、，其面积等于，则角C为 ( )A．45°B．135°C．45°或135°D．120°6.等差数列{}中，，则前10项和( )A．5B．25C．50D．1007.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为，若，则的值为( ) A．B．C．D．8.已知数列{}中，则数列的前n项和最大时，n的值为 ( ) A．8B．7或8C．8或9D．99.下列不等式一定成立的是( )A．（）B．（）C．（）D．（）10.在一座20m高的观测台顶测得对面一水塔仰角为，塔底俯角为，那么这座塔的高为( )A ．mB ．mC ．mD ．m11.已知x,y 都是正数,若 ， 则有( )A ．最小值16B ．最大值16C ．最小值D ．最大值12.(文科) 设数列的前项和为，关于数列有：①若数列既是等差数列又是等比数列，则；②若，则数列是等差数列；③若，则数列是等比数列.以上判断中，正确的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．313.（理科）函数定义如下表，数列满足，且对任意的自然数均有，则等于( )A.1B.2C.4D.5二、填空题1. 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且边a=4，c=3，则b=_____________2.（文科）数列{a n }的通项公式是a n =(n ∈N*)，若前n 项的和为，则项数为3.（理科）不等式 的解集为4. 关于的不等式恒成立，则实数k 的取值范围是__________________.5.（文科）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为6.（理科）若数列的前n 项和，若，记数列的前n 项和为，则使成立的最小正整数n 的值为三、解答题1.（本小题12分） 已知，.（1）求； （2）若不等式的解集是，求实数，的值2.（文科题）（本小题12分）（1）在等比数列{ }中，=162，公比q=3，前n 项和=242，求首项和项数n 的值．（2）已知是数列的前n 项和，，求3.（理科题）（本小题12分）已知数列{a n }是等差数列，a 2＝3，a 5＝6，数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋b n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式与前n 项的和； (2)求数列{b n }的通项公式.4.（本小题12分）在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且(1)求角C 的大小； （2）若c ＝,且△ABC 的面积为,求a ＋b 的值。
福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知，，下列结论成立的是（）A．若，则B．若，，则C．若，则D．若，则（，）2.下列函数中，最小值为的是（）A．B．C．D．且3.设等比数列的前n项和为，若，则（）A．2B．C．D．34.设为等差数列的前项和，已知，则的值为（）A．54B．45C．27D．185.若关于方程的一个实根小于，另一个实根大于，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．6.已知，若不等式恒成立，则实数的最大值是（）A．B．C．D．7.在中，内角所对的边分别为，已知，则角的大小为（）A．B．C．D．8.已知等差数列的前项和满足且，则下列结论错误的是（）A．和均为的最大值B．C．公差D ．9.在中，内角所对的边分别为，若，则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形10.已知实数满足不等式组，若目标函数取得最大值时的唯一最优解是（1,3），则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．11.在中，内角所对的边分别为，已知，，为使此三角形有两个，则满足的条件是（ ） A ． B ．C ．D ．或12.设数列是集合且中所有的数从小到大排列成的数列，即a 1＝4，a 2＝10，a 3＝12，a 4＝28，a 5＝30，a 6＝36，…．将数列中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题1.已知关于的不等式的解集为，则等于 ．2.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度__________m ．3.在中，D 为边BC 的中点，,则________． 4.已知数列满足，若，且对于任意正整数均成立，则数列的前2015项和的值为 ．（用具体的数字表示）三、解答题1.（本小题满分10分） 等差数列的前n 项和为，已知，．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令（）,求数列的前n项和．2.（本小题满分10分）在中，角所对的边分别为．已知，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积．3.（本小题满分12分）某小型餐馆一天中要购买两种蔬菜，蔬菜每公斤的单价分别为2元和3 元．根据需要，蔬菜至少要买6公斤，蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．如果这两种蔬菜加工后全部卖出，两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？4.（本小题满分12分）在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求和的长．5.（本小题满分12分）某企业为解决困难职工的住房问题，决定分批建设保障性住房供给困难职工，首批计划用100万元购买一块土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房一幢，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元，已知建筑第1层楼房时，每平方米的建筑费用为920元．为了使该幢楼房每平方米的平均费用最低（费用包括建筑费用和购地费用），应把楼房建成几层？此时平均费用为每平方米多少万元？6.（本小题满分14分）已知数列，，其前项和满足,其中．（Ⅰ）设，证明：数列是等差数列；（Ⅱ）设，为数列的前n项和，求证：；（Ⅲ）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．福建高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.已知，，下列结论成立的是（）A．若，则B．若，，则C．若，则D．若，则（，）【答案】C【解析】A．时不成立；B．举反例：取，则，因此不成立；C．∵a，∴，正确；D．举反例：取，则，因此不成立．故选：C．2.下列函数中，最小值为的是（）A．B．C．D．且【答案】B【解析】A．显然不能取等号，B正确，C取等号时，sinx>1与正弦函数定义矛盾，D显然最小值不是，故选B．【考点】均值不等式3.设等比数列的前n项和为，若，则（）A．2B．C．D．3【答案】B【解析】由题意可得，公比，，故选B．【考点】等比数列性质及其前n项和4.设为等差数列的前项和，已知，则的值为（）A．54B．45C．27D．18【答案】A【解析】，故选A．【考点】等差数列的性质5.若关于方程的一个实根小于，另一个实根大于，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则由题意利用二次函数的性质求得实数m的取值范围．令，则由题意可得，故选D．【考点】一元二次方程根的分布与系数的关系6.已知，若不等式恒成立，则实数的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，（当且仅当a=b时取“=”），故选B．7.在中，内角所对的边分别为，已知，则角的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题根据正弦定理及余弦定理化简分析计算即可，故选B．【考点】正弦定理；余弦定理8.已知等差数列的前项和满足且，则下列结论错误的是（）A．和均为的最大值B．C．公差D．【答案】D【解析】，则A正确；，∴B正确；，C正确；，D错误．故选D【考点】命题的真假判断，等差数列的前n项和公式及等差数列的性质9.在中，内角所对的边分别为，若，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】，∴或，所以A=B或，∴△ABC是等腰或直角三角形．故选D．【考点】三角形的形状判定10.已知实数满足不等式组，若目标函数取得最大值时的唯一最优解是（1,3），则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】画出不等式组不是的可行域，将目标函数变形，数形结合判断出z最大时，a的取值范围．不等式的可行域．将目标函数变形得y=ax+z，当z最大时，直线的纵截距最大，画出直线y=ax将a 变化，结合图象得到当a ＞1时，直线经过（1，3）时纵截距最大．故选D ．【考点】简单的线性规划【方法点睛】确定二元一次不等式（组）表示的平面区域的方法（1）“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式（组）表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域． （2）当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．11.在中，内角所对的边分别为，已知，，为使此三角形有两个，则满足的条件是（ ）A ．B ．C ．D ．或【答案】A【解析】根据题意作出△ABC 的示意图如图所示，再研究以C 为圆心的圆弧与射线AB 公共点的个数，即可得到当满足条件的△ABC 只有两个时，边a 应满足的条件，从而得到本题答案； ∵△ABC 中，A=60°，，∴作出△ABC 的示意图，如图所示，可得点C 到直线AB 的最短距离为，以C 为圆心，CB 长为半径画弧，则当圆弧与射线AB 有且只有一个公共点时，满足条件的△ABC只有一个，∵当圆弧半径R=6时，圆弧与射线AB 相切，有唯一公共点；当圆弧半径时，满足条件的△ABC 只有两个，故选A ．【考点】正弦定理；解三角形【名师点睛】本题给出三角形ABC 的角A 和b 的长，求当三角形只有一个时边a 满足的条件．着重考查了利用正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．（1）正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用． （2）运用余弦定理时，要注意整体思想的运用12.设数列是集合且中所有的数从小到大排列成的数列，即a 1＝4，a 2＝10，a 3＝12，a 4＝28，a 5＝30，a 6＝36，…．将数列中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分别根据数列的值，确定的利取值规律，利用归纳推理即可得到结论．，，利用归纳推理即可得：…，t+1表示从左到右的个数代表行数，s表示行数，当t=19时，最后一项为1+2+…+19=190，当t=20时，最后一项为1+2+…+20=210，第191为第20行第一个数，210-190=t+1，∴t=19，∴一定在第20行，则故答案为：C【考点】归纳推理【名师点睛】本题考查了一个探究规律型的问题，解题时要认真分析题意，寻找其中的规律，从而解出结果．综合性较强，难度较大；（1）归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．（2）归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的．（3）归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用二、填空题1.已知关于的不等式的解集为，则等于．【答案】-1【解析】由题意，得出不等式对应的方程的两个实数根；再由根与系数的关系，求出m、n的值即可．∵x不等式的解集为，∴，且方程的解为，∴由根与系数的关系【考点】一元二次不等式的解法2.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度__________m．【答案】【解析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．设此山高h（m），则，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得【考点】解三角形的实际应用3.在中，D为边BC的中点，,则________．【答案】【解析】延长AD至E，使DE=AD，连接BE，在△ABE中，利用正弦定理，即可得到结论．延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则在△ABE 中，，由正弦定理，得∠AEB=90°，故【考点】正弦定理的应用【方法点睛】正、余弦定理的应用原则：（1）正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用；（2）运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．4.已知数列满足，若，且对于任意正整数均成立，则数列的前2015项和的值为 ．（用具体的数字表示） 【答案】1344【解析】依题意可求得，于是可求得，于是可得的值．，，又数列的周期为3，∴，同理可得，…【考点】数列求和【名师点睛】本题考查数列的求和，着重考查函数的周期性，得到相邻三项之和为2是关键，属于中档题；数列与函数的综合一般体现在两个方面：（1）以数列的特征量n ，a n ，S n 等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系；（2）数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．三、解答题1.（本小题满分10分） 等差数列的前n 项和为，已知，．（Ⅰ）求及； （Ⅱ）令（）,求数列的前n 项和． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据等差数列所给的项和项间的关系，列出关于基本量的方程，解出等差数列的首项和公差，写出数列的通项公式和前n 项和公式．（Ⅱ）根据前面做出的数列构造新数列，把新数列用裂项进行整理变为两部分的差，合并同类项，得到最简结果，本题考查的是数列求和的典型方法--裂项法，注意解题过程中项数不要出错． 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵，, ∴，解得∴，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，∴．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和；数列的求和．【易错点睛】利用裂项相消法求和的注意事项：（1）抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；（2）将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．2.（本小题满分10分） 在中，角所对的边分别为．已知，，．（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．试题解析：（Ⅰ）∵∴∵∴由正弦定理得（Ⅱ）∴【考点】正弦定理的应用3.（本小题满分12分）某小型餐馆一天中要购买两种蔬菜，蔬菜每公斤的单价分别为2元和3 元．根据需要，蔬菜至少要买6公斤，蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．如果这两种蔬菜加工后全部卖出，两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？【答案】餐馆应购买A蔬菜24公斤，B蔬菜4公斤，加工后利润最大为52元【解析】利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，然后利用线性规划的内容进行图象平移，然后确定目标函数是最值．试题解析：设A蔬菜购买的公斤数x，B蔬菜购买的公斤数y，餐馆加工这两种蔬菜利润为z元．x、y则之间的满足的不等式组为：z=2x+y画出的平面区域如图．∵y=﹣2x+z……… 7分∴z表示过可行域内点斜率为﹣2的一组平行线在y轴上的截距．联立解得，即B（24，4）∴当直线过点B（24，4）时，在y轴上的截距最大，即答：餐馆应购买A蔬菜24公斤，B蔬菜4公斤，加工后利润最大为52元．【考点】简单的线性规划的应用4.（本小题满分12分）在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求和的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由题根据面积公式及所给条件不难得到AB=2AC,结合正弦定理可得；（Ⅱ）设，则在与中，由余弦定理可得AC．试题解析：（Ⅰ）由题由正弦定理可知（II），设，则在与中，由余弦定理可知，，解得即【考点】三角形面积公式；正弦定理；余弦定理5.（本小题满分12分）某企业为解决困难职工的住房问题，决定分批建设保障性住房供给困难职工，首批计划用100万元购买一块土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房一幢，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元，已知建筑第1层楼房时，每平方米的建筑费用为920元．为了使该幢楼房每平方米的平均费用最低（费用包括建筑费用和购地费用），应把楼房建成几层？此时平均费用为每平方米多少万元？【答案】10层，此时平均费用为每平方米0．111万元．【解析】第1层楼房每平方米建筑费用为920元，第1层楼房建筑费用为920×1000=920000（元）=92（万元）；楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20×1000=20000（元）=2（万元）；第x层楼房建筑费用为92+（x-1）×2=2x+90（万元）；建筑第x层楼时，楼房综合费用=建筑总费用（等差数列前n项和）+购地费用，由此可得该楼房总费用为；楼房每平方米的平均费用为，求出最小值即可．试题解析：设建筑楼房为x层，该楼房每平方米的平均费用为万元，由题意知建筑第1层楼房建筑费用为：920×1000=920000（元）=92（万元）楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：20×1000=20000（元）=2（万元）建筑x层楼时，该楼房总费用为则当且仅当10x=，即x=10时，等号成立；答：了使该幢楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼房建成10层，此时平均费用为每平方米0．111万元．【考点】基本不等式的应用【方法点睛】利用基本不等式求解实际应用题的方法：（1）此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．（2）当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．6.（本小题满分14分）已知数列，，其前项和满足,其中．（Ⅰ）设，证明：数列是等差数列；（Ⅱ）设，为数列的前n项和，求证：；（Ⅲ）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）略（Ⅲ）-1【解析】（Ⅰ）由题根据时，，可得，可得，所以是首项为2，公差为1的等差数列，得到；（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得，然后根据错位相消法求得；（Ⅲ）由得，即恒成立，讨论得到存在λ=-1，使得对任意，都有成立试题解析：（Ⅰ）当时，，∴当时，，∴，即，∴（常数），又，∴是首项为2，公差为1的等差数列，．（Ⅱ），所以，，相减得，∴．（Ⅲ）由得，，，（i）当n为奇数时，即恒成立，当且仅当n=1时，有最小值为1，；（ii）当n为偶数时，即恒成立，当且仅当n=2时，有最大值-2，．，又λ为非零整数，则λ=-1．综上所述：存在λ=-1，使得对任意，都有成立．【考点】数列递推式；数列的通项与求和；恒成立问。
福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.全集，，，则（）A．B．C．D．2.复数，则实数等于（）A．B．C．D．3.“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.函数的定义域是（）A．B．C．D．5.已知函数若则的值为（ )A．B．C．或D．或6.已知的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7.下列四个函数中，在上为增函数的是（）A．B．C．D．8.已知奇函数满足当时，，则当时，的解析式为（）A．B．C．D．9.已知定义在上的减函数满足，则不等式的解集为（）A．B．C．D．10.已知函数，则下列图象错误的是（ )11.已知，函数，若满足，则下列必为真命题中的是（）A．B．C．D．12.定义在上的函数满足下列三个条件：①；②对任意，都有；③的图像关于轴对称．则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．二、填空题1.集合的子集的个数是个；2.函数时是减函数，则的取值范围是________；3.已知数列为等差数列，且，则__________；4.从甲、乙、丙、丁、戊、已人中选人组成一个辩论赛队，要求满足如下三个条件：①甲、丙两人中至少要选上一人；②乙、戊两人中至少要选上一人；③乙、丙两人中的每一个人都不能与戊同时入选。
如果乙没被选上，则一定入选的两人是__________.三、解答题1.已知在平面直角坐标系中，圆的方程为．以原点为极点，以轴正半轴为极轴，且与直角坐标系取相同的单位长度，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线的直角坐标方程和圆的参数方程；（Ⅱ）求圆上的点到直线的距离的最小值．2.已知函数.（Ⅰ）用分段函数的形式表示该函数；（Ⅱ）在下边所给的坐标系中画出该函数的图象；并根据图象直接写出该函数的定义域、值域、单调区间（不要求证明).3.已知二次函数的图像过。
2023-2024学年福建省福州市福清市高中联合体高二上学期期中质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，，，则与向量共线的向量的坐标是( )A. B. C. D.2.若直线l的一个方向向量，平面的一个法向量，则l与所成角为( )A. B. C. 或 D. 或3.已知直线l的斜率为3，且在y轴上的截距为，则l的方程为( )A. B. C. D.4.在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，则点A到直线的距离为( )A. 1B.C.D.5.已知直线的一个方向向量为，直线：，若，则实数t的值为( )A. 1B.C.D.6.已知直线过定点M，则点M关于直线对称的点的坐标为( )A. B. C. D.7.已知圆心为C的圆经过，两点，且点C在直线上，则此圆的标准方程为( )A. B.C. D.8.已知二面角的大小为，且平面ABC，的面积为4，则的面积为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为，则( )A. 点P到点O的距离是3B. 点P关于x轴对称点的坐标是C. 点P关于点对称的点的坐标是D. 点P关于Oxy平面对称的点的坐标是10.下列说法中正确的是( )A. 若，则和的夹角为锐角B. 若是空间的一个基底，则构成空间的另一个基底C. 对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面D. 若平面平面，平面的一个法向量为，点，点，且，则与的距离为111.已知圆M：，则( )A. 点在圆M内B. 圆M关于直线对称C. 圆M的半径为D. 直线与圆M相切12.如图，已知正方体的棱长为1，点M为的中点，点P为该正方体的上底面上的动点，则( )A.满足平面的点P的轨迹长度为B. 存在唯一的点P满足C. 满足的点P的轨迹长度为D. 存在点P满足三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2015-2016学年福建省福州市福清市西山高中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于( ) A．B．C．D．2．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于( )A．﹣1 B．1 C．3 D．73．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是( ) A．B．＞C．＞0 D．＜04．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定5．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=( ) A．7 B．8 C．15 D．166．不等式组的解集是( )A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜3}7．在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则cos（π+B）的值为( )A．﹣B．C．D．8．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( ) A．13项B．12项C．11项D．10项9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为( )A．①② B．③④ C．①③ D．②④10．已知，x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为( )A．B．C．1 D．211．已知数列{a n}的通项公式是a n=n2+kn+2，若对于n∈N*，都有a n+1＞a n成立，则实数的取值范围( )A．k＞0 B．k＞﹣1 C．k＞﹣2 D．k＞﹣312．在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则( )A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为__________千米．14．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为__________．15．若对于任意实数x都会使|x﹣2|+|x﹣1|≥a成立，则实数a的取值范围是__________．16．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则正整数m的值为__________．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对角边分别为a，b，c，B=，cosA=，b=（1）求sinC的值（2）求△ABC的面积．18．1．某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：甲乙生产能力台时/天产品时间工艺要求制白坯时间 6 12 120油漆时间8 4 64单位利润200 240问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润．最大利润是多少？19．已知等差数列{a n}满足a2=2，a5=8．（1）求{a n}的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列{b n}中，b1=1，b2+b3=a4，求{b n}的前n项和T n．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n∈N*），等差数列{b n}中，公差d=2，且b1+b2+b3=15．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和T n．21．已知等差数列{b n}满足b1=1，b4=7．设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，证明：≤T n ＜．22．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．2015-2016学年福建省福州市福清市西山高中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于( ) A．B．C．D．【考点】正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．故选D．【点评】本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．2．已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于( )A．﹣1 B．1 C．3 D．7【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．【解答】解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用．解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得a3和a4．3．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是( ) A．B．＞C．＞0 D．＜0【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式．【分析】利用不等式的基本性质判断每个答案中不等式是否成立，即可得到答案．【解答】解：∵c＜b＜a且ac＜0，∴a＞0，c＜0，∴＞，故A一定成立，∵b2与a2，的大小关系不能确定，∴选项B不一定成立，∴b﹣a＜0，∴，故C一定成立，∵a﹣c＞0，ac＜0，∴＜0，故D一定成立，故选：B【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．4．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【考点】余弦定理的应用；三角形的形状判断．【专题】解三角形．【分析】由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围【解答】解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cosC=∴∴△ABC是钝角三角形故选C【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础试题5．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=( ) A．7 B．8 C．15 D．16【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】先根据“4a1，2a2，a3成等差数列”和等差中项的性质得到3者的关系式，然后根据等比数列的性质用a1、q表示出来代入以上关系式，进而可求出q的值，最后根据等比数列的前n项和公式可得到答案．【解答】解：∵4a1，2a2，a3成等差数列∴，∴，即∴q=2∴S4===15故选C【点评】本题主要考查等比数列、等差数列的基本性质．属基础题．6．不等式组的解集是( )A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜3}【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；集合思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】分别求出每个不等式的解集，并求出交集，问题得以解决．【解答】解：由|x|﹣1＜0，解得﹣1＜x＜1，由x2﹣3x＜0，解得0＜x＜3，∴不等式组的解集是{x|0＜x＜1}，故选：A．【点评】本题考查了不等式组的解法，关键是求出每个不等式的解集，属于基础题．7．在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则cos（π+B）的值为( )A．﹣B．C．D．【考点】余弦定理；运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由三角形的三边，利用余弦定理求出cosB的值，利用诱导公式即可得解．【解答】解：∵由AB=5，BC=7，AC=8，根据余弦定理得：cosB==，∴cos（π+B）=﹣cosB=﹣．故选：A．【点评】此题考查了余弦定理，诱导公式的应用，属于基础题．8．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( ) A．13项B．12项C．11项D．10项【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】先设数列的通项公式为a1q n﹣1，则前三项之积：a13q3=2，后三项之积：a13q3n﹣6=4两式相乘得即a12q n﹣1=2，又根据所有项的积为64，进而求出n．【解答】解析：设数列的通项公式为a1q n﹣1则前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1q n ﹣3，aq n﹣2，a1q n﹣1．1∴前三项之积：a13q3=2，后三项之积：a13q3n﹣6=4两式相乘得：a16q3（n﹣1）=8，即a12q n﹣1=2又a1•a1q•a1q2…a1q n﹣1=64，∴=64，即（a12q n﹣1）n=642，∴2n=642，∴n=12故选B【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为( )A．①② B．③④ C．①③ D．②④【考点】等比关系的确定．【专题】综合题；压轴题．【分析】根据新定义，结合等比数列性质，一一加以判断，即可得到结论．【解答】解：由等比数列性质知，①=f2（a n+1），故正确；②≠=f2（a n+1），故不正确；③==f2（a n+1），故正确；④f（a n）f（a n+2）=ln|a n|ln|a n+2|≠=f2（a n+1），故不正确；故选C【点评】本题考查等比数列性质及函数计算，正确运算，理解新定义是解题的关键．10．已知，x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为( )A．B．C．1 D．2【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（1，﹣1），此时z=1×2﹣1=1，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．11．已知数列{a n}的通项公式是a n=n2+kn+2，若对于n∈N*，都有a n+1＞a n成立，则实数的取值范围( )A．k＞0 B．k＞﹣1 C．k＞﹣2 D．k＞﹣3【考点】数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵对于n∈N*，都有a n+1＞a n成立，∴（n+1）2+k（n+1）+2＞n2+kn+2，化为k＞﹣（2n+1），∴k＞﹣（2×1+1），即k＞﹣3．故选D．【点评】熟练掌握数列的单调性和一次函数的单调性是解题的关键．12．在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则( )A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】此题新定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y），由题意（x﹣a）⊙（x+a）=（x﹣a）（1﹣x ﹣a），再根据（x﹣a）⊙（x+a）＜1，列出不等式，然后把不等式解出来．【解答】解：∵（x﹣a）⊙（x+a）＜1∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，即x2﹣x﹣a2+a+1＞0∵任意实数x成立，故△=1﹣4（﹣a2+a+1）＜0∴，故选C．【点评】此题是一道新定义的题，要遵守命题人定的规则，另外此题主要还是考查一元二次不等式的解法．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为千米．【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】先由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，利用三角形内角和求得∠ACB，进而表示出AD，进而在Rt△ABD中，表示出AB和AD的关系求得x．【解答】解：由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°∴AD=x∴在Rt△ABD中，AB•sin60°=xx=（千米）答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：下由正弦定理求解：∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45°又相距2千米的A、B两点∴，解得AC=答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．主要是利用了三角形中45°和60°这两个特殊角，建立方程求得AC．14．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为15．【考点】余弦定理；数列的应用；正弦定理．【专题】综合题；压轴题．【分析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．故答案为：15【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．15．若对于任意实数x都会使|x﹣2|+|x﹣1|≥a成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，1]．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由条件利用绝对值的意义求得|x﹣2|+|x﹣1|的最，小值为1，从而求得实数a的取值范围．【解答】解：|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到1、2对应点的距离之和，它的最小值为1，又对于任意实数x，|x﹣2|+|x﹣1|≥a成立，∴1≥a，故答案为：（﹣∞，1]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，函数的恒成立问题，属于基础题．16．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则正整数m的值为5．【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a m和a m+1的值，进而可得公差d，由通项公式和求和公式可得a1和m的方程组，解方程组可得所求．【解答】解：由题意可得a m=S m﹣S m﹣1=0﹣（﹣2）=2，a m+1=S m+1﹣S m=3﹣0=3，∴等差数列{a n}的公差d=a m+1﹣a m=3﹣2=1，由通项公式可得a m=a1+（m﹣1）d，代入数据可得2=a1+m﹣1，①再由求和公式可得S m=ma1+d，代入数据可得0=ma1+，②联立①②可解得m=5故答案为：5【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及方程组的解法，属中档题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对角边分别为a，b，c，B=，cosA=，b=（1）求sinC的值（2）求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形．【分析】（1）运用同角的平方关系和两角和的正弦公式计算即可得到；（2）运用正弦定理和三角形的面积公式计算即可得到．【解答】解：（1）由cosA=，得sinA==，即有sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+=；（2）由正弦定理可得，a===，则ABC的面积为S=absinC==．【点评】本题考查正弦定理和面积公式的运用，考查两角和的正弦公式和同角的平方关系的运用，属于基础题．18．1．某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：甲乙生产能力台时/天产品时间工艺要求制白坯时间 6 12 120油漆时间8 4 64单位利润200 240问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润．最大利润是多少？【考点】简单线性规划的应用．【专题】应用题．【分析】设生产甲、乙两种型号的组合柜分别为x个、y个，利润为Z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值，从而求出所求．【解答】解：设生产甲、乙两种型号的组合柜分别为x个、y个，利润为Z元，那么①…目标函数为z=200x+240y…作出二元一次不等式①所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．把z=200x+240y 变形为，得到斜率为，在轴上的截距为，随z变化的一族平行直线．如图可以看出，当直线经过可行域上A 时，截距最大，即z最大．…解方程组得A的坐标为x=4，y=8 …所以z max=200x+240y=2720．答：该公司每天生产生产甲、乙两种型号的组合柜分别为4个、8个，能够产生最大的利润，最大的利润是2720元．【点评】本题主要考查了简单线性规划的应用，以及平面区域图的画法和二元一次不等式组的解法，属于中档题．19．已知等差数列{a n}满足a2=2，a5=8．（1）求{a n}的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列{b n}中，b1=1，b2+b3=a4，求{b n}的前n项和T n．【考点】等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】综合题．【分析】（1）求{a n}的通项公式，可先由a2=2，a5=8求出公差，再由a n=a5+（n﹣5）d，求出通项公式；（2）设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q（q＞0），利用等比数列的通项公式可求首项b1及公比q，代入等比数列的前n项和公式可求Tn．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d∵a2=2，a5=8∴a1+d=2，a1+4d=8解得 a1=0，d=2∴数列{an}的通项公式a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣2（2）设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q（q＞0）由（1）知a n=2n﹣2b1=1，b2+b3=a4=6∴q≠1∴q=2或q=﹣3（舍去）∴{b n}的前n项和T n=2n﹣1【点评】等差数列与等比数列的通项公式的求解及前n项和的求解是数列的最基础的考查，是高考中的基础试题，对考生的要求是熟练掌握公式，并能进行一些基本量之间的运算．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n∈N*），等差数列{b n}中，公差d=2，且b1+b2+b3=15．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）a n+1=2S n+1⇒a n=2S n﹣1+1（n≥2，n∈N*），两式相减，可得a n+1=3a n（n∈N*），从而可得数列{a n}的通项公式；由等差数列{b n}中，公差d=2，且b1+b2+b3=15可求得{b n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n•b n=（2n+1）×3n﹣1，利用错位相减法即可求得数列{a n•b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ））∵a n+1=2S n+1（n≥1，n∈N*），∴a n=2S n﹣1+1（n≥2，n∈N*），∴a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n（n≥2，n∈N*），…2分又a1=1，a2=2a1+1=3，∴a2=3a1，∴a n+1=3a n（n∈N*）．∵a1=1，∴数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n=3n﹣1（n∈N*）…4分∵b1+b2+b3=15，∴b2=5，又d=2，∴b1=b2﹣d=3，…6分∴b n=3+2（n﹣1）=2n+1…7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，T n=3×1+5×3+7×32+…+（2n﹣1）×3n﹣2+（2n+1）×3n﹣1，①3T n=3×3+5×32+7×33+…+（2n﹣1）×3n﹣1+（2n+1）×3n，②∴①﹣②得：﹣2T n=3×1+2×3+2×32+…+2×3n﹣1﹣（2n+1）×3n=3+2（3+32+33+…+3n﹣1）﹣（2n+1）×3n=3+2×﹣（2n+1）×3n…10分=﹣2n•3n…11分∴T n=n•3n（n∈N*）…12分【点评】本题考查等比数列关系的确定与等差数列通项公式的应用，突出考查错位相减法求和，考查综合运算与求解能力，属于难题．21．已知等差数列{b n}满足b1=1，b4=7．设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，证明：≤T n ＜．【考点】数列的求和．【专题】证明题；消元法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得b n，可得c n，由裂项相消法和不等式的性质可得．【解答】证明：∵等差数列{b n}满足b1=1，b4=7，∴b n=1+（n﹣1）=2n﹣1，∴c n===（﹣），∴数列{c n}的前n项和为T n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）==，∵0＜≤1，∴2＜2+≤3，∴≤＜【点评】本题考查数列求和公式的裂项相消法，涉及不等式的性质，属中档题．22．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）利用绝对值的意义，|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标，从而得出结论．（2）转化不等式为|x﹣1|+|x﹣2|≤，利用函数恒成立以及绝对值的几何意义，求出x的范围即可．【解答】解：（1）由f（x）＞2，即|x﹣1|+|x﹣2|＞2．而|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标为和，故不等式|x﹣1|+|x﹣2|≥2的解集为﹛x|x≤或x≥﹜，（2）由题知，|x﹣1|+|x﹣2|≤恒成立，故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于的最小值．∵|a+b|+|a﹣b|≥|a+b+a﹣b|=2|a|，当且仅当（a+b）（a﹣b）≥0 时取等号，∴的最小值等于2，∴x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解．由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，又由于数轴上的、对应点到1和2对应点的距离之和等于2，故不等式的解集为，故答案为．【点评】本题考查函数恒成立以及绝对值的意义，绝对值不等式的解法，判断数轴上满足|x ﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标为和，是解题的关键．考查转化思想的应用．。
福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若集合，，则等于（）A． B． C． D2.复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．B．C．D．3.下面各组函数中为相等函数的是（）A．B．C．D．4.已知集合，，则（）A．B．C．D．5.用反证法证明命题:三角形的内角至少有一个钝角。
假设正确的是（）A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角6.下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10？B．i＜10?C．i＞20?D．i＜20?7.已知命题P：若则，命题q: 若则。
在命题：①，②③，④中，真命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④8.我校开展研究性学习活动，高二某同学获得一组实验数据如下表：）A. B. C. D.9.如果函数在区间（－∞，3]上单调递减，则实数a满足的条件使（）A．a≤6B．a≥6C．a≥3D．a≥－310.已知命题；命题，则命题的（）是命题.A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件11.下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“使得”的否定是：“均有”D．已知命题，命题，使得．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是．12.下列类比推理的结论不正确的是（）①类比“实数的乘法运算满足结合律”，得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”；②类比“设等差数列的前项和为，则成等差数列”，得到猜想“设等比数列的前项积为，则成等比数列”；③类比“平面内，同垂直于一直线的两直线相互平行”，得到猜想“空间中，同垂直于一直线的两直线相互平行”；④类比“设为圆的直径，为圆上任意一点，直线的斜率存在，则为常数”，得到猜想“设为椭圆的长轴，为椭圆上任意一点，直线的斜率存在，则为常数”.A．①④B．①③C．②③D．②④二、填空题1.设，那么的大小关系是________.2.设函数,若,________.3.已知函数定义域是，则的定义域是 .4.如下图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，……，若按此规律继续下去，则 .三、解答题1.复数（），（1），求复数的模；（2）当实数 m为何值时复数为纯虚数；（3）当实数 m为何值时复数在复平面内对应的点在第二象限？2.已知集合．（1）求；（2）3.某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：甲厂：分组[29.86，[29.90，[29.94，[29.98，[30.02，[30.06，[30.10，（1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；（2）由于以上统计数据填下面列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.甲厂乙厂合计4.已知函数（1）画出该函数的图像；（2）求函数的单调区间；（3）设，求在上的最大值.5.已知f（x）是定义在区间［-1，1］上的函数，且f（1）=1，若m,n∈［-1,1］,m-n≠0时，有. （1）判断函数的单调性，需要说明理由：（2）解不等式：；（3）若不等式，求实数的取值范围.福建高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.若集合，，则等于（）A． B． C． D【答案】C【解析】由题已知，；求它们的交集，则可得：【考点】集合的交集运算。
