重心与形心一

理论力学(静力学)一基本概念1.一物体是否被看作刚体，取决于。

（A）变形是否微小（B）变形不起决定因素（C）物体是否坚硬（D是否研究物体的变形答案：B2.平衡是指。

（A）物体相对任何参考体静止不动（B）物体相对任何参考体作匀速直线运动（C）物体只相对地球作匀速直线运动（D物体相对地球静止不动或作匀速直线运动答案：D3.参考答案：BC4.力有两种作用效果：力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。

答案：√5.悬挂的小球静止不动是因为小球对绳向下的拉力和绳对小球向上的拉力相互抵消的缘故。

答案：×6.在任何情况下，体内任意两点的距离保持不变的物体叫刚体。

√7.凡是合力都大于分力。

（）答案：×8.二力平衡条件中的两个力作用在同一物体上；作用力和反作用力分别作用在两个物体上。

（）答案：√9.理论力学的任务是研究物体作机械运动一般规律的科学。

（）答案：√·1.2 静力学公理。

1.参考答案：B2.参考答案：A3.三力平衡定理是。

（A）共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点（B）共面三力若平衡，必汇交于一点（C）三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。

（D）此三个力必定互相平行答案：A4.作用和反作用定律的适用范围是。

（A）只适用于刚体（B）只适用于变形体（C）只适用于处于平衡状态的物体（D）适用于任何物体答案：D5.力的可传性原理。

（A）适用于刚体（B）适用于刚体和弹性体（C）适用于所有物体（D）只适用于平衡的刚体答案：A6.如图所示的三铰刚架，支座A、B处的约束力一定通过。

(A) C 点(B) D点(C) E点(D) F点答案：C7.下列说法正确的是。

(A) 作用力反作用力既可以作用于同一物体，也可以作用于两个不同物体(B) 作用力反作用力肯定作用于两个不同物体(C) 作用反作用定律只适用于平衡刚体(D)作用反作用定律适用于所有刚体答案：BD8.刚体受汇交于一点的三个力作用，肯定能平衡。

三角形的中心与重心定理三角形是几何学中最基本的图形之一。

在研究三角形的性质时，中心与重心定理是一个重要的定理。

本文将通过对该定理的详细论述，展示三角形的特性以及定理的证明。

一、中心与重心在介绍中心与重心定理之前，我们首先需要了解三角形的中心与重心的概念。

1.1 中心三角形的中心是指一个点，该点与三角形的三个顶点之间距离的平均数相等。

根据这个定义，我们可以得到三个中心：外心、内心和垂心。

- 外心是指可以将三角形的三个顶点作为圆心的圆完全包围住三角形的圆心。

- 内心是指与三角形的三边相切的圆的圆心。

- 垂心是指三角形的三条高线交于一点的点。

1.2 重心三角形的重心是指三角形的三条中线的交点。

中线是指三角形的每条边的中点与对向顶点之间的线段。

二、中心与重心定理中心与重心定理是中心和重心之间的一个重要关系。

该定理可以表述如下：对于任意一个三角形，它的重心到三个中心的距离是三条中线长的两倍。

证明过程如下：假设三角形的三个中心分别为O1、O2、O3，重心为G。

首先，我们可以得到以下结论：1. 三个中线的中点分别为M1、M2、M3。

2. 三角形的任意一边长的一半等于该边上中线的长度。

接下来，我们证明OG = 2GM1。

根据中心的定义，我们知道GO1 = GO2 = GO3。

由此可得GO1 + GO2 + GO3 = 3GO1。

同样地，我们知道GM1 = GM2 = GM3。

由此可得GM1 + GM2 + GM3 = 3GM1。

由于GM1 = 1/2MO1，GO1 = 1/2OO1，所以3GO1 = 3GM1。

由此可得GO1 = 2GM1。

同理可得GO2 = 2GM2，GO3 = 2GM3。

综上所述，OG = 2GM1 = 2GM2 = 2GM3，即重心到三个中心的距离是三条中线长的两倍。

三、应用与拓展中心与重心定理的应用和拓展广泛。

以下是一些常见的应用：3.1 三角形形心的性质通过中心与重心定理，我们可以得到三角形形心之间的关系。

1、形心
形心是几何构形的中心，没有物理含义，是对几何构形上所有点的位置的一种等
效，设形心位置为c r r ，则计算公式如下
c rdv r V =⎰
r r 或i
ci x dv x V
=⎰
2、质心
质心是用来等效物体质量分布的一个几何点，由计算物体动量引出，这里假设物体密度为常数
m m d d d vdv rdv m r V r dt dt dt
ρρρ====⎰⎰p r r r r m rdv r V ⇒=⎰r r 或i mi x dv x V
=⎰ 可见，当物体质量分布均匀时质心与形心重合。

若物体密度并非常数，则 m rdv r dv
ρρ⇒=⎰⎰r r 3、重心
重心是用来等效物体重力作用的一个几何点，由计算物体对坐标原点的重力矩引出，这里假设物体密度为常数
()o g g g g M g r i dv g rdv i gVr i ρρρ=⨯=⨯=⨯⎰⎰r r r r r r
g rdv r V ⇒=⎰r r
可见在重力场中，对于质量分布均匀的物体，重心、质心、形心三者重合。

一．是非题：（正确的在括号内打“√”、错误的打“×”）（75小题）1．刚体是指在外力作用下，其内任意两点间的距离永远保持不变的物体。

在理论力学的静力学中，所研究的物体都是指刚体。

( )2．力是物体间相互的机械作用。

力对物体的作用效应包括运动效应和变形效应两种。

( )3．作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力，合力也作用在该点上，其大小和方向由这两个力为边构成的平行四边形的对角线来确定。

( )4．作用于刚体上的力，可以沿其作用线移到刚体任一点上，而不会改变该力对刚体的作用效果。

( ) 5．作用于刚体上的三个力，若其作用线共面且相交于一点，则刚体一定平衡。

( )6．柔索对物体的约束反力，作用在接触点上，方向沿柔索轴线，背离物体，恒为拉力。

( )7．光滑接触面对物体的约束反力，作用在接触点处，方向沿接触面的公法线，指向物体，恒为压力。

( ) 8．只受二个力作用而平衡的构件称为二力杆，其约束反力的作用线一定在这二个力作用点的连线上。

( ) 9．平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是力系中各力构成的力多边形自行封闭。

( )10．作力多边形时，力系中分力的次序是任意的，顺序不同只改变多边形的形状，而不改变合力。

( ) 11．应用解析法求解平面汇交力系平衡问题时，坐标轴x、y一定要垂直，否则平衡方程ΣF x＝0，ΣF y＝0不成立。

( )12．力在两坐标轴上的投影和力沿该两坐标轴上的分力大小一定相等。

( )13．在平面问题中，力对点之矩是一个代数量；而在空间问题中，力对点之矩是一个矢量，但两者的绝对值都是力的大小与力臂的乘积。

( )14．力偶没有合力，它既不能用一力等效，也不能和一力平衡。

( )15．力偶没有合力，力偶在任一坐标轴上的投影代数和一定等于零。

( )16．若两个力偶矩大小相等，则这两个力偶互为等效。

( )17．求图示A、B处的约束反力时，根据力偶的性质，可以将作用于ACB杆上的力偶矩M由AC段移到CB段上，不改变作用效果。

第三章重心和形心第十讲重心和形心第十讲重心和形心目的要求：掌握平面组合图形形心的计算。

教学重点：分割法和负面积法计算形心。

教学难点：对计算形心公式的理解。

教学内容：§3-4 重心和形心一、重心的概念：1、重心的有关知识，在工程实践中是很有用的，必须要加以掌握。

2、重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力。

3、物体的重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。

无论物体怎样放置，重心总是一个确定点，重心的位置保持不变。

二、重心座标的公式：(1)、重心座标的公式三、物体质心的坐标公式在重心坐标公式中，若将G=mg，G i＝m i g代入并消去g，可得物体的质心坐标公式如下：四、均质物体的形心坐标公式若物体为均质的，设其密度为ρ，总体积为V,微元的体积为V i，则G=ρgV,G i＝ρgV i，代入重心坐标公式，即可得到均质物体的形心坐标公式如下：式中V=∑Vi。

在均质重力场中，均质物体的重心、质心和形心的位置重合。

五、均质等厚薄板的重心（平面组合图形形心）公式：令式中的∑A i.x i＝A.x c＝S y；∑A i.y i＝A.y c＝S x则S y、S x分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一次矩。

六、物体重心位置的求法工程中，几种常见的求物体重心的方法简介如下：1、对称法凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体，其重心一定在它的对称面、对称轴和对称中心上。

对称法求重心的应用见下图。

2、试验法对于形状复杂，不便于利用公式计算的物体，常用试验法确定其重心位置，常用的试验法有悬挂法和称重法。

（1）、悬挂法利用二力平衡公理，将物体用绳悬挂两次，重心必定在两次绳延长线的交点上。

悬挂法确定物体的重心方法见图(2）、称重法对于体积庞大或形状复杂的零件以及由许多构件所组成的机械，常用称重法来测定其重心的位置。

例如，用称重法来测定连杆重心位置。

(3)、分割法：工程中的零部件往往是由几个简单基本图形组合而成的，在计算它们的形心时，可先将其分割为几块基本图形，利用查表法查出每块图形的形心位置与面积，然后利用形心计算公式求出整体的形心位置。