湖南省长沙市2014届下学期高三年级二模考试数学试卷(理科) 有答案

湖南省十三校2014届下学期高三年级第二次联考数学试卷（理科）总分：150分时量：120分钟一、选择题：本大题共：10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A．（一 ，t）B．（0，1] C．[0，1）D．（0，1）2．已知“∈R，则“a=2”是“复数z=（a2—a—2）+（a+1）i（i为虚数单位）为纯虚数”的A．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是A．4 B．5C．6 D．74．等差数列{}n a的前n项和为S n，且S2=l0，S4=36，则过点的直线的斜率是A．一1 B．2C．4 D．1 45．若函数y=f(x)的图象如图，则函数y=f(1-x)的图象大致为6．若某棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该棱锥的体积等于A．10 cm3B．20 cm3 C．30 cm3 D．40 cm37．如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是A．12 B．13 C．15 D．168．若实数a,b,c成等差数列，点P（—1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，点N（3，3），则|MN|的最大值是9．已知双曲线2212221(0,0),,x ya b A Aa b-=>>是实轴顶点，F是右焦点，B（0，b）是虚轴端点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点p1（i=1，2），使得△P i A1A2（i=1-2）构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是10、已知点G是△ABC的重心，且，则实数的值为二、填空题：本大题共6 IJI、题，考生作答5 IJI、题，每小题5分。

共25分。

（一）选做题（请考生在11、l 2、心三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11、如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上的点，且DF＝CF＝AF＝2BF，若CE与圆相切，且CE＝，则BE＝＿＿＿＿＿212、在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为在以原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，则l与C 的交点的直角坐标为＿＿＿＿之最小值为＿＿（二）必做题（14～16题）14、定积分的值为＿＿＿＿15、在D是BC的中点，（1）那么（2）若E是AB的中点，P是△ABC（包括边界）内任意一点，则的取值范围是＿＿＿16、给定有限单调递增数列{x n}（n∈N*，n≥2）且x i≠0（1≤i≤n），定义集合A={（x i，x j）|1≤i，j≤n，且i，j∈N*}．若对任意点A1∈A，存在点A2∈A使得OA1⊥OA2（O为坐标原点），则称数列{x n}具有性质P．（Ⅰ）给出下列四个命题，其中正确提＿＿＿＿（填上所有正确有命题的序号）（II）若数列只有2014项且具有性质P，x1=-1，x3=2，则{x n}的所有项和S2014＝＿＿三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分l 2分）已知△ABC的三内角分别为A，B，C，B＝记函数f（A）＝（1）若f（A）＝0，b＝2，求△ABC的面积；（2）若关于A的方程f（A）＝k有两个不同的实数解，求实数k的取值范围。

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟.满分150分.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.满足ii z z +=（i 为虚数单位）的复数z =( )A .11i 22+B .11i 22-C .11i 22-+D .11i 22--2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽 样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ,2p ,3p ,则( ) A .123p p p =＜ B .231p p p =＜ C .132p p p =＜D .123p p p ==3.已知()f x ,()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且32()()1f x g x x x -=++,则 (1)(1)f g +=( )A .3-B .1-C .1D .3 4.51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是( )A .20-B .5-C .5D .205.已知命题p ：若x y ＞,则x y -＜-；命题q ：若x y ＞,则22x y ＞.在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中,真命题是( )A .①③B .①④C .②③D .②④6.执行如图1所示的程序框图,如果输入的[2,2]t ∈-,则输出的S 属于 ( )A .[6,2]--B .[5,1]--C .[4,5]-D .[3,6]-7.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A .1B .2C .3D .48.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A .2p q+ B .(1)(1)12p q ++-CD19.已知函数()sin()f x x ϕ=-,且2π30()d 0f x x =⎰,则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A .5π6x =B .7π12x =C .π3x =D .π6x = 10.已知函数21()e (0)2x f x x x =+-＜与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )A.(-∞ B.(-∞ C.( D.(二、填空题：本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分）11.在平面直角坐标系中,倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：2cos ,1sin ,x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于A ,B 两点,且||2AB =.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是 .12.如图3,已知AB ,BC 是O 的两条弦,AO BC ⊥,ABBC =则O 的半径等于 .13.若关于x 的不等式|2|3ax -＜的解集为51{|}33x x -＜＜,则a = . （二）必做题（14～16题）14.若变量x ,y 满足约束条件,4,,y x x y y k ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥且2z x y =+的最小值为6-,则k = .15.如图4,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b ＜,原点O 为AD 的中点,抛物线22(0)y px p =＞经过C ,F 两点,则ba= .16.在平面直角坐标系中,O 为原点,(1,0)A -,(0,3)B ,(3,0)C ,动点D 满足||1CD =,则||OA OB OD ++的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. （Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120 万元；若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100 万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.-----在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------姓名________________ 准考证号_____________图1图2图3图418.（本小题满分12分）如图5,在平面四边形ABCD 中,1AD =,2CD =,AC = （Ⅰ）求cos CAD ∠的值；（Ⅱ）若cos BAD ∠=sin 6CBA ∠=, 求BC 的长.19.（本小题满分12分）如图6,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,AC BD O =,11111AC B D O =,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形. （Ⅰ）证明：1O O ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足11a =,1||n n n a a p +-=,*n ∈N .（Ⅰ）若{}n a 是递增数列,且1a ,22a ,33a 成等差数列,求p 的值； （Ⅱ）若12p =,且21{}n a -是递增数列,2{}n a 是递减数列,求数列{}n a 的通项公式.21.（本小题满分13分）如图7,O 为坐标原点,椭圆1C ：()222210x y a b a b +=＞＞的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为1e ；双曲线2C ：22221x y a b -=的左、右焦点分别为3F ,4F ,离心率为2e .已知12e e =,且241F F =-. （Ⅰ）求1C ,2C 的方程；（Ⅱ）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点.当直线OM 与2C 交于P ,Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.21.（本小题满分13分）已知常数0a ＞,函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0+)∞，上的单调性；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ,2x ,且12()()0f x f x +＞,求a 的取值范围.图5图6图72014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案解析一、选择题 1.【答案】B【解析】由题意可知i i z z +=，所以i ()1z z =+，令z a bi =+，经化简可知1a ba b =-⎧⎨=+⎩，所以12a =，12b =-，即11i 22z =-，故选B.【提示】根据复数的基本运算即可得到结论. 【考点】复数的四则运算 2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，系统抽样和分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==.故选D.【提示】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论. 【考点】随机抽样的概率 3.【答案】C【解析】因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x =--，即()()()()f x f x g x g x =-⎧⎨-=-⎩，联立3232()()1()()1f xg x x x f x g x x x ⎧-=++⎪⎨---=-++⎪⎩，得出2()1f x x =+，3()g x x =-，所以(1)(1)211f g +=-=，故选C.【提示】因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x =--，联立方程得出()f x 和()g x 的解析式，再令1x =即可. 【考点】对数奇偶性 4.【答案】A【解析】根据()()555122rr rr r C x y --⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以23x y 的系数为23351(2)202C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故选A.【提示】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可. 【考点】二项式定理 5.【答案】C【解析】根据不等式的性质可知，若x y >，则x y -<-成立，即p 为真命题，当1x =，1y =-时，满足x y >，但22x y >不成立，即命题q 为假命题，则①p q ∧为假命题；②p q ∨为真命题；③()p q ∧⌝为真命题；④()p q ⌝∨为假命题，故选：C.【提示】根据不等式的性质分别判定命题p ，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论.【考点】非、或、且，真假命题 6.【答案】D【解析】当[2,0)t ∈-时，运行程序如下，221(1,9]t t =+∈，(26]3,S t -=∈-，当[0,2]t ∈时，[,1]33S t ∈--=-，则(2,6][3,1][3,6]S ∈---=-，故选D.【提示】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论. 【考点】循环结构流程图 7.【答案】B【解析】由图可知该几何体的为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则628r r r -+=-，故选B.【提示】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r .【考点】几何体的体积 8.【答案】D【解析】由题意可知：设平均增长率为x ，由2(1)(1)(1)p q x ++=+，1x +=所以1x =，故选D.【提示】根据增长率之间的关系，建立方程关系即可得到结论. 【考点】增长率 9.【答案】A 【解析】由2π30⎰()0f x dx =，可以得出2πcos cos()3ϕϕ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即π3ϕ=，所以()s i n 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此一条对称轴为πππ32x k -=+（k ∈Z ）所以5π6x =，故选A. 【提示】由2π3⎰()0f x dx =，可以得到ϕ的值，可以知道对称轴x 从而求得x 的值.【考点】积分，对称轴，三角函数 10.【答案】B【解析】由题可得函数()f x 的图象上存在020001,e (0)2x P x x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭关于y 轴对称的点02001,e 2x Q x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭在函数2()l n ()g x x x a =++的图象上，从而0220001e ()ln()2x x x x a +-=-+-+，即001e ln()02x x a --+-=，问题等价于函数001()e ln()2xh x x a =--+-在(,0)x ∈-∞存在零点.即(a ∈-∞【提示】由题意可得001e ln()02xx a ---+=有负根，采用数形结合的方法可判断出a 的取值范围. 【考点】对称性 二、填空题11.【答案】(cos sin )1p θθ-=【解析】设直线方程y x b =+，联立22(2)(1)1x y y x b ⎧-+-=⎨=+⎩得出2222(3)420x x b b b --++-=，由韦达定理212422b b x x +-=，123x x b +=-，又有||2AB ===所以最后得出1b =-，故直线方程1x y -=，所以极坐标方程为(cos sin )1p θθ-=【提示】由题意可得直线l 的方程为y x b =+，曲线方程化为直角坐标，表示一个圆，由于弦长正好等于直径，可得圆心(2,1)在直线l 上，由此求得b 的值，可得直线的方程. 【考点】直线与参数方程的位置关系，极坐标12.【答案】32【解析】设线段AO 与BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E，则BD DC =，由ABD △的勾股定理可得1AD =，由双隔线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=，则直线332AE r =⇒=，故填32.【提示】设垂足为D ，O 的半径等于R ，先计算AD ，再计算R 即可. 【考点】勾股定理，双割线定理 13.【答案】3-【解析】由题可得523231233aa a ⎧--=⎪⎪⇒=-⎨⎪-=⎪⎩，故填：3- 【提示】由题可得52321233aa ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得a 的值.【考点】绝对值不等式 14.【答案】2-【解析】作出不等式组4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的区域，可以得出三条直线的交点(),k k ，(4),k k -，(2)2,，且y x ≤，4x y +≤的可行域，所以2k ≤，则当(),k k 为最优解时，362k k =-⇒=-，当(4),k k -为最优解时，2(4)614k k k -+=-⇒=，因为2k ≤，所以2k =-，故填2-.【提示】做出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定k 的值即可. 【考点】线性规划 15.1【解析】由,2a C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,2a F b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则22122a pab a a b p b ⎧=⎪⇒=⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩1. 【提示】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C ，F 两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p 后，得到a ，b 的关系式，再寻求ba 的值.【考点】抛物线16.【答案】1]【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆，设为(3cos ,sin )θθ+([0,2π))θ∈，则||OA OB OD ++==，因为2c o s 3s i nθθ的取值范围为[[=，827(11+=+1=，所以||OA OB OD ++的取值范围为1]+.【提示】由题意设点D 的坐标为(3c o s θθ+，求得||8OA OB OD ++=+.根据2cos sin θθ的取值范围，可得||OA OB OD ++的最大值.【考点】平面向量的基本运算 三、解答题 17.【答案】（Ⅰ）1315（Ⅱ）140【解析】（Ⅰ）记{}E =甲组研发新产品成功，{}F =乙组研发新产品成功.由题设知2()3P E =，1()3P E =，3()5P F =，2()5P F =，故所求的概率为13()()()()()()15P P F P E P E P F P E P F =++=. （Ⅱ）设企业可获利润为X （万元），则X 的可能取值为0，100，120，220.因122(0)()3515P X P EF ===⨯=，133(100)()3515P X P EF ===⨯=，224(120)()3515P X P EF ===⨯=，236(220)()3515P X P EF ===⨯=，数学期望为30048013202100()0100120220140151515151515E X ++=⨯+⨯+⨯+⨯===. 【提示】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可， （Ⅱ）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可.【考点】分布列和数学期望，概率 18.【答案】（Ⅱ）3【解析】（Ⅰ）在ADC △中，由余弦定理，得222cos 2AC AD CD CAD AC AD+-∠=故由题设知，cos CAD ∠==（Ⅱ）sin 14BAD ∠== 于是sin sin()BAC BAD CAD ∠=∠-∠sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD =∠∠-∠∠27721⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ . 在ABC △中，由正弦定理，sin sin BC ACBAC CBA=∠∠，故37sin 3sin AC BACBC CBA∠===∠. 【提示】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos CAD ∠的值.（Ⅱ）根据cos CAD ∠，cos BAD ∠的值分别，求得sin BAD ∠和sin CAD ∠，进而利用两角和公式求得sin BAC ∠的值，最后利用正弦定理求得BC . 【考点】解三角形，余弦定理，正弦定理19.【答案】（Ⅰ）如图，因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥. 同理1DD BD ⊥.因为11CC DD ∥，所以1CC BD ⊥. 而ACBD O =，因此1C C B D C A ⊥底面.由题设知，11O O C C ∥. 故1C O B D O A ⊥底面.（Ⅱ）如图2，过1O 作11O H OB ⊥于H ，连接1HC . 由（Ⅰ）知，1C O B D O A ⊥底面， 所以11111O O A B C D ⊥底面， 于是111O O AC ⊥.又因为四棱柱1111A B ABC C D D -的所有棱长都相等， 所以四边形1111A B C D 是菱形，因此1111AC B D ⊥，从而1111AC BDD B ⊥平面， 所以111AC OB ⊥，于是111OB O HC ⊥平面， 进而11OB C H ⊥.故11C HO ∠是二面角11C OB D --的平面角. 不妨设2AB =.因为60CBA ∠=︒，所以OB =1OC =，1OB =. 在11Rt OO B △中，易知11111OO O B O H OB ==而111O C =，于是1C H故1111cos O H C HO C H∠==. 即二面角11C OB D --【提示】（Ⅰ）由已知中，四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等，ACBD O =，11111AC B D O =，四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形.可得111O O CC BB ∥∥且1CC AC ⊥，1BB BD ⊥，进而1OO AC ⊥，1OO BD ⊥，再由线面垂直的判定定理得到1O O ABCD ⊥底面；（Ⅱ）由线面垂直，线线垂直推得111AC OB ⊥，11OB C H ⊥，所以11C HO ∠是二面角11C OB D --的平面角.再由三角函数求得二面角11C OB D --的余弦值.【考点】线线关系、线面关系，二面角20.【答案】（Ⅰ）13p =（Ⅱ）141(1)332nn n a --=+ 【解析】解（Ⅰ）因为{}n a 是递增数列，所以11||nn n n n a a a a p ++-=-=.而11a =，因此又1a ，22a ，33a 成等差数列， 所以21343a a a =+，因而230p p -=，解得13p =，0p =，当0p =时，1n n a a +=， 这与{}n a 是递增数列矛盾.故13p =.（Ⅱ）由于21{}n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，于是212221()()0n n n n a a a a +--+->①，但2211122n n -<，所以212221||||n n n n a a a a +--<-②， 由①②知，2210n n a a -->，因此21221221(1)122n nn nn a a ---⎛⎫⎪⎝⎭--==③， 因为{}n a 是递减数列，同理可得，2120n n a a +-<，故22121221(1)22nn n n na a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭--=-=④，由③④即知，11(1)2n n n na a ++--=.于是 121321()()...()n n n a a a a a a a a ----=++++2111(1)1222nn --=+-++112121()1121n ---=++ 141(1)332nn --=+. 故数列{}n a 的通项公式为141(1)332nn n a --=+. 【提示】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令1n =，2代入求出2a 和3a ，再由等差中项的性质列出关于p 的方程求解，利用“{}n a 是递增数列”对求出的p 的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“1||nn n a a p +-=”、不等式的可加性，求出221n n a a --和1n n a a +-，再对数列{}n a 的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n 项和公式，求出数列{}n a 的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来. 【考点】等差、等比数列，数列的单调性，通项公式21.【答案】（Ⅰ）1C 的方程为2212x y +=2C的方程为2212xy -=（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）因为12e e =，22a b +=44434a b a -=，因此222a b =，从而2(,0)F b，4,0)F ， 24||1b F F -==， 所以1b =，22a =.故1C ，2C 的方程分别为2212x y +=，2212x y -=.（Ⅱ）因AB 不垂直于y 轴，且过点1(1,0)F -，故可设直线AB 的方程为1x my =-.由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210m y my +--=，易知此方程的判别式大于0. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1y ，2y 是上述方程的两个实根，所以12222m y y m +=+，12212y y m =-+，因此121224()22x x m y y m -+=+-=+，于是AB 的中点为222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 故直线PQ 的斜率为2m-，PQ 的方程为2m y x =-，即20mx y +=.由22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得22(2)4m x -=， 所以220m ->，且2242x m =-，2222m y m=-，从而||PQ ==设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d =. 因为点A 、B 在直线20mx y +=的异侧， 所以1122(2)(2)0mx y mx y ++<，于是11221122|2||2||22|mx y mx y mx y mx y +++=+--，从而22d =，又因为21221||m y y +-=，所以2212m d +=.故四边形APBQ 的面积22212213||2221222mS PQ d mm+===-+--. 而2022m <-≤，故当0m =时，S 取得最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.【提示】（Ⅰ）由斜率公式写出1e ，2e 把双曲线的焦点用含有a ，b 的代数式表示，结合已知条件列关于a ，b 的方程组求解a ，b 的值，则圆锥曲线方程可求；（Ⅱ）设出AB 所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB 中点M 的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB 的长度，写出PQ 的方程，和双曲线联立后解出P ，Q 的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P ，Q 到AB 的距离，然后代入三角形面积公式得四边形APBQ 的面积，再由关于n 的函数的单调性求得最值.【考点】曲线标准方程，焦点、离心率，直线与曲线的位置关系，最值22.【答案】（Ⅰ）当1a ≥时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增当01a <<时，()f x 在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增 （Ⅱ）1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）2222(2)24(1)()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-'=-=++++， 当1a ≥时，此时()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.当01a <<时，由()0f x '<得1x =2x =-舍去）. 当1(0,)x x ∈时()0f x '<；当11(,)x x ∈+∞时，()0f x '>， 故()f x 在区间1(0,)x 上单调递增，在区间1(,)x +∞上单调递增. 综上所述：当1a ≥时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；当01a <<时，()f x 在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）式知.当1a ≥，()0f x '>，此时()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点，必有01a <<. 又()f x 的极值点只可能是1x =2x =-，且由()f x 的定义可知，1x a >-且2x ≠-，所以1a -.2≠-，解得12a ≠. 此时，由上式易知，1x ，2x 分别是()f x 的极小值点和极大值点，而1221222()()ln(1)ln(1)22x xf x f x ax ax x x +=+-++-++ 21212ln[1()]a x x a x x =+++-1212121244()2()4x x x x x x x x +++++24(1)ln(21)21a a a -=--- 22ln(21)221a a =-+--， 令21a x -=，由01a <<且12a ≠知：当102a <<时，10x -<<；当112a <<时，01x <<. 记22()ln 2g x x x=+-.（ⅰ）当10x -<<时，2()2ln()2g x x x =-+-，所以222222()0x g x x x x -'=-=<. 因此，()g x 在区间(10)-,上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<， 故当102a <<时，12()()0f x f x +<.（ⅱ）当10x <<时，2()2ln 2g x x x =+-，所以222()0g x x x '=-<，因此.()g x 在区间(0)1,上单调递减，从而()(1)0g x g >=. 故当112a <<时，12()()0f x f x +>，综上所述.满足条件的a的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.【提示】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决. 【考点】函数单调性，极值，导数的性质与应用。

湖南省长沙市雅礼中学2014届高考模拟卷（二）数学（理）试题1．设集合}21{≤<-=x x P ，}01{>-=x x Q ，则=Q P （B ）A ．}11|{<<-x xB ．}21|{≤<x xC ．}21|{≤<-x xD ．}1|{->x x2、下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是 （D ） （A ）sin(2)6π=+y x （B ）sin()23π=+x y（C ）sin(2)3π=-y x （D ）sin(2)6π=-y x3．抛物线24y x =-的准线方程是（D ） A ．116x =B ．1x =C ．1y =D ．116y =4．已知1=a ，复数),()2()1(2R b a i a a z ∈-+-=，则“1=a ”是“z 为纯虚数”的（A ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件5、已知向量)3,2(=→a ，)2,1(-=→b ，若()0m a n b m n→→+≠与 →→-b a 2共线，则nm等于( A ) A ．21-； B ．21； C ．2-；D ．2；6. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 输出的结果为（D ） A ．1321 B ． 2113 C ． 813 D ． 1387、已知样本容量为30，在样本频率分布直方图（如图）中，各小长方形的高的比从左到右依次为2∶4∶3∶1，则第2组的频率和频数分别为（ A ） A.0.4,12 B.0.6,16 C.0.4,16 D.0.6,128、曲线2x y =和曲线x y =围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是（ D ）A ．1B ．12C ．22D ．139. 某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（ C ）A ．12B ．16C ．24D ．3210、一只蚂蚁从长方体1111ABCD A BC D -的顶点A 出发，沿着长方体的表面到达顶点1C 的最短距离为6，则长方体体积的最大值为（ C ） A ．24 B．C．D．11. 如图，PC 切O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD AB ⊥于点E ，已知O 的半径为3，2PA =，则OE =_________. 答案.9512、已知两曲线参数方程分别为()0sin x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨=⎪⎩和()254R x tt y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为___________．【答案】13、已知集合{}349,R A x x x =∈++-≤()146,0,R B x x t t t⎧⎫=∈=+-∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集合A B =________.【答案】{|25}x x -≤≤14、已知区域1,{(,)0,}1,y x x y y x ≤+⎧⎪Ω=≥⎨⎪≤⎩，1,{(,)}0,y x M x y y ⎧≤-+⎪=⎨≥⎪⎩，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为 答案：1215、设min{, }p q 表示p ，q 两者中的较小的一个，若函数221()min{3log , log }2f x x x =-则满足()1f x <的x 的集合为___________. 答案：(0, 2)(16,)+ U16、设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件：①直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点；②对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”．（1）曲线sin y x =的“上夹线”方程为（2）曲线)0(sin :>-=n x n mx y S 的“上夹线”的方程为 答案：（1）1y =；（ 2）y mx n =+\令'()cos F x m n x m =-=，得：22x k ππ=±（k ÎZ ）17、已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 且()22223a b c ab +-=。

2014年湖南省长沙市雅礼中学高三理科二模数学试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知全集，集合，，那么集合等于A. B.C. D.2. 下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是A. B.C. D.3. 抛物线的准线方程是A. B. C. D.4. 已知复数，则“”是“为纯虚数”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件5. 已知向量，，若，则A. B. C. D.6. 阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为A. B. C. D.7. 已知样本容量为，在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为，则第组的频率和频数分别为A. ，B. ，C. ，D. ，8. 如图所示，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），其面积是A. B. C. D.9. 某会议室第一排共有个座位，现有人就座，若要求每人左、右均有空位，那么不同的坐法种数为A. B. C. D.10. 一只蚂蚁从长方体的顶点出发，沿着长方体的表面到达顶点的最短距离为，则长方体体积的最大值为A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）11. 如图，切于点，割线经过圆心，弦于点，已知的半径为，，则．12. 已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为．13. 已知集合，，则集合．14. 已知平面区域，，向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为．15. 设表示，两者中的较小的一个，若函数，则满足的的集合为．16. 设直线，曲线．若直线与曲线同时满足下列两个条件：①直线与曲线相切且至少有两个切点；②对任意都有．则称直线为曲线的“上夹线”．（）曲线的“上夹线”方程为；（）曲线的“上夹线”的方程为．三、解答题（共6小题；共78分）17. 已知中，角，，所对的边分别是，，，且；（1）求；（2）若，求面积的最大值．18. 某地去年月份曾发生流感，据统计，月日该地区流感病毒的新感染者有人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加人；但从月日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少人．（1）分别求出该地区在月日和月日这两天的流感病毒的新感染者人数；（2）该地区月份（共天）该病毒新感染者共有多少人?19. 如图，已知面，，；（1）在线段上找一点，使面．（2）求由面与面所成角的二面角的正切值．20. 在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是．两人投篮次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响．（1）求次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；（2）若投篮命中一次得分，否则得分，用表示甲的总得分，求的分布列和数学期望．21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，短轴两个端点为，，且四边形是边长为的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若，分别是椭圆长的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点．证明：为定值．（3）在（）的条件下，试问轴上是否存异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线，的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．22. 已知函数．（1）当时，证明：；（2）当且时，不等式恒成立，求实数的值．答案第一部分1. A 【解析】，，故．2. D3. D 【解析】整理抛物线方程得，所以，因为抛物线方程开口向下，所以准线方程是．4. A 【解析】当时，复数，是一个纯虚数，当复数是一个纯虚数时，且，，故不能推出，故“”是“为纯虚数”的充分非必要条件．5. D6. D 【解析】程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环循环前第一圈是第二圈是第三圈是第四圈是第五圈是第六圈否此时．7. A 【解析】因为小长方形的高的比等于面积之比，所以从左到右各组的频率之比为，因为各组频率之和为，所以第二组的频率为．因为样本容量为，所以第二组的频数为．8. C 【解析】联立得解得或设曲线与直线围成的面积为，则．9. C 【解析】将个座位从到编号，则符合题意的为，，，，共类情况，每一类有种坐法，则共有种坐法．10. C【解析】由题意，设正方体的三条棱长分别为：，，，不妨设：最短距离为，所以，所以，设，则，所以在处取最大值，所以体积的最大值为．第二部分11.【解析】因为切圆于点，圆的半径为，，所以，所以，又，所以，所以由等面积可得．所以．12.【解析】表示椭圆（且）；表示抛物线．椭圆方程与抛物线方程联立解方程组即得．13.【解析】集合，所以；集合，，，当且仅当时取等号，所以，所以．14.【解析】构成试验的全部区域为为图中的三角形，，，，面积为．基本事件点落在区域为图中的，面积为，代入几何概率的计算公式可得．15.【解析】①当时，即时，；②当时，即时，，所以，当时，，此时：，当时，，此时：，综上不等式的解集为：．16. ，【解析】（）因为，要使直线与曲线相切且至少有两个切点且对任意都有，则需要，故曲线的“上夹线”方程为．（）推测的“上夹线”的方程为，①先检验直线与相切，且至少有两个切点．设，则，令，得，当时，，故过曲线上的点的切线方程为，化简得：，即直线与曲线相切且有无数个切点．不妨设，因为，所以，所以直线是曲线的“上夹线”．第三部分17. （1）因为，所以，因为，所以．（2）因为，且，所以，又，所以，所以，因为，所以，所以，当且仅当时，面积取最大值，最大值为．18. （1）由题意知，该地区月份前天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项，公差的等差数列，所以月日的新感染者人数为（人），所以月日的新感染者人数为（人）．（2）月份前天流感病毒的新感染者人数和为：（人），月份后天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项，公差的等差数列，所以后天新感染者人数和为（人），所以该地区月份流感病毒的新感染者共有人．19. （1）为的中点，设中点为，则，且，所以，，所以为平行四边形，所以，又，，所以，又，与交于点，所以面，所以面；（2）延长，，交于，连接，因为，，所以，所以，又所以，又与交于点，所以面，所以为二面角的平面角；在中，，；所以．20. （1）记" 次投篮的人依次是甲、甲、乙"为事件．由题意，得答：次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是．（2）由题意的可能有取值为．我们设“甲投中”为事件，“乙投中”为事件，则：所以的分布列为：的数学期望：．21. （1），，，所以；所以椭圆方程为．（2），，设，，则，，直线，即，代入椭圆方程，得，因为，所以，所以，所以，所以（定值）．（3）设存在满足条件，则，，，则由得，从而得，所以存在满足条件．22. （1）令，所以，时，，所以在上是增函数，故，即：．从而，时，得证．（2）不等式可化为：，令，则，，①时，有，令，则，故在上是减函数，即，所以在上是减函数，从而，，所以时，对于，有，②时，有，令，则，故在上是增函数，即：．所以在上是减函数．从而，．所以当时，对于，有．综合①②，当时，在且时，有．。

湖南省长沙市2014届高三二模理科数学试卷（带解析）1．已知复数z 满足11zi z+=-（i 为虚数单位），则z 的值为（ ） A ．i B ．－i C ．1 D ．－1 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，1z i zi +=-，11i z i -+==+(1)(1)(1)(1)i i i i -+--+i =． 考点：复数的运算.2．设随机变量X ～N(2，32)，若P(X ≤c)＝P(X>c)，则c 等于（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：由正态曲线的对称性，得x c =是对称轴，故2c =． 考点：正态分布. 3．二项式6(x的展开式中常数项为（ ） A ．－15 B ．15 C ．－20 D ．20 【答案】B 【解析】试题分析：二项展开式的通项为616(kkk k T C x-+=3626(1)k k kC x -=-，令3602k -=，得4k =，故常数项为4615C =．考点：二项式定理.4．设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则q⌝是p ⌝的（ ）A ．充分且必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分且非必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：由已知得，,p q q p ≠>Þ，故,p q q p ⌝⌝⌝⌝≠＞Þ，所以q ⌝是p ⌝的充分非必要条件．考点：1、交集和并集的概念；2、充分必要条件.5．已知集合}{22(,)1,(,)()94x y M x y N x y y k x b ⎧⎫=+===-⎨⎬⎩⎭，若k R ∃∈，使得M N =∅成立，则实数b 的取值范围是（ ）A ．[]3,3-B ．(,3)(3,)-∞-+∞C ．[]2,2-D ．(,2)(2,)-∞-+∞【答案】B【解析】试题分析：由已知得，直线()y k x b =-过点,0b （），故当[]3,3∈-b 时，k R ∀∈，M N ≠∅，则(,3)(3,)-∞-∞∈+b 时，k R ∃∈，使得M N =∅成立，选B ．考点：直线和椭圆的位置关系.6．函数sin()(0)y x ωϕϕ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A,B 是图象与x轴的交点，若cos 5APB ∠=-，则ω的值为（ ）A ．4π B ．3π C ．2πD ．π 【答案】C 【解析】试题分析：过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，则在Rt APE ∆中，14tan 4PAE T T ∠==；在Rt BPE∆中，14tan 34PBE T ∠==，故t a n A P B P A E PBE∠=-∠+∠t a n t an 1t a n taP A E P B P A E P B ∠+∠=--∠⋅∠216316T T =--，又cos 5APB ∠=-sin 5APB ∠=tan 2APB ∠=-，2162316T T =-，解得24T πω==，所以2πω=．考点：1、三角函数的周期性；2、诱导公式.7．设变量x ，y 满足约束条件222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，则z ＝x －3y 的最大值为（ ）A ．4-B ．4C ．3D ．3- 【答案】B 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为133zx -y=，要使得z ，只需直线133zx -y=的纵截距最小，即过点(2,2)C --时，z 取到最大值，最大值为max 264z =-+=．考点：线性规划.8．如图，正方形ABCD 的边长为3，E 为DC 的中点，AE 与BD 相交于F ，则FD DE ⋅ 的值是（） A ．32 B ．3 C ．32- D ．3-【答案】C 【解析】试题分析：因为//BA DE ，故12D E D F A B B F ==，即133DF BD ==，所以FD DE ⋅33cos324π=A32=-．考点：向量的数量积.9．若两条异面直线所成的角为60，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有（ ） A ．12对 B ．18对 C ．24 对 D ．30对 【答案】C 【解析】A'A试题分析：与'A D 所成的角为60的异面直线有四对，即：'',D C AB ，'',ACD B ；与'AD所成的角为60的异面直线有四对，即：'',DC A B ，'',A BD C ；与'B C 所成的角为60的异面直线有四对，即：'',DC A B ，'',A BD C ；与'BC 所成的角为60的异面直线有四对，即：'',D C AB ，'',AC D B ；与'A B 所成的角为60的异面直线有两对，即：'',AC D B ；与'AB 所成的角为60的异面直线有两对，即：'',A BD C ；与'D C 所成的角为60的异面直线有两对，即：'',A BD C ;与'DC 所成的角为60的异面直线有两对，即：'',AC D B ,综上所述：“黄金异面直线对”共有24对． 考点：异面直线.10．已知函数2()ln(1)f x a x x =+-在区间(0,1)内任取两个实数p,q ，且p ≠q ，不等式(1)(1)1f p f q p q +-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[15,)+∞B ．](,15-∞C ．](12,30D ．](12,15- 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，(1)(1)1(1)(1)f p f q p q +-+>+-+，且1,1(1,2)p q ++∈，等价于函数2()ln(1)f x a x x =+-在区间(1,2)上任意两点连线的割线斜率大于1，等价于函数在区间(1,2)的切线斜率大于1恒成立．'()21a f x x x =-+，即211a x x ->+恒成立，变形为2231a x x >++，因为223115x x ++<，故15a ≥．考点：1、导数的几何意义；2、二次函数的最大值.11．（选修4－1：几何证明选讲）如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B,C 两点，1PA PB ==，则PAB ∠=_________.【答案】030 【解析】试题分析:因为PA 是圆O 的切线，由切割线定理得，2=PA PB PC ⋅，则2==3PA PC PB，故2BC =.连接OA ，则PA OA ⊥，在Rt PAO ∆中，tan POA ∠=060POA ∠=，所以030PCA ∠=，又因为PAB ∠ =PCA ∠，所以PAB ∠=030．考点：1、圆的切割线定理；2、圆的弦切角定理；3、圆的切线的性质. 12．不等式43x x a -+-≤有实数解的充要条件是_____. 【答案】1a ≥． 【解析】试题分析：记()43f x x x =-+-，则不等式43x x a -+-≤有实数解等价于min ()f x a ≤，因为434(3)x x x x -+-≥---1=，故1a ≥考点：绝对值三角不等式.13．已知直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3()x t t y =-=⎧⎪⎨⎪⎩为参数. 以直角坐标系xOy 中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为2430COS ρρθ-+=，则圆心C 到直线l 距离为______.【答案】d =【解析】试题分析：直线l 0y -+=，圆C 的直角坐标方程为22x +y -4x+3=0，配方得，221y +=(x-2)，故圆心C 到直线l 距离为d =考点：1、直线的参数方程；2、圆的极坐标方程；3、点到直线的距离公式. 14．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b =>>-与圆x 2+y 2=a 2+b 2在第一象限的交点，其中F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点，且122PF PF =，则双曲线的离心率为______.[来【解析】试题分析：由已知得，12F F 是圆2222x y a b +=+的直径，故12PF PF ⊥，由勾股定理得，222124PF PF c +=，又122PF PF =，所以2PF =，1PF =，又212P F P F a -=，故2a =，所以c e a ==．考点：1、双曲线的标准方程和圆的标准方程；2、勾股定理；3、双曲线的定义.15．已知数列{}n a 中，11121n n a a a n +==+-,，若利用如图所示的程序框图进行运算，则输出n 的值为 .【答案】11n =． 【解析】试题分析：程序在执行过程中，,n S 的值依次为1,1n S ==；2,3n S ==；3,18n S ==；4,30n S ==；5,57n S ==；6,11n S ==；7,236n S ==；8,484n S ==；9,987n S ==；10,2001n S ==；11,2014n S =>，故输出的11n =考点：程序框图．16．若三个非零且互不相等的实数a 、b 、c 满足112a b c+=，则称a 、 b 、c 是调和的；若满a + c = 2b 足，则称a 、b 、c 是等差的.若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”.若集合{}2014,M x x x Z =∈≤，集合{},,P a b c M =⊆.则 （1）“好集” P 中的元素最大值为 ； （2）“好集” P 的个数为 . 【答案】（1）2012；（2）1006 【解析】试题分析：因为若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则112abc+=且a + c =2b ，则2,4a b c b =-=，故满足条件的“好集”为形如{}2,,4b b b -(b 0)≠的形式，则201442014b -≤≤，解得503503b -≤≤，且b 0≠，符合条件的ｂ的值可取1006个，故“好集” P 的个数为1006个，且P 中元素的最大值为2012．考点：推理.17．已知函数22()(sin cos )f x x x x =++. （1）求函数f (x)的最小正周期；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a,b,c ，且满足2cos 2a C c b +=，求f(B)的取值范围．【答案】（1）π；（2）1(B)3f < 【解析】试题分析：（1）利用正弦的二倍角公式和降幂公式，将函数()f x 的解析式化为()sin()f x A x b ωφ=++是形式，再利用2T πω=求周期；（2）三角形问题中，涉及边角混合的代数式或方程，应考虑边角转化，或转化为角的关系式，或转化为边的关系式处理．本题利用余弦定理，将2cos 2a C c b +=变形为222b c a bc +-=，从而可求出3A π=，从而可求得203B π<<，进而确定f(B)的取值范围．（1）由已知得，1cos 2()12sin cos 2xf x x x -=++1sin 2x x =+2sin(2)13x π=-+，故最小正周期为22T ππ==．（2）由2cos 2a C c b +=得，222222a b c a c b ab +-⋅+=，即222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，得3A π=，故203B π<<，233B πππ-<-<，故s i n (2)23B π-<-≤，故1(B)3f <≤． 考点：1、正弦的二倍角公式；2、正弦的降幂公式；3、余弦定理.18．在如图所示的几何体中，AE ⊥平面ABC ，CD ∥AE ，F 是BE 的中点，1AC BC ==，90,22ACB AE CD ∠===．（1）证明：DF ∥平面ABC ；（2）求二面角A BD E --的大小的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）13【解析】 试题分析：（1）要证明直线和平面平行，只需证明直线和平面内的一条直线平行，取AB 中点G ，连接FG ，则//FG AE ，且1=2FG AE ，由已知得，//CD AB 且1=2CD AE ，故//CD FG ，则四边形DFGC 是平行四边形，可证明//DF CG ，进而证明DF ∥平面ABC ，或可通过建立空间直角坐标系，用坐标表示相关点的坐标，证明直线DF 的方向向量垂直于平面ABC 的法向量即可；（2）先求半平面ABD 和BDE 的法向量的夹角的余弦值，再观察二面角A BD E --是锐二面角还是钝二面角，来决定二面角A BD E --的大小的余弦值的正负，从而求解．（1）因为ABC EA 平面⊥，CD ∥AE ，所以⊥CD 平面ABC ． 故以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,0)C ，(0,0,1)D ， (1,0,2)E ， 11(,,1)22F ．所以11(,,0)22DF =，因为平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m =， 所以0DF m ⋅=，又因为DF Ë平面ABC ，所以//DF 平面ABC ． 6分（2）由（1）知，(0,1,1)BD =-，(1,1,0)AB =-，(1,1,2)BE =-．设1111(,, )n x y z =是平面ABD 的一个法向量，由110,0n BD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得 11110y z x y -+=⎧⎨-+=⎩，取11x =，得111y z ==，则1(1,1,1)n = 设2222(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量，由220,n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得 22222020y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩，取21x =-，则221y z ==，则2(1,1,1)n =- 设二面角A BD E --的大小为θ，则21211co s 3n n n n θ⋅==⋅，故二面角A BD E --的大小的余弦值为13．考点：1、直线和平面平行的判断；2、二面角的求法.19．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为00(01)P P <<，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品． （1）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，若X ≤3的概率为79，求0P ； （2）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？ 【答案】（1）013P =；（2）详见解析. 【解析】 试题分析：（1）记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A ，依题意，两人累计得分的可能值为0,2,3,5，故事件“X 3≤”的对立事件为“X 5=”，所以所求事件的概率()1()5P A P X ＝－＝；（2）因为每次抽奖中奖与否互不影响，且对方案甲或方案乙而言，中奖的概率不变，故对于张三、李四两人抽奖可看成两次独立重复试验，其中奖次数服从二项分布，设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则X 1～2B 23⎛⎫⎪⎝⎭，X 2～B ()02,P ，则累计得分的期望为E(2X 1)，E(3X 2)，从而比较大小即可. （1）由已知得，张三中奖的概率为23，李四中奖的概率为0P ，且两人中奖与否互不影响． 记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“X＝5”，因为()5P X ＝＝23×0P ，所以()1()5P A P X ＝－＝＝1－23×0P =79，所以013P = . 6分（2）设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2， 则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X 1)， 选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X 2)． 由已知可得，X 1～2B 23⎛⎫⎪⎝⎭，X 2～B ()02,P ，所以E(X 1)＝2×23＝43，E(X 2)＝2×0P ， 从而E(2X 1)＝2E(X 1)＝83，E(3X 2)＝3E(X 2)＝60P .若2)(3)E E X >1（2X ，即0863P >，所以0409P <<；若2)(3)E E X <1（2X ，即0863P <，所以0419P <<；若2)(3)E E X =1（2X ，即0863P =，所以049P =． 综上所述：当0409P <<时，他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大；当0419P <<时，他们都选择方案乙进行抽奖时，累计得分的数学期望较大；当049P =时，他们都选择方案甲或乙进行抽奖时，累计得分的数学期望相等. 12分 考点：1、对立事件；2、二项分布的期望.20．某地一渔场的水质受到了污染．渔场的工作人员对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为(*)m m N ∈个单位的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y （毫克/升）满足y=mf(x)，其中log (4),05()6,52x x f x x x +<≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩】，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效净化．．．．；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化．．．．. （1）如果投放的药剂质量为m=6，试问渔场的水质达到有效净化．．．．一共可持续几天? （2）如果投放的药剂质量为m ，为了使在8天（从投放药剂算起包括第8天）之内的渔场的水质达到最佳净化．．．．，试确定应该投放的药剂质量m 的取值范围. 【答案】（1）8天；（2）[6,9]【解析】 试题分析：（1）由已知得，经过x 天该药剂在水中释放的浓度 y=mf(x)是关于自变量x 的分段函数，渔场的水质达到有效净化，只需6y ≥，当m=6时，()1f x ⇔≥，相当于知道函数值的取值范围，求自变量x 的取值范围，即可持续的天数确定；（2）由题意知，为了使在8天（从投放药剂算起包括第8天）之内的渔场的水质达到最佳净化，只需在这8天内的每一天均有6()18,m 0mf x ≤≤>恒成立即可，转化为求分段函数求值域问题，使其含于[6,18]即可.（1）由题设：投放的药剂质量为6m =，渔场的水质达到有效净化．．．．6()6f x ⇔≥ ()1f x ⇔≥305log (4)1x x <≤⎧⇔⎨+≥⎩或5612x x >⎧⎪⎨≥⎪-⎩ 05x ⇔<≤或58x <≤，即：08x <≤，所以如果投放的药剂质量为6m =，自来水达到有效净化．．．．一共可持续8天 . 6分 （2）由题设：x (0,8]∀∈，6()18,m 0mf x ≤≤>，∵3log (4),05()6,52x x f x x x +<≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩，∴x (0,5],6()18mf x ∀∈≤≤，且x (5,8],6()18mf x ∀∈≤≤，∴3log 46218m m ≥⎧⎨≤⎩且6218m m ≥⎧⎨≤⎩，所以69m ≤≤，投放的药剂质量m 的取值范围为[6,9]． 考点：分段函数.21．已知A 、B 为抛物线C ：y 2= 4x 上的两个动点，点A 在第一象限，点B 在第四象限l 1、l 2分别过点A 、B 且与抛物线C 相切，P 为l 1、l 2的交点.（1）若直线AB 过抛物线C 的焦点F ，求证：动点P 在一条定直线上，并求此直线方程； （2）设C 、D 为直线l 1、l 2与直线x = 4的交点，求PCD 面积的最小值. 【答案】（1）1x =-；（2）9【解析】试题分析：（1）设211()4y A y ，， 222()4y B y ，（120y y >>），1l 方程为2111()4y y y k x -=-，与抛物线方程联立，利用直线1l 与抛物线y 2= 4x 相切，故0∆=，求112k y =，故切线1l 的方程11212y x y y =+。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年湖南，理1，5分】满足ii z z+=（i 为虚数单位）的复数z =（ ）（A ）11i 22+ （B ）11i 22- （C ）11i 22-+ （D ）11i 22--【答案】B【解析】由题意()i i 11i i i 1i i i 1i 22z z z z z z +-=⇒+=⇒-=-⇒==--，故选B ．（2）【2014年湖南，理2，5分】对一个容量为N 的总体抽取容量为m 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ） （A ）123p p p =< （B ）231p p p =< （C ）132p p p =< （D ）123p p p == 【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==，故选D ． （3）【2014年湖南，理3，5分】已知()f x ，()g x 分别是定义R 在上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++，则()()11f g +（ ）（A ）-3（B ）-1 （C ）1 （D ）3 【答案】C 【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=且()()111f g ---=，则()()()()()()1131211111f g f f g g ⎧-=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=，故选C ．（4）【2014年湖南，理4，5分】51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是（ ）（A ）-20 （B ）-5 （C ）5 （D ）20 【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2n =时，()()2532351*********nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．（5）【2014年湖南，理5，5分】已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >．在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中，真命题是（ ）（A ）①③ （B ）①④ （C ）②③ （D ）②④ 【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-，所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <，所以命题q 为假命题，所以②③为真命题，故选C ．（6）【2014年湖南，理6，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ）（A ）[]6,2-- （B ）[]5,1-- （C ）[]4,5- （D ）[]3,6- 【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下，(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-，当[]0,2t ∈时，[]33,1S t =-∈--，则(][][]2,63,13,6S ∈---=-，故选D ．（7）【2014年湖南，理7，5分】一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ，则862r r r -+-=，故选B ．（8）【2014年湖南，理8，5分】某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为（ ）（A ）2p q +（B ）(1)(1)12p q ++- （C（D1【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒，故选D ．（9）【2014年湖南，理9，5分】已知函数发()()sin f x x ϕ=-，且230()0x f x dx =⎰，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（ ）（A ）56x π= （B ）712x π= （C ）3x π= （D ）6x π=【答案】A【解析】解法一：函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++，因为()232sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭， 所以23k πϕπ=+或423k ππ+，则56x π=是其中一条对称轴，故选A ． 解法二：由定积分的几何性质与三角函数图象可知,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()sin()f x x ϕ=-的一个对称中心，所以sin()03πϕ-=，所以3k πϕπ=+，故选A ．（10）【2014年湖南，理10，5分】已知函数21()(0)2x f x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图像上存在关于y轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）（A ）(,)-∞（B ）(,-∞ （C）(（D）(【答案】B【解析】由题可得函数()f x 的图像上存在点020001(,)(0)2x P x x e x +-<关于y 轴对称的点02001(,)2x Q x x e -+-在函数2()ln()g x x x a =++的图像上，从而有()0220001ln()2x x e x x a +-=-+-+，即001ln()02x e x a --+-=．问题等价于函数1()ln()2x h x e x a =--+-在(),0x ∈-∞存在零点．解法一：1'()0x h x e x a=+>-+，()h x 在(),0x ∈-∞单调递增，当x →-∞时，()h x →-∞，要使()h x 在(),0-∞存在零点，则1(0)1ln 02h a =-->，从而a <B ．解法二： 问题等价于函数1()2x x e φ=-与()ln()x x a ϕ=-+的图象在(),0-∞有交点,在同一坐标系中作出这两个函数的图象，当()ln()x x a ϕ=-+的图象在左右平移的过程中，(0)(0)h ϕ>即可，即a e <，故选B ．二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．（一）选做题：在11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按全两题记分． （11）【2014年湖南，理11，5分】在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于,A B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系，则直线l 的极坐标方程是 ．【答案】2sin 4πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【解析】曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=,设直线l 的方程为y x b =+，因为弦长2AB =，所以圆心()2,1到直线l 的距离0d =，所以圆心在直线l 上，故1y x =-2sin cos 1sin 4πρθρθρθ⎛⎫⇒=-⇒-=- ⎪⎝⎭．（12）【2014年湖南，理12，5分】如图3，已知,AB AC 是O 的两条弦，,3AO BC AB ⊥=，22BC =则O的半径等于 ． 【答案】32【解析】设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ，则2BD DC ==，由三角形ABD 的勾股定理可得1AD =，由双割线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=，则直径332AE r =⇒=．（13）【2014年湖南，理13，5分】若关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a = ．【答案】3-【解析】由题可得52331233a a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=-．（二）必做题（14~16题）（14）【2014年湖南，理14，5分】若变量,x y 满足约束条件4y xx y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为6-，则k = ． 【答案】2- 【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2，且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤，则当(),k k 为最优解时，362k k =-⇒=-，当()4,k k -为最优解时，()24614k k k -+=-⇒=，因为2k ≤，所以2k =-．（15）【2014年湖南，理15】如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线经过,C F 两点，则ba= ．【答案】21+【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩21a b ⇒=+．（16）【2014年湖南，理16，5分】在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(0,3),(3,0)A B C -，动点D 满足1CD =，则OA OB OD ++的最大值是 ． 【答案】17+【解析】动点D 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，可设D 的坐标为(3cos ,sin )θθ+，则(2cos ,3sin )OA OB OD θθ++=++．()()222cos 3sin OA OB OD θθ++=+++()822cos 3sin θθ=++()87sin θϕ=++，其中43sin ,cos 77ϕϕ==， 当()sin 1θϕ+=时，OA OB OD ++的取到最大值17+．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2014年湖南，理17，12分】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35．现 安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ．设甲、乙两组的研发相互独立． （1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．解：记{E =甲组研发新产品成功}，{F =乙组研发新产品成功}．由题意知2132(),(),(),()3355P E P E P F P F ====， 且E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．（1）记{E =至少有一种新产品研发成功}，则H EF =，于是122()()()3515P H P E P F ==⋅=，故所求的概率为13()1()15P H P H =-=．（2）设企业可获利润为X ，则X 的可能取值为0,100,120,220．因122(0)()3515P X P EF ===⋅=，133224236(100)(),(120)(),(220)().351535153515P X P EF P X P EF P X P EF ===⋅====⋅====⋅=X0 100 120 220 P215 315 415 615 数学期望为：()0120100220151555E X =⨯+⨯+⨯+⨯14015==．（18）【2014年湖南，理18，12分】如图，在平面四边形ABCD 中，1,2,7AD CD AC ===．（1）求cos CAD ∠的值；（2）若7cos BAD ∠=-，21sin CBA ∠=，求BC 的长．解：（1）在ADC ∆中，由余弦定理，得：222cos 2AC AD CD CAD AC AD +-∠=⋅，故由题设知，27cos .27CAD ∠==． （2）设BAC α∠=，则BAD CAD α=∠-∠，因为27cos CAD ∠=，7cos BAD ∠=-，所以221sin 1cos CAD CAD ∠=-∠=, 2221sin 1cos BAD BAD ∠=-∠=， 于是()3sin sin sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD BAD CAD α=∠-∠=∠∠-∠∠= 在ABC ∆中，由正弦定理，sin sin BC AC CBAα=∠，故37sin 23sin 21AC BC CBA α⋅⋅===∠． （19）【2014年湖南，理19，13分】如图,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,11111,AC BD O AC B D O ==，四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形．（1）证明:1O O ⊥底面ABCD ；（2）若060CBA ∠=，求二面角11C OB D --的余弦值．解：（1）如图（a ），因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥，同理1DC BD ⊥．因为11//CC DD ，所以1CC BD ⊥，而AC BD O =，因此1CC ⊥平面ABCD ， 由题设知11//O O C C ，故1O O ⊥平面ABCD ． （2）解法一： 如图（a ），过1O 作11O H B C ⊥于H ，连接1C H ．由（1）知，1O O ⊥平面ABCD ，所以1O O ⊥平面1111A B C D ，于是111O O AC ⊥，又四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等，所以1111A B C D 是菱形，因此1111AC B D ⊥，从而11AC ⊥平面11B BDD ，所以111AC OB ⊥，于是1OB ⊥平面11O HC ，进而11OB C H ⊥，所以11O HC ∠为二面角11C OB D --的平面角，不妨设2AB =， 因为060CBA ∠=，所以11,OB OC OB === 在11Rt OO B ∆中，易知11111O O O H B O B O =⋅=,又111O C =．于是1C H ===故1111cos O H O HC C H ∠====11C OB D --． 解法二：因为四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等，所以ABCD 是菱形，因此 AC BD ⊥，又1O O ⊥平面ABCD ，从而1,,OB OC OO 两两垂直．如图（b ），以1,,OB OC OO 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设2AB =，因为060CBA ∠=，所以1OB OC =．于是相关各点的坐标为11(0,0,0),(0,1,2)O B C ，易知，1(0,1,0)=n 是平面 平面11B BDD 的一个法向量．设2(,,)x y z =n 是平面11OB C 的一个法向量， 则212100OB OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即2020z y z +=+=⎪⎩，取z =2,x y ==所以2=n ．设二面角11C OB D --的大小为，易知是锐角，于是 121212cos cos ,θ⋅=<>===⋅n n n n n n ．二面角11C OB D -- （20）【2014年湖南，理20，13分】已知数列{}n a 满足111,,*n n n a a a p n N +=-=∈．（1）若数列{}n a 是递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值；（2）若12p =，且{}2+1n a 是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式． 解：（1）因为数列{}n a 是递增数列，11nn n n n a a a a p ++-=-=，而11a =，因此2231,1a p a p p =+=++，又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+，因而得230p p -=．解得1,03p p ==．当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，故13p =．（2）{}2+1n a 是递增数列，因而2+1210n n a a -->，于是()()2+122210n n n n a a a a --+-> ① 但2211122n n -<，所以2+12221n n n n a a a a --<- ② 由①，②知，2210n n a a -->，因此()221221211122n n n n n a a ----⎛⎫-== ⎪⎝⎭③ 因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-<，故()21221221122n nn n na a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭④图a 1A OC B D1C 1B 1D A1O H1由③，④知，()1112n n n na a ++--==，于是121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-()()()11211111111412111222233212n n nnnn -+-----=+-++=+=+⋅+．数列{}n a 的通项公式为()1141332nn n a --=+⋅．（21）【2014年湖南，理21，13分】如图，O 为坐标原点，椭圆221221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线222221(0)x yC a b a b-=>>：的左右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ，已知123e e =，且2431F F =-．（1）求12C C ，的方程；（2）若1F 过作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值． 解：（1）因为123e e =，所以2222311b b a a -+=，即4434a b -=，因此222a b =，从而24(,0),(3,0)F b F b ， 24331b b F F -==-，所以1b =，22a =，椭圆1C 方程为2212x y +=，双曲线2C 的方程为2212x y -=． （2）因为直线AB 不垂直于y 轴且过点()11,0F -，故课设直线AB 的方程为1x my =-．由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my +--=．易知此方程的判别式大于0．设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,y y 是上述方程的两个实根，所以12122221,22m y y y y m m -+=⋅=++，因此()12122422x x m y y m -+=+-=+，AB 的中点为222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，故直线PQ 的斜率为2m -，PQ 的方程为2m y x =-，即20mx y +=． 由22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得()2224m x -=，222222420,,22m m x y m m ∴->==--，2222+4222m PQ x y m ∴=+=- 设点A 到直线PQ 的距离为d ，则B 点到直线PQ 的距离也为d ，所以112222224mx y mx y d m +++=+因为点,A B 在直线20mx y +=的异侧，所以()()1122220mx y mx y +++<， 于是112211222222mx y mx y mx y mx y +++=+--，从而()2122224my y d m +-=+又因为()22121212222144m y y y y y y m +-=+-=+，所以2222124m d m +=+四边形APBQ 面积222122132221222m S PQ d m m+=⋅==-+-- 而2022m <-<，故当0m =时，S 取得最小值2．四边形APBQ 面积的最小值为2．（22）【2014年湖南，理22，13分】已知常数0a >，函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+．（1）讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且12()()0f x f x +>，求a 的取值范围．解：（1）()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x +-=++，（*）因为()()2120ax x ++>， 所以当10a -≤时，当1a ≥时，()'0f x ≥，此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增，当01a <<时,()12'0f x x x =⇒==-，当1(0,)x x ∈时，()'0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，()'0f x <． 故()f x 在区间1(0,)x 单调递减，在1(,)x +∞单调递增的． 综上所述：当1a ≥时,()'0f x ≥，此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增，当01a <<时, ()f x 在区间10,2a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减,在12a a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增的． （2）由（*）式知，当1a ≥时，()'0f x ≥函数()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点，必有01a <<，又()f x 的极值点只可能是1x =2x =-，且由()f x 的定义可知，1x a >-且2x ≠-，所以1a ->-，2--，解得12a ≠-，此时，（*）式知1x ，2x 分别是()f x 的极小值点和极大值点，而1212121222()()ln(1)ln(1)22x x f x f x ax ax x x +=+-++-++ ()()()121221212121244ln 1224x x x x a x x a x x x x x x ++⎡⎤=+++-⎣⎦+++()()()22412ln 21ln 2122121a a a a a -=--=-+---． 令21a x -=，由01a <<且12a ≠-知当102a <<时，10x -<<；当112a <<时，01x <<．记22()ln 2g x x x =+-．（ⅰ）当10x -<<时，()2()2ln 2g x x x =-+-，所以222222'()x g x x x x -=-=，因此，()g x 在()1,0-上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<，故当102a <<时，12()()0f x f x +<．（ⅱ）当01x <<时，2()2ln 2g x x x =+-，所以222222'()x g x x x x-=-=，因此，()g x 在()0,1上单调递减， 从而()(1)0g x g >=，故当112a <<时，12()()0f x f x +>． 综上所述，满足条件的a 的取值范围是为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．。

湖南省2014届高三·十三校联考 第二次考试理科数学试卷考试时间:2014年4月12日15:00～17:00得分:一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.1.已知集合1{|1},{|ln 0}1A xB x x x =≥=≤-,则A B = ( ) A. (,1)-∞ B. (0,1] C. [0,1) D.2.已知a R ∈,则“2a =”是“复数2(2)(1)(z a a a i i =--++为 虚数单位)为纯虚数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.(2013·肇庆二模改编)若某程序框图如图所示,则该程序运行 后输出的值是( )A. 4B. 5C. 6D. 7 4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2410,36S S ==,则过 点(,)n P n a 和*2(2,)()n Q n a n N ++∈的直线的斜率是( )A. 1B. 2C. 4D.145.若函数()y f x =的图象如图,则函数(1)y f x =-的图象大致为( )6.(2013•嘉兴一模)如图,给定由10个点(任意相邻两点距离为1)组成的正三角形点阵,在其中任意取三个点,以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是( )A. 12B. 13C. 15D. 167.若某棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该棱锥的体积等于( )A. 10cm 3B. 20cm 3C. 30cm 3 B. 40cm 3 8.已知双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>,12,A A 为实轴顶点,F 是右焦点,(0,)B b 是虚轴端点,若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点(1,2)i P i =,使得12i PA A ∆构成以12A A 为斜边的 A B C 正视图侧视图 俯视图直角三角形,则双曲线离心率e 的取值范围是( )A. )+∞B. )+∞C.D. 9.(2013•金山区一模改编)若实数a ,b ,c 成等差数列,点(1,0)P -在动直线0ax by c ++=上的 射影为M ,点(3,3)N ,则||MN 的最大值是( )A. 5B. 5C. 5+D. 5-10.已知点G 是ABC ∆的重心,且11,tan tan tan AG BG A B Cλ⊥+=,则实数λ的值为( ) A. 13 B. 12 C.3 D. 2二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. （一）选做题(请考生在11、12、13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)11.(2011•天津卷改编)如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点,F E 是AB 延长线上一点,且2DF CF AF BF ==,若CE 与圆相切,且CE =,则BE = .12.在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数),在以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=.则l 与C 的交点直角坐标为 .13.设,,,2280x y z R x y z ∈+++=,则222(1)(2)(3)x y z -+++-的最小值为 .（二）必做题（14 ～16题）14.定积分2101sin e dx xdx xπ-⎰⎰的值为 .15.(2013•昌平区一模)在Rt ABC ∆中,90,4,2,C AC BC ∠=== D 是BC 的中点,(1)()AB AC AD -⋅=.(2)E 是AB 的中点,P 是ABC ∆(包括边界)内任意一点,则AD EP ⋅的取值范围是 . 16.(2013•石景山区一模改编)给定有限单调递增数列*{}(n x n N ∈,数列{}n x 至少有两项)且0(1)i i x x n ≠≤≤,定义集合*{(,)|1,,,}i j A x x i j n i j N =≤≤∈且.若对任意点1A ∈A ,存在点2A ∈A 使得12OA OA ⊥(O 为坐标原点),则称数列{}n x 具有性质P . (1)给出下列四个命题,其中正确的是 .(填上所有正确命题的序号) ①数列{}:n x -2,2具有性质P ; ②数列{}n y :-2,-1,1,3具有性质P ;③若数列{}n x 具有性质P ,则{}n x 中一定存在两项,i j x x ,使得0i j x x +=; ④若数列{}n x 具有性质P ,121,0x x =->且1(3)n x n >≥,则21x =.(2)若数列{}n x 只有2014项且具有性质13,1,2P x x =-=,则{}n x 的所有项和2014S = .ACEB F D三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知ABC ∆的三内角分别为,,,3A B C B π=,向量(1cos2,2sin ),A C =+-m (tan ,A =ncos )C ,记函数()f A =⋅m n .(Ⅰ)若()0,2f A b ==,求ABC ∆的面积;(Ⅱ)若关于A 的方程()f A k =有两个不同的实数解,求实数k 的取值范围.18. (本小题满分12分)甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是35,乙能答对其中5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选. (Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望;(Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.19. (本小题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,//,AD BC AD CD ⊥,且2AD CD BC PA ====, 点M 在PD 上. (Ⅰ)求证:AB PC ⊥;(Ⅱ)若二面角M AC D --的大小为45 ,求BM 与平面 PAC 所成角的正弦值.AB D M P20. (本小题满分13分) 如图,矩形ABCD 是一个观光区的平面示意图,建立平面直角 坐标系,使顶点A 在坐标原点,O B D 、分别为x 轴、y 轴,3AD =(百米),AB a =(百米)(34a ≤<)观光区中间叶形阴影部分MN 是一个人工湖,它的左下方边缘曲线是函数2(12)y x x=≤≤的图象的一段.为了便于游客观光,拟在观光区铺设一条穿越该观光区的直 路(宽度不计),要求其与人工湖左下方边缘曲线段MPN 相切(切点 记为P ),并把该观光区分为两部分,且直线l 左下部分建设为花圃. 记点P 到AD 的距离为,()t f t 表示花圃的面积. (Ⅰ)求花圃面积()f t 的表达式; (Ⅱ)求()f t 的最小值.21.(本小题满分13分)已知12,F F 分另为椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的上、下焦点,1F 是抛物线22:4C x y =的焦点,点M 是1C与2C 在第二象限的交点, 且15||.3MF =(Ⅰ)求椭圆1C 的方程;(Ⅱ)与圆22(1)1x y ++=相切的直线:(),0l y k x t kt =+≠交椭1C 于,A B ,若椭圆1C 上一点P 满足OA OB OP λ+=,求实数λ的取值范围.22.(本小题满分13分)设x a =和x b =是函数21()ln (2)2f x x x m x =+-+的两个极值点,其中,a b m R <∈.(Ⅰ)求()()f a f b +的取值范围; (Ⅱ)若2(m e ≥-为自然对数的底数),求()()f b f a -的最大值.2014年湖南省十三校联考二理数参考答案一、选择题D C A C A C B D A B二、填空题11. 12.12. (1,2).13. 9 .14. 0 .15. (1) 2 ,(2) [-9,9] .16. (1) ①③④ ,(2)201322-.三、解答题17.【解】(Ⅰ)由()(1cos2)tan 2sin cos ,f A A A C C =⋅=+-m n 即2()2cos tan 2sin cos sin 2sin 2f A A A C C A C =⋅-⋅=-,又因为23A C π+=,所以23C A π=-代入上式得,41()s i n 2s i n 2s i n 2s i n (2)i n 2c o s 2s i n (2323f A A C A A AA ππ=-=--=+=+由()0f A =,得sin(2)03A π+=,又20,32A A ππ<<≠且,所以52333A πππ<+<,且4233A ππ+≠………………………5分 也所以2A ππ+=,即3A π=,从而ABC ∆为正三角形, 所以2ABC S ∆=8分(Ⅱ)由(Ⅰ)知()sin(2)3f A A π=+,令4452,(,)(,)33333x A x πππππ=+∈ ,则方程()f A k =有两个不同的实数解等价于sin k x =在445(,)(,)3333x ππππ∈ 上有两上不同实根,作出445sin ,(,)(,)333y x x ππππ=∈ 草图如右, 1k <<或1k -<<时,直线y k =与曲线 s i n y x =有两个交点,符合题意,故实数k 的取值范围为 (1,k ∈- .…………………………………………………………………12分 18.【解】(Ⅰ)设乙答题所得分数为X ,则X 的可能取值为15,0,15,30-.…………………1分且31155533101015(15),(0),1212C C C P X P X C C =-===== 21355533101051(15),(30)1212C C C P X P X C C ======………5分 乙的得分的分布列如右表,且1510515530115()122E X -⨯+⨯+⨯+⨯==……………8分(Ⅱ)由已知甲、乙至少答对2题才能入选, 记甲、乙入选的事件分别为,A B ,则由(Ⅰ)知,511()12122P B =+=,X -15 0 15 30 P 112 512 512 112又甲回答3题可以视为独立重复试验,故223332381()()()555125P A C =+=,于是甲、乙至少有一人入选的概率4411031()1P P A B =-⋅= 19.【解】(Ⅰ)如图,设E 为BC 的中点,连结AE , 则,//AD EC AD EC =,所以四边形AECD 故AE BC ⊥,又AE BE EC === 所以45ABC ACB ∠=∠=,故AB AC ⊥,又因为PA ⊥平面ABCD ,所以AB PA ⊥, 且PA AC A = ,所以AB ⊥平面PAC ,故有AB PC ⊥ (Ⅱ)如图,以A 为原点,分别以射线,,AE AD AP为,,x y z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(0,(0,0,2)A E B C D P -,设,2)(01)PM PD λλλ==-≤≤,易得,22)M λ-,设平面AMC 的一个法向量为1(,,)x y z =n ,则110(22)0AC AM y z λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩n n, 令y 得21t x z t ==-,即12()1tt =-n .又平面ACD 的一个法向量为2(0,0,1)=n ,由题知1212122|||||cos ,|cos45||||λ⋅<>===⨯n n n n n n ,解得12λ=, 即(M BM =- ,而AB =-是平面PAC 的一个法向量,设平面BM 与平面PAC 所成的角为θ,则sin |cos ,|BM AB θ=<>== . 故直线BM 与平面PAC .…………………………………12分 20.【解】(Ⅰ)由题意可设2(,),12P t t t ≤≤,又因22y x'=-,所以过点P 的切线方程为222()y x t t t -=--,即224(2)y x i t t t=-+≤≤, 切线l 与x 轴交于点(2,0)F t ,与y 轴交于点4(0,)E t ,①当2,43,1t a tt ≤⎧⎪⎪≤⎨⎪≤≤2⎪⎩,即432a t ≤≤时,切线左下方区域为直角三角形.所以14()242f t t t=⨯=;②当2,43,1t a tt >⎧⎪⎪≤⎨⎪≤≤2⎪⎩,即2a t <≤2时,切线左下方区域为直角梯形.所以22214424()()2t a at a f t a t t t --=+=; ③当2,43,1t a t t ≤⎧⎪⎪>⎨⎪≤≤2⎪⎩,即413t ≤<时,切线左下方区域为直角梯形. 所以221439()(2)36224t t t f t t t -=+⨯=-; 综上有,222946,1,434()4,,324,2t t t a f t t at a at t ⎧-≤<⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪-<≤2⎪⎩…………………………………………………………7分(Ⅱ)①当413t ≤<时,22994()6()4443t f t t t =-=--+,当1t =时,min 15()44f t =<;②当22at <≤时,22442(2)(),()0at t at a t f t f t t t --'==<, 所以()f t 在(,2]2a上递减,所以2min ()(2)244a f t f a ==-<,下面比较224a a -与154的大小,由于2215815(3)(5)(2)04444a a a a a a -+----==≤,所以可知min 15()4f t =即求.………………………………………………………………13分22.【解】(Ⅰ)由题知1(0,1)F ,所以221a b -=,又由抛物线定义可知1513M MF y =+=,得23M y =,于是易知2()3M ,从而273MF =, 由椭圆定义知1224a MF MF =+=,得2a =,故23b =,从而椭圆的方程为22134x y +=……………………………………………………………6分(Ⅱ)设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ,则由OA OB OP λ+=知,12012,x x x y y y λλ+=+=,且2200134x y +=,……①又直线:(),0l y k x t kt =+≠与圆22(1)1x y ++=相切,1=,由0k ≠,可得22(1,0)1tk t t t=≠±≠-……② 又联立22(),4312,y k x t x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得22222(43)63120k x k tx k t +++-= 且0∆>恒成立,且2221212226312,4343k t k t x x x x k k -+=-=++, 所以121228()243kty y k x x kt k +=++=+,所以得22268(,)(43)(43)k t kt P k k λλ-++…………8分代入①式得422222222212161(43)(43)k t k t k k λλ+=++,所以2222443k t kλ=+ 又将②式代入得,22224,0,11()1t t t tλ=≠≠±1++,……………………………………10分易知2222221111()11,()13t t t t ++>++≠且,所以244(0,)(,4)3λ∈ ,所以λ的取值范围为{|22,0,}3λλλλ-<<≠≠±且且…………………………13分22.【解】(Ⅰ)函数()f x 的定义域为(0,)+∞,21(2)1'()(2)x m x f x x m x x-++=+-+=.依题意,方程2(2)10x m x -++=有两个不等的正根,()a b a b <,故有2(2)40,20m m +->⎧⎨+>⎩,解得0m >,且2,1a b m ab +=+=,所以221()()ln ()(2)()2f a f b ab a b m a b +=++-++,22211[()2](2)(2)122a b ab m m =+--+=-+-，又210,(2)132m m >-+-<-,所以()()f a f b +的取值范围是(,3)-∞-.……………6分(Ⅱ)由221()()ln ()(2)()2b f b f a b a m b a a -=+--+-,221ln ()()()2b b a b a b a a =+--+-2222111ln ()ln ln ()222b b b a b b ab a a a ab a a b-=--=-=--令1b t a =>,所以11()()()ln ()2f b f a g t t tt-==--,又因为2122(2)2m m m e e ≥-⇔+≥⇔+≥++, 所以221()111()2222a b a b e e t e e ab e t e++≥++⇔≥++⇔++≥++,可化为()(1)0t e te te --≥,因为1te e >>,所以得t e ≥,求11()ln ()2g t t t t=--在t e ≥上最大值,由222111(1)()(1)022t g t t t t -'=-+=-<,所以()g t 在[,e +∞)上递减,所以1()()122e g t g e e ≤=-+,故()()f b f a -的最大值为1122e e-+.…………………13分。

数学试卷 第1页（共45页） 数学试卷 第2页（共45页） 数学试卷 第3页（共45页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟.满分150分.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.满足ii z z +=（i 为虚数单位）的复数z =( )A .11i 22+B .11i 22-C .11i 22-+D .11i 22--2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽 样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ,2p ,3p ,则( ) A .123p p p =＜ B .231p p p =＜ C .132p p p =＜D .123p p p ==3.已知()f x ,()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且32()()1f x g x x x -=++,则(1)(1)f g += ( ) A .3-B .1-C .1D .34.51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是 ( )A .20-B .5-C .5D .205.已知命题p ：若x y ＞,则x y -＜-；命题q ：若x y ＞,则22x y ＞.在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中,真命题是( )A .①③B .①④C .②③D .②④6.执行如图1所示的程序框图,如果输入的[2,2]t ∈-,则输出的S 属于 ( )A .[6,2]--B .[5,1]--C .[4,5]-D .[3,6]-7.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A .1B .2C .3D .48.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A .2p q+ B .(1)(1)12p q ++-CD19.已知函数()sin()f x x ϕ=-,且2π30()d 0f x x =⎰,则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A .5π6x =B .7π12x =C .π3x =D .π6x = 10.已知函数21()e (0)2x f x x x =+-＜与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )A.(-∞ B.(-∞ C.( D.(二、填空题：本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分）11.在平面直角坐标系中,倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：2cos ,1sin ,x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于A ,B 两点,且||2AB =.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是 .12.如图3,已知AB ,BC 是O 的两条弦,AO BC ⊥,AB =BC =则O 的半径等于 .13.若关于x 的不等式|2|3ax -＜的解集为51{|}33x x -＜＜,则a = . （二）必做题（14～16题）14.若变量x ,y 满足约束条件,4,,y x x y y k ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥且2z x y =+的最小值为6-,则k = .15.如图4,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b ＜,原点O 为AD 的中点,抛物线22(0)y px p =＞经过C ,F 两点,则ba= . 16.在平面直角坐标系中,O 为原点,(1,0)A -,(0,3)B ,(3,0)C ,动点D 满足||1CD =,则||OA OB OD ++的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. （Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120 万元；若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100 万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.-----在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------姓名________________ 准考证号_____________图1图2图3图4数学试卷 第4页（共45页） 数学试卷 第5页（共45页） 数学试卷 第6页（共45页）18.（本小题满分12分）如图5,在平面四边形ABCD 中,1AD =,2CD =,AC （Ⅰ）求cos CAD ∠的值；（Ⅱ）若cos BAD ∠=,sin CBA ∠= 求BC 的长.19.（本小题满分12分）如图6,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,AC BD O =,11111AC B D O =,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形. （Ⅰ）证明：1O O ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足11a =,1||n n n a a p +-=,*n ∈N .（Ⅰ）若{}n a 是递增数列,且1a ,22a ,33a 成等差数列,求p 的值； （Ⅱ）若12p =,且21{}n a -是递增数列,2{}n a 是递减数列,求数列{}n a 的通项公式.21.（本小题满分13分）如图7,O 为坐标原点,椭圆1C ：()222210x y a b a b +=＞＞的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为1e ；双曲线2C ：22221x y a b -=的左、右焦点分别为3F ,4F ,离心率为2e .已知12e e =且241F F . （Ⅰ）求1C ,2C 的方程；（Ⅱ）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点.当直线OM 与2C 交于P ,Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.21.（本小题满分13分）已知常数0a ＞,函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0+)∞，上的单调性； （Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ,2x ,且12()()0f x f x +＞,求a 的取值范围.图5图6图73 / 152014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案解析【提示】根据复数的基本运算即可得到结论. 【考点】复数的四则运算 2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，系统抽样和分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==.故选D.【提示】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可. 【考点】二项式定理 5.【答案】C【解析】根据不等式的性质可知，若x y >，则x y -<-成立，即p 为真命题，当1x =，1y =-时，满足x y >，数学试卷 第10页（共45页）数学试卷 第11页（共45页） 数学试卷 第12页（共45页）但22x y >不成立，即命题q 为假命题，则①p q ∧为假命题；②p q ∨为真命题；③()p q ∧⌝为真命题；④()p q ⌝∨为假命题，故选：C.【提示】根据不等式的性质分别判定命题p ，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论. 【考点】非、或、且，真假命题 6.【答案】D【解析】当[2,0)t ∈-时，运行程序如下，221(1,9]t t =+∈，(26]3,S t -=∈-，当[0,2]t ∈时，[,1]33S t ∈--=-，则(2,6][3,1][3,6]S ∈---=-，故选D.r5 / 15【提示】由题意可得001e ln()0x x a ---+=有负根，采用数形结合的方法可判断出a 的取值范围.BD DC AD DE DE =⇒=O 的半径等于R ，先计算AD ，再计算数学试卷 第16页（共45页）数学试卷 第17页（共45页）数学试卷 第18页（共45页）【提示】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C ，F 两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p 后，得到a ，b 的关系式，再寻求b的值.||OA OB OD ++=||OA OB OD ++的取值范围为cos,sin )θθ，求得||8OA OB OD ++=+||OA OB OD ++的最大值.【提示】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可，AC AD7 / 15数学试卷 第22页（共45页）数学试卷 第23页（共45页） 数学试卷 第24页（共45页）21277217147⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ 37sin 23sin 216AC BACCBA∠=∠. 【提示】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos CAD ∠的值.（Ⅱ）根据cos CAD ∠，cos BAD ∠的值分别，求得sin BAD ∠和sin CAD ∠，进而利用两角和公式求得sin BAC ∠的值，最后利用正弦定理求得BC . 【考点】解三角形，余弦定理，正弦定理19.【答案】（Ⅰ）如图，因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥. 同理1DD BD ⊥.因为11CC DD ∥，所以1CC BD ⊥. 而ACBD O =，因此1C C B D C A ⊥底面.由题设知，11O O C C ∥. 故1C O B D O A ⊥底面.（Ⅱ）如图2，过1O 作11O H OB ⊥于H ，连接1HC . 由（Ⅰ）知，1C O B D O A ⊥底面， 所以11111O O A B C D ⊥底面， 于是111O O AC ⊥.又因为四棱柱1111A B ABC C D D -的所有棱长都相等，所以四边形1111A B C D 是菱形，11112OO O BOB=19【提示】（Ⅰ）由已知中，四棱柱1111ABCD A B C D-的所有棱长都相等，AC BD O=，11111AC B D O=，四边形11ACC A和四边形11BDD B均为矩形.可得111O O CC BB∥∥且1CC AC⊥，1BB BD⊥，进而1OO AC⊥，1OO BD⊥，再由线面垂直的判定定理得到1O O ABCD⊥底面；（Ⅱ）由线面垂直，线线垂直推得111AC OB⊥，11OB C H⊥，所以11C HO∠是二面角11C OB D--的平面角.再由三角函数求得二面角11C OB D--的余弦值.【考点】线线关系、线面关系，二面角9 / 15数学试卷 第29页（共45页） 数学试卷 第30页（共45页）11(1)32nn -- 【解析】解（Ⅰ）因为{}n a 1(1)2n n --++112121()121n ---+11 / 1511(1)32nn --. }n 的通项公式为11(1)32nn --. 【提示】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令1n =，2代入求出2a 和3a ，再由等差中项的性质列出关于p 的方程求解，利用“{}n a 是递增数列”对求出的p 的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“1||n n n a a p +-=”、不等式的可加性，求出221n n a a --和1n n a a +-，再对数列{}n a 的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n 项和公式，求出数列{}n a 的奇数项、偶数项对应22a b a +=，从而2(F数学试卷 第34页（共45页）数学试卷 第35页（共45页） 数学试卷 第36页（共45页） 22212m m ++，22214m m ++.2222213|222122m d m m +==-+--. S 取得最小值2.13 / 15【提示】（Ⅰ）由斜率公式写出1e ，2e 把双曲线的焦点用含有a ，b 的代数式表示，结合已知条件列关于a ，b 的方程组求解a ，b 的值，则圆锥曲线方程可求；（Ⅱ）设出AB 所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB 中点M 的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB 的长度，写出PQ 的方程，和双曲线联立后解出P ，Q 的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P ，Q 到AB 的距离，然后代入三角形面积公式得四边形APBQ n数学试卷第40页（共45页）数学试卷第41页（共45页）数学试卷第42页（共45页）【提示】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决. 【考点】函数单调性，极值，导数的性质与应用15 / 15。