苏教版数学高二苏教版必修5学案 第2章 习题课 数列求和

题型一 方程的思想解数列问题在等比数列和等差数列中，通项公式a n 和前n 项和公式S n 共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q (或d )，S n ，其中首项a 1和公比q (或公差d )为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a 1，a n ，n ，q (或d )，S n 的方程组，通过方程的思想解出需要的量．例1 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q，a 3＝2q ，又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q ＞1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1. (2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…， 由(1)得a 3n ＋1＝23n ， ∴b n ＝ln 23n ＝3n ln 2.又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2.故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2.跟踪训练1 记等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .解 设数列{}a n 的公差为d ，依题设有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1(a 3＋1)＝a 22，a 1＋a 2＋a 3＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋2a 1d －d 2＋2a 1＝0，a 1＋d ＝4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－4.因此S n ＝12n (3n －1)或S n ＝2n (5－n )．题型二 转化与化归思想求数列通项由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出． 例2 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1 (n ≥2且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．(3)求通项公式a n .解 (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13， a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ2n 为等差数列．设b n ＝a n ＋λ2n ，由{b n }为等差数列，则有2b 2＝b 1＋b 3.∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23，13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8. 解得λ＝－1.此时，b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n ＋1－a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1] ＝12n ＋1[(2n ＋1－1)＋1] ＝1.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ2n 为首项是2、公差是1的等差数列．(3)由(2)知，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －12n 为首项是2，公差为1的等差数列．∴a n －12n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，∴a n ＝(n ＋1)2n ＋1.跟踪训练2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列． (1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4； 当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8. (2)证明 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2 ＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2 ＝na n －S n ＋2S n －1＋2. ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0， ∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．题型三 函数思想求解数列问题数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的思想指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集，这一特殊性对问题结果可能造成影响．例3 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n (a n ＋3) (n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在t ，使得对任意的n 均有S n >t36总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由． 解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2， 整理得2a 1d ＝d 2.∵d >0，∴d ＝2.∵a 1＝1.∴a n ＝2n －1 (n ∈N *)．(2)b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 2(n ＋1). 假设存在整数t 满足S n >t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n 2(n ＋1)＝12(n ＋2)(n ＋1)>0，∴数列{S n }是单调递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9.又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8.跟踪训练3 已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ，n ∈N *， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n .解 (1)∵a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ＝233n na a +＝2＋3a n 3＝a n ＋23， ∴{a n }是以23为公差的等差数列．又a 1＝1，∴a n ＝23n ＋13.(2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－43·n ⎝⎛⎭⎫53＋4n 3＋132＝－49(2n 2＋3n )．题型四 数列与其他知识的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识有较多交汇处．它包涵知识点多、思想丰富、综合性强，已成为近年高考的一大亮点．例4 已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m的取值范围．解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.∴a 2＋a 4＝20.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又∵{a n }单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2n .(2)b n ＝a n log 12a n ＝2n log 122n ＝－n ·2n .∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n . ① ∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，②由①－②得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2. 由S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，即2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立，∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1.即对任意正数n ，m <12n －1恒成立，且12n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]．跟踪训练4 设函数f (x )＝(x －1)2＋n (x ∈[－1,3]，n ∈N *)的最小值为a n ，最大值为b n ，记c n ＝b 2n －a n ·b n ，则数列{c n }的通项公式c n ＝________. 答案 4n ＋16解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋n (x ∈[－1,3])，∴a n ＝n ，b n ＝n ＋4，∴c n ＝b 2n －a n ·b n ＝b n (b n －a n )＝4(n ＋4)＝4n ＋16. [呈重点、现规律]1．等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题．2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．。

数列求和
臧佳文孙婷审批：学习目标：
1、能根据和式的特征选用相应的方法求和；
2、掌握数列求和的方法。

一、检查预习：
1、为等差数列，那么前n项和为
2、为等比数列，那么前n项和为：
3、在等差数列中，那么
4、在等比数列中，那么
二、质疑探究、成果展示、点评提升：
探究一：分组求和
求数列的前n项和
点评：
练习：数列的通项公式为，求其前n项和
探究二：裂项相消法求和
等差数列满足：的前n项和为
（1）求
（2）令求数列的前n项和
点评:
练习:求和
探究三：错位相减法求和
1、等比数列中，是和的等差中项
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和
点评:
练习:求数列的前项和
三、检测反应
1、数列的通项公式为求前n项的和
2、求和。

习题课(二) 数列求和学习目标 1.掌握分组分解求和法的使用情形和解题要点.2.掌握奇偶并项求和法的使用情形和解题要点.3.掌握裂项相消求和法的使用情形和解题要点.4.进一步熟悉错位相减法．知识点一 分组分解求和法思考 求和：112＋2122＋3123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n . 答案 112＋2122＋3123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋ (12)＝n (n ＋1)2＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n (n ＋1)2＋1－12n .梳理 分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和． 知识点二 奇偶并项求和法思考 求和12－22＋32－42＋…＋992－1002. 答案 12－22＋32－42＋…＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100) ＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100) ＝－5050.梳理 奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和．但当求前n 项和而n 是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论． 知识点三 裂项相消求和法 思考 我们知道1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，试用此公式求和：11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1).答案 由1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，得11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n －1(n ＋1)＝1－1n ＋1.梳理 如果数列的项能裂成前后抵消的两项，则可用裂项相消法求和，此法一般先研究通项的形式，然后仿照公式裂开每一项．裂项相消求和常用公式： (1)1n (n ＋k )＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ；(2)1n ＋k ＋n ＝1k(n ＋k －n )；(3)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；(4)1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).1．并项求和一定是相邻两项结合．(×)2．裂项相消一定是相邻两项裂项后产生抵消．(×)类型一 分组分解求和例1 求和：S n ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋1x n 2(x ≠0)．考点 数列前n 项和的求法 题点 分组求和法 解 当x ≠±1时，S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫x n＋1x n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋2＋1x 4＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2n＋2＋1x2n＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n)＋2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋1x4＋…＋1x 2n＝x 2(x 2n －1)x 2－1＋x －2(1－x －2n )1－x－2＋2n ＝(x 2n－1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ；当x ＝±1时，S n ＝4n . 综上知，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ，x ＝±1，(x 2n－1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ，x ≠±1且x ≠0.反思与感悟 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和． 跟踪训练1 求数列1,1＋a,1＋a ＋a 2，…，1＋a ＋a 2＋…＋an －1，…的前n 项和S n .(其中a ≠0，n ∈N *)考点 数列前n 项和的求法 题点 分组求和法 解 当a ＝1时，a n ＝n ， 于是S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当a ≠1时，a n ＝1－a n1－a ＝11－a (1－a n)．∴S n ＝11－a[n －(a ＋a 2＋…＋a n)] ＝11－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －a (1－a n)1－a ＝n 1－a －a (1－a n)(1－a )2. ∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，a ＝1，n 1－a －a (1－a n )(1－a )2，a ≠1，且a ≠0.类型二 裂项相消求和例2 求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1，n ≥2，n ∈N *.考点 数列前n 项和的求法 题点 裂项相消法求和 解 ∵1n 2－1＝1(n －1)(n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1，∴原式＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15⎦⎥⎤＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1＝34－2n ＋12n (n ＋1)(n ≥2，n ∈N *)． 引申探究求和：2222－1＋3232－1＋4242－1＋…＋n 2n 2－1，n ≥2，n ∈N *.解 ∵n 2n 2－1＝n 2－1＋1n 2－1＝1＋1n 2－1，∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋142－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2－1 ＝(n －1)＋⎝⎛⎭⎪⎫122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1以下同例2解法．反思与感悟 求和前一般先对数列的通项公式变形，如果数列的通项公式可转化为f (n ＋1)－f (n )的形式，常采用裂项求和法． 跟踪训练2 求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ，n ∈N *. 考点 数列前n 项和的求法 题点 裂项相消法求和 解 ∵a n ＝11＋2＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2n n ＋1.类型三 奇偶并项求和例3 求和：S n ＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n －1)． 考点 数列前n 项和的求法 题点 并项求和法 解 当n 为奇数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n ＋5)＋(2n －3)]＋(－2n ＋1) ＝2·n －12＋(－2n ＋1)＝－n .当n 为偶数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n ＋3)＋(2n －1)]＝2·n2＝n .∴S n ＝(－1)n n (n ∈N *)．反思与感悟 通项中含有(－1)n的数列求前n 项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进行求和．跟踪训练3 已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n·(3n －2)，…，求其前n 项和S n . 考点 数列前n 项和的求法 题点 并项求和法解 当n 为偶数时，令n ＝2k (k ∈N *)，S n ＝S 2k ＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)n ·(3n －2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k ＋5)＋(6k －2)] ＝3k ＝32n ；当n 为奇数时， 令n ＝2k ＋1(k ∈N *)，S n ＝S 2k ＋1＝S 2k ＋a 2k ＋1＝3k －(6k ＋1)＝－3n ＋12. ∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋12，n 为奇数，3n2，n 为偶数.1．数列{1＋2n －1}的前n 项和为________．考点 数列前n 项和的求法 题点 分组求和法 答案 S n ＝n ＋2n－1，n ∈N *解析 ∵a n ＝1＋2n －1，∴S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n－1.2．已知数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －1，n 为奇数，n ，n 为偶数，则S 100＝________.考点 数列前n 项和的求法 题点 分组求和法解析 由题意得S 100＝a 1＋a 2＋…＋a 99＋a 100 ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100) ＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100) ＝5000.3．已知a n ＝(－1)n，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9与S 10的值分别是________． 考点 数列前n 项和的求法 题点 并项求和法 答案 －1,0解析 S 10＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 9＋a 10)＝0，S 9＝S 10－a 10＝－1.4．求数列112＋2，122＋4，132＋6，142＋8，…的前n 项和．考点 数列前n 项和的求法 题点 裂项相消法求和 解 因为通项a n ＝1n 2＋2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， 所以此数列的前n 项和S n ＝12⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15⎦⎥⎤＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).求数列的前n 项和，一般有下列几种方法． 1．错位相减适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 2．分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列．把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和． 4．奇偶并项当数列通项中出现(－1)n或(－1)n ＋1时，常常需要对n 取值的奇偶性进行分类讨论．5．倒序相加例如，等差数列前n 项和公式的推导方法．一、填空题1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5＝______.考点 数列前n 项和的求法 题点 裂项相消法求和 答案 56解析 ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴S 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－16 ＝1－16＝56.2．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝________.考点 数列前n 项和的求法 题点 数列求和方法综合 答案 2n－12解析 ∵{a n }为等比数列，且a 1＝12，a 4＝－4，∴q 3＝a 4a 1＝－8，∴q ＝－2，∴a n ＝12(－2)n －1，∴|a n |＝2n －2，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1－2n)1－2＝2n －12.3．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，n ∈N *，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn所确定的数列{b n }的前n 项和是__________．考点 数列前n 项和的求法 题点 数列求和方法综合 答案 12n (n ＋5)解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝n2(2n ＋4)＝n 2＋2n ，∴b n ＝n ＋2，∴{b n }的前n 项和S n ＝n (n ＋5)2.4．在数列{a n }中，已知S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，n ∈N *，则S 15＋S 22－S 31的值是________． 考点 数列前n 项和的求法 题点 并项求和法 答案 －76解析 S 15＝－4×7＋a 15＝－28＋57＝29，S 22＝－4×11＝－44，S 31＝－4×15＋a 31＝－60＋121＝61， S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76.5．如果一个数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝H (H 为常数，n ∈N *)，则称数列{a n }为等和数列，H 为公和，S n 是其前n 项的和，已知在等和数列{a n }中，a 1＝1，H ＝－3，则S 2017＝________. 考点 数列前n 项和的求法 题点 并项求和法 答案 －3023解析 S 2017＝a 1＋(a 2＋a 3＋…＋a 2017) ＝a 1＋1008×H ＝1＋1008×(－3)＝－3023. 6．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则n 的值为________．考点 数列前n 项和的求法 题点 裂项相消法求和 答案 120解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n ) ＝n ＋1－1，令n ＋1－1＝10，得n ＝120.7．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前99项和为________．考点 数列前n 项和的求法 题点 并项求和法 答案 2100－101解析 由数列可知a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1，所以，前99项的和为S 99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝2(1－299)1－2－99＝2100－101.8．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，n ∈N *，则S 50＝________.考点 数列前n 项和的求法 题点 并项求和法 答案 －25解析 S 50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)×25＝－25.9．在数列{a n }中，若a n ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，n ∈N *，则S n ＝______.考点 数列前n 项和的求法 题点 裂项相消法求和 答案 ln(n ＋1) 解析 方法一 a n ＝lnn ＋1n＝ln(n ＋1)－ln n S n ＝(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋…＋[ln(n ＋1)－ln n ]＝ln(n ＋1)－ln1＝ln(n ＋1)． 方法二 S n ＝ln 21＋ln 32＋…＋ln n ＋1n＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21×32×…×n ＋1n ＝ln(n ＋1)．10．数列12×5，15×8，18×11，…，1(3n －1)×(3n ＋2)，…的前n 项和为__________．考点 数列前n 项和的求法 题点 裂项相消法求和 答案n 6n ＋4解析 由数列通项公式1(3n －1)(3n ＋2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2，得前n 项和S n＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－15＋15－18＋18－111＋…＋13n －1－13n ＋2 ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝n6n ＋4. 11．数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，n ∈N *，其前n 项和为S n ，则S 2016＝________.考点 数列前n 项和的求法 题点 并项求和法 答案 1008解析 a 1＝cos π2＝0，a 2＝2cosπ＝－2，a 3＝0，a 4＝4，….∴数列{a n }的所有奇数项为0，前2016项的所有偶数项(共1008项)依次为－2,4，－6,8，…， 故S 2016＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2014＋2016)＝1008. 二、解答题12．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 考点 数列前n 项和的求法 题点 裂项相消法求和解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n . 所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14×1n (n ＋1) ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 4(n ＋1)， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4(n ＋1). 13．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .考点 数列前n 项和的求法题点 错位相减法求和解 (1)由已知，得当n >1时， a n ＝[(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －3＋22n －5＋…＋2)＋2＝22n －1， 而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1，① 从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1. ② ①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．三、探究与拓展14．设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n ＝1，n ∈N *. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n，记S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ， 证明：S n <1.考点 数列前n 项和的求法题点 裂项相消法求和(1)解 由题设11－a n ＋1－11－a n ＝1知，⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是公差为1的等差数列， 又11－a 1＝1，故11－a n ＝n ， ∴a n ＝1－1n. (2)证明 由(1)得b n ＝1－a n ＋1n ＝n ＋1－n n ＋1·n＝1n －1n ＋1，∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1<1.15．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出{b n }；(2)求T 2n .考点 数列前n 项和的求法题点 分组求和法解 (1)因为a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 所以a n ＋1·a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，所以a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n ， 因为b n ＝a 2n ＋a 2n －1，所以b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， 所以{b n }是公比为12的等比数列． 因为a 1＝1，a 1·a 2＝12， 所以a 2＝12，所以b 1＝a 1＋a 2＝32， 所以b n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝32n . (2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列，所以T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝3－32n .。

数列专题复习1——数列求和问题教学目标：1．熟练掌握等差、等比数列的求和公式；2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法． 教学重点：等差、等比数列的求和公式及非等差、等比数列求和的几种常见方法的应用． 教学难点：非等差、等比数列的求和． 教学方法：启发式、讲练结合． 教学过程：一、问题情境问题1 求和是数列问题中考查的一个重要方面，我们已经学过的数列求和有哪几种？问题2 对于下列数列如何求和？①已知)(x f 满足12,R x x ∈，当121=+x x 时，21)()(21=+x f x f ，若N n f nn f n f n f f S n ∈+-++++=),1()1()2()1()0( ，求n S ．②求数列a ，2a 2，3a 3，4a 4，…，na n，…（a 为常数）的前n 项和．③求数列311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S ．二、学生活动1．等差、等比数列直接运用公式求和（直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法）2．分析、概括各种数列的特征，从特征中寻求解决的方法．三、建构数学题型 1 公式法求和．题型 2 倒序相加法求和．（此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的）题型3 错位相减法求和．这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n·b n}的前n项和，其中{ a n }，{ b n}分别是等差数列和等比数列．题型4 裂项相消法求和．这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用．裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．题型5 分组求和法．有一类数列，既不是等差数列，又不是等比数列，若将这类数列适当拆开，则可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其相加，即可得出原数列的和．四、数学运用例1 已知log3x＝－1log23，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n xxxx32的前n项和．解析 由log 3x ＝－1log 23 log 2x ＝－1x ＝12 ．由等比数列求和公式得 S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n＝xx x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21．例2 求数列a ，2a 2，3a 3，4a 4，…，na n，…(a 为常数)的前n 项和．解析 若a ＝0， 则S n ＝0．若a ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n +1)2．若a ≠0且a ≠1，则S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋ na n， ∴aS n ＝ a 2＋2 a 3＋3 a 4＋…＋na n +1， ∴(1－a ) S n ＝a ＋ a 2＋a 3＋…＋a n －nan +1＝∴ S n =当a ＝0时，此式也成立． ∴S n ＝ 点评 数列{}n na 是由数列{}n 与{}n a 对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减（课本中的的等比数列前n 项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种111n n a a na a++---．112(1)(1)1n n a a na a a a++--≠--．情况进行讨论，最后再综合成两种情况．而且对于应用等比数列求和时，一定要先注意公比的取值．例3 求数列311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S ．分析 ∵)2(1+n n =211(21+-n n ），则对数列中每一项分解后即可得出结果．解析 ∵)2(1+n n =211(21+-n n ），∴ S n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⋅⋅⋅+-+-)211()4121()311(21n n=)2111211(21+-+--n n =42122143+-+-n n ．数列求和的常用方法：1.公式法．直接应用等差、等比数列的求和公式；3. 错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求．4. 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的拆项公式有：1()n n k =+ ，=，1(21)(21)n n =-+ ，等等．5. 分组求和法：需要熟悉一些常用基本式的特点与规律，将同类性质的数列归于一组，便于运用常见数列的求和公式．。

第二课时数列(二)教学目标：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同，会根据数列的递推公式写出数列的前n项；提高学生的推理能力，培养学生的应用意识.教学重点：1.数列的递推公式.2.根据数列的递推公式写出数列的前n项.教学难点：理解递推公式与通项公式的关系.教学过程：Ⅰ.复习回顾上节课我们在学习函数的基础上学习了数列及有关概念，下面先来回顾一下上节课所学的主要内容.数列的定义、项的定义、数列的表示形式、数列的通项公式及数列分类等等.Ⅱ.讲授新课我们为什么要学习有关数列的知识呢？那是因为在现实生活中，我们经常会遇到有关数列的问题，学习它，研究它，主要是想利用它来解决一些实际问题，让其为我们的生活更好地服务.也就是说，我们所学知识都来源于实践，最后还要应用于生活.下面，我们继续探讨有关数列的问题.首先，请同学们来看一幅钢管堆放示意图.模型一：自上而下：第一层钢管数为4；即：1↔4＝1＋3,第二层钢管数为5；即：2↔5＝2＋3第三层钢管数为6；即：3↔6＝3＋3,第四层钢管数为7；即：4↔7＝4＋3第五层钢管数为8；即：5↔8＝5＋3,第六层钢管数为9；即：6↔9＝6＋3第七层钢管数为10；即：7↔10＝7＋3若用a n表示自上而下每一层的钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数可构成一数列，即：4，5，6，7，8，，9，10，且a n＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.模型二：自上而下第一层钢管数为4；第二层钢管数为5＝4＋1；第三层钢管数为6＝5＋1；第四层钢管数为7＝6＋1；第五层钢管数为8＝7＋1；第六层钢管数为9＝8＋1；第七层钢管数为10＝9＋1.即：自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1.若用a n表示每一层的钢管数，则a1＝4；a2＝5＝4＋1＝a1＋1；a3＝6＝5＋1＝a2＋1；a4＝7＝6＋1＝a3＋1；a5＝8＝7＋1＝a4＋1；a6＝9＝8＋1＝a5＋1；a7＝10＝9＋1＝a6＋1；即：a n＝a n－1＋1(2≤n≤7，n∈N*)对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他各项.看来，这一关系也较为重要.这一关系，咱们把它称为递推关系，表示这一关系的式子，咱们把之称为递推公式.1.定义递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前n 项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.说明：数列的递推公式揭示了数列的任一项a n 与它的前一项a n －1（或前n 项）的关系，也是给出数列的一种重要方法.下面，我们结合例子来体会一下数列的递推公式.2.例题讲解［例1］已知数列{a n }的第1项是1，以后的各项由公式a n ＝1＋1a n －1 给出，写出这个数列的前5项.分析：题中已给出{a n }的第1项即a 1＝1，递推公式：a n ＝1＋1a n －1解：据题意可知：a 1＝1，a 2＝1＋1a 1 ＝2，a 3＝1＋1a 2＝32 ，a 4＝1＋1a 3 ＝53 ，a 5＝85.［例2］已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，a n＝3a n－1＋a n－2(n≥3)，试写出数列的前4项.解：由已知得a1＝1，a2＝2，a3＝3a2＋a1＝7，a4＝3a3＋a2＝23Ⅲ.课堂练习写出下面数列{a n}的前5项.1.a1＝5，a n＝a n－1＋3(n≥2)解法一：a1＝5；a2＝a1＋3＝8；a3＝a2＋3＝11；a4＝a3＋3＝14；a5＝a4＋3＝17.评析：由已知中的a1与递推公式a n＝a n－1＋3(n≥2)，依次递推出该数列的前5项，这是递推公式的最基本的应用.是否可利用该数列的递推公式而求得其通项公式呢？请同学们再仔细观察此递推公式.解法二：由a n＝a n－1＋3(n≥2)，得a n－a n－1＝3则a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，a5－a4＝3，……，a n－1－a n－2＝3，a n－a n－1＝3将上述n －1个式子左右两边分别相加，便可得a n －a 1＝3(n －1)，即a n ＝3n ＋2(n ≥2)又由a 1＝5满足上式，∴a n ＝3n ＋2(n ≥1)为此数列的通项公式.2.a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)解法一：由a 1＝2与a n ＝2a n －1(n ≥2)得：a 1＝2，a 2＝2a 1＝4，a 3＝2a 2＝8，a 4＝2a 3＝16，a 5＝2a 4＝32.解法二：由a n ＝2a n －1(n ≥2)，得a n a n －1＝2(n ≥2)，且a 1＝2则：a 2a 1 ＝2，a 3a 2 ＝2，a 4a 3 ＝2，……a n －1a n －2 ＝2， a n a n －1 ＝2若将上述n －1个式子左右两边分别相乘，便可得 a n a 1＝2n －1 即：a n ＝2n (n ≥2)，又由a 1＝2满足上式∴a n ＝2n(n ≥1)为此数列的通项公式.∴a 2＝22＝4，a 3＝23＝8，a 4＝24＝16，a 5＝25＝32.3.a1＝1，a n＝a n－1＋1a n－1(n≥2)解：由a1＝1，a n＝a n－1＋1a n－1(n≥2),得a1＝1，a2＝a1＋1a1＝2,a3＝a2＋1a2＝52,a4＝a3＋1a3＝52＋25＝2910,a5＝a4＋1a4＝2910＋1029＝941290Ⅳ.课时小结这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，课后注意理解.另外，还要注意它与通项公式的区别在于：1.通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.2.对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3…即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可依次求出其他的项.Ⅴ.课后作业课本P 32习题 4，5，6数 列(二)1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝2a n a n ＋2(n ∈N *), 则a 5等于 （ ）A. 25B. 13C. 23D. 122．已知数列 3 ，7 ，11 ，15 ，…，则5 3 是数列的 （ ）A.第18项B.第19项C.第17项D.第20项3．在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，a 100等于 （ ）A.13B.100C.10D.144．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n +2＝a n +1－a n (n ∈N *)，则a 1000等于 （ ）A.5B.－5C.1D.－15．设{a n}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a n+12－na n2＋a n+1a n＝0(n∈N*)，则它的通项公式a n ＝ .6．根据下列各数列的首项和递推公式，分别写出它的前五项，并归纳出通项公式：（1）a1＝0，a n+1＝a n＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，a n+1＝2a na n＋2(n∈N*)7．若a1＝2，a2＝4，a n＝lo g2(a n－1·a n－2)(n≥3)，写出{a n}的前4项.8．若a1＝3，a n＝a n－1＋2a n－1(n≥2)，b n＝1a n，写出b n的前3项.数列(二)答案1．B 2．B 3．D 4．A5．解法一：已知等式可化为：(a n+1＋a n)·[（n＋1）a n+1－na n]＝0∵a n>0(n∈N*)，∴(n＋1)a n+1－na n＝0即a n +1＝nn ＋1 a n ① 反复利用递推关系，得a n ＝n －1n a n －1＝n －1n n －2n －1 a n －2＝n －1n n －2n －1 n －3n －2 a n －3＝…＝n －1n n －2n －1 n －3n －2 ·…·12 a 1＝1n a 1＝1n解法二：前面同解法一.由①，得a 2＝12 a 1＝12 ，a 3＝23 a 2＝13 ，a 4＝34a 3＝14，… 归纳，得a n ＝1n(n ∈N *). 评述：本题主要考查递推公式.6．根据下列各数列的首项和递推公式，分别写出它的前五项，并归纳出通项公式：（1）a 1＝0，a n +1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n +1＝2a n a n ＋2(n ∈N *) 解：（1）a 1＝0；a 2＝a 1＋1＝1；a 3＝a 2＋3＝4；a 4＝a 3＋5＝9；a 5＝a 4＋7＝16；a 1＝02；a 2＝12；a 3＝22；a 4＝32；a 5＝42.可归纳出a n ＝(n －1)2.(2)a 1＝1，a 2＝2a 1a 1＋2 ＝23 ，a 3＝2a 2a 2＋2 ＝12，a 4＝2a 3a 3＋2 ＝25 ，a 5＝2a 4a 4＋2 ＝13， a 1＝1＝22 ；a 2＝23 ；a 3＝12 ＝24 ；a 4＝25 ；a 5＝13 ＝26；由此可见：a n ＝2n ＋1. 评述：适当配凑是本题进行归纳的前提，从整体上把握一件事情是现代数学的重要手段，加强类比是探索某些规律的常用方法之一.7．若a 1＝2，a 2＝4，a n ＝lo g 2(a n －1·a n －2)(n ≥3)，写出{a n }的前4项.解：∵a 1＝2，a 2＝4，a n ＝lo g 2(a n －1·a n －2)(n ≥3) ∴a 3＝lo g 2(a 2·a 1)＝lo g 2(2×4)＝3，a 4＝lo g 2(a 3·a 2)＝lo g 212＝2＋lo g 23.8．若a 1＝3，a n ＝a n －1＋2a n －1 (n ≥2)，b n ＝1a n，写出b n 的前3项.解：∵a1＝3，a n＝a n－1＋2a n－1(n≥2)，∴a2＝a1＋2a1＝3＋23＝113.a3＝a2＋2a2＝113＋2113＝113＋611＝13933.∵b n＝1a n, ∴b1＝1a1＝13，b2＝1a2＝311，b3＝1a3＝33139.。

数列求和
教学目标：1．掌握一些常见数列的求和方法：公式法，倒序相加法，错位相减法，分组法，
裂项相消法，并项求和法等
重点难点：数列求和的求法。

一、引入新课：
数列求和的方法：
（1）利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式：
2、 等比数列求和公式：
二、典型例题：
例1、（1）1+2+3+4+......+n=
（2）已知数列n ｛a ｝是首项为1a ，公比为q 的等比数列，则2n ｛a ｝的前n 项的和n T = 。

（2）分组法求和：将数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，分别求和，再将其合并. 例2、（1）数列111,3,5,74816
•••1
12的前n 项的和是 。

（2） 已知数列{}n a 的通项65()2
()n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求其前n 项和100S ．
(3)求数列11111111,1,1,,1224242
n -+++++++的和
（3）裂项相消法
例3、已知数列n ｛a ｝：1，
111,,,12123123n
•••++++++•••+的前n 项的和是 。

变式：等差数列n ｛a ｝的通项公式21n a n =+，数列11n n n b a a -=
，其前n 项和为n S = 。

数列求和【学习目标】掌握数列求和的常用方法【学习过程】数列求和的常用方法如下：⑴公式法：利用已知的求和公式来求和，如等差数列与等比数列求和公式；例1：已知数列{}n a 中，3,6011+=-=+n n a a a ，则30321a a a a ++++ =（2）分组求和法：所谓分组求和法，即将一个数列中的项拆成几项，转化成特殊数列求和。

例2、求数列 ,1614,813,412,211的前n 项和；练习：求和：∑=+n k kk 1)312(（3）倒序相加法：将一个数列倒过来排序（倒序），当它与原数列相加时，若有因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。

如等差数列的求和公式2)(1n n a a n S +=的推导。

例3、已知)(x f 满足R x x ∈21,，当121=+x x 时，21)()(21=+x f x f ，求*∈+-++++N n f nn f n f n f f ),1()1()2()1()0( 的值；练习：求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222+++++的值。

（4）裂项相消法：若数列}{n a 能裂项成)()1(n f n f a n -+=，即所裂两项具有传递性（即关于n 的相邻项，使展开后中间项能全部消去）。

例4、已知数列}{n a 满足)1(1+=n n a n ，求数列}{n a 的前n 项和n S练习：1、求数列n+++++++ 3211,,3211,211,1的前n 项和n S2、已知数列}{n a 的通项公式为n a =n 项的和n S ．总结规律：裂项相消求和就是将数列的每一项拆成两项或多项，使数列中的项出现有规律的抵消项，从而达到求和的目的。

常见的拆项公式有：)1(1+=n n a n = ；)13)(23(1+-=n n a n = )2)(1(1++=n n n a n = ；b a a n +=1=（5）错位相减法：这是推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列}{n n b a ⋅的前n 项和，其中}{n a 、}{n b 分别是等差数列和等比数列。

学习札记第15、16课时 数列复习课(2课时)【学习导航】知识网络【自学评价】 （一）数列的概念数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。

数列的通项公式。

求数列通项公式的一个重要方法：对于任一数列}{n a ,其通项n a 和它的前n 项和n s 之间的关系是 ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n s s n s a n nn（二）等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 1.等差数列(1)定义(2)通项公式n a =1a +（ ）d=k a +（ ）d=dn +1a -d(3)求和公式nd a n d d n n na a a n s n n )2(22)1(2)(1211-+=-+=+=(4)中项公式A=2b a + 推广：2n a =(5)性质①若m+n=p+q 则②若}{n k 成A.P （其中N k n ∈）则}{n k a 也为A.P 。

③n n n n n s s s s s 232,,-- 成 数列。

等比数列等差数列表示方法图像与函数的关系前n 项和通项定义数列正整数集上函数及性质数列知识结构学习札记部分无理数列、含阶乘的数列等。

3. :适用于{}n n b a 其中{}n a 是等差数列，{}n b 是各项不为0的等比数列。

4.倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法。

5.常用结论1） 1+2+3+...+n = _________ 2）1+3+5+...+(2n-1) = 3）_________n +++=L 33312 4） ___________n ++++=L 22221235） __________()n n =+11(_______)()n n =+11226） (______)()p q pq q p =<-11【精典范例】一 函数方程思想在研究数列问题中的运用【例1】（1）首项为正数的等差数列｛a n ｝，其中S 3=S 11，问此数列前几项和最大？ （2）等差数列｛a n ｝中，S 10=100，S 20=300，求 S 30。

本章复习与小结（2）一、递推关系通项公式的求法：对于给定递推关系求数列的通项公式成为近年高考考查热点之一。

常见的出题形式为先给定数列的初始值及数列的递推关系，要求求出通项公式。

本文结合对历年高考考查的模式，总结出常见的主要有以下几种类型：模式一：形如)(1n f a a n n +=+递推式。

由累加法可求得通项公式为：++=）（11f a a n)1()2(-+++n f f 。

例1．（2007高考题）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式模式二：形如)(1n f a a n n =+递推式。

由)(1n f a a n n =+得)(1n f a a nn =+，使用累乘法可得)1()1(1f n f a a n -⋅=。

例2．已知数列}{n a 满足，11=a ，nn a a n n 11+=+，求通项公式n a 。

模式三：形如μλ+=+n n a a 1（其中λ、μ为常数）递推式，通常解法是设=-+β1n a)(βλ-n a ，求出β，因}{1ββ--+n n a a 是等比数列则可求出通项公式。

例3．（2007全国高考卷Ⅰ）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，,2,1=n,3．（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）略。

模式四：形如)(1n f a a n n +=+λ（其中λ为常数）递推式，n n n a a μλ+=+1（λ、μ为常数）是其特殊情形。

后者的等式两边同除以n μ，得111+⋅=-+n nnn a a μμλμ，令1-=n n n a b μ，则可化归为μλ+=+n n a a 1（λ、μ为常数）型。

例4．（2007某某高考题）在数列{}n a 中，∈⋅-++==++n a a a nn n n (2)2(,2111λλλ)*N ，其中0λ>．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）略；模式五：形如)()(1n g a n f a n n +=+（其中λ为常数）递推式，设数列)}({n h ，使)1()()(+=n h n h n f ，则)()1()(1n g a n h n h a n n ++=+，即）n h n g n h a n h a n n 1()()()1(1+⋅+⋅=+⋅+，令)(n h a b n n ⋅=，则)1()(1+⋅+=+n h n g b b n n ，即已化为模式一。

第2课时 数列求和1．掌握一些数列常见的求和方法，如倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、奇偶分析法等．(重点、难点)2．在求和过程中，体会转化与化归思想的应用． 3．错位相减时的项数计算．(易错点)[基础·初探]教材整理 数列求和的方法阅读教材P 55～P 57，P 62第12题，第13题，P 70第13题，完成下列问题． 1．分组求和法若c n ＝a n ＋b n ，{a n }，{b n }，{c n }前n 项和分别为A n ，B n ，C n ，则C n ＝A n ＋B n ，以此可以对数列{a n }分组求和．2．错位相减法求和设数列{a n }为等比数列且公比q ≠1，则S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1， qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n .两式相减，(1－q )S n ＝a 1(1－q n)，∴S n ＝a 11－q n1－q(q ≠1)．这种求和的方法叫错位相减法． 3．裂项相消法求和将某些特殊数列的每一项拆成两项的差，并使它们求和的过程中出现相同的项，且这些相同的项能够相互抵消，从而达到将求n 个数的和的问题转化为求少数的几项的和的目的．这种求和的方法叫裂项相消法．4．数列{a n }的a n 与S n 的关系：数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.1．若a n ＝1n n ＋1，则数列{a n }的前10项和S 10＝________.【解析】 ∵a n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴S 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝1011.【答案】10112．数列112，214，318，4116，…的前n 项和是________．【解析】 S n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋18＋…＋12n ＝n n ＋12＋1－12n .【答案】n n ＋12＋1－12n[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]分组求和求和：S n ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋1x n 2.【精彩点拨】 先分析通项a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫x n ＋1xn 2＝x 2n ＋1x2n ＋2，再分组求和，注意x 的取值范围．【自主解答】 当x ≠±1时，S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫x n＋1x n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋2＋1x 4＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2n＋2＋1x2n＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n)＋2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋1x4＋…＋1x 2n＝x 2x 2n －1x 2－1＋x －21－x －2n 1－x －2＋2n ＝x 2n －1x 2n ＋2＋1x 2n x 2－1＋2n ；当x ＝±1时，S n ＝4n .综上知，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ，x ＝±1，x 2n－1x 2n ＋2＋1x 2n x 2－1＋2n ，x ≠±1.分组求和法的求和策略有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将其每一项拆开，可分为几个等差、等比或常数列，然后分别求和，再将其合并即可．像这种数列求和方法称为分组求和法，运用这种方法的关键是将通项变形．[再练一题]1．已知数列1＋1，1a ＋4，1a 2＋7，…，1an －1＋3n －2，…，求其前n 项的和．【解】 设S n ＝(1＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2＋7＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1an －1＋3n －2将其每一项拆开再重新组合得，S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ＋1a2＋…＋1a n －1＋(1＋4＋7＋…＋3n －2)， 当a ＝1时，S n ＝n ＋3n －1n2＝3n ＋1n2； 当a ≠1时， S n ＝1－1an1－1a＋3n －1n 2＝a －a 1－n a －1＋3n －1n 2.错位相减法求和n 1n n n 项和T n .【精彩点拨】 利用错位相减法求T n ，但本题需注意n 的范围． 【自主解答】 T n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n . 当n ＝1时，T 1＝1；当n ≥2时，T n ＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n ·3n －2，①3T n ＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n ·3n －1，②①－②得：－2T n ＝1＋(4－3)＋2(31＋32＋…＋3n －2)－2n ·3n －1＝2＋2·31－3n －21－3－2n ·3n －1＝－1＋(1－2n )·3n －1，∴T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －123n －1(n ≥2)．又∵T 1＝a 1＝1也满足上式， ∴T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －123n －1(n ∈N *)．1．若c n ＝a n ·b n ，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，则{c n }的前n 项和可用错位相减法求得．2．用错位相减法求和时应注意：①两式相减后除首、末项外的中间的项转化为一个等比数列求和．②注意两式相减后所得式子第一项后是加号，最后一项前面是减号．[再练一题]2．求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 的前n 项和S n .【解】 S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，S n ＝1×12＋2×122＋3×123＋…＋n ×12n ，①12S n ＝1×122＋2×123＋…＋(n －1)×12n ＋n ×12n ＋1，② ①－②得，12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n ×12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n ×12n ＋1＝1－12n －n ×12n ＋1，∴S n ＝2－12n －1－n 2n .裂项相消法求和求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1，n ≥2.【精彩点拨】 由1n 2－1＝1n －1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1逐项裂项相消求和． 【自主解答】 ∵1n 2－1＝1n －1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1，∴原式＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1＝34－2n ＋12n n ＋1. 1．裂项相消法的裂项方法 (1)1nn ＋k ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ；(2)若{a n }为等差数列，公差为d ，则1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1；(3)1n ＋1＋n＝n ＋1－n .2．如果数列的通项公式可转化为f (n ＋1)－f (n )的形式，常采用裂项相消法求和． [再练一题]3．求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n.【导学号：】【解】 ∵11＋2＋3＋…＋n ＝2nn ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝2n n ＋1. [探究共研型]数列求和的综合应用探究1 n【提示】 分n 为奇、偶数两类分别求数列{(－1)n}的和．探究2 若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n 与S n 间存在怎样的关系？如何由S n 求通项a n?【提示】 由S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 可知S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n ≥2)，∴a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 又a 1＝S 1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S n －S n －1n ≥2，a 1n ＝1.已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令 b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .【精彩点拨】 (1)由S 22＝S 1S 4列出关于a 1的方程，求a 1，从而求出a n . (2)对b n 进行裂项，并对n 为奇数和偶数分类求和．【自主解答】 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n －1·4n 2n －12n ＋1＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.奇偶性分析适用的数列往往是与(－1)n有关的摆动数列，常用的思路有两个：一是邻项相并，二是利用S n ＝S 奇＋S 偶，两种思路都要考虑奇数项、偶数项的项数．[再练一题]4．求和：S n ＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n －1)． 【解】 当n 为奇数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n ＋5)＋(2n －3)]＋(－2n ＋1)＝2·n －12＋(－2n ＋1)＝－n .当n 为偶数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n ＋3)＋(2n －1)]＝2·n2＝n .∴S n ＝(－1)n n (n ∈N *)．[构建·体系]1．数列{a n }的通项公式a n ＝2n＋2n －1，则其前n 项和S n ＝________. 【解析】 S n ＝(2＋22＋ (2))＋[1＋3＋…＋(2n －1)] ＝21－2n1－2＋n 1＋2n －12＝2n ＋1－2＋n 2.【答案】 2n ＋1＋n 2－22．已知a n ＝(－1)nn ，则S 2 017＝________.【解析】 ∵a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝1，…，a 2 015＋a 2 016＝1，a 2 017＝－2 017. ∴S 2 017＝1 008－2 017＝－1 009. 【答案】 －1 009 3．已知a n ＝1n 2＋3n ＋2，则S n ＝________.【解析】 ∵a n ＝1n ＋1n ＋2＝1n ＋1－1n ＋2， ∴S n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2.【答案】 12－1n ＋24．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是________.【导学号：】【解析】 当n ＝1时，a 1＝S 1＝23a 1＋13，解得a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23a n －23a n －1，整理可得13a n ＝－23a n －1，即a na n －1＝－2，故数列{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.【答案】 a n ＝(－2)n －15．求和：S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋nan .【解】 当a ＝1时，S n ＝12n (n ＋1)；当a ≠1时，S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋n a n ，aS n ＝1＋2a ＋3a 2＋4a 3＋…＋n an －1，(1－a )S n ＝－1－1a －1a 2－1a 3－…－1a n －1＋nan＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1a 2＋…＋1a n －1＋n an ，∴S n ＝a a n －1－n a －1a n a －12(a ≠1)，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧12n n ＋1a ＝1，a a n－1－n a －1a na －12a ≠1.我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十三) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式为a n ＝________. 【解析】 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋n )－[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2也适合上式，∴a n ＝2n (n ∈N *)． 【答案】 2n (n ∈N *) 2．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数n 为________．【解析】 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120. 【答案】 1203．若数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n，则其前9项的和S 9＝________. 【解析】 S 9＝(－1＋1)＋(－1＋1)＋(－1＋1)＋…＋(－1＋1)－1＝－1. 【答案】 －14．若{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1nn ＋1，则S 5＝________. 【解析】 ∵a n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴S 5＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋15－16＝1－16＝56.【答案】 565．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.【解析】 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n＝2n －10≥0得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.【答案】 1306．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________.【导学号：】【解析】 a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9(3×9－2)＋(－1)10(3×10－2)]＝3×5＝15.【答案】 157．(2016·南京高二检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为________． 【解析】 由题意可知 ∴a 1＝1，d ＝1， ∴a n ＝n ， ∴1a n a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1100－1101＝1－1101＝100101. 【答案】1001018．6＋66＋666＋…66…66n 个6 ＝________. 【解析】 设a n ＝66…66＝23(10n－1)，∴S n ＝23(101＋102＋ (10))－23n ＝23·101－10n1－10－23n ＝210n ＋1－9n －1027.【答案】210n ＋1－9n －1027二、解答题9．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.【解】 (1)因为S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，所以S n ＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列， 所以a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝21－4n1－4＝24n－13， 所以a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1 ＝1＋24n－13＝22n ＋1＋13.10．(2015·浙江高考)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1nb n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .【解】 (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)． 由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n ，整理得b n ＋1n ＋1＝b n n ，所以b n ＝n (n ∈N *)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋ (2)－n ·2n ＋1，故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．[能力提升]1．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？________.(填数字)【解析】 远望巍巍塔七层，说明该数列共有7项，即n ＝7.红光点点倍加增，说明该数列是公比为2的等比数列．共灯三百八十一，说明7项之和S 7＝381.请问尖头几盏灯，就是求塔顶几盏灯，即求首项a 1.代入公式S n ＝a 11－q n1－q，即381＝a 11－271－2，∴a 1＝381127＝3.∴此塔顶有3盏灯． 【答案】 32．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝________. 【导学号：】【解析】 ∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln n ＋1n＝ln(n ＋1)－ln n . 又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n .【答案】 2＋ln n3．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2当n 为奇数时，－n 2当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于________． 【解析】 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100 ＝[f (1)＋f (2)]＋[f (2)＋f (3)]＋…＋[f (100)＋f (101)] ＝(12－22)＋(－22＋32)＋(32－42)＋…＋(－1002＋1012)＝－3＋5－7＋9－…－99＋101＝2×50＝100.【答案】 1004．n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列： a 11 a 12 a 13 a 14 … a 1na 21 a 22 a 23 a 24 … a 2na 31 a 32 a 33 a 34 … a 3n… … … … … …a n 1 a n 2 a n 3 a n 4 … a n n其中第一行的数成等差数列，每一列中的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a 24＝1，a 42＝18，a 43＝316，求a 11＋a 22＋a 33＋…＋a n n . 【解】 设第一行的公差为d ，各列公比为q ，则得a 1k ＝a 11＋(k －1)d ， a 24＝a 14q ＝(a 11＋3d )q ＝1，①a 42＝a 12q 3＝(a 11＋d )q 3＝18，②a 43＝a 13q 3＝(a 11＋2d )q 3＝316，③由①②③，解得a 11＝d ＝q ＝12.∴a kk ＝a 1k q k －1＝[a 11＋(k －1)d ]q k －1＝k2k . 设S n ＝a 11＋a 22＋a 33＋…＋a n n ，则S n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，④ 12S n ＝122＋223＋324＋…＋n 2n ＋1，⑤ ④－⑤得，12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1. ∴S n ＝2－n ＋22n ，即a 11＋a 22＋a 33＋…＋a n n ＝2－n ＋22n .。