河北省衡水市冀州中学2015-2016学年高一(上)第四次月考数学试卷(理科)(解析版)

冀州市中学高一年级月四理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分1、已知集合},1|{2R x x y y M ∈-==，}2|{2x y x N -==，则=N M （ ）A ．),2[+∞B ． ),1[+∞-C ．]2,1[-D ．φ2．在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则（ ）A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C.AD 与AE 相等 D ．AD 与BD 相等3．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ，在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数4．规定,(0)a b a b ab *=+≥　，则函数()1f x x =*的值域为（ ）A. [1,)+∞B. )1,0(C. ),1(+∞D. [0,)+∞ 5.已知221,0,0x y x y +=>>，且log (1)a x m +=，1log 1a n x=-，则log a y 等于（ ） A.m n + B. m n - C.1()2m n + D. 1()2m n - 6.若点P 在角α的终边的反向延长线上，且1=OP ，则点P 的坐标为（ ）A )sin ,cos (αα-B )sin ,(cos ααC )sin ,(cos αα-D )sin ,cos (αα--7.要得到函数y=cos(42π-x )的图象，只需将y=sin 2x的图象 （ ） A ．向左平移2π个单位 B.同右平移2π个单位C ．向左平移4π个单位 D.向右平移4π个单位8.若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是（ ）A.35(,)(,)244ππππB.5(,)(,)424ππππC.353(,)(,)2442ππππD.33(,)(,)244ππππ9．函数3sin(2)3y x π=-的图像为C ，如下结论中错误的是（ ）A ．图像C 关于直线1112x π=对称B ．图像C 关于点2(,0)3π对称C ．函数()f x 在区间)127,12(ππ-内是增函数D ．由x y 2cos 3=得图像向右平移125π个单位长度可以得到图像C 10、已知函数)0,)(4sin()(>∈+=ωπωR x x x f 的最小正周期为π，将)(x f y =的图像向左平移||ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（ ） A 、2π B ．83π C 、4π D.8π11.已知函数()(f x x ∈R)是偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()1f x x =-，则方程1()1||f x x =-在区间[10,10]-上的解的个数是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．1112.设奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数，且(1)1f -=-，若对所有的[]1,1x ∈-及任意的[]1,1a ∈-都满足2()21f x t at ≤-+，则t 的取值范围是（ ）A.[]2,2-B.{}220t t t t ≤-≥=或或 C. ,2211⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 02211t t t t ⎧⎫≤-≥=⎨⎬⎩⎭或或二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数()ln 26f x x x =+-只有一个零点，所在区间为(,1)(*)m m m N +∈，则m = .14、f(x)为奇函数,x>0时,f(x)=sin2x+cosx,则x<0时,f(x)= . 15若集合|,3A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，{}|22B x x =-≤≤，则B A =________16.若不等式22log 12xx a x-+≥在1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭上恒成立，则实数a 的取值范围为____________三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17、（本题满分10分）河北冀州中学的学生王丫丫同学在设计计算函数f (x )＝sin 2(3π－x )sin(π－x )＋cos(π＋x ) ＋ cos(x －2π)1＋tan(π－x )的值的程序时，发现当sin x 和cosx 满足方程2y 2－(2＋1)y ＋k ＝0时，无论输入任意实数x ，f (x )的值都不变，你能说明其中的道理吗？这个定值是多少？你还能求出k 的值吗？18、（本题满分12分）如图所示，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y 轴相交于点M (0，且该函数的最小正周期为π．（1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，当02y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值19、（本题满分12分） 函数)2,0,0(),sin()(πθθ<>>+=w A wx A x f 的图象如下，（1） 求它的解析式。

河北省衡⽔市冀州中学2015-2016学年⾼⼆上学期第四次⽉考数学试卷A卷（理）河北冀州中学2015—2016学年度上学期第四次⽉考⾼⼆年级数学试题（理）考试时间150分钟试题分数120分⼀、选择题：（本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.）1．集合?∈≤+=Z x x x x P ,21|,集合{}032|2>-+=x x x Q ,则=Q C P R（）A ．[)03，－B ．{}123－，－，－C ．{}0123，－，－，－D ．{}1123，－，－，－ 2．"0"a ≤“是函数|)ax 2(x |)x (f -=在区间(0,+)∞内单调递增”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3.已知点(),P x y 在不等式组??≥-+≤-≤-0220102y x y x 表⽰的平⾯区域上运动,则z x y =-的取值范围是（）A ．[]1,2-B ．[]2,1--C ．[]2,1-D ．[]1,24．已知命题x x R x p lg 2,:>-∈?,命题0,:2>∈?x R x q ,则（）A ．命题q p ∨是假命题B ．命题q p ∧是真命题C ．命题)(q p ?∧是真命题D ．命题)(q p ?∨是假命题5. 命题“若00,022===+b a b a 且则”的逆否命题是（）2≠+≠≠b a b a 则或 B ．若00,022≠≠≠+b a b a 且则 C ．若00,022≠≠≠+b a b a 或则 D ．若则0,0022≠+==b a b a 则且6．⼀个四⾯体的三视图如图所⽰，则该四⾯体的表⾯积为( )A.34B.32C. 3 D ．2 37. 曲线3ln 2y x x =++在点0P 处的切线⽅程为410x y --=,则点0P 的坐标是（）A ．(0,1)B ．(1,1)-C ．(1,3)D ．(1,0)8.阅读如图所⽰的程序框图,若输⼊919a =, 则输出的k 值是（）A ．9B ．10C ．11D ．12 9. 设函数()f x ，()g x 满⾜()()f x g x '>'，则当a x b <<时，有（） A 、()()()()f x g b g x f b +>+ B 、()()()()f x g a g x f a +>+ C 、()()f x g x > D 、()()f x g x <10.已知||2||0a b =≠，且关于x 的3211()||32f x x a x a bx =++?在R 上有极值，则向量,a b 的夹⾓范围是（） A ．[0,D ．2(,33ππ11.已知双曲线)0( 14222>=-a y a x 的⼀条渐近线与圆8)322=+-y x （相交于N M ,两点且4||=MN , 则此双曲线的离⼼率为（）A ．5B ．553 C ．355 D ．5 12.已知函数f (x )＝201543212015432x x x x x +?+-+-+，则下列结论正确的是（） A. f (x )在(0,1)上恰有⼀个零点 B . f (x )在(－1,0)上恰有⼀个零点 C. f (x )在(0,1)上恰有两个零点 D. f (x )在(－1,0)上恰有两个零点第Ⅱ卷（共90分）⼆、填空题：（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点. 若P 是该椭圆上的⼀个动点，则21PF ?的最⼤值为 .14. 设函数()c 3)f x x ?=+(0?π<<)，若()()f x f x +'是奇函数，则?= 。

试卷类型：A卷河北冀州中学 2015—2016学年度上学期第四次月考试题 高三年级理科数学试题 考试时间150分钟试题分数120分 选择题（本题共12道小题，每小题分，共分）复数的共轭复数是( ) A．B．C．D．2、已知全集为，集合，则( ) A．{x|x≤0} B．{x|1≤x≤2} C． D． 设是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则“”是“”的( ) A．充要条件B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件 设若，则的值（） A．B．C．D． 数列的前项和为，且满足，则等于（ ） A．B．C．D．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（ ）、、、、 7、设，其中实数满足，若的最大为，则的最小值为A. B. C.D. 8、从1,2,3，…，9这9个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是5的概率等于（） C、 9、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3， 则正视图中的的值是（）A.2B.C.D.3 10、设等差数列的前项和为,若,则满足的正整数的值（）A.13B.12C.11D. 10 11、正三角形的边长为，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体外接球表面积为（） A． B． C． D． 12、已知实数x，y分别满足：，，则的最小值是( ) A．0B．26 C．28D．30 、题（本题共道小题，每小题分，共0分），且此椭圆的焦距为4，则实数=________． 14、已知数列，则____ ． 15、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，当取最大值时，角C的值为 __． 16、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为点在直线y=4上运动，O为坐标原点，G为△ABC的重心，则的最小值为________。

解答题（本题共道小题）17、（本小题满分12分） 如图，在△ABC中，已知，为边上一点． （I）若，求的长； （）若AB=AD，试求△ADC的周长的最大值． 的前n项和为，数列的前n项和为 满足 (I)求数列的通项公式及数列的前n项和； (Ⅱ)是否存在非零实数，使得数列为等比数列？并说明理由 19、（本小题满分12分） 如图，正四棱锥S-ABCD中，SA=AB，E、F、G分别为BC、SC、DC的中点，设P为线段FG 上任意一点． （l）求证：; （2）当直线BP与平面EFG所成的角取得最大值时，求二面角P-BD-C的大小． 20、（本小题满分12分） 某学校为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防安全知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得-2分．某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来． （1）求该参赛者恰好连对一条的概率； （2）设为该参赛者此题的得分，求的分布列与数学期望． 21、(本小题满分12分) 椭圆的上顶点为是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点． （1）求椭圆的方程； （2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由． 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴为正半轴为极轴建立极坐标系，圆C和直线的极坐标方程分别为ρ=2cosθ，ρcos（θ+α）=2（其中tanα=2，α∈（0，））． （Ⅰ）求圆C和直线的直角坐标方程； （Ⅱ）设圆C和直线相交于点A和点B，求以AB为直径的圆D的参数方程． 本小题满分分)满足． （Ⅰ）若，求a的取值范围； （Ⅱ）若，且，求的最大值．高三理科数学第四次月考答案 A卷：A C C A B B A C D B A C B卷：B D C D B B A B D C A D 13、4或8； 14、﹣72； 15、； 16、9 17、解：（），AC=4，AD=2， ，，B=，，，（分） 在△ADC中，由余弦定理得：，（4，；（6分） （）AB=AD，，ABD为正三角形， DAC=﹣C，ADC=， 在△ADC中，根据正弦定理，可得：，AD=8sinC，，（8分） ADC的周长为=8（sinC+cosC﹣sinC）+4=8（sinC+cosC）+4=8sin（C+）+4，（10分） ADC=，0＜C＜，＜C+＜，，sin（C+）的最大值为1， 则△ADC的周长最大值为．（1分） 的公差为d,由，解得, 因此的通项公式是（4分） 所以，从而前n项的和为 （6分） (II)因为 当时，；当时，. 所以，若是等比数列，则有而，所以矛盾, 故不存在实数，使得数列为等比数列12分 19、(1)证：设AC交BD于O，S－ABCD为正四棱锥，SO⊥底面，SO⊥AC 又，又，∴. 4分 (2)解：设AB2，如图建立空间直角坐标系，则G(0，1，0)，E(1，0，0)，C(1，1，0)，S(0，0，)F(，，)，B(1，，0) 5分，故点6分设面EFG的法向量为∵∴，令a1得(1，1，0) 7分设与平面所成角为，则=8分点P在线段FG上，，即=1时取最大值此时点P与点F重合9分设二面角的大小为点P到平面ABCD的距离为，点P到BD的距离为110分则二面角的大小为12分解：. 4分 (2) 的所有可能取值为：，，，. ，， ，， -8 -1 6 20 21、（1），由题设可知，得① 又点P在椭圆C上，② ③ ………3分 ①③联立解得， ………4分 故所求椭圆的方程为 ………5分 （2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，消去y， 整理得（﹡） 方程（﹡）有且只有一个实根，又， 所以得 ………8分 假设存在满足题设，则由 对任意的实数恒成立, 所以，解得， 当直线的斜率不存在时，经检验符合题意. 总上，存在两个定点，使它们到直线的距离之积等于1 22、解析：（1）证明：∵PO是圆O的切线，AD∥PB， ∴∠PAB=∠BDA，∠APB=∠QAD=∠DBA，∴△PAB∽△BDA．∴， ∴AB2=PB?AD； （2）解：∵AD∥PB，PA=2AQ，∴=∵AD=，QD=2，∴PB=3，QB=6． ∵PO是圆O的切线，PA=2AQ，∴PB?PC=PA2=4QA2=QD?QB，∴PC==． 解析：（Ⅰ）圆C的极坐标方程分别为ρ=2cosθ， 转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1， 由于：tanα=2，α∈（0，）．则：， 极坐标方程ρcos（θ+α）=2转化成直角坐标方程为：x﹣2y﹣2=0． （Ⅱ）由（Ⅰ）得：解得：A（2，0），B（，）， 则：， 设点M（x，y）是圆D上的任意一点，则：． 所以：+．整理得：5x2+5y2﹣12x+4y=0． 转化成标准形式为： 转化成参数方程为：（θ为参数）． 得，即=． 所以可化为，即，解得． 所以的取值范围．…………………………………………5分 （Ⅱ）因为，所以， 当且仅当时，等号成立．故的最大值为27． O x y z P E G F S D C B A 俯视图 正视图侧视图。

2015-2016学年河北省衡水市冀州中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题4分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．一条直线经过点P1（﹣2，3），倾斜角为α=45°，则这条直线方程为（）A．x+y+5=0 B．x﹣y﹣5=0 C．x﹣y+5=0 D．x+y﹣5=0【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题．【分析】根据倾斜角α与斜率k的关系：k=tanα求出此直线的斜率k然后再利用点斜式写出直线方程即可．【解答】解：∵倾斜角为α=45°∴斜率k=tan45°=1∵直线经过点P1（﹣2，3）∴由点斜式可得直线方程为y﹣3=1×（x+2）即x﹣y+5=0故选C【点评】本题主要考察了直线的点斜式方程，属常考题，较易．解题的关键是会利用倾斜角α与斜率k的关系：k=tanα求出此直线的斜率以及正确记忆直线的点斜式方程！2．直线l的方程x﹣2y+6=0的斜率和它在x轴与y轴上的截距分别为（）A．B．C．2，﹣6，3 D．【考点】直线的一般式方程；直线的斜率．【专题】计算题．【分析】通过直线方程直接求出直线的斜率，通过x=0，y=0分别求出直线在y轴x轴上的截距．【解答】解：直线l的方程x﹣2y+6=0的斜率为；当y=0时直线在x轴上的截距为：﹣6；当x=0时直线在y轴上的截距为：3；故选A．【点评】本题考查直线方程的斜率与截距的求法，考查计算能力．3．经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（）A．x+y+1=0 B．x+y﹣1=0 C．x﹣y+1=0 D．x﹣y﹣1=0【考点】两条直线垂直的判定．【分析】先求C点坐标和与直线x+y=0垂直直线的斜率，再由点斜式写出直线方程．【解答】解：易知点C为（﹣1，0），因为直线x+y=0的斜率是﹣1，所以与直线x+y=0垂直直线的斜率为1，所以要求直线方程是y=x+1即x﹣y+1=0．故选C．【点评】本题主要考查两直线垂直的条件和直线方程的点斜式，同时考查圆一般方程的圆心坐标．4．直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】方程思想；数形结合法；直线与圆．【分析】由直线平行可得1×2﹣（1+m）m=0，解方程排除重合可得．【解答】解：∵直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，∴1×2﹣（1+m）m=0，解得m=1或﹣2，当m=﹣2时，两直线重合．故选：A．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．5．下列命题中正确的是（）A．若直线a在平面α外，则直线a与平面内任何一点都只可以确定一个平面B．若a，b分别与两条异面直线都相交，则a，b是异面直线C．若直线a平行于直线b，则a平行于过b的任何一个平面D．若a，b是异面直线，则经过a且与b垂直的平面可能不存在【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】对应思想；空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】根据空间直线和平面的位置关系分别进行判断即可得到结论．【解答】解：A．当直线a与α相交时，设a∩α=A，当直线a与平面内内的点A时，此时有无数个平面，故A错误，B．若a，b分别与两条异面直线都相交，则a，b是异面直线或者a，b相交，故B错误，C．若直线a平行于直线b，则a平行于过b的任何一个平面或a在过b的平面内，故C错误，D．如果直线a与直线b垂直时，根据线面垂直的判定定理可知存在唯一一个平面满足条件；当直线a与直线b不垂直时，如果找到过a且与b垂直的平面，则b垂直平面内任一直线，而a在平面内，则直线a与直线b垂直，这与条件矛盾，故不存在，故若a，b是异面直线，则经过a且与b垂直的平面可能不存在，正确，故选：D．【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据空间直线和平面的位置关系是解决本题的关键．6．已知a，b，c表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a⊥α的是（）A．a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂αB．a∥b，b⊥αC．a∩b=A，b⊂α，a⊥b D．a⊥b，b∥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】逐个分析选项，举出反例即可．【解答】解：对于A，若b，c相交，则a⊥α，若b∥c，则a与α可能平行，可能垂直，可能斜交也可能a⊂α．对于B，若b⊥α，则存在相交直线m，n使得b⊥m，b⊥n，又∵a∥b，∴a⊥m，a⊥n，故而a⊥α．对于C，a有可能在平面α内．对于D，a有可能在平面α内，也可能与α平行，也可能与α斜交．故选B．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于基础题．7．圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积（）A．缩小到原来的一半 B．扩大到原来的2倍C．不变 D．缩小到原来的【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】圆锥的体积等于底面积乘高乘，假设原来圆锥的底面半径为r，原来的高为h，求出现在的体积，一步得出答案．【解答】解：V现=π（）2×2h=πr2h=V原，圆锥的体积缩小到原来的一半．故选A．【点评】此题考查计算圆锥的体积，关键是已知底面半径和高，直接用公式计算．8．过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 D．（x+1）2+（y+1）2=4【考点】圆的标准方程．【分析】先求AB的中垂线方程，它和直线x+y﹣2=0的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程．【解答】解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，排除A，B选项；圆心在直线x+y﹣2=0上验证D选项，不成立．故选C．【点评】本题解答灵活，符合选择题的解法，本题考查了求圆的方程的方法．是基础题目．9．已知圆心为点C（4，7），并且在直线3x﹣4y+1=0上截得的弦长为8的圆的方程为（）A．（x﹣4）2+（y﹣7）2=5 B．（x﹣4）2+（y﹣7）2=25 C．（x﹣7）2+（y﹣4）2=5 D．（x﹣7）2+（y﹣4）2=25【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出圆心到直线的距离，可得圆的半径，即可求出圆的方程．【解答】解：圆心到直线的距离为d==3，∵在直线3x﹣4y+1=0上截得的弦长为8，∴圆的半径r==5，∴圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣7）2=25．故选：B．【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，求圆的标准方程，求出圆的半径，是解题的关键，属于中档题．10．方程x（x2+y2﹣4）=0与x2+（x2+y2﹣4）2=0表示的曲线是（）A．都表示一条直线和一个圆B．都表示两个点C．前者是两个点，后者是一直线和一个圆D．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点【考点】曲线与方程．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由x（x2+y2﹣4）=0，得x=0或x2+y2﹣4=0，整理后可得曲线表示一条直线和一个圆；由x2+（x2+y2﹣4）2=0，得x2=0且x2+y2﹣4=0，求得x=0，y=﹣2或x=0，y=2，则答案可求．【解答】解：由x（x2+y2﹣4）=0，得x=0或x2+y2﹣4=0，即x=0或x2+y2=4，曲线表示一条直线和一个圆；由x2+（x2+y2﹣4）2=0，得x2=0且x2+y2﹣4=0，即x=0，y=﹣2或x=0，y=2，曲线表示点（0，﹣2）或（0，2）．∴前者是一条直线和一个圆，后者是两个点．故选：D．【点评】本题考查曲线与方程，考查了曲线的方程与方程的曲线的概念，是基础题．11．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正方体内挖去一个圆锥．【解答】解：由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥，正方体的边长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，则正方体的体积为V1=23=8，圆锥的体积为V2=•π•12•2=，则该几何体的体积为V=8﹣，故选A．【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．12．设顶点都在一个球面上的三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为2，则该球的表面积为（）A．9πB．8πC．D．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为2的正三棱柱，设上下底面中心连线EF的中点O，则O就是球心，其外接球的半径为OA1，又设D为A1C1中点，在直角三角形EDA1中，EA1==在直角三角形OEA1中，OE=1，由勾股定理得OA1==∴球的表面积为S=4π•=π，故选：D．【点评】本题考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．13．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，又BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H一定在（）A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC的内部【考点】棱柱的结构特征．【专题】证明题．【分析】由已知中斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，又BC1⊥AC，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面ABC1，故AC⊥平面ABC1内的任一直线，则当过C1作C1H⊥底面ABC时，垂足为H，C1H⊂平面ABC1，进而可以判断出H点的位置．【解答】解：∵在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，∴AB⊥AC又∵BC1⊥AC，BC1∩AB=B∴AC⊥平面ABC1，则C1作C1H⊥底面ABC，故C1H⊂平面ABC1，故点H一定在直线AB上故选B【点评】本题考查的知识点是棱柱的结构特征，线面垂直的判定定理和性质定理，其中熟练掌握线面垂直的性质定理和判定定理，并熟练掌握它们之间的相互转化是解答本题的关键．14．在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；压轴题．【分析】正四面体P﹣ABC即正三棱锥P﹣ABC，所以其四个面都是正三角形，在正三角形中，联系选项B、C、D中有证明到垂直关系，应该联想到“三线合一”．D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，由中位线定理可得BC∥DF，所以BC∥平面PDF，进而可得答案．【解答】解：由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故A正确．若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE故DF⊥平面PAE，故B正确．由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确．故选C．【点评】本小题考查空间中的线面关系，正三角形中“三线合一”，中位线定理等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．15．设函数，，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】分段函数的应用．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据条件先求出函数g（x）的表达式，判断函数的奇偶性和单调性，根据函数奇偶性和单调性的性质结合对数的运算法则将不等式进行转化求解即可．【解答】解：∵，，∴当﹣2≤x≤0时，g（x）=﹣1﹣，为减函数当0＜x≤2时，g（x）=x﹣1﹣=﹣1，为增函数，则若﹣2≤x＜0，则0＜﹣x≤2，则g（﹣x）=﹣﹣1=g（x），若0＜x≤2，则﹣2≤﹣x＜0，则g（﹣x）=﹣1=g（x），则恒有g（﹣x）=g（x），即函数g（x）为偶函数，则g（）==．则等价为g（log2a）+g（﹣log2a）≤2×（）=﹣，即2g（log2a）≤2×（），则g（log2a）≤（），即g（log2a）≤g（），即g（|log2a|）≤g（），则|log2a|≤，即﹣≤log2a≤，得≤a≤，故选：D．【点评】本题主要考查分段函数的应用，根据条件求出函数的解析式，并判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合性较强．二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分．）16．已知A=，B={x|log2（x﹣2）＜1}，则∁U A∩B=[3，4）．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】化简集合A和B，并根据补集的定义求出∁U A，继而求出∁U A∩B．【解答】解：∵＜3﹣x＜，∴（）3＜（）x＜（）2，∴2＜x＜3，∴A=（2，3），∴∁U A=（﹣∞，2]∪[3，+∞）∵log2（x﹣2）＜1=log22，∴，解得2＜x＜4，∴B=（2，4），∴∁U A∩B=[3，4）故答案为[3，4）．【点评】本题考查集合的混合运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．17．将按由大到小的顺序排列为a＞c＞b．【考点】对数值大小的比较．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用对数函数与幂函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜a=0.50.1＜1，b=log40.1＜0，c=0.40.1＜0.50.1=a．∴a＞c＞b，故答案为：a＞c＞b．【点评】本题考查了对数函数与幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．原点O在直线l上的射影为点H（﹣2，1），则直线l的方程为2x﹣y+5=0．【考点】两条直线垂直的判定．【专题】计算题；直线与圆．【分析】根据题意，直线l是经过点H且与OH垂直的直线．因此求出OH的斜率，从而得到l的斜率，由直线的点斜式方程得到l的方程，再化成一般式即可．【解答】解：直线OH的斜率为k==﹣∵原点O在直线l上的射影为点H（﹣2，1），∴直线l与OH互相垂直，可得l的斜率k1==2，且点H是直线l上的点．由直线方程的点斜式，得l的方程为y﹣1=2（x+2），整理得：2x﹣y+5=0故答案为：2x﹣y+5=0【点评】本题给出原点在直线上的射影点，求直线的方程，着重考查了直线的方程、直线的位置关系等知识，属于基础题．19．A，B，C，D是同一球面上的四个点，△ABC中平面ABC，AD=2，，则该球的表面积为10π．【考点】球的体积和表面积．【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】画出几何体的图形，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，求出半径即可求解球的表面积．【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心F、E连线的中点O与A的距离为球的半径，AD=2，AB=AC=，OE=1，△ABC是等腰直角三角形，E是BC中点，AE=BC=，∴球半径AO==．所求球的表面积S=4π（）2=60π．故答案为：10π【点评】本题考查球的表面积的求法，球的内接体问题，考查空间想象能力以及计算能力．20．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，点A（﹣1，0），B（1，0），点P是圆上的动点，则d=|PA|2+|PB|2的最大值为74，最小值为34．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】利用圆的参数方程，结合两点间的距离公式即可得到结论．【解答】解：设P点的坐标为（3+sinα，4+cosα），则d=|PA|2+|PB|2=（4+sinα）2+（4+cosα）2+（2+sinα）2+（4+cosα）2=54+12sinα+16cosα=54+20sin （θ+α）∴当sin（θ+α）=1时，即12sinα+16cosα=20时，d取最大值74，当sin（θ+α）=﹣1时，即12sinα+16cosα=﹣20，d取最小值34，故答案为：74，34．【点评】本题主要考查两点间距离公式的应用，利用圆的参数方程是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）21．已知函数f（x）=的定义域为集合A，函数g（x）=（）x，（﹣1≤x≤0）的值域为集合B．（1）求A∩B；（2）若集合C={x|a≤x≤2a﹣1}，且C∩B=C，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【专题】集合．【分析】（1）要使函数f（x）=有意义，则log 2（x﹣1）≥0，利用对数的单调性可得x的范围，即可得到其定义域为集合A；对于函数g（x）=（）x，由于﹣1≤x≤0，利用指数函数的单调性可得≤，即可得出其值域为集合B．利用交集运算性质可得A∩B．（2）由于C∩B=C，可得C⊆B．分类讨论：对C=∅与C≠∅，利用集合之间的关系即可得出．【解答】解：（1）要使函数f（x）=有意义，则log 2（x﹣1）≥0，解得x≥2，∴其定义域为集合A=[2，+∞）；对于函数g（x）=（）x，∵﹣1≤x≤0，∴≤，化为1≤g（x）≤2，其值域为集合B=[1，2]．∴A∩B={2}．（2）∵C∩B=C，∴C⊆B．当2a﹣1＜a时，即a＜1时，C=∅，满足条件；当2a﹣1≥a时，即a≥1时，要使C⊆B，则，解得．综上可得：a∈．【点评】本题考查了函数的单调性、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，（Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C与直线x﹣y+a=0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y=x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t﹣1）2=（2）2+t2，解得t=1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0x=0，y=1有1+E+F=0y=0，x2 ﹣6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，故有D=﹣6，F=1，E=﹣2，即圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，由已知可得判别式△=56﹣16a﹣4a2＞0．在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2=4﹣a，x1x2=①，由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，又y1=x1+a，y2=x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②由①②可得a=﹣1，满足△=56﹣16a﹣4a2＞0．故a=﹣1．【点评】本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，O为AD中点，M是棱PC上的点，AD=2BC．（1）求证：平面POB⊥平面PAD；（2）若点M是棱PC的中点，求证：PA∥平面BMO．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）由已知得四边形BCDO为平行四边形，OB⊥AD，从而BO⊥平面PAD，由此能证明平面POB⊥平面PAD．（2）连结AC，交BO于N，连结MN，由已知得MN∥PA，由此能证明PA∥平面BMO．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，BC=AD，O为AD的中点，∴四边形BCDO为平行四边形，∴CD∥BO．∵∠ADC=90°，∴∠AOB=90°即OB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BO⊥平面PAD．∵BO⊂平面POB，∴平面POB⊥平面PAD．（2）证明：连结AC，交BO于N，连结MN，∵AD∥BC，O为AD中点，AD=2BC，∴N是AC的中点，又点M是棱PC的中点，∴MN∥PA，∵PA⊄平面BMO，MN⊂平面BMO，∴PA∥平面BMO．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．24．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣7=0．（1）过点P（3，4）且被圆C截得的弦长为4的弦所在的直线方程（2）是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB的中点D到原点O的距离恰好等于圆C的半径，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；分类讨论；综合法；直线与圆．【分析】（1）由圆的方程求出圆心的坐标及半径，由直线被圆截得的弦长，利用垂径定理得到弦的一半，弦心距及圆的半径构成直角三角形，再根据勾股定理求出弦心距，分两种情况考虑：若此弦所在直线方程的斜率不存在；若斜率存在，设出斜率为k，由直线过P点，由P的坐标及设出的k表示出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，让d等于求出的弦心距列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，进而得到所求直线的方程．（2）求出CD的方程，可得D的坐标，利用D到原点O的距离恰好等于圆C的半径，求出b，再利用b的范围，即可求出直线l的方程．【解答】解：（1）由x2+y2﹣2x﹣7=0得：（x﹣1）2+y2=8…（2分）当斜率存在时，设直线方程为y﹣4=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+4=0∴弦心距，解得∴直线方程为y﹣4=（x﹣3），即3x﹣4y+7=0…（5分）当斜率不存在时，直线方程为x=3，符合题意．综上得：所求的直线方程为3x﹣4y+7=0或x=3…（7分）（2）设直线l方程为y=x+b，即x﹣y+b=0∵在圆C中，D为弦AB的中点，∴CD⊥AB，∴k CD=﹣1，∴CD：y=﹣x+1由，得D的坐标为…（10分）∵D到原点O的距离恰好等于圆C的半径，∴=2，解得…（14分）∵直线l与圆C相交于A、B，∴C到直线l的距离，∴﹣5＜b＜3…（16分）∴b=﹣，则直线l的方程为x﹣y﹣=0…（17分）【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及直线的斜截式方程，利用了分类讨论的思想，当直线与圆相交时，常常由弦心距，弦的一半及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题，注意合理地进行等价转化．25．如图，在五面体EF﹣ABCD中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=l，AD=2，∠BAD=∠CDA=45°．①求异面直线CE与AF所成角的余弦值；②证明：CD⊥平面ABF；③求二面角B﹣EF﹣A的正切值．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】空间位置关系与距离；空间角；立体几何．【分析】（Ⅰ）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点E，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．（Ⅱ）根据线面垂直的判定定理可知，只需证直线CD与面ABF中的两条相交直线垂直即可；（Ⅲ）先作出二面角的平面角，再在直角三角形中求出此角即可．【解答】（Ⅰ）解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED．故∠CED为异面直线CE与AF所成的角．因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD．故ED⊥CD．在Rt△CDE中，CD=1，ED=，CE==3，故cos∠CED==．所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为；（Ⅱ）证明：过点B作BG∥CD，交AD于点G，则∠BGA=∠CDA=45°．由∠BAD=45°，可得BG⊥AB，从而CD⊥AB，又CD⊥FA，FA∩AB=A，所以CD⊥平面ABF；（Ⅲ）解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=，即G为AD的中点．取EF的中点N，连接GN，则GN⊥EF，因为BC∥AD，所以BC∥EF．过点N作NM⊥EF，交BC于M，则∠GNM为二面角B﹣EF﹣A的平面角．连接GM，可得AD⊥平面GNM，故AD⊥GM．从而BC⊥GM．由已知，可得GM=．由NG∥FA，FA⊥GM，得NG⊥GM．在Rt△NGM中，tan，所以二面角B﹣EF﹣A的正切值为．【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．26．已知函数f（3x﹣2）=x﹣1（x∈[0，2]），函数g（x）=f（x﹣2）+3．（1）求函数y=f（x）与y=g（x）的解析式，并求出f（x），g（x）的定义域；（2）设h（x）=[g（x）]2+g（x2），试求函数y=h（x）的最值．【考点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）设t=3x﹣2，于是有f（t）=log3（t+2）﹣1，求出t的范围，把t换为x，可得f（x）的解析式，进一步可求g（x）的解析式，再根据解析式求函数f（x）与g（x）的定义域；（2）设t=log3x，则h（x）=t2+6t+6，这样就把原来的函数变成关于t的二次函数，用二次函数求最值．【解答】解：（1）设t=3x﹣2，∵0≤x≤2，∴﹣1≤3x﹣2≤7，∴t∈[﹣1，7]，则x=log3（t+2），于是有f（t）=log3（t+2）﹣1，t∈[﹣1，7]∴f（x）=log3（x+2）﹣1（x∈[﹣1，7]），根据题意得g（x）=f（x﹣2）+3=log3x+2又由﹣1≤x﹣2≤7得1≤x≤9∴g（x）=log3x+2（x∈[1，9]）…（7分）（2）∵g（x）=log3x+2，x∈[1，9]∴要使函数h（x）=[g（x）]2+g（x2）有意义，必须∴1≤x≤3，∴（1≤x≤3）设t=log3x，则h（x）=t2+6t+6=（t+3）2﹣3（0≤t≤1）是[0，1]上增函数，∴t=0时h（x）min=6，t=1时h（x）max=13∴函数y=h（x）的最大值为13，最小值为6．【点评】本题主要考查求函数的定义域，同时考查求函数的解析式，换元法是解题的关键．。