运筹学线性规划案例

案例： 连续投资的优化问题

一、题目：

某企业在今后五年内考虑对下列项目投资，已知：

项目A，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末收回本利115%。

项目B，第三年年初需要投资，到第五年末能收回本利125%，但规定最大投资额不超过40万元。

项目C，第二年年初需要投资，到第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不超过30万元。

项目D，五年内每年年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%。

该企业5年内可用于投资的资金总额为100万元，问它应如何确定给这些项目的每年投资使得到第五年末获得的投资本利总额为最大？

二、建立上述问题的数学模型

设X1A,XiB , XiC, XiD（i=1.2.3.4.5）为第i年初给项目A,B,C,D的投资额，它们都是待定的未知量。由于项目D每年年初均可投资，年末收回本利，固每年的投资额应该等于手中拥有的资金额。

建立该问题的线性规划模型如下：

Max Z=1.15X4A+1.40X2C+1.25X3B+1.06X5D

X1A+X1D=1000000 (1)

X2A+X2C+X2D=1.06X1D (2)

X3A+X3B+X3D=1.15X1A+1.06X2D (3)

s.t. X4A+X4D=1.15X2A+1.06X3D (4)

X5D=1.15X3A+1.06X4D (5)

X3B<=400000 (6)

X2C<=300000 (7)

简单的运筹学实际应用案例

运筹学（Operations Research）是一门研究如何有效利用有限资源进行决策的学科，它通过数学、统计学和经济学等方法，帮助管理者做出最佳决策。下面将介绍几个简单的运筹学实际应用案例。

1.生产线优化

假设一公司拥有多条生产线，每条生产线对应不同的产品。公司希望通过优化生产线的调度，以达到最大的产出和利润。运筹学可以通过数学模型和算法，对生产线进行优化调度。例如，可以使用线性规划模型来确定每条生产线的产量和调度，以最大化总利润；也可以使用整数规划模型来考虑生产线的限制和约束条件。

2.物流网络设计

一家物流公司需要设计其物流网络，以最小化成本并满足客户对快速物流的需求。运筹学可以通过数学模型和算法，帮助物流公司优化物流网络的设计。例如，可以使用网络流模型来确定货物在物流网络中的最佳路线和节点，以最小化总运输成本；也可以使用线性规划模型来决定在不同节点上的仓库和货物库存量，以满足客户的需求。

3.航班调度问题

一家航空公司需要制定最佳航班调度计划，以最大化航班利润并排除延误风险。运筹学可以通过数学模型和算法，帮助航空公司优化航班调度。例如，可以使用线性规划模型来决定不同航班的起降时间和机型，以最大化航班利润；也可以使用排队论模型来评估航班的延误风险，并制定相应的调度策略。 4.人员调度问题

一家超市需要制定最佳的员工调度计划，以最大化服务质量和节约人力成本。运筹学可以通过数学模型和算法，帮助超市优化员工调度。例如，可以使用整数规划模型来决定不同时间段需要多少员工，并考虑员工的技能匹配和工作时间的合理安排；也可以使用模拟仿真方法来评估不同调度策略的效果，并做出相应的决策。

以上是几个简单的运筹学实际应用案例，运筹学在实际生产和管理中有着广泛的应用。通过数学模型和算法的应用，可以帮助企业优化资源配置、提高效率和决策质量，从而实现最佳的经济效益。

1 1.问题的提出

调和油又称高合油，它是根据使用需要，将两种以上经精炼的油脂（香味油除外）按比例调配制成的食用油。其原料常选用精炼大豆油、菜籽油、花生油、葵花籽油、棉籽油等，还可配有精炼过的米糠油、玉米胚油、油茶籽油、红花籽油、小麦胚油等特种油酯。

调和油是是目前市场上比较常见的食用油类之一，以其油色澄清、透明，味道香醇可口，营养较纯种食用油更加丰富均衡，逐渐成为市场上的主流。

在调和油制作成本上，厂家可根据配方，以一定的加工工艺将几种油脂混合配制，取代了传统的纯种油脂，从而大大降低了成本和市面价格，更加迎合消费者追求“物美价廉”的消费心理，为企业带来了效益。

但在调和油的生产过程中，伴随着原料的采购、贮存、加工，都必然要有一定资金和设备上的投入。当然，除了这些必须具备的，以为了保证调和油质量的程序外，如何降低相关原料和设备所受社会和市场因素引起的价格升高，原料过长时间保养带来的负经济利润，从而实现企业生产成本降低，成为生产厂家不得不考虑的一个问题。

2.问题分析

在上述的问题中，存在着一个不争的事实。价格会随着社会和市场的因素的影响而产生变化，其关系即为“经济函数”（通过广泛地进行市场调查并且采集足够的统计资料，分析确定各宗经济变量之间的函数关系）。而大量低价采购原料又会带来贮存和保鲜方面成本的升高。相应关系式可概括为：生产成本=原料价格*数量+贮存保鲜费用+加工费（加工成本+工人工资）+机器折损费+产品维护费用。

3.题目要求

食油厂精炼两种类型的原料油——菜籽油和花生油，并将精制油混合得到一种调和油产品。生产流程如下图所示：

菜籽油原料油来自两个产地，而花生原料油来自另外三个产地。据预测，这5种原料油的价格从一至六月分别为：

菜籽油精練生產線

花生油精練生產線 混合 成品調和油 菜籽油1儲罐

菜籽油2儲罐

花生油1儲罐

花生油2儲罐

花生油3儲罐 菜籽油1採購

菜籽油2採購

花生油1採購

线性规划的应用

线性规划是运筹学中一个重要分支，它是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。如：经济管理、交通运输、工农业生为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。

线性规划作为运筹学的一个研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的重要分支，它在日常生活中的典型应用主要有：

1合理利用线材问题：如何下料使用材最少

2配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润

3投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大

4产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大

5劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要

6运输问题：如何制定调动方案，使总运费最小

其实，也就是说，线性规划在运筹学中的研究对象主要是在有一定的人力、财力、资源条件下，如何合理安排使用，效益最高和在某项任务确定后，如何安排人、财、物，使之最省。

例如：

某公司现有三条生产线来生产两种新产品，其主要数据如表1.1所示。请问如何生产可以让公司每周利润最大？

表1 产品组合问题的数据表

生产线 生产单位产品所需时间 生产线每周可用时间 产品甲 产品乙

一 1 0 4

二 0 2 12

三 3 2 18

单位产品的利润 3 5

此问题是在生产线可利用时间受到限制的情形下寻求每周利润最大化的产品组合问题。

在建立产品组合模型的过程中，以下问题需要得到回答：

（1）要做出什么决策？

（2）做出的决策会有哪些条件限制？

（3）这些决策的全部评价标准是什么？

（1）变量的确定

要做出的决策是两种新产品的生产水平，记x1为每周生产产品甲的产量， x2为每周生产产品乙的产量。一般情况下，在实际问题中常常称为变量（决策变量）。

（2）约束条件

求目标函数极值时的某些限制称为约束条件。如两种产品在相应生产线上每周生产时间不能超过每条生产线的可得时间，对于生产线一，有x1≤4，类似地，其它生产线也有不等式约束。