专题四、动力学中的临界问题.doc

第四章 力和运动的关系小专题5 动力学中临界与极值问题【知识清单】１.临界与极值条件的标志（1）有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；(2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；(3)若题目中有“最大”、“最小”、“至少”、“至多”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点；(4)若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度。

2.动力力学中典型临界条件（1）接触与分离的临界条件： 。

（2）接触面间相对滑动的临界条件： 。

(3)绳子断裂的临界条件： 。

(4)绳子松弛的临界条件： 。

(5)变加速运动过程中速度达到极值时刻的临界条件： 。

【答案】2.（1）接触面间弹力为零（2）静摩擦力达到最大值(3)绳中张力等于它所能承受的最大张力(4)绳中张力为零(5)加速度为零【考点题组】【题组一】物理临界与极值问题1.如图所示，一细线的一端固定于倾角为450的光滑楔形滑块A 上的顶端O 处，细线另一端拴一质量为m=0.2kg 的小球静止在A 上。

若滑块从静止向左匀加速运动时加速度为a 。

(取g=10m/s2.）A ． 当a =5m/s 2时，线中拉力为N 223 B ． 当a =10m/s 2时, 小球受的支持力为N 2C ． 当a =12m/s 2时, 经过1秒钟小球运动的水平位移是6mD ． 在稳定后，地面对A 的支持力一定小于两个物体的重力之和【答案】A【解析】当小球对滑块的压力恰好等于零时，小球所受重力mg 和拉力T 使小球随滑块一起沿水平方向向左加速运动，由牛顿运动定律得小球和滑块共同的加速度为：200/1045tan s m g a ==。

当a=5m/s 2<a 0=10m/s 2时，斜面对小球有支持力，将小球所受的力沿加速度方向和垂直于加速度方向分解，有：Tcos450-Nsin450=ma ，Tsin450+Ncos450=mg ，联立解得：N T 223=，故A 正确；当a=10m/s 2=a 0=10m/s 2时，斜面对小球恰好没有支持力，故N=0，故B 错误；当a=12m/s 2>a 0=10m/s 2时，滑块的位移为m at x 6212==，而小球要先脱离斜面，然后保持与滑块相同的运动状态，故在这1s 内小球运动的水平位移小于6m ，故C 错误；在稳定后，对小球和滑块A 整体受力分析可知，在竖直方向没有加速度，故地面对A 的支持力等于两个物体重力之和，故D 错误。

动力学专题：临界问题一、有关弹力的临界问题——明确弹力变化的特点1. 如图所示，在斜面体上用平行于斜面的轻绳挂一小球，小球质量为m，斜面体倾角为 ，置于光滑水平面上 (g取10m/s2)，求：（1）当斜面体向右匀速直线运动时，轻绳拉力为多大；（2）当斜面体向左加速运动时，使小球对斜面体的压力为零时，斜面体加速度为多大？（3）要使小球对细绳无拉力,求斜面体运动的加速度范围,并说明其方向.（4）若已知α=60°,m=2kg,当斜面体以a=10m/s2向左做匀加速运动时,绳对小球拉力多大?(g取10m/s2) （5）为使小球不相对斜面滑动，斜面体水平向右运动的加速度应不大于______．2.如图示，α=370，β=530，小球质量为m，g=10m/s2:(1)要使三角形ABC不变形，且要使AC中无张力，则系统的加速度是？此时BC中的张力多大？(2)要使三角形ABC不变形，且要使BC中无张力，则系统的加速度是？此时AC中的张力多大？(3)如果小车的加速度水平向左，大小为g，则系统稳定后，小车的运动情况可能是怎样的？两绳中的张力情况分别如何？(4)如果小车的加速度水平向右，大小为g，则系统稳定后，小车的运动情况可能是怎样的？两绳中的张力情况分别如何？(5)如果小车的加速度竖直向上，大小为g，则系统稳定后，小车的运动情况可能是怎样的？两绳中的张力情况分别如何？(6)如果小车的加速度竖直向下，大小为2g，则系统稳定后，小车的运动情况可能是怎样的？两绳中的张力情况分别如何？3.如图所示，车厢内光滑的墙壁上，用线拴住一个重球．车静止时，线的拉力为T，墙对球的支持力为N．车向右作加速运动时，线的拉力为T′，墙对球的支持力为N′，则这四个力的关系应为：T′ T；N′ N．（填>、<或＝）若墙对球的支持力为0，则物体的运动状态可能是或4.一斜面体固定在水平放置的平板车上，斜面倾角为 ，质量为m的小球处于竖直挡板和斜面之间，当小车以加速度a向右加速度运动时，小球对斜面的压力和对竖直挡板的压力各是多少？（如下图所示）5.如图所示，光滑的圆球恰好放存木块的圆弧槽内，它们的左边接触点为A，槽半径为R，且OA与水平面成α角.球的质量为m，木块的质量为M，M所处的平面是水平的，各种摩擦及绳、滑轮的质量都不计.则释放悬挂物P后，要使球和木块保持相对静止，P物的质量的最大值是多少?二、有关斜面上摩擦力的临界问题——物体在斜面上滑动的条件6.如图所示，物体A放存固定的斜面B上，在A上施加一个竖直向下的恒力F，下列说法中正确的有( )(A)若A原来是静止的，则施加力F后，A仍保持静止(B)若A原来是静止的，则施加力F后，A将加速下滑(C)若A原来是加速下滑的，则施加力F后，A的加速度不变(D)若A原来是加速下滑的，则施加力F后，A的加速度将增大7.（09·北京·18）如图所示，将质量为m的滑块放在倾角为θ的固定斜面上。

动力学中的临界问题1．动力学中的临界极值问题在物体的运动状态发生变化的过程中，往往达到某个特定的状态时，有关的物理量将发生突变，此时的状态即为临界状态，相应物理量的值为临界值.若题目中出现 “最大”、“最小”、“刚好”等词语时，往往会有临界值出现．2．发生临界问题的条件(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N ＝0.(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：F T ＝0.(4)加速度最大与速度最大的临界条件：当物体在受到变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合外力最大时，具有最大加速度；合外力最小时，具有最小加速度．当出现速度有最大值或最小值的临界条件时，物体处于临界状态，所对应的速度便会出现最大值或最小值．3.临界问题的解法一般有三种极限法：在题目中如出现“最大”“最小”“刚好”等词语时，一般隐含着临界问题，处理这类问题时，应把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，达到尽快求解的目的． 假设法：临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题．数学方法：将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件．特别提醒临界问题一般都具有一定的隐蔽性，审题时应尽量还原物理情境，利用变化的观点分析物体的运动规律，利用极限法确定临界点，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向．例1如图所示，质量为m 的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为μ，对物体施加一个与水平方向成θ角的力F ，试求：（1）物体在水平面上运动时力F 的值；（2）物体在水平面上运动所获得的最大加速度。

动力学中的临界问题1．当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的状态叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件。

用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键。

2．临界或极值条件的标志（1）有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，表明题述的过程存在着临界点；（2）若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；（3）若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点；（4）若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度。

3．产生临界问题的条件（1）接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N=0。

（2）相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值。

（3）绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是F T=0。

（4）加速度最大与速度最大的临界条件：当物体在受到变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合外力最大时，具有最大加速度；合外力最小时，具有最小加速度。

当出现速度有最大值或最小值的临界条件时，物体处于临界状态，所对应的速度便会出现最大值或最小值。

例1：如图所示，质量均为m的A、B两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于mg的恒力F 向上拉B，运动距离h时，B与A分离，下列说法正确的是( )A．B和A刚分离时，弹簧长度等于原长B．B和A刚分离时，它们的加速度为gC．弹簧的劲度系数等于mg hD．在B和A分离前，它们做匀加速直线运动例2：如图所示，质量为m =1 kg 的物块放在倾角为θ=37°的斜面体上，斜面体质量为M=2 kg ，斜面体与物块间的动摩擦因数为μ=0.2，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F ，要使物块m 相对斜面静止，试确定推力F 的取值范围。

专题：动力学中的临界问题一、什么是临界问题特征：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态关键词：在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件二、临界问题如何处理1.对整体写牛顿第二定律2.把其中任意一个物体隔离写牛顿第二定律3.找出临界条件三、常见的临界问题的类型1.叠加体之间的临界问题（1）假设两物体相对静止，对整体写牛顿第二定律（2）隔离叠放在上面的物体，列牛顿第二定律（3）取临界条件：f=μmg，F=F0（4）此F0就是保持两物体相对静止的最大力F，或者使两物体相对运动的最小力F2.斜面上小球的飞离问题（1）取临界条件N=0，隔离小球，列牛顿第二定律，求出临界加速度a0（2）若加速度超过a0，小球会飞起来，绳子与竖直方向的夹角会发生变化（3）若加速度小于a0，小球对斜面有挤压，重新列牛顿第二定律，计算拉力和支持力（注意a的方向）3.接触与脱离的临界条件：弹力为0.4.加速度最大与速度最大临界条件：当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度．当出现加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值．5.绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是绳上的张力为零．【典型例题剖析】例1：一个质量为m 的小球B ，用两根等长的细绳1、2分别固定在车厢的A 、C 两点，如图所示，已知两绳拉直时，两绳与车厢前壁的夹角均为45°.重力加速度为g ，试求：(1)当车以加速度a 1＝12g 向左做匀加速直线运动时，1、2两绳的拉力的大小；(2)当车以加速度a 2＝2g 向左做匀加速直线运动时，1、2两绳的拉力的大小． 答案 (1)52mg 0 (2)322mg 22mg 例2：如图所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A 的顶端P 处，细线的另一端拴一质量为m 的小球．(1)当滑块至少以多大的加速度向右运动时，线对小球的拉力刚好等于零？ (2)当滑块至少以多大的加速度a 1向左运动时，小球对滑块的压力等于零？ (3)当滑块以a ′＝2g 的加速度向左运动时，线中拉力为多大？思路点拨：①当绳的拉力为0时，加速度由重力和支持力的合力提供． ②当小球对斜面的压力为0时，加速度由绳拉力和重力提供． ③正确受力分析以及找准临界条件是解题关键．甲[解析] (1)对小球受力分析，小球受重力mg 、线的拉力T 和斜面支持力N 作用，如图甲，当T ＝0时有N cos 45°＝mgN sin 45°＝ma解得a ＝g .故当向右加速度为g 时线上的拉力为0.乙(2)假设滑块具有向左的加速度a1时，小球受重力mg、线的拉力T1和斜面的支持力N1作用，如图乙所示．由牛顿第二定律得水平方向：T1cos 45°－N1sin 45°＝ma1，竖直方向：T1sin 45°＋N1cos 45°－mg＝0.由上述两式解得N1＝2m(g－a1)2，T1＝2m(g＋a1)2.由此两式可以看出，当加速度a1增大时，球所受的支持力N1减小，线的拉力T1增大．当a1＝g时，N1＝0，此时小球虽与斜面接触但无压力，处于临界状态，这时绳的拉力为F T1＝2mg.所以滑块至少以a1＝g的加速度向左运动时小球对滑块的压力等于零．丙(3)当滑块加速度大于g时，小球将“飘”离斜面而只受线的拉力和重力的作用，如图丙所示，此时细线与水平方向间的夹角α<45°.由牛顿第二定律得T′cos α＝ma′，T′sin α＝mg，解得T′＝m a′2＋g2＝5mg.[答案](1)g(2)g(3)5mg例3：如图所示，质量分别为m和2m的两物体A、B叠放在一起，放在光滑的水平地面上，若用水平力分别作用在A或B上，使A、B保持相对静止做加速运动，则作用于A、B上的最大拉力F A与F B之比为多少？例4：如图所示,A、B两物块的质量分别为2m和m,静止叠放在水平地面上.A、B间的动摩擦因数为μ,B与地面间的动摩擦因数为12μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g.现对A施加一水平拉力F,要使AB相对运动，则力F的最小值为多少？【课后巩固练习】1．质量为0.1 kg的小球，用细线吊在倾角α为37°的斜面上，如图所示．系统静止时绳与斜面平行，不计一切摩擦．当斜面体向右匀加速运动时，小球与斜面刚好不分离，则斜面体的加速度为( )A ．g sin αB ．g cos αC ．g tan α D.gtan α答案：D2.如图所示，小球A 和B 的质量均为m ，长度相同的四根细线分别连接在两球间、球与水平天花板上P 点以及与竖直墙上的Q 点之间，它们均被拉直，且P 、B 间细线恰好处于竖直方向，两小球均处于静止状态，则Q 、A 间水平细线对球的拉力大小为( )A.22mg B.mg C.3mg D.33mg 答案 C3. 如图所示，质量为M 的框架放在水平地面上，一轻质弹簧上端固定在框架上，下端固定一个质量为m 的小球，小球上下振动时，框架始终没有跳起，当框架对地面压力为零的瞬间，小球的加速度大小为多少？答案M ＋mmg 4.如图所示，在前进的车厢的竖直后壁上放一个物体，物体与壁间的动摩擦因数为μ，要使物体不下滑，车厢前进的加速度至少应为(重力加速度为g ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力)( )A ．μg B.gμC.μg D ．g 答案：B5.如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 、2m 的A 、B 两个物体，A 、B 间的最大静摩擦力为μmg，现用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度运动，则拉力F的最大值为() A．μmg B．2μmgC．3μmg D．4μmg答案：C[要使A、B以同一加速度运动，拉力F最大时，整体具有最大加速度，整体由牛顿第二定律得F＝3ma；此时，A与B间达到最大静摩擦力，对A由牛顿第二定律得μmg＝ma，即a＝μg，则F＝3ma＝3μmg，故选项C正确．]6.如图所示，质量为M的木板，上表面水平，放在水平桌面上，木板上面有一质量为m的物块，物块与木板及木板与桌面间的动摩擦因数均为μ，若要以水平外力F将木板抽出，则力F的大小至少为(设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等)()A．μmg B．μ(M＋m)gC．μ(m＋2M)g D．2μ(M＋m)g答案 D7.如图所示，物体A叠放在物体B上，B置于足够大的光滑水平面上，A、B质量分别为m A ＝6 kg、m B＝2 kg.A、B之间的动摩擦因数μ＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2.若作用在A上的外力F由0增大到45 N，则此过程中()A．在拉力F＝12 N之前，物体一直保持静止状态B．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N时，开始发生相对运动C．两物体从受力开始就有相对运动D．两物体始终不发生相对运动答案 D8.(多选)如图所示，已知物块A、B的质量分别为m1＝4 kg、m2＝1 kg，A、B间的动摩擦因数为μ1＝0.5，A与地面之间的动摩擦因数为μ2＝0.5，设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，g取10 m/s2，在水平力F的推动下，要使A、B一起运动且B不下滑，则力F的大小可能是()A．50 N B．100 NC．125 N D．150 N答案CD9.如图所示，一夹子夹住木块，在力F作用下向上提升，夹子和木块的质量分别为m、M，夹子与木块两侧间的最大静摩擦力均为f。