2014届高考数学一轮复习精品题集之立体几何

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第7章《立体几何》（第5课时）（新人教A版）一、选择题1．(2013·北京海淀区期末)已知平面α、β，直线l，若α⊥β，α∩β＝l，则( ) A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α、β都垂直解析：选D.对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错；对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错；对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错；易知D正确．2．(2012·高考浙江卷)设l是直线，α，β是两个不同的平面( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选B.对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交，故选B.3．(2013·洛阳统考)已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是( )A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β解析：选C.对于选项A，若m∥α，α∩β＝n，则m∥n或m，n是异面直线，所以A 错误；对于选项B，n可能在平面α内，所以B错误；对于选项D，m与β的位置关系还可以是m⊂β，m∥β或m与β斜交，所以D错误；由面面垂直的性质可知C正确．4．(2012·高考浙江卷)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝ 2.将△ABD沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( )A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直解析：选B.对于AB⊥CD，因为BC⊥CD，可得CD⊥平面ACB，因此有CD⊥AC.因为AB＝1，BC＝2，CD＝1，所以AC＝1，所以存在某个位置，使得AB⊥CD.5．(2012·高考安徽卷)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，则根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又因为a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.二、填空题6.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥AP.与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，AC AB7．已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；④若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b.其中正确命题的序号有________．解析：垂直于同一直线的两平面平行，①正确；α⊥β也有可能成立，②错；a、b也可以异面，③错；由面面平行性质知，a∥b，④正确．答案：①④8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)三、解答题9.(2011·高考课标全国卷)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)设PD＝AD＝1，求棱锥D－PBC的高．解：(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝3AD.所以BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，所以BD⊥PD.所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD.(2)如图，作DE⊥PB，垂足为E.已知PD⊥底面ABCD，故PD⊥BC.由(1)知BD⊥AD，因为BC∥AD，所以BC⊥BD.所以BC⊥平面PBD，BC⊥DE.则DE⊥平面PBC，即DE为棱锥D－PBC的高．由PD＝AD＝1知BD＝3，PB＝2.由DE·PB＝PD·BD得DE＝32，所以棱锥D－PBC的高为32.10.(2012·高考安徽卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD 的中点，E是棱AA1上任意一点．(1)证明：BD⊥EC1；(2)如果AB＝2，AE＝2，OE⊥EC1，求AA1的长．解：(1)证明：如图，连接AC，A1C1，相交于点O.由底面是正方形知，BD⊥AC.因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD.又由AA1∩AC＝A，所以BD⊥平面AA1C1C.再由EC1⊂平面AA1C1C知，BD⊥EC1.(2)设AA1的长为h，连接OC1.在Rt△OAE中，AE＝2，AO＝2，故OE2＝(2)2＋(2)2＝4.在Rt△EA1C1中，A1E＝h－2，A1C1＝22，故EC21＝(h－2)2＋(22)2.在Rt△OCC1中，OC＝2，CC1＝h，OC21＝h2＋(2)2.因为OE⊥EC1，所以OE2＋EC21＝OC21，即4＋(h－2)2＋(22)2＝h2＋(2)2，解得h＝32，所以AA1的长为3 2.一、选择题1．(2013·青岛质检)已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m⊂β，则α∥β是l ⊥m的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.充分性：若α∥β，∵l⊥α，∴l⊥β，又m⊂β，∴l⊥m，是充分条件；必要性：如图正方体ABCD－A1B1C1D1，取ABCD 为平面α，ADD1A1为平面β，直线l过点B，B1，直线m过点A，D，则符合条件，但不能推出α∥β，不是必要条件．2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD1，则动点P的轨迹是( )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段解析：选A.连接AC、CB1、AB1(图略)．易证BD1⊥平面AB1C.所以点P的轨迹是线段B1C.二、填空题3．(2013·桂林质检)已知l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题：①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.其中正确命题的序号为________．解析：由于垂直是直线与平面相交的特殊情况，故①正确；由于m、n不一定相交，故②不正确；根据平行线的传递性，故l∥n，又l⊥α，故n⊥α，从而③正确；由l∥m，m ⊥α，n⊥α知m∥n，故l∥n，故④正确．答案：①③④4.(2013·威海质检)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：①点H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③AC1与B1C所成的角是90°.其中正确命题的序号是________．解析：由于ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以A－A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正确；又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正确；因为B1C⊥BC1，AB⊥B1C，且AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABC1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90°.答案：①②③三、解答题5.如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点，求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.证明：(1)在△ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，所以EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，所以直线EF∥平面ACD.(2)在△ABD中，因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.在△BCD中，因为CD＝CB，F为BD的中点，所以CF⊥BD.因为EF⊂平面EFC，CF⊂平面EFC，EF与CF交于点F，所以BD⊥平面EFC.又因为BD⊂平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.。

【全国卷·新课标I ·第19题】如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C ． （1）证明：AC=AB 1；（2）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60°，AB=BC ，求二面角A-A 1B 1-C 1的余弦值．解：（1）∵面BB 1C 1C 为菱形∴BC 1⊥B 1C ，O 为B 1C 和BC 1的中点 ∵AB ⊥B 1C ∴B 1C ⊥面ABC 1令BC 1与B 1C 交于点O ，连接AO ∵AO ⊂面ABC 1 ∴B 1C ⊥AO ∵B 1O=CO∴AO 是B 1C 的中垂线 ∴AC=AB 1（2）因为AO 、BC 1、B 1C 两两互相垂直，以O 为坐标原点，分别以OB 、1OB 、OA 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系令|OB|=1，由AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60°，AB=BC 易得：11B C BC =设向量n =(x ，y ，z )是平面AA 1B 1的一个法向量，则：1113n AB =0n A B=0y z x z ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅-=⎪⎩由此，可取n =(1，3同理可得，平面A 1B 1C 1的一个法向量为：m =(1∴n m 1cos n,m =7|n ||m |7⋅〈〉==⋅1【全国卷·新课标II ·第18题】如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：PB ∥平面AEC ；（2）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，E-ACD 的体积．解：（1）连接BD 交AC 于O ，连接OE∵底面ABCD 为矩形 ∴O 为BD 的中点 ∵E 为PD 的中点 ∴PB ∥OE∵OE ⊂面AEC ，PB ⊄面AEC ∴PB ∥平面AEC （2）∵PA ⊥平面ABCD∴PA ⊥AB ，PA ⊥AD又AB ⊥AD ，即PA 、AB 、AD 两两互相垂直，以z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系∵平面ADE与平面yOz 重合∴可取平面ADE 的一个法向量为n =(1，0，0) 设CD=a，由（a ∴AC =（a ，由∴AE =（0，设向量m =(x ，y ，z )是平面ACE的一个法向量，则m AC=031m AE=02ax y z ⎧⋅=⎪⎨⋅+=⎪⎩ 由此，可取m =(3，，3)∵二面角D-AE-C为60° ∴3n m 1cos n,m =cos602|n ||m |9o ⋅〈〉===⋅ 过点E 作EF ⊥AD 于F ∵PA ⊥平面ABCD ，即PA ⊥平面ACD ∴EF ⊥平面ACD∴EF 是三棱锥E-ACD 的高∴V E-ACD【全国卷·大纲版·第19题】如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC 1=2． （1）证明：AC 1⊥A 1B ；解：（1）∵点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上∴A 1D ⊥平面ABC ∵A 1D ⊂平面ACC 1A 1 ∴平面ACC 1A 1⊥平面ABC ∵∠ACB=90°，即BC ⊥AC ∴BC ⊥平面ACC 1A 1 ∵AC 1⊂平面ACC 1A 1 ∴AC 1⊥BC连接A 1C ，由AC=CC 1知，侧面ACC 1A 1为菱形 ∴AC 1⊥A 1C∵BC 、A 1C ⊂平面A 1BC ∴AC 1⊥平面A 1BC ∵A 1B ⊂平面A 1BC ∴AC 1⊥A 1B（2）过点D 作DF ⊥AB 于F ，连接A 1F∵A 1D ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ∴AB ⊥A 1D ∴AB ⊥平面A 1DF ∴A 1F ⊥AB∴∠A 1FD 是二面角A 1-AB-C 的平面角∵AC=CC 1=2，A 1D ⊥AC在Rt △A 1DA 中，A 1A= CC 1=2ABCD A 1C 1EF【北京市·第17题】如图，正方形AMDE 的边长为2，B 、C 分别为AM 、MD 的中点，在五棱锥P-ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD 、PC 分别交于点G 、H ． （1）求证：AB ∥FG ；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA=AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长PABMCDEFGH解：（1）∵AB ∥DE ，DE ⊂平面PDE且AB ⊄平面PDE ∴AB ∥平面PDE∵平面AFGB ∩平面PDE=FG AB ⊂平面AFGB ，FG ⊂平面PDE ∴AB ∥FG（2）由题知，AP 、AM 、AE 两两互相垂直，以A 为坐标原点，分别以AM 、AE 、AP 为x 轴、y 轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系由AM=AE=PA=2，易得：B （1，0，0），F （0，1，1），C （2，1，0），P （0，0，2）∴BC =（1，1，0），AB =（1，0，0），AF =（0，1，1），PC =（2，1，-2）设向量m =(x ，y ，z )是平面ABF 的一个法向量则m AB=0m AF=0x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅+=⎪⎩ 由此，可取m =(0，1，-1)设直线BC 与平面ABF 所成角为θ，则m BC 1sin cos m,BC =2|m ||BC |2θ⋅=〈〉==⋅∴直线BC 与平面ABF 所成角θ=6π设H （a ，b ，c ），点H 在棱PC 上，不妨PH =k PC ，其中0＜k ＜1∵PC =（2，1，-2），PH =（a ，b ，c -2） ∴（a ，b ，c -2）=k （2，1，-2） ∴a =2k ，b =k ，c =2-2k ∴AH =（2k ，k ，2-2k ）∵m =(0，1，-1)为平面ABF 的一个法向量且AH ⊂平面ABF∴m AH 0⋅= ∴k -2+2k =0，得k =23∴|PH|=2【天津市·第17题】如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD=DC=AP=2，AB=1，点E 为棱PC 的中点． （1）证明：BE ⊥DC ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F-AB-P 的余弦值．解：（1）由题意知，AP 、AB 、AD 两两互相垂直，以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系易得：B （1，0，0），D （0，2，0），C （2，2，0），P （0，0，2）∴DC =（2，0，0）∵E 是PC 的中点 ∴E （1，1，1） ∴BE =（0，1，1）∵DC ·BE =0 ∴BE ⊥CD （2）∵PB =（-1，0，2），DB =（-1，2，0）设向量m =(x ，y ，z )是平面PBD 的一个法向量则m PB=20m DB=20x z x y ⎧⋅-+=⎪⎨⋅-+=⎪⎩ 由此，可取m =(2，1，1)设直线BE 与平面PBD 所成角为θ，则m BE sin cos m,BE =|m ||BE|6θ⋅=〈〉=⋅∴直线BE 与平面PBD（3）点F 在PC 上，不妨设PF =k PC ，其中0≤k ≤1设F （a ，b ，c ），由PC =（2，2，-2）得： （a ，b ，c -2）=k （2，2，-2） ∴a =2k ，b =2k ，c =2-2k ∴F （2k ，2k ，2-2k ） ∴BF =（2k -1，2k ，2-2k ） ∵BF ⊥AC ，且AC =（2，2，0）∴BF ·AC =0 即2(2k -1)+4k =0，得14k =∴AF =（2k ，2k ，2-2k ）=（12，12，32） 又AB =（1，0，0）设向量n =(x ，y ，z )是平面ABF 的一个法向量则n AB=0113n AF=0222x x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅++=⎪⎩ 由此，可取n =(0，3，-1)因为平面ABP 与平面xOz 重合，则可取平面ABP 的一个法向量为t =（0，1，0）n t cos n,t =|n||t |101⋅〈〉=⋅⋅∴二面角F-AB-P【重庆市·第19题】如图，四棱锥P-ABCD ，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB=2，∠BAD=3π，M 为BC 上的一点，且BM=12，MP ⊥AP ． （1）求PO 的长；（2）求二面角A-PM-C 的正弦值解：（1）连接BD 、AC∵底面ABCD 是菱形，中心为O 且PO ⊥底面ABCD ∴OP 、AC 、BD 两两互相垂直以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OP 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系由AB=2，∠BAD=3π，易得A ，C （，B （0，1，0） ∴BC =（- ∵BM=12，BC=2 ∴BM - ∴M （设P（0，0，a ），则AP =（-，MP =∵AP ⊥MP∴=-3∴a =（2）由(1)知：AP =（-，MP =（3 设向量n =(x ，y ，z )是平面APM 的一个法向量则n AP=3033n MP=04z x y ⎧⋅-+=⎪⎪⎨⎪⋅-=⎪⎩由此，可取n =(1，52)同理可得，平面CPM 的一个法向量为： m=(1-2)∴n m cos n,m =|n ||m |40⋅〈〉==⋅∴二面角A-PM-C【江苏省·第16题】如图，在三棱锥P-ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，已知PA ⊥AC ，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA ∥平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC解：（1）∵D 、E 分别是PC 、AC 的中点∴PA ∥DE∵DE ⊂平面DEF ，PA ⊄平面DEF ∴直线PA ∥平面DEF（2）∵D 、E 分别是PC 、AC 的中点∴DE=12PA=3 ∵E 、F 分别是AC 、AB 的中点 ∴EF=12BC=4 ∵DF=5 ∴DE 2+EF 2=DF 2∴∠DEF=90°，即DE ⊥EF ∵DE ∥PA ，PA ⊥AC ∴DE ⊥AC∵AC∩EF=E ∴DE ⊥平面ABC ∵DE ⊂平面BDE ∴平面BDE ⊥平面ABCPACDEF【浙江省·第20题】如图，在四棱锥A-BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，（1）证明：DE ⊥平面ACD； （2）求二面角B-AD-E 的大小解：（1）在直角梯形BCDE 中，易求得∵在△ABC 中，∴AB 2+BC 2=AB 2∴∠ACB=90°，即AC ⊥BC∵平面ABC ⊥平面BCDE 且AC ⊂平面ACD ∴AC ⊥平面BCDE ∵DE ⊂平面BCDE∴AC ⊥DE∵∠CDE=90° ∴DE ⊥CD ∵CD ⊂平面ACD ∴DE ⊥平面ACD（2）由题，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系易得E （1，0，0），B （1，1，0），A （0，2∴DE = （1，0，0），DA =（0，2DB = （1，1，0）设向量n =(x ，y ，z )是平面ADE 的一个法向量则n DE=0n DA=20x y ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 由此，可取n =(0，-1同理可得，平面ADB 的一个法向量为：m =(1，-1∴n m cos n,m=|n ||m |3⋅〈〉==⋅⋅∴二面角B-AD-E【山东省·第17题】如图，在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M 是线段AB 的中点．（1）求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；1解：（1）连接AD 1.∵M 是线段AB 的中点，AB=2 ∴AM=1∵C 1D 1=CD=1 ∴C 1D 1=AM ∵AM ∥CD ，CD ∥C 1D 1∴C 1D 1∥AM∴四边形AM C 1D 1是平行四边形 ∴C 1M ∥AD 1∵C 1M ⊄平面A 1ADD 1，AD 1⊂平面A 1ADD 1 ∴C 1M ∥平面A 1ADD 1（2）过点C 作CE ⊥AB 于E ，则CE ⊥CD∵CD 1⊥平面ABCD∴CD 1⊥CD ，CD 1⊥CE以C 为坐标原点，分别以CD 、CE 、1CD 为x轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系由由∠DAB=60°，AB=2CD=2，在等腰梯形ABCD22∴MD =（11=（1，设向量n =(x ，y ，z )是平面C 1D 1M 的一个法向量则111n C D =01n MD =02x x y ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 的一个法向量为m =∴n m cos n,m =|n ||m |5⋅〈〉==⋅⋅∴平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角的余弦值为【江西省·第20题】如图，四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ． （1）求证：AB ⊥PD ；（2）若∠BPC=90°，PC=2，问AB 为何值时，四棱锥P-ABCD 的体积最大？并求此时平面BPC 与平面DPC 夹角的余弦值．解：（1）∵底面ABCD 是矩形 ∴AB ⊥AD∵平面PAD ⊥平面ABCD 平面PAD ∩平面ABCD=AD ∴AB⊥平面PAD∵PD ⊂平面PAD ∴AB ⊥PD（2）∵∠BPC=90°，PC=2∴过点P 作PO ⊥AD 于O∵平面PAD ⊥平面ABCD ∴PO ⊥平面ABCD ∴V P-ABCD 过点O 作OE ⊥AD 交BC 于E ，连接PE设AB=x ，则OE=x 由前述，可建立如图所示的空间直角坐标系3∴PB =（6，BC =（-PD =（-2，DC = （0，设向量n =(x ，y ，z )是平面PBC 的一个法向量则n BC=606n PB=0x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩由此，可取n =(0，1，1)同理可得，平面PDC 的一个法向量为：∴n m cos n,m =|n ||m |2⋅〈〉=⋅∴平面BPC 与平面DPC【广东省·第18题】如图，四边形ABCD 为正方形．PD ⊥平面ABCD ，∠DPC=30°，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E ．（1）证明：CF ⊥平面ADF ； （2）求二面角D-AF-E 的余弦值．解：（1）∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD∴AD ⊥PD∵四边形ABCD 为正方形 ∴AD ⊥CD ∵PD 、CD ⊂平面PCD ∴AD ⊥平面PCD∵CF ⊂平面PCD ∴CF ⊥AD ∵AF ⊥PC ，即CF ⊥AF 且AD 、AF ⊂平面ADF ∴CF ⊥平面ADF（2）因为PD 、CD 、AD 两两互相垂直，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设正方形ABCD 的边长为1，则AD=CD=1 ∴A （0，0，1），则DA =（0，0，1）由(1)知，DF ⊥PC ，在Rt △PDC 中，由∠DPC=30°，444∴EF =（0，，AE =（3DF =（34）设向量n =(x ，y ，z )是平面AEF 的一个法向量则3n EF=043n AE=0y x z ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅-=⎪⎩ 由此，可取n =(4，0同理可得，平面ADF 的一个法向量为：m =(31，0)∴n m cos n,m =|n ||m |19⋅〈〉==⋅∴二面角D-AF-E【湖南省·第19题】如图，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC∩BD=O ，A 1C 1∩B 1D 1=O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形． （1）证明：O 1O ⊥底面ABCD ；（2）若∠CBA=60°，求二面角C 1-OB 1-D 的余弦值解：（1）∵四边形ACC 1A 1为矩形∴A 1A ⊥AC由题知，四边形ABCD 和A 1B 1C 1D 1是菱形 ∴点O 是AC 、BD 的中点 点O 1是A 1C 1、B 1D 1的中点 ∴OO 1∥A 1A ∴OO 1⊥AC 同理可证：OO 1⊥BD ∵AC 、BC ⊂底面ABCD ∴O 1O ⊥底面ABCD （2）∵底面ABCD 是菱形∴AC ⊥BD由（1）知，AC 、BD 、O 1O 两两互相垂直 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。

1.【2014高考安徽卷理第7题】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A.21+3B.18+3C.21D.18考点：多面体的三视图与表面积.2. 【2014高考北京版理第7题】在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A ．123S S S ==B ．21S S =且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠考点：三棱锥的性质，空间中的投影，难度中等.3. 【2014高考福建卷第2题】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱4. 【2014高考广东卷理第7题】若空间中四条直线两两不同的直线1l 、2l 、3l 、4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是（ ）A.14l l ⊥B.14//l lC.1l 、4l 既不平行也不垂直D.1l 、4l 的位置关系不确定5. 【2014高考湖南卷第7题】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A.1B.2C.3D.46.【2014高考安徽卷理第8题】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有（）A.24对B.30对C.48对D.60对考点：1.直线的位置关系；2.异面直线所成的角.O-中，一个四面体的7.【2014高考湖北卷理第5题】在如图所示的空间直角坐标系xyz顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②【答案】D【解析】试题分析：设)2,2,2(),1,2,1(),0,2,2(),2,0,0(D C B A ，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.考点：空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，正视图与俯视图面积，容易题.8. 【2014高考湖北卷理第8题】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.227 B.258 C.15750 D.3551139. 【2014高考江苏卷第8题】 设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为12,S S ，体积为12,V V ，若它们的侧面积相等且1294S S ，则12V V 的值是 .【考点】圆柱的侧面积与体积．10. 【2014江西高考理第5题】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）【答案】B【解析】试题分析：俯视图为几何体在底面上的投影，应为B 中图形.考点：三视图11. 【2014江西高考理第10题】如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）【答案】C【解析】试题分析：12. 【2014辽宁高考理第4题】已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥13. 【2014辽宁高考理第7题】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．82π-B ．8π-C ．82π-D ．84π-14. 【2014全国1高考理第12题】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）（A ）62 （B ）6 （C ）62 （D ）4【考点定位】三视图．15.【2014全国2高考理第6题】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A. 1727 B.59 C.1027D.1316. 【2014全国2高考理第11题】直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） A. 110 B. 25C.3010D.22 17.【2014山东高考理第13题】 三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V =________.18. 【2014四川高考理第8题】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（ ） A ．3[,1]3 B ．6[,1]3 C ．622[,]33 D ．22[,1]319. 【2014浙江高考理第3题】某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm答案：Ｄ解析：有三视图可知，此几何体如下图，故几何体的表面积为1S=⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=，故选D．246234363334352341382考点：三视图,几何体的表面积.20.【2014重庆高考理第7题】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.54B.60C.66D.72【答案】B【解析】试题分析：21. 【2014陕西高考理第5题】已知底面边长为1，侧棱长为2则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π22. 【2014天津高考理第10题】已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_______3m ．23. 【2014大纲高考理第8题】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π【答案】A ．24.【2014大纲高考理第11题】已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 （ ）A．14B．24C．34D．12【答案】B.。

17.（朝阳区2011本小题共13分）在长方形,42,AA 111==AA AB B B 中1,C C 分别是11,B A AB 的中点（如图1），将此长方形沿1CC 对折，使二面角B CC A --11为直二面角，D ，E 分别是111,CC B A 的中点（如图2）．(I)求证：//1D C 平面;1BE A(Ⅱ)求证：平面⊥BE A 1平面;11B B AA (Ⅲ)求直线1BC 与平面BE A 1所成角的正弦值．16.（朝阳区2011本小题共13分）如图，在四棱雉P- ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且=∠=∠PAD ABC BC AD ,//,90 侧面PAD ⊥底面ABCD.若BC AB PA ==.21AD =(I)求证：CD ⊥平面PAC ．(Ⅱ)侧棱PA ⊥是否存在点E ，使得BE∥平面PCD? 若存在，指出点E 的位置并证明；若不存在，请说明理由．(Ⅲ)求二面角A-PD-C 的余弦值．16．（朝阳区2012本小题共14分）在长方体1111D C B A ABCD -中，1AA ,2==AD 点E 在棱CD上，且.31CD CE =(I)求证：.111D B A AD 平面⊥(Ⅱ)在棱1AA 上是否存在点P ，使DP∥平面?1AE B 若存在，求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由．(Ⅲ)若二面角11A E B A --的余弦值为,630求棱AB 的长17.（朝阳区2012本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，AE ⊥平面,4,//,=AB AB EF ABCD .1,2==EF AE(I)若点M 在线段AC 上，且满足,41CA CM =求证：EM ／／平面FBC; (Ⅱ)求证：AF ⊥平面EBC;(Ⅲ)求二面角A-FB-D 的余弦值．17．（朝阳区2012本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，⊥=∠EB ABD ,90 平面ABCD ，,3,2,//==EB AB AB EF ,13,1==BC EF 且M 是BD 的中点．(I)求证；E M∥平面ADF.(Ⅱ)求二面角D-AF-B 的大小．(Ⅲ)在线段EB 上是否存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为?30若存在，求出BP 的长度；若不存在，请说明理由． 16.（朝阳区2013本小题共14分）如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，H G F EA PD AD PD EA ,,,22,//===分别为PB ，EB ，PC 的中点． （I ）求证：FG∥平面PED.(Ⅱ)求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小．(Ⅲ)在线段PC 上是否存在一点M ，使直线FM 与直线PA 所成的角为?60若存在，求出线段PM 的长； 若不存在，请说明理由．17．（朝阳区2013本小题共14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且.2,==⊥AD PA AC PA 四边形ABCD 满足,//AD BC ,AD AB ⊥.1==BC AB 点E ，F 分别为侧棱PB ，PC 上的点，且.λ==PCPFPB PE (I)求证：EF//平面PAD.(Ⅱ)当21=λ时，求异面直线BF 与CD 所成角的余弦值． (Ⅲ)是否存在实数λ，使得平面AFD ⊥平面PCD?若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．16．（东城区2011本小题共13分）如图，四棱锥P-ABCD 的底面是菱形，,2,60====∠PD PB AD BCDAC P,3C = 与BD 交于点0．E ，H 分别为PA ，OC 的中点． (I)求证：PC∥平面BDE; (Ⅱ)求证：PH ⊥平面ABCD ；(Ⅲ)求直线CE 与平面PAB 所成角的正弦值．16.（东城区2011本小题共14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，E D AC AB 、,5==分别为1,BB BC 的中点，四边形11BCC B 是边长为6的正方形．(I)求证：//1B A 平面;1D AC (Ⅱ)求证：;1D AC CE 平面⊥ (Ⅲ)求二面角D AC C --1的余弦值．17.（东城区2012本小题共14分）如图，在菱形ABCD 中，,60 =∠DAB E 是AB 的中点，MA ⊥平面ABCD ，且在矩形ADNM 中，⋅==773,2AM AD（I ）求证：AC ⊥BN ；(Ⅱ)求证：AN∥平面MEC;(Ⅲ)求二面角M-EC-D 的大小．17.（东城区2012本小题共13分）如图，矩形AMND 所在的平面与直角梯形MBCN 所在的平面互相垂直，⊥MN NC MB ,//.3,4,2,,===⊥DN MB BC CB MC MB 且(I)求证：AB//平面DNC;(Ⅱ)求二面角D-BC-N 的余弦值．17.（东城区201本小题共13分）如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且满足FC AE =.1==CP 将△AEF 沿EF 折起到△AEF 的位置，使二面角B EF A --1成直二面角，连接 P A B A 11,（如图2）． (I)求证：⊥E A 1平面,BEP ；(Ⅱ)求直线F A 1与平面BP A 1所成角的大小．17.（东城区2013本小题共14分）如图，△BCD 是等边三角形，=AB ,90, =∠BAD AD 将△BCD沿BD 折叠到D BC /∆的位置，使得./B C AD ⊥ (I)求证：;/AC AD ⊥(Ⅱ)若M ，N 分别是B C BD /,的中点，求二面角N-AM -B 的余弦值．17.（东城区普通高中示范校2012本小题共13分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD是直角梯形，⊥=∠AD BC AD DAB ,//,90侧面PAB ，△PAB 是等边三角形，,21,2AD BC AB DA ===E 是线段AB 的中点． (I) 求证：PE ⊥CD ；(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD 的体积；(Ⅲ)试问：线段PB 上是否存在点F ，使二面角C-DE-F 的余弦值为?41若存在，确定点F 的位置；若不存在，请说明理由．17．（东城区普通高中示范校2013本小题共13分）在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面===PD BC AB ABCD ,2,1,F 3、，G 分别为AP 、CD 的中点．(I)求证：.PC AD ⊥ (Ⅱ)求证：FG∥平面BCP.(Ⅲ)线段AD 上是否存在一点R ，使得平面BPR ⊥平面PCB?若存在，求出AR 的长；若不存在，请说明理由.17.（东城区普通高中示范校2013本小题共14分）如图，在三棱锥S-ABC 中，侧面SAC 与底面ABC 垂直，E ，0分别是SC ，AC 的中点，SC SA =.90,21,2 =∠=∠==ACB ASC AC BC (I)求证：OE∥平面SAB.(Ⅱ)若点F 在线段BC 上，问：无论F 在BC 的何处，是否都有OE ⊥SF?请证明你的结论． (Ⅲ)求二面角B-AS-C 的平面角的余弦值．17.（丰台区2011本小题共13分）已知平行四边形ABCD 中，,6=AB E BD AD ,8,10==是线段AD 的中点，沿BD 将△BCD 翻折到BCD ∆的位置，使得平面⊥BCD 平面ABD ． (I)求证：⊥CD 平面ABD ；(Ⅱ)求直线BD 与平面BEC 所成角的正弦值； (Ⅲ)求二面角C BE D --的余弦值．16．（丰台区2011本小题共 14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，,90,// =∠ADC BC AD 平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA .3,121,2=====CD AD BC PD (I)若点M 是棱PC 的中点，求证：PA∥平面BMQ ； (Ⅱ)求证：平面PQB ⊥平面PAD ；(Ⅲ)若二面角,30 为C BQ M --设,tMC PM =试确定t 的值．17．（丰台区2012本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面,//,C AB EF D AB,2,90==∠AD BAF ,12===EF AF AB 点P 在棱DF 上．(I)若P 是DF 的中点，(i)求证：BF∥平面ACP ；(ii)求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值．(Ⅱ)若二面角D-AP-C 的余弦值为,36求PF 的长度．16．（丰台区2012本小题共14分）四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，=∠BCDE PD PA ,2,60== 是BC 的中点，点Q 在侧棱PC 上．(I)求证：AD ⊥PB ；(Ⅱ)若Q 是PC 的中点，求二面角E-DQ-C 的余 弦值； (Ⅲ)若.λ=PCPQ当PA∥平面DEQ 时，求λ的值， 17．（丰台区2013本小题共13分）如图(1)，等腰直角三角形ABC 的底边AB=4，点D 在线段AC 上，DE ⊥AB 于点E ，现将 △ADE 沿DE 折起到△PDE 的位置如图(2)．（I ）求证：PB ⊥DE;(Ⅱ)若PEIBE ，直线PD 与平面PBC 所成的角为,30 求PE 的长．16.（丰台区2013本小题共14分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD1平面,//,MD NB ABCD 且.2,1==MD NB（I ）求证：AM//平面BCN ；(Ⅱ)求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；(Ⅲ)若E 为直线MN 上的一点，且平面ADE ⊥平面MNMEMNC 求,的值．17．（海淀区2011本小题共14分）如图，四棱锥P-ABCD 的底面是直角梯形，AB∥CD，AB ⊥AD ，△PAB和△PAD 是两个 边长为2的正三角形，DC=4，0为BD 的中点，E 为PA 的中点． (I)求证：P0⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求证：OE∥平面PDC;(Ⅲ)求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值．16.（海淀区2011期中本小题共14分）在如图所示多面体中，EF ⊥平面,//,,EF AD EB AE AEB ⊥EF AD BC BC EF ,42,//==G BE AE ,2,3===是BC 的中点．(I) 求证：AB∥平面DEG;(Ⅱ)求证：BD ⊥EG;(Ⅲ)求二面角C-DF-E 的余弦值．17.（海淀区2012本小题共14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，E AA AC AB BAC ,2,901====∠ 是BC 中点．(I)求证：//1B A 平面;1AEC(Ⅱ)若棱1AA 上存在一点M ，满足,11E C M B ⊥求AM 的长； (Ⅲ)求平面1AEC 与平面11A ABB 所成锐二面角的余弦值16.（海淀区2012本小题共14分）如图所示，PA ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙0上，,2,30.===∠AB PA CBA点E 为线段PB 的中点，点M 在AB 上，且.//AC OM(I) 求证：平面MOE//平面PAC; (Ⅱ)求证：平面PAC ⊥平面PCB ；(Ⅲ)设二面角M-BP-C 的大小为θ，求θcos 的值，16．（海淀区2012本小题共14分）在四棱锥P-ABCD 中，AB CD AB ,//,22,4,==⊥AD AB AD ⊥=PA CD ,2平面ABCD ，.4=PA(I)设平面 PAB平面,m PCD =求证：;//m CD(Ⅱ)求证：BD ⊥平面PAC ；(Ⅲ)设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC 所成角的正弦值为,33求PBPQ 的值，17．（海淀区2013本小题共14分）如图1，在直角梯形ABCD 中，ABC ∠,90 =∠=DAB ,30 =∠CAB .4,2=⋅=AD BC把△DAC 沿对角线AC 折起到△PAC 的位置，如图2所示，使得点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上，连接PB ，点E ，F 分别为线段PA ，AB 的中点． (I)求证：平面EFH∥平面PBC.(Ⅱ)求直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值．(Ⅲ)在棱PA 上是否存在一点M ，使得M 到点P ，H ，A,F 的距离相等？请说明理由．17.（石景山区2011本小题共14分）在棱长为2的正方体-D .ABC 1111D C B A 中，E ，F 分别为111CC D A 和的中点．(I)求证：EF∥平面⋅1ACD(Ⅱ)求异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值．(Ⅲ)在棱1BB 上是否存在一点P ，使得二面角--AC P B 的大小为?30若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．17．（石景山区2012本小题共14分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，⋅⊥1AA 平面,2,,==⊥AC BC AC BC ABCD 3,AA 1=为AC 的中点．(I)求证：//1AB 平面⋅1BDC (Ⅱ)求二面角C BD c --1的余弦值．(Ⅲ)在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得CP ⊥平面?1BDC请证明你的结论．17.（石景山区2013本小题共14分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥⊥=∠-PD ABC BC AD ABCD P ,90,//, 中 平面.4,3,1,===BC AB AD ABCD（I ）求证：BD ⊥PC;(Ⅱ)求直线AB 与平面PDC 所成角的大小；(Ⅲ)设点E 在棱PC 上，,λ=若DE//平面PAB,求λ的值．16.（西城区2011本小题共13分）如图，已知菱形ABCD 的边长为6，.,60O BD AC BAD ==∠ 将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，使,23=BD 得到三棱锥B-ACD.(I)若点M 是棱BC 的中点，求证：OM∥平面ABD ；(Ⅱ)求二面角A-BD-O 的余弦值；(Ⅲ)设点N 是线段BD 上一个动点，试确定N 点的位置，使得,24=CN 并证明你的结论，17．（西城区2011本小题共13分）如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面BE AF DE DE AF ABCD ,3,//,=与平面ABCD 所成角为.60(I)求证：AC ⊥平面BDE;(Ⅱ)求二面角F-BE-D 的余弦值；(Ⅲ)设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM//平面BEF ，并证明你的结论．16.（西城区2012本小题共14分）如图，四棱锥P- ABCD 中，底面ABCD 为正方形，⊥=PA PD PA ,平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（I ）求证：PB//平面EAC;(Ⅱ)求证：平面PAD ⊥平面ABCD;(Ⅲ)求二面角E-AC-B 的余弦值．16.（西城区2012本小题共14分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．⊥AB CD AB ,//.,22BC,EB EA BC CD AB ⊥==(I)求证：.DE AB ⊥(Ⅱ)求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值．(Ⅲ)线段EA 上是否存在点F ，使EC∥平面FBD?若存在，求出;EAEF 若不存在，说明理由．17.（西城区2012本小题共14分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，.,60FC FA DBF DAB ==∠=∠且(I)求证：AC ⊥平面BDEF;(Ⅱ)求证：FC//平面EAD;(Ⅲ)求二面角A-FC-B 的余弦值．17.（西城区2013本小题共14分）如图(1)，四棱锥P 一ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一 点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图(2)所示．(I)证明：BC ⊥平面PBD.(Ⅱ)证明：AM∥平面PBC.(Ⅲ)线段CD 上是否存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43?若存在，找到所有符合要求的点N ， 并求CN 的长；若不存在，说明理由，16.（2009年北京本小题共14分）如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面,90,60,, =∠=∠=BCA ABC AB PA ABC点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE//BC.(I)求证：BC ⊥平面PAC;(Ⅱ)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的大小；(Ⅲ)是否存在点E 使得二面角A -DE -P 为直二面角？并说明理由．16．（2010年北京本小题共14分）如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直．A EF AC CE //,⊥CE AB ,2=.1==EF(I) 求证：AF∥平面BDE;(Ⅱ)求证：CF ⊥平面BDE;(Ⅲ)求二面角A-BE-D 的大小．16．（（2011年北京本小题共14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，.60,2 =∠=BAD AB(I)求证：BD ⊥平面PAC;(Ⅱ)若PA=AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值；(Ⅲ)当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长．16.（2012年北京本小题共14分）如图①，在Rt△ABC 中，BC C ,90 =∠E D AC ,,6,3==分别是AC ，AB 上的点，且,//BC DE ,2=DE 将△ADE 沿DE 折起到DE A 1∆的位置，使,1CD C A ⊥如图②． (I)求证：⊥C A 1平面BCDE;(Ⅱ)若M 是D A 1的中点，求CM 与平面BE A 1所成角的大小；(Ⅲ)线段BC 上是否存在点P ，使平面DP A 1与平面BE A 1垂直？说明理由．17.（2013年北京本小题满分14分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，四边形C C AA 11是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面.5,3,11==BC AB C C AA(I)求证：;1ABC AA 平面⊥(Ⅱ)求二面角111B BC A --的余弦值；(Ⅲ)证明：在线段1BC 上存在点D ，使得,1B A AD ⊥并求1BC BD 的值．。

第7讲 立体几何中的向量方法（一）A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(2,4，－4)，b ＝(－6,9,6)，则 ( )． A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1与l 2相交但不垂直D ．以上均不正确答案 B2．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是 ( )． A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析 若l ∥α，则a·n ＝0.而A 中a·n ＝－2，B 中a·n ＝1＋5＝6，C 中a·n ＝－1，只有D 选项中a·n ＝－3＋3＝0. 答案 D3．平面α经过三点A (－1,0,1)，B (1,1,2)，C (2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，－1 B ．(6，－2，－2) C ．(4,2,2)D ．(－1,1,4)解析 设平面α的法向量为n ，则n ⊥AB →，n ⊥AC →，n ⊥BC →，所有与AB →(或AC →、BC →)平行的向量或可用AB →与AC →线性表示的向量都与n 垂直，故选D. 答案 D4．(2012·全国)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 ( )．A ．2B. 3C. 2D ．1解析 连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，过点O 作OH ⊥AC 1于点H ，因为AB ＝2，所以AC ＝22，又CC 1＝22，所以OH ＝2sin 45°＝1. 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝________. 解析 由已知得89＝a·b |a ||b |＝2－λ＋45＋λ2·9，∴85＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝255. 答案 －2或2556．在四面体P ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，设P A ＝PB ＝PC ＝a ，则点P 到平面ABC 的距离为________．解析 根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P －xyz ，则P (0,0,0)，A (a ，0,0)，B (0，a,0)，C (0,0，a )．过点P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于点H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离． ∵P A ＝PB ＝PC ， ∴H 为△ABC 的外心． 又∵△ABC 为正三角形，∴H 为△ABC 的重心，可得H 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 3，a 3.∴PH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 32＝33a .∴点P 到平面ABC 的距离为33a . 答案 33a三、解答题(共25分)7．(12分)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为BB 1、C 1D 1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN 的一个法向量．解 以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示)．设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1,0,0)， M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. ∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，1.设平面AMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AM →＝y ＋12z ＝0，n ·AN →＝－x ＋12y ＋z ＝0，令y ＝2，∴x ＝－3，z ＝－4.∴n ＝(－3,2，－4)．8．(13分)如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ； (2)AM ⊥平面BDF .证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 设AC ∩BD ＝N ，连接NE .则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E (0,0,1)，A (2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.∴NE →＝AM →且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM . 又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE .(2)由(1)知AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，∵D (2，0,0)，F (2，2，1)， ∴DF →＝(0，2，1) ∴AM →·DF →＝0，∴AM ⊥DF . 同理AM ⊥BF .又DF ∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF .B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )．A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2,4D ．4，407，－15解析 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC →＝(3,1,4)， 则⎩⎨⎧(x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.答案 B2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )．A.216aB.66aC.156aD.153a解析 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )，∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→， ∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z ) ∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3. 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3，∴|MN →|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a . 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．解析 以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，故若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1，0,1)＝0⇒x ＋y ＝1. 答案 14．(2013·淮南模拟)在正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ的有____________个．解析 建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P (x ，y,2)，O (1,1,0)，∴OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，y ＋12，1，又知D 1(0,0,2)，∴Q (x ＋1，y ＋1,0)，而Q 在MN 上，∴x Q ＋y Q ＝3，∴x ＋y ＝1，即点P 坐标满足x ＋y ＝1.∴有2个符合题意的点P ，即对应有2个λ. 答案 2三、解答题(共25分)5．(12分)在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点． (1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论． (1)证明 如图，以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x轴，y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0,0,0)、A (a,0,0)、B (a ，a,0)、C (0，a,0)、E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0、P (0,0，a )、F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2.EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，0，a 2，DC →＝(0，a,0)．∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD .(2)解 设G (x,0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a2，－a 2，z －a 2，若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a,0,0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2；由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a ) ＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0.∴G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，即G 点为AD 的中点．6．(13分)(2012·湖南)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点． (1)证明：CD ⊥平面P AE ；(2)若直线PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P －ABCD 的体积．解 如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设P A ＝h ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (4，3,0)，D (0,5,0)，E (2,4,0)， P (0,0，h )．(1)易知CD →＝(－4,2,0)，AE →＝(2,4,0)，AP →＝(0,0，h )．因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP .而AP ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .(2)由题设和(1)知，CD →·P A →分别是平面P AE ，平面ABCD 的法向量．而PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos 〈CD →，PB →〉|＝|cos 〈P A →，PB →〉|， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·PB →|CD →|·|PB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪P A →·PB →|P A →|·|PB →|. 由(1)知，CD →＝(－4,2,0)，P A →＝(0,0，－h )， 又PB →＝(4,0，－h )，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪－16＋0＋025×16＋h 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0＋0＋h 2h ×16＋h 2. 解得h ＝855.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝13×S×P A＝13×16×855＝128515.。