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概率论与数理统计第四章统计量及其分布（李念伟）第4章统计量及其分布幻灯片2本章转入课程的第二部分数理统计从历史的典籍中，人们不难发现许多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的记载，说明人们很早就开始了统计的工作.但是当时的统计，只是对有关事实的简单记录和整理，而没有在一定理论的指导下，作出超越这些数据范围之外的推断.到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的发展，才真正诞生了数理统计学这门学科.数理统计学是通过收集数据、分析数据并以此对所研究的问题推断出所需结论的科学. 数理统计对数据的分析处理要借助于概率论方法和计算机的计算. 计算机的发展为数据处理提供了强有力的技术支持，这就大大促进了数理统计学的发展.数理统计不同于一般的资料统计，它更侧重于应用随机现象本身的规律性进行资料的收集、整理和分析.然而数理统计所考察的数据都带有随机性(偶然性) 的误差. 这就使得根据这种数据所作出的结论具有不确定性.幻灯片 4由于大量随机现象必然呈现出它的规律性，因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次观察，被研究的随机现象的规律性一定能清楚地呈现出来.4.1 总体与样本一个统计问题总有它明确的研究对象. 我们把所研究对象的全体称为总体.4.1.1 总体与个体总体中包含的每个元素称为个体.如将“一批灯泡的寿命”作为研究对象总体，用X 表示.则灯泡的个数就是总体容量.然而每一个个体在呈现总体共性的同时会呈现出其独有的个性. 随机抽取一支灯泡，其寿命显然不能代表“一批灯泡的寿命”，它只是总体X 的一个取值，因而总体X 是一个随机变量．总体的特征属性必然反映到每一个个体上, 我们通过对个体特征的观测，汇集总体的特征属性.每支灯泡的寿命是由总体寿命X 的分布规律所决定的. 所以对总体的研究就相当于对随机变量X 的研究．X 的分布称为总体分布.幻灯片 6为推断总体的特征，需按一定规则从总体中抽取若干个体进行观测试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为“抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数目称为样本容量.4.1.2 样本样本容量为5.抽取5个灯泡测试寿命由于样本是从总体表示中随机抽取的，抽取前不能预知抽取的结果，即样本也是随机变量，通常表示为12,,,()n X X X n 为样本容量2.独立性：X 1,X 2,…,X n 相互独立.由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为使抽取的样本能很好地反映总体的信息，所以抽样时要使总体中每个个体抽到的机会均等，并且每次抽样的结果不互相影响.这样抽取的样本X 1,X 2,…,X n 满足：1.代表性：样本中每一个X i 都与总体X 的分布相同.这样的样本称为简单随机样本.一旦取得一个样本，就得到的是n 个具体的数据x 1, x 2,…, x n ，称之为样本观测值，简称样本值, 记作(x 1,x 2,…,x n ) .幻灯片 8随机抽样分类1．简单随机抽样：在总体中直接抽取样本.2.分层随机抽样：将总体分类，在不同类中分别抽取样本．3．整群随机抽样：将总体分“块”，将每一块作为一个个体；整块抽样．4．多阶随机抽样：先作整群随机抽样，在抽取得“群体”中再随机抽样.5．系统随机抽样(等距抽样)：将总体随机排序编号，按一定的步长抽样.121(,,,)()nn i i F x x x F x ==∏ 设为取自总体X 的样本，则12,,,n X X X 称为的样本分布函数．12,,,n X X X 对于离散总体X , 其分布列为()()i i i P X x p x ==121(,,,)()nn i i p x x x p x ==∏ 称为的样本分布列．12,,,n X X X 称为的样本密度函数．12,,,n X X X 121(,,,)()nn i i f x x x f x ==∏ 对于连续总体X , 其密度函数为()f x幻灯片 10数理统计具有“部分推断整体”的特征.需要强调说明一点：因此由样本推断总体是“不完全归纳推理”. 它不同于经典数学中的“演绎推理”.即由“条件”并非必然导致“结论”，而我们要做的是使由“条件”导致“结论”的可能性(概率)尽可能大.但客观上我们抽取的样本是有限的，也就是说, 我们获得的只是局部观测资料，它不可能包括研究对象的全部信息. 因而由此作出的推断必然具有一定的片面性.要使由样本推断总体得出的结论可靠性大，就需要对样本进行“加工处理”，即构造一些样本函数，把样本中所含的“有用信息”集中起来.4.2 统计量及其分布4.2.1 统计量与枢轴量定义设是取自总体X 的一个样本，若样本函数g ( )中不包含任何未知参数，则称g ( )为统计量．12,,n X X X 12,,n X X X 12,,n X X X 12(,,)n g x x x 12(,,)n x x x 若是一组样本观测值，则称为统计值.幻灯片 12定义设X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的一个样本, h (X 1,X 2,…,X n ;θ)是含有未知参数θ的样本函数，若h (X 1,X 2,…,X n ;θ)的概率分布已知，则称h (X 1,X 2,…,X n ;θ)为枢轴量.20~(,)X N μσ20σ12,,,n X X X 例1 设总体，其中μ未知，已知，是取自总体的一个样本.11ni i X n =∑2211nii Xσ=∑211()1n ii X n μ=--∑10X nσ-判断统计量和枢轴量.解前两个为统计量，第三个为枢轴量.4.2.2 样本均值与样本方差样本均值样本方差11nii X X n ==∑2211()1n ii S X X n ==--∑它反映了总体均值的信息它反映了总体方差的信息2211()n i i S X X n ==-∑未修正的样本方差幻灯片 14由随机变量X 矩的概念，对于总体X ，若X k 的期望存在(k 为非负整数)，则称E (X k ) 为总体k 阶原点矩. 记作若[X -E (X )]k 的期望存在，则称E [X -E (X )]k为总体k 阶中心矩.记作()k k E X μ=[()]k k E X E X υ=-4.2.3总体矩与样本矩样本k 阶原点矩样本k 阶中心矩11nkiU Xn==∑11()nkk iiV X Xn==-∑k=1,2,…它反映了总体K阶矩的信息它反映了总体K阶中心矩的信息k=1,2,…4.2.3 样本矩幻灯片164.3 抽样分布统计量为样本的函数，由样本是随机变量，故统计量也是随机变量，因而具有概率分布，统计量的分布称为“抽样分布”.抽样分布就是通常的随机变量函数的分布.这一分布取决于统计量的形式. 研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质.4.3.2分布2χ注“自由度”是指能够自由取值的变量的个数.1°X 1, X 2,…,X k 独立, X i ~(n i ),(i=1,2,…,k ),则2χ2121~(...)ki k i X n n n χ=+++∑(2)性质:2°若X~(n ),则有E (X )=n , D (X )=2n 2χ221ni i X χ==∑(1)定义:设独立且同为标准正态分布，则称12,,,n X X X 2χ22~()n χχ服从n 个自由度的分布,记作幻灯片 18(3)的密度函数曲线2()n χ随着n 的增大,曲线逐渐趋于平缓,对称.(n =1)(n =10)xf (x )解(1)2()n χ(2) 由题意得例1(1)设是来自总体的样本,则服从( )分布.12,,,n X X X 2(,)N μσ21()ni i X μσ=-∑(2)设是取自总体N (0,4) 的样本,服从( )分布.1234,,,X X X X 2212340.05(2)0.01(34)X X X X -+-12342~(0,20)34~(0,100)X X N X X N -??-?12340.05(2)~(0,1)0.01(34)~(0,1)X X N X X N ?-??-??2(2)χ即故服从幻灯片 204.3.3 t 分布X T Y n=(1)定义设, 且X ,Y 互相独立,则称2~()Y n χ~(0,1)X N (2) 性质：()0, ()2nE T D T n ==-1°当T ~ t (n )时，2°当n 充分大时，t 分布近似于标准正态分布.~().T t n 服从n 个自由度的t 分布,记作(3)t 分布的密度函数曲线:f (x )x(6)n =(2)幻灯片 22解:91~(0,81),i i X N =∑~(0,1),(1,2,,18),3iX N i = 且181822210101()~(9)39i i i i X Y X χ====∑∑所以1919221018()9~(9)99X X X X U t Y X X++++==++ 19221018X X U X X ++=++ 例2 设随机变量X 服从正态分布，是自总体X 的样本, 则下列统计量服从( )分布.1218,,X X X (0,9)N 与独立,91i i X Y =∑由 9Y ?证明:Z~t (3)11627893221231(),()636()1(),2i i i Y X X Y X X X Y Y Y X X Z Y +==++=++-=-=∑ 证：2212~(,),~(,)63Y N Y N σσμμ212~(0,)2Y Y N σ-122()~(0,1)Y Y N σ-则即例3 设是来总体的样本,19,,X X 2~(,)X N μσ幻灯片 24又232321()~(3)2i i i X X χσ+=-∑233~(0,2),~(0,1)2i i i i X X X X N N σσ++--即则1212233212()6()~(3)()23i i i Y Y Y Y t YX X σσ+=--=-∑定义设0<α<1, 对随机变量X ，称满足αα=>)(x X P 的点为X 的概率分布的上侧分位数. x α故有()1P X x αα=-≤标准正态分布的分位数例如:0.05 1.64u =0.025 1.96u =设X ~ N (0, 1)，为上侧分位数，即对0<α<1,有u α()()1u P X u αααΦ==-则≤u α1α-()P X u αα>=f (x )x幻灯片 262()1P X u αα<=-则有 2u α2u α-2α2α设为标准正态分布的上侧分位数，即2u α2()2P X u αα>=1α-f (x )x例如:20.025(3)9.348χ=20.975(3)0.216χ=2{()}P X n αχα>=即设为分布的上侧分位数2()n αχ2()n χf (x )Ox2()n αχα分布的分位数幻灯片 28对于分布，若取上侧分位数2χ22122(), ()n n ααχχ-此时称为“概率对称”的分位数.22122(), ()n n ααχχ-22{()},2P X n ααχ>=212{()}1,2P X n ααχ->=-使得 xf (x )212()n αχ-22()n αχ2α2α{()}P X t n αα>=即设为t (n )分布上侧分位数，()t n α0.05(6) 1.9432 t =例如 0.025(8) 2.306t =()t n α1α-设为t (n )分布的上侧分位数，2()t n α2{()}2P X t n αα>=即{()}1P X t n αα<=-则有 xf (x )t 分布的分位数幻灯片 30定理1(样本均值的分布)4.3.5 正态总体的抽样分布设X 1,X 2,…,X n 是取自正态总体2(,)N μσ的样本，则有2~(,)X N nσμ~(0,1)X N nμσ-定理2(样本方差的分布)222(1)(1)~(1)n S n χσ--设X 1,X 2,…,X n 是取自正态总体2(,)N μσ的样本,2X S 和分别为样本均值和样本方差,则有2(2).X S 和相互独立222211(1)1()()0.nii nii n S XX XX σσ==-=--=∑∑注：在中，由于受到的限制，故自由度减少一个幻灯片 3222221~();~(1);ni i Z n nZ χχ=∑由 1~(0,1);~(0,)i i X X Z N Z N n μμσσ--==证明：令则2221~(1)ni i Z nZ n χ=--∑则 222221(1)1()()nni i i i X n S X X X μμσσσσ==---=-=-∑∑2.X S 和的独立性利用正交矩阵可证（略）22211()n ni i i i Z Z Z nZ ===-=-∑∑定理3设X 1,X 2,…,X n 是取自正态总体),(2σμN 的样本,2S X 和分别为样本均值和样本方差, 则有~(1)X t n Snμ--22212(1)~(0,1)~(1)X n S N n nμχσσ---证明：由定理和定理，有22~(1)(1)1X X n t n Snn S n μμσσ--=-- -故。
定理2的结果用于计算卡方分布的期望值和方差。
解：让定理2 xedx 4成为随机变量。
尝试证明定理5。
证明：因为，让定理1让总体x服从[0，b]上的均匀分布，并且B是未知的。
尝试找到未知样本值（1.3、0.6、1.7、2.2、0.3、1.1）以找到未知样本，即样本，尝试进行分析：X的概率密度是给定样本值的概率密度，要求使用尽可能小的值，并且最大值应为（相对于给定样本值，如果可能的话）。
最大似然估计方法用于估计总体的未知参数，并且总体θ的概率密度是lnln的样本。
（1）样本方差s的无偏估计。
（2）对于任何α，它也是λ的无偏估计。
解决方案：（1）无偏估计原因。
（2）因为x 是λ的无偏估计，所以它也是λ的无偏估计。
11.对于已知平方差的正常总体，要使总体置信区间的平均值不大于给定正数l的样本大小n是多少？当已知总体的置信区间为-3.0％时，正常解的置信区间为-3.0％，并且已知总体的置信区间为-0.9％。
总体平均值的95％置信区间为315.5％。
因此，正常总体平均值的95％置信区间是样本值，而正常总体平均值的95％置信区间为（-2.751，3.501）。
质量指标数据如下：0.143、0.142、0.143、0.137批次：0.140、0.142、0.136、0.138、0.140。
测试数据独立且未知。
尝试找出95％的置信区间，是否可以认为这两个批次的产品质量存在显着差异？样本值0023的95％置信区间为（-0.002，0.006）。
14.某种容量为100的电子管的寿命样本的标准偏差为45。
给出了这些管的寿命种群（设置为正常种群）的标准偏差σ的95％置信区间。
因为05的95％置信区间为（1566.212747.74），所以标准偏差的95％置信区间为（39.58,52.42）。
15.为了检查两名工人的生产技能的稳定性，在一天中从他们的产品中选择了容量分别为25和15的两个样本，样本的方差计算如下。
让这两个样本来自正常总体，并尝试找到方差。
第四章 随机变量的数字特征一、期望29.设二维随机向量（X，Y ）的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=,,0;x y 0,1x 0,2)y ,x (f 其它且E （X ）=1，则常数x =（ ）21.已知随机变量X 的分布律为则P {X <E （X ）}=____________.20．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0;10,2)(其他x x x f 则E （|X |）=______.7．设随机变量X 服从参数为21的指数分布，则E （X ）=（ ） A.41B.2129.假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X 盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。
问小店应组织多少货源，才能使平均收益最大29.设某型号电视机的使用寿命X 服从参数为1的指数分布（单位:万小时）. 求:（1）该型号电视机的使用寿命超过t （t >0）的概率; （2）该型号电视机的平均使用寿命.19．设随机变量X ～B (8，，Y=2X-5，则E (Y )=______． 求： (1)常数a ,b ; (2)X 的分布函数F (x )； (3)E (X ).二、方差，则D （X ）＝（ ）,且已知E （X ）=，试求：12F （x ）.7.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（ ） （X ）=，D （X ）= （X ）=，D （X ）= （X ）=2，D （X ）=4（X ）=2，D （X ）=28.设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~N （1，4），Y ~N （0，1），令Z=X -Y ，则E （Z 2）=（ ）28．设随机变量X 的概率密度为 ⎩⎨⎧≤≤-=.,x ,cx x f 其他；）（0222试求：（1）常数c ；（2）E （X ），D （X ）；（3）P {|X -E （X ）| < D （X ）}.7．设随机变量X~N （1,22），Y~N （1，2），已知X 与Y 相互独立，则3X-2Y 的方差为（ ） A ．8B ．16C ．28D ．4420.设随机变量X 在区间[0，5]上服从均匀分布，则D （X ）=______________. 21．设E （X 2）=0，则E （X ）=______________.22.已知E （X ）=-1，D （X ）=3，则E （3X 2-2）=____________.E （X ）及D （X ）。
第四章 随机变量的数字特征1．（１）在下列句子中随机地取一个单词，以X表示取到的单词所包含的字母个数，写出X的分布律并求E（X）．“T H E GIRL P U T ON H ER BEA U T IF U L RED H A T”．（２）在上述句子的３０个字母中随机地取一个字母，以Y表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y的分布律并求E（Y）．（３）一人掷骰子，如得６点则掷第２次，此时得分为６＋第二次得到的点数；否则得分为他第一次掷得的点数，且不能再掷，求得分X的分布律及E（X）．解（１）随机试验属等可能概型．所给句子共８个单词，其中含２个字母，含４个字母，含９个字母的各有一个单词，另有５个单词含３个字母，所以X的分布律为X２３４９p k１８５８１８１８数学期望E（X）＝２×１８＋３×５８＋４×１８＋９×１８＝１５４．（２）随机试验属等可能概型，Y的可能值也是２，３，４，９．样本空间S由各个字母组成，共有３０个样本点，其中样本点属于Y＝２的有２个，属于Y＝３的有１５个，属于Y＝４的有４个，属于Y＝９的有９个，所以Y的分布律为Y２３４９p k２３０１５３０４３０９３０数学期望 E（Y）＝２×２３０＋３×１５３０＋４×４３０＋９×９３０＝７３１５．（３）分布律为X１２３４５７８９１０１１１２p k１６１６１６１６１６１３６１３６１３６１３６１３６１３６E（X）＝１×１６＋２×１６＋３×１６＋４×１６＋５×１６＋７×１３６＋８×１３６＋９×１３６ ＋１０×１３６＋１１×１３６＋１２×１３６＝４９１２．2．某产品的次品率为０畅１，检验员每天检验４次．每次随机地取１０件产品进行检验，如发现其中的次品数多于１，就去调整设备．以X表示一天中调整设备的次数，试求E（X）．（设诸产品是否为次品是相互独立的．）解先求检验一次，决定需要调整设备的概率．设抽检出次品件数为Y，则Y～b（１０，０畅１）．记需调整设备一次的概率为p，则p＝P｛Y＞１｝＝１－P｛Y＝０｝－P｛Y＝１｝＝１－０畅９１０－１０１·０畅９９·０畅１＝０畅２６３９．又因各次检验结果相互独立，故X～b（４，０畅２６３９）．X的分布律为X０１２３４p k（１－p）４４p（１－p）３６p２（１－p）２４p３（１－p）p４于是E（X）＝１×４p（１－p）３＋２×６p２（１－p）２＋３×４p３（１－p）＋４×p４＝４p＝４×０畅２６３９＝１畅０５５６．以后将会知道若X～b（n，p），则E（X）＝n p．3．有３只球，４个盒子，盒子的编号为１，２，３，４．将球逐个独立地，随机地放入４个盒子中去．以X表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X＝３表示第１号，第２号盒子是空的，第３个盒子至少有一只球），试求E（X）．解法（i） 由于每只球都有４种放法，由乘法原理共有４３＝６４种放法．其中３只球都放在４号盒中的放置法仅有１种，从而P｛X＝４｝＝１６４．又｛X＝３｝表示事件“１，２号盒子都是空的，而３号盒子不空”．因１，２号盒子都空，球只能放置在３，４号两个盒子中，共有２３种放置法，但其中有一种是３只球都放在４号盒子中，即３号盒子是空的，这不符合X＝３的要求需除去，故有P｛X＝３｝＝２３－１６４＝７６４．88概率论与数理统计习题全解指南同理可得P ｛X ＝２｝＝３３－２３６４＝１９６４，P ｛X ＝１｝＝４３－３３６４＝３７６４．因此E （X ）＝钞４k ＝１kP ｛X ＝k ｝＝２５１６．注：P ｛X ＝１｝也可由１－（P ｛X ＝４｝＋P ｛X ＝３｝＋P ｛X ＝２｝）求得．解法（ii ） 以A i （i ＝１，２，３，４）记事件“第i 个盒子是空盒”．｛X ＝１｝表示事件“第一个盒子中至少有一只球”，因此｛X ＝１｝＝A —１，故P ｛X ＝１｝＝P （A —１）＝１－P （A １）＝１－３４３＝３７６４．（因第一个盒子为空盒，３只球的每一只都只有３个盒子可以放，故P （A １）＝（３／４）３．）｛X ＝２｝表示事件“第一个盒子为空盒且第二个盒子中至少有一只球”，因此｛X ＝２｝＝A １A —２．故P ｛X ＝２｝＝P （A １A —２）＝P （A —２A １）P （A １）＝（１－P （A ２A １））P （A １）＝１－２３３３４３＝１９６４．（因在第一个盒子是空盒的条件下，第二个盒子也是空盒，则３只球都只有２个盒子可以放，故P （A ２A１）＝２３３．）类似地，P ｛X ＝３｝＝P （A １A ２A —３）＝P （A —３A １A ２）P （A ２A １）P （A １）＝１－１２３２３３３４３＝７６４，P ｛X ＝４｝＝１－３７６４－１９６４－７６４＝１６４，因此，E （X ）＝钞４k ＝１kP ｛X ＝k ｝＝２５１６．解法（iii ） 将球编号．以X １，X ２，X ３分别记１号，２号，３号球所落入的盒子的号码数．则X １，X ２，X ３都是随机变量，记X ＝min ｛X １，X ２，X ３｝，按题意，本题需要求的是98第四章 随机变量的数字特征E（X）＝E［min｛X１，X２，X３｝］．因X１，X２，X３具有相同的分布律X j１２３４p k１４１４１４１４因而X１，X２，X３具有相同的分布函数F（z）＝０，z＜１，１４，１≤z＜２，２４，２≤z＜３，３４，３≤z＜４，１，z≥４．于是X＝min｛X１，X２，X３｝的分布函数为：F min（z）＝１－［１－F（z）］３＝１－（１－０）３＝０，z＜１，１－１－１４３＝３７６４，１≤z＜２，１－１－２４３＝５６６４，２≤z＜３，１－１－３４３＝６３６４，３≤z＜４，１－（１－１）３＝１，z≥４．X＝min｛X１，X２，X３｝的分布律为X１２３４p k３７６４１９６４７６４１６４得E（X）＝２５１６．4．（１）设随机变量X的分布律为P X＝（－１）j＋１３j j＝２３j，j＝１，２，…，说明X的数学期望不存在．（２）一盒中装有一只黑球，一只白球，作摸球游戏，规则如下：一次从盒中随机摸一只球，若摸到白球，则游戏结束；若摸到黑球放回再放入一只黑球，然后再09概率论与数理统计习题全解指南从盒中随机地摸一只球．试说明要游戏结束的摸球次数X的数学期望不存在．解（１）因级数钞∞j＝１（－１）j＋１３j j P X＝（－１）j＋１３j j＝钞∞j＝１（－１）j＋１３j j·２３j＝２钞∞j＝１（－１）j＋１j不绝对收敛，按定义X的数学期望不存在．（２）以A k记事件“第k次摸球摸到黑球”，以A k记事件“第k次摸球摸到白球”，以C k表示事件“游戏在第k次摸球时结束”，k＝１，２，…．按题意C k＝A１A２…A k－１A —k，P（C k）＝P（A —k|A１A２…A k－１）P（A k－１|A１A２…A k－２）…P（A２|A１）P（A１）．P｛X＝１｝＝P（A —１）＝１２，P｛X＝２｝＝P（A１A —２）＝P（A —２|A１）P（A１）＝１３·１２，P｛X＝３｝＝P（A１A２A —３）＝P（A —３|A１A２）P（A２|A１）P（A１）＝１４·２３·１２＝１４·１３，X＝k时，盒中共k＋１只球，其中只有一只是白球，故P｛X＝k｝＝P（A１…A k－１A —k）＝P（A —k A１A２…A k－１）P（A k－１A１A２…A k－２）…P（A２A１）P（A１）＝１k＋１·k－１k·k－２k－１·…·２３·１２＝１k＋１·１k．若E（X）存在，则它应等于钞∞k＝１kP｛X＝k｝．但钞∞k＝１kP｛X＝k｝＝钞∞k＝１k·１k＋１·１k＝钞∞k＝１１k＋１＝∞，故X的数学期望不存在．5．设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间X（以min 计）是一个随机变量，其概率密度为f（x）＝１１５００２x，０≤x≤１５００，－１１５００２（x－３０００），１５００＜x≤３０００，０，其他．19第四章 随机变量的数字特征求E （X ）．解按连续型随机变量的数学期望的定义，有E （X ）＝∫∞－∞x f （x ）d x ＝∫０－∞x f （x ）d x ＋∫１５０００x f （x ）d x ＋∫３０００１５００x f （x ）d x ＋∫∞３０００x f （x ）d x＝∫０－∞x ·０d x ＋∫１５０００x ·x１５００２d x ＋∫３０００１５００x ·－（x －３０００）１５００２d x ＋∫∞３０００x ·０d x＝１１５００２x ３３１５０００＋１１５００２３０００×x ２２－x３３３０００１５００＝１５００（min ）．6．（１）设随机变量X 的分布律为X －２０２p k０畅４０畅３０畅３求E （X ），E （X ２），E （３X ２＋５）．（２）设X ～π（λ），求E １X ＋１．解（１）X 的分布律为X －２０２p k０畅４０畅３０畅３E （X ）＝（－２）×０畅４＋０×０畅３＋２×０畅３＝－０畅２．由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E （X ２）＝（－２）２×０畅４＋０２×０畅３＋２２×０畅３＝２畅８，E （３X ２＋５）＝［３（－２）２＋５］×０畅４＋［３（０）２＋５］×０畅３＋［３（２２）＋５］×０畅３＝１３畅４．如利用数学期望的性质，则有E （３X ２＋５）＝３E （X ２）＋５＝３×２畅８＋５＝１３畅４．（２）因X ～π（λ），故P ｛X ＝k ｝＝λke －λk ！．29概率论与数理统计习题全解指南E１X＋１＝钞∞k＝０１k＋１P｛X＝k｝＝钞∞k＝０１k＋１λk e－λk！＝钞∞k＝０λk e－λ（k＋１）！＝e－λλ钞∞k＝０λk＋１（k＋１）！＝e－λλ钞∞j＝１λjj！＝e－λλ钞∞j＝０λjj！－１＝e－λλ（eλ－１）＝１λ（１－e－λ）．7．（１）设随机变量X的概率密度为f（x）＝e－x，x＞０，０，x≤０．求（i）Y＝２X；（ii）Y＝e－２X的数学期望．（２）设随机变量X１，X２，…，X n相互独立，且都服从（０，１）上的均匀分布（i）求U＝max｛X１，X２，…，X n｝的数学期望，（ii）求V＝min｛X１，X２，…，X n｝的数学期望．解（１）由关于随机变量函数的数学期望的定理，知（i）E（Y）＝E（２X）＝∫∞－∞２x f（x）d x＝２∫０－∞x·０d x＋∫∞０x e－x d x＝２－x e－x∞０＋∫∞０e－x d x＝－２e－x∞０＝２；（ii）E（Y）＝E（e－２X）＝∫∞０e－２x·e－x d x＝∫∞０e－３x d x＝－１３e－３x∞０＝１３．（２）因X i～U（０，１），i＝１，２，…，n，X i的分布函数为F（x）＝０， x＜０，x， ０≤x＜１，１， x≥１．因X１，X２，…，X n相互独立，故U＝max｛X１，X２，…，X n｝的分布函数为F U（u）＝０， u＜０，u n， ０≤u＜１，１， u≥１．U的概率密度为f U（u）＝nun－１， ０＜u＜１，０， 其他．E（U）＝∫∞－∞u f U（u）d u＝∫１０u·nu n－１d u＝n∫１０u n d u＝n n＋１．39第四章 随机变量的数字特征V ＝min ｛X １，X ２，…，X n ｝的分布函数为F V （v ）＝０， v ＜０，１－（１－v ）n， ０≤v ＜１，１， v ≥１．V 的概率密度为f V （v ）＝n （１－v ）n －１， ０＜v ＜１，０， 其他．E （V ）＝∫∞－∞v f V （v ）d v ＝∫１０vn （１－v ）n －１d v＝－v （１－v ）n１０＋∫１０（１－v ）nd v＝－（１－v ）n ＋１n ＋１１０＝１n ＋１．8．设随机变量（X ，Y ）的分布律为X Y １２３－１０畅２０畅１０畅０００畅１０畅００畅３１０畅１０畅１０畅１（１）求E （X ），E （Y ）．（２）设Z ＝Y X，求E （Z ）．（３）设Z ＝（X －Y ）２，求E （Z ）．解由关于随机变量函数的数学期望E ［g （X ，Y ）］的定理，得（１）E （X ）＝钞３i ＝１钞３j ＝１x i p i j＝１·（０畅２＋０畅１＋０畅１）＋２·（０畅１＋０＋０畅１）＋３·（０＋０畅３＋０畅１）＝２． E （Y ）＝钞３j ＝１钞３i ＝１y j p i j＝（－１）·（０畅２＋０畅１＋０）＋０·（０畅１＋０＋０畅３）＋１·（０畅１＋０畅１＋０畅１）＝０．（２）E （Z ）＝EYX＝－１１P ｛X ＝１，Y ＝－１｝＋－１２P ｛X ＝２，Y＝－１｝ ＋－１３P ｛X ＝３，Y ＝－１｝49概率论与数理统计习题全解指南 ＋０１P ｛X ＝１，Y ＝０｝＋０２P ｛X ＝２，Y ＝０｝ ＋０３P ｛X ＝３，Y ＝０｝＋１１P ｛X ＝１，Y ＝１｝ ＋１２P ｛X ＝２，Y ＝１｝＋１３P ｛X ＝３，Y ＝１｝＝－０畅２－０畅０５＋０畅１＋０畅０５＋０畅１３＝－１１５．（３）E （Z ）＝E ［（X －Y ）２］＝钞３j ＝１钞３i ＝１（x i －y j ）２p i j＝２２×０畅２＋３２×０畅１＋４２×０＋１２×０畅１＋２２×０ ＋３２×０畅３＋０２×０畅１＋１２×０畅１＋２２×０畅１＝５．注：（i ）可先求出边缘分布律，然后求出E （X ），E （Y ）．（ii ）在（３）中可先算出Z ＝（X －Y ）２的分布律Z ０１４９p k０畅１０畅２０畅３０畅４然后求得E （Z ）＝钞４k ＝１z k p k ＝５．题４畅９图9．（１）设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）＝１２y ２，０≤y ≤x ≤１，０，其他．求E （X ），E （Y ），E （XY ），E （X ２＋Y ２）．（２）设随机变量X ，Y 的联合密度为f （x ，y ）＝１ye －（y ＋x ／y ）， x ＞０，y ＞０，０， 其他，求E （X ），E （Y ），E （XY ）．解（１）各数学期望均可按照E ［g （X ，Y ）］＝∫∞－∞∫∞－∞g （x ，y ）f （x ，y ）d x d y 计算．因f （x ，y ）仅在有限区域G ：｛（x ，y ） ０≤y ≤x ≤１｝内不为零，故各数学期望均化为G （如题４畅９图）上相应积分的计算．E （X ）＝∫∞－∞∫∞－∞x f （x ，y ）d x d y ＝∫∫Gx ·１２y ２d x d y＝∫１０d x ∫x０１２x y ２d y ＝４５．59第四章 随机变量的数字特征E（Y）＝∫∫G y·１２y２d x d y＝∫１０d x∫x０１２y３d y＝３５．E（XY）＝∫∫G x y·１２y２d x d y＝∫１０d x∫x０１２x y３d y＝１２．E（X２＋Y２）＝∫∫G（x２＋y２）１２y２d x d y＝∫１０d x∫x０１２（x２y２＋y４）d y＝１６１５．（２）E（X）＝∫∞－∞∫∞－∞x f（x，y）d x d y＝∫∞０∫∞０x y e－（y＋x y）d x d y＝－∫∞０e－y∫∞０x e－x／y d（－x y）d y＝－∫∞０e－y x e－x／y∞０－∫∞０e－x／y d x d y＝∫∞０e－y y d y＝１．E（Y）＝∫∞０∫∞０e－（y＋x／y）d x d y＝∫∞０e－y∫∞０e－x／y d x d y＝∫∞０e－y［－y e－x／y］∞０d y＝∫∞０e－y y d y＝１．E（XY）＝∫∞－∞∫∞－∞x y f（x，y）d x d y＝∫∞０∫∞０x e－（y＋x／y）d x d y＝∫∞０e－y［∫∞０x e－x／y d x］d y．而 ∫∞０x e－x／y d x＝－y∫∞０x e－x／y d（－x y）＝y２，故 E（XY）＝∫∞０y２e－y d y＝Γ（３）①＝２．10．（１）设随机变量X～N（０，１），Y～N（０，１）且X，Y相互独立．求E X２X２＋Y２．（２）一飞机进行空投物资作业，设目标点为原点O（０，０），物资着陆点为（X，Y），X，Y相互独立，且设X～N（０，σ２），Y～N（０，σ２），求原点到点（X，Y）间距离的数学期望．解（１）由对称性知E X２X２＋Y２＝EY２X２＋Y２．69概率论与数理统计习题全解指南①Γ函数：Γ（α）＝∫∞０xα－１e－x d x，α＞０，它具有性质：Γ（α＋１）＝αΓ（α），α＞０，Γ（１）＝１，Γ（１２）＝π，Γ（n＋１）＝nΓ（n）＝n！（n为正整数）．而EX２X２＋Y２＋EY２X２＋Y２＝E（１）＝１，故EX２X２＋Y２＝１２．（２）记原点到点（X，Y）的距离为R，R＝X２＋Y２，由题设（X，Y）的密度函数为f（x，y）＝１２πσe－x２／（２σ２）·１２πσe－y２／（２σ２）＝１２πσ２e－x２＋y２２σ２， －∞＜x＜∞， －∞＜y＜∞．E（R）＝E（X２＋Y２）＝∫∞－∞∫∞－∞x２＋y２１２πσ２e－（x２＋y２）／（２σ２）d x d y．采用极坐标E（R）＝∫２π０dθ∫∞０r２πσ２e－r２／（２σ２）r d r＝２π∫∞０１２πσ２r２e－r２／（２σ２）d r＝１σ２∫∞０r２e－r２／（２σ２）d r＝－∫∞０r d（e－r２／（２σ２））＝－r e－r２／（２σ２）∞０＋∫∞０e－r２／（２σ２）d r＝１２∫∞－∞e－r２／（２σ２）d r＝１２１２πσ∫∞－∞e－r２／（２σ２）d r２πσ＝１２×１×２πσ＝σπ２．11．一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为f（x）＝１４e－x／４，x＞０，０， x≤０．工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利１００元，调换一台设备厂方需花费３００元．试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望．解一台设备在一年内调换的概率为p＝P｛X＜１｝＝∫１０１４e－x／４d x＝－e－x／４１０＝１－e－１／４．以Y记工厂售出一台设备的净赢利值，则Y具有分布律Y１００１００－３００p k e－１／４１－e－１／４故有E（Y）＝１００×e－１／４－２００（１－e－１／４）＝３００e－１／４－２００＝３３畅６４（元）．12．某车间生产的圆盘直径在区间（a，b）服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望．解设圆盘直径为X，按题设X具有概率密度f X（x）＝１b－a，a＜x＜b，０，其他，故圆盘面积A＝１４πX２的数学期望为E１４πX２＝∫b a１４πx２１b－a d x＝π１２（b－a）x３ba＝π１２（b２＋ab＋a２）．13．设电压（以V计）X～N（０，９）．将电压施加于一检波器，其输出电压为Y＝５X２，求输出电压Y的均值．解由X～N（０，９），即有E（X）＝０，D（X）＝９．E（Y）＝E（５X２）＝５E（X２）＝５｛D（X）＋［E（X）］２｝＝５（９＋０）＝４５（V）．另法 X的概率密度为f X（x）＝１３２πe－x２／１８， －∞＜x＜∞．E（Y）＝E（５X２）＝５E（X２）＝５∫∞－∞x２３２πe－x２／１８d x＝５×９３２π－x e－x２／１８∞－∞＋∫∞－∞e－x２／１８d x＝４５３２π∫∞－∞e－x２／１８d x＝４５∫∞－∞f X（x）d x＝４５×１＝４５（V）．14．设随机变量X１，X２的概率密度分别为f１（x）＝２e－２x，x＞０，０，x≤０， f２（x）＝４e－４x，x＞０，０，x≤０．（１）求E（X１＋X２），E（２X１－３X２２）．（２）又设X１，X２相互独立，求E（X１X２）．解若X服从以θ为参数的指数分布，其概率密度为f（x）＝１θe－x／θ，x＞０，０，其他，则E（X）＝∫∞－∞x f（x）d x＝∫∞０x１θe－x／θd x，令u＝xθ，得到 E（X）＝θ∫∞０u e－u d u＝θΓ（２）＝θΓ（１）＝θ，E（X２）＝∫∞－∞x２f（x）d x＝∫∞０x２１θe－x／θd x＝θ２∫∞０u２e－u d u＝θ２Γ（３） （其中u＝xθ）＝θ２·２Γ（２）＝θ２·２Γ（１）＝２θ２，故E（X１）＝１２，E（X２）＝１４，E（X２２）＝２（１４）２＝１８，于是（１）由数学期望的性质，有E（X１＋X２）＝E（X１）＋E（X２）＝３４，E（２X１－３X２２）＝２E（X１）－３E（X２２）＝５８．（２）因X１，X２相互独立，由数学期望的性质，有E（X１X２）＝E（X１）E（X２）＝１２×１４＝１８．15．将n只球（１～n号）随机地放进n个盒子（１～n号）中去，一个盒子装一只球．若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对．记X为总的配对数，求E（X）．解引入随机变量X i＝１， 若第i号球装入第i号盒子中，０， 若第i号球未装入第i号盒子中，i＝１，２，…，n，则总的配对数X可表示成X＝X１＋X２＋…＋X n．显然P｛X i＝１｝＝１n， i＝１，２，…，n．X i的分布律为X i０１p k１－１n１n即有E（X i）＝１n，i＝１，２，…，n，于是E （X ）＝E （X １＋X ２＋…＋X n ）＝E （X １）＋E （X ２）＋…＋E （X n ）＝１．16．若有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁．设取到每只钥匙是等可能的．若每把钥匙试开一次后除去，试用下面两种方法求试开次数X 的数学期望．（１）写出X 的分布律．（２）不写出X 的分布律．解（１）以A k （k ＝１，２，…，n ）表示事件“第k 次试开是成功的”．｛X ＝k ｝表示前k －１次所取的钥匙均未能打开门，而第k 次所取的钥匙能将门打开．即有P ｛X ＝k ｝＝P （A —１A —２…A —k －１A k ）＝P （A —１A —２…A —k －１）P （A k A —１A —２…A —k －１）＝P （A —１A —２…A —k －２）P （A —k －１A —１A —２…A —k －２）P （A k A —１A —２…A —k －１）＝…＝P （A —１）P （A —２A —１）P （A —３A —１A —２）…P （A k A —１A —２…A —k －１）＝n －１n ·n －２n －１·…·n －k ＋１n －k ＋２·１n －k ＋１＝１n，X 的分布律为P ｛X ＝k ｝＝１n， k ＝１，２，…，n ，故E （X ）＝钞nk ＝１kP ｛X ＝k ｝＝钞nk ＝１k ·１n ＝１n钞nk ＝１k＝１n ·n （n ＋１）２＝n ＋１２．（２）引入随机变量X k 如下：X １＝１，X k ＝１， 前k －１次试开均未成功，０， 前k －１次中有一次试开成功，k ＝２，３，…，n ，则X ＝X １＋X ２＋…＋X n ．沿用（１）中的记号，则有E （X １）＝１，E （X k ）＝１×P ｛X k ＝１｝＝１×P （A —１A —２…A —k －１）＝P （A —１）P （A —２A —１）…P （A —k －１A —１A —２…A —k －２）＝n －１n ·n －２n －１·…·n －（k －１）n －（k －２）＝n －k ＋１n， k＝２，３，…，n．故有E（X）＝１＋钞nk＝２E（X k）＝１＋钞nk＝２n－k＋１n＝n＋１２．17．设X为随机变量，C是常数，证明D（X）＜E［（X－C）２］，对于C≠E（X）．（由于D（X）＝E［［X－E（X）］２］，上式表明E［（X－C）２］当C＝E（X）时取到最小值．）证 E［（X－C）２］＝E（X２－２CX＋C２）＝E（X２）－２CE（X）＋C２＝E（X２）－［E（X）］２＋｛［E（X）］２－２CE（X）＋C２｝＝D（X）＋（E（X）－C）２≥D（X）．等号仅当C＝E（X）时成立．18．设随机变量X服从瑞利分布，其概率密度为f（x）＝xσ２e－x２（２σ２），x＞０，０，x≤０，其中σ＞０是常数．求E（X），D（X）．解E（X）＝∫∞－∞x f（x）d x＝∫∞０x xσ２e－x２（２σ２）d x．令u＝x２（２σ２），得到E（X）＝２σ∫∞０u１／２e－u d u＝２σΓ（３２）＝２σ１２Γ（１２）①＝π２σ．E（X２）＝∫∞－∞x２f（x）d x＝∫∞０x２xσ２e－x２（２σ２）d x．令u＝x２（２σ２），得到E（X２）＝２σ２∫∞０u e－u d u＝２σ２Γ（２）＝２σ２，故D（X）＝E（X２）－（E（X））２＝２σ２－π２σ２＝４－π２σ２．19．设随机变量X服从Γ分布，其概率密度为f（x）＝１βαΓ（α）xα－１e－x／β，x＞０，０，x≤０，①参见９６页注．其中α＞０，β＞０是常数．求E（X），D（X）．解E（X）＝∫∞－∞x f（x）d x＝∫∞０xβαΓ（α）xα－１e－x／βd x令u＝xββΓ（α）∫∞０uαe－u d u＝βΓ（α）Γ（α＋１）＝βΓ（α）αΓ（α）＝αβ． Ε（X２）＝∫∞－∞x２f（x）d x＝∫∞０x２βαΓ（α）xα－１e－x／βd x令u＝x／ββ２Γ（α）∫∞０uα＋１e－u d u＝β２Γ（α）Γ（α＋２）＝β２Γ（α）（α＋１）αΓ（α）＝α（α＋１）β２． D（X）＝α（α＋１）β２－（αβ）２＝αβ２．20．设随机变量X服从几何分布，其分布律为P｛X＝k｝＝p（１－p）k－１， k＝１，２，…，其中０＜p＜１是常数．求E（X），D（X）．解E（X）＝钞∞n＝１nP｛X＝n｝＝钞∞n＝１n p（１－p）n－１＝p钞∞n＝１n（１－p）n－１＝p１［１－（１－p）］２＝１p．这是因为１１－x＝１＋x＋x２＋…＋xk＋…， x＜１，两边对x求导，就有１（１－x）２＝１＋２x＋３x２＋…＋kxk－１＋…，x＜１．（A）又E［X（X＋１）］＝钞∞n＝１n（n＋１）P｛X＝n｝＝p钞＋∞n＝１n（n＋１）（１－p）n－１．将上述（A）式两边关于x求导，就有２（１－x）３＝１·２＋２·３x＋…＋（k－１）·kxk－２＋…， x＜１，由此知E［X（X＋１）］＝p２［１－（１－p）］３＝２p２故D（X）＝E（X２）－［E（X）］２＝E［X（X＋１）－X］－［E（X）］２＝E ［X （X ＋１）］－E （X ）－［E （X ）］２＝２p ２－１p －１p ２＝１－pp２．21．设长方形的长（以m 计）X ～U （０，２），已知长方形的周长（以m 计）为２０．求长方形面积A 的数学期望和方差．解长方形的长为X ，周长为２０，所以它的面积A 为A ＝X （１０－X ）．现在X ～U （０，２），X 的概率密度为f X （x ）＝１２，０＜x ＜２，０，其他，所以E （A ）＝E ［X （１０－X ）］＝∫２０x （１０－x ）·１２d x ＝５２x ２－１６x ３２０＝２６３＝８畅６７，E （A ２）＝E ［X ２（１０－X ）２］＝∫２０x ２（１０－x ）２·１２d x ＝１２∫２０（１００x ２－２０x ３＋x ４）d x ＝１４４８１５＝９６畅５３，D （A ）＝E （A ２）－［E （A ）］２＝１４４８１５－２６３２＝２１畅４２．22．（１）设随机变量X １，X ２，X ３，X ４相互独立，且有E （X i ）＝i ，D （X i ）＝５－i ，i ＝１，２，３，４．设Y ＝２X １－X ２＋３X ３－１２X ４．求E （Y ），D （Y ）．（２）设随机变量X ，Y 相互独立，且X ～N （７２０，３０２），Y ～N （６４０，２５２），求Z １＝２X ＋Y ，Z ２＝X －Y 的分布，并求概率P ｛X ＞Y ｝，P ｛X ＋Y ＞１４００｝．解（１）E （Y ）＝E ２X １－X ２＋３X ３－１２X ４＝２E （X １）－E （X ２）＋３E （X ３）－１２E （X ４）＝２×１－２＋３×３－１２×４＝７．因X １，X ２，X ３，X ４相互独立，故有D （Y ）＝D ２X １－X ２＋３X ３－１２X ４＝４D （X １）＋D （X ２）＋９D （X ３）＋１４D （X ４）＝４×４＋３＋９×２＋１４×１＝３７畅２５．（２）因X，Y相互独立，且X～N（７２０，３０２），Y～N（６４０，２５２），故Z１＝２X＋Y，Z２＝X－Y均服从正态分布，且E（Z１）＝E（２X＋Y）＝２E（X）＋E（Y）＝２×７２０＋６４０＝２０８０，D（Z１）＝D（２X＋Y）＝４D（X）＋D（Y）＝４×３０２＋２５２＝４２２５，E（Z２）＝E（X－Y）＝E（X）－E（Y）＝７２０－６４０＝８０，D（Z２）＝D（X－Y）＝D（X）＋D（Y）＝３０２＋２５２＝１５２５，故有Z１～N（２０８０，４２２５）， Z２～N（８０，１５２５）．P｛X＞Y｝＝P｛X－Y＞０｝＝P｛Z２＞０｝＝１－P｛Z２≤０｝＝１－Φ０－８０１５２５＝Φ（２畅０４８６）＝０畅９７９８．又X＋Y～N（E（X）＋E（Y），D（X）＋D（Y）），即X＋Y～N（１３６０，１５２５）．故P｛X＋Y＞１４００｝＝１－P｛X＋Y≤１４００｝＝１－Φ１４００－１３６０１５２５＝１－Φ（１畅０２）＝１－０畅８４６１＝０畅１５３９．23．五家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量（以kg计）分别为X１，X２，X３，X４，X５．已知X１～N（２００，２２５），X２～N（２４０，２４０），X３～N（１８０，２２５），X４～N（２６０，２６５），X５～N（３２０，２７０），X１，X２，X３，X４，X５相互独立．（１）求五家商店两周的总销售量的均值和方差．（２）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于０．９９，问商店的仓库应至少储存多少千克该产品？解以Y记五家商店该种产品的总销售量，即Y＝X１＋X２＋X３＋X４＋X５．（１）按题设X i（i＝１，２，３，４，５）相互独立且均服从正态分布，即有E（Y）＝钞５i＝１E（X i）＝２００＋２４０＋１８０＋２６０＋３２０＝１２００，D （Y ）＝钞５i ＝１D （Y i ）＝２２５＋２４０＋２２５＋２６５＋２７０＝１２２５．（２）设仓库应至少储存n kg 该产品，才能使该产品不脱销的概率大于０畅９９，按题意，n 应满足条件P ｛Y ≤n ｝＞０畅９９．由于Y ～N （１２００，３５２），故有P ｛Y ≤n ｝＝PY －１２００３５≤n －１２００３５＝Φn －１２００３５，因而上述不等式即为Φn －１２００３５＞０畅９９＝Φ（２畅３３），从而n －１２００３５＞２畅３３，故应有n ＞１２００＋２畅３３×３５＝１２８１畅５５，即需取n ＝１２８２kg 畅24．卡车装运水泥，设每袋水泥重量X （以kg 计）服从N （５０，２．５２），问至多装多少袋水泥使总重量超过２０００的概率不大于０畅０５．解设至多能装运n 袋水泥，各袋水泥的重量分别为X １，X ２，…，X n ，则X i ～N （５０，２畅５２）， i ＝１，２，…，n ，故卡车所装运水泥的总重量为W ＝X １＋X ２＋…＋X n ．按题意n 需满足P ｛W ＞２０００｝≤０畅０５．对于像这样的实际问题，认为X １，X ２，…，X n 相互独立是适宜的，此时E （W ）＝５０n ， D （W ）＝２畅５２n ，于是W ～N （５０n ，２畅５２n ）．从而P ｛W ＞２０００｝＝１－Φ２０００－５０n２畅５n，即n 应满足Φ２０００－５０n２畅５n ≥０畅９５＝Φ（１畅６４５）．故应有２０００－５０n２畅５n≥１畅６４５，解得n ≤６畅２８３６，从而n ≤３９畅４８３．故n 至多取３９，即该卡车至多能装运３９袋水泥，方能使超过２０００kg 的概率不大于０畅０５．（在这里我们指出，若设W ＝nX ，其中X ～N （５０，２畅５２）而去求出n ≈３７，那就犯错误了，为什么？）25．设随机变量X ，Y 相互独立，且都服从（０，１）上的均匀分布．（１）求E （XY ），E （X ／Y ），E ［ln （XY ）］，E ［|Y －X |］．（２）以X ，Y 为边长作一长方形，以A ，C 分别表示长方形的面积和周长，求A 和C 的相关系数．解（１）X ，Y 的概率密度都是f （x ）＝１， ０＜x ＜１，０， 其他．E （XY ）＝E （X ）E （Y ）＝１２×１２＝１４．E X Y不存在（因∫１０∫１０xyd x d y发散）．题４畅２５图E ［ln （XY ）］＝∫１０∫１０（ln x ＋ln y ）d x d y ＝２∫１０∫１０（ln x ）d x d y＝－２．E （|Y －X |） ＝簇D|y －x |d x d y （如题４畅２５图D ＝D １∪D ２） ＝２簇D １（y －x ）d x d y ＝２∫１０∫１x（y －x ）d y d x ＝１３．（２）A ＝XY ，C ＝２（X ＋Y ），Cov （A ，C ）＝E （AC ）－E （A ）E （C ）．AC ＝２X ２Y ＋２XY ２，E （X ２）＝E （Y ２）＝D （X ）＋（E （X ））２＝１１２＋１４＝１３．E （AC ）＝２E （X ２Y ）＋２E （XY ２）＝２E （X ２）E （Y ）＋２E （X ）E （Y ２）＝２×１３×１２＋２×１２×１３＝２３．Cov （A ，C ）＝E （AC ）－E （A ）E （C ）＝２３－［E （X ）E （Y ）×２（E （X ）＋E （Y ））］＝２３－１２×１２×２１２＋１２＝１６．D （A ）＝E （X ２Y ２）－［E （X ）E （Y ）］２＝E （X ２）E （Y ２）－（１２×１２）２＝（１３）２－（１４）２＝７１４４．D （C ）＝D （２X ＋２Y ）＝D （２X ）＋D （２Y ）＝４×１１２＋４×１１２＝２３．故 ρAC ＝Cov （A ，C ）D （A ）D （C ）＝１６／７１４４×２３＝６７．26．（１）设随机变量X １，X ２，X ３相互独立，且有X １～b ４，１２，X ２～b ６，１３，X ３～b ６，１３，求P ｛X １＝２，X ２＝２，X ３＝５｝，E （X １X ２X ３），E （X １－X ２），E （X １－２X ２）．（２）设X ，Y 是随机变量，且有E （X ）＝３，E （Y ）＝１，D （X ）＝４，D （Y ）＝９，令Z ＝５X －Y ＋１５，分别在下列３种情况下求E （Z ）和D （Z ）．（i ）X ，Y 相互独立，（ii ）X ，Y 不相关，（iii ）X 与Y 的相关系数为０．２５．解（１）P ｛X １＝２，X ２＝２，X ３＝５｝＝P ｛X １＝２｝P ｛X ２＝２｝P ｛X ３＝５｝．因P ｛X １＝２｝＝４２１２２１－１２４－２＝４２１２４，P ｛X ２＝２｝＝６２１３２１－１３６－２＝６２１３２２３４，P ｛X ３＝５｝＝６５１３５１－１３６－５＝６５１３５２３，故 P ｛X １＝２，X ２＝２，X ３＝５｝＝P ｛X １＝２｝·P ｛X ２＝２｝·P ｛X ３＝５｝＝０．００２０３E （X １X ２X ３）＝E （X １）E （X ２）E （X ３）＝（４×１２）（６×１３）（６×１３）＝８．E （X １－X ２）＝E （X １）－E （X ２）＝２－２＝０．E （X １－２X ２）＝E （X １）－２E （X ２）＝－２．（２）对于E （Z ），在（i ），（ii ），（iii ）三种情况下都有E （Z ）＝E （５X －Y ＋１５）＝５E （X ）－E （Y ）＋１５＝１５－１＋１５＝２９．对于D （Z ），（i ）X ，Y 独立，则D （５X －Y ＋１５）＝D （５X －Y ）＝D （５X ）＋D （－Y ）＝２５D （X ）＋D （Y ）＝２５×４＋９＝１０９．（ii）X，Y不相关，即Cov（X，Y）＝０，D（Z）＝１０９．（iii）ρX Y＝０畅２５，则Cov（X，Y）＝D（X）D（Y）ρX Y＝２×３×０畅２５＝１畅５，D（５X－Y＋１５）＝D（５X－Y）＝２５D（X）＋D（Y）－１０Cov（X，Y）＝１００＋９－１０×１畅５＝９４畅27．下列各对随机变量X和Y，问哪几对是相互独立的？哪几对是不相关的．（１）X～U（０，１），Y＝X２．（２）X～U（－１，１），Y＝X２．（３）X＝cos V，Y＝sin V，V～U（０，２π）．若（X，Y）的概率密度为f（x，y），（４）f（x，y）＝x＋y ０＜x＜１，０＜y＜１，０， 其他．（５）f（x，y）＝２y， ０＜x＜１，０＜y＜１，０， 其他．解 （１）E（X）＝１２，E（Y）＝E（X２）＝∫１０x２d x＝１３，E（XY）＝E（X３）＝∫１０x３d x＝１４．Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）＝１４－１２×１３≠０．故X，Y不相互独立，也不是不相关的．（２）E（X）＝０，E（Y）＝E（X２）＝∫１－１１２x２d x＝１３，E（XY）＝E（X３）＝∫１－１１２x３d x＝０．Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）＝０－０＝０．故X，Y不相互独立，但不相关．（３）E（X）＝∫２π０１２πcos v d v＝０，E（Y）＝∫２π０１２πsin v d v＝０，E（XY）＝E（sin V cos V）＝１２E（sin２V）＝１２∫２π０１２πsin２v d v＝０，Cov（X，Y）＝E（XY）－E（Z）E（Y）＝０－０×０＝０，故X，Y不相互独立，但不相关．（４）f（x，y）＝x＋y， ０＜x＜１， ０＜y＜１，０， 其他．f X（x）＝∫１０（x＋y）d y＝x＋１２， ０＜x＜１，０， 其他，f Y（y）＝y＋１２， ０＜y＜１，０，其他．f（x，y）与f X（x）f Y（y）在平面上不几乎处处相等，X，Y不相互独立．E（X）＝∫１０x（x＋１２）d x＝７１２， E（Y）＝７１２，E（XY）＝∫１０∫１０x y（x＋y）d x d y＝１３．Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）≠０．故X，Y不是不相关的，因而一定也是不相互独立的．（５）f（x，y）＝２y， ０＜x＜１， ０＜y＜１，０， 其他，f X（x）＝１， ０＜x＜１，０， 其他， f Y（y）＝２y， ０＜y＜１，０， 其他．f（x，y）＝f X（x）f Y（y）对于任意x，y成立．故X，Y相互独立，因此X，Y也是不相关的．28．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）＝１π，x２＋y２≤１，０，其他．试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的．证 E（X）＝∫∞－∞∫∞－∞x f（x，y）d x d y＝簇x２＋y２≤１xπd x d y＝１π∫１－１d y∫１－y２－１－y２x d x＝０．同样 E（Y）＝∫∞－∞∫∞－∞y f（x，y）d x d y＝簇x２＋y２≤１yπd x d y＝０，而 E（XY）＝∫∞－∞∫∞－∞x y f（x，y）d x d y＝簇x２＋y２≤１x yπd x d y＝１π∫１－１y d y∫１－y２－１－y２x d x＝０，从而E（XY）＝E（X）E（Y），这表明X，Y是不相关的．又f X（x）＝∫∞－∞f（x，y）d y＝∫１－x ２－１－x２１πd y＝２π１－x２，－１＜x＜１，０，其他．同样f Y（y）＝２π１－y２，－１＜y＜１，０，其他．显然f X（x）f Y（y）≠f（x，y），故X，Y不是相互独立的．29．设随机变量（X，Y）的分布律为XY －１０１－１１８１８１８０１８０１８１１８１８１８验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的．证 先求出边缘分布律如下：X－１０１p k３８２８３８Y－１０１p k３８２８３８易见P｛X＝０，Y＝０｝＝０≠P｛X＝０｝P｛Y＝０｝，故X，Y不是相互独立的．又知X，Y具有相同的分布律，且有E（X）＝E（Y）＝（－１）×３８＋１×３８＝０．又 E（XY）＝钞３j＝１钞３i＝１x i y j p i j＝（－１）（－１）×１８＋（－１）×１×１８＋１×（－１）×１８＋１×１×１８＝０，即有E（XY）＝E（X）E（Y），故X，Y是不相关的．30．设A 和B 是试验E 的两个事件，且P （A ）＞０，P （B ）＞０，并定义随机变量X ，Y 如下：X ＝１， 若A 发生，０， 若A不发生， Y ＝１， 若B 发生，０， 若B不发生．证明若ρX Y ＝０，则X 和Y 必定相互独立．解X ，Y 的分布律分别为X ０１p kP （A —）P （A ）Y ０１p kP （B —）P （B ）由X ，Y 的定义，XY 只能取０，１两个值，且P ｛XY ＝１｝＝P ｛X ＝１，Y ＝１｝＝P （AB ），于是得XY 的分布律为XY ０１p k１－P （AB ）P （AB ）即得 E （X ）＝P （A ），E （Y ）＝P （B ），E （XY ）＝P （AB ）．由假设ρX Y ＝０，得E （XY ）＝E （X ）E （Y ），即P （AB ）＝P （A ）P （B ），故知A 与B 相互独立．从而知A 与B —、A —与B 、A —与B —也相互独立，于是 P ｛X ＝１，Y ＝１｝＝P （AB ）＝P （A ）P （B ）＝P ｛X ＝１｝P ｛Y ＝１｝， P ｛X ＝１，Y ＝０｝＝P （AB —）＝P （A ）P （B —）＝P ｛X ＝１｝P ｛Y ＝０｝， P ｛X ＝０，Y ＝１｝＝P （A —B ）＝P （A —）P （B ）＝P ｛X ＝０｝P ｛Y ＝１｝， P ｛X ＝０，Y ＝０｝＝P （A —B —）＝P （A —）P （B —）＝P ｛X ＝０｝P ｛Y ＝０｝，故X ，Y 相互独立．题４畅３１图31．设随机变量（X ，Y ）具有概率密度f （x ，y ）＝１，y ＜x ，０＜x ＜１，０，其他．求E （X ），E （Y ），Cov （X ，Y ）．解注意到f （x ，y ）只在区域G ：｛（x ，y ） y ＜x ，０＜x ＜１｝（题４畅３１图）上不等于零，故有E （X ）＝∫∞－∞∫∞－∞x f （x ，y ）d x d y ＝簇Gx d x d y＝∫１０d x ∫x－xx d y ＝∫１０２x ２d x ＝２３，E（Y）＝∫∞－∞∫∞－∞y f（x，y）d x d y＝簇G y d x d y＝∫１０d x∫x－x y d y＝０，E（XY）＝∫∞－∞∫∞－∞x y f（x，y）d x d y＝簇G x y d x d y＝∫１０d x∫x－x x y d y＝０，Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）＝０．32．设随机变量（X，Y）具有概率密度f（x，y）＝１８（x＋y），０≤x≤２，０≤y≤２，０，其他．求E（X），E（Y），Cov（X，Y），ρX Y，D（X＋Y）．解注意到f（x，y）只在区域G：｛（x，y） ０＜x＜２，０＜y＜２｝上不等于零，故有E（X）＝∫∞－∞∫∞－∞x f（x，y）d x d y＝∫２０d x∫２０x８（x＋y）d y＝∫２０x８（x y＋１２y２）２０d x＝∫２０x４（x＋１）d x＝７６，E（X２）＝∫∞－∞∫∞－∞x２f（x，y）d x d y＝∫２０d x∫２０x２８（x＋y）d y＝１８∫２０x２（x y＋１２y２）２０d x＝１４∫２０（x３＋x２）d x＝５３，E（XY）＝∫∞－∞∫∞－∞x y f（x，y）d x d y＝∫２０d x∫２０x y８（x＋y）d y＝１４∫２０（x２＋４x３）d x＝４３．由x，y在f（x，y）的表达式中的对称性（即在表达式f（x，y）中将x和y互换，表达式不变），得知E（Y）＝E（X）＝７６， E（Y２）＝E（X２）＝５３，且有D（Y）＝D（X）＝E（X２）－［E（X）］２＝５３－（７６）２＝１１３６．而 Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）＝４３－４９３６＝－１３６，ρX Y＝Cov（X，Y）D（X）D（Y）＝－１１１，D（X＋Y）＝D（X）＋D（Y）＋２Cov（X，Y）＝５９．33．设随机变量X～N（μ，σ２），Y～N（μ，σ２），且设X，Y相互独立，试求Z１＝αX＋βY和Z２＝αX－βY的相关系数（其中α，β是不为零的常数）．解法（i） Cov（Z１，Z２）＝Cov（αX＋βY，αX－βY）＝α２Cov（X，X）－αβCov（X，Y）＋αβCov（Y，X）－β２Cov（Y，Y）＝α２D（X）－β２D（Y）＝（α２－β２）σ２，而 D（Z１）＝D（αX＋βY）＝α２D（X）＋β２D（Y）＋２Cov（αX，βY）＝（α２＋β２）σ２，D（Z２）＝D（αX－βY）＝α２D（X）＋β２D（Y）－２Cov（αX，βY）＝（α２＋β２）σ２，故ρZ１Z２＝（α２－β２）σ２D（Z１）D（Z２）＝α２－β２α２＋β２．解法（ii） Cov（Z１，Z２）＝E（Z１Z２）－E（Z１）E（Z２）＝E（α２X２－β２Y２）－［αE（X）＋βE（Y）］［αE（X）－βE（Y）］＝α２E（X２）－β２E（Y２）－｛α２［E（X）］２－β２［E（Y）］２｝＝α２｛E（X２）－［E（X）］２｝－β２｛E（Y２）－［E（Y）］２｝＝α２D（X）－β２D（Y）＝（α２－β２）σ２． D（Z１）＝D（αX＋βY）＝α２D（X）＋β２D（Y）＝（α２＋β２）σ２， D（Z２）＝D（αX－βY）＝α２D（X）＋β２D（Y）＝（α２＋β２）σ２，故ρZ１Z２＝（α２－β２）σ２D（Z１）D（Z２）＝α２－β２α２＋β２．34．（１）设随机变量W＝（aX＋３Y）２，E（X）＝E（Y）＝０，D（X）＝４，D（Y）＝１６，ρXY＝－０畅５．求常数a使E（W）为最小，并求E（W）的最小值．（２）设随机变量（X，Y）服从二维正态分布，且有D（X）＝σ２X，D（Y）＝σ２Y．证明当a２＝σ２Xσ２Y时，随机变量W＝X－aY与V＝X＋aY相互独立．解（１）E（W）＝E［（aX＋３Y）２］＝a２E（X２）＋６aE（XY）＋９E（Y２），E（X２）＝D（X）＋［E（X）］２＝４，E（Y２）＝D（Y）＋［E（Y）］２＝１６，E（XY）＝Cov（X，Y）＋E（X）E（Y）＝ρX YD（X）D（Y）＝－４，故E（W）＝４a２－２４a＋１４４＝４（a－３）２＋１０８，故当a＝３时E（W）取最小值，min｛E（W）｝＝１０８．（２）因为（X，Y）是二维正态变量，而W与V分别是X，Y的线性组合，故由n维正态随机变量的性质３°知（W，V）也是二维正态变量．现在a２＝σ２Xσ２Y，故知有Cov（W，V）＝Cov（X－aY，X＋aY）＝Cov（X，X）－a２Cov（Y，Y）＝σ２X－a２σ２Y＝０，即知W与V不相关．又因（W，V）是二维正态变量，故知W与V是相互独立的．35．设随机变量（X，Y）服从二维正态分布，且X～N（０，３），Y～N（０，４），相关系数ρX Y＝－１４，试写出X和Y的联合概率密度．解因μ１＝μ２＝０，σ１＝３，σ２＝２，ρ＝－１４，故X和Y的联合概率密度为f（x，y）＝１４３π１－１１６exp－１２（１－１１６）x２３＋x y４３＋y２４＝１３５πexp－８１５x２３＋x y４３＋y２４．36．已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是７３００，均方差是７００．利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在５２００～９４００之间的概率p．解以X表示每毫升含白细胞数，由题设E（X）＝μ＝７３００， D（X）＝σ＝７００而概率p＝P｛５２００＜X＜９４００｝＝P｛－２１００＜X－７３００＜２１００｝＝P｛X－７３００＜２１００｝．在切比雪夫不等式P｛X－μ＜ε｝≥１－σ２ε２中，取ε＝２１００，此时１－σ２ε２＝１－７００２２１００２＝８９，即知p＝P｛X－７３００＜２１００｝≥８９．37．对于两个随机变量V，W，若E（V２），E（W２）存在，证明［E（V W）］２≤E（V２）E（W２）．（A）这一不等式称为柯西施瓦茨（Cauchy‐Sch warz）不等式．证若E（V２）＝０，则P｛V＝０｝＝１（因E（V２）＝D（V）＋（E（V））２＝０，得D（V）＝０且E（V）＝０，由方差性质４°即得P｛V＝０｝＝１）．由此P｛V W＝０｝＝１，因此，E（V W）＝０，此时不等式（A）得证．同样对于E（W２）＝０时，不等式（A）也成立．以下设E（V２）＞０，E（W２）＞０．考虑实变量t的函数：q（t）＝E［（V＋tW）２］＝E（V２）＋２tE（V W）＋t２E（W２）．因为对于任意t，E［（V＋tW）２］≥０，E（W２）＞０，故二次三项式q（t）的判别式：Δ＝４［E（V W）］２－４E（V２）E（W２）≤０，即有［E（V W）］２≤E（V２）E（W２）．38．中位数．对于任意随机变量X，满足以下两式P｛X≤x｝≥１２， P｛X≥x｝≤１２的x称为X的中位数，记为x１２或M．它是反映集中位置的一个数字特征．中位数总是存在，但可以不唯一．画出X的分布函数F（x）的图．如果F（x）连续，那么x１２是方程F（x）＝１２的解（如题４畅３８图（１）），如果F（x）有跳跃点（见题４畅３８图（２）），用垂直于横轴的线段联结后，得一连续曲线，它与直线y＝１２的交点的横坐标即为x１２．由于交点可以不唯一，故可以有许多x１２．题４畅３８图（１）设X的概率密度为f（x）＝２e－２x， x≥０，０， 其他．试求X的中位数M．（２）设X服从柯西分布，其概率密度为f（x）＝bπ［（x－a）２＋b２］， b＞０．试求X的中位数M．解 设F（x）为分布函数．（１）M应满足F（M）＝１２．即 １２＝F（M）＝P｛X≤M｝＝∫M０２e－２x d x＝－e－２x M０＝１－e－２M，故 e－２M＝１２， e２M＝２，得 M＝１２ln２．此即为所求的中位数．（２）由 １２＝F（M）＝P｛X≤M｝＝∫M－∞bπ［（x－a）２＋b２］d x＝１πarctan x－a b M－∞＝１πarctan M－a b＋１２，得 M－a＝０，即知中位数M＝a．另外，易知X的概率密度函数f（x）的图形关于直线x＝a是对称的．即知P｛X≤a｝＝∫a－∞f（x）d x＝１２．故中位数为M＝a．。
习题4.11．设10个零件中有3个不合格． 现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的数学期望．解 可得X 的概率分布为0123~77711030120120X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为7771()012310301201204531208E X =⨯+⨯+⨯+⨯==2．.某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数X 的数学期望．解 可得X 的概率分布为12~111n X nn n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为111()121(1)122E X n n n nn n n n =⨯+⨯++⨯++==3．设5次重复独立试验中每次试验的成功率为0.9，若记失败次数为X ，求X 的数学期望。
解 由题意~(5,0.1)X B ，则X 的数学期望为()50.10.5E X =⨯=4．设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布．据统计，在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人的概率的21，求该地每年因交通事故死亡的平均人数。
解 设该地每年因交通事故死亡的人数为X ，由题意X 服从泊松分布() (0)P λλ>.因1{1}{2}2P X P X === 即121 41!22!ee λλλλλ--=⇒= 于是X 的数学期望为()4E X λ==所以地每年因交通事故死亡的平均人数为4人。
5．设随机变量X 在区间(1,7)上服从均匀分布，求2{()}P X E X <. 解 因X 在区间(1,7)上服从均匀分布，故X 的数学期望为17()42E X +== 于是22{()}{4}1 {22}6P X E X P X P X <=<=<-<<=6．设连续型随机变量X 的概率密度为01() (,0)0 b ax x p x a b ⎧<<=>⎨⎩其它又知()0.75E X =,求,a b 的值解 由密度函数的性质可得()1p x dx +∞-∞=⎰即1111b aax dx b =⇒=+⎰又由()0.75E X =，可得1()0.75b xp x dx x ax dx +∞-∞=⋅=⎰⎰即0.752ab =+ 求解110.752a b a b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 可得 3,2a b ==.7．设随机变量X 的概率密度为0<1()2 120 x x p x x x <⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它求数学期望()E X解12013312201()() (2) ()133E X xp x dxx xdx x x dx x x x +∞-∞==⋅+⋅-=+-=⎰⎰⎰8.设随机变量X 的概率分布为 X -2 -1 0 1 P 0.2 0.3 0.1 0.4 求(1)(21)E X -；（2）2()E X .解 (1) (21)2()1E X E X -=- 其中()20.210.3010.40.3E X =-⨯-⨯++⨯=-则(21)2()12(0.3)1 1.6E X E X -=-=⨯--=-(2）22222()0.2(2)0.3(1)0.100.41 1.5E X =⨯-+⨯-+⨯+⨯=9．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。
概率论：概率论，是研究随机现象数量规律的数学分支。
随机现象是相对于决定性现象而言的，在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。
例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。
随机现象则是指在基本条件不变的情况下，每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。
例如，掷一硬币，可能出现正面或反面。
随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。
随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。
典型的随机试验有掷骰子、扔硬币、抽扑克牌以及轮盘游戏等。
事件的概率是衡量该事件发生的可能性的量度。
虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。
概率论与数理统计（第四版）：《概率论与数理统计（第四版）》是由盛骤、谢式千、潘承毅编，高等教育出版社于2008年出版的普通高等教育“十一五”国家级规划教材。
该书可作为高等学校工科、理科（非数学专业）各专业的教材和研究生入学考试的参考书，也可供工程技术人员、科技工作者参考。
全书共十四章，内容包括概率论、数理统计、随机过程三部分，涵盖了《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》的所有知识点。
成书过程：《概率论与数理统计（第四版）》在第三版的基础上增订而成，修订新增的有关在数理统计中应用Excel软件的内容由浙江大学于渤教授编写，由浙江大学范大茵教授审阅。
修订时吸收了其他教材优点，对习题的类型和数量进行了修订。
2006年8月，该书入选教育部普通高等教育“十一五”国家级规划教材；2008年6月，由高等教育出版社出版。
内容简介：《概率论与数理统计（第四版）》主要内容包括概率论、数理统计、随机过程三部分，每章附有习题；同时涵盖了《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》的所有知识点；新增了在数理统计中应用Excel、bootstrap方法、[WTBX]p[WTBZ]值检验法、箱线图等内容。
