带电粒子在电场中的运动优质课

2 mv = qU 第一章9带电粒子在电场中的运动

带电粒子在电场中受到静电力的作用，因此要产生加速度，速度的大小和方向都可能 发生变化。对于质量很小的带电粒子，如电子、质子等，虽然它们也会受到万有引力（重 力）的作用，但万有引力（重力）一般远小于静电力，可以忽略。

在现代科学实验和技术设备中，常常利用电场来改变或控制带电粒子的运动。利用电 场使带电粒子加速、利用电场使带电粒子偏转，就是两种最简单的情况。

带电粒子的加速

如图1.9-1所示，在真空中有一对平行金属板，由于接上电池组而带电，两板间的电 势差为U。若一个质量为 m,带正电荷q的粒子，在静电力的作用下由静止开始从正极板 向负极板运动，计算它到达负极板时的速度。

在带电粒子的运动过程中，静电力对它做的功是

W= qU

设带电粒子到达负极板时的速率为 v,其动能可以写为

2 mv

由动能定理可知

于是求出

思考与讨论

上述问题中，两块金属板是平行的，两板间的电场是匀强电场。如果两极板是其他形 状，中间的电场不再均匀，上面的结果是否仍然适用？为什么？

【例题1】炽热的金属丝可以发射电子。在金属丝和金属板之间加以电压 U = 2 500 V

（图1.9-2）,发射出的电子在真空中加速后，从金属板的小孔穿出。电子穿出时的速度有图1.9-1 计算粒子到达另一个极板时的速度 2qU v= m v= ,2eU 2X 1.6 X 10-19 X 2500

\ 0.9 X 10-30 =3.0 X 107 m/s

电子的质量 多大？设电子刚刚离开金属丝时的速度为零。

H >1

图1.9-2 带电粒子的加速。电池 E用来给金属丝加热

【解】电荷量为 e的电子从金属丝移动到金属板，两处的电势差为 U，电势能的减少

量是eU。减少的电势能全部转化为电子的动能，所以

1 mv2= eU

解出速度v并把数值代入，得m= 0.9X 10-30 kg和电子的电荷量 e= 1.6 X 10-19 C可以作为已知数据使用。

［收稿日期］2017-03-24［作者简介］任振忠（1983-），男，山东淄博人，晋中学院数理学院，讲师，博士，研究方向：原子与分子物理；宫建平（1958-），男，山西榆次人，晋中学院数理学院，教授，研究方向：凝聚态物理

.第34卷第3期2017年6月晋中学院学报JournalofJinzhongUniversityVol.34No.3Jun.2017

在电磁学中，带电粒子在电场Ecos（棕t+渍）中的运动轨迹很容易认为是做简单的余弦振荡，那到底是

不是这样呢？1带点粒子在电场中的运动学方程

带电粒子在余弦电场中的动力学方程为qEcos（棕t+渍）=ma

式中q为粒子电量，m为粒子质量，E为电场的振幅.现在对上述方程进行求解，要得到粒子的位置x，就是由加速度求得速度，再由速度得到位置.不失

一般性，假定qE/m=1，通过积分可得到x=-1棕2［cos（棕t+渍）-cos（渍）］+（v0+sin渍棕2）t+x0

这里，v0为粒子的初速度，x0为粒子的初始位置.从式中可以看出粒子的位置不但随电场一起做余弦振荡，而且还与初速度、电场初相位和电场频率

有关.当它们三者满足v0-sin渍棕2=0时，粒子做简单的余弦振荡，当关系不成立时，粒子会在余弦振荡上

叠加一个直线运动.2带点粒子的初速度和电场的初相位对运动轨迹的影响

为了清楚地表示粒子的运动轨迹，下面分四种情况通过matlab绘出运动曲线图（让x0=0，棕=1）：

1，渍=0，v0=0；2，渍=0，v0=1；3，渍=仔2，v0=0；4渍=仔2，v0=1.

对于第一种情况，一开始，电场处于最大值，而带电粒子处于零位置处，随着时间的增大，电场开始减

小，而带电粒子开始移动，x值增加.当电场达到最小值-1时，带电粒子达到最大值2.然后再各自反向减

小，分别到达各自的最大值1和最小值0.在这种情况下，电场和带电粒子都是做的简谐振动.对于第2、3种情况，带电粒子都是在直线运动的基础上叠加了一个余弦振荡.第2种情况下，带电粒子位置随时间

2012/3/23例9 质量为m、电量为+q的粒子在环中做半径为R的圆周运动. A、B为两块中心开有小孔的极板. 原来电势都为零, 每当粒子飞经A板时, A板电势升高为+U, B板电势仍保持为零, 粒子在两板间电场中得到加速. 每当粒子离开B板时, A板电势又降为零. 粒子在电场一次次加速下动能不断增大, 而绕行半径不变.(1) 设t=0时粒子静止在A板小孔处, 在电场作用下加速, 并绕行第一圈. 求粒子绕行n 圈回到A板时获得的总动能En .(2) 为使粒子始终保持在半径为R的圆轨道上运动, 磁场必须周期性递增. 求粒子绕行第n 圈时的磁感应强度Bn.(3) 求粒子绕行n 圈所需的总时间tn(设极板间距远小于R).(4) 在图(2)中画出A板电势与时间t 的关系(从t=0起画到粒子第4次离开B板时即可).(5) 在粒子绕行的整个过程中, A板电势是否可以始终保持为+U? 为什么?n解见下页0OBAR+U(1)0t1tuU(2)2012/3/23OUut解答:(1)每通过AB一次, 动能增加qU, 通过n次获得的总动能为E Kn=1/2mvn2= nqU(2)R=mvn/Bnq

m2nqUvnq2nmUR1Bn(3)每转一转的时间为2qUnmRqBmTnn22321TTTt3121(12qUmR2)n1…+(4) 半径不变,速度越来越大,所以周期越来越小,加速的时间越来越小，U—t 图如右图:t1t2t3 t4(5) 不可以. 如始终为+U, 则电场力对粒子运动一周所做的总功为零.

14(18分)如图10所示,空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场,左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，其宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外；右侧匀强磁场的磁感应强度大小也为B、方向垂直纸面向里。一个带正电的粒子（质量m,电量q,不计重力）从电场左边缘a点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到了a点，然后重复上述运动过程。（图中虚线为电场与磁场、相反方向磁场间的分界面，并不表示有什么障碍物）。

带电粒子在电场中的运动

【学习目标】

1、能够熟练地对带电粒子在电场中的加速和偏转进行计算；

2、了解示波管的工作原理，体会静电场知识对科学技术的影响.

【要点梳理】

知识点一：带电粒子在电场中可能的运动状态

知识点二：带电粒子在电场中的加速和减速运动

要点诠释：

（1） 受力分析：

与力学中受力分析方法相同,知识多了一个电场力而已.如果带电粒子在匀强电场中，则电场力为恒

力（qE）,若在非匀强电场，电场力为变力.

（2） 运动过程分析：

带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场，受到的电场力与运动方向在同一直线上，做匀加

（减）速直线运动.

（3） 两种处理方法：

①力和运动关系法——牛顿第二定律：

带电粒子受到恒力的作用，可以方便地由牛顿第二定律求出加速度，结合匀变速直线运动的公式确

定带电粒子的速度、时间和位移等.

②功能关系法——动能定理：

带电粒子在电场中通过电势差为UAB 的两点时动能的变化是kE，则

212221

21mvmvEqUkAB.

例：如图真空中有一对平行金属板，间距为d，接在电压为U的电源上，质量为m、电量为q的正电

荷穿过正极板上的小孔以v0进入电场，到达负极板时从负极板上正对的小孔穿出.不计重力，求：正电荷

穿出时的速度v是多大？

解法一、动力学：由牛顿第二定律：mdqU

mqE

mFa ①

由运动学知识：v2－v02=2ad ② 联立①②解得：202vmqUv 解法二、动能定理：20221

21mvmvqU 解得202vmqUv

讨论：

（1）若带电粒子在正极板处v0≠0，由动能定理得qU=21mv2-21mv02 解得v=202qUvm

（2）若将图中电池组的正负极调换，则两极板间匀强电场的场强方向变为水平向左，带电量为+q，

质量为m的带电粒子，以初速度v0，穿过左极板的小孔进入电场，在电场中做匀减速直线运动.

①若v0>2qU

m，则带电粒子能从对面极板的小孔穿出，穿出时的速度大小为v，