北京市西城区2020届高三数学上学期期末考试试题含解析

北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷

高三数学

第Ⅰ卷（共40分）

本试卷共5页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试 卷上作答无效.

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项

1.设集合,3,0,1|,5AxxaB,若集合ABI有且仅有2个元素,则实数a的取值范围为（ ）

A. 3,  B. 0,1 C. 1, D. 1,5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据集合的交集运算，由题意知3,0ABI，由此可得，01a．

【详解】因为集合ABI有且仅有2个元素，所以3,0ABI，即有01a．

故选：B．

【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．

2.已知复数31izi，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复数的运算法则，化简复数12zi，再利用复数的表示，即可判定，得到答案.

【详解】由题意，复数31324121112iiiiziiii，

所以复数z对应的点(1,2)位于第四象限. 故选D.

【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

3.在ABCV中,若6,60,75aAB,则c（ ）

A. 4 B. 22 C. 23 D. 26

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三角形内角和求出角C，再根据正弦定理即可求出边c．

【详解】因为180756045Coooo，所以根据正弦定理知，sinsinacAC，即6sin60sin45coo，解得26c．

故选：D．

【点睛】本题主要考查已知三角形两角和一边，利用正弦定理解三角形，属于基础题．

4.设xy,且0,xy则下列不等式中一定成立的是（ ）

A. 11xy B. lnlnxy

C. 22xy D. 22xy

【答案】C

【解析】

【分析】

根据基本初等函数的单调性或者不等式的性质，即可判断各选项的真假．

【详解】对A，若0xy，则11xy，错误；

对B，当xy时，取x1,y2，根据对数函数的单调性可知，lnlnxy，错误；

对C，因为xy，所以xy，根据指数函数的单调性可知，22xy，正确；

对D，当xy时，取x1,y2，22xy，错误．

故选：C． 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性或者不等式的性质比较大小，属于基础题．

5.已知直线20xy与圆22220xyxya有公共点,则实数a的取值范围为（ ）

A. ,0 B. 0, C. 0,2 D.

,2

【答案】A

【解析】

【分析】

依题意可知，直线与圆相交或相切，所以由圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出．

【详解】依题意可知，直线与圆相交或相切．

22220xyxya即为22112xya．

由11222a，解得0a．

故选：A．

【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题．

6.设三个向量,,abcrrr互不共线,则 “0abcrrrr”是 “以,,abcrrr为边长的三角形存在”的（ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

根据充分条件、必要条件的定义即可判断．

【详解】因为三个向量,,abcrrr互不共线，所以三个向量皆不为零向量，设,aABbBCruuurruuur，

而,,abcrrr互不共线，所以,,ABC三点不共线．

当0abcrrrr时，cCAruuur，因为,,ABC三点不共线， ,,aABbBCcCAruuurruuurruuur， 所以以,,abcrrr为边长的三角形存在；

若以,,abcrrr为边长的三角形存在，但是,aABbBCruuurruuur，cACruuur，0abcrrrr．

故“0abcrrrr”是 “以,,abcrrr为边长的三角形存在”的充分不必要条件．

故选：A．

【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的理解与判断，属于基础题．

7.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众 多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm),那么该壶的容量约为（ ）

A. 1003cm B. 3200cm

C. 3003cm D. 4003cm

【答案】B

【解析】

【分析】

根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出．

【详解】设大圆锥的高为h，所以4610hh，解得10h．

故221119651036200333V3cm．

故选：B．

【点睛】本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题．

8.已知函数 1fxxk,若存在区间,1,ab,使得函数f(x)在区间 ,ab上的值域为1,1,ab则实数k的取值范围为（ ）

A. 1, B. 1,0 C. 1,4 D.

1,04

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数的单调性可知，11faafbb，即得110110aakbbk，故可知1,1ab是方程20xxk的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．

【详解】根据函数的单调性可知，11faafbb，即可得到110110aakbbk，即可知1,1ab是方程20xxk的两个不同非负实根，所以121400kxxk，解得104k．

故选：D．

【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用以及一元二次方程的根与系数的关系应用，意在考查学生的转化能力，属于中档题．

第Ⅱ卷(非选择题 共110分)

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.在51x的展开式中,2x的系数为___________.

【答案】10

【解析】

【分析】

根据二项展开式的通项，赋值即可求出．

【详解】51x展开式通项为15rrrTCx，令2x，所以2x的系数为225110C． 故答案为：10．

【点睛】本题主要考查二项展开式某特定项的系数求法，解题关键是准确求出展开式的通项，属于基础题．

10.已知向量4,6,2,abxrr满足//abrr,其中xR,那么br_____________

【答案】13

【解析】

【分析】

根据向量平行的坐标表示求出x，再根据向量模的坐标计算公式即可求出．

【详解】因为//abrr，所以4260x，解得3x．

因此222313br．

故答案为：13．

【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示以及向量模的坐标计算公式的应用，属于基础题．

11.在公差为 0dd的等差数列na中,11a ,且2412,,aaa成等比数列, 则d______________

【答案】3

【解析】

【分析】

根据等差数列的通项公式，用d表示出2412,,aaa，再根据2412,,aaa成等比数列，列式即可求解．

【详解】因为1(1)1(1)naandnd，所以24121,13,111adadad，

而2412,,aaa成等比数列，所以13111113dddd，解得3d或0d(舍去)．

故答案为：3．

【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等比数列的定义的应用，属于基础题．

12.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的四个侧面中,直角三角形有__________个

【答案】3

【解析】

【分析】

根据三视图先还原成四棱锥，然后在该四棱锥的四个侧面中判断，即可得出．

【详解】如图所示，该四棱锥是一个底面为直角梯形，一条侧棱PA垂直于底面的四棱锥．

由三视图可知，2,1PAADABBC，,ADABBCAB．

因为PA面ABCD，所以,PABPADVV都是直角三角形．

在PBCV中，222222,1,4419PBBCPCPAABBC，所以

222PBBCPC，PBCV也是直角三角形．

在PDC△中，2222448,125PDCD，而29PC，所以PDC△不是直角三角形．因此，该四棱锥的四个侧面中，直角三角形有3个．

故答案为：3

【点睛】本题主要考查三视图还原成几何体，线面垂直的定义、勾股定理及其逆定理的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．

13.对于双曲线,给出下列三个条件:

①离心率为2;

②一条渐近线的倾斜角为30°;

③ 实轴长为8,且焦点在x轴上.

写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 __________．

【答案】2211648xy,答案不唯一

【解析】

【分析】

根据双曲线的性质，选择其中两个条件，求出,,abc，即可得到满足题意的一个的双曲线标准方程．

【详解】若选择①③，所以2,28ceaa===，解得4,8ac==，所以222228448bca=-=-=，

因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为2211648xy．

若选择其它，可以得到其它的双曲线的标准方程．

故答案为：2211648xy，答案不唯一．

【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．

14.某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来20天内,这种水果每箱的销售利润r(单位:元)与时间120(,tttN,单位:天)之间的函数关系式为1104rt, 且日销售量y (单位:箱)与时间t之间的函数关系式为1202yt

①第4天的销售利润为__________元;

②在未来的这20天中,公司决定每销售1箱该水果就捐赠) ( *mmN元给 “精准扶贫”对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间t的增大而增大,则m的最小值是__________．

【答案】 (1). 1232 (2). 5