中考几何综合题(圆)

第1页，共17页 2022年中考数学真题汇编圆类几何证明题

1. (2022·湖南省郴州市)如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶.以𝐴𝐵为直径的⊙𝑂与线段𝐵𝐶交于点𝐷，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，垂足为𝐸，𝐸𝐷的延长线与𝐴𝐵的延长线交于点𝑃．

2. (1)求证：直线𝑃𝐸是⊙𝑂的切线；

3. (2)若⊙𝑂的半径为6，∠𝑃=30°，求𝐶𝐸的长．

4. (2022·广西壮族自治区贵港市)如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，点𝐷是𝐴𝐵边的中点，点𝑂在𝐴𝐶边上，⊙𝑂经过点𝐶且与𝐴𝐵边相切于点𝐸，∠𝐹𝐴𝐶=12∠𝐵𝐷𝐶．

5. (1)求证：𝐴𝐹是⊙𝑂的切线；

6. (2)若𝐵𝐶=6，𝑠𝑖𝑛𝐵=45，求⊙𝑂的半径及𝑂𝐷的长．

7. (2022·山东省烟台市)如图，⊙𝑂是△𝐴𝐵𝐶的外接圆，∠𝐴𝐵𝐶=45°．

8. (1)请用尺规作出⊙𝑂的切线𝐴𝐷(保留作图痕迹，不写作法)；

9. (2)在(1)的条件下，若𝐴𝐵与切线𝐴𝐷所夹的锐角为75°，⊙𝑂的半径为2，求𝐵𝐶的长．

第2页，共17页 10. (2022·山东省聊城市)如图，点𝑂是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶上一点，以点𝑂为圆心，𝑂𝐴为半径作⊙𝑂，与𝐵𝐶相切于点𝐸，交𝐴𝐵于点𝐷，连接𝑂𝐸，连接𝑂𝐷并延长交𝐶𝐵的延长线于点𝐹，∠𝐴𝑂𝐷=∠𝐸𝑂𝐷．

11. (1)连接𝐴𝐹，求证：𝐴𝐹是⊙𝑂的切线；

12. (2)若𝐹𝐶=10，𝐴𝐶=6，求𝐹𝐷的长．

13. (2022·辽宁省营口市)如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，以𝐴𝐵为直径作⊙𝑂与𝐴𝐶交于点𝐸，过点𝐴作⊙𝑂的切线交𝐵𝐶的延长线于点𝐷．

14. (1)求证：∠𝐷=∠𝐸𝐵𝐶；

中考热点：构造三角形外接圆解四类难题

一、问题导读 在解证几何题时，四点共圆已经被一些学生所了解或重视，然而作三角形的外接圆还没有被学生重视，使对许多几何题的证明难于入手．下面介绍作三角形外接圆这个辅助圆的思路和方法，以期待对你

的学习有所帮助。

二、典例精析 类型1 作三角形外接圆，求含有乘积式问题

例1．已知AD是△ABC的角平分线，求证：ABAC＝AD+BDCD．

【分析】作辅助圆，根据同弧所对的圆周角相等和角平分线证明相似得出比例式，再证△BAD∽△ECD，

根据相似三角形的性质得出ADED＝BDDC，即可得出答案．

【解答】证明：作△ABC的外接圆O，延长AD交⊙O于E，连接CE，

∵AE平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAC，

∵∠B＝∠E，∴△ABD∽△AEC，∴AB/AE=AD/AC，

∴ABAC＝ADAE＝AD（AD+DE）＝AD2+ADED，

∵∠B＝∠E，∠BAD＝∠DCE，∴△BAD∽△ECD，

∴AD/CD=BD/ED，∴ADED＝BDDC，∴ABAC＝ADAE＝AD+BDDC． 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理的应用，解此题的关键是推出△ABD∽△AEC

和△BAD∽△ECD，主要考查学生的推理能力．

例2．如图，ABCD是圆内接四边形，AB、DC的延长线交于E，AD、BC的延长线交于F，EP、FQ切圆于P、

Q两点，求证：EP+FQ＝EF．

【分析】作辅助圆，构建四点共圆的四边形，利用切割线定理列式：EP2＝ECED，FQ2＝FCFB，得出结论．

【解答】证明：作△BCE的外接圆，交EF于G，连接CG，

∵A、B、C、D四点共圆，∴∠FDC＝∠ABC，

∵B、C、G、E四点共圆，∴∠ABC＝∠CGE，

∴∠FDC＝∠ABC＝∠CGE，∴F、D、C、G四点共圆，

由切割线定理得：EP＝ECED，FQ＝FCFB，

EF＝（EG+GF）EF＝EGEF+GFEF＝ECED+FCFB，

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1、（2011•湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2．

（1）求OE和CD的长；

（2）求图中阴影部队的面积．

2、（2011•衡阳）如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D．

（1）判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；

（2）若∠ACB=120°，OA=2．求CD的长．

3、（2011•杭州）在平面上，七个边长为1的等边三角形，分别用①至⑦表示（如图）．从④⑤⑥⑦组成的图形中，取出一个三角形，使剩下的图形经过一次平移，与①②③组成的图形拼成一个正六边形

（1）你取出的是哪个三角形？写出平移的方向和平移的距离；

（2）将取出的三角形任意放置在拼成的正六边形所在平面，问：正六边形没有被三角形盖住的面积能否等于52？请说明理由．

4、（2011•杭州）在△ABC中，AB=√3，AC=√2，BC=1．

（1）求证：∠A≠30°；

（2）将△ABC绕BC所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积．

5、（2011•贵阳）在▱ABCD中，AB=10，∠ABC=60°，以AB为直径作⊙O，边CD切⊙O于点E．

（1）圆心O到CD的距离是 _________ ．

（2）求由弧AE、线段AD、DE所围成的阴影部分的面积．（结果保留π和根号） word格式-可编辑-感谢下载支持

6、（2011•抚顺）如图，AB为⊙O的直径，弦CD垂直平分OB于点E，点F在AB延长线上，∠AFC=30°．

（1）求证：CF为⊙O的切线．

（2）若半径ON⊥AD于点M，CE=√3，求图中阴影部分的面积．

7、（2011•北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=12∠CAB．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）若AB=5，sin∠CBF=√55，求BC和BF的长．

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题09阿氏圆问题

模型建立：已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．

阿氏圆基本解法：构造三角形相似．

模型解读：

如图1所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点， 已知 r＝k·OB．连接 PA、PB，则当“PA＋k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？

1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、OB；

2：计算连接线段OP、OB长度；

3：计算两线段长度的比值𝑂𝑃𝑂𝐵=k；

4：在OB上截取一点C，使得𝑂𝐶𝑂𝑃=𝑂𝑃𝑂𝐵构建母子型相似：

5：连接AC，与圆0交点为P，即AC线段长为PA＋KPB的最小值．

本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图 2）在线段 OB上截取 OC 使 OC＝k·r，则可说明⊙BPO 与⊙PCO 相似，即 k·PB＝PC．

⊙本题求“PA＋k·PB”的最小值转化为求“PA＋PC”的最小值，即 A、P、C 三点共线时最小（如图 3），时AC线段长即所求最小值．

【例1】（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在RT⊙ABC中，⊙ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求： 典例题

题策略

⊙𝐴𝑃+12𝐵𝑃，

⊙2𝐴𝑃+𝐵𝑃，

⊙13𝐴𝑃+𝐵𝑃，

⊙𝐴𝑃+3𝐵𝑃的最小值．

【例2】（2022·广东惠州·一模）如图1，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−4与𝑥轴交于𝐴、𝐵两点，与𝑦轴交于点𝐶，其中点𝐴的坐标为(−1,0)，抛物线的对称轴是直线𝑥=32．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点𝑃是直线𝐵𝐶下方的抛物线上一个动点，是否存在点𝑃使四边形𝐴𝐵𝑃𝐶的面积为16，若存在，求出点𝑃的坐标若不存在，请说明理由；