当前位置：文档之家 › 导数知识点总结

导数知识点总结

  • 格式：doc
  • 大小：513.50 KB
  • 文档页数：7

1 导 数 知识要点

1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x是函数)(xfy定义域的一点，如果自变量x在0x处有增量x，则函数值y也引起相应的增量)()(00xfxxfy；比值xxfxxfxy)()(00称为函数)(xfy在点0x到xx0之间的平均变化率；如果极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000存在，则称函数)(xfy在点0x处可导，并把这个极限叫做)(xfy在0x处的导数，记作)(0'xf或0|'xxy，即)(0'xf=xxfxxfxyxx)()(limlim0000.

注：①x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零.

②已知函数)(xfy定义域为A，)('xfy的定义域为B，则A与B关系为BA.

2. 函数)(xfy在点0x处连续与点0x处可导的关系：

⑴函数)(xfy在点0x处连续是)(xfy在点0x处可导的必要不充分条件.

可以证明，如果)(xfy在点0x处可导，那么)(xfy点0x处连续.

事实上，令xxx0，则0xx相当于0x. 导

数 导数的概念

导数的运算

导数的应用 导数的几何意义、物理意义

函数的单调性

函数的极值

函数的最值 常见函数的导数

导数的运算法则 2 于是)]()()([lim)(lim)(lim0000000xfxfxxfxxfxfxxxx

).()(0)()(limlim)()(lim)]()()([lim000'0000000000xfxfxfxfxxfxxfxfxxxfxxfxxxx⑵如果)(xfy点0x处连续，那么)(xfy在点0x处可导，是不成立的.

例：||)(xxf在点00x处连续，但在点00x处不可导，因为xxxy||，当x＞0时，1xy；当x＜0时，1xy，故xyx0lim不存在.

注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

3. 导数的几何意义：

函数)(xfy在点0x处的导数的几何意义就是曲线)(xfy在点))(,(0xfx处的切线的斜率，也就是说，曲线)(xfy在点P))(,(0xfx处的切线的斜率是)(0'xf，切线方程为).)((0'0xxxfyy

4、几种常见的函数导数：

0'C（C为常数） 1')(nnnxx（Rn）

xxcos)(sin' xxsin)(cos'

xx1)(ln' exxaalog1)(log'

xxee')( aaaxxln)('

5. 求导数的四则运算法则：

''')(vuvu)(...)()()(...)()(''2'1'21xfxfxfyxfxfxfynn

''''''')()(cvcvvccvuvvuuv（c为常数）

)0(2'''vvuvvuvu

注：①vu,必须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.

例如：设xxxf2sin2)(，xxxg2cos)(，则)(),(xgxf在0x处均不可导，但它们和)()(xgxfxxcossin在0x处均可导. 3 6. 复合函数的求导法则：)()())(('''xufxfx或xuxuyy'''

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

7. 函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数)(xfy在某个区间内可导，如果)('xf＞0，则)(xfy为增函数；如果)('xf＜0，则)(xfy为减函数.

⑵常数的判定方法；

如果函数)(xfy在区间I内恒有)('xf=0，则)(xfy为常数.

注：①0)(xf是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如32xy在),(上并不是都有0)(xf，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样0)(xf是f（x）递减的充分非必要条件.

②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.

8. 极值的判别方法：（极值是在0x附近所有的点，都有)(xf＜)(0xf，则)(0xf是函数)(xf的极大值，极小值同理）

当函数)(xf在点0x处连续时，

①如果在0x附近的左侧)('xf＞0，右侧)('xf＜0，那么)(0xf是极大值；

②如果在0x附近的左侧)('xf＜0，右侧)('xf＞0，那么)(0xf是极小值.

也就是说0x是极值点的充分条件是0x点两侧导数异号，而不是)('xf=0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

注①： 若点0x是可导函数)(xf的极值点，则)('xf=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.

例如：函数3)(xxfy，0x使)('xf=0，但0x不是极值点.

②例如：函数||)(xxfy，在点0x处不可导，但点0x是函数的极小值点.

9. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.

注：函数的极值点一定有意义. 4

导数练习

一、选择题

1．设函数()fx在R上可导,其导函数()fx,且函数()fx在2x处取得极小值,则函数()yxfx的图象可能是

2．设a>0,b>0,e是自然对数的底数 （ ）

A．若ea+2a=eb+3b,则a>b

B．若ea+2a=eb+3b,则a

C．若ea-2a=eb-3b,则a>b

D．若ea-2a=eb-3b,则a

3．设函数f(x)=2x+lnx 则 （ ）

A．x=12为f(x)的极大值点 B． x=12为f(x)的极小值点

C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点

4．设函数1()fxx,2()gxxbx.若()yfx的图象与()ygx的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)AxyBxy,则下列判断正确的是 （ ）

A．12120,0xxyy B．12120,0xxyy

C．12120,0xxyy D．12120,0xxyy

5．函数y=12x2㏑x的单调递减区间为 （ ）

A．(1,1] B．(0,1] C．[1,+∞) D．(0,+∞)

6．已知32()69,fxxxxabcabc,且()()()0fafbfc.现给出如下结论:①(0)(1)0ff;②(0)(1)0ff;③(0)(3)0ff;④(0)(3)0ff.

其中正确结论的序号是 （ ） 5 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

7．已知函数1()ln(1)fxxx;则()yfx的图像大致为

8．设a>0,b>0. （ ）

A．若2223abab,则a>b B．若2223abab,则a

C．若2223abab,则a>b D．若2223abab,则a

9．设函数()fx在R上可导,其导函数为()fx,且函数(1)()yxfx的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是 （ ）

A．函数()fx有极大值(2)f和极小值(1)f

B．函数()fx有极大值(2)f和极小值(1)f

C．函数()fx有极大值(2)f和极小值(2)f

D．函数()fx有极大值(2)f和极小值(2)f

10．设函数()xfxxe,则 （ ）

A．1x为()fx的极大值点 B．1x为()fx的极小值点

C．1x为()fx的极大值点 D．1x为()fx的极小值点

11．设0a且1a,则“函数()xfxa在R上是减函数 ”,是“函数 6 3()(2)gxax在R上是增函数”的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

12．已知函数33yxxc的图像与x轴恰有两个公共点,则c （ ）

A．2或2 B．9或3 C．1或1 D．3或1

二、填空题

13．曲线(3ln1)yxx在点(1,1)处的切线方程为________

14．曲线33yxx在点1,3处的切线方程为___________________.

三、解答题

15．已知函数3()fxaxbxc在2x处取得极值为16c

(1)求a、b的值;(2)若()fx有极大值28,求()fx在[3,3]上的最大值.

16．已知a∈R,函数3()42fxxaxa

(1)求f(x)的单调区间

(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+ 2a>0.

17．已知函数3211()(0)32afxxxaxaa

(I)求函数)(xf的单调区间;

(II)若函数)(xf在区间(2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;

(III)当1a时,设函数)(xf在区间]3,[tt上的最大值为()Mt,最小值为()mt,记()()()gtMtmt,求函数()gt在区间]1,3[上的最小值.

18．设函数()(,,)nnfxxbxcnNbcR

(1)设2n,1,1bc,证明:()nfx在区间1,12内存在唯一的零点;

(2)设n为偶数,(1)1f,(1)1f,求b+3c的最小值和最大值;

合集下载

导数的概念及运算

导数的概念及运算

§3.1 导数的概念及运算

1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3．函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.

4．基本初等函数的导数公式

原函数 导函数

f(x)＝c (c为常数) f′(x)＝__0__

f(x)＝xα (α∈Q*) f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax (a>0) f′(x)＝axln_a

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝1xln a

f(x)＝ln x f′(x)＝ 1x 5.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2 (g(x)≠0)．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

导数的概念、导数公式与应用

导数的概念、导数公式与应用

导数的概念及运算 知识点一：函数的平均变化率 （1）概念： 函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。 若，，则平均变化率可表示为，称为函数从到的平均变化率。 注意：

①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。

③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。

（2）平均变化率的几何意义

函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。

如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。

事实上，。

作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。

知识点二：导数的概念：

1．导数的定义：

对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或）

注意：

①增量可以是正数，也可以是负数；

②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。

2．导函数：

如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。

3．导数几何意义：

（1）曲线的切线

曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为当点Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。

导数复习专题

导数复习专题

1 导数复习专题

一、知识要点与考点

（1）导数的概念及几何意义（切线斜率）；

（2）导数的求法：一是熟练常见函数的导数；二是熟练求导法则：和、差、积、商、复合函数求导。

（3）导数的应用：一是函数单调性；二是函数的极值与最值（值域）；三是比较大小与证明不等式；

四是函数的零点个数（或参数范围）或方程的解问题。

（4）八个基本求导公式

)(C＝ ；)(nx＝ ；(n∈Q) )(sinx＝ ， )(cosx＝ ； )(xe＝ ，

)(xa＝ ；)(lnx＝ ， )(logxa＝

（5）导数的四则运算 )(vu＝ ])([xCf＝ )(uv＝ ，)(vu＝ )0(v

（6）复合函数的导数

设)(xu在点x处可导，)(ufy在点)(xu处可导，则复合函数)]([xf在点x处可导， 且xuxuyy.

二、考点分析与方法介绍

考点一 导数的概念及几何意义

目标：理解导数的概念和导数的几何意义，会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程．

求曲线在一点处的切线方程思路：一会求导；二敢设切点；三要列尽方程；四解好方程组；五得解。

例1．已知曲线y＝ f(x)在x＝－2处的切线的倾斜角为34，则f(－2)＝ ，[(2)]f＝ ．

例2．设函数f(x)的导数为()fx，且f(x)＝x2＋2xf(1)，则f(2)＝ ．

例3．（1）曲线C：y＝ax3＋bx2＋cx＋d在(0，1)点处的切线为l1：y＝x＋1，在(3，4)点处的切线为

l2：y＝－2x＋10，求曲线C的方程．

（2）求曲线S：y＝2x－x3的过点A(1，1)的切线方程．

考点二 单调性中的应用

高中数学导数知识点总结

高中数学导数知识点总结

高中数学导数知识点总结

一、导数的定义

1. 导数的几何意义

在直角坐标系中，函数的导数表示了函数曲线在某一点的切线的斜率。也就是说，导数描述了函数在某一点处的变化率。如果函数在某一点的导数为正，那么函数在这一点的曲线是朝上凸的；如果函数在某一点的导数为负，那么函数在这一点的曲线是朝下凸的；如果函数在某一点的导数为零，那么函数在这一点的曲线可能是一个最大值、最小值或者拐点。

2. 导数的代数定义

设函数y=f(x)，在点x0处可导。如果当自变量x的增量为Δx时，函数值的增量Δy与自变量的增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限存在，那么就称函数y=f(x)在点x0处可导。这个极限就是函数在点x0处的导数，通常用f'(x0)或者df(x0)/dx来表示。

二、导数的性质

1. 可导性与连续性

在区间上连续的函数必定在该区间上有定义且连续的导数。不过反之不成立。

2. 导数的四则运算法则

设函数y=f(x)和y=g(x)都在x处可导，则：

（1）常数函数的导数

\[ (k)' = 0 \]

（2）乘积的导数

\[ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \]

（3）商的导数

\[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \]

（4）复合函数的导数

\[ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

3. 链式法则

设函数y=f(u)和u=g(x)都在某点可导，则复合函数y=f(g(x))在该点可导，且有

\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \] 4. 高阶导数

如果函数f的导数也可导，则函数f有二阶导数，记作f''；同理，f(n)表示函数f的n阶导数。

5. 零点定理

如果函数f在某点可导，且在该点的导数为0，那么该点可能是函数f的极值点。