高一数学知识点总结_圆与方程知识点

【高中数学】高一数学必修二《圆与方程》知识点整理[1]高一数学必修二《圆与方程》知识点整理一、标准方程x a2y b r 221.求标准方程的方法――关键是求出圆心a,b和半径r①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材P119例2 ②利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件方程形式圆心在原点 x y r r0 222过原点x a y b a2b2a2b20圆心在x 轴上x a y r22222rr00圆心在y轴上 x y b r222圆心在x轴上且过原点x a y a222a0b02圆心在y轴上且过原点 x y b b2222与x轴相切x a y b b 222b0a0与y轴相切x a y b a与两坐标轴都相切x a y b a二、一般方程x y Dx Ey F0D E4F0 22222222a b01.Ax By Cxy Dx Ey F0表示圆方程则⎧⎧⎧A=B≠0⎧A=B≠0⎧⎧C=0⇔⎨⎨C=0⎧⎧D2+E2-4AF>022⎧DEF⎧⎧⎧⎧⎧>0 ⎧+ ⎧-4⋅⎧AAA⎧⎧⎧⎧⎧2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材P122例r43.D2+E2-4F>0常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系dr⇒点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值PBPB=BN=BC-r =BM=BC+rminmax（2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值Pmin= PmaxA=A=rr C C=思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）四、直线与圆的位置关系1.判断方法（d为圆心到直线的距离）（1）相离⇔没有公共点⇔∆<0⇔d>r（2）相切切⇔只有一个公共点⇔∆=0⇔d=r（3）相交⇔有两个公共点⇔∆>0⇔d这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切（1）知识要点①基本图形感谢您的阅读，祝您生活愉快。

高一数学知识点全部总结一、代数1.1 一元二次方程一元二次方程是高一数学的重点内容之一，一元二次方程的定义是形式为ax^2+bx+c=0的方程，其中a≠0。

解一元二次方程的方法有因式分解、配方法、公式法等。

1.2 不等式高一数学的不等式内容主要包括一元一次不等式、一元二次不等式以及一元三次不等式的求解方法，包括图像法、取值范围法、代数法等。

1.3 二次函数二次函数是高一数学代数部分的重点内容，涉及了函数的定义、性质、图像、极值、单调性、解析式等多个方面的内容。

1.4 基本初等函数高一数学还包括了基本初等函数的概念和性质，包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的定义、性质及其在实际问题中的应用。

1.5 绝对值函数绝对值函数也是高一数学中的一个重要内容，主要包括了绝对值函数的性质、图像及其在实际问题中的应用。

1.6 平面直角坐标系中的直线和圆平面直角坐标系中的直线和圆也是高一数学的重要内容，主要包括了直线的方程、性质、圆的方程、性质及其在实际问题中的应用。

1.7 数列数列也是高一数学的一个重要内容，包括等差数列、等比数列、递推数列等的概念、性质、求和公式及其在实际问题中的应用。

1.8 集合与函数高一数学的内容还包括了集合的基本概念、基本运算、集合的关系和函数的概念、性质、运算、基本初等函数的图像等内容。

1.9 二项式定理二项式定理是高一数学中的一个重要概念，包括二项式的展开式、二项式系数、二项式定理的应用等方面的内容。

1.10 逻辑与命题关系逻辑与命题关系也是高一数学的一个知识点，主要包括了命题、充分必要条件、等价命题、逻辑联结词、命题公式等内容。

二、几何2.1 几何图形的性质高一数学的几何内容主要包括了基本的几何图形的性质，包括直线、角、三角形、四边形、圆等的基本性质、判定方法和应用题。

2.2 相似三角形相似三角形是高一数学中的重点内容，主要包括了相似三角形的性质、判定方法及其在实际问题中的应用。

高一数学直线和圆的方程知识点总结一、直线方程1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是[0,180)注：①当倾斜角等于90时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.二、圆的方程1.⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的与一个二元方程f(x,y)=0的实数建立了如下关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形).⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(x,y)其坐标与方程f(x,y)=0的一种关系，曲线上任一点(x,y)是方程f(x,y)=0的解;反过来，满足方程f(x,y)=0的解所对应的点是曲线上的点.注：如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y)线C上的充要条件是f(x0,y0)=01.提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.2.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立→从假设出发，经推理论证得到矛盾→矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立3.应用关键：在正确的推理下得出矛盾(与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等).4.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.看过"高一数学直线和圆的方程知识点总结"的还看了:。

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下面就让小编给大家带来高一下学期数学知识点总结，希望大家喜欢!高一下学期数学知识点总结1圆的方程定义：圆的标准方程(x—a)2+(y—b)2=r2中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为(a，b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

直线和圆的位置关系：1、直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的`方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系。

①Δ 0，直线和圆相交、②Δ=0，直线和圆相切、③Δ 0，直线和圆相离。

方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较。

①dR，直线和圆相离、2、直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程、求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。

3、直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题。

切线的性质⑴圆心到切线的距离等于圆的半径;⑵过切点的半径垂直于切线;⑶经过圆心，与切线垂直的直线必经过切点;⑷经过切点，与切线垂直的直线必经过圆心;当一条直线满足(1)过圆心;(2)过切点;(3)垂直于切线三个性质中的两个时，第三个性质也满足。

切线的判定定理经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线长定理从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。

高一下学期数学知识点总结2函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的函数C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.(2)画法A、描点法：B、图象变换法常用变换方法有三种1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换4.高中数学函数区间的概念(1)函数区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间5.映射一般地，设A、B是两个非空的函数，如果按某一个确定的对应法则f，使对于函数A中的任意一个元素x，在函数B中都有确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从函数A到函数B的一个映射。

高一数学圆方程知识点圆方程是高中数学中的一个重要知识点，它在几何图形的研究中有着广泛的应用。

下面，我将为大家详细介绍高一数学圆方程的相关内容。

一、圆的一般方程在平面直角坐标系中，圆可以用一般方程表示，其一般方程为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。

二、圆的标准方程圆的标准方程是圆的一般方程的简化形式，标准方程为：x² +y² + Dx + Ey + F = 0。

其中，圆心的坐标为(-D/2, -E/2)，半径的平方为R² = (D²+E²)/4-F。

三、与坐标轴平行的圆1. 与x轴平行的圆当圆的圆心位于原点时，圆的方程可以表示为x² + y² = r²。

当圆的圆心不位于原点时，可以用(x-a)² + y² = r²来表示。

2. 与y轴平行的圆当圆的圆心位于原点时，圆的方程可以表示为x² + y² = r²。

当圆的圆心不位于原点时，可以用x² + (y-b)² = r²来表示。

四、圆的切线方程圆的切线是与圆的边缘只有一个交点的直线。

求圆的切线方程的步骤如下：1. 求切点坐标设圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，已知切线的斜率为k。

通过方程联立，求解出切点坐标(x₁, y₁)。

2. 求切线方程根据切线的定义，切线方程可表示为y-y₁ = k(x-x₁)。

五、与直线的位置关系1. 直线与圆相交当直线与圆相交时，有三种可能的情况：相交于两点、相切于一点和不相交。

2. 直线与圆外切当直线与圆外切时，直线到圆心的距离等于圆的半径。

可以通过计算直线到圆心的距离来判断。

3. 直线与圆内切当直线与圆内切时，直线到圆心的距离小于圆的半径。

高一数学圆与圆方程知识点圆是初中数学学习中的一个重要的几何图形，而高一数学进一步深入了解和学习圆的性质和方程。

下面将介绍高一数学圆与圆方程的相关知识点。

一、圆的相关概念1. 圆的定义圆是平面上一点到另一点距离等于定值的所有点的集合。

2. 圆的元素圆心：圆心是圆上所有点到公共定值的点，通常用字母O表示。

半径：半径是圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。

直径：直径是通过圆心的两个点之间的距离，等于半径的2倍。

二、圆的方程1. 标准方程圆的标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a, b)是圆心坐标，r是半径长度。

例如：(x-2)²+(y+3)²=9 表示圆心坐标为(2, -3)，半径长度为3的圆。

2. 一般方程圆的一般方程是x²+y²+Ax+By+C=0，其中A,B,C是实数且A²+B²≠0。

要将一般方程转化为标准方程，可以使用配方完成平方的方式。

三、切线和法线1. 切线切线是与圆只有一个交点，并且与圆相切于该点的直线。

切线的斜率等于与圆心连线的斜率的负倒数。

2. 法线法线是与切线垂直的直线，与圆相交于切点。

法线的斜率等于切线的斜率的负倒数。

四、圆与圆的位置关系1. 相交两个圆相交的情况下，有两个交点。

如果两个圆的半径相等，那么交点重合，两个圆是重合的。

如果两个圆的半径不等，那么交点不重合，两个圆是相交的。

2. 相切两个圆外切的情况下，外切点重合，两个圆是相切的。

如果两个圆的半径相等，那么两个圆是内切的。

如果两个圆的半径不等，那么两个圆是外切的。

3. 相离两个圆没有交集，并且没有公共点的情况下，两个圆是相离的。

高一数学圆与圆方程的知识点如上所述，通过了解和掌握这些知识，可以更好地理解和应用圆的性质和方程。

希望本文对你学习圆与圆方程有所帮助。

数学高一全知识点第一章代数与函数1.1 实数集与数轴实数的定义与性质数轴及其运用1.2 代数式与代数方程代数式的定义与性质代数方程的解与解的检验1.3 多项式与因式分解一元多项式的基本概念多项式的加减乘除因式分解的方法及其应用1.4 一元一次方程与不等式一元一次方程与方程的解一元一次不等式及其解集1.5 二元一次方程组与二元一次不等式组二元一次方程组与方程组的解二元一次不等式组及其解集1.6 幂指对数函数与方程幂函数及其性质指数函数及其性质对数函数及其性质第二章几何与三角函数2.1 几何基本概念点、线、面的基本概念与性质几何图形的分类与性质2.2 直线与圆直线的性质、方程与应用圆的性质、方程与应用2.3 平面向量平面向量的定义与性质向量的加减与数量积2.4 三角函数基本概念角度与弧度的转换三角函数的定义与性质2.5 三角函数的图像与性质正弦、余弦、正切函数的图像及其性质2.6 三角函数的运算与方程三角函数的和差化积三角方程的解与应用第三章解析几何与数列3.1 解析几何的基本概念坐标系与坐标的表示平面直角坐标系与空间直角坐标系3.2 直线与平面的方程直线的点斜式与截距式平面的点法式与一般式3.3 空间中的位置关系点和直线的位置关系点和平面的位置关系直线和直线的位置关系平面和平面的位置关系3.4 数列与数列的性质等差数列与等比数列的定义与性质数列的通项与部分和3.5 递推数列与数列求和递推数列的定义与性质数列求和的方法与应用第四章概率与统计4.1 事件与概率随机事件与样本空间概率的定义与性质4.2 几何概型与概率计算基本几何概型的概率计算概率计算的四则运算4.3 统计与统计量样本与总体的统计量频率分布及其统计图表4.4 常用分布与抽样调查正态分布的性质与应用抽样调查的基本方法与误差分析以上是高一数学的全知识点，每个知识点可进一步展开论述，并且适当增加案例分析，以加深对知识点的理解与应用。

希望对你的学习有所帮助！。

数学高一有关圆的知识点高一数学学习中，圆是一个非常重要的几何概念。

它不仅在几何图形的研究中扮演重要角色，还在实际生活和其他学科中有广泛的应用。

本文将围绕圆的知识点展开讨论，从圆的定义开始，逐步介绍关于圆的性质、圆锥曲线以及圆的应用等内容。

1. 圆的定义和基本概念圆是由平面上到一个固定点的距离恒定的所有点所组成的集合。

这个固定点叫作圆心，恒定距离叫作半径。

圆常用字母O表示圆心，用字母r表示半径。

在平面直角坐标系中，圆的方程一般可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标。

2. 圆的性质圆具有以下几个重要的性质：- 圆的直径是圆上任意两个点之间的最远距离，它等于圆的半径的两倍。

- 圆的弦是圆上的两个点之间的线段，它等于或小于圆的直径。

- 圆的切线是与圆只有一个公共点的直线，切线的斜率是圆半径和该点切线的斜率的负倒数。

- 圆的弧是圆上两个点之间的一段弧长，它可以用圆心角来度量，圆心角等于弧所对的圆周角。

- 圆的面积是圆内部的所有点构成的区域，它可以用πr²来表示，其中π是一个无理数，约等于3.14。

3. 圆锥曲线圆锥曲线是由圆与一个平面交于一点得到的曲线。

根据平面与圆交点的位置和角度，圆锥曲线可以分为三种：椭圆、双曲线和抛物线。

- 椭圆是当平面与圆相交于圆内部时得到的曲线，它具有两个焦点和两个同时与这两个焦点和平面相切的直线。

- 双曲线是当平面与圆相交于圆外部时得到的曲线，它具有两个焦点和两个同时与这两个焦点和平面相切的直线。

- 抛物线是当平面与圆相切于圆的外切点时得到的曲线，它具有一个焦点和与这个焦点在平面上对称的直线。

4. 圆的应用圆在实际生活和其他学科中有广泛的应用。

以下是几个常见的应用领域：- 圆在建筑设计中有很多应用，例如圆形建筑物、圆拱门等。

- 圆在工程测量和制图中经常使用，例如圆形坐标系、圆规等。

- 圆在物理学中有诸多应用，例如力的分析中的圆周运动、电磁波的传播等。

高一数学的重点知识点总结高一数学是数学学科中的重要一年，通过高一数学的学习，可以为高二数学的学习打下坚实的基础。

下面是高一数学的重点知识点总结：一、函数与方程1. 函数的概念及基本性质2. 一次函数及其图像、性质和应用3. 二次函数及其图像、性质和应用4. 幂函数、指数函数及其图像、性质和应用5. 对数函数及其图像、性质和应用6. 三角函数及其图像、性质和应用7. 方程及其解法（一次方程、二次方程、多项式方程、分式方程等）8. 不等式及其解法（一次不等式、二次不等式、分式不等式等）二、平面几何1. 直线与角（直线的方程、直线的性质、角的定义和性质等）2. 三角形及其性质（角的和、外角等）3. 四边形及其性质（平行四边形、矩形、菱形、正方形等）4. 圆及其性质（圆的定义、圆的方程、切线等）5. 投影与相似6. 勾股定理及其应用7. 相交线、弦、正多边形三、解析几何1. 坐标系与平面直角坐标系中点的坐标2. 点的表示、位置关系与距离公式3. 线段的长度和中点、延长线、两条线段的位置关系4. 直线的方程及其应用（一般式、斜截式、截距式、点斜式等）5. 圆的方程及其应用（一般式、标准式、一般方程式等）6. 二次曲线（抛物线、椭圆、双曲线）7. 过点作直线、直线相交四、数列与数学归纳法1. 数列及其概念2. 等差数列及其性质和应用3. 等比数列及其性质和应用4. 数学归纳法及其应用五、概率统计1. 随机事件及其概率2. 古典概型及其概率3. 条件概率及乘法定理4. 独立事件及其概率5. 随机变量及其数学期望、方差6. 分布函数及概率密度函数7. 正态分布及其应用8. 统计图与直方图六、立体几何1. 空间图形及其性质2. 旋转体、柱体、锥体、棱锥、棱台的体积和表面积3. 正多面体的体积和表面积4. 空间向量及其运算七、三角函数与三角恒等变换1. 任意角的概念及弧度制2. 三角函数的定义及正弦定理、余弦定理的应用3. 三角恒等变换的基本性质及应用以上是高一数学的重点知识点总结，但是每个学校或地区的教学进度和难度可能有所不同，还请根据教材和老师的教学要求进行学习。

高一数学复习考点知识专题讲解圆的标准方程学习目标 1.掌握圆的定义及标准方程. 2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系．知识点一圆的标准方程(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.知识点二点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点M在圆外|CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2点M在圆内|CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r21．方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(×)2．确定一个圆的几何要素是圆心和半径．(√)3．圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.(×)4．(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(×)一、求圆的标准方程例1 (1)与y 轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________． 答案 (x ＋5)2＋(y ＋3)2＝25解析 ∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y 轴相切， ∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x ＋5)2＋(y ＋3)2＝25.(2)以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的标准方程是__________________． 答案 (x －1)2＋(y －2)2＝25 解析 ∵AB 为直径， ∴AB 的中点(1,2)为圆心，12|AB |＝12(5＋3)2＋(5＋1)2＝5为半径， ∴该圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25. 反思感悟 直接法求圆的标准方程的策略确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． 跟踪训练1 求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；(2)圆心在y 轴上，半径为5，且过点(3，－4)． 解 (1)r 2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， ∴圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝8. (2)设圆心为C (0，b )， 则(3－0)2＋(－4－b )2＝52， ∴b ＝0或b ＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)， 又r ＝5，∴圆的标准方程为x 2＋y 2＝25或x 2＋(y ＋8)2＝25. 二、点与圆的位置关系例2 (1)点P (m 2,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A ．点P 在圆内 B ．点P 在圆外 C ．点P 在圆上 D ．不确定 答案 B解析 由(m 2)2＋52＝m 4＋25>24， 得点P 在圆外．(2)已知点M (5a ＋1，a )在圆(x －1)2＋y 2＝26的内部，则a 的取值范围为________________． 答案 [0,1)解析 由题意知⎩⎨⎧a ≥0，(5a ＋1－1)2＋(a )2<26，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，26a <26，解得0≤a <1. 反思感悟 判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．跟踪训练2 已知点A (1,2)和圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2，试分别求满足下列条件的实数a 的取值范围：(1)点A 在圆的内部； (2)点A 在圆上； (3)点A 在圆的外部． 解 (1)因为点A 在圆的内部， 所以(1－a )2＋(2＋a )2<2a 2，且a 不为0，解得a <－2.5.(2)因为点A 在圆上，所以(1－a )2＋(2＋a )2＝2a 2， 解得a ＝－2.5.(3)因为点A 在圆的外部，所以(1－a )2＋(2＋a )2>2a 2， 且a 不为0，解得a >－2.5且a ≠0.待定系数法与几何法求圆的标准方程典例 求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的标准方程． 解 方法一(待定系数法)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，(1－a )2＋(1－b )2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，r ＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. 方法二 (几何法)由题意知OP 是圆的弦，其垂直平分线为x ＋y －1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3，即圆心坐标为(4，－3)， 半径为r ＝42＋(－3)2＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.[素养提升](1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤(2)几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程．(3)像本例，理解运算对象，探究运算思路，求得运算结果．充分体现数学运算的数学核心素养．1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为()A．(－1,5)，3B．(1，－5)， 3C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3答案 B2．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9答案 D解析由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.3．点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定答案 B4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是()A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1答案 A解析方法一(直接法)设圆的圆心为C(0，b)，则(0－1)2＋(b－2)2＝1，∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.方法二(数形结合法)作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0,2)，故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.5．若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为__________．答案a>113或a<－113解析∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1，169a2>1，a2>1169，∴a>113或a＜－1 13.1．知识清单：(1)圆的标准方程．(2)点和圆的位置关系．2．方法归纳：直接法、几何法、待定系数法．3．常见误区：几何法求圆的方程出现漏解情况．1．圆心为(3,1)，半径为5的圆的标准方程是() A．(x＋3)2＋(y＋1)2＝5C ．(x －3)2＋(y －1)2＝5D ．(x －3)2＋(y －1)2＝25 答案 D2．圆(x －3)2＋(y ＋2)2＝13的周长是( ) A.13π B ．213π C ．2π D ．23π 答案 B解析 由圆的标准方程可知，其半径为13，周长为213π.3．已知点A (3，－2)，B (－5,4)，以线段AB 为直径的圆的标准方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝100 答案 B解析 由题意得圆心坐标为(－1,1)，半径r ＝12|AB |＝12(3＋5)2＋(－2－4)2＝5，所以圆的标准方程是(x ＋1)2＋(y －1)2＝25.故选B.4．若点A (a ＋1,3)在圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝m 外，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，5) C ．(0,5) D ．[0,5] 答案 C解析 由题意，得(a ＋1－a )2＋(3－1)2>m ，即m <5，又易知m >0，所以0<m <5，故选C.5．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的标准方程为( ) A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13 B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13 C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52答案 B解析 如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半径为r ＝(2－0)2＋(－3－0)2＝13. 故所求圆的标准方程为 (x －2)2＋(y ＋3)2＝13.6．若点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝________. 答案 ±2解析 ∵P 点在圆x 2＋y 2＝m 2上， ∴(－1)2＋(3)2＝4＝m 2， ∴m ＝±2.7．圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝1关于直线x ＋y －3＝0对称的圆的标准方程是________________． 答案 (x －4)2＋y 2＝1解析 设圆心A (3，－1)关于直线x ＋y －3＝0对称的点B 的坐标为(a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3·(－1)＝－1，a ＋32＋b －12－3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝0，故所求圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1.8．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以点C 为圆心，5为半径的圆的标准方程是________________．解析 将直线方程整理为(x ＋1)a －(x ＋y －1)＝0， 可知直线恒过点(－1,2)，从而所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.9．已知圆C 过点A (3,1)，B (5,3)，圆心在直线y ＝x 上，求圆C 的标准方程． 解 设圆心C (a ，a )，半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)2＋(a －1)2＝r 2，(a －5)2＋(a －3)2＝r 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，r ＝2，∴圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4. 10．已知点A (－1,2)和B (3,4)．求： (1)线段AB 的垂直平分线l 的方程； (2)以线段AB 为直径的圆的标准方程． 解 由题意得线段AB 的中点C 的坐标为(1,3)． (1)∵A (－1,2)，B (3,4)， ∴直线AB 的斜率k AB ＝4－23－(－1)＝12.∵直线l 垂直于直线AB ， ∴直线l 的斜率k l ＝－1k AB ＝－2，∴直线l 的方程为y －3＝－2(x －1)， 即2x ＋y －5＝0. (2)∵A (－1,2)，B (3,4)，∴|AB |＝(3＋1)2＋(4－2)2＝20＝25， ∴以线段AB 为直径的圆的半径r ＝12|AB |＝ 5.又圆心为C (1,3)，∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.11．已知圆心在x轴上的圆C经过A(3,1)，B(1,5)两点，则C的标准方程为()A．(x＋4)2＋y2＝50 B．(x＋4)2＋y2＝25C．(x－4)2＋y2＝50 D．(x－4)2＋y2＝25答案 A解析根据题意，设圆的圆心C的坐标为(m，0)，若圆C经过A(3,1)，B(1,5)两点，则有(3－m)2＋1＝(m－1)2＋25，解得m＝－4，即圆心C为(－4,0)，则圆的半径r＝|CA|＝(3＋4)2＋1＝50，则圆C的标准方程为(x＋4)2＋y2＝50，故选A.12．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程为()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0答案 D解析圆x2＋(y－3)2＝4的圆心坐标为(0,3)．因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l的方程是y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.13．已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9答案 B解析 由(3＋2λ)x ＋(3λ－2)y ＋5－λ＝0，得(2x ＋3y －1)λ＋(3x －2y ＋5)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －1＝0，3x －2y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，即P (－1,1)． ∵圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，∴|PC |＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝5，∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25，故选B.14．已知点P (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为__________．答案 1＋ 2解析 (x －1)2＋(y －1)2的几何意义是圆上的点P (x ，y )到点(1,1)的距离，因此最大值为2＋1.15．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的标准方程为______________． 答案x 2＋(y ＋1)2＝1解析 由已知圆(x －1)2＋y 2＝1，设其圆心为C 1，则圆C 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1.设圆心C 1(1,0)关于直线y ＝－x 对称的点的坐标为(a ，b )，即圆心C 的坐标为(a ，b )，则⎩⎨⎧b a －1·(－1)＝－1，－a ＋12＝b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1. 所以圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1.16．已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，直线l ：14x ＋8y －31＝0，求圆C 1关于直线l 对称的圆C 2的标准方程．解 设圆C 2的圆心坐标为(m ，n )．因为直线l 的斜率k ＝－74，圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4的圆心坐标为(－3,1)，半径r ＝2， 所以，由对称性知⎩⎪⎨⎪⎧ n －1m ＋3＝47，14×－3＋m 2＋8×1＋n 2－31＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ＝5.所以圆C 2的标准方程为(x －4)2＋(y －5)2＝4.。

高一数学必修二圆知识点在高中数学的学习中，圆作为一个重要的几何形体，占据着很大的比重。

本文将针对高一数学必修二中的圆知识点进行全面的介绍和讲解。

一、圆的定义及基本性质圆是平面上一点到另一点的距离都相等的点的集合。

圆的基本性质包括：1. 圆心和半径：圆心是圆上每个点到圆心的线段所在直径的中点。

而半径则是圆心到圆上任一点的距离。

2. 弧和弦：弧是圆上的一段曲线，而弦则是连接圆上两点的线段。

3. 弧长和扇形面积：弧长是弧所对应的圆心角所对应的弧长。

而扇形面积则是由一条弧和两条半径所围成的区域的面积。

4. 切线和切点：切线是与圆相切的直线，而切点则是切线与圆的交点。

二、圆的方程和直角坐标系圆的方程可以通过直角坐标系表示。

一般来说，圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径。

我们可以通过这个方程来确定圆的位置和形状。

三、圆的相交关系和位置关系当两个圆相交时，我们可以通过圆的交点和交点间的关系来判断相交的情况。

有以下几种情况：1. 内切和外切：当两个圆内切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径之和。

而当两个圆外切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径之差。

2. 相交：当两个圆交于两个不重合的点时，两个圆是相交的。

此时，两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和。

3. 相离：当两个圆没有交点时，两个圆是相离的。

此时，两个圆的圆心之间的距离大于两个圆的半径之和。

四、圆的切线与切点的求解圆的切线是与圆相切的直线，切点则是切线与圆的交点。

求解圆的切线和切点可以通过以下几种方法：1. 切线方程法：设切点坐标为(x,y)，圆心坐标为(a,b)，半径为r。

根据切线的定义，可以得到切线方程。

然后代入圆的方程(x-a)² + (y-b)² = r²，解得切点坐标，进而得到切线的方程。

2. 切线与法线垂直的性质：过圆上一点的切线与过该点的半径垂直。

高一年级数学课本知识点归纳汇总高一数学课本知识点总结1圆的方程定义：圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为(a，b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

直线和圆的位置关系：1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系.①Δ0,直线和圆相交.②Δ=0,直线和圆相切.③Δ0,直线和圆相离.方法二是几何的观点,即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.①dR,直线和圆相离.2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.切线的性质⑴圆心到切线的距离等于圆的半径;⑵过切点的半径垂直于切线;⑶经过圆心,与切线垂直的直线必经过切点;⑷经过切点,与切线垂直的直线必经过圆心;当一条直线满足(1)过圆心;(2)过切点;(3)垂直于切线三个性质中的两个时,第三个性质也满足.切线的判定定理经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线长定理从圆外一点作圆的两条切线,两切线长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.高一年级数学课本知识点汇总高一数学课本知识点总结21.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。

(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x 轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。

3.k，b与函数图像所在象限：当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

高一数学圆函数知识点总结圆函数是高中数学中的一个重要知识点，主要包括圆的方程、圆的性质以及圆的相关定理。

通过学习圆函数，可以帮助我们更好地理解和应用几何知识，提高解题的能力和思维逻辑。

下面将对高一数学圆函数的知识点进行总结。

一、圆的方程圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程。

1. 标准方程：对于圆心坐标为(h, k)，半径为r的圆来说，其标准方程为(x-h)² + (y-k)² = r²。

2. 一般方程：将标准方程展开后整理得到一般方程Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D、E为常数。

二、圆的性质圆有很多重要的性质，下面主要介绍几个常用的性质。

1. 圆心与半径：圆心是圆上所有点的平均值，圆的半径是圆心到圆上任意一点的距离。

2. 弦：连接圆上两点的线段称为弦。

直径是通过圆心且两端点在圆上的弦，也是圆上最长的弦。

3. 弧：圆上的两点之间的部分称为弧。

弧长是弧对应的圆心角所对应的弧长，弧长和圆心角之间有一一对应的关系。

4. 切线：切线是与圆仅有一个交点的直线，该交点是圆上的点。

5. 弧度：弧长等于半径的弧所对应的圆心角的度数，称为弧度。

1弧度等于57.3度。

三、圆的相关定理圆的相关定理是解决圆的相关问题的重要依据，下面介绍几个常用的定理。

1. 切线定理：若一条直线与圆相切，那么直线与圆心的连线垂直。

2. 弦切角定理：圆上的弦和弦上的切线所对应的角相等。

3. 弧切角定理：若一个角的顶点在圆上，一条边和圆上的弧所对应的角相等。

4. 弧长定理：弧长与圆心角的度数成正比。

5. 切线定理：两条切线的交点与圆心连线呈直角。

四、应用举例圆函数的知识在实际问题中有着广泛的应用，下面举例说明几个实际问题。

1. 风车叶片：当一个高速旋转的风车上的叶片被摄像机拍摄时，叶片的形状是一个圆弧。

利用圆弧的性质，可以测量出风车的转速。

2. 行星运动：行星在绕太阳运动时，其轨迹是一个近似圆形的椭圆。

高一数学圆相关知识点总结一、圆的基本概念1. 圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点的集合。

其中，距圆心等于半径的线段叫做圆的弦；过圆心的弦叫做直径，它把圆分成两个等大的圆弧；有一个公共端点的两个相交圆弧是圆周角。

2. 圆的元素：圆由圆心O和半径r确定，记作圆O(r)。

其中，O称为圆心，r称为半径。

3. 圆与圆的位置关系：两个圆可能相离、相切、相交或内含。

二、圆的性质1. 弧长和弧度：圆的弧长等于圆心角的度数除以360度再乘以2πr；圆的圆心角对应的圆周角等于圆心角的弧度数。

2. 切线和切点：直线与圆相切，就是直线上有且只有一个与圆有公共点，这个点叫做切点，直线叫做切线。

3. 切线与半径的关系：切线与半径垂直，且切线的切点到圆心的距离等于半径的长度。

4. 圆的性质定理：包括如下的性质（1）定理1：平行于底端的直线都通过圆心O，故垂直于底端的弦OA都等于直径。

（2）定理2：直径等于两个垂直弦中较长的一个。

（3）定理3：三角形中，含有直径的角等于直角。

（4）定理4：如果点在圆上则它的最大距离是圆的半径。

三、圆的参数方程1. 直角坐标系下的圆的参数方程：设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，则它的参数方程为：x=a+r*cosθy=b+r*sinθ其中，(a,b)为圆心坐标，r为半径，θ为参数角。

2. 极坐标系下的圆的参数方程：在极坐标系下，圆的参数方程为：r=acosθ+b（其中，a为极坐标中弧的长度，θ为极角，b为极坐标中圆心到原点的距离）。

四、圆的切线和法线1. 切线的判别式：设直线y=kx+b与圆(x-a)²+(y-b)²=r²相切，则有以下情况：（1）k=-1；直线y=-x+b与圆相切，此时直线在第二象限；（2）k=1；直线y=x+b与圆相切，此时直线在第一象限；（3）k不存在；直线x=b与圆相切，此时直线在第一象限；（4）b²=a²-r²；直线y=kx+b与圆相切，此时直线在第三象限；（5）b²>a²-r²；直线y=kx+b与圆相切，此时直线在第四象限。