九年级数学下----圆的基本性质练习

圆的基本性质练习（含答案）圆的基本性质考点1 对称性圆既是__________ ①______ 对称图形，又是 _________ ②____ 对称图形。

任何一条直径所在的直线都是它的 _____ ③。

它的对称中心是_ ④ _____________________ 。

同时圆又具有旋转不变性。

温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。

考点2 垂径定理定理：垂直于弦的直径平分_________ ⑤______ 并且平分弦所对的两条__⑥ __________ 。

常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于__________ ⑦ _______ ，并且平分弦所对的两条 _______ ⑧ ___________ 。

温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。

在这里总结一下：（1）垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形；（2）常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；（3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位置不确定，则要考虑优弧、劣弧的区别；（4）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④ 平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧；考点3 圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧___________ ⑨ _____ ，所对的弦也______ ⑩_________ o常用的还有：(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角—a ______________ ，所对的弦____ J2 __________ o(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 _______ 13 _____________ ，所对的弧 __________ 14方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。

九年级数学 圆周角 圆心角知识点：圆心角： 弧度：圆周角：圆心角与圆周角的关系: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，反过来，90°的圆周角所对的弦是直径。

例1.如图，已知P 是O 外任意一点，过点P 作直线PAB ，PCD ，分别交O 于点A ，C ，D ． 求证：12P ∠=（BD 的度数AC -的度数）．例2.如图①，点A 、B 、C 在⊙O 上，连结OC 、OB ：⑴ 求证：∠A=∠B+∠C ；⑵ 若点A 在如图②的位置，以上结论仍成立吗？说明理由。

例3.如图,⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=300,求弦DC 的长.30︒DCBAO例4.如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ．（1）求证：∠ACO=∠BCD ；（2）若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径．例5.如图,在⊙O 中,AB 是直径,CD 是弦,AB ⊥CD.(1)P 是CAD 上一点(不与C 、D 重合),试判断∠CPD 与∠COB 的大小关系, 并说明理由. (2)点P /在劣弧CD 上(不与C 、D 重合时),∠CP /D 与∠COB 有什么数量关系?请证明你的结论.DCBPAO例6.如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC=∠CAD,求弦AC 的长.DCBA O例7.如图所示，在△ABC 中，∠BAC 与∠ABC 的平分线AE 、BE 相交于点E ，延长AE 交△ABC 的外接圆于D 点，连接BD 、CD 、CE ，且∠BDA=600.(1)求证△BDE 是等边三角形；(2)若∠BDC=1200，猜想BDCE 是怎样的四边形，并证明你的猜想。

同步练习：1.在⊙O 中同弦所对的圆周角（ ）A.相等B.互补C.相等或互补D.以上都不对 2.下列说法正确中的是（ ）A.顶点在圆周上的角称为圆周角B.相等的圆周角所对的弧相等C.若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这一边必为此三角形外接圆的直径D.圆周角等于圆心角的一半3.如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ）A.∠4<∠1<∠2<∠3B.∠4<∠1=∠3<∠2C.∠4<∠1<∠3∠2D.∠4<∠1<∠3=∠2CBA ODCBAO4.如图,已知圆心角∠BOC=1000,则圆周角∠BAC 的度数是( )A.50°B.100°C.130°D.200°5.如图,A 、B 、C 、D 四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )A.2对B.3对C.4对D.5对 6.如图,D 是AC 的中点,则图中与∠ABD 相等的角的个数是( )A.4个B.3个C.2个D.1个DCBACBAO7.如图,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( )A.100°B.80°C.50°D.40° 8.如图,A 、B 、C 三点都在⊙O 上,点D 是AB 延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110° 9.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( )A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120° 10.半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，若两弦的弦心距分别为OE 、OF ，则OE ∶OF 等于( )A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0 11.点P 为⊙O 内一点，且OP=4，若⊙O 的半径为6，则过点P 的弦长不可能为 （ ）A 302B 12C 8D 10.512.如图所示，⊙O的半径为5，弧AB所对的圆心角为1200，则弦AB的长为（）A.1033 B.532C.8D.5313.如图所示，正方形ABCD内接于⊙O中，P是弧AD上任意一点，则∠ABP+∠DCP等于（）A.90°B.45°C.60°D.30°14.如图，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )A.3∶2B.5∶2C.5∶2D.5∶415.如图，AB是⊙O的直径，BC CD DE==，∠COD=35°，则∠AOE的度数为_________．16.如图所示，已知AB、CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB，∠DOE=70°,则∠BOD=__________17.如图，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．18.如图所示，在△ABC中，∠ACB=900，∠B=250，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，则∠ACD=______19.如图, AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=300，点P在线段OB上运动.设∠ACP=x，则x的取值范围是20.如图,CD是圆的直径,O是圆心，E是圆上一点且∠EOD=450，A是DC延长线上一点,AE交圆于B,如果AB=OC,则∠EAD=______21.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是__________22.如图，CD 是半圆的直径，O 为圆心，E 是半圆上一点，且93EOD ∠=，A 是DC 延长线上一点，AE 与半圆相交于点B ，如果AB=OC ，则EAD ∠=，EOB ∠=，ODE ∠=．23.如图，将某月手机费中各项费用的情况制成扇形统计图，则表示短信费的扇形圆心角的度数为______ 24.⊙O 中，弦AB 垂直直径CD 于点P ，半径OA=4cm ，OP=2cm ，则∠AOB=__________，∠ADC=__________，弧BD 度数为__________，△ADC 周长为__________ cm 。

32.圆的有关性质➢ 知识过关1. 圆有相关概念(1)圆：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转_____,另一个端点A 所于形成的图形叫做圆，圆心为O ，半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于____r 的点的集合.(2)弧、弦、等圆、等弧①弧：圆上任意_____的部分叫做弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧； ①弦：连接圆上任意两点的____叫做弦，经过_____的弦叫做直径. ①等圆：能够_____的两个圆叫做等圆；①等弧：在_____或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 2. 垂径定理及其推论 (1) 对称性：①圆是中心对称图形，其对称中心是圆心 ①圆是轴对称图形，其对称轴是_______. (2) 垂径定理及其推论①垂径定理：垂直于弦的直径______这条弦，并且平分这条弦所对的______； ①推论：平分弦(非直径)的直径______于弦，并且平分这条弦所对的两条弧.➢ 考点分类考点1 圆心角、弧、弦之间的关系例1如图所示，圆O 通过五边形OABCD 的四个顶点，若D AB=150°，A=65°，D=60°，则的度数为( )A.25°B.40°C.50°D.55°考点2垂径定理及简单应用例2如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m,其中水面的宽AB 为0.8m,则排水管内水的深度为_______m.考点3垂径定理与其他知识的综合运用例3如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，点M 是弧CBD 上任意一点，AH ＝2，CH ＝4．（1）求⊙O 的半径r 的长度； （2）求sin ∠CMD ；（3）直线BM 交直线CD 于点E ，直线MH 交⊙O 于点N ，连接BN 交CE 于点F ，求HE •HF 的值．➢ 真题演练1．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，连接AO 并延长，交⊙O 于点E ，连接BE ，DE ．若DE ＝3DO ，AB =4√5，则△ODE 的面积为（ ）A ．4B ．3√2C ．2√5D ．2√62．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 的长的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．83．在正方形网格中，以格点O 为圆心画圆，使该圆经过格点A ，B ，并在点A ，B 的右侧圆弧上取一点C ，连接AC ，BC ，则sin C 的值为（ ）A ．√32B ．12C ．1D ．√224．如图，半径为5的⊙A 与y 轴交于点B （0，2）、C （0，10），则点A 的横坐标为（ ）A ．﹣3B ．3C ．4D ．65．如图，在⊙O 中，直径AB ＝10，CD ⊥AB 于点E ，CD ＝8．点F 是弧BC 上动点，且与点B 、C 不重合，P 是直径AB 上的动点，设m ＝PC +PF ，则m 的取值范围是（ ）A ．8＜m ≤4√5B ．4√5＜m ≤10C ．8＜m ≤10D ．6＜m ＜106．在⊙O 中内接四边形ABCD ，其中A ，C 为定点，AC ＝8，B 在⊙O 上运动，BD ⊥AC ，过O 作AD 的垂线，垂足为E ，若⊙O 的直径为10，则OE 的最大值接近于（ ）A ．52B ．5√23C ．4D ．57．如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，B 是AC ̂的中点，∠OBC ＝50°，则∠AOB 等于 °．8．如图，将半径为rcm 的⊙O 折叠，弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，已知弦AB 的长为4√15cm ，则r ＝ cm ．9．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE ＝1，则AE的长为．10．如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧ABÊ的中点，CD⊥AB，垂足为D．若AE＝8，DB＝2，则⊙O的半径为．11.如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．➢课后练习1．如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE．点P为BĈ上一点（点P不与点B，C重合），连接AP，BP，CP，AC，BC．过点C作CF⊥BP于点F．给出下列结论：①△ABC是等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中，CFAP−BP的值始终等于√32．则下列说法正确的是（）A．①，②都对B．①对，②错C．①错，②对D．①，②都错2．如图，在半径为5的⊙O 内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，AB ＝8，CD ＝8，垂足为E ．则tan ∠OEA 的值是（ ）A ．1B ．√63C ．√156D ．2√1593．如图，四边形ABCD 内接于半径为5的⊙O ，AB ＝BC ＝BE ，AB ⊥BE ，则AD 的长为（ ）A ．5B ．5√2C ．5√3D ．104．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOC ＝90°，AB =√2，BC ＝1，则⊙O 的半径为（ ）A ．√3B ．√52C ．√102D ．√2+125．下列说法正确的是（ ）A ．同弧或等弧所对的圆心角相等B ．所对圆心角相等的弧是等弧C ．弧长相等的弧一定是等弧D ．平分弦的直径必垂直于弦6．如图，A ，B 为圆O 上的点，且D 为弧AB 的中点，∠ACB ＝120°，DE ⊥BC 于E ，若AC =√3DE ，则BE CE的值为（ ）A ．3B ．2C ．√33+1D ．√3+17．如图所示，在⊙O 中，BC 是弦，AD 过圆心O ，AD ⊥BC ，E 是⊙O 上一点，F 是AE 延长线上一点，EF ＝AE ．若AD ＝9，BC ＝6，设线段CF 长度的最小值和最大值分别为m 、n ，则mn ＝（ ）A ．100B ．90C ．80D ．708．如图，A ，B 是⊙O 上的点，∠AOB ＝120°，C 是AB̂的中点，若⊙O 的半径为5，则四边形ACBO 的面积为（ ）A ．25B ．25√3C ．25√34D ．25√329．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是半圆上的一个三等分点，点D 是AĈ的中点，点P 是直径AB 上一点，若⊙O 的半径为2，则PC +PD 的最小值是 ．10．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为260cm ，下雨前水面宽为100cm ，一场大雨过后，水面宽为240cm ，则水位上升 cm ．11．如图，在⊙O 中，点C 在弦AB 上，连接OB ，OC ．若OB ＝5，AC ＝1，BC ＝5，则线段OC 的长为 ．12．如图，以G（0，3）为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D 两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最大值为．13．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB ＝8，OC＝3，则EC的长为．14．如图，射线PE平分∠CPD，O为射线PE上一点，以O为圆心作⊙O，与PD边交于点A、点B，连接OA，且OA∥PC．（1）求证：AP＝AO．（2）若⊙O的半径为10，tan∠OPB=12，求弦AB的长．15．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，OF⊥CD，垂足为F．设已知BE＝5，AE=12OE，OF＝1，求CD的长．➢冲击A+在Rt①ABC中，①BAC=90°，(1)如图1，D、E分别在BC、BA的延长线上，①ADE=2①CAD，求证：DA=DE；(2)如图2，在(1)的条件下，点F在BD上，①AFB=①EFD，求证：①FAD=①FED(3)如图3，若AB=AC，过点C作CN||AB，连接AN，在AN上取一点G，使GA=AC，连接BG交AC于点H，连接CG，试探究CN、CH、GN之间满足的数量关系式，并给出证明；。

九年级数学圆知识点及例题圆是初中数学中非常重要的一个几何概念，它与我们日常生活息息相关。

本文将带领大家系统地了解九年级数学中与圆相关的知识点，并提供一些例题进行辅助学习。

一、圆的基本概念1. 圆的定义：圆是平面上到一个定点（圆心）距离相等的所有点的集合。

2. 圆的要素：圆心、半径、直径、弧、弦、切线等。

二、圆的基本性质1. 圆的半径与直径的关系：直径是半径的两倍。

2. 圆的周长：圆的周长是其直径的倍数，即周长等于直径乘以π（π≈3.14）。

3. 圆的面积：圆的面积等于半径的平方乘以π。

三、圆的判定1. 距离判定定理：给定一定距离，平面上到该距离相等的点构成的图形是圆。

2. 切线定理：过圆外一点有且仅有一条切线，该切线与半径垂直。

四、圆的位置关系1. 同圆：拥有相同半径的两个圆。

2. 内切和外切：一个圆与另一个圆内部的一个点或外部的一个点相切。

3. 相交与相离：两个圆相交的情况包括相切和交叉，而相离则是两个圆不相交。

五、圆的综合应用1. 圆和三角形的关系：圆内切于一个三角形的关系、圆外接于一个三角形的关系等。

2. 圆和正多边形的关系：正n边形的内切和外切圆等。

3. 圆和椭圆、抛物线、双曲线的关系。

下面我们来看一些九年级数学中与圆相关的例题。

例题1：已知一个圆的半径是5cm，求其周长和面积。

解：根据圆的周长公式，周长等于直径乘以π。

我们已知半径是5cm，则直径是半径的两倍，即10cm。

所以，圆的周长为10cm × π ≈ 10 × 3.14 ≈ 31.4cm。

另外，根据圆的面积公式，面积等于半径的平方乘以π。

所以，圆的面积为5cm × 5cm × π ≈ 25 × 3.14 ≈ 78.5cm²。

例题2：已知圆A的半径是8cm，圆B的直径是12cm，判断这两个圆的位置关系。

解：首先，我们通过直径的关系得知，圆B的直径是圆A的直径的1.5倍，即12cm = 8cm × 1.5。

考点跟踪训练26 圆的基本性质一、选择题1．(2011·上海)矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝3 5，点P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是( )A. 点B 、C 均在圆P 外B. 点B 在圆P 外、点C 在圆P 内C. 点B 在圆P 内、点C 在圆P 外 D ．点B 、C 均在圆P 内 答案 C解析 如图，AB ＝8，BP ＝3AP ，得BP ＝6，AP ＝2.在Rt △APD 中，PD ＝ 3 52＋22＝7>BP ，所以点B 在圆P 内；在Rt △BPC 中，PC ＝ 3 52＋62＝9>PD ，所以点C 在圆P外．2．(2011·凉山)如图，∠AOB ＝100°，点C 在⊙O 上，且点C 不与A 、B 重合，则∠ACB 的度数为( )A ．50°B ．80°或50°C ．130°D ．50° 或130° 答案 D解析 当点C 在优弧上，∠ACB ＝12∠AOB ＝50°；当点C 在劣弧上，∠ACB ＝180°－50°＝130°.综上，∠ACB ＝50°或130°.3．(2011·重庆)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB ＝40°，则∠A 的度数等于( )A ．60°B ．50°C ．40°D ．30° 答案 B解析 在△OBC 中，OB ＝OC ，∠OCB ＝40°， ∴∠BOC ＝180°－2×40°＝100°.∴∠A ＝12∠BOC ＝12×100°＝50°.4．(2011·绍兴)一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB ＝10，截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是( )A ．16B ．10C ．8D ．6 答案 A解析 在Rt △OBC 中，OB ＝10，OC ＝6，∴BC ＝102－62＝8. ∵OC ⊥AB ， ∴AC ＝BC.∴AB ＝2BC ＝2×8＝16.5．(2011·嘉兴)如图，半径为10的⊙O 中，弦AB 的长为16，则这条弦的弦心距为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 答案 A解析 作弦心距OC ，得AC ＝BC ＝12×16＝8.连接AO ，在Rt △AOC 中，OC ＝102－82＝6.二、填空题6．(2011·扬州)如图，⊙O 的弦CD 与直径AB 相交，若∠BAD ＝50°，则∠ACD ＝__________度．答案 40解析 ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°.∴∠B ＝90°－∠BAD ＝90°－50°＝40°. ∴∠ACD ＝∠B ＝40°.7．(2011·安徽)如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB ＝CD ，已知CE ＝1，ED ＝3，则⊙O 的半径是________________．答案 5解析 画OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别为M 、N ，连接OD.∵AB ＝CD ， ∴OM ＝ON.易证四边形OMEN 是正方形．∵CN ＝DN ＝12CD ＝12×(1＋3)＝2，∴EN ＝CN －CE ＝2－1＝1. ∴ON ＝1.∴在Rt △DON 中，OD ＝12＋22＝ 5.8．(2011·杭州)如图，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，CD 的度数等于84°，CA 是∠OCD 的平分线，则∠ABD ＋∠CAO ＝________.答案 48°解析 ∵OA ＝OC ， ∴∠CAO ＝∠ACO. 又∵∠ABD ＝∠ACD ，∴∠ABD ＋∠CAO ＝∠ACD ＋∠ACO ＝∠DCO.在△CDO 中，OC ＝OD ，∠COD=====mCD ＝84°，∴∠DCO ＝180°－84°2＝48°，即∠ABD ＋∠CAO ＝48°.9．(2011·威海)如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE ＝5，BE ＝1，CD ＝4 2，则∠AED ＝___________.答案 30°解析 连接DO ，画OF ⊥CD ，垂足是F.∴CF ＝DF ＝12CD ＝12×4 2＝2 2.∵AB ＝AE ＋BE ＝5＋1＝6，∴DO ＝12AB ＝3.在Rt △DFO 中，OF ＝32－ 2 22＝1，在Rt △OFE 中，OE ＝3－1＝2，OF ＝1.∴∠AED ＝30°.10．(2011·舟山)如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC于点D ，连接CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE ＝OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2＝CE·AB.其中正确结论的序号是_______．答案 ①④解析 ∵OC ⊥AB ，∴A C ＝B C ＝90°. ∵AD 平分∠CAD ，∴∠CAD ＝∠BAD ，CD ＝BD ＝45°. ∴∠CAB=====m 12BC ＝45°，∠DOB=====mBD ＝45°，∴∠CAD ＝∠DOB ，AC ∥OD ；在△ACO 中，AC>AO ，AE 平分∠CAO ，∴CE≠EO；由AC ∥OD ，得△ODE ∽△CAE ，而∠CAD ＝∠BAO ，∠ACE≠∠AOD ，∠AEC≠∠AOD.∴△ACE 与△ADO 不相似，即△ODE 与△ADO 不相似；连接BD ，有BD ＝CD ，可求得∠B ＝67.5°，又∵∠CED ＝∠AEO ＝67.5°，∴∠B ＝∠CED.又∵∠CDE ＝∠DOB ＝45°，∴△CDE ∽△DOB ，CD DO ＝CE DB ，CD·DB＝CE·DO，∴CD 2＝CE·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB ，即2CD 2＝CE·AB.故结论①、④正确． 三、解答题11．(2011·上海)如图，点C 、D 分别在扇形AOB 的半径OA 、OB 的延长线上，且OA ＝3，AC ＝2，CD 平行于AB ，并与A B 相交于点M 、N.(1)求线段OD 的长；(2)若tan ∠C ＝12，求弦MN 的长．解 (1)∵CD ∥AB ，∴∠OAB ＝∠C ，∠OBA ＝∠D. ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA. ∴∠C ＝∠D. ∴OC ＝OD.∵OA ＝3，AC ＝2， ∴OC ＝5. ∴OD ＝5.(2)过点O 作OE ⊥CD ，E 为垂足，连接OM.在Rt △OCE 中，OC ＝5，tan ∠C ＝12，设OE ＝x ，则CE ＝2x.由勾股定理得x 2＋(2x)2＝52，解得x 1＝5，x 2＝－5(舍去)．∴OE ＝ 5.在Rt △OME 中，OM ＝OA ＝3，∴ME ＝OM 2－OE 2＝32－52＝2.∴MN ＝2ME ＝4.12．(2011·江西)如图，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为2 3，点A 为弦BC 所对优弧上任意一点(B 、C 两点除外)．(1)求∠BAC 的度数；(2)求△ABC 面积的最大值．(参考数据：sin60°＝32，cos30°＝32，tan30°＝33.)解 (1) 解法一：连接OB 、OC ，过O 作OE ⊥BC 于点E(如图)．∵OE ⊥BC ，BC ＝2 3， ∴BE ＝EC ＝ 3.在Rt △OBE 中，OB ＝2，∵sin ∠BOE ＝BE OB ＝32，∴∠BOE ＝60°， ∴∠BOC ＝120°，∴∠BAC ＝12∠BOC ＝60°.解法二：连接BO 并延长，交⊙O 于点D ，连接CD.(如图)∵BD 是直径，∴BD ＝4，∠DCB ＝90°. 在Rt △DBC 中，sin ∠BDC ＝BC BD ＝2 34＝32，∴∠BDC ＝60°，∴∠BAC ＝∠BDC ＝60°.(2)因为△ABC 的边BC 的长不变，所以当BC 边上的高最大时，△ABC 的面积最大，此时点A 落在优弧BC 的中点处．如图，过O 作OE ⊥BC 于E ，延长EO 交⊙O 于点A ，则A 为优弧BC 的中点．连接AB 、AC ，则AB ＝AC ，∠BAE ＝12∠BAC ＝30°.在Rt △ABE 中，∵BE ＝3，∠BAE ＝30°，∴AE ＝BEtan 30°＝3，∴S △ABC ＝12×2 3×3＝3 3.答：△ABC 面积的最大值是3 3. 13．(2011·德州) ●观察计算当a ＝5，b ＝3时， a ＋b2与ab 的大小关系是__________________；当a ＝4，b ＝4时， a ＋b2与ab 的大小关系是__________________．●探究证明如图所示，△ABC 为圆O 的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝a ，BD ＝b.(1)分别用a 、b 表示线段OC 、CD ；(2)探求OC 与CD 表达式之间存在的关系(用含a 、b 的式子表示)． ●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出a ＋b2与ab 的大小关系是：________________________.●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．解 观察计算： a ＋b 2>ab ；a ＋b2＝ab. 探究证明：(1)∵AB ＝AD ＋BD ＝2OC ，∴OC ＝a ＋b 2.∵AB 为⊙O 直径， ∴∠ACB ＝90°.∵∠A ＋∠ACD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°， ∴∠A ＝∠BCD. ∴△ACD ∽△CBD. ∴AD CD ＝CD BD . 即CD 2＝AD·BD ＝ab ， ∴CD ＝ab.(2)当a ＝b 时，OC ＝CD, a ＋b2＝ab ；a≠b 时，OC>CD, a ＋b2>ab.结论归纳： a ＋b2≥ab.实践应用：设长方形一边长为x 米，则另一边长为1x 米，设镜框周长为l 米，则l ＝2(x ＋1x ) ≥4x·1x＝4 . 当x ＝1x，即x ＝1(米)时，镜框周长最小．此时四边形为正方形时，周长最小为4 米．14．(2011·肇庆)已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连接AD.(1)求证：∠DAC ＝∠DBA ； (2)求证：P 是线段AF 的中点；(3)若⊙O 的半径为5，AF ＝152，求tan ∠ABF 的值．解 (1)证明：∵BD 平分∠CBA ，∴∠CBD ＝∠DBA.∵∠DAC 与∠CBD 都是弧CD 所对的圆周角， ∴∠DAC ＝∠CBD. ∴∠DAC ＝∠DBA.(2)证明：∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°. 又∵DE ⊥AB 于点E ，∴∠DEB ＝90°. ∴∠ADE ＋∠EDB ＝∠ABD ＋∠EDB ＝90°. ∴∠ADE ＝∠ABD ＝∠DAP.∴PD ＝PA.又∵∠DFP ＋∠DAC ＝∠ADE ＋∠PDF ＝90°， 且∠ADE ＝∠DAC ，∴∠PDF ＝∠PFD ，∴PD ＝PF.∴PA ＝PF ，即P 是线段AF 的中点．(3)解：∵∠DAF ＝∠DBA ，∠ADB ＝∠FDA ＝90°， ∴△FDA ∽△ADB ， ∴AD DB ＝AF AB. ∴在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝AD DB ＝AF AB ＝15210＝34，即tan ∠ABF ＝34.15．(2011·广州)如图1，⊙O 中AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC ＝45°，等腰直角三角形DCE 中∠DCE 是直角，点D 在线段AC 上．(1)证明：B 、C 、E 三点共线；(2)若M 是线段BE 的中点，N 是线段AD 的中点，证明：MN ＝2OM ；(3)将△DCE 绕点C 逆时针旋转α(00<α<900)后，记为△D 1CE 1(图2)，若M 1是线段BE 1的中点，N 1是线段AD 1的中点，M 1N 1＝2OM 1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．解 (1)证明：∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ACB ＝90°. ∵ ∠DCE ＝90°，∴∠ACB ＋∠DCE ＝180°， ∴ B 、C 、E 三点共线．(2)证明：如图，连接ON 、AE 、BD ，延长BD 交AE 于点F.∵ ∠ABC ＝45°，∠ACB ＝90°，∴ BC ＝AC. 又∠ACB ＝∠DCE ＝90°，DC ＝EC ， ∴ △BCD ≌△ACE.∴ BD ＝AE ，∠DBC ＝∠CAE.∴∠DBC ＋∠AEC ＝∠CAE ＋∠AEC ＝90°. ∴ BF ⊥AE.∵ AO ＝OB ，AN ＝ND ，∴ ON ＝12BD ，ON ∥BD.∵ AO ＝OB ，EM ＝MB ，∴ OM ＝12AE ，OM ∥AE.∴ OM ＝ON ，OM ⊥ON. ∴ ∠OMN ＝45°.又 cos ∠OMN ＝OMMN ，∴ MN ＝2OM.(3) M 1N 1＝2OM 1成立，证明同(2)。

E O ABDC九年级数学《圆的基本性质》单元测试班级 姓名 学号 得分一、选择题（每题3分，共30分）1. 若一个圆的半径是3cm ，则此圆的最长弦的长度为（ ）A. 3cmB. 4cmC.5cmD. 6cm2. 以下命题：(1)同圆中等弧对等弦；(2)圆心角相等，它们所对的弧长也相等；(3)三点确定一个圆；(4)平分弦的直径必垂直于这条弦．其中正确的命题的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 3. 如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOB =80°，则∠ACB =（ ）A. 20°B. 40°C. 60°D. 80° 4. 如图，正方形ABCD 的边长为6cm ，则它的外接圆的半径长是（ ）A.2cmB. 22cmC. 32cmD. 42cm第6题 第7题 5、在⊙O 中，∠AOB=120°，弧AB 的长为 6，则⊙O 的半径是（ ） （A ）6； （B ）9； （C ）18； （D ）4.5。

6、如图，⊙O 中，ABDC 是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC 的度数是（ ） （A ）110°； （B ）70°； （C ）55°； （D ）125°。

7、如图3，在⊙O 中，直径CD=5，CD ⊥AB 于E ，OE= 0.7，则AB 的长是（ ） （A ）2.4； （B ）4.8 ； （C ）1.2； （D ）2.5。

8. 如图，在半径为5的⊙O 中，如果弦AB 的长为8，那么它的弦心距OC 等于（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6OAB CABCDO图1图2第3题第4题第8题图9. 已知⊙O 中,弦AB 的长等于半径,P 为弦AB 所对的弧上一动点,则∠A PB 的度数为（ ）A. 30oB. 150oC. 30o 或150oD. 60°或120o10．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ．则OM 的长为（) A .C. 2cmD. 3cm二、填空题（每题4分，共24分）11. 一条弧的度数是1080，则它所对的圆心角是 ，所对的圆周角是 .12.P 为⊙O 内一点，⊙O 的半径为5cm ，PO =3cm ，则过P 点的最长的弦长等于 cm ，最短的弦长等于 cm 。

第29讲 圆的基本性质1. (2012，某某)如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦(不是直径)，AB ⊥CD 于点E ，则下列结论正确的是(D)第1题图A. AE >BEB. 弧AD ＝弧BCC. ∠D ＝12∠AEC D. △ADE ∽△CBE 【解析】 ∵CD 是⊙O 的直径，AB 是弦(不是直径)，AB ⊥CD 于点E ，∴AE ＝BE ，弧AC ＝弧BC .∴A ，B 两选项错误．∵∠AEC 不是圆心角，∴∠D ≠12∠AE C. ∴C 选项错误．∵∠AED ＝∠CEB ＝90°，∠DAE ＝∠BCE ，∴△ADE ∽△CBE .∴D 选项正确．2. (2015，某某)如图，AC ，BE 是⊙O 的直径，弦AD 与BE 相交于点F .下列三角形中，外心不是点O 的是(B)第2题图A. △ABEB. △ACFC. △ABDD. △ADE【解析】 只有△ACF 的三个顶点不都在⊙O 上，故外心不是点O 的是△ACF .3. (2016，某某)如图所示的为4×4的网格图，A ，B ，C ，D ，O 均在格点上，点O 是(B)第3题图A. △ACD 的外心B. △ABC 的外心C. △ACD 的内心D. △ABC 的内心【解析】 由网格图，知点O 是边AC ，BC 的垂直平分线的交点．根据三角形外心的定义，知点O 是 △ABC 的外心．圆的有关概念例1 下列语句正确的是(D)A. 长度相等的两条弧是等弧B. 平分弦的直径垂直于弦C. 相等的圆心角所对的弧相等D. 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴【解析】 能完全重合的两条弧是等弧，所以A 选项错误．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，所以B 选项错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C 选项错误．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，所以D 选项正确.针对训练1 如图，半圆O 是一个量角器，△AOB 为一纸片，AB 交半圆于点D ，OB 交半圆于点C .若点C ，D ，A 在量角器上对应的读数分别为45°，70°，160°，则∠B 的度数为(A)训练1题图A. 20°B. 30°C. 45°D. 60°【解析】 如答图，连接OD ，则∠DOC ＝70°－45°＝25°，∠AOD ＝160°－70°＝ 90°.∵OD ＝OA ，∴∠ADO ＝∠A ＝45°.∵∠ADO ＝∠B ＋∠DOB ，∴∠B ＝45°－25°＝ 20°.训练1答图针对训练2 如图，点P 在线段AB 上，PA ＝PB ＝PC ＝PD .当∠BPC ＝60°时，∠BDC 的度数为(B)训练2题图A. 15°B. 30°C. 25°D. 60°【解析】 ∵PA ＝PB ＝PC ＝PD ，∴点A ，B ，C ，D 在以点P 为圆心，PB 的长为半径的圆上．∴∠BDC ＝12∠BPC ＝12×60°＝30°.确定圆的条件例2 (2010，某某)如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)例2题图A. 点PB. 点QC. 点RD. 点M【解析】如答图，连接BC，作AB和BC的垂直平分线，它们相交于点Q，则点Q即为圆心．例2答图针对训练3 在平面直角坐标系中，点A的坐标是(－1，0)，点B的坐标是(3，0)，在y 轴的正半轴上取一点C，使A，B，C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是(A)A. (0，3)B. (3，0)C. (0，2)D. (2，0)【解析】如答图，连接AC，CB.根据题意可证得△AOC∽△COB，∴OCOA＝OBOC，即OC2＝OA·OB.∴OC2OC＝ 3.故点C的坐标为(0，3).训练3答图针对训练4 如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，有一圆过C，D，E三点，且此圆分别与AD，BC相交于P，Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：甲：连接DE，EC，作∠DEC的平分线EM，作DE的垂直平分线，交EM于点O，则点O即为所求．乙：连接PC，QD，两线段交于一点O，则点O即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是(A)训练4题图A. 两人皆正确B. 两人皆错误C. 甲正确，乙错误D. 甲错误，乙正确【解析】 对于甲，易知ED ＝EC ，∴△DEC 为等腰三角形．进而易知EM 为CD 的垂直平分线．∴点O 为两垂直平分线的交点，即点O 为△CDE 的外心．∴点O 为此圆的圆心．对于乙，∵∠ADC ＝90°，∠DCB ＝90°，∴PC ，QD 为此圆的直径．∴PC 与QD 的交点O 为此圆的圆心．因此甲、乙两人皆正确.圆的基本性质例3 (2018，某某裕华区模拟)如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，C 是优弧AB 上一点(不与点A ，B 重合)，则cos C 的值为(D)例3题图A. 43B. 34C. 35D. 45【解析】 如答图，作直径AD ，连接BD .∵AD 为直径，∴∠ABD ＝90°.在Rt △ABD 中，∵AD ＝10，AB ＝6，∴BD ＝102－62＝8.∴cos D ＝BD AD ＝810＝45.∵∠C ＝∠D ，∴cos C ＝45.例3答图针对训练5 (2018，某某模拟)如图，在半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD .若DE ＝6，∠BAC ＋∠EAD ＝180°，则弦BC 的长是(A)训练5题图A. 8B. 10C. 11D. 12【解析】 如答图，作直径CF ，连接BF ，则∠FBC ＝90°.∵∠BAC ＋∠EAD ＝180°，∠BAC ＋∠BAF ＝180°，∴∠DAE ＝∠BAF .∴弧DE ＝弧BF .∴BF ＝DE ＝6.∴BC ＝CF 2－BF 2＝8.训练5答图 针对训练6 (2018，某某)已知⊙O 的半径为10，圆心O 到弦AB 的距离为5，则弦AB 所对的圆周角的度数为(D)A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°【解析】 如答图．在Rt △OAD 中，∵OA ＝10，OD ＝5，∴cos ∠AOD ＝OD AO ＝12.∴∠AOD ＝60°.同理可得∠BOD ＝60°.∴∠AOB ＝∠AOD ＋∠BOD ＝60°＋60°＝120°.∴弦AB 所对的圆周角的度数是60°或120°.训练6答图垂径定理例4 (2018，某某，导学号5892921)已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB ＝8 cm ，则AC 的长为(C)A. 2 5 cmB. 4 5 cmC. 2 5 cm 或4 5 cmD. 2 3 cm 或4 3 cm【解析】 如答图，连接AC ，AO .∵⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB ⊥CD ，AB ＝8 cm ，∴AM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)，OD ＝OC ＝5 cm.当点C 的位置如答图①所示时，∵OA ＝5 cm ，AM ＝ 4 cm ，CD ⊥AB ，∴OM ＝OA 2－AM 2＝52－42＝3(cm)．∴CM ＝OC ＋OM ＝5＋3＝8(cm)．∴AC ＝AM 2＋CM 2＝42＋82＝45(cm)．当点C 的位置如答图②所示时，同理可得OM ＝3 cm.∵OC ＝5 cm ，∴MC ＝5－3＝2(cm)．∴在Rt △AMC 中，AC ＝AM 2＋MC 2＝42＋22＝ 25(cm)．综上所述，AC 的长为2 5 cm 或4 5 cm.例4答图针对训练7 (2018，某某)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝8 cm ，则AE 的长为(A)训练7题图A. 8 cmB. 5 cmC. 3 cmD. 2 cm【解析】 ∵CD ⊥AB ，CD ＝8 cm ，∴CE ＝12CD ＝4 cm.在Rt △OCE 中，OC ＝5 cm ，CE ＝4 cm ，∴OE ＝OC 2－CE 2＝3 cm.∴AE ＝AO ＋OE ＝5＋3＝8(cm)．一、 选择题1. (2018，聊城)如图，在⊙O 中，弦BC 与半径OA 相交于点D ，连接AB ，OC . 若∠A ＝60°，∠ADC ＝85°，则∠C 的度数是(D)第1题图A. 25°° C. 30° D. 35°【解析】 ∵∠A ＝60°，∠ADC ＝85°，∴∠B ＝85°－60°＝25°，∠CDO ＝95°. ∴∠AOC ＝2∠B ＝50°.∴∠C ＝180°－95°－50°＝35°.2. (2018，威海)如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，C 为弧AB 的中点．若∠ABC ＝30°，则弦AB 的长为(D)第2题图A. 12B. 5C. 532D. 53 【解析】 如答图，连接OA ，OC ，OC 与AB 相交于点E .∵∠ABC ＝30°，∴∠AOC ＝ 60°.由AB 为弦，C 为弧AB 的中点，易知OC ⊥AB ，AE ＝BE .在Rt △OAE 中，AE ＝OA · sin ∠AOC ＝5×32＝532，∴AB ＝2AE ＝5 3.第2题答图3. (2018，某某)如图，⊙A 过点O (0，0)，C (3，0)，D (0，1)，B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，则∠OBD 的度数是(B)第3题图A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【解析】 如答图，连接DC .∵C (3，0)，D (0，1)，∴∠DOC ＝90°，OD ＝1，OC ＝ 3.∴∠DCO ＝30°.∴∠OBD ＝∠DCO ＝30°.第3题答图4. (2018，某某)如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上的一点，∠OAC ＝32°，则∠B 的度数是(A)第4题图A. 58°B. 60°C. 64°D. 68°【解析】 ∵OA ＝OC ，∴∠C ＝∠OAC ＝32°.∵BC 是直径，∴∠CAB ＝90°.∴∠B ＝ 90°－32°＝58°.5. (2018，贵港)如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上．若∠A ＝66°，则∠OCB 的度数是(A)第5题图A. 24°B. 28°C. 33°D. 48°【解析】 ∵∠A ＝66°，∴∠COB ＝132°.∵CO ＝BO ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝12×(180°－132°)＝24°.6. (2018，某某)如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC ＝35°，则∠CAB 的度数为(C)第6题图A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°【解析】 由圆周角定理，得∠ABC ＝∠ADC ＝35°.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠CAB ＝90°－∠ABC ＝55°.7. (2018，某某)如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是弧AC 上的点．若∠BOC ＝40°，则∠D 的度数为(B)第7题图A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°【解析】 ∵∠BOC ＝40°，∴∠AOC ＝180°－40°＝140°.∴∠D ＝12×(360°－140°)＝110°.8. (2018，某某)如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，∠AOC ＝140°，B 是弧AC 的中点，则∠D 的度数是(D)第8题图A. 70°B. 55°° D. 35°【解析】 如答图，连接OB .∵B 是弧AC 的中点，∴∠AOB ＝12∠AOC ＝70°.由圆周角定理，得∠D ＝12∠AOB ＝35°.第8题答图9. (2018，滨州)已知半径为5的⊙O 是△ABC 的外接圆．若∠ABC ＝25°，则劣弧AC 的长为(C)A. 25π36B. 125π36C. 25π18D. 5π36【解析】 如答图，连接AO ，CO .∵∠ABC ＝25°，∴∠AOC ＝50°.∴劣弧AC 的长为50π·5180＝25π18.第9题答图10. (2018，某某)如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于点E ，连接BC ，过点O 作OF ⊥BC 于点F .若BD ＝8 cm ，AE ＝2 cm ，则OF 的长是(D)第10题图A. 3 cmB. 6 cmC. 2.5 cmD. 5 cm【解析】 如答图，连接OB .∵AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO ，BD ＝8，∴BE ＝DE ＝4.∵AE ＝2，∴在Rt △OEB 中，OE 2＋BE 2＝OB 2，即OE 2＋42＝(OE ＋2)2.解得OE ＝3.∴OB ＝3＋2＝5.∴EC Rt △EBC 中，BC ＝BE 2＋EC 2＝42＋82＝4 5.∵OF ⊥BC ，∴∠OFC ＝∠CEB ＝90°.∵∠C ＝∠C ，∴△OFC ∽△BEC .∴OF BE ＝OC BC ，即OF 4＝545.解得OF ＝ 5.所以OF 的长是 5 cm.第10题答图二、 填空题11. (2018，某某)在同圆中，已知弧AB 所对的圆心角是100°，则弧AB 所对的圆周角是50°.【解析】 由圆周角定理，得弧AB 所对的圆周角为50°.12. (2018，某某模拟)如图，截面为圆形的油槽内放入一些油．若圆的直径为150 cm ，油的深度DC 为30 cm ，则油面宽度AB 是120cm.第12题图【解析】 ∵OC ⊥AB ，∴AD ＝BD ＝12AB .∵OC ＝OB ＝12×150＝75(cm)，∴OD ＝OC －CD ＝75－30＝45(cm)．在Rt △OBD 中，BD ＝OB 2－OD 2＝752－452＝60(cm)，∴AB ＝2BD ＝120 cm.13. (2018，某某)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O ，A ，B ，C 在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O 为原点建立直角坐标系，则过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－1，－2)．第13题图【解析】 如答图，连接AB ，CB ，作AB ，CB 的垂直平分线，相交于点D .所以点D 是过A ，B ，C 三点的圆的圆心．所以点D 的坐标为(－1，－2)．第13题答图14. (2018，某某)如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得AD ＝10 cm ，点D 在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为（ 533）cm.第14题图【解析】 如答图，连接OC ，OD ，OC 与AD 相交于点E .∵直尺一边与量角器相切于点C ，∴OC ⊥AD .∵AD ＝10，∠DOB ＝60°，∴∠DAO ＝30°.∴OE ＝533，OA ＝1033.∴CE ＝OC －OE ＝OA －OE ＝533.即该直尺的宽度是533cm.第14题答图三、 解答题15. (2018，枣庄)如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D .(1)求线段AD 的长；(2)E 是线段AC 上的一点，当点E 在什么位置时，直线ED 与⊙O 相切？请说明理由．第15题图【思路分析】 (1)由勾股定理易求得AB 的长．可连接CD ，知CD ⊥AB ，易知Rt △ADC ∽Rt △ACB ，可得关于AC ，AD ，AB 的比例关系式，即可求出AD 的长．(2)当ED 与⊙O 相切时，由切线长定理知EC ＝ED ，则∠ECD ＝∠EDC .连接OD ，证OD ⊥DE 即可．解：(1)如答图，连接CD . 在Rt △ACB 中，∵AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，∠ACB ＝90°， ∴AB ＝5 cm. ∵BC 为直径，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∵∠A ＝∠A ，∠ADC ＝∠ACB ， ∴Rt △ADC ∽Rt △ACB . ∴AC AB ＝AD AC. ∴AD ＝AC 2AB ＝325＝95(cm)．(2)当E是AC的中点时，直线ED与⊙O相切．理由：如答图，连接OD.∵DE是Rt△ADC的中线，∴ED＝EC.∴∠EDC＝∠ECD.∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠EDO＝∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°.∴ED⊥OD.∴直线ED与⊙O相切．第15题答图16. (2018，某某，导学号5892921)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆形和菱形ABFC的面积．第16题图【思路分析】 (1)根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明四边形ABFC是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．(2)连接BD.利用勾股定理构建方程即可解决问题．(1)证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°.∴AE⊥BC.∵AB ＝AC ， ∴BE ＝CE . ∵AE ＝EF ，∴四边形ABFC 是平行四边形． ∵AC ＝AB ，∴四边形ABFC 是菱形． (2)解：如答图，连接BD . ∵AB 是直径，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°. ∴AB 2－AD 2＝CB 2－CD 2. ∴(7＋CD )2－72＝(2＋2)2－CD 2. 解得CD ＝1.∴AB ＝AC ＝AD ＋CD ＝7＋1＝8. ∴BD ＝82－72＝15. ∴S 半圆形＝12π·42＝8π，S 菱形ABFC ＝AC ·BD ＝815.第16题答图1. (2018，襄阳)如图，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的⊙O 上．若OA ⊥BC ，∠CDA ＝ 30°，则弦BC 的长为(D)第1题图A. 4B. 2 2C. 3D. 23【解析】 如答图．∵OA ⊥BC ，∴CH ＝BH ，弧AB ＝弧AC .∴∠AOB ＝2∠CDA ＝60°.∴BH ＝OB ·sin ∠AOB ＝ 3.∴BC ＝2BH ＝2 3.第1题答图2. (2018，某某)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是半径OA 的中点，过点C 作DE ⊥AB ，交⊙O 于D ，E 两点，过点D 作直径DF ，连接AF ，则∠DFA ＝30°.第2题图【解析】 ∵C 是半径OA 的中点，∴OC ＝12OD .∵DE ⊥AB ，∴∠CDO ＝30°.∴∠DOA ＝60°.∴∠DFA ＝30°.3. (2018，某某，导学号5892921)如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，连接AD ，作△ABD 的外接圆，将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在弧BD 上．(1)求证：AE ＝AB ；(2)若∠CAB ＝90°，cos ∠ADB ＝13，BE ＝2，求BC 的长．第3题图【思路分析】 (1)由折叠得出∠AED ＝∠ACD ，AE ＝AC ，结合∠ABD ＝∠AED 知∠ABD ＝∠ACD ，从而得出AB ＝AC ，据此得证．(2)过点A 作AH ⊥BE 于点H ，由AB ＝AE 且BE ＝2知BH ＝EH ＝1.根据∠ABE ＝∠AEB ＝∠ADB 知cos ∠ABE ＝cos ∠ADB ＝BH AB ＝13，据此得AC ＝AB ＝3，利用勾股定理可得答案．(1)证明：由折叠的性质，知△ADE ≌△ADC . ∴∠AED ＝∠ACD ，AE ＝AC . ∵∠ABD ＝∠AED ， ∴∠ABD ＝∠ACD . ∴AB ＝AC . ∴AE ＝AB .(2)解：如答图，过点A 作AH ⊥BE 于点H . ∵AB ＝AE ，BE ＝2， ∴BH ＝EH ＝1.∵∠ABE ＝∠AEB ＝∠ADB ， ∴cos ∠ABE ＝cos ∠ADB ＝13.∴BH AB ＝13. ∴AB ＝3.∵∠CAB ＝90°，AC ＝AB ＝3， ∴BC ＝3 2.第3题答图。

初三数学中考复习圆的基本性质专项练习题含解析1. 正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，正六边形的周长是12，则⊙O 的半径是( B ) A. 3 B ．2 C ．2 2 D ．2 32．如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB ＝CD ＝0.25米，BD ＝1.5米，且AB ，CD 与水平地面差不多上垂直的，依照以上数据，请你帮小红运算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是( B )A ．2米B ．2.5米C ．2.4米D ．2.1米3．如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好通过圆心O ，点P 是优弧A MB 上一点，则∠APB 的度数为( D )A ．45°B ．30°C ．75°D ．60°4．如图，已知AC 是⊙O 的直径，点B 在圆周上(不与点A ，C 重合)，点D 在AC 的延长线上，连结BD 交⊙O 于点E.若∠AOB ＝3∠ADB ，则(D )A ．DE ＝EB B.2DE ＝EB C.3DE ＝DO D ．DE ＝OB5．如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为E ，连结CO ，AD ，∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是( D )A ．AD ＝2OB B ．CE ＝EOC ．∠OCE ＝40°D ．∠BOC ＝2∠B AD6．如图，四边形PAOB 是扇形OMN 的内接矩形，顶点P 在MN ︵上，且不与点M ，N 重合，当点P 在MN ︵上移动时，矩形PAOB 的形状、大小随之变化，则AB 的长度( A )A ．不变B ．变小C ．变大D ．不能确定7．如图，四边形ABCD 为⊙O 内接四边形，延长AB 与DC 相交于点G ，AO ⊥CD ，垂足为E ，连结BD ，∠GBC ＝50°，则∠DBC 的度数为(C )A ．50°B ．60°C ．80°D ．90°8．如图，已知四边形ABCD 内接于半径为4的⊙O 中，且∠C ＝2∠A ，则BD ＝__43．9．如图，点A ，B ，C 为⊙O 上的三个点，∠BOC ＝2∠AOB ，∠BAC ＝40°，则∠ACB ＝__20__度．10．如图，已知AM 为⊙O 的直径，直线BC 通过点M ，且AB ＝AC ，∠BAM ＝∠CAM ，线段AB 和AC 分别交⊙O 于点D ，E ，∠BMD ＝40°，则∠EOM ＝__80°__．11．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝90°，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D.若AC ＝6，BD ＝52，则BC 的长为__8__．12．在半径为1的⊙O 中，弦AB ，AC 的长分别为1和2，则∠BAC 的度数为__15°或105°__．13．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB ︵)．(1)用直尺和圆规作出AB ︵所在圆的圆心O ；(要求保留作图痕迹，不写作法)(2)若AB ︵的中点C 到弦AB 的距离为20 m ，AB ＝80 m ，求AB ︵所在圆的半径．解：(1)作图如图所示：(2)连结AB ，OB ，OC.设OC 交AB 于点D ，∵AB ＝80 m ，C 为AB ︵的中点，∴OC ⊥AB.∴AD ＝BD ＝40 m ，CD ＝20 m ．设OB ＝r m ，则OD ＝(r －20)m.在Rt △OBD 中，OB2＝OD2＋BD2，∴r2＝(r －20)2＋402，解得r＝50，∴AB ︵所在圆的半径是50 m.14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的半圆分别交AC ，BC 边于点D ，E ，连结BD.(1)求证：点E 是BD ︵的中点；(2)当BC ＝12，且AD ∶CD ＝1∶2时，求⊙O 的半径．解：(1)证明：连结AE ，DE ，∵AB 是直径，∴AE ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴BE ＝EC.∵∠CDB ＝90°，DE 是斜边BC 的中线，∴DE ＝EB.∴ED ︵＝EB ︵，即点E 是BD ︵的中点．(2)设AD ＝x ，则CD ＝2x ，∴AB ＝AC ＝3x ，∴BD2＝(3x)2－x2＝8x2.在Rt △CDB 中，(2x)2＋8x2＝122，∴x ＝23，∴OA ＝32x ＝33，即⊙O 的半径是3 3.15．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，CO 的延长线交AB 于点D.(1)求证：AO 平分∠BAC ；证明：连结OB. 在△AOB 与△AOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，OB ＝OC ，AO ＝AO ，∴△AOB ≌△AOC(SSS)， ∴∠BAO ＝∠CAO ，∴AO 平分∠BAC.(2)若BC ＝6，sin ∠BAC ＝35，求AC 和CD 的长．解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，∴sin ∠BAC ＝CE AC ＝35.设AC ＝5m(m ＞0)，则CE ＝3m ，∴AE ＝AC2－CE2＝（5m ）2－（3m ）2＝4m ，BE ＝AB －AE ＝AC －AE ＝5m －4m ＝m.在Rt △CBE 中，∠BEC ＝90°，BC ＝6，BE ＝m ，CE ＝3m ，∴m2＋(3m)2＝62. 解得m ＝3105，m ＝－3105(舍去)． ∴AC ＝5m ＝5×3105＝310.16．在⊙O 中，直径AB ＝6，BC 是弦，∠ABC ＝30°，点P 在BC 上，点Q 在⊙O 上，且OP ⊥PQ.(1)如图①，当PQ ∥AB 时，求PQ 的长度；(2)如图②，当点P 在BC 上移动时，求PQ 长的最大值．解：(1)连结OQ ，如图①，∵PQ ∥AB ，OP ⊥PQ ，∴OP ⊥AB.在Rt △OBP 中，∵tan ∠B ＝OP OB ，∴OP ＝3tan30°＝3，在Rt △OPQ 中，∵OP ＝3，OQ ＝3，∴PQ ＝OQ2－OP2＝ 6.(2)连结OQ ，如图②，在Rt △OPQ 中，PQ ＝OQ2－OP2＝9－OP2，当OP 的长最小时，PQ 的长最大，现在OP ⊥BC ，则OP ＝12OB ＝32，∴PQ长的最大值为9－（32）2＝332.。

2025年中考数学复习专题六圆A 诊断练考点1 圆的基本性质1.如图,在⊙O 中,弦AB的长为8,圆心 O 到AB 的距离OE=4,则⊙O的半径长为 ( )A.4B.4√2C.5D.5√22.如图,CD 是⊙O 的直径,点A,B 在⊙O 上. 若AC=BC,∠AOC=36°,则∠D= ( )A.9°B.18°C.36°D.45°3.如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径，若∠BEC=20°,则∠ADC的度数为( )A.100°B.110°C.120°D.130°4.如图,⊙O 的直径AB平分弦CD( 不是直径). 若∠D = 35°, 则∠C =°.5.如图，AB是半圆的直径,AC是一条弦,D 是AC的中点,DE⊥AB于点 E,交 AC 于点 F,DB 交 AC 于点 G,连接AD，给出下面四个结论：①∠ABD=∠DAC;②AF=FG;;③当DG=2,GB=3时,FG=√142̂=2AD̂,AB=6时，△DFG的面积√3上述结论中，正确结论的序号有 .④当BD考点2 与圆有关的位置关系6.如图,⊙O 中,弦AB 的长为√3,点 C在⊙O 上,OC⊥AB,∠ABC30°.⊙O所在的平面内有一点 P,若OP=5,则点 P与⊙O 的位置关系是 ( )A.点 P在⊙O上B.点 P在⊙O内C.点P在⊙O外D.无法确定7.如图,以AB 为直径的⊙O与AC相切于点 A，以AC 为边作平行四边形ACDE,点 D,E 均在⊙O 上,DE 与AB交于点F,连接CE,与⊙O交于点 G,连接 DG. 若 AB = 10,DE = 8,则 AF = ,DG=.8.如图,⊙O 是△ABC的外接圆，D 是直径AB 上一点，∠ACD 的平分线交AB 于点E,交⊙O于另一点F,FA=FE.(1)求证:CD⊥AB;(2)设FM⊥AB,垂足为M.若OM=OE=1,求AC的长.9.如图,△ABC 内接于⊙O,AB=AC=10,过点A作AE∥BC,交⊙O 的直径 BD的延长线于点 E，连接CD.(1)求证:AE 是⊙O 的切线;,求 CD 和DE 的长.(2)若tan∠ABE=12考点3 与圆有关的计算10.两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O'的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是 ( )A.43π−√3B.43πC.23π−√3D.43π−√3411.已知圆锥的底面圆半径为 4，母线长为 5，则圆锥的侧面积为 .12.铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，AB所在圆的圆心C恰好是△ABO 的内心，若.AB=2√3,则花窗的周长 ( 图中实线部分的长度 ) = .(结果保留π)B 考点突破练考点4 圆的基本性质基础考向1 弧、弦、圆心角的关系1.如图,AB是⊙O 的直径，BC=CD,∠COD=52°,,则∠AOD 的大小为 .2.如图,在⊙O中,AB̂=CD,有下列结论:①AB = CD;②AC = BD;③∠AOC=∠BOD;④AĈ=BD̂,其中正确的是 (填序号).考向2 垂径定理及其推论3.如图,OA,OB,OC都是⊙O的半径,AC,OB 交于点 D.若AD=CD=8,OD=6,则BD的长为 ( )A.5B.4C.3D.24.如图，⊙O 是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10 cm，水的最深处到水面AB 的距离为4 cm，则水面AB的宽度为 cm.考向3 圆周角定理及其推论5.如图,在⊙O 中,弦AB,CD 相交于点 P,若∠A= 48°,∠APD=80°,则∠B的度数为( )A.32°B.42°C.48°D.52°6.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,AC,BD 为对角线,BD 经过圆心 O. 若∠BAC=40°,则∠DBC的度数为( )A.40°B.50°C.60°D.70°7.如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为 .8.如图,AB 为⊙O 的直径,CD 为⊙O 的一条弦，∠BCD 的平分线交⊙O 于点E,AD,BE 的延长线交于点 F.(1)若∠BAD=70°,求∠ABE 的度数. (2)求证:AB=AF.考向4 圆内接四边形9.如图，圆内接四边形ABCD 中,∠BCD = 105°,连接 OB,OC,OD,BD,∠BOC=2∠COD.则∠CBD 的度数是( )A.25°B.30°C.35°D.40°10.如图,四边形ABCD 内接于⊙O,BC∥AD,AC⊥BD. 若∠AOD =120°,AD √3 则∠CAO 的度数与 BC 的长分别为 ( )A.10°,1B.10°， √2C.15°,1D.15°， √211.如图,四边形ABCD 内接于 ⊙O,点 E 在 CD 的延长线上. 若∠ADE=70°,则∠AOC= °.12.如图，四边形AB-CD 内接于 ⊙O,连接 AC,BD, ∠ABD =∠ADC,过点D 作DP∥AB,交⊙O 于点M,交BC 的延长线于点 P. (1)求证:BP=BD;诊断区检测区突破区,AB=10,求 CP 的长.(2)若cos∠ABD=2513.下列说法中正确的个数是 ( )①同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等；②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.A.1B.2C.3D.4提升1.如图，已知点A,B,C,D都在⊙O上,OB⊥AC,BC=CD,下列说法错误的是 ( )̂=BĈ B.∠AOD=3∠BOCA.ABC. AC=2CDD. OC⊥BD2.如图,在⊙O中,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=√3,则OC( )A.1B.2C.√3D.43.在半径为2的⊙O中,弦AB的长度为2,点C 为⊙O上异于A,B两点的一个动点,则∠BCA=°.,E,F 分别为AC,BC的中点，弦EF 分别4.如图,AB 为半圆O的直径，C为半圆上一点且sin∠CAB=35交AC,CB 于点 M,N. 若MN=3√2,则 AB =5.如图,OA,OB,OC都是⊙O 的半径,∠ACB=2∠BAC.(1)求证:∠AOB=2∠BOC;(2)若AB=4,BC=√5，求⊙O的半径.6.如图,以△ABC的边AC为直径作⊙O,交 BC 边于点 D,过点 C 作CE ∥AB 交⊙O 于点 E, 连接AD, DE,∠B=∠ADE.(1)求证:AC=BC;(2)若 tan B=2,CD=3,求AB 和DE 的长.7.如图，在扇形 AOB 中,OA=8,点 C 在半径 OA 上,将△BOC沿BC翻折,点 O 的对应点 D 恰好落在弧 AB 上,再将弧 AD 沿着 CD 翻折至弧A₁D(点A₁是点A的对应点),那么 OA₁的长为 .考点5 与圆有关的位置关系基础考向1 点、直线和圆的位置关系1.在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P 到直线l的最大距离是 ( )A.2B.5C.6D.82.已知平面内有⊙O 和点A,B,若⊙O 的半径为3 cm,线段OA=4cm,OB=3cm,则直线AB与⊙O的位置关系为 ( )A.相离B.相交C.相切D.相交或相切3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD 是AB 边上的高,AB=4，若圆C是以点 C 为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是 ( )A.点 D 在圆 C 上,点 A,B 均在圆C外B.点 D 在圆 C 内,点 A,B 均在圆C外C.点A,B,D 均在圆C外D.点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上考向2 切线的性质及判定4.如图,AC 是⊙O 的切线,B 为切点,连接OA,OC.若∠A=30°,AB=√3,BC=3则OC的长度是( )A,3 B.√3C√13 D.65.如图,AB 切⊙O 于点B,连接OA交⊙O 于点C,BD∥OA交⊙O 于点D.连接CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为( )A.25°B.35°C.40°D.45°̂上. 已知∠A = 50°, 6.如图,点 A 是⊙O 外一点,AB,AC分别与⊙O 相切于点 B,C,点 D 在BDC则∠D 的度数是 .7.如图,已知△ABC 内接于⊙O,CO 的延长线交AB 于点 D,交⊙O 于点E,交⊙O 的切线AF于点F,且AF∥BC.(1)求证:AO∥BE;(2)求证:AO 平分∠BAC.∠A,点O在BC上，以点O为圆心的8.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 是 AB 上一点,且∠BCD=12圆经过C,D两点.(1)试判断直线 AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由；,⊙O的半径为3，求AC的长.(2)若sinB=35考向3 三角形的外接圆与内切圆9.如图,点O 是△ABC外接圆的圆心，点I 是△ABC 的内心，连接OB,IA.若∠CAI=35°,则∠OBC的度数为( )A.15°B.17.5°C.20°D.25°10.如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A，O两点皆在格线的交点上.今在此方格纸格线的交点上另外找两点 B，C,使得△ABC 的外心为 O,求 BC 的长度（）A.4B.5C.√10D.√2011.如图，⊙O是锐角三角形 ABC 的外接圆,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,垂足分别为 D,E,F,连接 DE,EF,FD.若DE+DF=6.5,△ABC 的周长为21,则EF 的长为 ( )A.8B.4C.3.5D.312.如图,△ABC的内切圆⊙I与BC,CA,AB 分别相切于点 D,E,F,若⊙I的半径为r,∠A=α,则(BF+CE-BC)的值和∠FDE 的大小分别为 ( )A.2r,90°-αB.0,90°-αC.2r,90∘−α2D.0,90∘−α213.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在直角坐标系中的坐标分别为(3，6),(-3,3),(7,-2),则△ABC 内心的坐标为 .14.在同一平面内，点P不在⊙O上，若点P到⊙O上的点的最大距离是11，最小距离是5，则⊙O的半径是 .提升1.已知点A在半径为3的圆O 上，如果点 A 到直线a 的距离是6，那么圆O与直线a的位置关系是( )A.相交B.相离C.相切D.以上答案都不对2.已知一个三角形的内心与外心重合，若它的内切圆的半径为2，则它的外接圆的面积为 ( )A.4πB.8πC.12πD.16π3.如图,在四边形AB-CD中,AB∥CD,AD⊥AB,以 D 为圆心,AD 为半径的弧恰好与 BC 相切，切点为E.若ABCD =13,则 sin C的值 ( )A 23 c 344.如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD 是矩形.当餐盘正立且紧靠支架于点A ，D 时，恰好与 BC 边相切，则此餐盘的半径等于 cm.5.如图，在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),P(-1,0),⊙P 过原点O ，且与x 轴交于另一点D ，AB 为⊙P 的切线,B 为切点,BC 是⊙P 的直径,则∠BCD 的度数为 °.6.如图,在△ABC 中,AB=BC,以BC 为直径作⊙O 与AC 交于点D,过点 D 作DE⊥AB,交CB 延长线于点 F,垂足为点 E.(1)求证:DF 为⊙O 的切线;(2)若 BE =3,cosC =45,求 BF 的长.B.√53D.√747.如图，分别过矩形ABCD的四个顶点作其内部的⊙O 的切线，切点分别为E，F，G，H，若AE = a,BF = b, DH = c, 则 CG 的长为 .(用含a,b,c的代数式表示)考点6 与圆有关的计算基础考向1 圆内接正多边形的计算1.如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,连接OC,OD,则∠BAE-∠COD= ( )A.60°B.54°C.48°D.36°2.如图,点 P₁~P₈是⊙O 的八等分点.若△P₁P₃P₇,四边形 P₃P₄P₆P₇的周长分别为a，b，则下列正确的是( )A. a<bB. a=bC. a>bD. a，b大小无法比较考向2 弧长与扇形面积的计算3.圆心角为90°，半径为3的扇形弧长为 ( )A.2πB.3π C32D.12π4.“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形.如图，分别以等边△ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”.若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于 ( )A.πB.3πC.2πD.2π−√35.马面裙(图(1))，又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一.将图(1)中的马面裙抽象成数学图形，如图(2)中的阴影部分所示，AD 和BC所在圆的圆心均为点O，且点A在 OB 上,点 D 在 OC 上,若OA=AB=6 dm,OA⊥OD，则该马面裙裙面(图(2)中阴影部分)的面积为 ( )A.36πdm²B.27πdm²C.18πdm²D.12πdm²6.如图，在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,E为BC的中点,连接AE，DE.以E为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N，则图中阴影部分的面积和是 (结果保留π).考向3 圆锥的有关计算7.如图,用圆心角为120°半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的高是.8.如图，小珍同学用半径为8cm ，圆心角为 100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 cm².9.如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm ，母线长为50cm ，则烟囱帽的侧面积为 cm².(结果保留π)10.如图,在△ABC 中,AC=3,AB=4,BC 边上的高AD=2,将△ABC 绕着BC 所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 .考向4 与圆有关的阴影部分面积11.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=4,点O 为BC 的中点，以O 为圆心，OB 长为半径作半圆，交AC 于点 D ，则图中阴影部分的面积是( )A.5√3−√33π B.5√3−4πC.5√3−2πD.10√3−2π12.如图,矩形ABCD 内接于⊙O,分别以AB,BC,CD,AD 为直径向外作半圆.若AB=4，BC=5，则阴影部分的面积是 ( )检测区突破区A.414π−20B.412π−20C.20πD.2013.如图,Rt△BCO中,∠BCO=90°,∠CBO=30°,BO=4cm,将△BCO绕点 O逆时针旋转至△B'C'O,点 C'恰好落在 BO 延长线上，则边 BC 扫过区域(图中阴影部分)的面积为 ( )A.πcm²B.(π+√3)cm2C.4πcm²D.(4π+√3)cm214.如图，点B在半圆O 上,直径AC=12,∠BAC=40°,则图中阴影部分的面积为(结果保留π).15.如图,△ABC的周长为20,⊙O 的半径为1,⊙O从与AB 相切的切点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形的边无滑动滚动，当滚动一周又回到点 D 的位置时，⊙O的圆心O运动的长度 (填“>”“=”或“<”)三角形的周长，运动长度为 .提升1.如图，正六边形AB-CDEF内接于⊙O,点P在AB上,点Q是DÊ的中点，则∠CPQ的度数为 ( ) A.30° B.45° C.36° D.60°2.如图,正六边形AB-CDEF的外接圆⊙O 的半径为2，过圆心 O 的两条直线l₁，l₂的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积为 ( )A.43π−√3B.43π−√32C.23π−√3D.23π−√323.如图，已知点 C 为圆锥母线 SB 的中点，AB 为底面圆的直径，SB=6，AB=4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A 点爬到C 点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ( )A.5B.√3C.3√2D.2√34.如图,在▱ABCD中,AB=√3+1,BC=2,AH⊥CD,垂足为H,AH=√3.以点 A 为圆心，AH 长为半径画弧，AB,AC,AD 分别交于点E,F,G.若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r₁；用扇形AHG 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r₂，则r₁−r₂=.(结果保留根号) 5.如图,在△ABC 中,AB=4,∠C=64°,以AB 为直径的⊙O 与AC 相交于点 D,E 为ABD̂上一点,且∠ADE=40°.(1)求BÊ的长；(2)若∠EAD=76°, 求证:CB为⊙O 的切线.6.将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图(1)，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上.两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图(2)，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则图(2)中(1)∠α= 度;(2)中间正六边形的中心到直线l的距离为 (结果保留根号).C 检测验收练一、选择题(每小题5分，共20分)1.如图,AB是⊙O 的直径,∠E=35°,则∠BOD= ( )A.80°B.100°C.120°D.110°2.数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB 的垂直平分线 CD 交AB于点D,交AB 于点 C,测出AB=40 cm, CD=10cm，则圆形工件的半径为 ( )A.50cmB.35 cmC.25 cmD.20cm3.刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式. 如图,Rt△ABC 中,∠C =90°, AB,BC,CA 的长分别为c,a,b.则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC 的内切圆直径d，下列表达式错误的是 ( )A. d=a+b-cB.d=2aba+b+cC.d=√2(c−a)(c−b)̅̅̅̅̅̅̅̅̅ D. d=|(a-b)(c-b)|4.如图，两个半径长均为 1 的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上,扇形 CFD 的圆心 C 是弧 AB的中点,且扇形 CFD 绕着点 C 旋转,半径 AE,CF交于点G，半径BE，CD交于点 H，则图中阴影部分的面积等于 ( )A.π2−1B.π2−12C.π-1D.π-2二、填空题(每小题5分，共30分)5.如图，AB 是圆的直径,∠1,∠2,∠3,∠4的顶点均在 AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1+∠2+∠3+∠4=°.6.如图,四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，点O 在四边形ABCD内部，过点C作⊙O 的切线交AB的延长线于点P,连接 OA,OB. 若∠AOB = 140°,∠BCP =35°,则∠ADC 的度数为 .7.[2024 浙江杭州校级二模]如图，正六边形AB-CDEF与正方形AGDH都内接于⊙O，则劣弧BG 所对圆周角的度数为 .8.如图,△ABC 内接于⊙O,点 O 在AB上,AD 平分∠BAC 交⊙O 于D,连接BD.若AB=10,BD=√5,则BC的长为 .9.如图，在边长为6的正六边形 ABCDEF中,以点 F为圆心,以 FB 的长为半径作BD，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这.个圆锥的底面半径为 .̂的圆心10.如图，四边形ABCD 是正方形，曲线DA₁B₁C₁D₁A₂B₂…叫做“正方形的渐开线”，其中DA1为点A,半径为AD;A₁B₁的圆心为点B，半径为BA₁;B₁C₁的圆心为点C，半径为(CB₁;C₁D₁的圆心为点 D，半径为DC₁;……,DA₁,A₁B₁,B₁C₁,C₁D₁,…I的圆心依次按A,B,C,D 的顺序循环,当AB=1时,的长是 .三、解答题(11 题 10 分,12 题 12 分, 13 题13分,14题15分,共50分)11.日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器，主要根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，如图(1)所示. 小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察探究.(1)探究1：如图(2)，日晷的平面是以点O为圆心的圆，直线l是日晷的底座，OA⊥l于点A,与⊙O交于点B,点P在⊙O 上,OP 为某一时刻晷针的影长，PB的延长线与直线l交于点 C.连接A P,当AP=AC时,求证:AP与⊙O相切.(2)探究2：当小东观察到影长OP 落在图(3)所示位置时，连接AP，交⊙O 于点D,若∠POD=90∘,OA=√10,AD=√2,求⊙O的半径.12.已知△AOB 中,∠ABO =30°,AB为⊙O 的弦,直线MN与⊙O 相切于点 C.(1)如图(1),若AB∥MN,直径 CE 与 AB 相交于点 D,求∠AOB 和∠BCE的大小;(2)如图(2),若OB∥MN,CG⊥AB,垂足为G,CG与OB 相交于点 F,OA=3,求线段 OF的长.13.如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点 D,交AC于点 E,过点 D 作DF⊥AC 于点 F,FD 的延长线交AB 的延长线于点 G.(1)若AB=10,BC=12,求△DFC的面积;(2)若 tan C=2,AE=6,求 BG的长.14.如图(1),O 是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为半径的⊙O 与AD 相切于点E，与AC 相交于点 F.(1)求证:AB 与⊙O 相切;(2)若正方形ABCD 的边长为√2+1,求⊙O的半径；̂于点 N.(3)如图(2),在(2)的条件下,若点 M是半径OC 上的一个动点,过点 M 作MN⊥OC 交CE当CM:FM=1:4时,求CN的长.。

、选择题1. （2016山东聊城，9, 3分）如图所示，四边形ABCD内接于O O, F是弧CD上一点，且D F = BC，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC若/ ABC=105，/ BAC=25，则/ E的度数为A、45°B、50°C、55°D、60°【答案】B【逐步提示】第一步先利用圆的内接四边形对角互补的性质求出• ACD的度数，第二步利用等弧所对的圆周角相等求出/ DCE第三步利用三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和求出/ E的度数.【详细解答】解：因为，四边形ABCD内接于O O,所以/ ADC=180 - / ABC=180 -105 ° =75°，又因为D F = Be，所以/ DCE M BAC=25，又因为/ ADC2 DCE+Z E，所以/ E=Z ADC-/ DCE=75 -25 ° =50°，故选择 B .【解后反思】本题考查了圆内接四边形及性质，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质，并结合三角形内外角关系解决问题•等弧所对的圆周角相等；圆内接四边形对角互补；三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和•【关键词】圆内接四边形及性质；圆心角、圆周角定理；与三角形有关的线段、角；；2. c （2016山东泰安，10，3分）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF丄OC 交圆O于点F，则/ BAF等于（）第10题图A. 12. 5°B. 15°C. 20°D. 22. 5°【答案】B【逐步提示】本题考查了垂径定理及等边三角形的判定及性质，解题的关键是利用圆的有关性质及平行四边形的性质判定三角形的形状.连接0B，由四边形ABCO是平行四边形，可知AB丄OC，再由半径相等可得△ ABO为等边三角形，由OF丄OC可得OF丄AB,从而知道/ BOF的度数，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可以计算出/ BAF的度数.【详细解答】解：连接OB,T四边形ABCO是平行四边形，••• AB J OC , v OA= OB= OC,「. AB = OB= OA,1• △ ABO 为等边三角形，•/ AOB = 60°.又v OF 丄OC , • OF 丄AB,「./ BOF = - / AOB= 30°,「./ BAF2=-/ BOF = 15°.故选择 B . 2第10题图【解后反思】（1）圆周角定理能有效地把圆心角与圆周角联系起来即在同圆或等圆中圆周角的度数等于同弧或等弧所对的圆心角的一半；（2）圆中任意两条半径和弦组成的三角形都是等腰三角形. 此题利用平行四边形对边平行且相等的性质，并结合圆中半径都相等，得到一个等边三角形，从而求得一个60°的角，这是解决问题的关键所在.【关键词】平行四边形的性质；等边三角形；圆心角、圆周角定理3. （2016山东泰安，17, 3分）如图，△ ABC内接于O O, AB是O O的直径，/ B= 30°, CE平分/ ACB交O O于E,交AB于点D，连接AE，则S.ADE：S C DB的值等于（）A . 1 : 2【答案】DB. 1: 3C. 1: 2D. 2: 3B•/ AB 为O O 的直径，•••/ ACB = Z AEB = 90°，在 Rt △ ABCCE 平分/ ACB ，•/ ACE =ZBCE = 45 ° ,v / BCE = Z BAE ，•/ BAE = 45 ° ,AE AB2=2 = ,•••/ BCE = Z BAE ，/ ADE = Z CDB ,•△ ADE CDB , BC 3 AB 32S^DE = |'=2 SCDB：3 3故答案为D .【解后反思】求两个三角形的面积关系首先判断两个三角形是否相似， 如果相似可以用相似三角形的性质： 两个相似三角形面积比等于相似比的平方去解决. 此题解题的关键是利用直径所对的圆周角是直角得到两个直角三角 形，然后通过特殊角的三角形函数值找到线段AE 与BC 的等量关系.【关键词】 圆周角定理；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定；相似三角形的性质 4. ( 2016山东潍坊，9, 3分)如图，在平面直角坐标系中，O M 与x 轴相切于点A (8, 0).与y 轴分别交于点B (0, 4)与点C (0, 16).则圆心M 到坐标原点O 的距离是() A . 10B . 8 2C . 4 13D . 2 41【答案】D【逐步提示】 本题考查了垂径定理及图形与坐标，解题的关键是作出辅助线，禾U 用勾股定理进行解答•过点M作MN 丄BC ,交BC 于点N ,连接OM 、BM ,先利用垂径定理求出 BN 的长度，再利用勾股定理求出O M 的半径，【逐步提示】本题考查了圆的有关性质及相似三角形的判定与性质， 解决本题的关键是掌握有关的性质及图形之间的联系•因为可以知道厶 ADECDB ，面积比就等于相似比的平方•所以求出相似比O O 的直径，/ B = 30°，可知BC = ABcos30°,再找出 AE 与AB 的关系就可以了 .因为■A!即可•因为AB 是 BCCE 平分/ ACB ，连接BE 可知△ AEB 为等腰直角三角形， AE = ABcos45°.这样就知道了 圧，问题解决.BC【详细解答】解： 连接BE , =ABcos30「=迢 AB •/2AE = ABco八 TAB ，•B2然后利用勾股定理求 0M 的长度.【详细解答】 解：过点M 作MN 丄BC ,交BC 于点N ，连接0M 、BM ,由 A （ 8，0）、B （ 0，4）、C （ 0，16）可得：0A=8, BC=16-4=12.1••• MN=0A=8, BN=_L BC =62•••在 Rt A MNB 中，BM= . MN 2 BN 2 = .82 62 =10，即O M 的半径为 10. • ON=10. 在 Rt A OMN 中， OM = . MN 2 ON — ：® 102>2、.41.故选择D .【解后反思】 垂径定理与勾股定理联系密切，解此类题时需注意构造直角三角形，利用勾股定理进行解答 【关键词】垂径定理；勾股定理；平面直角坐标系；5. （ 2016山东省烟台市，10, 3分）如图，Rt △ ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合， B 点与0刻度线的 一端重合，/ ABC=40 °射线CD 绕点C 转动，与量角器外沿交于点 D.若射线CD 将厶ABC 分割出以BC 为边 的等腰三角形，则点 D 在量角器上对应的度数是（）【答案】D【逐步提示】 由于不明确等腰三角形的边和腰，所以要分两种情况进行讨论：当 BC 为底边时，当BC 为腰时,分别求出/ BCD 的度数，即可求解.在求解过程中要注意：点 C 在以AB 为直径的圆上，所以点 D 在量角器上对应的度数等于 2 / BCD 的度数.【详细解答】解：•••/ ACB=90 ° ,•点C 在以AB 为直径的圆上. 分两种情况进行讨论：当 BC 为底边时，/ BCD= / ABC=40 ° , •••点D 在量角器上对应的度数是 40° 2=80 ° ,180 * —40®当BC为腰时，/ BCD= ------------------ =70•••点D 在量角器上对应的度数是 70° 2=140 ° ,故选择D .【解后反思】 解此题的关键是掌握圆心角、圆周角定理和等腰三角形的定义和性质. 1•圆周角定理的推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.180 :—顶角2•已知顶角求底角的方法：底角=23•解决与圆有关的角度的相关计算时， 一般先判断角是圆周角还是圆心角， 再转化成同弧所对的圆周角或圆心角, 然后利用圆周角定理以及推论求解， 特别地，当有直径这一条件时， 往往要用到直径所对的圆周角是直角这一性 质；或是当有直角时，往往要用到 90°的圆周角所对的斜边是直径 ••4.没有明确等腰三角形的底或腰时，一定要注意分类讨论•分类讨论是一种重数学思想，在研究数学问题时，常常需 要通过分类讨论解决问题 •分类要依据一个标准，且要做到不重不漏【关键词】 等腰三角形；圆周角；弧；分类讨论思想；6. （2016浙江杭州，8，3分）如图，已知 AC 是O O 的直径，点 线上，连结 BD 交O O 于点E .若/ AOB = 3/ ADB ，则（【答案】D .【逐步提示】 本题考查了圆的性质和等腰三角形的性质与判断，两底角相等及等角对等边等有关性质. 由四个选项中都是线段 间的倍数关系，这样就联想到通过三角形之间的边角关系来探索相关线段的数量关系了：不妨连接OB = OE ，得到/ B = Z OEB ;再由三角形的外角性质，得到/ AOB = Z B +Z D ，/ OEB = Z EOD + Z D ，加上 已知条件/ AOB = 3Z ADB ，就不难推导出Z DOE = Z D ，最后由等角对等边，得到 DE = EO = OB . 【解析】连接OE ，如下图. •/ OB = OE ，• Z B = Z OEB .vZ AOB = Z B + Z D ，Z OEB = Z EOD + Z D ，Z AOB = 3Z ADB ，• Z B = Z OEB = 2Z D . • Z DOE = Z D . • DE = EO = OB . 故选择D .B 在圆周上（不与A .C 重合），点D 在AC 的延长 A . DE = EBB .. 2 DE = EBC ... 3 DE = DOD . DE = OB解题的关键是充分利用半径相等、等腰三角形的DE 与相关线段的大小比较，且题目中条件为角之 OE ，首先由【解后反思】本题是一道探究题，由两个角之间的3倍关系去探索线段DE与图中相关线段的数量关系•如何充分利用已知条件与图形中隐含的条件，是解题的关键•连接0E后，就容易利用圆的半径相等，加上等腰三角形的性质与判定定理及三角形的外角性质，得到图中两组相等的角及这两组角的对边也相等的结论，从而就探究出DE与圆的半径相等的正确结论了.【关键词】圆的性质；等腰三角形的性质和判定；三角形的外角性质7. （2016浙江金华，9, 3分）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好•如图的正方形网格中，点A,B,C,D,E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（）【答案】C【逐步提示】认真审题确定解题思路，过A. B. D三点作圆，可以根据圆内角、圆周角及圆外角的性质确定各【解析】连接EB . AD . DB . AC . CB，作过点A. B . D的圆，可以确定点E在圆上，点C在圆外，根据圆周角及圆外角的性质可以确定/ AEB= / ADB> / ACB,所以最好的射点是线段DE（异于端点）上一点，故选择C.【解后反思】解题的关键在于构造圆，然后根据圆周角、圆内角及圆外角的性质确定各张角的大小，进而得出结论•【关键词】圆周角；“网格”数学题型A.点CC.线段DE（异于端点）上一点jscmB.点D或点ED.线段CD（异于端点）上一点8. （2016淅江丽水，10, 3分）如图，已知O O 是等腰Rt △ ABC 的外接圆，点D 是AC 上一点，BD 交AC 于点E ,AC=BC , △ CBEDAE ，根据相似比判断各选项中的数据是否正确.284 i AC=BC=4,BD= , △ CBEDAE ，所以 AE : BE=DE : CE=AD : CB= : 4=，所以5552828 BE - DE=AE - CE ,若 AE=3,则 BE=15>，错误；若 AE=2,贝U BE=10> ，错误；若 AE=1,贝U55328 BE=5,DE= — ,CE=4-1=3,此时满足 BE ° DE=AE ° CE ,故 AE=1 ;若 AE=1.2,则 BE=6>，错误，故选择 C.55【解后反思】根据题意确定图形中各线段间的关系，然后根据已知条件对所给选项进行验证得出正确的结论. 【关键词】圆；相似三角形的性质；验证法； ；9. （2016四川达州，7, 3分）如图，半径为3的O A 经过原点O 和点C （0, 2） , B 是y 轴左侧O A 优弧上一点, 则tan / OBC 为 【答案】C【逐步提示】本题主要考查了圆中有关计算 •解题的关键是把/ OBC 的正切值转化到直角三角形中求解. 解题是: 如图，连接 CD ，贝U CD 是O A 的直径，且/ OBC = / ODC ，在Rt △ OCD 中可求得tan / ODC.【详细解答】 解：连接 CD , T/ COD=9O °, ••• CD 是O A 的直径，/ OBC = / ODC ，在 Rt △ OCD 中，OD= . 62-22D.1.2【答案】【逐步提示】确【解析】由题意得 4若BC=4,AD= ，贝U AE 的长是A*1B.2.2C.q 2=4伍,• tan/ ODC=422 = 故选择C.【解后反思】解答这类问题时，往往将坐标系内的点坐标转化为线段的长度，进而化归到直角三角形中，应用三角函数定义求得三角函数值.求锐角三角函数的方法：（1）直接定义法；（2）构造直角三角形；（3）借助三角函数关系求值.【关键词】圆周角定理及推论；三角函数10. （2016四川乐山，7, 3分）如图4, C、D是以线段AB为直径的O O上两点，若CA=CD，且/ ACD=40°, 则/ CAB=（）.A. 10 °B. 20 °C. 30°D. 40°【答案】B.【逐步提示】欲求/ CAB ,在Rt△ ABC中，由AB是O O的直径得到/ ACB=90 ,所以只需知道/ ABC的度数, 在O O 中，/ ABC= /ADC，这样在等腰三角形ACD中，由/ ACD=40可得解.【详细解答】解：CA=CD，并且/ ACD=40 ,二/ ADC=70 .在O O 中，T AB 为直径，/ ACB=90 , v/ABC 与/ ADC 是O O 中A C的圆周角，•••/ ABC= / ADC=70°, A / CAB= / ACB- / ABC= 90 ° -70=20 ；故选择B .【解后反思】对于圆的有关性质的考查，一般会将圆周角、圆心角，弧、弦、弦心距等量之间的关系合并考查，解题的关键是明确相关性质•本题涉及到的有：①在同圆（或等圆）中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；②直径其所对的圆周角是90°【关键词】等腰三角形性质；圆周角定理11. （2016四川省自贡市，5；4分）如图；O O中，弦AB与CD交于点M，/ A=45 ° / AMD =75 °则/ B的度数是A. 15°B. 25°C. 30°D. 75°O【答案】C【逐步提示】/B为圆周角，可以考虑将其转移，再利用三角形的内外角关系求解即可【详细解答】解：A=45° / AMD=75° •••/ C=30°, A/ B=30° 故选择 C.【解后反思】求角度数问题，通常手段就是转移和分解，本题在第一步是将角分解求出/ 求出/ B.【关键词】三角形的内角和；圆心角、圆周角定理12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空题1. . （2016山东青岛，11, 3分）如图,若/ BCD = 28 ° ,则/ ABD = ° .C,再利用转移的方法AB是O O的直径，C , D是O O上的两点,BD【答案】62【逐步提示】/ ABD 和/ ACD 都是弧AD 所对的圆周角，故只要求出/ ACD 的度数即可； 根据“直径所对的圆周角是直角”可知/ACB = 90°,进而由/ BCD 的度数可求得/ ACD 的度数，问题得解•【详细解答】解：•/ AB 是O O 的直径，•••/ ACB=90° .•••/ BCD=28°,「./ ACD = 90° -28° =62°,二/ ABD =62°,故答案为 62.【解后反思】 与圆周角有关的知识点有：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是圆的直径；同弧（或等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半 【关键词】 圆周角；圆周角定理2. （ 2016山东省枣庄市，15, 4分）如图，在半径为 3的O O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC , BD , 若 AC = 2,贝V tan D =.【答案】2 . 2【逐步提示】本题考查了有关圆周角的性质，解题的关键是运用直径所对圆周角为直角及同弧所对圆周角相等把/ D 与直角三角形联系起来.连接 BC ,禾U 用直径所对圆周角为直角，解Rt △ ABC ，然后利用同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得tan D 的值.【详细解答】解： 连接 BC ,v AB 为O O 直径，/ ACB = 90°,又 T AB = 2r = 6, • BC = . AB 2 - AC 2 = ■ 62 - 22 4/2，: BC = BC ,.•/ D =Z A ,「. tan D = tan A = —— = ' = 2.2，故答案为 2.2 .AC 23. （2016重庆A , 15, 4分）如图，OA , OB 是O O 的半径，点 C 在O O 上，连接 AC , BC.若/ AOB=120 °则 Z ACB= ________ 度.【解后反思】 在圆中解决与角有关的问题时，常用的是弧、 与圆周角、圆周角与圆周角的互换.若如涉及到三角函数, 角形求解.【关键词】 圆心角、圆周角定理；锐角三角函数值的求法弦、圆心角的对应关系和圆周角定理，从而实现圆心角通常利用直径所对圆周角为直角，或构造垂径定理三B1ACB= /AOB.21 1【解析】•••/ AOB=120°,/AOB所对的弧为AB , AB所对的圆周角为/ ACB, /-Z ACB= /AOB= X120 °60 ° 22故答案为60.【解后反思】在圆中，同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半【关键词】圆心角、圆周角定理4.4分）如图，CD是O O的直径，若AB丄CD，垂足为B,Z OAB=40 °则Z C等于_________ 度.【逐步提示】利用直角三角形的两个锐角互余，由Z 角与圆心角的关系求解.【解析】••• AB丄CD , Z OAB=4O° /Z AOB=50° . vZ C与Z AOB分别为AD所对的圆周角和圆心角，1•••Z C= — Z AOB=25°.故答案为25.2【解后反思】在圆中，求角的度数时，首先要考虑要求的角是圆周角还是圆心角，再根据圆心角、圆周角的性质定理求解.在同圆中，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半【关键词】三角形的内角和；圆心角、圆周角定理5. （2016四川省巴中市，16, 3分）如图，Z A是O O的圆周角，Z OBC=55°,则Z A= _______________【答案】35°.【逐步提示】本题考查了圆心角、圆周角定理及其推论，解题的关键是理解并能熟练运用圆心角、圆周角定理及其推论，在O O中，弧BC所对的圆心角和圆周角分别是Z BOC和Z BAC ,在厶BOC中，OB=OC ,由Z OBC=55°, 可以求得圆心角Z BOC的度数，从而求得圆周角Z A的度数.【详细解答】解：v OB=OC ,/.Z OCB= Z OBC=55°,/Z BOC=700,• Z A=1Z BOC=350，故答案为35°.2OAB的度数可求得Z AOB的度数，再根据同弧所对的圆周1硕图【解后反思】解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角， 再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解【关键词】圆心角、圆周角定理；6. （ 2016四川省成都市，23, 4分）如图，△ ABC 内接于O O , AH 丄BC 于点H ，若AC = 24, AH = 18,0 O 的半径OC = 13,贝y AB = _______________ .【逐步提示】 本题考查了圆周角定理、 相似三角形的判定及性质等相关知识， 解题的关键是利用直径所对圆周角为直角及同弧所对圆周角相等，构造相似三角形.延长 CO 交O O 于点E ,连接AM ，证明△ AMCHBA ，然后利用相似三角形的性质即可求出AB 的值.【详细解答】解： 延长CO 交O O 于点 M ，连接 AM .••• CM 是O O 的直径，二/ MAC = 90°,v AH 丄BC ,「....AB =匹兰=39 .24 2【解后反思】 在有关圆的问题中， 有直径通常作直径所对的圆周角， 构造直角三角形；有弧、弦中点，通常连弧、 弦中点与圆心，应用垂径定理；有切线，连过切点的半径. 【关键词】圆心角、圆周角定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质7. （ 2016四川南充，15, 3分）如图是由两个长方形组成的工件平面图 （单位，mm ）,直线I 是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 ______________ m m.【答案】50【逐步提示】 本题考查的圆内接四边形， 是垂径定理，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合进行解答.根据已知条件得到 CM=30 , AN=40，根据勾股定理列方程得到 OM=40 ,由勾股定理得到结论. 【详细解答】 解：设圆心为 O,由题意知，点 O 在I 上。

一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点O为圆心。

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。

圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；A内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

24.2 圆的基本性质一．选择题（共15小题）1．如图，将大小两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2恰好在大量角器的圆周上．设它们圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为75°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（ ）（第1题图）A．75° B．60° C．45° D．30°2．如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过点P且与AB垂直，点C为L与y轴的交点．若点A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为多少？（ ）（第2题图）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣73．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ=CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连结CD交AB 于点E．点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CEP与△DEQ的面积和的变化情况是（ ）（第3题图）A．一直减小 B．一直不变C．先变大后变小 D．先变小后变大4．如图，⊙O经过菱形ABCO的顶点A、B、C，若OP⊥AB交⊙O于点P，则∠PAB的大小为（ ）（第4题图）A．15° B．20° C．25° D．30°5．在半径为10cm的圆中，两条平行弦分别长为12cm，16cm，则这两条平行弦之间的距离为（ ）A．28cm或4cm B．14cm或2cm C．13cm或4cm D．5cm或13cm6．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧、、，如果+=，那么AB+CD与EF的大小关系是（ ）（第6题图）A．AB+CD=EF B．AB+CD＞EF C．AB+CD＜EF D．不能确定7．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）（第7题图）A． B．1 C． D．a8．下列说法正确的个数共有（ ）（1）如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等．（2）弦的中垂线一定是这条弦所在圆的对称轴．（3）平分弦的直径一定垂直于这条弦．（4）两条边相等的两个直角三角形一定全等．A．1个 B．2个C．3个 D．0或4个9．如图，等边三角形ABC的边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（ ）（第9题图）A．△ADF≌△CGEB．△B′FG的周长是一个定值C．四边形FOEC的面积是一个定值D．四边形OGB'F的面积是一个定值10．下列命题，真命题的个数是（ ）①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．A．4个B．3个C．2个 D．1个11．已知：点A（0，4），B（0，﹣6），C为x轴的正半轴上一点，且满足∠ACB=45°，则（ ）（第11题图）A．△ABC外接圆的圆心在OC上B．∠BAC=60°C．△ABC外接圆的半径等于5 D．OC=1212．如图所示，在边长为1的单位正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在网格的交点上，则△ABC的外接圆的半径R为（ ）（第12题图）A．B． C． D．13．如图，等边三角形内接于⊙O，点P在弧BC上，PA与BC相交于点D，若PB=3，PC=6，则PD=（ ）（第13题图）A．1.5 B．C．2 D．14．如图，坐标平面上有A（0，a）、B（﹣9，0）、C（10，0）三点，其中a＞0．若∠BAC=95°，则△ABC的外心在第几象限？（ ）（第14题图）A．一 B．二 C．三D．四15．下列给定的三点能确定一个圆的是（ ）A．线段AB的中点C及两个端点B．角的顶点及角的边上的两点C．三角形的三个顶点D．矩形的对角线交点及两个顶点二．填空题（共10小题）16．如图，大圆和圆的半径都分别是4cm和2cm，两圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序沿着两圆圆周不断地爬行，其中各点分别是两圆周的四等分点，蚂蚁直到行走2010π cm后才停下来．则这只蚂蚁停在点 ．（第16题图）17．如图，⊙M交x轴于B，C两点，交y轴于点A，弦CE⊥AB于点H，M的纵坐标为2，B（3，0），C（﹣，0），则圆心M的坐标为 ，线段AF的长为 ．（第17题图）18．如图，直径AB、CD所夹的锐角为60°，P为上的一个动点（不与点B、C重合），PM、PN分别垂直于CD、AB，垂足分别为M、N．若⊙O的半径为2cm，则在点P移动过程中，MN的长是否有变化 （填“是”或“否”），若有变化，写出MN的长度范围；若无变化，写出MN的长度 cm．（第18题图）19．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，AC、BD是⊙O的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值与最小值的差为 ．（第19题图）20．如图，正方形ABCD的顶点A、B和正方形EFGH的顶点G、H在一个半径为5cm的⊙O 上，点E、F在线段CD上，正方形ABCD的边长为6cm，则正方形EFGH的边长为 cm．（第20题图）21．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD=15cm，AB=60cm，则这个摆件的外圆半径是 cm．（第21题图）22．如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，直径MN⊥BC于点D，与AC边相交于点E，若⊙O的半径为2，OE=2，则OD的长为 ．（第22题图）23．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q．若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB的长是 ．（第23题图）24．在平面直角坐标系中，已知A（3，0），B是以M（3，4）为圆心，1为半径的圆周上的一个动点，连结BO，设BO的中点为C，则线段AC的最小值为 ．25．一个直角三角形的两条直角边长是方程x2﹣7x+12=0的两个根，那么这个直角三角形外接圆的半径等于 ．三．解答题（共5小题）26．如图，已知OC是⊙O的半径，点P在⊙O的直径BA的延长线上，且OC⊥PC，垂足为C．弦CD垂直平分半径AO，垂足为E，PA=6．求：（1）⊙O的半径；（2）求弦CD的长．（第26题图）27．如图，AB是⊙O的直径，延长BA到点D，使DA=AO，AE垂直于弦AC，垂足为A，点E 在DC上，求S△AEC：S△AOC．（第27题图）28．如图，⊙O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过点G，CD=16cm，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F，求AE﹣BF的值．（第28题图）29．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，（1）求CD的长；（2）若直线CD绕点E顺时针旋转15°，交⊙O于点C、D，直接写出弦CD的长．（第29题图）参考答案一．1．D【解析】设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB=90°，∠ABP=75°，因而∠PAB=90°﹣75°=15°，在大量角器中弧PB所对的圆心角是30°，因而P在大量角器上对应的度数为30°．故选D．（第1题答图）【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角是90度．能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．2．A【解析】连接AC，如答图.由题意，得BC=OB+OC=9.∵直线L通过点P且与AB垂直，∴直线L是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC=9.在Rt△AOC中，AO==2.∵a＜0，∴a=﹣2，故选A．（第2题答图）【点评】本题考查的是垂径定理、坐标与图形的性质以及勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．　3．C【解析】如答图，连接OC，OD，PD，CQ．设PC=x，OP=y．∵PC⊥AB，QD⊥AB，∴∠CPO=∠OQD=90°.∵PC=OQ，OC=OD，∴Rt△OPC≌Rt△DQO，∴OP=DQ=y，∴S阴=S四边形PCQD﹣S△PFD﹣S△CFQ=（x+y）2﹣y2﹣x2=xy，观察图象可知xy的值先变大后变小．故选C．（第3题答图）【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分割法求面积，属于中考选择题中的压轴题．　4.A【解析】连接OB，如答图.∵四边形ABCO是菱形，∴OA=AB.∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°.∵OP⊥AB，∴∠BOP=∠AOB=30°.由圆周角定理得，∠PAB=∠BOP=15°.故选A．（第4题答图）【点评】本题考查的是菱形的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握菱形的性质、圆周角定理、垂径定理是解题的关键．5．B【解析】有两种情况：①如图，当AB和CD在点O的两旁时.过点O作MN⊥AB于点M，交CD于点N，连接OB，OD.∵AB∥CD，∴MN⊥CD，由垂径定理，得BM=AB=8（cm），DN=CD=6（cm）.∵OB=OD=10cm，由勾股定理，得OM==6（cm），同理ON=8cm，∴MN=8+6=14（cm）.②当AB和CD在点O的同旁时，MN=8﹣6=2（cm）.故选B．（第5题答图）【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是理解题意，能得出两种情况，题目比较典型，难度适中．注意要进行分类讨论．　6．B【解析】如图，在弧EF上取一点M使弧EM=弧CD，则弧FM=弧AB，∴AB=FM，CD=EM.在△MEF中，FM+EM＞EF，∴AB+CD＞EF．故选B．（第6题答图）【点评】本题主要考查对三角形的三边关系定理，圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线是解此题的关键．7．B【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°.∵AB=BD，∴，∴∠AED=∠AOB.∵BC=AB=BD，∴∠D=∠BCD.∵四边形EABD内接于⊙O，∴∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°.又∵∠ECA+60°+∠BCD=180°，∴∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形.在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC=∠AOB.∵AC=AB，∴△EAC≌△OAB；∴AE=OA=1．故选B．（第7题答图）【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大；能够发现并证得△EAC≌△OAB是解答此题的关键．　8．解：（1）在同圆或等圆中，如果圆心角相等，所对的弦相等，故本选项错误；（2）根据垂径定理推出弦的中垂线是这条弦所在圆的对称轴，故本选项正确；（3）平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦，故本选项错误；（4）如果有一条直角边和斜边相等，则这两个直角三角形不全等，故本选项错误；∴正确的有1个．故选A．【点评】本题主要考查对圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定，垂径定理等知识点的理解和掌握，能正确运用性质进行判断是解此题的关键．9． D【解析】A、连接OA、OC.∵点O是等边三角形ABC的外心，∴AO平分∠BAC，∴点O 到AB、AC的距离相等，由折叠，得DO平分∠BDB'，∴点O到AB、DB'的距离相等，∴点O到DB'、AC的距离相等，∴FO平分∠DFG，∠DFO=∠OFG=（∠FAD+∠ADF），由折叠，得∠BDE=∠ODF=（∠DAF+∠AFD），∴∠OFD+∠ODF=（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°，∴∠DOF=60°，同理可得∠EOG=60°，∴∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG，∴△DOF≌△GOF≌△GOE，∴OD=OG，OE=OF，∠OGF=∠ODF=∠ODB，∠OFG=∠OEG=∠OEB，∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，∴AD=CG，AF=CE，∴△ADF≌△CGE，故选项A正确；B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF=GF=GE，∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，∴B'G=AD，∴△B'FG的周长=FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值），故选项B正确；C、S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△=S△AOC=（定值），故选项C正确；D、S四边形OGB'F=S△OFG+S△B'GF=S△OFD+△ADF=S四边OAF=S△OAD+S△OAF=S△OCG+S△OAF=S△OAC﹣S△OFG，过点O作OH⊥AC于点H，∴S△OFG=•FG•OH，形OFAD由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，故选项D不一定正确.故选D．（第9题答图）【点评】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、角平分线的性质和判定、三角形和四边形的面积及周长的确定以及折叠的性质，有难度，本题全等的三角形比较多，要注意利用数形结合，并熟练掌握三角形全等的判定，还要熟练掌握角平分线的逆定理的运用，证明FO平分∠DFG是本题的关键，10．C【解析】经过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，∴①错误；任意一个圆一定有内接三角形，并且有多个内接三角形，∴②错误；任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，∴③正确；三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，到三角形的三个顶点距离相等，∴④正确．故选C．【点评】本题考查了确定圆的条件和三角形的外接圆与外心的应用，主要考查学生运用性质进行说理的能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．11．D【解析】设线段BA的中点为E，∵点A（0，4），B（0，﹣6），∴AB=10，E（0，﹣1）．如答图，过点E在第四象限作EP⊥BA，且EP=AB=5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=5；以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C.∵∠BCA为⊙P的圆周角，∴∠BCA=∠BPA=45°，即则点C即为所求．过点P 作PF⊥x轴于点F，则OF=PE=5，PF=OE=1，在Rt△PFC中，PF=1，PC=5，由勾股定理，得CF==7，∴OC=OF+CF=5+7=12.故选D．（第11题答图）【点评】本题主要考查了坐标与图形性质、圆周角定理、勾股定理等知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造圆周角以及直角三角形，由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口．　12．A【解析】作AC、AB的垂直平分线交于点O，则点O为△ABC的外接圆圆心，连接OA，则OA==，故选A．（第12题答图）【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外心的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．　13．C【解析】在PA上截取PE=PB，连接BE.∵△ABC是等边三角形，∠ACB=APB，∴∠ACB=∠APB=60°，AB=BC；∴△BEP是等边三角形，BE=PE=PB；∴∠ACB﹣∠EBC=APB﹣∠EBC=60°﹣∠EBC；∴∠ABE=∠CBP；∵在△ABE与CBP 中，，∴△ABE≌△CBP；∴AE=CP；∴AP=AE+PE=PB+PC．∵PB=3，PC=6，∴PA=6+3=9.∵∠BAP=∠DAB（公共角），∠ABC=∠ACB=∠APB=60°，∴△ABD∽△APB，∴=，即=，∴AB=3BD.∵∠PBD=∠PAC，∠BPD=∠APC=60°，∴△BPD∽△APC，∴=，即PD=6×=2.故选C．（第13题答图）【点评】本题通过构造等边三角形，利用等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、求出某些线段的长度，再利用相似的判定定理和性质定理去求出未知线段的长度．　14．D【解析】∵∠BAC=95°，∴△ABC的外心在△ABC的外部，即在x轴的下方.∵外心在线段BC的垂直平分线上，即在直线x=上，∴△ABC的外心在第四象限.故选D．【点评】本题考查的是三角形的外心的确定，掌握外心的概念和外心与锐角、直角、钝角三角形的位置关系是解题的关键，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部．15．C【解析】A、线段AB的端点A、B和线段AB的中点C不能确定一个圆，故本选项错误；B、当角的两边上的一个点或两个点和角的顶点重合时就不能确定一个圆，故本选项错误；C、经过三角形的三个顶点作圆，有且只有一个圆，故本选项正确；D、矩形的对角线的交点及两个顶点，如果这三个点在一条直线上，就不能确定一个圆，故本选项错误.故选C．【点评】本题考查了确定圆的条件的应用，注意：不在同一直线上的三个点确定一个圆．二．16．E【解析】从点A开始沿ABCDEFCGA的顺序转一周的路径长是8π+4π=12πcm，蚂蚁直到行走2010πcm所转的周数是2010π÷12π=167…6π．即转167周以后又走了6πcm．从点A到点B所得路径长是2π，再到C的路线长也是2π，从点C到点D，到点E的路线长是2π，则从点A行走6πcm到点E．【点评】本题主要考查了圆的周长的计算，正确而理解蚂蚁行走一周以后又回到A，是一个循环的过程，是解决本题的关键．17．（，2），4【解析】过点M作MN⊥BC于点N，连接CM.∵B（3，0），C（﹣，0），∴OB=3，OC=，∴BC=4.∵MN⊥BC，∴CN=BC=2，∴ON=，∴M（，2），Rt△CMN中，由勾股定理，得CM===4，∴∠MCN=30°，连接EB，∴∠CEB=∠CMN=60°，∴∠ABE=30°，连接AM、EM、AE，∴∠AME=2∠ABE=60°，∴△AME是等边三角形，∴AE=AM=4.∵∠EAB=∠ECB，∠AHE=∠AOC=90°，∴∠AEH=∠CFO.∵∠CFO=∠AFE，∴∠AFE=∠AEH，∴AF=AE=4．（第17题答图）【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、坐标与图形特点、勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．18．否，【解析】MN的长没有变化；理由如下，如答图，延长PN交圆于点E，延长PM 交圆于点F，连接EF、OE、OF，作OH⊥EF于点H．根据垂径定理，PN=NE，PM=MF，∴MN∥EF且MN=EF.∵∠MON=120°，∠PNO=∠PMO=90°，∴∠P=60°，∴弦EF的长为定值，MN的长也为定值.在Rt△EOH中，易知∠EOH=60°，∵OE=2，∴EH=OE•sin60°=，∴EF=2，∴MN=EF=.（第18题答图）19．1【解析】（1）如图，连接OA、OD，作OE⊥AC，OF⊥BD，垂足分别为E、F．（第19题答图）∵AC⊥BD，∴∠EMF=∠OFB=∠OEM=90°，∴四边形OEMF为矩形.∵OA=OC=2，OM=√3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d、h，则d2+h2=OM2=3．四边形ABCD的面积为：s=|AC|•（|BM|+|MD|）=|AC|•|BD|，从而s=2≤8﹣（d2+h2）=5，当且仅当d=h时取等号，故四边形ABCD的面积最大值为5．（2）四边形ABCD的面积s=2=2=2，当dh=0即d=0或h=0时（一条弦过原点），s最小，最小值为4．∴四边形ABCD面积最大值与最小值的差5﹣4=1．【点评】本题考查了垂径定理以及坐标与图形的变换，当对角线互相垂直时，四边形的面积等于对角线乘积的一半，这一性质要好好记忆，同时还要注意极值图形的选取方法．　20．2.8【解析】作OM⊥AB于点M，ON⊥HG于点N，连接OA、OH.∵正方形ABCD和正方形EFGH，∴M、O、N在同一条直线上.∵OM⊥AB，∴AM=AB=3，∴OM==4.设正方形EFGH的边长为x，则ON=x+2.∵ON⊥HG，∴NH=HG=x，则（x+2）2+（x）2=25，解得x=2.8．（第20题答图）【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理和正方形的性质，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．21．37.5【解析】如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC.∵CD=15cm，AB=60cm，CD⊥AB，∴OC⊥AB，∴AD=AB=30cm，∴设半径为rcm，则OD=（r﹣15）cm.根据题意，得r2=（r﹣15）2+302，解得r=37.5．∴这个摆件的外圆半径长为37.5cm.（第21题答图）【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．　22．2【解析】连接BO并延长交AC于点F，如图.∵BA=BC，∴=，∴BF⊥AC.∵直径MN⊥BC，∴BD=CD.∵∠BOD=∠EOF，∴Rt△BOD∽Rt△EOF，∴===.设OF=x，则OD=x，∵∠DBO=∠DEC，∴Rt△DBO∽Rt△DEC，∴=，即=，而BD=CD，∴DB2=x（x+2）=3x2+2x，在Rt△OBD中，3x2+2x+3x2=（2）2，解得x 1=，x2=﹣（舍去），∴OD=x=2．（第22题答图）【点评】本题考查了三角形外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理．熟练应用相似比是解决问题的关键．23．13【解析】连接OP，OQ.∵DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，∴H、I是AC、BD的中点，∴OH+OI=（AC+BC）=9.∵MH+NI=AC+BC=18，MP+NQ=14，∴PH+QI=18﹣14=4，∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+4=13．（第23题答图）【点评】本题考查了中位线定理，解题的关键是正确的作出辅助线，题目中还考查了垂径定理的知识，难度不大．　24．2【解析】过B作BD∥AC交x轴于D.∵C是OB的中点，∴OA=AD，∴AC=BD，∴当BD取最小值时，AC最小，由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值.∵A（3，0），∴D（6，0）.∵M（3，4），∴DM==5，∴BD=5﹣1=4，∴AC=BD=2，即线段AC的最小值为2；（第24题答图）【点评】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理，确定线段长的最值问题，可以利用本身垂线段最短或两点之间线段最短来确定，也可以利用另一量来确定，本题是利用BD的长度来解决问题，是中考填空题的压轴题．25．2.5【解析】解可得方程x2﹣7x+12=0得，x1=3，x2=4，∴斜边边长为5，即直角三角形外接圆的直径是5，∴半径等于2.5．【点评】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．　三．26．解：（1）设OC=x.∵弦CD垂直平分半径AO，∴OE=OA=x.∵PC⊥OC，CD⊥OP，∴∠PCO=∠CEO=90°，∴∠P+∠COP=90°，∠ECO+∠COP=90°，∴∠P=∠ECO，∴△CEO∽△PCO，∴，∴=，x=6，则⊙O的半径为6；（2）由（1），得OC=6，OE=3，由勾股定理，得CE==3，∵CD⊥OA，∴CD=2CE=6．【点评】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．　27．解：作OF⊥AC于点F，延长OF交CD于点G，如答图.∵OA=OC，∴F是AC的中点.∵AE垂直于弦AC，∴AE∥OG，∴G是EC的中点，∴GF=AE.∵AE∥OG，DA=OA，∴E是DG的中点，∴AE是△ODG的中位线，∴AE=OG，∴AE=（OF+GF）=（OF+AE），∴=.∵△AEC的面积=AE•AC，△AOC的面积=AC•OF，∴S△AEC：S△AOC==．（第27题答图）【点评】本题考查了垂径定理、平行线的判定与性质、三角形中位线定理、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定的难度，需要通过作辅助线运用三角形中位线的定理才能得出结果．　28．解：如图，连接OC，延长AE交⊙O于点H，连接BH；过点O作ON⊥BH于点N，交CD于点M；则HN=BN，CM=DM=CD=8，∵AB为⊙O的直径，∴∠AHB=90°.∵AE⊥CD，∴CD∥BH.∵ON⊥BH，BF⊥CD，∴EH=MN=BF（设为x）.∵AO=B0，HN=BN，∴ON为△ABH的中位线，∴AH=2ON，即AE+x=2（OM+x），AE﹣x=2OM；由勾股定理，得OM2=OC2﹣CG2=100﹣64=36，∴OM=6，2OM=12；∴AE﹣BF=12．（第28题答图）【点评】该命题以圆为载体，以垂径定理、勾股定理、三角形的中位线定理等几何知识点为考查的核心构造而成；对综合的分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求．　29．解：（1）作OH⊥CD于点H，连接OD.∵AE=1cm，BE=5cm，E在直径AB上，∴AB=1cm+5cm=6cm，半径OD=3cm.∵在Rt△OHE中，OE=3cm﹣1cm=2cm，∠OEH=60°，∴OH=cm.在Rt△OHD中，由勾股定理，得HD=cm.∵OH⊥CD，∴由垂径定理，得DC=2DH=2cm；（2）作OH⊥CD于点H，连接OD.∵AE=1cm，BE=5cm，E在直径AB上，∴AB=1cm+5cm=cm6，半径OD=3cm.∵若直线CD绕点E顺时针旋转15°，∴∠OEH=60°﹣15°=45°.在Rt△OHE中，OE=3cm﹣1cm=2cm，∠OEH=45°，∴OH=cm，在Rt△OHD中，由勾股定理，得HD==（cm）.∵OH⊥CD，∴由垂径定理，得DC=2DH=2cm，即CD=2cm．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形性质等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．。

九年级数学下练习题（圆的基本性质）一、 填空题：（21分）1、如图，在⊙O 中，弦AB ∥OC ，115AOC ∠=︒，则BOC ∠=_________2、如图，在⊙O 中，AB 是直径，15C ∠=︒，则BAD ∠=__________3、如图，点O 是ABC ∆的外心，已知40OAB ∠=︒，则ACB ∠=___________（（（44、如图，AB 是⊙O 的直径，弧BC=弧BD ，25A ∠=︒，则BOD ∠= ． 5、如图，⊙O 的直径为8，弦CD 垂直平分半径OA ，则弦CD ＝ ．6、已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB ＝2cm ，P 点为弦AB 上一动点，则线段OP 的范围是 ．7、如图，在⊙O 中，∠B=50º，∠C=20º，则∠BOC 的=____________（5题图） （6题图） （7题图） （二、解答题1题） 二、解答题（70分）1、如上图4，AB 是⊙O 的直径. (1)若OD ∥AC ，与 的大小有什么关系？为什么？ (2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由.2、已知：如图，在⊙O 中，弦AB=CD.求证：⑴弧AC=弧BD ； ⑵∠AOC=∠BOD3、如图，已知：⊙O 中，AB 、CB 为弦，OC 交AB 于D ，求证：（1）∠ODB>∠OBD ，BBBDCA（2）∠ODB =∠OBC ；4、已知如图,AB 为⊙O 的弦,半径OE 、OF 分别交AB 于点C 、D ，且AC=BD 。

求证：CE=DF5、已知如图，，AB 、AC 为弦，OM ⊥AB 于M ，ON ⊥AC 于N ，MN 是△ABC 的中位线吗？6、已知⊙O 中，M 、N 分别是不平行的两条弦AB 和CD 的中点，且AB = CD ， 求证：∠AMN=∠CNM7、已知如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，DF 、BE 是弦，且DF=BE ，CDC求证：∠D=∠B8、已知如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，CD ⊥AB 于D ，CE 平分∠DCO ，交⊙O 于E ， 求证：弧AE=弧EB9、已知如图，以等腰△ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交另一腰于F ，交底边BC 于D ，则BC 与DF 的关系，证明你的观点。

第9讲圆的基本性质[学生用书P51]对称性的启示在具有对称性的平面图形中，圆这个最简单的曲线最令人惊叹．它是唯一具有无穷多条对称轴的轴对称图形，它又是特殊的中心对称图形．同学们都知道，中心对称图形绕其对称中心旋转180°后所得到的图形跟原图形重合，而将圆绕其中心旋转任意一个角度后所得的图形跟原图形重合，这是圆的独特性质．所以圆被称为最完美的曲线．同学们也许见过这样一道智力游戏题：设有数量足够多的各种面值的硬币，让两个人轮流的在圆形桌面上摆硬币，每次摆一个，个个不能互相重叠，也不能有一部分落在桌面的边缘外．这样，经过充分多次以后，谁先摆不下硬币就算输．试证：先摆的人有办法使对方一定输．先摆的人为什么能稳操胜券呢？就因为圆形桌面是中心对称图形．“先手”只要把第一个硬币摆在桌面的中心，以后不管“后手”把硬币摆在哪里，“先手”总可以把相同面值的硬币摆在与“后手”所摆硬币(关于中心)对称的地方．这样，只要“后手”有地方摆得下，“先手”也总可以摆得下．因此“后手”准输．这里仅仅利用了圆的中心对称性质．因此，本题中把圆形桌面改成矩形桌面、椭圆形桌面或其他具有中心对称性的图形的桌面，问题的结论仍然不变．同学们大概不会不知道我国著名的“太极图”(图①)吧！实际上，它是把一个圆分成阴阳两个部分而成的，因而具有“阴”和“阳”对立统一的深刻含义．太极图的画法：如图②所示，在一个大圆内分别以同一直径的两个半径为直径，做两个小圆，然后擦掉虚线所示的两个半圆，就画成一个太极图．类型之一圆的概念例1[镇海区校级自主招生]如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，AB＝1，BC＝3.若此梯形的顶点A，B恰好在圆O的直径MN上，C，D在圆O上，则圆O的直径等于．【思路生成】首先连结OC，OD，然后设OC＝OD＝x，OB＝y，由在Rt△OAD 中，OA2＋AD2＝OD2，在Rt△OBC中，OB2＋BC2＝OC2，可得方程组即可求得圆O的直径．答图【解析】 如答图，连结OC ，OD ，∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，∴∠OAD ＝90°，∠OBC ＝90°，设OC ＝OD ＝x ，OB ＝y ，在Rt △OAD 中，OA 2＋AD 2＝OD 2，在Rt △OBC 中，OB 2＋BC 2＝OC 2，∵AD ＝2，AB ＝1，BC ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋9＝x 2，（y ＋1）2＋4＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝2，∴圆O 的直径等于213.圆的定义：1．在同一平面内，线段OP 绕着它固定的一个端点O 旋转一周，另一端点P 所经过的封闭曲线叫做圆．2．圆是到定点距离等于定长的点的集合．圆的基本性质：1．圆是轴对称图形：任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．2．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．3．同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也分别相等．确定圆的条件：确定一个圆必须明确两个要素：①圆心(决定圆的位置)；②半径(决定圆的大小)．点和圆的位置关系：点P 在圆内⇔d ＜r ；点P 在圆上⇔d ＝r ；点P 在圆外⇔d ＞r .1．[龙岩校级自主招生]如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，∠AOB 与∠C 互补，∠COD 与∠A 相等，则∠AOB 的度数是__108°__．【解析】 ∵∠AOB 与∠C 互补，∴∠C ＝∠D ＝180°－∠AOB ，∴∠COD ＝180°－2∠C ＝2∠AOB －180°，∵∠A ＝∠B ＝12(180°－∠AOB )，∠COD ＝∠A ，∴2∠AOB －180°＝12(180°－∠AOB )，解得∠AOB ＝108°.垂径定理1．与弦有关的题目，要求解边与角时，连结半径构造等腰三角形是常用的辅助线．2．求圆中的弦长时，通常作辅助线，由半径、弦的一半以及弦心距构成直角三角形运用勾股定理进行求解．类型之二垂径定理例2[上海竞赛题]如图，正方形ABCD的顶点A，D和正方形JKLM的顶点K，L在一个以5为半径的圆O上，点J，M在线段BC上，若正方形ABCD 的边长为6，求正方形JKLM的边长．【思路生成】作ON⊥AD于N，OH⊥KL于H，连结OD，OL，根据勾股定理和垂径定理求出ON，列出方程，解方程即可．答图解：如答图，过点O作直线OP⊥BC，分别交BC，KL，AD于点P，H，N，则ON⊥AD，OH⊥KL，连结DO，LO，在Rt△NOD中，ON＝OD2－DN2＝52－32＝4，OP＝PN－ON＝2.设HL＝x，则PH＝KL＝2x，OH＝OP＋PH＝2＋2x.在Rt△HOL中，x2＋(2x＋2)2＝52，解得x1＝－3(舍去)，x2＝75，∴正方形JKLM的边长为14 5.2．[芜湖校级自主招生]如图，三个全等的正方形内接于圆，正方形的边长为16，则圆的半径为(D)A．333 B．16 5C．16 2 D．517【解析】如答图，设圆心为O，连结OC，OD，延长BO与正方形的边交于点A，答图设圆心与上面正方形的距离为x，则BO＝16－x，AD＝8，AO＝16＋x，在Rt△OBC与Rt△OAD中，∵OC＝OD，∴BC2＋OB2＝AO2＋AD2，即162＋(16－x)2＝(16＋x)2＋82，解得x＝3，∴OB＝16－3＝13，∴OC＝BC2＋OB2＝162＋132＝517.3．[《时代学习报》数学文化节试题](1)如图1，多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，⊙O过点A，D，E三点，求⊙O的半径；(2)如图2，若多边形ABDEC是由一个等腰三角形和一个矩形组成，AB＝AC＝BD＝2，⊙O过A，D，E三点，则⊙O的半径是否改变？答图解：(1)如答图，过A作BC的垂线交DE于F点，∵△ABC为等边三角形，∴AF平分BC，∵四边形BDEC为正方形，∴AF也垂直平分DE，∴过点A，D，E三点的圆的圆心O在AF上，连结AD，OD，则OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵BC＝BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA，而AF∥BD，∴∠OAD＝∠BDA，∴∠ODA＝∠BAD，∴AB∥OD，∴四边形ABDO为菱形，∴AO＝AB＝2，即⊙O的半径为2；(2)⊙O的半径不改变．因为AB＝AC＝BD＝2，此题的求法和(1)一样，⊙O的半径为2.圆的基本性质中常见的基本图形类型之三垂径定理的应用例3[黑龙江竞赛题]如图，半径为2的圆O中，弦AB与弦CD垂直相交于P，连结OP，若OP＝1，求AB2＋CD2的值．【思路生成】解互相垂直的两条弦问题，常需多次运用垂径定理．解：如答图，过O 点作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，连结OD ，OA ，则AE ＝BE ，CF ＝DF .答图∵OE 2＝AO 2－AE 2＝4－14AB 2，OF 2＝OD 2－FD 2＝4－14CD 2，∴OE 2＋OF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－14AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－14CD 2＝PF 2＋OF 2＝OP 2＝12， 即4－14AB 2＋4－14CD 2＝1，故AB 2＋CD 2＝28.对称是一种美，它展示出整体的平衡与和谐．等腰三角形，正方形，圆，抛物线，双曲线等都是轴对称图形，它们能生成从形式到结果完美的图形．4．[岳麓区自主招生]如图，圆O 中，弦AC ⊥BD ，且OE ⊥CD 于E ，若AB 的长是10，则OE 的长是__5__．答图【解析】 如答图，作直径DF ，连结CF ，则∠DCF ＝90°，∠1＋∠2＝90°， ∵AC ⊥BD ，∴∠3＋∠4＝90°，∵∠2＝∠4，∴∠1＝∠3，∴AB ︵＝CF ︵，∴AB ＝CF ＝10.∴OE ⊥CD 于点E ，∴CE ＝DE .∵OD ＝OF ，∴OE ＝12CF ＝5.5．[第3届世界数学团体锦标赛试题]如图，圆O 中两条互相垂直的弦AB 和CD 的弦心距是3和2，它们将圆O 分成四部分：S 1，S 2，S 3，S 4，求(S 1＋S 3)－(S 2＋S 4)．解：如答图，以O 为对称中心，在⊙O 内分别作与AB ，CD 对称的弦A ′B ′，C ′D ′.观察此图，由题设条件，及圆的对称性可知(S 1＋S 3)－(S 2＋S 4)＝阴影长方形的面积＝4×6＝24.答图圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．1°弧的概念1°圆心角所对的弧叫做1°弧．类型之四 圆心角定理例4 [陕西竞赛题]如图，已知⊙O 的半径为R ，C ，D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC ︵的度数为96°，BD︵的度数为36°，动点P 在AB 上，则CP ＋PD 的最小值为．【解析】 如答图，作点D 关于AB 的对称点D ′，连结CD ′，由轴对称确定最短路线问题，CD ′与AB 的交点即为所求的点P ，CD ′的长度为PC ＋PD 的最小长度，答图∵AC ︵度数为96°，∴BC ︵的度数为180°－96°＝84°，连结OD ′，∵BD ︵＝36°，∴BD ′︵＝36°，∴CD ′︵＝84°＋36°＝120°，即∠COD ′＝120°，过点O 作OE ⊥CD ′，则∠COE ＝12∠COD ′＝60°，OE 垂直平分CD ′，∴CD ′＝2CE ＝2×32R ＝3R ，即CP ＋PD 的最小值为3R .6．[余姚自主招生]如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB ，CD ，EF ，如果AB ︵＋CD ︵＝EF ︵，那么AB ＋CD 与EF 的大小关系是( C )A ．AB ＋CD ＝EFB ．AB ＋CD <EFC ．AB ＋CD >EF D ．大小关系不确定【解析】 如答图，在EF ︵上取一点M 使EM ︵＝CD ︵，则FM ︵＝AB ︵，∴AB ＝FM ，CD＝EM，在△MEF中，FM＋EM>EF，∴AB＋CD>EF.答图辅助线规律已知弧的中点，连结半径，构造相等圆心角．基本概念三角形的外接圆：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形的外心：三角形外接圆的圆心．圆的内接三角形：这个三角形叫做圆的内接三角形．三角形外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．三点确定一个圆：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．7．[余姚校级自主招生]如图，⊙O的直径AB与弦EF相交于点P，交角为45°，若PE2＋PF2＝8，则AB等于__4__．答图【解析】如答图，作OG⊥EF于G，连结OE，根据垂径定理，可设EG＝FG＝x，则PE＝x＋PG，PF＝x－PG，又∵PE2＋PF2＝8，∴(x＋PG)2＋(x－PG)2＝8，整理得2x2＋2PG2＝8，x2＋PG2＝4，∵交角为45°，∴OG＝PG，∴OE2＝OG2＋EG2＝4，解得OE＝2，即圆的半径是2，∴直径AB是4.类型之五三角形的外接圆例5已知，如图1，△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.(1)求证：△ABD≌△CBE；(2)如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．图1 图2解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠DBE ，∴∠ABC ＋∠CBD ＝∠DBE ＋∠CBD ，∴∠ABD ＝∠CBE ，在△ABD 与△CBE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝BC ，∠ABD ＝∠CBE ，BD ＝BE ，∴△ABD ≌△CBE ；(2)四边形BDCE 是菱形，证明如下：由(1)知△ABD ≌△CBE ，∴CE ＝AD ，∵点D 是△ABC 外接圆圆心，∴DA ＝DB ＝DC ，又∵BD ＝BE ，∴BD ＝BE ＝CE ＝CD ，∴四边形BDCE 是菱形．8．[四川竞赛题]已知在△ABC中，AB＝AC＝43，高AD＝4，则△ABC的外接圆的半径为(D)A．3 B．4 C．5 D．6【解析】由于AB＝AC，所以其外接圆的圆心在三角形的高上，如答图所示，答图∵AB＝43，AD＝4，AD⊥BC，∴BD＝（43）2－42＝42，可设圆的半径为x，则在Rt△BOD中，(4－x)2＋(42)2＝x2，解得x＝6.9．[雨花区校级自主招生]如图所示，四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝DB＝p，BC＝q，则AC＝．(用p，q表示)答图 【解析】 如答图，延长CD 交半径为p 的⊙D 于点E ，连结AE .显然A ，B ，C 在⊙D 上．∵AB ∥CD ，∴BC ︵＝AE ︵，∴BC ＝AE ＝q .在△ACE 中，∠CAE ＝90°，CE ＝2p ，AE ＝q ，故AC ＝CE 2－AE 2＝4p 2－q 2.10．[诸暨校级自主招生]如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AC ＝BC ，D 为AB ︵上一点，延长DA 至点E ，使CE ＝CD .(1)求证：AE ＝BD ；(2)若AC ⊥BC ，求证：AD ＋BD ＝2CD .证明：(1)∵△ABC 是⊙O 的内接三角形，AC ＝BC ，∴∠ABC ＝∠BAC ， ∵CE ＝CD ，∴∠CDE ＝∠CED ，又∵∠ABC ＝∠CDE ，∴∠ABC ＝∠BAC ＝∠CDE ＝∠CED ，∴∠ACB ＝∠DCE ，∴∠BCD ＝∠ACE ，在△AEC 和△BDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ，CE ＝CD ，∴△AEC ≌△BDC (SAS )，∴AE ＝BD ；(2)∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝90°，∴∠DCE ＝90°，又∵CD ＝CE ，∴△DCE 为等腰直角三角形，∴DE ＝2CD ，又∵DE ＝AD ＋AE 且AE ＝BD ，∴AD ＋BD ＝2CD .例6 [希望杯培训题]如图所示，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝80°，在△ABC 内取一点M ，使得∠MBA ＝30°，∠MAB ＝10°，那么∠AMC 的度数是__70°__．答图【解析】如答图，作△ADB≌△AMB，连结CD，MD，∴∠MBD＝∠MBA＋∠DBA＝2∠MBA＝60°，∠AMB＝∠ADB＝180°－10°－30°＝140°，而∠ACB＝80°，AC＝BC，且180°－140°＝40°＝12×80°，∴D就在以C为圆心，AC为半径的圆上，∴AC＝DC＝BC，∵△MBD为等边三角形，∴BM＝DM，又CM＝CM，∴△CMD≌△CMB，∴∠CMD＝∠CMB.而∠CMD＋∠CMB＋∠BMD＝360°，∠BMD＝60°，∴∠CMD＝∠CMB＝150°，∠AMC＝360°－∠CMB－∠AMB＝360°－150°－140°＝70°.构造圆，利用圆的基本性质解题.[学生用书P28]【思维入门】1．[潍坊中考]点A ，C 是半径为3的圆周上两点，点B 为AC ︵的中点，以线段BA ，BC 为邻边作菱形ABCD ，顶点D 恰好在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为( D ) A.5或2 2 B.5或2 3 C.6或2 2 D.6或2 3【解析】 分两种情况讨论：如答图①所示，当对角线BD ＝2时，连结OA ，AC 交BD 于点E ，则AE ⊥BD ，BE ＝ED ＝1，OE ＝2，根据勾股定理，得AE 2＝OA 2－OE 2＝9－4＝5，AD 2＝AE 2＋ED 2＝6，∴AD ＝6，即菱形的边长为6；如答图②所示，当对角线BD ＝4时，同理，有OE ＝OD ＝1，由勾股定理，得AE 2＝OA 2－OE 2＝9－1＝8，AD 2＝AE 2＋ED 2＝12，∴AD ＝23，即菱形的边长为2 3.综上可知，该菱形的边长为6或2 3.①②答图2．[江苏竞赛题]P是圆O内一点，圆O的半径为15，P点到圆心的距离为9，通过P点、长度是整数的弦的条数是(D)A．5 B．7 C．10 D．12【解析】在⊙O中，半径是15，点P到圆心的距离为9，则过点P最长的弦是过点P的直径，长度为30.过点P最短的弦是垂直于OP的弦，这条弦长为24.最长的弦有一条，最短的弦有一条，而弦长分别是25，26，27，28，29的弦各有两条，所以过P点，长度是整数的弦一共有1＋2×5＋1＝12条．3．[青羊区自主招生]如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连结EF，则线段EF长度的最小值为(C)A．2 B. 2 C. 3 D．3【解析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高线时，直径AD最短，如答图，连结OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，答图∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝22，∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH＝12∠EOF＝∠BAC＝60°，∴在Rt△EOH中，EH＝OE·32＝1×32＝32，∴EF＝2EH＝ 3.4．[黄冈中学自主招生]在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a>2)，半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为23，则a的值是．【解析】如答图，过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连结P A.∵AB＝23，∴AE＝3，P A＝2，∴PE＝1.∵点D在直线y＝x上，∴∠DOC＝45°，∵∠DCO＝90°，∴∠ODC＝45°，∴∠PDE＝∠ODC＝45°，答图∴∠DPE＝∠PDE＝45°，∴DE＝PE＝1，∴PD＝ 2.∵⊙P的圆心是(2，a)，∴点D的横坐标为2，∴OC＝2，∴DC＝OC＝2，∴a＝PD＋DC＝2＋ 2.5．[乐清自主招生]如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标为(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为__(1，3)__．【解析】∵四边形OCDB是平行四边形，B(8，0)，∴CD∥OA，CD＝OB＝8，如答图，过点M作MF⊥CD于点F，则CF＝12CD＝4，答图过点C作CE⊥OA于点E，∵A(10，0)，∴OE＝OM－ME＝OM－CF＝5－4＝1.连结MC，则MC＝12OA＝5，∴在Rt△CMF中，由勾股定理得MF＝MC2－CF2＝52－42＝3. ∴点C的坐标为(1，3)．6．[台州中考]如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．(1)求证：△APE是等腰直角三角形；(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．解：(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠C＝∠ABC＝45°，∴∠PEA＝∠ABC＝45°.又∵PE是⊙O的直径，∴∠P AE＝90°，∠PBE＝90°，∴∠PEA＝∠APE＝45°，∴△APE是等腰直角三角形；(2)∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB，同理AP＝AE，又∵∠CAB＝∠P AE＝90°，∴∠CAP＝∠BAE，∴△CAP≌△BAE，∴CP＝BE，在Rt△BPE中，∠PBE＝90°，PE＝2，∴PB2＋BE2＝PE2，∴CP2＋PB2＝PE2＝4.【思维拓展】7．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°，公路PQ上A 处距离O点240 m，如果火车行驶时，周围200 m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72 km/h的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为(B)A．12 s B．16 s C．20 s D．24 s【解析】如答图，过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200 m，∵∠QON＝30°，OA＝240 m，答图∴AC＝120 m，当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB＝200 m，∵AB＝200 m，AC＝120 m，∴由勾股定理得BC＝160 m，同理，CD＝160 m，即BD＝320 m，∵72 km/h＝20 m/s，∴影响时间为320÷20＝16(s)．8．[第25届希望杯初三第1试]如图，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，且CD 与AB 相交，若m ＝||S △CAB －S △DAB ，n ＝S △OAB ，则( B )A ．m ＞2nB ．m ＝2nC ．m ＜2nD ．m 与2n 的大小无法确定【解析】 设AB 与CD 交于点E ，∵CO ＝DO ，∴S △ACE ＋S △AOE ＝S △AOD ，S △CBE＋S △BOE ＝S △BOD ，∴S △ACB ＋S △ABO ＝12S四边形ACBD ，S △ABD ＋S △ACB ＝S 四边形ACBD ，∴|S △ABD －S △ACB |＝2S △ABO ，即m ＝2n .9．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8 cm ，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，M 是AB 上一动点，CM ＋DM 的最小值为__8__cm.答图 【解析】 如答图，作点C 关于AB 的对称点C ′，连结C ′D 与AB 相交于点M ，此时C ′D 的长为CM ＋DM 的最小值．由垂径定理，得AC ︵＝AC ′︵，∴BD ︵＝AC ′︵，∵C ′D ︵＝AB ，∴C ′D ＝AB ＝8，∴CM ＋DM 的最小值为8 cm.10．[海淀区自主招生]如图，AB 为⊙O 的直径，E ，F 为AB 的三等分点，M ，N 为AB ︵上两点，且∠MEB ＝∠NFB ＝60°，EM ＋FN ＝33，则直径AB 的长为__6__．答图 【解析】 如答图，延长ME 交⊙O 于G ，过点O 作OH ⊥MG 于H ，连结MO ，过O 作OP ⊥FN ，垂足为P ，∵O 为AB 的中点，E ，F 为AB 的三等分点，∴OE ＝OF ，又∵MG ∥FN ，∴∠MEF ＝∠NFB ＝∠OFP ，∵∠OHG ＝∠OPF ＝90°，∴△OHE ≌△OPF ，∴OH ＝OP ，易证△OEG ≌△OFN ，∴EG ＝FN ，设⊙O 的直径AB ＝x ，∴OE ＝OA －AE ＝12x －13x ＝16x ，OM ＝12x ，∵∠MEB ＝60°，∴OH ＝OE ·32＝x 6×32＝3x 12，在Rt △MOH 中，MH ＝OM 2－OH 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 122＝36x 2－3x 2144＝33x 212， 根据垂径定理，MG ＝2MH ＝2×33x 212＝33x 6，∴EM ＋FN ＝33x 6＝33.∴x ＝6，即AB 的长为6.11．[全国竞赛]⊙O 的三个不同的内接正三角形将⊙O 分成的区域的个数是__28__.12．[涪城区校级自主招生]如图，已知等腰直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，圆心O 在△ABC 内部，且⊙O 经过B ，C 两点，若BC ＝8，AO ＝1，求⊙O 的半径．答图解：如答图，连结BO，CO，延长AO交BC于D，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴AB＝AC，∵O是圆心，∴OB＝OC，∴直线OA是线段BC的垂直平分线，∴AD⊥BC，且D是BC的中点，在Rt△ABC中，AD＝BD＝12BC，∵BC＝8，∴BD＝AD＝4，∵AO＝1，∴OD＝AD－AO＝3，∵AD⊥BC，∴∠BDO＝90°，∴OB＝OD2＋BD2＝32＋42＝5.13．[鼓楼区校级自主招生]有一批圆心角为90°，半径为1的扇形状下脚料，现利用这批材料截取尽可能大的正方形材料，如图有两种截取方法：方法1，如图1所示，正方形OPQR的顶点P，Q，R均在扇形边界上；方法2，如图2所示，正方形顶点C，D，E，F均在扇形边界上．图1、图2均为轴对称图形．试分别求这两种截取方法得到的正方形面积．并说明哪种截取方法得到的正方形面积更大？解：如答图①，连结OQ ，设正方形OPQR 的边长为x ，则在Rt △OPQ 中，OQ 2＝OP 2＋PQ 2，即12＝x 2＋x 2，解得x ＝22， ∴S 四边形OPQR ＝12；① ② 答图如答图②，过O 作OG ⊥EF ，交CD 于点H ，连结OF ，设FG ＝x ，∵四边形CDEF 是正方形，∴OH ⊥CD ，∴FG ＝CH ＝x ，∵∠DOC ＝90°，H 为CD 中点，∴CH ＝OH ，∴OG ＝OH ＋HG ＝HC ＋CF ＝x ＋2x ＝3x ，在Rt △OFG 中，OF 2＝GF 2＋OG 2，即12＝x 2＋(3x )2，解得x ＝1010，∴CF ＝2x ＝105.∴S 四边形CDEF ＝25，∵12>25，∴第一种方法截取的正方形的面积更大．14．如图1，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有正三角形都关于PQ 对称，其中第一个△A 1B 1C 1的顶点A 1与点P 重合，第二个△A 2B 2C 2的顶点A 2是B 1C 1与PQ 的交点，…，最后一个△A n B n C n 的顶点B n ，C n 在圆上．(1)如图2，当n ＝1时，求正三角形的边长a 1；(2)如图3，当n ＝2时，求正三角形的边长a 2；(3)如图1，求正三角形的边长a n (用含n 的代数式表示)．解：(1)如答图①，设PQ 与B 1C 1交于点D ，连结B 1O .∵△PB 1C 1是等边三角形，∴A 1D ＝32a 1，在△OB 1D 中，OB 21＝B 1D 2＋OD 2，∵OD ＝A 1D －OA 1＝32a 1－1，∴12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 1－12，解得a 1＝3； (2)如答图②，设PQ 与B 2C 2交于点E ，连结B 2O .∵△A 2B 2C 2是等边三角形，∴A 2E ＝32a 2，∵△PB 1C 1是与△A 2B 2C 2边长相等的正三角形，∴P A 2＝A 2E ＝32a 2，OE ＝A 1E －OA 1＝3a 2－1，在△OB 2E 中，OB 22＝B 2E 2＋OE 2，即12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 22＋(3a 2－1)2，解得a 2＝8313；答图(3)设PQ 与B n C n 交于点F ，连结OB n ，则OF ＝32na n －1，在Rt △OB n F 中，OB 2n ＝B n F 2＋OF 2，即12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32na n －12.解得a n ＝43n3n 2＋1.【思维升华】15．[浙江自主招生]如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O 内的一个定点，OM＝5，AB，CD是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M.(1)当AB＝4时，求四边形ADBC的面积；(2)当AB变化时，求四边形ADBC的面积的最大值．解：(1)如答图，作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连结OB，OC，那么AB＝29－OF2＝4，答图∴OF＝5，又∵OE2＋OF2＝OM2＝5，∴OE＝0，∴CD＝6，∴S四边形ADBC ＝12AB×CD＝12；(2)设OF ＝x ，OE ＝y ，则x 2＋y 2＝5， ∵AB ＝29－x 2，CD ＝29－y 2，∴S 四边形ADBC ＝12AB ·CD＝29－x 2×9－y 2＝2－x 4＋5x 2＋36＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－522＋1694， ∴当x 2＝52时，四边形ADBC 的最大面积是13.。

初三数学圆的有关性质练习题1. 问题描述：已知圆A的半径为5cm，圆B的直径为10cm，求圆B的半径和周长。

解答：根据圆的性质，圆的周长公式为C = 2πr，其中C代表周长，π为圆周率，r为半径。

对于圆A，已知其半径为5cm，可以直接带入周长公式计算，得到圆A的周长为：C(A) = 2π × 5 = 10π ≈ 31.42cm对于圆B，已知其直径为10cm，可以通过直径与半径的关系计算其半径。

直径等于半径的两倍，即d = 2r：10 = 2rr = 10/2 = 5cm圆B的半径为5cm，可以带入周长公式计算，得到圆B的周长为：C(B) = 2π × 5 = 10π ≈ 31.42cm所以，圆B的半径为5cm，周长为31.42cm。

2. 问题描述：已知圆C的半径为8cm，圆的面积等于35.2平方厘米，求圆的周长。

解答：对于圆C，已知其半径为8cm，可以带入圆的面积公式计算，面积公式为S = πr^2，其中S代表面积，π为圆周率，r为半径。

已知圆的面积为35.2平方厘米，可以带入面积公式求解：35.2 = π × 8^235.2 = 64ππ ≈ 35.2/ 64 ≈ 0.55将计算得到的π带入圆的周长公式C = 2πr，可以计算圆的周长：C = 2π × rC = 2 × 0.55 × 8 ≈ 8.8 × 8 ≈ 70.4cm所以，已知圆C的半径为8cm，面积为35.2平方厘米，该圆的周长约为70.4cm。

3. 问题描述：已知圆D和圆E的半径分别为6cm和10cm，圆E的面积比圆D的面积大多少平方厘米？解答：对于圆D，已知其半径为6cm，可以带入圆的面积公式计算，面积公式为S = πr^2，其中S代表面积，π为圆周率，r为半径。

对于圆E，已知其半径为10cm，同样带入圆的面积公式计算。

首先计算圆D的面积：S(D) = π × 6^2S(D) ≈ 3.14 × 36 ≈ 113.04平方厘米然后计算圆E的面积：S(E) = π × 10^2S(E) ≈ 3.14 × 100 ≈ 314平方厘米圆E的面积大于圆D的面积的差为：S(E) - S(D) = 314 - 113.04 ≈ 200.96平方厘米所以，圆E的面积比圆D的面积大约200.96平方厘米。

第六单元圆第24课时圆的基本性质点对点·课时内考点巩固30分钟1. (2019柳州)如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是()A. ∠BB. ∠CC. ∠DEBD. ∠D第1题图2. (2019宜昌)如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是()A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°第2题图3. (2019兰州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝()A. 110°B. 120°C. 135°D. 140°第3题图4. (2019甘肃省卷)如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的2倍，则∠ASB的度数是()A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 60°第4题图5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED的度数为()A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第5题图6.(2019西安高新一中模拟)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是()A. 48°B. 96°C. 114°D. 132°第6题图7. (2019陕西黑马卷)如图，在⊙O中，弦AB∥CD，连接BC，OA，OD.若∠BCD＝25°，CD＝OD，则∠AOD的度数是()A. 140°B. 120°C. 110°D. 100°第7题图8. (2019赤峰)如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，点D 是⊙O 上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC 的度数为( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°第8题图9. (2019贵港)如图，AD 是⊙O 的直径，AB ︵＝CD ︵，若∠AOB ＝40°，则圆周角∠BPC 的度数是( ) A. 40° B. 50° C. 60° D ．70°第9题图10. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，BD 为⊙O 的直径，AD ＝6，则BD 的长为( ) A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 12第10题图11. 如图，AB 为⊙O 的直径，∠CAB ＝30°，CB ＝3，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，则弦AD 的长为( )A. 2 3B. 2 2C. 3 3D. 32第11题图12. 如图，B 、C 是⊙A 上的两点，AB 的垂直平分线与⊙A 交于E 、F 两点，与线段AC 交于点D ，连接BC 、BD 、BF 、CF .若∠BFC ＝20°，则∠DBC ＝( )A. 30°B. 29°C. 28°D. 20°第12题图13. (2019西工大附中模拟)如图，已知△ABC 内接于⊙O ，EF 为⊙O 的直径，且点F 是弧BC ︵的中点．若∠B ＝40°，∠C ＝60°，则∠AFE 的度数为( )A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°第13题图14. (2019西安铁一中模拟)如图，在半径为3的⊙O 中，弦BC 、DE 所对的圆周角分别是∠A 、∠F ，且∠A ＋∠F ＝90°.若BC ＝4，则DE 的长为( )A. 13B. 4C. 5D. 25第14题图15.在圆内接四边形ABCD中，∠ACB＝∠ACD＝60°，对角线AC、BD交于点E.已知BC＝32，CD ＝22，则线段CE的长为()第15题图A. 32 2B. 7 5C. 62 5D. 22 316. (2019株洲)如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB 相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝________度．第16题图17.(2019安徽)如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为________．第17题图18.已知半径为5的⊙O中，弦AB＝52，弦AC＝5，则∠BAC的度数是________．点对线·板块内考点衔接10分钟1. (2019襄阳)如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是()A. AP＝2OPB. CD＝2OPC. OB⊥ACD. AC平分OB第1题图2. (2019西工大附中模拟)如图，已知⊙O的内接五边形ABCDE，连接BE、CE，若AB＝BC＝CE，∠EDC ＝130°，则∠ABE的度数为()A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°第2题图3.(2019天水)如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE.若∠D＝80°，则∠EAC的度数为()A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°第3题图4.(2019柳州)在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为________．5.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP、OA，则△AOP面积的最大值为________．第5题图点对面·跨板块考点迁移2分钟1. (2019安顺)如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC 为()第1题图A. 13 B. 22 C.223 D.24参考答案第24课时 圆的基本性质点对点·课时内考点巩固1. D 【解析】在⊙O 中，∵∠A 与∠D 都是BC ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠D .2. A 【解析】∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝40°.∴在△OBC 中，∠BOC ＝180°－∠OCB －∠OBC ＝180°－40°－40°＝100°.∴∠A ＝12∠BOC ＝12×100°＝50°.3. D 【解析】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ＝40°，∴∠C ＝180°－∠A ＝140°.4. C 【解析】如解图，设圆心为O ，半径为r ，则AB ＝2r .连接OA 、OB ，则r 2＋r 2＝(2r )2，∴△OAB 为等腰直角三角形，∠AOB ＝90°.∴∠ASB ＝12∠AOB ＝45°.第4题解图5. B 【解析】如解图，连接AC ，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝∠DCB －∠ACB ＝110°－90°＝20°，∴∠AED ＝∠ACD ＝20°.第5题解图6. B 【解析】∵AD ∥BC ，∴∠B ＝180°－∠DAB ＝132°，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠D ＝180°－∠B ＝48°，由圆周角定理得，∠AOC ＝2∠D ＝96°.7. C 【解析】如解图，连接OC ，∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠BCD ＝25°，∴∠AOC ＝50°，∵CD ＝OD ，OD ＝OC ，∴OC ＝OD ＝CD ，∴△COD 为等边三角形，∴∠COD ＝60°，∴∠AOD ＝∠AOC ＋∠COD ＝110°.第7题解图8. D 【解析】∵OC ⊥AB ，∴点C 是AB ︵的中点，即AC ︵＝BC ︵.∴∠BOC ＝∠AOC ＝2∠ADC ＝60°. 9. B 【解析】∵AB ︵＝CD ︵，∴∠COD ＝∠AOB ＝40°，∴∠BOC ＝100°，∴∠BPC ＝12∠BOC ＝50°.10. C 【解析】∵∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，∴∠BCA ＝12×(180°－120°)＝30°.∴∠D ＝∠BCA ＝30°.∵BD为⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°.在Rt △BAD 中，BD ＝AD cos30°＝632＝4 3. 11. D 【解析】如解图，连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝30°，∴AB ＝2CB ＝6，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD ＝45°，∵∠BAD ＝∠BCD ＝45°，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AD ＝22AB ＝22×6＝3 2.第11题解图12. A 【解析】∵∠BFC ＝20°，∴∠BAC ＝2∠BFC ＝40°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－40°)＝70°.又∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠BAC ＝40°，∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝70°－40°＝30°.13. A 【解析】如解图，连接OC 、CF .∵∠B ＝40°，∠ACB ＝60°，∴∠BAC ＝80°，∠AFC ＝∠ABC ＝40°，∵点F 是弧BC ︵的中点，∴∠BAF ＝∠CAF ＝40°，∴∠COF ＝2∠CAF ＝80°，∵OF ＝OC ，∴∠OFC ＝12(180°－80°)＝50°，∴∠AFE ＝∠OFC －∠AFC ＝10°.第13题解图14. D 【解析】如解图，连接DO 并延长，交⊙O 于点G ，连接EG 、FG ，则∠DFG ＝∠DEG ＝90°，又∵∠A ＋∠DFE ＝90°，∠GFE ＋∠DFE ＝90°，∴∠A ＝∠GFE .则GE ＝BC ＝4.∵⊙O 的半径为3，∴DG ＝6.在Rt △DEG 中，DE ＝DG 2－GE 2＝62－42＝2 5.第14题解图15. C 【解析】如解图，作BM ⊥AC 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，则BM ∥DN ，∴△BME ∽△DNE ，∴MENE ＝BM DN ，∵∠ACB ＝∠ACD ＝60°，∴∠CBM ＝∠CDN ＝30°，∴CM ＝12BC ＝322，CN ＝12CD ＝2，∴BM ＝3CM ＝362，DN ＝3CN ＝6，∴MN ＝CM －CN ＝122，∴ME NE ＝32，∴EN ＝25MN ＝25，∴CE ＝CN ＋EN ＝2＋25＝625.第15题解图16. 20 【解析】∵AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且OC ⊥AB ，∴∠ADC ＝12∠AOC ＝45°.∵∠AEC＝65°，且∠AEC 是△ADE 的一个外角，∴∠BAD ＝∠AEC －∠ADC ＝20°.17. 2 【解析】如解图，连接OA 、OC ，∵∠CBA ＝45°，∴∠AOC ＝90°.又∵OA ＝OC ＝2，∴AC ＝2 2.在Rt △ACD 中，∠CDA ＝90°，∠CAD ＝30°，∴CD ＝AC ·sin30°＝ 2.第17题解图18. 105°或15° 【解析】如解图，连接OC ，OA ，OB .∵OC ＝OA ＝AC ＝5，∴△OAC 是等边三角形，∴∠CAO ＝60°，∵OA ＝OB ＝5，AB ＝52，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴△OAB 是等腰直角三角形，∠OAB ＝45°，点C 的位置有两种情况，如解图①时，∠BAC ＝∠CAO ＋∠OAB ＝60°＋45°＝105°；如解图②时，∠BAC ＝∠CAO －∠OAB ＝60°－45°＝15°.综上所述，∠BAC 的度数是105°或15°.第18题解图点对线·板块内考点衔接1. A 【解析】如解图，连接OC .∵四边形OBCD 是平行四边形，OD ＝OB ，∴四边形OBCD 是菱形．∴OD ＝OC ＝CD .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°.∵CD ∥OB ，∴CD ＝2OP ，OB ⊥AC .故B 、C 选项正确．∵△CBP ≌△COP (HL)，∴BP ＝OP .故D 选项正确．第1题解图2. B 【解析】如解图，连接OA ，OB ，OC ，OE ，∵AB ＝BC ＝CE ，∴AB ︵＝BC ︵＝CE ︵，∠1＝∠2＝∠3，在四边形BCDE 中，∵∠D ＝130°，∴∠CBE ＝50°，∠2＝2∠CBE ＝100°，∴∠1＝∠3＝∠2＝100°，∠AOE＝360°－3×100°＝60°，∴∠ABE ＝12∠AOE ＝30°.第2题解图3. C 【解析】∵∠AEB ＋∠AEC ＝∠D ＋∠AEC ＝180°，∠D ＝80°，∴∠AEB ＝∠D ＝80°.∵四边形ABCD是菱形，∴∠B ＝∠D ＝80°，AB ＝BC ，∴∠B ＝∠AEB .∴∠BAE ＝180°－2∠B ＝20°，∠BAC ＝∠ACB ＝12(180°－∠B )＝50°.∴∠EAC ＝∠BAC －∠BAE ＝30°.4. 52 【解析】如解图，四边形ABCD 为正方形，BD 为⊙O 的直径，OA 为半径，则OA ＝OB ＝5，OA ⊥OB ，∴AB ＝ OA 2＋OB 2＝52＋52＝5 2.第4题解图5. 174【解析】如解图，延长AO 至C 点，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，延长FD 交⊙D 于点P ′，连接AP ′，OP ′，要使△AOP 面积最大，则只需AO 边上的高最大，此时P ′满足条件，即P ′F 为△AOP 的AO 边上最大的高．∵DF ＝AD ·CD AC ＝4×342＋32＝125，∴P ′F ＝DF ＋DP ′＝125＋1＝175，AO ＝12AC ＝52，∴△AOP 的最大面积为12AO ·P ′F ＝12×52×175＝174.第5题解图点对面·跨板块考点迁移1. D 【解析】如解图，连接AC 、AO ，得到等腰三角形AOC ，过A 点作AD ⊥OC ，垂足为点D ，∴∠CAD ＝12∠CAO ＝∠OBC ，∵点C 坐标为(0，2)，∴CD ＝OD ＝1，∴在Rt △ACD 中，AD ＝AC 2－CD 2＝32－12＝22，∴tan ∠OBC ＝tan ∠CAD ＝CD AD ＝122＝24.第1题解图。

一、选择题7．（2019·嘉兴）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线PA 交OC 延长线于点P ，则PA 的长为（ ）A ．2B ．C ．D ．【答案】B【解析】连接OA ，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA 为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以.3.（2019·杭州）如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，若PA=3，则PB=（ ） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】因为P A 和PB 与⊙O 相切，根据切线长定理，可知： P A =PB =3，故选B ．12．（2019·烟台）如图，AB 是O e 的直径，直线DE 与O e 相切于点C ，过点A ，B 分别作AD DE ⊥，BE DE ⊥，垂足为点D ，E ，连接AC ，BC．若AD =3CE =，则»AC 的长为（ ）． A．3 B．3 C．2 D．3【答案】D【解题过程】连接OC ，因为AD DE ⊥，BE DE ⊥，所以90ADC CEB ∠=∠=︒ODEBA所以90DAC ACD ∠+∠=︒ 因为AB 是O e 的直径，所以90ACB ∠=︒，所以90BCE ACD ∠+∠=︒， 所以BCE DAC ∠=∠， 在△ADC 与△CED ,因为90ADC CEB ∠=∠=︒，BCE DAC ∠=∠ 所以△ADC ∽△CED ,所以BC CE AC AD ===在Rt △ACB 中，sin BCBAC AC∠== 所以60BAC ∠=︒， 又因为OA OC =，所以△AOC 是等边三角形， 所以60ACO ∠=︒，因为直线DE 与 O e 相切于点C ， 所以OC DE ⊥，因为AD DE ⊥，OC DE ⊥， 所以AD//OC ，所以60DAC ACO ∠=∠=︒，所以9030ACD DAC ∠=︒-∠=︒，所以2AC AD ==， 所以△AOC 是等边三角形，所以OA AC ==，60AOC ∠=︒，所以»AC =．9．（2019·陕西）如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF ＝EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF ，若∠AOF ＝40°，则∠F 的度数是（ ）A ．20°B ．35°C ．40°D ．55°【分析】连接FB ，得到∠FOB ＝140°，求出∠EFB ，∠OFB 即可．【解答】解：连接FB ．∵∠AOF ＝40°，∴∠FOB ＝180°﹣40°＝140°， ∴∠FEB ＝∠FOB ＝70° ∵EF ＝EB∴∠EFB ＝∠EBF ＝55°， ∵FO ＝BO ，∴∠OFB ＝∠OBF ＝20°， ∴∠EFO ＝∠EBO ，∠EFO ＝∠EFB ﹣∠OFB ＝35°， 故选：B ．【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（2019·威海）如图，⊙P 与x 轴交与点A （—5，0），B （1，0），与y 轴的正半轴交于点C ，若∠ACB ＝60°，则点C 的纵坐标为A.B. C. D .2【答案】D【解题过程】连接PA 、PB 、PC ,过点P 分别作PF ⊥AB ，PE ⊥OC ，垂足为F,E. 由题意可知：四边形PFOE 为矩形， ∴PE ＝OF ,PF ＝OE . ∵∠ACB ＝60°， ∴∠APB ＝120°. ∵P A ＝PB ，＝30°.cos 30°＝AFAP， ∴PF ,AP ＝∴OE,PC ＝在RT △PEC 中，CE ＝ ＝，∴OC ＝CE ＋EO ＝ 2.5． 如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC BD 分别与⊙O 相切于点D .若AC= BD = 4,∠A =45°， 则圆弧CD 的长度为（ ）A .πB . 2πC . D.4π 【答案】B【解析】连接CO ,DO ,因为AC ,BD分别与⊙O 相切于C ,D ，所以∠ACO =∠DBO =90°, 所以∠AOC =∠A =45°, 所以CO =AC =4，因为AC =BD ,CO =DO ,所以△ACO ≌△BDO ,所以∠DOB =∠AOC =45°，所以∠DOC =180°-∠DOB -∠AOC =180°-45°-45°=90°，»CD=904180π⨯=2π，故选B . 9．（2019·益阳）如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是（）A. PA=PBB.∠BPD ＝∠APDC.AB ⊥PDD.AB 平分PD第9题图【答案】D【解析】∵PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，∴PA=PB ，∠BPD ＝∠APD ，故A 、B 正确；∵PA=PB ，∠BPD ＝∠APD ，∴PD ⊥AB ，PD 平分AB ，但AB 不一定平分PD ，故C 正确，D 错误.7．（2019·黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（»AB ），点O 是这段弧所在圆的圆心，AB ＝40m ，点C 是»AB 的中点，点D 是AB 的中点，且CD ＝10m .则这段弯路所在圆的半径为（） A.25mB.24mC.30mD.60m【答案】A【解析】连接OD ，由垂径定理可知O ，C ，D 在同一条直线上，OC ⊥AB ，设半径为r ，则OC ＝OA ＝r ，AD ＝20，OD ＝OA －CD ＝r －10，在Rt △ADO ，由勾股定理知：r 2＝202＋(r －10)2，解得r ＝25.9．（2019·陇南）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°【答案】C【解析】作AB的垂直平分线，交圆与点C，D，设圆心为O，CD与AB交于点E，∵OA，∴AE=，∴2sin2OEAOEOA OA∠===,∴∠AOE=45°，∴∠AOB=90°，∴∠ASB=45°，故选：C．1.（2019·滨州）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°【答案】B【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B．2. (2019·聊城)如图,BC是半圆O的直径,D,E是»BC上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE,如果∠A＝70°,那么∠DOE的度数为A.35°B.38°C.40°D.42°【答案】C【解析】∵∠A＝70°,∴∠B+∠C＝110°,∴∠BOE+∠COD＝220°,∴∠DOE＝∠BOE+∠COD－180°＝40°,故选C.3.（2019·潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD．过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若sin∠CAB=35，DF=5，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C【解析】连接BD．∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD．∵AB为直径，∴∠ADB=∠ACB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°．∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°．∴∠ADE=∠ABD．∵∠ABD=∠ACD，∴∠DAC=∠ADE．∴AF=DF=5．在Rt△AEF中，sin∠CAB=35 EFAF=∴EF=3，AE=4．∴DE=3+5=8．由DE2=AE▪EB，得228164DEBEAE===．∴AB=16+4=20．在Rt△ABC中，sin∠CAB=35 BC AB=∴BC=12．4. （2019·凉山）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数（▲）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以只有①是对的，故选A. 5.（2019·眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD．垂足是点E，∠CAO=22．5°，OC=6，则CD的长为A．B．．6 D．12【答案】A【解析】∵∠A=22.5°，∴∠COE=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，OC=6，∴∠CEO=90°，∵∠COE=45°，∴OC＝CD=2CE= D.6.（2019·衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（A）A.6dmB.5dmC.4dmD.3dm【答案】B【解析】连接OD，OB，则O，C，D三点在一条直线上，因为CD垂直平分AB，AB=8dm，所以BD=4dm,OD=（r-2）dm，由勾股定理得42+（r-2）2=r2，r=5dm，故选B.7.(2019·泰安) 如图,△ABC是e O的内接三角形,∠A＝119°,过点C的圆的切线交BO于点P,则∠P的度数为A.32 °B.31°C.29°D.61°【答案】A【解析】连接CO,CF,∵∠A＝119°,∴∠BFC＝61°,∴∠BOC＝122°,∴∠COP＝58°,∵CP与圆相切于点C,∴OC⊥CP,∴在Rt△OCP中,∠P＝90°－∠COP＝32°,故选A.二、填空题7．（2019·嘉兴）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线PA 交OC 延长线于点P ，则PA 的长为（ ）A ．2B ．C ．D ．【答案】B【解析】连接OA ，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA 为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以.3.（2019·杭州）如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，若PA=3，则PB=（ ） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】因为P A 和PB 与⊙O 相切，根据切线长定理，可知： P A =PB =3，故选B ．12．（2019·烟台）如图，AB 是O e 的直径，直线DE 与O e 相切于点C ，过点A ，B 分别作AD DE ⊥，BE DE ⊥，垂足为点D ，E ，连接AC ，BC．若AD =3CE =，则»AC 的长为（ ）． ABCD【答案】D【解题过程】连接OC ，因为AD DE ⊥，BE DE ⊥，所以90ADC CEB ∠=∠=︒ 所以90DAC ACD ∠+∠=︒ 因为AB 是O e 的直径，所以90ACB ∠=︒，所以90BCE ACD ∠+∠=︒， 所以BCE DAC ∠=∠， 在△ADC 与△CED ,因为90ADC CEB ∠=∠=︒，BCE DAC ∠=∠ 所以△ADC ∽△CED ,所以BC CE AC AD ===在Rt △ACB中，sin BCBAC AC∠== 所以60BAC ∠=︒， 又因为OA OC =，所以△AOC 是等边三角形， 所以60ACO ∠=︒，因为直线DE 与 O e 相切于点C ， 所以OC DE ⊥，因为AD DE ⊥，OC DE ⊥， 所以AD//OC ，所以60DAC ACO ∠=∠=︒，所以9030ACD DAC ∠=︒-∠=︒，所以2AC AD ==， 所以△AOC 是等边三角形，所以OA AC ==，60AOC ∠=︒，所以»AC=．12．（2019·威海）ODEBA如图，⊙P 与x 轴交与点A （—5，0），B （1，0），与y 轴的正半轴交于点C ，若∠ACB ＝60°，则点C 的纵坐标为B.B. C. D .2【答案】D【解题过程】连接PA 、PB 、PC ,过点P 分别作PF ⊥AB ，PE ⊥OC ，垂足为F,E. 由题意可知：四边形PFOE 为矩形， ∴PE ＝OF ,PF ＝OE . ∵∠ACB ＝60°， ∴∠APB ＝120°. ∵P A ＝PB ，＝30°.cos 30°＝AFAP， ∴PF ,AP ＝∴OE,PC ＝在RT △PEC 中，CE ＝ ＝，∴OC ＝CE ＋EO ＝ 2.16．（2019·娄底）如图（9），C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，AB＝2，∠ACD ＝30°，则AD ＝_____________．【答案】1．【解析】如图，图9－1，连结AD ，∵由AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，又∵在⊙O 中有∠ACD ＝30°, ∴∠B ＝∠ACD ＝30°，∴112122AD AB ==⨯=． 17．（2019·衡阳）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是． 【答案】63【解析】如图，作OD ⊥BC 于D ，∵OB ＝6，∠OBD ＝30，∴BD ＝12BC ＝33，∴BC ＝63，故答案为63．13．（2019·安徽）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为2，则CD 的长为 .DCBOA【答案】2【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，于是得到∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，解直角三角形即可得到结论．连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，则∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，∵⊙O 的半径为2，∴CE=4，∴BC=21CE=2，∵CD ⊥AB ，∠CBA=45°，∴CD=22BC=2，故答案为2．16．（2019·株洲）如图所示，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且OC ⊥AB ，过点C 的弦CD 与线段OB 相交于点E ，满足∠AEC ＝65°，连接AD ，则∠BAD ＝度．第16题【答案】20°【解析】如图，连接DO ，因为CO ⊥AB,所以∠COB=90°，∵∠AEC ＝65°，∴∠C=25°，∵OD=OC,∴∠ODC=∠C=25°，△DCO 中，∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∴2∠BAD=∠DOB,∴∠BAD=20°。

初中数学【圆的基本性质】练习题一．选择题（共9小题）1．在圆中，下列命题中正确的是（）A．垂直于弦的直线平分这条弦B．平分弧的直线垂直于弧所对的弦C．平分弦的直径垂直于这条弦D．平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦2．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴相切于B，与y轴交于C（0，1），D（0，4）两点，则点A的坐标是（）A．B．C．D．3．如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝100°，则∠ABC等于（）A．50°B．80°C．100°D．130°4．如图，AB是⊙O的弦，AB＝10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是BC、AB的中点，则MN长的最大值是（）A．10B．5C．10D．205．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为（）A．70°B．90°C．110°D．120°6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，△ABC的内切圆半径为1，则△ABC的周长为（）A．13B．14C．15D．167．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（）A．19B．16C．18D．208．如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径．若AC＝3，则DE的长是（）A．3B．3.5C．2D．1.59．已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则AB，CD之间的距离为（）A．17cm B．7cm C．12cm D．17cm或7cm 二．填空题（共8小题）10．如图，PT切⊙O于点T，经过圆心的割线P AB交⊙O于点A和B，PT＝4，P A＝2，则⊙O的半径是．11．如图，⊙O中两条弦AB、CD相交于点P，已知P A＝3，PB＝4，PC＝2，那么PD长为．12．如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝45°，∠E＝30°，则∠F＝．13．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为．14．如图，E是⊙O上一点，AB是⊙O的弦，OE的延长线交AB的延长线于C．如果BC ＝OE，∠C＝40°，求∠EOA＝度．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则BD的长为．16．如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE＝4，CD＝6，则AE的长为．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，BC＝4，点E是△ABC的内心，连接AE 并延长交⊙O于点D，则DE＝．三．解答题（共2小题）18．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且＝（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求AD的长．19．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，G是弧AC上的任意一点，AG、DC的延长线相交于点F．求证：∠FGC＝∠AGD．答案一．选择题（共9小题）1．在圆中，下列命题中正确的是（）A．垂直于弦的直线平分这条弦B．平分弧的直线垂直于弧所对的弦C．平分弦的直径垂直于这条弦D．平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦【解答】解：A、直线只有过圆心时，垂直于弦的直线平分这条弦，故选项错误；B、直线只有过圆心时，平分弧的直线垂直于弧所对的弦，故选项错误；C、被平分的弦是直径时，不一定垂直于弦，故选项错误；D、正确．故选：D．2．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴相切于B，与y轴交于C（0，1），D（0，4）两点，则点A的坐标是（）A．B．C．D．【解答】解：过点A作AM⊥CD∵⊙A与x轴相切于点B，与y轴交于C（0，1），D（0，4）两点∴OC＝1，CD＝3，DM＝CM＝1.5∴OM＝AB＝2.5，∴圆的半径R＝2.5，∴AC＝2.5∴AM＝＝2，即点A的坐标是（）．故选：C．3．如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝100°，则∠ABC等于（）A．50°B．80°C．100°D．130°【解答】解：如图，在优弧上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC＝100°，∴∠ADC＝∠AOC＝50°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝130°．故选：D．4．如图，AB是⊙O的弦，AB＝10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是BC、AB的中点，则MN长的最大值是（）A．10B．5C．10D．20【解答】解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，∴MN＝AC，∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC是直径时，最大，如图，∵∠ACB＝∠D＝45°，AB＝10，∴AD＝20，∴MN＝AD＝10，故选：A．5．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为（）A．70°B．90°C．110°D．120°【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵∠B＝30°，∠BOC＝∠B+∠BDC，∴∠BDC＝∠BOC﹣∠B＝100°﹣30°＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝110°，故选：C．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，△ABC的内切圆半径为1，则△ABC的周长为（）A．13B．14C．15D．16【解答】解：根据直角三角形的内切圆的半径公式，得（AC+BC﹣AB）＝1，∴AC+BC＝8．则三角形的周长＝8+6＝14．故选：B．7．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（）A．19B．16C．18D．20【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；∵∠A＝∠B＝60°，∴∠ADB＝60°；∴△ADB为等边三角形；∴BD＝AD＝AB＝12；∴OD＝4，又∵∠ADB＝60°，∴DE＝OD＝2；∴BE＝10；∴BC＝2BE＝20；故选：D．8．如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径．若AC＝3，则DE的长是（）A．3B．3.5C．2D．1.5【解答】解：连接AE、AD，如图，∵BE是⊙O的直径．∴∠BAE＝90°，∵AB⊥CD，∴AE∥CD，∴∠ADC＝∠DAE，∴＝，∴DE＝AC＝3．故选：A．9．已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则AB，CD之间的距离为（）A．17cm B．7cm C．12cm D．17cm或7cm 【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，连接OA、OC．作OF⊥CD于F，交AB于E．∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝12﹣5＝7cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，连接OA、OC．作OF⊥CD于F，交AB于E．∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝OF+OE＝17cm．∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．故选：D．二．填空题（共8小题）10．如图，PT切⊙O于点T，经过圆心的割线P AB交⊙O于点A和B，PT＝4，P A＝2，则⊙O的半径是3．【解答】解：∵PT切⊙O于点T，∴由切割线定理得PT2＝P A•PB，即42＝2×（2+AB）．解得AB＝6．∴⊙O的半径是3，故答案为：3．11．如图，⊙O中两条弦AB、CD相交于点P，已知P A＝3，PB＝4，PC＝2，那么PD长为6．【解答】解：∵两条弦AB、CD相交于点P，∵PD•PC＝P A•PB，∴PD＝＝6．故答案为6．12．如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝45°，∠E＝30°，则∠F＝60°．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝135°，有三角形的外角性质可知，∠EDC＝∠BCD﹣∠E＝105°，∴∠F＝∠EDC﹣∠A＝60°，故答案为：60°．13．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为4．【解答】解：∵OC⊥AP，OD⊥PB，∴由垂径定理得：AC＝PC，PD＝BD，∴CD是△APB的中位线，∴CD＝AB＝×8＝4，故答案为：4．14．如图，E是⊙O上一点，AB是⊙O的弦，OE的延长线交AB的延长线于C．如果BC ＝OE，∠C＝40°，求∠EOA＝60度．【解答】解：连接OB，∵OB＝OE＝BC，∠C＝40°，∴∠COB＝∠C＝40°，∴∠ABO＝∠C+∠COB＝80°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO＝80°，△AOC中，∠EOA＝180°﹣40°﹣80°＝60°，故答案为：60．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则BD的长为．【解答】解：过点C作CE⊥AD于点E，则AE＝DE，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴CE＝＝，∴AE＝＝＝，∴AD＝2AE＝，∴BD＝AB﹣AD＝5﹣＝，故答案为：．16．如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE＝4，CD＝6，则AE的长为5．【解答】∵AC平分∠BAD，∴＝，∴∠BDC＝∠CAD，∵∠ACD＝∠DCE，∴△CDE∽△CAD，∴CD：AC＝CE：CD，∴CD2＝AC•CE，设AE＝x，则AC＝AE+CE＝4+x，∴62＝4（4+x），解得：x＝5．∴AE＝5．故答案为：5．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，BC＝4，点E是△ABC的内心，连接AE 并延长交⊙O于点D，则DE＝．【解答】解：如图，连接BD，CD，EC．∵点E是△ABC的内心，∴∠DAB＝∠DAC，∠ECA＝∠ECB，又∵∠DCB＝∠DAB，∴∠DAC＝∠DCB∵∠DEC＝∠EAC+∠ECA，∠ECD＝∠ECB+∠DCB，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC，∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∵∠DAB＝∠DAC，∴＝，∴BD＝DC，∵BC＝4，∴DC＝DB＝2，∴DE＝2，故答案为2．三．解答题（共2小题）18．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且＝（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求AD的长．【解答】（1）方法一：连接AE，∵AB是直径，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∵＝，∴∠BAE＝∠CAE，又AE＝AE，∴△AEB≌△AEC（ASA），∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；方法二：∵AB是直径，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∵＝，∴DE＝BE，∴∠CBD＝∠BDE，∴∠C＝∠CDE，∵ABED是圆内接四边形，∴∠CDE＝∠CBA，∴∠C＝∠CBA，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝×12＝6，在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，∴AE＝＝8，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴AE•BC＝BD•AC，∴BD＝＝，在Rt△ABD中，∵AB＝10，BD＝，∴AD＝＝．19．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，G是弧AC上的任意一点，AG、DC的延长线相交于点F．求证：∠FGC＝∠AGD．【解析】连接AD.∵CD⊥AB，∴弧AD＝弧AC ，∴∠ADC＝∠AGD.∵四边形ADCG是圆内接四边形，∴∠ADC＝∠FGC，∴∠FGC＝∠AGD．。