(完整版)关于数值计算过程说明

数值计算方法在数学中，数值计算是解决实际问题常用的重要方法。

解决这类问题时，只要按照由简单到复杂、由特殊到一般的思维顺序进行逐步分析和研究，总能得到正确的结果。

下面，就有关数值计算方法和运算的规则及要求，进行分析讨论，并举例说明。

当数列或函数的各项中，如果出现加减乘除以外的运算，一定要首先考虑通过“分解”、“凑整”等数值运算的办法来解决，而不能直接运算。

具体来说，可采用以下方法：在运算过程中，为了省略乘方或开方运算，需将原式写成分子、分母都是较大数字的形式；为了使相乘的积尽量不变号，也可以把分母化成整数，再相乘；为了使被除数尽可能多地乘上除数所以位数较多的数，应把除数扩大成被除数的许多倍，然后用乘法分配律进行简便运算；为了把小数化成整数，需将小数点向右移动若干位，使小数的小数部分全部转换成整数的形式；为了保证每一位乘得的结果不变号，还可以对乘法和除法同时进行一次因式分解，使分子、分母同时除以较大的数字，从而在计算时，把小数化成整数，最后按照前面说的分配律，用简便方法进行简便运算。

对于分数值的计算，要先根据分数的意义计算出结果，再将得到的整数写成分数的形式，最后按照分数的运算法则进行运算。

计算方法不但要考虑数字本身的特征，而且还要注意分数与整数之间的互化问题。

一般地，分数的分子和分母都乘以同一个整数后，分数值发生了变化，所以必须进行同分母分数的加减运算；一般地，分数的分子和分母同时乘以较大的整数时，其值仍然不变，故不需要进行同分子分数的加减运算。

例如： 12*10=12(10)=2×3= 6(后一步不需要进行运算)； 2*4=8(后一步不需要进行运算)； 15*5=45(后一步不需要进行运算)。

关于约分，不仅要看被分数的整数部分和分数部分是否互质，而且要考虑两部分的大小是否适合分子、分母互质，是否有公因数等情况。

例如： 6*2/3=2/3(大小合适)； 14/18=4/9(大小不合适)。

第五章 数值分析和数值计算1． 如何求插值多项式给定n 个点( x i ,y i )，(i=1,2,…,n)，构造一个次数不超过n-1的多项式函数f(x)，使得f(x i )=y i ，则称f(x)为拉格朗日插值多项式。

可以证明该多项式函数由公式))...()(())...()((...))...()(())...()(())...()(())...()((1211212321231113121321--------++------+------=n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y唯一给定。

Mathematica 提供了根据插值点数据计算拉格朗日插值多项式的函数InterpolatingPolynomial ，下面是其调用格式：InterpolatingPolynomial[data,var]作出以data 为插值点数据，以var 为变量名的插值多项式。

例：在多数情况下，我们构造插值函数的目的在于计算函数f(x)的值，而并不在意插值多项式的具体表示形式。

对于拉格朗日插值多项式，当n 较大时，得到的高次插值多项式由于截断误差和舍入误差的影响，往往误差较大。

此时在实际应用中，一般采用分段插值。

Mathematica 提供了分段插值函数Interpolation ，其使用格式为：Interpolation[data,InterpolationOrder->n]这里InterpolationOrder->n 指定插值多项式的次数，默认值为3。

此外数据data 中还可以包括插值点处的导数，格式为：{{x1,{y1,dy1}},{x2,{y2,dy2}},…}例：已知f(0)=0,f(1)=2,f’(0)=1,f’(1)=1,求3次插值多项式f(x)，并计算f(0.72)和画出函数f(x)在[0,1]区间上的图形。

数值计算方法和算法课程设计一、简介数值计算方法和算法课程是计算机科学与技术专业中重要的课程之一，其内容主要包含了数值计算方法和基本算法的理论、思想、原理和应用，培养了我们在计算机运算中提高算法效率和准确度的能力。

本文档是数值计算方法和算法课程设计的撰写指南，旨在帮助大家完成课程设计的撰写，以完成课程的要求。

二、数值计算方法数值计算方法是对数值问题进行数学解法的研究。

数值计算方法涉及的问题包括：求解方程、插值和逼近、数值积分和数值微分、常微分方程、偏微分方程等。

在数值计算方法中，我们需要了解一些常见的算法，例如：二分法、牛顿迭代法、高斯-塞德尔迭代法、龙格-库塔法等。

课程设计要求学生能够对各种数值方法进行学习、比较、分析和综合使用，完成一定的数值计算问题。

三、算法设计算法设计是在具体的问题基础上，根据规则和原则选择合适的计算流程和方法，得到满足计算要求的算法过程。

计算机算法是在计算机程序设计过程中所采用的一些指导模式，其目的在于使计算机能够依据事先给定的任务说明和数据，精细地指导其运算。

算法设计需要学生具备深厚的数学功底和良好的编程能力，同时，还需要学生掌握常见的算法设计原则和技巧。

四、课程设计要求本门课程设计要求学生独立完成一个数值计算问题的解法的完整过程。

具体要求：1.选择适合的数值计算问题并设计算法实现；2.实现程序并进行测试；3.通过测试数据的分析和效果评价，进行算法设计的改进；4.撰写设计报告并提交。

五、设计报告内容设计报告应该包括以下内容：1.问题的阐述与分析，明确所需要解决的数值计算问题，并说明具体的解法；2.算法实现流程，详细说明算法中所使用的思想、原理和过程；3.程序编写内容，对程序进行详细的讲解和分析，并附上程序代码；4.程序测试过程，对测试数据和效果进行分析和说明，并展示输出结果；5.算法改进，对算法的不足之处和改进方向进行分析；6.总结，对设计过程中的感受和体会进行总结并对未来方向进行展望和思考。

1.题目造倒数表，并例求 18 的倒数。

（精度为2.算法原理牛顿迭代法牛顿迭代法是通过非线性方程线性化得到迭代序列的一种方法。

对于非线性方程f x() = 0 ，若已知根x* 的一个近似值x k ，将f (x) 在x k 处展成一阶泰勒公式后忽略高次项可得：f (x) ≈ f x( k ) + f '(x k )(x −x k )右端是直线方程，用这个直线方程来近似非线性方程f (x) 。

将非线性方程fx( ) = 0的根x*代入f x( *) = 0 ，即f x( k ) + f '(x k )(x* −x k ) ≈ 0* x k−f (x k ) 解出x ≈f '(x k )将右端取为x k+1 ，则x k+1 是比x k 更接近于x* 的近似值，即f (x)x≈ x−f '(x k ) 这就是牛顿迭代公式，相应的迭代函数是f (x)ϕ(x) = x −f '(x)牛顿迭代法的应用1 1计算是求cx− =1 0的解，解出x，即得到。

取c c 有牛顿迭代公式cx−1 1x= x−= c c 这样就失去了迭代的意义，达不到迭代的效果。

1f (x) = cx−1， f '(x)= c，故重新构造方程：cx2 −x = 0 ，也是该式的解。

故取f (x) = cx2 −x ，cf '(x) = 2cx −1，则有牛顿迭代公式x= x−cx2 −x= cx, k = 0,1,...2cx k −1 2c k −11 1的值在~ 之间，取初值x0 = 。

20 103.流程图,,Nxε读入1k⇒()0xf′=x输出1k kx x⇒+⇒()()f xx xf x⇒−′x xε−<≠=<=≥≠4.输出结果5.结果分析当k= 3时，得 5 位有效数字 564。

此时，x3 −x4 = 000 < 005，故取x* = x3 = 564 ≈ 。

数学实验课程实验大纲
大纲制定时间：2009年8月
实验课程名称：数值计算方法实验（Mathematics Experiment ）
课程负责人：邹昌文
课程分类：专业基础课课程类型：选修
适用专业：信息与计算科学
课程总学时：96 课程总学分：5
实验学时：32 实验学分：1
开课单位：理学院
大纲执笔人：邹昌文
一、实验的性质、目的与任务
本实验大纲内容是与理论课相配套的，是为了让同学通过一系列的上机实习，进一步掌握课堂上所学的内容，并有所扩充。

基本任务是让同学掌握matlab的基本应用，并在此基础上要求同学能完成一定难度的编程实验。

三、教材：《数值计算方法实验指导书》邹昌文 2009
参考书：《数值计算方法》李庆扬
四、考核方式：提交符合规定的实验报告
五、使用说明：
大纲制定人：邹昌文
大纲审定人：。

数值分析简述及求解应用摘要：数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，本文主要介绍了数值分析的一些求解方法的原理和过程，并应用在电流回路和单晶硅提拉过程中的，进一步体现数值分析的实际应用。

关键字：解方程组插值法牛顿法一、引言随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。

有可靠的理论分析，要有数值实验，并对计算的结果进行误差分析。

数值分析的主要内容包括插值法，函数逼近，曲线拟和，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微分方程的数值解法。

运用数值分析解决问题的过程包括：实际问题→数学建模→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。

在自然科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解方程组的问题,方程组求解是科学计算中最常遇到的问题。

如在应力分析、电路分析、分子结构、测量学中都会遇到解方程组问题。

在很多广泛应用的数学问题的数值方法中，如三次样条、最小二乘法、微分方程边值问题的差分法与有限元法也都涉及到求解方程组。

在工程中常会遇到求解线性方程组的问题，解线性方程组的方法有直接法和迭代法，直接法就是经过有限步算术运算，可求的线性方程组精确解的方法（若计算过程没有舍入误差），但实际犹如舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得近似解，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组级某些大型稀疏矩阵方程组的有效方法。

直接法包括高斯消元法，矩阵三角分解法、追赶法、平方根法。

迭代法就是利用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。

将方程组的解看作是某极限过程的极限值，且计算这一极限值的每一步是利用前一步所得结果施行相同的演算步骤而进行。

迭代法具有需要计算机的存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程始终不变等优点，但存在收敛性级收敛速度问题。

迭代法是解大型稀疏矩阵方程组（尤其是微分方程离散后得到的大型方程组）的重要方法。