广东省梅州市2020届高三总复习质检试卷理科数学含答案(2020.06)

广东省梅州市2020届高三数学总复习质检试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合，8，10，12，，则集合中元素的个数为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】正确理解集合A，根据集合的交集运算，即可求解。

【详解】由题意，集合，8，10，12，，，集合中元素的个数为2．故选：A．【点睛】本题主要考查了交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.已知复数z满足，则A. B. C. 5 D. 10【答案】B【解析】【分析】由题意得，所以，代入复数模公式即可求解。

【详解】解：由，得，则，．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属基础题．3.下列函数为奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数是非奇非偶函数；和是偶函数；是奇函数，故选D．考点：函数的奇偶性．4.顶点在原点，对称轴为x轴的抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意知抛物线的焦点在x轴上也在直线上，所以焦点坐标，即可求，代入公式可得抛物线的方程．【详解】解：由题意可知：抛物线的焦点在x轴上．又抛物线的焦点在直线上，可令，得：．抛物线的焦点的坐标为．，即．此抛物线的方程为．故选：C．【点睛】本题主要考查抛物线的基本性质，属基础题．5.等差数列的前n项和为，且满足，则A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】试题分析：由等差数通项公式和前项和公式,又,可得，解得.故本题答案选A.考点：等差数列的通项公式和前和公式.6.某中学2020年的高考考生人数是2020年高考考生人数的倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2020年和2020年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是A. 与2020年相比，2020年一本达线人数减少B. 与2020年相比，2020年二本达线人数增加了倍C. 2020年与2020年艺体达线人数相同D. 与2020年相比，2020年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2020年该校参加高考的人数为，则2020年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2020年该校参加高考的人数为，则2020年该校参加高考的人数为.对于选项A.2020年一本达线人数为.2020年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2020年二本达线人数为，2020年二本达线人数为，显然2020年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2020年和2020年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2020年不上线人数为.2020年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．7.已知，，若，则实数的值等于A. 3B.C. 或3D. 2【答案】C【解析】【分析】由题意得，根据，即可得出，由数量积的坐标运算即可求出的值．【详解】解：，；；解得或3．故选：C．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量减法、数乘和数量积的坐标运算，属基础题。

2020届高中毕业班调研测试题理科数学一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1、21ii ++＝ A ．3122i - B ．1322i - C ．32i - D 、112i -2．已知集合A ＝｛x ｜x 2＋2x 一3＞0｝，B ＝｛x ｜0＜x ≤4｝，则A ∩B ＝ A ．｛x ｜一3＜x ≤4｝ B ．｛x ｜1＜x ≤4｝ C ．｛x ｜一3＜x ＜0或1＜x ≤4｝ D ．｛x ｜一3＜x ＜一1或1＜x ≤4｝ 3．已知抛物线C ：y ＝3 x 2，则焦点到准线的距离是 A ．16 B ．32 C ．3 D ．134．设3log 5a =，4log 5b =，132c -=，则A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．a ＞c ＞b5．某学校组织高一和高二两个年级的同学，开展“学雷锋敬老爱老”志愿服务活动，利用暑期到敬老院进行打扫卫生、表演文艺节目、倾听老人的嘱咐和教诲等一系列活动．现有来自高一年级的4名同学，其中男生2名、女生2名；高二年级的5名同学，其中男生3名、女生2名．现从这9名同学中随机选择4名打扫卫生，则选出的4名同学中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个 年级的概率是6．函数的部分图象大致是7．《九章算术》是我国最重要的数学典籍，曾被列为对数学发展形响最大的七部世界名著之一。

其中的“竹九节”问题，题意是：有一根竹子，共九节，各节的容积依次成等差数列·已知较粗的下3节共容4升，较瘦的上4节共容3升．根据上述条件，请问各节容积的总和是A 、20122 B 、21122 C 、60166 D 、611668．已知62(1)(1)a x x++的展开式中各项系数的和为128，则该展开式中2x 的系数为A ．15B ．20C ．30D ．359．在以BC 为斜边的直角△ABC 中，AB ＝2，2BE EC =u u u r u u u r ，则AB AE u u u r u u u rg ＝A 、3B 、73 C 、83D 、2 10·在长方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，点E 为棱BB 1上的点，且BE ＝2EB 1，则异面直线DE 与A 1B 1所成角的正弦值为 A 、52 B 、63 C 、64 D 、7311．将函数g （x ）＝cos2x 一sin 2x 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得各 点向右平移6π个单位长度，最后把所得各点纵坐标扩大到原来的2倍，就得到函数()f x 的图象，则下列说法中正确的个数是 ①函数()f x 的最小正周期为2π ②函数()f x 的最大值为2， ③函数()f x 图象的对称轴方程为．④设12,x x 为方程()f x 的两个不相等的根，则12||x x -的最小值为4πA ．1·B ．2C ．3D ．412．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：22126x y -=的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点（其中点A 在第一象限）．设点H ，G 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则｜HG ｜的取值范围是二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线32()21f x x x =-++在点（1，f （l ））处的切线方程为14．在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标X N （100，100），且110＜X ＜120的产品数量为5 436件．请估计该批次检测的产品数量是 件。

广东省梅州市中学2020年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在平面直角坐标系xOy中，设.若不等式组，所表示平面区域的边界为三角形，则a的取值范围为（）A.(1,+∞)B.(0,1)C.(－∞,0)D. (－∞,1)∪(1,+∞)参考答案：A化简，得到，即表示直线的上面部分；化简，得到，即表示直线的上面部分。

又因为两直线交于(0,1)点，且与所包围区域为三角形，所以2. 若，则( ) A．B．C． D．参考答案：B3. 若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n和T n，已知，则=（）A．7 B．C．D．参考答案：D【考点】等差数列的性质．【分析】由已知，根据等差数列的性质，把转化为求解．【解答】解：．故选：D．4. 在中，若b=2，A=120°，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为A. B.2 C. D.4参考答案：B略5. 已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}参考答案：A【考点】1E：交集及其运算．【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．6. 定义在R上的函数可导，且图像连续，当时的零点的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B7. 已知集合= （）A．B．C．D．{—2，0}参考答案：C略8. 如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．48π参考答案：B9. “等式sin（α+γ）=sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的( )A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：由正弦函数的图象及周期性：当sinα=sinβ时，α=β+2kπ或α+β=π+2kπ，k∈Z，而不是α=β．解答：解：若等式sin（α+γ）=sin2β成立，则α+γ=kπ+（﹣1）k?2β，此时α、β、γ不一定成等差数列，若α、β、γ成等差数列，则2β=α+γ，等式sin（α+γ）=sin2β成立，所以“等式sin（α+γ）=sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的．必要而不充分条件．点评：本题考查充要条件的判断和三角函数的有关知识，属基本题．10. 设是等差数列，下列结论中正确的是（）．A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则参考答案：D项．∵，∴，的正负无法判断，正负无法判断，错误，项错误，∵，∴，正负无法判断，项错误，，项正确，∵，∴，．∴．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若等比数列满足，，则的前n项和________. 参考答案：略12. 若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则ω=．参考答案：3【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数y=sin （ωx+φ）的部分图象求出周期T ，从而求出ω的值． 【解答】解：由函数y=sin （ωx+φ）（ω＞0）的部分图象知， =（x 0+）﹣x 0=，∴T=，即=，解得ω=3． 故答案为：3．【点评】本题主要考查了y=Asin （ωx+?）的图象与性质的应用问题，是基础题．13. 已知函数与的图象上存在关于y 轴对称的点，则a的前取值范围是参考答案：（0,）14. 在直角坐标系中,曲线的参数方程为（t 为参数），在极坐标系 （与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点,以轴正半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为,则与的两个交点之间的距离等于 .15. 设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的标准方程为 。

梅州市高三总复习质检试卷()2020.6理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的。

1．复数21i z i =-，则其共轭复数z =A ．-1-iB ．-1+iC ．1-iD ．1+i2．已知集合22{|1,},{|2},R M y y x x N x y x ==-==-∈则M N I =A ．B ．[)1,+∞C ．2⎡-⎣D ．)2,⎡+∞⎣3．在ABC ∆中,,D BD DC E A =u u u r u u u r 是的中点，则EB =u u u r21.33A AB AC -u u u r u u u r B ．2133AB AC +uu u r u u u r31.44C AB AC +u u u r u u u r D.3144AB AC -uu u r u u u r4．以下四个命题：①若p q ∧为假命题，则p,q 均为假命题；②对于命题2000:,10,R p x x x ∈∃++<则⌝p 为：2,10;R x x x ++∀∉…；③"2"a =是”函数()log a f x x =在区间()0,+∞上为增函数”的充分不必要条件;④()()sin f x x ϕω=+为偶函数的充要条件是2πϕ=其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．45．2021年起，我省将实行“3+1+2”高考模式，某中学为了解本校学生的选考情况，随机调查了100位学生，其中选考化学或生物的学生共有70位，选考化学的学生共有40位，选考化学且选考生物的学生共有20位．若该校共有1500位学生，则该校选考生物的学生人数的估计值为A ．300B ．450C ．600D ．750 6.322144x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式的常数项为 A ．120 B ．160 C ．200 D ．2407．已知在各项均不为零的等差数列72311{}220,n a a a a -+=中，数列{}n b 是等比数列， 且77,b a =则86b b ⋅等于A ．2B ．4C ．8D ．168．某几何体的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为A ．2πB ．4πC ．16πD ．不存在9．若110,a b>>有下列四个不等式：()33l a b <；21log 3log 3;a b ++>②< ④3322.a b ab +>则下列组合中全部正确的为。

姓名，年级：时间：2019-2020学年第一学期高三第一次质检理 科 数 学 试 卷总分：150分 完成时间:120分钟 2019。

10班级 姓名 座号 成绩一．选择题(60分）1。

已知集合{}=|10A x x -<,{}2|20B x x x =-<，则A B =A 。

{}|0x x <B.{}|1x x <C 。

{}|01x x <<D 。

{}|12x x <<2。

已知,p q R ∈，1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，则p q ⋅=A.4-B.0C 。

2D.43.已知ln 3a =，3log 10b =，lg 3c =，则a ，b ,c 的大小关系为A 。

c b a <<B 。

a c b <<C 。

b c a <<D.c a b <<4.函数()21x f x x-=的图象大致为A. B.C 。

D 。

5。

右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A 和M 。

在此图内任取一点，此点取自A 区域的概率记为()P A ，取自M 区域的概率记为()P M ，则 A 。

()()P A P M > B.()()P A P M <C.()()P A P M =D 。

()P A 与()P M 的大小关系与半径长度有关6。

右图是判断输入的年份x 是否是闰年的程序框图，若先后输入1900x =,2400x =,则输出的结果分别是（注:xMODy 表示x 除以y 的余数） A 。

1900是闰年，2400是闰年 B 。

1900是闰年，2400是平年 C.1900是平年，2400是闰年 D 。

1900是平年，2400是平年7.若sin 78m =，则sin 6= A.12m + B.12m - C 。

1m + D.1m-8。

梅州市高三总复习质检试题（2020、6）理科数学参考答案与评分意见一、题选择：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.二、填空题:每题5分，满分20分. 13.1)23(-n . 14. 0212=-+-πy x . 15. 6. 16.3.17.(12分)解:(1)由已知及正弦定理得, ,222bc c b a -+= ……………………2分由余弦定理可得.21cos =A ……………………4分 又.3,0ππ=∴<<A A ……………………6分(2) 由已知及正弦定理得, ,sin sin 2BCc =……………………7分 由,32π=+C B 得A BC S ABC sin sin sin 2221⨯⨯=∆ ……………………8分 .tan 12323sin )32sin(3BB B ⨯+=-=π……………………9分 △ABC 是锐角三角形,得,2320,20πππ<-<<<B B 得.26ππ<<B ……………………10分 .3tan 10,33tan <<∴>∴BB ……………………11分 .3223<<∴∆ABC S所以△ABC 面积的取值范围是).32,23(……………………12分18.(12分)(1)证明: △PAD 中,因为C B ,分别是PD PA ,的中点,,90ο=∠PDA所以,90,//ο=∠=∠BCD BCP AD BC ……………………1分 所以多面体PABCD 中, ,,CD BC PC BC ⊥⊥ ……………………2分⊥∴=⋂BC C CD PC ,平面PCD . ……………………3分⊂PD 平面PCD ,.PD BC ⊥∴ ……………………4分(2)依题意可得, ,1==CD PC 直角△ADC 中,得,5=AC 又,6=PA所以CA PC AC PC PA ⊥∴+=,222, ……………………5分由(1)知, ⊥∴⊥PC PC BC ,平面.ABCD ……………………6分 以C 为坐标原点,分别以CP CD CB ,,为z y x ,,轴,建立如图的坐标系. ……………………7分则)1,0,0(),0,1,0(),0,1,2(),0,0,1(P D A B , ……………………8分得).1,1,0(),1,0,1(),1,1,2(-=-=-=PD PB PA ……………………9分 设平面PAD PAB ,的一个法向量分别是),,(),,,(r q p z y x ==,则⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=-+=⋅.0,02z x z y x PA m 可取)1,1,1(-=. ……………………10分 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=-+=⋅.0,02r q r q p 可取)1,1,0(=. ……………………11分 023110||||,cos =⋅+-=⋅>=<n m n m . ……………………12分所以二面角D PA B --的余弦值为0. 19.(12分)解：（1）A 小区的指数0.70.20.70.20.50.320.50.280.58T =⨯+⨯+⨯+⨯=，0.580.60<，所以A 小区不是优质小区； ……………………1分B 小区的指数0.90.20.60.20.70.320.60.280.692T =⨯+⨯+⨯+⨯=，0.6920.60>，所以B 小区是优质小区； ……………………2分C 小区的指数0.10.20.30.20.20.320.10.280.172T =⨯+⨯+⨯+⨯=，0.1720.60<，所以C 小区不是优质小区； ……………………4分（2）依题意，抽取10个小区中，共有优质小区3010104100+⨯=个， 其它小区1046-=个. ……………………6分依题意ξ的所有可能取值为0、1、2. ……………………7分()262101510453C P C ξ====，()114621024814515C C P C ξ====，()242106224515C P C ξ====. ……………………10分则ξ的分布列为：……………………11分1824012315155E ξ=⨯+⨯+⨯= . ……………………12分20. (12分)解：（1）两动圆的公共点为P ，则有：||4||||2121F F PF PF >=+． 由椭圆的定义可知P 的轨迹为椭圆，2a =，c =， ……………………2分所以曲线C 的方程是：2214x y +=. ……………………4分（2）由题意可知：()0,1M ，设()11,A x y ，()22,B x y ， 当AB 的斜率存在时，设直线:AB y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①得：()222148440k x kmx m +++-=， .0)14(16)1)(41(1664222222>+-=-+-=∆m k m k m k122814km x x k -+=+③，21224414m x x k-⋅=+④， ……………………5分 因为0MA MB ⋅=u u u r u u u r，所以有()()1212110x x kx m kx m ⋅++-+-=， ……………………6分()()()()2212121110k x xk m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：()()()2222244811101414m km k k m m k k --++-+-=++，化简得：()()1530m m -+=，35m =-或1m =（舍）. 当53-=m 时 ,0>∆ 成立.此时直线AB 过点30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭. ……………………7分当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r 的直线AB 为：0x =,过定点30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上，直线AB 恒过定点30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭. ……………………8分（3）ABM ∆面积1212AMN BMN S S S MN x x ∆∆=+=-= ……………9分 由第（2）小题的③④代入，整理得：2322514S k=⋅+， ……………………10分 方法一:222122)41(425850)425)(41(212532k k k k k k S ++-⨯++⨯='-425)41()7100(222+++-=k k k k . ……………………11分0>k 时,S S ,0<'在),0(+∞上递减,0<k 时,S S ,0<'在),0(+∞上递增,0=k 时,S S ,0='有最大值.2564所以ABM ∆面积S 的最大值为6425． ……………………12分 方法二:)411(425)411(4925324142525324142525322222222kk k k k k S +++-⋅=++⋅=++⋅=,令,42549)(,1411022u u u g k u +-=≤+=< ……………………11分1=u 时,)(u g 有最大值4.此时0=k 时,.2564=s 所以ABM ∆面积S 的最大值为6425． ……………………12分 方法三:因N 在椭圆内部，所以k ∈R，可设2t ≥，23232(2)9494t S t t t t==≥++， ……………………11分 ,094)(,2,94)(2>-='≥+=tt g t t t t g得.225)2()]([min ==g t g 此时0k =,2564=s ． ……………………12分 所以ABM ∆面积S 的最大值为6425． 21.(12分)（1）证明：222ln 2222a a a a f a a ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………………1分令2a t =，()322ln 22a f t t g t t ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. ……………………2分()2222221'6160g t t t t t t t ⎛⎫=--=--< ⎪⎝⎭， ……………………3分 ()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()11112ln 442ln202244g t g ⎛⎫>=-+=--> ⎪⎝⎭.…………………4分所以原命题成立.（2）由()222ln a f x x ax x =-+222ln (0)a x ax x x=-+>有三个零点可得, ()ln (0)ah x x ax x x=-+>有三个零点.()22'(0)ax x ah x x x-+-=>. ……………………5分 ①0a ≤时，()'0h x >恒成立，可得()h x 至多有一个零点，不符合题意； ……………………6分②当12a ≥时，()'0h x ≤恒成立，可得()h x 至多有一个零点，不符合题意； …………………7分 ③当102a <<时，记()2(0)x ax x a x ϕ=-+->的两个零点为1x ，2x ， 不妨设120x x <<，且121x x ⋅=. ……………………8分()10,x x ∈时，()'0h x <；()12,x x x ∈时，()'0h x >；()2,x x ∈+∞时,()'0h x <，观察可得()10h =，且121x x <<，当()12,x x x ∈时，()'0h x >,()h x 单调递增，所以有()()()121h x h h x <<，即()()120h x h x <<， ……………………9分()10,x x ∈时，()'0h x <，()h x 单调递减，()2,x x ∈+∞时,()'0h x <，()h x 单调递减，由（1）知，0h >，且()10h x <，所以()h x在1x ⎫⎪⎪⎭上有一个零点，……………10分设,0ln )(),,2(00010=+-=∈x aax x x h x a x 则,0)(11ln )1(00000=-=+⋅-=x h ax x a x x h 所以1x 也是)(x h 的零点 . ……………………11分综上可知()ln (0)a h x x ax x x=-+>有0,01,1x x 三个零点. 即当()222222ln ln (0)a a f x x ax x ax x x x =-+=-+>有三个零点时，a 的范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………………12分22.(10分)解：（1）由题意，直线l的参数方程为5212x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得直线l的直角坐标方程为20x -=， ……………………2分又由圆C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即22cos sin ρρθθ=+，………………4分 又因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，y =θρsin ，可得圆C 的直角坐标方程为()(2214x y -+=. ……………………5分（2）因为点(),P x y 在圆C上，可设()12cos 2sin P θθ+(θ是参数)， ………………7分22sin 4sin 3y πθθθ⎛⎫-==+⎪⎝⎭. ……………………9分 因为2sin [1,1]3πθ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，y -的取值范围是[]4,4-. ……………………10分 23.(10分)解：（1）|23||1|3x x +--≤Q ,12313x x x ≥⎧∴⎨+-+≤⎩或3122313x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-≤⎩或322313x x x ⎧≤-⎪⎨⎪--+-≤⎩. ……………………3分 11x x ≥⎧∴⎨≤-⎩或31213x x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或327x x ⎧≤-⎪⎨⎪≥-⎩.173x ∴-≤≤. ……………………5分即不等式()3f x ≤的解集为1[7,]3-. ……………………6分 （2）|,33|2)(-->x a x f 即|,33|2|1||32|-->--+x a x x得.2|22||32|a x x >-++ ……………………7分,5|2232||22||32|=+-+≥-++x x x x Θ ……………………9分 .25,52<<∴a a 所以实数a 的取值范围是).25,(-∞ ……………………10分。

2020年高中高三教学质量检测数 学 (理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式: 锥体的体积公式:13V Sh =.其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设U =R ，集合{}|1A y y x =≥，}{240B x Z x =∈-≤，则下列结论正确的是A ．}{2,1A B =--I B ． ()(,0)U A B =-∞U ðC ．[0,)A B =+∞UD ． }{()2,1U A B =--I ð 2．已知向量a =r ，(1,0)b =-r ，则|2|a b +=r rA ．1B.C. 2D. 43．如图：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、K 、L 分别为AB 、BB 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1D 、DA的中点，则六边形EFGHKL 在正方体面上的射影可能是4．已知i 是虚数单位，使(1)ni +为实数的最小正整数n 为A ．2B ．4C ．6D ．85．已知sin()sin ,0,352ππααα++=--<<则2cos()3πα+等于A ．45-B ．35-C ．35D ．456．下列说法中,不正确．．．的是ABC DABC D A 1B 1C 1D 1H G FK LEA ．“x y =”是“x y =”的必要不充分条件；B ．命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >；C ．命题“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若,x y 不是偶数，则x y +不是偶数”；D ．命题:p 所有有理数都是实数,:q 正数的对数都是负数，则()()p q ⌝∨⌝为真命题.7．已知实数,m n 满足01n m <<<,给出下列关系式 ①23mn= ②23log log m n = ③23m n = 其中可能成立的有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．设12,,,(4)n a a a n ≥L 是各项均不为零的等差数列，且公差0d ≠.设()n α是将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）为等比数列的最大的n 值，则()n α=A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分） (一)必做题(9～13题)9. 某体育赛事志愿者组织有1000名志愿者，其中参加过2008北京奥运会志愿服务的有250名，新招募的2010年广州亚运会愿者750名.现用分层抽样的方法从中选出100名志愿者调查他们的服务能力，则选出新招募的广州亚运会志愿者的人数是 ．10. 已知函数2()(sin cos )1f x x x =+-，x ∈R ， 则()f x 的最小正周期是 ． 11. 右图给出的是计算201614121++++Λ的 值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是_________.12. 若实数x 、y 满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为_____.13．若等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}nS n为等差数列，且通项为1(1)2n S da n n =+-⋅．类似地，若各项均为正数的等比数列{}nb 的首项为1b ，公比为q ，前n 项的积为n T ，第11题图则数列{}n n T 为等比数列,通项为____________________. (二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程）极坐标系中,直线l 的极坐标方程为sin()26πρθ+=,则极点在直线l 上的射影的极坐标是____________．15．（几何证明选讲）如图,以4AB =为直径的圆与△ABC 的两边 分别交于,E F 两点，60ACB ∠=o，则EF = .三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）已知海岸边,A B 两海事监测站相距60 mile n ,为了测量海平面上两艘油轮,C D 间距离,在,A B 两处分别测得75CBD ∠=o,30ABC ∠=o , 45DAB ∠=o ,60CAD ∠=o （,,,A B C D 在同一个水平面内）.请计算出,C D 两艘轮船间距离．17．（本题满分12分）某市为鼓励企业发展“低碳经济”，真正实现“低消耗、高产出”，施行奖惩制度.通过制定评分标准，每年对本市50%的企业抽查评估，评出优秀、良好、合格和不合格四个等次，并根据等级给予相应的奖惩（如下表）.某企业投入100万元改造，由于自身技术原因，能达到以上四个等次的概率分别为111123824，，，，且由此增加的产值分别为60万元、40万元、20万元、5-万元.设该企业当年因改造而增加利润为ξ.(Ⅰ)在抽查评估中，该企业能被抽到且被评为合格以上等次的概率是多少？ （Ⅱ）求ξ的数学期望.评估得分 (0,60)[)7060， [)8070， []10080，评定等级 不合格合格良好优秀奖惩（万元）80- 30 60 10018．（本题满分14分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AD 上的点，且满足1(0)D P PA λλ=>u u u u r u u u r.（Ⅰ）当1λ=时，求证：平面11ABC D ⊥平面PDB ； （Ⅱ）试证无论λ为何值，三棱锥1D PBC -的体积 恒为定值；（Ⅲ）求异面直线1C P 与1CB 所成的角的余弦值.第18题图第16题图CAEF第15题图19．（本题满分14分）已知函数2()ln f x x ax b x =++（0x >，实数a ，b 为常数）. （Ⅰ）若1,1a b ==-，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）若2a b +=-，讨论函数()f x 的单调性．20．（本题满分14分）如图，抛物线21:8C y x =与双曲线22222:1(x y C a a b-=12,C C 在第一象限的交点，且25AF =. (Ⅰ)求双曲线2C 的方程；（Ⅱ）以1F 为圆心的圆M 与双曲线的一条渐近线相切，圆N ：22(2)1x y -+=.平面上有点P 满足:存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线12,l l ，它们分别与圆,M N 相交，且直线1l 被圆M 截得的弦长与直线2l 被圆N 截得的弦长的比，试求所有满足条件的点P 的坐标.21．（本题满分14分）设0a >,函数21()f x x a=+. （Ⅰ）证明:存在唯一实数01(0,)x a∈，使00()f x x =；（Ⅱ）定义数列{}n x :10x =,1()n n x f x +=,*n N ∈.（i ）求证:对任意正整数n 都有2102n n x x x -<<； (ii) 当2a =时, 若10(2,3,4,)2k x k <≤=L ， 证明:对任意*m N ∈都有:1134m k k k x x +--<⋅.2020年高三教学质量检测数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：（每题5分，共40分）题号 12345678选项D C B B D C C A二、填空题（每题5分，共30分） 9．75 10． π 11．10?i > 12．94 1311n b -= 14． (2,)3π 15．2 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）解：方法一：在ABD ∆中，由正弦定理得：sinAD ABABD =∠，∴6060sin(3075)60sin 7541sin[180(453075)]sin 302AD +====-++o o oo o o o o…………………4分 同理，在在ABC ∆中，由正弦定理得：sin sin AC ABABC ACB =∠∠ 16060sin 302sin[180(453060)]sin 45AC ⨯====-++oo o o o o ……………………………………………8分∴计算出,AD AC 后，再在ACD ∆中，应用余弦定理计算出CD 两点间的距离：CD ==………………………………………………………10分===∴,C D 两艘轮船相距 mile n ．………………………………………………………………12分方法二：在ABC ∆中，由正弦定理得：sin sin BC ABBAC=∠，∴6060sin(6045)60sin 751)sin[180(456030)]sin 452BC +====-++o o oo o o o o…………………4分 同理，在在ABD∆中，由正弦定理得：BD ABADB=606060sin 45221sin[180(453075)]sin 302BD ====-++oo o o o o……………………………………8分 ∴计算出,BC BD 后，再在BCD ∆中，应用余弦定理计算出CD 两点间的距离：CD == ………………………………………………………10分== =∴,C D 两艘轮船相距 mile n ． ………………………………………………………12分 17．（本题满分12分）解：（Ⅰ）设该企业能被抽中的概率且评为合格以上等次的概率为P ，则111123238248P ⎛⎫=++⨯= ⎪⎝⎭………………………………………………………4分 （Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为185,105,80,60,50,40,0,60,------则1612181)50(,612131)0(,412121)60(=⨯=-==⨯===⨯==ξξξP P P412121)40(,48121241)185(=⨯=-==⨯=-=ξξP P ，111111111(60),(80),(105)326821624248P P P ξξξ=-=⨯==-=⨯==-=⨯=则其分布列为10分第18题图 ∴1111115(60406050801851054616486E ξ=-⨯+-⨯+--⨯+--⨯=-）（）（）（）（万元） ………………………………………………………12分18．（本题满分12分）方法一、证明：（Ⅰ）∵正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥面11AA D D ，又11AB ABC D ⊂∴平面11ABC D ⊥平面11AA D D ， ………………………2分 ∵1λ=时，P 为1AD 的中点，∴1DP AD ⊥， 又∵平面11ABC D I 平面11AA D D 1AD =， ∴DP ⊥平面11ABC D ，又DP ⊂平面PDB ，∴平面11ABC D ⊥平面PDB ．……………………………………………………4分 （Ⅱ）∵11//AD BC ， P 为线段1AD 上的点， ∴三角形1PBC 的面积为定值，即1122122PBC S ∆==，……………………………………………6分 又∵//CD 平面11ABC D ，∴点D 到平面1PBC 的距离为定值，即22h =， ……………………………………………………8分 ∴三棱锥1D BPC -的体积为定值，即111122133226D PBC PBC V S h -∆=⋅⋅=⨯=． 也即无论λ为何值，三棱锥1D PBC -的体积恒为定值16；……………………………………………10分（Ⅲ）∵由（Ⅰ）易知1B C ⊥平面11ABC D ，又1C P ⊂平面11ABC D ，∴11B C C P ⊥， ……………………………………………12分 即异面直线1C P 与1CB 所成的角为定值90o，从而其余弦值为0．………………………………………14分 方法二、如图，以点D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系．（Ⅰ）当1λ=时，即点P 为线段1AD 的中点，则11(,0,)22P ，又(0,0,0)D 、(1,1,0)B∴11(,0,)22PD =--u u u r ，11(,1,)22PB =-u u u r ，设平面PDB 的法向量为(,,)n x y z =r ，……………………1分则00PD n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r r u u u r r r ，即11002211022x z x y z ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，令1y =，解得(1,1,1)n =-r ， ……………………2分 又∵点P 为线段1AD 的中点，∴1DP AD ⊥，∴DP ⊥平面11ABC D ，∴平面11ABC D 的法向量为11(,0,)22PD =--u u u r ， ……………………3分∵110022PD n ⋅=+-=u u u r r ，∴平面11ABC D ⊥平面PDB ， ………………………………………4分（Ⅱ）略；（Ⅲ）∵1(0)D P PA λλ=>u u u u r u u u r ，∴1(,0,)11P λλλ++， ………………………………………11分又1(0,1,1)C 、(0,1,0)C 、1(1,1,1)B ，∴1(,1,)11C P λλλλ-=-++u u u r ，1(1,0,1)CB =u u u r ， ………………………………………12分∵110011C P CB λλλλ-⋅=++=++u u u r u u u r ………………………………………13分∴不管λ取值多少，都有11C P CB ⊥，即异面直线1C P 与1CB 所成的角的余弦值为0.……………14分19．（本题满分12分）解：（Ⅰ）函数2()ln f x x x x =+-，则1()21f x x x'=+-，………………………………………1分 令()0f x '=，得1x =-（舍去），12x =. ……………………………………………2分 当102x <<时，()0f x '<，函数单调递减； ……………………………………………3分 当12x >时，()0f x '>，函数单调递增； ……………………………………………4分 ∴()f x 在12x =处取得极小值3ln 24+. ……………………………………………5分（Ⅱ）由于2a b +=-，则2a b =--，从而2()(2)ln f x x b x b x =-++，则(2)(1)()2(2)b x b x f x x b x x --'=-++=……………………………………………5分 令()0f x '=，得12bx =，21x =. ……………………………………………7分① 当02b≤，即0b <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；…8分② 当01b<<，即02b <<时，列表如下：所以，函数()f x 的单调递增区间为(0,)2，(1,)+∞，单调递减区间为(,1)2b ；…………………10分③ 当12b=，即2b =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；………………………………11分 ④当1b>，即2b >时，列表如下：所以函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(,)2b +∞，单调递减区间为(1,)2b ； …………………13分综上：当02b≤，即0b <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞； 当012b <<，即02b <<时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)2b ，(1,)+∞，单调递减区间为(,1)2b；当12b=，即2b =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞； 当12b >，即2b >时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(,)2b +∞，单调递减区间为(1,)2b . ………………………………14分20．（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵抛物线21:8C y x =的焦点为2(2,0)F ，∴双曲线2C 的焦点为1(2,0)F -、2(2,0)F ， ……………………………………………… 1分设00(,)A x y 在抛物线21:8C y x =上，且25AF =，由抛物线的定义得，025x +=，∴03x =， ………………………………………………2分∴2083y =⨯，∴0y =± ……………………………………………… 3分∴1||7AF ==， ……………………………………………… 4分 又∵点A 在双曲线上，由双曲线定义得，2|75|2a =-=，∴1a =， ……………………………………………… 5分∴双曲线的方程为：2213y x -=． ……………………………………………… 6分 （Ⅱ）设圆M 的方程为：222(2)x y r ++=，双曲线的渐近线方程为：y =，∵圆M 与渐近线y =相切，∴圆M 的半径为d ==，………………………………… 7分 故圆M ：22(2)3x y ++=， ………………………………… 8分 设点00(,)P x y ，则1l 的方程为00()y y k x x -=-，即000kx y kx y --+=，2l 的方程为001()y y x x k-=--，即000x ky x ky +--=，∴点M 到直线1l 的距离为1d =，点N 到直线2l 的距离为2d =，∴直线1l 被圆M 截得的弦长s = 直线2l 被圆N 截得的弦长t = ………………………………… 11分 由题意可得，s t ==2200003(2)(2)x ky k kx y +-=+-，00002k kx y -=+- ①00002k kx y -=--+②……… 12分由①得：0000(2)0x k y +-+-=， ∵该方程有无穷多组解，∴0000200x y ⎧+=⎪+-=，解得001x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，点P 的坐标为．………………………………… 13分由②得：0000(2)0x k y ++--=，∵该方程有无穷多组解，∴0000200x y ⎧++=⎪--=，解得001x y =⎧⎪⎨=⎪⎩P 的坐标为(1,．∴满足条件的点P 的坐标为或(1,． ………………………………… 14分21．（本题满分12分）（Ⅰ）证明: ①3()10f x x x ax =⇔+-=. ………………………………… 1分 令3()1h x x ax =+-,则(0)10h =-<,311()0h a a =>, ∴1(0)()0h h a⋅<. ………………………………… 2分 又/2()30h x x a =+>,∴3()1h x x ax =+-是R 上的增函数. ………………………………… 3分 故3()1h x x ax =+-在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点, 即存在唯一实数010,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使00()f x x =. ………………………………… 4分 ②当1n =时, 10x =,211()(0)x f x f a ===,由①知010,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即102x x x <<成立；………… 5分 设当(2)n k k =≥时, 2102k k x x x -<<,注意到21()f x x a=+在()0,+∞上是减函数,且0k x >, 故有:2102()()()k k f x f x f x ->>,即2021k k x x x +>>∴2021()()()k k f x f x f x +<<, ………………………………… 7分 即21022k k x x x ++<<.这就是说,1n k =+时,结论也成立.故对任意正整数n 都有:2102n n x x x -<<. ………………………………… 8分 (2)当2a =时,由10x =得:211()(0)2x f x f ===,2112x x -= ………………………………… 9分222132222221211122(2)(2)x x x x x x x x --=-=++++22121211114244x x x x x x -+⎛⎫<=⋅-= ⎪⎝⎭……………………………… 10分 当2k ≥时,102k x <≤Q , ∴22112222111122(2)(2)k k k k k k k k x x x x x x x x -+----=-=++++114k k k k x x x x ---+<14k k x x --< 2212321144k k k x x x x ---⎛⎫⎛⎫<⋅-<<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L 14k ⎛⎫< ⎪⎝⎭ ………………………………… 12分 对*m N ∀∈,1121()()()m k k m k m k m k m k k k x x x x x x x x +++-+-+-+-=-+-++-L 1121m k m k m k m k k k x x x x x x ++-+-+-+≤-+-++-L ………………………………… 13分1122111114444k k m m x x +--⎛⎫≤+++++- ⎪⎝⎭L 111114141141134343414m k k k k m k k x x x x ++--⎛⎫=-=⋅-⋅-<⋅= ⎪⋅⎝⎭- ………………………………… 14分。

绝密★启用前广东省梅州市普通高中2020届高三毕业班下学期高考总复习质检(二模)数学(理)试题2020年6月一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的。

1．复数21i z i=-，则其共轭复数z = A ．-1-i B ．-1+i C ．1-i D ．1+i2．已知集合22{|1,},{|2},R M y y x x N x y x ==-==-∈则M N I =A ．B ．[)1,+∞C ．2⎡-⎣D ．)2,⎡-+∞⎣ 3．在ABC ∆中,,D BD DC E A =u u u r u u u r 是的中点,则EB =u u u r21.33A AB AC -u u u r u u u r B ．2133AB AC +u u u r u u u r 31.44C AB AC +u u u r u u u r D.3144AB AC -u u u r u u u r 4．以下四个命题：①若p q ∧为假命题,则p,q 均为假命题；②对于命题2000:,10,R p x x x ∈∃++<则⌝p 为：2,10;R x x x ++∀∉…； ③"2"a =是”函数()log a f x x =在区间()0,+∞上为增函数”的充分不必要条件; ④()()sin f x x ϕω=+为偶函数的充要条件是2πϕ=其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．45．2021年起,我省将实行“3+1+2”高考模式,某中学为了解本校学生的选考情况,随机调查了100位学生,其中选考化学或生物的学生共有70位,选考化学的学生共有40位,选考化学且选考生物的学生共有20位．若该校共有1500位学生,则该校选考生物的学生人数的估计值为A ．300B ．450C ．600D ．750 6.322144x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式的常数项为 A ．120 B ．160 C ．200 D ．2407．已知在各项均不为零的等差数列72311{}220,n a a a a -+=中，数列{}n b 是等比数列, 且77,b a =则86b b ⋅等于A ．2B ．4C ．8D ．168．某几何体的三视图如图示,已知其主视图的周长为8,则该几何体侧面积的最大值为A ．2πB ．4πC ．16πD ．不存在9．若110,a b >>有下列四个不等式：()33l a b <；21log 3log 3;a b ++>②b a b a <- ④3322.a b ab +>则下列组合中全部正确的为A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③10．已知直线1l ：2x-y+3=0和直线2l ：x=-1,抛物线24y x =上的点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是A 5B ．2C 3.2D 11．祖暅是南北朝时代的伟大数学家,五世纪末提出几何体体积计算原理,即祖暅原理：“幂势既同,则积不容异”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等,现在有四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体,图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球,则满足。

梅州市高三第一次总复习质检试卷数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号填在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上 角“条形码粘贴处”。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂先做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作 答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：1．相互独立事件A 与B 同时发生的概率：P(AB)=P(A)P(B)2．锥体的体积：Sh V 31=，其中S 为锥体底面面积，h 为锥体的高．第I 卷 选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目题意的． 1．设a 是实数，且211i ia +++是实数，则a=( )A ．21 B ．1 C ．23 D ．22．已知全集U=R ，集合}22|{<<-=x x A ，}02|{2≤-=x x x B ,则A ∩(C R B)= ( )A.(-2, 0]B.[0, 2)C.[0, 2]D.(-2, 0)3．如图1，正三棱柱的主视图面积为2a 2，则左视图的面积为( )A.2a 2B.a 2C.23aD.243a 4．在图2的程序框图中，输出的s 的值为( )A.10B.12C.13D.145．命题P ：将函数y=sin2x 的图象向右平移要个单位得到函数y)32sin(π-=x 的图象；命题Q ：函数)3cos()6sin(x x y -+=ππ的最小正周期是π，则命题：""Q P ∨，""Q P ∧，""P ⌝中为真命题 的个数是( )A.2B.1C.3D.0 6.若双曲线12222=-b ya x的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为( )A ．2 B.3 C.5 D ．27．已知f(x)=x 3-5x 2+3x ，若关于x 的方程f(x)-b-0在[0，1]上恰好有两个不同的实数根，则实数b 的取值范围是( ) A ．]2713,0( B.)2713,0[ C.[-1，0] D.(-1，0]8．用投掷随机点模拟的方法计算图3中由y=1和y=x 2围成 的阴影部分的面积，若落在图中矩形ABCD 中的随机点有 9000个，则落在图中阴影部分的随机点大约有( ) A ．2000个 B ．4000个 C ．6000个 D ．8000个第II 卷 （非选择题 共110分）二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～12题）9．已知等差数列{a n }中，a 2=8，a 8=26，从{a n }中依次取出第3，6，9，…，3n 项，按原来的顺序构成一个新数列{b n }，则b n =____．10．已知(xcos θ+1)5的展开式中x 2的系数为5，则cos θ=____．11.某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1、b 1千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2、b 2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1、d 2元，月初一次性购进本月用原料A 、B 各c 1、c 2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么用于求使总利润z=d 1x+d 2y 最大的数学模型中，约束条件为____． 12．给出定义；若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}=m ．给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题：①函数y=f(x)的定义域为R ，值域为]21,0[； ②函数y=f(x)的图像关于直线x=)(2Z k k ∈对称；③函数y=f(x)是周期函数，最小正周期为1；④函数y=f(x)在]21,21[-上是增函数．其中正确的命题的序号是______. (二)选做题(13-15题)13.（坐标系与参数方程选做题）直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==ty t x 212，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ，则l 与C 的位置关系是________.14.（不等式选讲选做题）不等式|2|4|1|+-<-x x 的解集是______.15.（几何证明选讲选做题）如图4，圆O 的割线PBA 过圆心O ，弦CD 交PA 于点F,且△COF ∽△PDF ，PB=OA=2，则PF=________.三、解答题：本大题有6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把答案做在答题卡相应题号的位置上，不能做在本卷内． 16．（本小题满分13分）已知函数)0(cos sin 32sin 2)(2>+-=m n x x m x m x f 的定义域为]2,0[π，值域为[-5，4]．(1)求f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调减区间． 17．（本小题满分13分）甲、乙两个亚运会主办城市之间有7条网线并联，这7条网线能通过的信息量分别为 1，1,2，2，2，3，3，现从中任选三条网线，设可通过的信息量为X ，当可通过的信息量X ≥6，则可保证信息通畅．(1)求线路信息通畅的概率；(2)求线路可通过的信息量X 的分布列；(3)求线路可通过的信息量X 的数学期望． 18.（本小题满分14分）如图5，已知抛物线C ：x 2=4y ，点B 与抛物线C 的焦点F 关于直线4x-2y-3=0对称，过x 轴上的一点A 的直线l 与抛物线 C 相切于点P(2，1)．(1)求A ，B 两点的坐标；(2)若动点M 满足02=+∙AM BM AB，求点M 的轨迹 方程，并说明它表示什么曲线．19.（本小题满分14分）如图6，四棱锥P-ABCD 的底面是菱形，且 ∠ABC=1200, PA ⊥底面ABCD ，AB=1，PA=6，E 为CP 的中点．(1)证明：PA//平面DBE ；(2)求直线DE 与平面PAC 所成角的正切值； (3)在线段PC 上是否存在一点M ，使PC ⊥平面MBD 成立？如果存在，求出MC 的长；如果不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）数列{a n }，a 1=1，*)(3221N n n n a a nn ∈+-=+. (1)设*)(2N n n n a b n n ∈++=μλ，若数列{b n }是等比数列，求常数λ、μ的值；(2)设*)(2N n n n a c n n ∈+-=，数列{c n }的前n 项和为S n ，是否存在常数c ，使得 )lg()lg(2c S c S n n -+-+)lg(21c S n -=+成立？并证明你的结论．21．（本小题满分14分）已知函数f(x)=ln （x-1）-k （x-1)+1． (1)求函数f(x)的极值点；(2)若f(x)≤0恒成立，试确定实数k 的取值范围； (3)证明：245ln 154ln 83ln 32ln +++<-++1ln 2n n 6)1)(4(-+n n (n ∈N *且n>1).参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1.B2.D3.C4.B5.A6.C7.B8.C 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题(9—12题)9. 9n+2. 10.22±11．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0022.1121y x c y b x b c y a x a 12.①②③． （二）选做题(13-15题) 13．相离． 14．)23,25(-． 15.3． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分） 解；(1)x m x f 2sin 3)(-==++-n m x m 2cos n m x m +++-)62sin(2π，………（3分） ]2,0[π∈x ，]67,6[62πππ∈+∴x ，]1,21[)62sin(-∈+∴πx ，………（5分） 又m>0,42)(max =+=∴n m x f ，5)(min -=+-=n m x f …………（8分） ∴m=3,n=-2．即1)62(6)(++-=xx m s x f ， ................... (10分) (2)1)62sin(6)(++-=πx x f ，x k 222≤-∴ππ)(226Z k k ∈++πππ，…（11分）得πππk x k ≤≤-3)(,6Z k ∈+π，又]2,0[π∈x ，故取k=0，得f(x)的单调减区间为]6,0[π............. (13分)17．（本大题满分13分） 解：(1)==)8(X P 353371322=C C C ，==)7(X P 3583712221223=+C C C C C ， ………（4分）==)6(X P 35133733121312=+C C C C C ， ………………（6分）所以线路信息通畅的概率为3524 ………（8分）(2)358)5(3712231222=+==C C C C C X P ，353)4(37132.2===C C C X P ，..............(10分)X的分布列为……（11分）(3)由分布列知+⨯=3534)(X E 351363585⨯+⨯635383587=⨯+⨯+ ………（13分）18.（本小题满分14分） 解：(1)由x 2=4y 得241x y =，x y 21'=∴． ∴直线l 的斜率为1|'2==x y ............ (2分)故l 的方程为y=x-1， ∴点A 的坐标为(1，0)…（4分） 由已知可得F(0，1)，设B(x 0，y 0)，依题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-+⨯-+⨯211032122040000x y y x ； 解得⎩⎨⎧==0200y x 所以B(2，0)．………………（7分） (2)设M(x ，y)，则)0,1(=AB ，),2(y x BM -=，),1(y x AM -= …………（10分）由+⋅BM AB 0||2=AM ，得+⋅+-0)2(y x 0)1(222=+-⋅y x ， 整理，得1222=+y x ............... (12分)∴动点M 的轨迹是以原点为中心，焦点在x 轴上，长轴长为22，短轴长为2的椭圆． …………（14分）19.（本大题满分14分）解法1：(1)证明：连结AC 、BD 交于点D ，连接EO. ∵E 、O 分别为PC 、AC 的中点，∴OE ∥PA ， ……………………………………（2分）⊂/PA 平面DBE ，⊂OE 平面DBE ，∴PA//平面DBE ．……………………………（4分） (2)如图，连结AC 、BD 交于点O ．∵PA ⊥底面ABCD ，∴平面PAC ⊥平面ABCD ，………………………………（5分）又∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，∴DO ⊥平面PAC ．………………（7分） 连结OE ，则∠DEO 为DE 与平面PAC 所成的角，………………………（8分） ∵OE//PA,PA OE 21=∴26=，66tan =∠DEO................... (10分)(3)过点O 作OM ⊥PC 于M ，由△COM ∽△CPA ，得21=CM …………（11分）∵PC 在底面ABCD 上的射影为AC ，且AC ⊥BD ，∴PC ⊥BD ． ………（12分） 又PC 上OM,∴PC ⊥平面MBD ． …………………………………………（13分） ∴所求M 存在，且使21=CM ……………（14分）解法2：(1)同解法1相同。