2018高一数学暑假专题突破练第1讲集合的概念及其运算

第一讲 集合一、知识要点点拨1.集合的概念（1）含义:集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。

一般地，把某些指定的研究对象集在一起就成为了一个集合。

（2）集合中的每个研究对象叫做元素，通常用小写字母表示元素，大写字母表示集合。

（3）集合中元素的性质➢ 确定性：集合中的元素必须是确定的． ➢ 互异性：集合中的元素必须是互不相同的．➢ 无序性：集合中的元素是无先后顺序的，集合中的任何两个元素都可以交换位置． 2.集合与元素的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A ．（2）不属于(not belong to)：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A ∉． 3.集合的分类（1）有限集：含有限个元素的集合 （2）无限集：含无限个元素的集合（3）空集：不含有任何元素的集合，用∅表示。

4.集合的表示（1）大写字母表示法：N 表示自然数集，*N 或+N 表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，∅表示空集。

（2）列举法：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。

（3）描述法：具体表示集合的常用方法；要注意判断集合研究的对象。

（4）韦恩图法：抽象表示集合的常用方法。

（5）区间法。

5.集合与集合（1）子集：对于两个集合A 和B ，若集合A 中的元素都是集合B 的元素，我们就说A 是B 的子集，或A 包含于B ，记作A ⊆B ；反之，我们就说B 是A 的子集，或A 包含B ，记作B ⊆A 。

（2）真子集：如果A 是B 的子集且A ≠B ，则A 是B 的真子集。

注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

6.集合的运算（1）交集：由两个集合的公共元素组成的集合，叫做这两个集合的交集，记作A B （2）并集：由两个集合所有元素组成的集合，叫做这两个集合的并集，记作B A 。

（3）补集：若用U 表示所要研究的所有元素元素构成的集合即全集，则由全集U 中所有不属于集合A 的元素构成的集合叫做全集U 中A 的补集，记作C U A 。

考点一集合的概念与运算知识梳理1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、V enn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋(或N*)Z Q R(5)集合的分类若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形．2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言V enn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集A＝B3.全集与补集(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U表示；(2) 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．4.集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A} 5.集合关系与运算的常用结论(1)子集个数公式：若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n －1个，真子集有2n－1个．(2) A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B．(3)(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)，(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B) ．典例剖析题型一集合的基本概念例1已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是答案 5解析列表根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个．变式训练已知集合A＝{0，1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B中有________个元素．答案 6解析因为x－y∈A，∴x≥y．当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2.故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B中有6个元素．解题要点研究集合问题，通常从代表元素入手，考查其所代表的是数还是点，如果代表元素是数x，则是数集，如果代表元素是数对(x，y)，则是点集．在列举集合的元素时可借助表格，或根据元素特征分类列举，列举时应做到不重不漏．例2 设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.答案 2解析 因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，且由a 在分母的位置可知a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.变式训练 已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 答案 －32解析 因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去； 当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意，所以m ＝－32.解题要点 对于含字母参数的集合，应准确进行分类讨论，列出方程或方程组求出字母参数的值．需要特别注意的是，求出字母参数值后，还要检验是否违反了集合中元素的互异性． 题型二 集合间的基本关系例3 集合A ={－1，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有 个 答案 4解析 根据题意，在集合A 的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，－1}、{－1，0，1}，共四个.变式训练 设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有 个 答案 6解析 集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，其中一个奇数元素也没有的集合有两个：∅和{2}，故满足要求的集合M 共有8－2＝6(个)．解题要点 解题关键是弄清符合题意的集合其元素应满足的条件．在元素较少时可以采取穷举法列出所有满足条件的集合． 例4 设，若，则a 的取值范围是 ．答案解析 根据题意作图：由图可知，，则只要即可，即a 的取值范围是．变式训练 已知集合()2{|540},,,A x x x B a A B =-+≤=-∞⊆，则a 的取值范围是 ． 答案 (4,)+∞解析 []2{|540}1,4A x x x =-+≤=，∵，根据题意作图：由图可知，只要即可，即a 的取值范围(4,)+∞.解题要点 对于这类用不等式表示的数集之间的包含关系时，常常借助数轴进行求解.在解题时应注意端点是否可以取到. 题型三 集合的基本运算例5 已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________． 答案 5解析 A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，共有5个元素.变式训练 已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B 等于________． 答案 {－1,0,1,2}解析 A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，B 为整数集，A ∩B ＝{－1,0,1,2}.解题要点 求解集合交、并首先应对各个集合进行化简，准确弄懂集合中的元素，求并集时相同的元素只算一个．例6 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B ) ＝________． 答案 {x |0<x <1}解析 ∵A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}， ∴A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}， 在数轴上表示如图．∴∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}．变式训练 已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－＜x ＜}，则A ∪B ＝________．答案 R解析 ∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2. ∴集合A 与B 可用数轴表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ．解题要点 集合的基本运算是历年高考的热点，常与不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，解题时先求出各个集合，然后借助数轴求交并是基本方法．当堂练习1. 已知集合{1,2,3,4}U =,集合={1,2}A ,={2,3}B ,则()UA B =________．2．若集合M ={－1，0，1}，N ={0，1，2}，则M ∩N 等于________． 3．已知{菱形}，{正方形}，{平行四边形}，则之间的关系为_______4．已知集合A ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，0≤y <2，x 、y ∈Z }，用列举法可以表示集合A 为________． 5．设集合M ＝{0，1，2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝ ．课后作业1．已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |(x －1)(x －3)＜0}，则A ∩B 等于________． 2．设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝________． 3．已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |x <－5或x >4}，则M ∪N 等于________． 4．若集合A ={x ∈R |ax 2+ax +1=0}中只有一个元素,则a =________． 5．已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则UA B ()= ________．6．已知集合{1,2,3,4}A =,2{|,}B x x n n A ==∈,则AB =________．7．满足条件{0,2}∪M ＝{0,1,2}的所有集合M 的个数为________． 8．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝________． 9．设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则A ∩(∁U B )等于________．10．已知A ＝{3,5,6,8}且集合B 满足A ∩B ＝{5,8}，A ∪B ＝{2,3,4,5,6,7,8}，则这样的集合B 有________个．11．若集合A ＝{x |－5＜x ＜2}，B ＝{x |－3＜x ＜3}，则A ∩B 等于 ．12．已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为 13． 已知A ＝{x |2a <x ≤a ＋8}，B ＝{x |x <－1或x >5}，若A ∪B ＝R ， 则a 的取值范围是________．当堂练习答案1. 答案 {4}解析 因为A ∪B ＝{1,2,3}，全集U ＝{1,2,3,4}，所以U (A ∪B )＝{4}．2．答案 {0，1}解析 由集合M ={－1，0，1}，N ={0，1，2}，得到M ∩N ={0，1}． 3．答案4．答案 {(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}解析 集合A 表示不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ∈Z ，0≤y <2，y ∈Z 确定的平面区域上的格点集合，所以用列举法表示集合A 为{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}． 5．答案 {1，2}解析 由x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)≤0，解得1≤x ≤2，故N ＝{x |1≤x ≤2}，∴M ∩N ＝{1,2}．课后作业答案1．答案 (2,3)解析 ∵A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |(x －1)(x －3)＜0}＝{x |1＜x ＜3}， ∴A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}＝(2,3)． 2．答案 {－2,0,2}解析 先确定两个集合的元素，再进行并集运算．集合M ＝{0，－2}，N ＝{0,2}， 故M ∪N ＝{－2,0,2}． 3．答案 {x |x <－5或x >－3}解析 在数轴上表示集合M 和N ，如图所示，则数轴上方所有“线”下面的部分就是M ∪N ＝{x |x <－5或x >－3}． 4．答案 4解析 a ＝0时，ax 2+ax +1=0无解，此时，A =∅，不合题意；a ≠0时，由题意得方程ax 2＋ax ＋1＝0有两个相等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a ＝0a ≠0，解得a ＝4.5．答案 {0,2,4}解析 ∵UA ＝{0,4}，U AB ()＝{0, 2,4}.6．答案 {1,4}解析 ∵x ＝n 2，n ∈A ，∴x ＝1,4,9,16. ∴B ＝{1,4,9,16}．∴A ∩B ＝{1,4}． 7．答案 4解析 由题可知集合M 中必有1，满足条件的M 可以为{1}，{0,1}，{2,1}，{0,1,2}共4个． 8．答案 0或3解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∵A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，∴m ∈A ，故m ＝m 或m ＝3，解得m ＝0或m ＝3或m ＝1，又根据集合元素的互异性m ≠1，所以m ＝0或m ＝3. 9．答案 {1}解析 ∵∁U B ＝{1,5,6}，∴A ∩(∁U B )＝{1,2}∩{1,5,6}＝{1}. 10．答案 4解析 ∵A ∩B ＝{5,8}，∴5,8∈B ，又∵A ∪B ＝{2,3,4,5,6,7,8}而A ＝{3,5,6,8}， ∴2,4,7∈B ，∴3,6可以属于B ，也可不属于B ． ∴这样的B 有22＝4(个)． 11．答案 {x |－3<x <2}解析 由题意，得A ∩B ＝{x |－5<x <2}∩{x |－3<x <3}＝{x |－3<x <2}． 12．答案 2解析 A ＝{…，5,8,11,14,17…}，B ＝{6,8,10,12,14}，集合A ∩B 中有两个元素． 13． 答案 －3≤a <－12解析 ∵B ＝{x |x <－1或x >5}，A ∪B ＝R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a <－1，a ＋8≥5， 解得－3≤a <－12.。

第01讲 集合的概念与集合间的基本关系【学习目标】1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.4.在具体情境中,了解空集的含义.【基础知识】一、集合的概念1.元素与集合：我们把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母,,,A B C 表示.集合的元素通常用小写字母,,,a b c 表示.二、集合与元素的关系如果a 是集合A 的元素,记作a A ∈,读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素,记作a A ∉,读作“a 不属于A ”. 三、集合中元素的特点1.确定性：集合的元素必须是确定的.2.互异性：对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不相同的.3.无序性：集合中的元素可以任意排列. 四、常用数集及其记法所有非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N ; 所有正整数组成的集合称为正整数集,记作N +或N *； 所有整数组成的集合称为整数集,记作Z ； 所有有理数组成的集合称为有理数集,记作Q ； 所有实数组成的集合称为实数集,记作R . 五、集合的表示1.列举法:把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),放在大括号内,依此表示集合的方法称为列举法,如{}1,2,3,{},x y x y +-等.2.描述法:一般地,如果属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质()p x ,而不属于集合A 的元素都不具有这个性质,则性质()p x 为集合 A 的一个特征性质,此时集合A 可以表示为(){}x p x ,这种表示集合的方法称为特征性质描述法,简称描述法.3.解决集合问题首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义),如{}20x x x -=表示方程x 2－x =0的解集；{}2x y x x =-表示函数y =x 2-x 的自变量组成的集合；{}2y y x x =-表示函数y =x 2－x 的函数值组成的集合；(){}2,x y y xx =-表示抛物线y =x 2－x 上的点组成的集合.六、子集1.一般地如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,那么集合A 为集合B 的子集.,记作 A ⊆B (或 B ⊇A ),读作“A 包含于B ”(或“B 包含A ”).2.规定：空集是任何集合的子集,即A ∅⊆.3.子集的性质：(1)任何一个子集都是它本身的子集,即A A ⊆. (2)若A B ⊆,且C B ⊆,则C A ⊆. 七、 韦恩图韦恩(V enn)图：为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为韦恩图. A 是B 的子集,可用下图表示：八、真子集1.如果集合A 是集合B 的子集,并且集合B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 称为集合B 的真子集,记作AB (或B A ),读作：A 真包含于B (或B 真包含A ).2.真子集的性质(1)空集是任何非空集合的子集. (2)若AB ,BC ,则AC .九、集合的相等与子集的关系 1.如果A ⊆B 且B ⊆A ,则A =B . 2.如果A =B ,则A ⊆B 且B ⊆A . 十、有限集合的子集个数若集合A 中有n 个元素,则集合A 的所有子集的个数为2n ,真子集个数为2n －1,非空子集个数2n －1,非空真子B A集个数为2n －2.【基础知识】考点一：集合的判断例1．(2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中)下面给出的四类对象中,构成集合的是( )A ．某班视力较好的同学B ．长寿的人C ．π的近似值D ．倒数等于它本身的数考点二：元素与集合的关系例2．(2022学年】浙江省金华市曙光学校高一上学期10月月考)给出下列关系：①13①R ；①3①Q ；①－3∉Z ；①3-∉N,其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4考点三：集合中元素互异性的应用例3．(2022学年湖北省十堰市车城高中高一上学期9月月考)由2a ,32a -,1可组成含3个元素的集合,则实数a 的取值可以是( ) A ．1 B ．1-C ．0D ．3-考点四：集合的表示例4．(多选)集合{}1,3,5,7,9用描述法可表示为( )A ．{x x 是不大于9的非负奇数}B ．{21,,x x k k N =+∈且}4k ≤C ．{}*9,x x x N ≤∈D ．{}09,x x x Z ≤≤∈考点五：集合关系的判断例5．(多选)(2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第一中学高一上学期9月月考)下列各式中正确的是( ) A ．{}{}00,1,2∈B ．{}{}0,1,22,1,0⊆C ．{}(){}0,101=，D ．{}012∅⊆，，考点六：由集合包含关系求参数的值或范围例6．(2022学年湖南省永州市第二中学高一上学期10月月考)已知{}{15},1,R A x x B x a x a a =-<<=-<<∈(1)若2,B ∈求实数a 的取值范围 (2)若B A ⊆,求实数a 的取值范围考点七：子集个问题例7．(2022学年湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学高一上学期阶段性评估)集合{1,2,3}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈+∈∣,则集合B 的真子集的个数为( ) A ．8 B ．6C ．7D ．15【真题演练】1．(2018年高考全国卷①卷)已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，,则A 中元素的个数 为 ( ) A ．9B ．8C ．5D ．42.(2020-2021学年云南省北大附中云南实验学校高一3月月考)下列各对象可以组成集合的是( ) A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师3. (2022学年河南省焦作市县级重点中学高一上学期期中)给出下列四个关系：π①R , 0①Q ,0.7①N , 0①①,其中正确的关系个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．14.(2020-2021学年湖北省襄阳市第二十四中学高一上学期9月月考)下面五个式子中：①{}a a ⊆；①{}a ∅⊆；①{a }∈{a ,b }；①{}{}a a ⊆；①a ∈{b ,c ,a }；正确的有( ) A ．①①①B ．①①①①C ．①①D ．①①5.(2022学年江西省重点名校高一3月联考)设集合(){}20M x x x =-=,且N M ⊆,则满足条件的集合N 的个数为( ) A ．3B ．4C ．7D ．86.(2020-2021学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高一上学期第一次月考)集合{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,则20162015a b +的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．±17.(多选)(2022学年广东省茂名市第五中学高一上学期期中)下列集合中,可以表示为{}2,3的是( ) A ．方程2560x x ++=的解集 B ．最小的两个质数 C ．大于1小于4的整数D ．不等式组23253270x x x ++⎧>⎪⎨⎪-<⎩的整数解8.(2020-2021学年云南省德宏州高一上学期期末统一监测)若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”；对于集合1,2A ,{}2|2,0B x ax a ==≥,若这两个集合构成“鲸吞”,则a 的取值为____________．【过关检测】1．(2022学年甘肃省静宁县第一中学高一上学期第一次月考)若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形D ．菱形2．(2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中)①{}00∈,①{}0∅⊆,①{}(){}0,10,1=,①(){}(){}(),,a b b a a b =≠,其中正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．43.(2022学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高一上学期9月月考)已知集合 {}20,,32A m m m =-+,且2A ∈,则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．0或3D ．0或2或34.(2022学年安徽省宣城八校高一上学期期中联考) 已知集合{}11A x x =-≤≤,{}121B x a x a =-≤≤-,若B A ⊆,则实数a 的取值范围是( )A ．1a ≤B ．1a <C ．01a ≤≤D ．01a <<5. (2022学年重庆市渝北中学校高一上学期阶段一质量检测)当一个非空数集G 满足：如果,a b G ∈,则,,a b a b ab G +-∈,且0b ≠时,aG b∈时,我们称G 就是一个数域,以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；①若数域G 有非零元素,则2019G ∈；①集合{}2P x x k k Z ==∈，是一个数域；①有理数集是一个数域；①任何一个有限数域的元素个数必为奇数,其中正确的选项是( ) A ．①①①B ．①①①①C ．①①①D ．①①①①6.(多选)(2022学年甘肃省张掖市高一上学期期末)下列关系式错误的是( ) A ．{0}∅∈B ．{2}{1,2}⊆C 2QD ．0∈Z7.(多选)(2020-2021学年湖南省A 佳大联考高一下学期3月考试)已知集合{}4A x ax =≤,{}2B =,若B A ⊆,则实数a 的值可能是( )A ．−1B ．1C ．−2D ．28.(2022学年四川省攀枝花市第七高级中学校高一上学期第一次月考)已知集合{}37A x x =≤<,{}C x x a =>,若A C ⊆,求实数a 的取值范围_______.9. 用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合A =______． 10.判断下列每对集合之间的关系：(1){}2,N A x x k k ==∈,{}4,N B y y m m ==∈； (2){}1,2,3,4C =,D{x x 是12的约数}；(3){}32,N E x x x +=-<∈,{}1,2,3,4,5F =.第01讲 集合的概念与集合间的基本关系【学习目标】1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.4.在具体情境中,了解空集的含义.【基础知识】一、集合的概念1.元素与集合：我们把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母,,,A B C 表示.集合的元素通常用小写字母,,,a b c 表示.二、集合与元素的关系如果a 是集合A 的元素,记作a A ∈,读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素,记作a A ∉,读作“a 不属于A ”. 三、集合中元素的特点1.确定性：集合的元素必须是确定的.2.互异性：对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不相同的.3.无序性：集合中的元素可以任意排列. 四、常用数集及其记法所有非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N ; 所有正整数组成的集合称为正整数集,记作N +或N *； 所有整数组成的集合称为整数集,记作Z ； 所有有理数组成的集合称为有理数集,记作Q ； 所有实数组成的集合称为实数集,记作R . 五、集合的表示1.列举法:把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),放在大括号内,依此表示集合的方法称为列举法,如{}1,2,3,{},x y x y +-等.2.描述法:一般地,如果属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质()p x ,而不属于集合A 的元素都不具有这个性质,则性质()p x 为集合 A 的一个特征性质,此时集合A 可以表示为(){}x p x ,这种表示集合的方法称为特征性质描述法,简称描述法.3.解决集合问题首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义),如{}20x x x -=表示方程x 2－x =0的解集；{}2x y x x =-表示函数y =x 2-x 的自变量组成的集合；{}2y y x x =-表示函数y =x 2－x 的函数值组成的集合；(){}2,x y y xx =-表示抛物线y =x 2－x 上的点组成的集合. 六、子集1.一般地如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,那么集合A 为集合B 的子集.,记作 A ⊆B (或 B ⊇A ),读作“A 包含于B ”(或“B 包含A ”).2.规定：空集是任何集合的子集,即A ∅⊆.3.子集的性质：(1)任何一个子集都是它本身的子集,即A A ⊆. (2)若A B ⊆,且C B ⊆,则C A ⊆. 七、 韦恩图韦恩(Venn)图：为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为韦恩图. A 是B 的子集,可用下图表示：八、真子集1.如果集合A 是集合B 的子集,并且集合B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 称为集合B 的真子集,记作A B (或B A ),读作：A 真包含于B (或B 真包含A ).2.真子集的性质(1)空集是任何非空集合的子集. (2)若AB ,BC ,则AC .九、集合的相等与子集的关系 1.如果A ⊆B 且B ⊆A ,则A =B . 2.如果A =B ,则A ⊆B 且B ⊆A . 十、有限集合的子集个数若集合A 中有n 个元素,则集合A 的所有子集的个数为2n ,真子集个数为2n －1,非空子集个数2n －1,非空真子集个数为2n －2.【基础知识】B A考点一：集合的判断例1．(2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中)下面给出的四类对象中,构成集合的是( ) A ．某班视力较好的同学 B ．长寿的人C ．π的近似值D ．倒数等于它本身的数答案:D解析：对于A,视力较好不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于B,长寿也不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于C,π 的近似值没有明确近似到小数点后面几位,不是明确的定义,故不能构成集合；对于D,倒数等于自身的数很明确,只有1和-1,故可以构成集合；故选D.考点二：元素与集合的关系例2．(2022学年】浙江省金华市曙光学校高一上学期10月月考)给出下列关系：①13①R ；①3①Q ；①－3∉Z ；①3-∉N,其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案:B解析：13是实数,①正确；3是无理数,①错误；－3是整数,①错误；－3是无理数,①正确.所以正确的个数为2.故选B. 考点三：集合中元素互异性的应用例3．(2022学年湖北省十堰市车城高中高一上学期9月月考)由2a ,32a -,1可组成含3个元素的集合,则实数a 的取值可以是( )A ．1B ．1-C ．0D ．3-答案:C解析：由元素的互异性可得22321321a a a a ⎧≠-⎪≠⎨⎪-≠⎩,解得1a ≠且3a ≠-且1a ≠-.故选C. 考点四：集合的表示例4．(多选)集合{}1,3,5,7,9用描述法可表示为( )A ．{x x 是不大于9的非负奇数}B ．{21,,x x k k N =+∈且}4k ≤C ．{}*9,x x x N ≤∈D ．{}09,x x x Z ≤≤∈答案:AB解析：对A,{x x 是不大于9的非负奇数}表示的集合是{}1,3,5,7,9,故A 正确； 对B,{21,,x x k k N =+∈且}4k ≤表示的集合是{}1,3,5,7,9,故B 正确；对C,{}*9,x x x N ≤∈表示的集合是{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,故C 错误；对D,{}09,x x x Z ≤≤∈表示的集合是{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,故D 错误. 故选AB.考点五：集合关系的判断例5．(多选)(2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第一中学高一上学期9月月考)下列各式中正确的是( ) A ．{}{}00,1,2∈B ．{}{}0,1,22,1,0⊆C ．{}(){}0,101=，D ．{}012∅⊆，， 答案:BD解析：由子集的定义易知B 正确；对A,{}{}00,1,2⊆,错误；对C,{}0,1表示有2个元素的数集,(){}01，表示有一个元素的点集,错误；对D,空集是任何集合的子集,正确.故选BD. 考点六：由集合包含关系求参数的值或范围例6．(2022学年湖南省永州市第二中学高一上学期10月月考)已知{}{15},1,R A x x B x a x a a =-<<=-<<∈(1)若2,B ∈求实数a 的取值范围 (2)若B A ⊆,求实数a 的取值范围解析： (1)①2,B ∈{}1B x a x a =-<<,①12a a -<<,即23a <<, ①实数a 的取值范围为23a <<；(2)①B A ⊆,{}{15},1,R A x x B x a x a a =-<<=-<<∈,①115a a -≥-⎧⎨≤⎩,解得05a ≤≤, 故实数a 的取值范围为05a ≤≤. 考点七：子集个问题例7．(2022学年湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学高一上学期阶段性评估)集合{1,2,3}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈+∈∣,则集合B 的真子集的个数为( )A ．8B ．6C ．7D ．15答案:C 解析：{(1,1),(1,2),(2,1)}B =,集合B 的真子集的个数为3217-=个.故选C.【真题演练】1．(2018年高考全国卷①卷)已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，,则A 中元素的个数为 ( )A ．9B ．8C ．5D ．4 答案:A解析：(){}{}223(1,1),(1,0),(1,1),(0,1),(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(1,1)A x y x y x y =+∈∈=-------Z Z ,≤,,,故选A ．2.(2020-2021学年云南省北大附中云南实验学校高一3月月考)下列各对象可以组成集合的是( )A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师答案:B解析：对于ACD,集合中的元素具有确定性,但ACD 中的元素不确定,故不能构成集合,ACD 错误；B 中的元素满足集合中元素的特点,可以构成集合,B 正确.故选B.3. (2022学年河南省焦作市县级重点中学高一上学期期中)给出下列四个关系：π①R , 0①Q ,0.7①N , 0①①,其中正确的关系个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案:D解析：①R 表示实数集,Q 表示有理数集,N 表示自然数集,①表示空集,①π①R ,0①Q ,0.7①N ,0①①, ①正确的个数为1 .故选D .4.(2020-2021学年湖北省襄阳市第二十四中学高一上学期9月月考)下面五个式子中：①{}a a ⊆；①{}a ∅⊆；①{a }∈{a ,b }；①{}{}a a ⊆；①a ∈{b ,c ,a }；正确的有( ) A ．①①①B ．①①①①C ．①①D ．①① 答案:A解析：①中,a 是集合{a }中的一个元素,{}a a ∈,所以①错误；空集是任一集合的子集,所以②正确；{}a 是{},a b 的子集,所以③错误；任何集合是其本身的子集,所以④正确；a 是{},,b c a 的元素,所以⑤正确.故选A.5.(2022学年江西省重点名校高一3月联考)设集合(){}20M x x x =-=,且N M ⊆,则满足条件的集合N 的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8 答案:B解析：因为(){}{}200,2M x x x =-==,由题意可知,集合N 为M 的子集,则满足条件的集合N 的个数为224=.故选B. 6.(2020-2021学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高一上学期第一次月考)集合{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,则20162015a b +的值为( ) A ．0B ．1C ．－1D ．±1答案:B 解析：因为{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭,且0a ≠,所以0b a =,即0b =,所以21a =,1a =±, 又因为1a ≠,所以1a =-,所以()2016201620152015=101a b +-+=,故选B.7.(多选)(2022学年广东省茂名市第五中学高一上学期期中)下列集合中,可以表示为{}2,3的是( )A ．方程2560x x ++=的解集B ．最小的两个质数C ．大于1小于4的整数D ．不等式组23253270x x x ++⎧>⎪⎨⎪-<⎩的整数解答案:BCD解析：对于A,方程2560x x ++=的解集为{}2,3--,不符合；对于B,最小的两个质数构成的集合{}2,3,符合；对于C,大于1小于4的整数构成的集合{}2,3,符合；对于D,由23253270x x x ++⎧>⎪⎨⎪-<⎩,可得172x x >⎧⎪⎨<⎪⎩,即712x <<,故整数解集为{}2,3,符合.故选BCD8.(2020-2021学年云南省德宏州高一上学期期末统一监测)若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”；对于集合1,2A,{}2|2,0B x ax a ==≥,若这两个集合构成“鲸吞”,则a 的取值为____________．答案:0解析：当0a =时,B =∅,显然B A ⊆,符合题意；当0a ≠时,显然集合B 中元素是两个互为相反数的实数,而集合A 中的两个元素不互为相反数,所以集合B 、A 之间不存在子集关系,不符合题意,故答案为0【过关检测】1．(2022学年甘肃省静宁县第一中学高一上学期第一次月考)若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形 答案:C解析：由题意,集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,根据集合中元素的互异性,可得a b c d ,,,四个元素互不相等,以四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形,结合选项,只能为梯形.故选C.2．(2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中)①{}00∈,①{}0∅⊆,①{}(){}0,10,1=,①(){}(){}(),,a b b a a b =≠,其中正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案:B解析：{}00∈正确；{}0∅⊆正确；{}(){}0,10,1=不正确,左边是数集,右边是点集； (){}(){}(),,a b b a a b =≠不正确,左边是点集,右边是点集,但点不相同.故正确的有①①,共2个. 故选B.3.(2022学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高一上学期9月月考)已知集合{}20,,32A m m m =-+,且 2A ∈,则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．0或3D ．0或2或3答案:A 解析：因为{}20,,32A m m m =-+,且2A ∈,所以2m =或2322m m -+=,解得2m =或0m =或3m =,当2m =时2320m m -+=,即集合A 不满足集合元素的互异性,故2m ≠,当0m =时集合A 不满足集合元素的互异性,故0m ≠,当3m =时{}0,3,2A =满足条件；故选A4.(2022学年安徽省宣城八校高一上学期期中联考) 已知集合{}11A x x =-≤≤,{}121B x a x a =-≤≤-,若B A ⊆,则实数a 的取值范围是( )A ．1a ≤B ．1a <C ．01a ≤≤D ．01a <<答案:A 解析：当121a a ->-时,即当0a <时,B A =∅⊆,合乎题意；当121a a -≤-时,即当0a ≥时,由B A ⊆可得11211a a -≥-⎧⎨-≤⎩,解得01a ≤≤,此时01a ≤≤. 综上所述,1a ≤.故选A.5. (2022学年重庆市渝北中学校高一上学期阶段一质量检测)当一个非空数集G 满足：如果,a b G ∈,则,,a b a b ab G +-∈,且0b ≠时,a G b∈时,我们称G 就是一个数域,以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；①若数域G 有非零元素,则2019G ∈；①集合{}2P x x k k Z ==∈，是一个数域；①有理数集是一个数域；①任何一个有限数域的元素个数必为奇数,其中正确的选项是( )A ．①①①B ．①①①①C ．①①①D ．①①①① 答案:D解析：对于①,当a b =且,a b G ∈时,由数域定义知：0a b G -=∈,∴0是任何数域的元素,①正确；对于①,当0a b =≠且,a b G ∈时,由数域定义知：1a G b=∈, 112G ∴+=∈,123G +=∈,134G +=∈,…,120182019G +=∈,①正确；对于①,当2a =,4b =时,12a Gb =∉,①错误； 对于①,若,a b Q ∈,则,,a b a b ab Q +-∈,且当0b ≠时,a Q b∈,则有理数集是一个数域,①正确； 对于①,0G ∈,若b G ∈且0b ≠,则b G -∈,则这个数不为0则必成对出现,∴数域的元素个数必为奇数,①正确.故选D.6.(多选)(2022学年甘肃省张掖市高一上学期期末)下列关系式错误的是( )A ．{0}∅∈B ．{2}{1,2}⊆C ⊆QD ．0∈Z答案:AC解析：A 选项由于符号∈用于元素与集合间,∅是任何集合的子集,所以应为{0}∅⊆,A 错误；B 选项根据子集的定义可知正确；C 选项由于符号⊆用于集合与集合间,C 错误；D 选项Z 是整数集,所以0∈Z 正确.故选AC.7.(多选)(2020-2021学年湖南省A 佳大联考高一下学期3月考试)已知集合{}4A x ax =≤,{}4,2B =,若B A ⊆,则实数a 的值可能是( )A ．−1B ．1C ．−2D ．2答案:ABC解析：因为B A ⊆,所以4A ∈,2A ∈,则4424a a ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩,解得1a ≤.故选ABC 8.(2022学年四川省攀枝花市第七高级中学校高一上学期第一次月考)已知集合{}37A x x =≤<,{}C x x a =>,若A C ⊆,求实数a 的取值范围_______. 答案:(),3-∞解析：①A C ⊆,①A 和C 如图：①a ＜3.故答案为(),3-∞.9. 用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合A =______． 答案:{}|43,N n n k k =+∈解析：被4除余3的自然数即为4的整数倍加3,因此{|43,N}A n n k k ==+∈． 10.判断下列每对集合之间的关系：(1){}2,N A x x k k ==∈,{}4,N B y y m m ==∈；(2){}1,2,3,4C =,D {x x 是12的约数}；(3){}32,N E x x x +=-<∈,{}1,2,3,4,5F =.解析：(1)由题意,任取4y m B =∈,有2(2),2y m m N =⨯∈,故yA ,且6,6AB ∈∉,故B A(2)由于D {x x 是12的约数}{1,2,3,4,6,12}=,故C D (3)由于{}32,N E x x x +=-<∈{|5,}{1,2,3,4}x x x N +=<∈=,故E F。

第一章《集合与常用逻辑用语》1.1集合的概念【知识梳理】知识点一元素与集合的概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a ，b ，c …表示．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合，(简称为集)，常用大写拉丁字母A ，B ，C …表示．3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．知识点二元素与集合的关系1．属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A .2．不属于：如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A .知识点三常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN *或N ＋ZQR知识点四列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．知识点五描述法一般地，设A 是一个集合，把集合A 中所有具有共同特征P (x )的元素x 所组成的集合表示为{x ∈A |P (x )}，这种表示集合的方法称为描述法．【基础自测】1．已知集合{1,,}{0,}ba ab b a+=，，则下列结论正确的是（）A ．0a =B ．1a =C ．1a b ==-D ．11a b =-=，2．已知集合{}21,49,2021A a a a =++-，若4A -∈，则实数a 的值为（）．A ．5-B ．1C ．5或1-D ．5-或1【答案】B【详解】{}21,49,2021A a a a =++- ，且4A -∈，4=1a ∴-+或24=49a a -+-⑴当24=49a a -+-即=5-a 或=1a ，①当=5-a 时，1=4a +-，249=4a a +--，此时{}4,4,2021A =--，不满足集合元素的互异性，故舍去；②当=1a 时，1=2a +，249=4a a +--，此时{}2,4,2021A =-，符合题意；⑵当1=4a +-即=5-a 时，此时{}4,4,2021A =--，不满足集合元素的互异性，故舍去；综上所述：实数a 的值为1.故选：B3．已知集合{}1,2,3A =，则集合{},B x y x A y A =-∈∈∣中元素的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．54．下列说法中：①集合N 与集合N *是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________．【答案】②④【详解】因为集合N*表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．5．用列举法表示集合：{(,)|4,,}x y x y x y +=∈∈N N 为________．【答案】()()()()(){}0413223140，，，，，，，，，【详解】由题知：(){}|4x y x y x +=∈∈N N ，，，y =()()()()(){}0413223140，，，，，，，，，故答案为：()()()()(){}0413223140，，，，，，，，，.【例题详解】一、集合的概念例1(1)下面给出的四类对象中，构成集合的是（）A ．某班视力较好的同学B ．长寿的人C ．π的近似值D ．倒数等于它本身的数【答案】D【分析】根据集合的定义分析判断即可.【详解】对于A ，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合；对于B ，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合；对于C ，π的近似值没有明确近似到小数点后面几位，不是明确的定义，故不能构成集合；对于D ，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合；故选：D.(2)（多选）下列各组中的M ，P 表示同一集合的是（）A ．M ={3，-1}，P ={(3，-1)}B ．M ={(3，1)}，P ={(1，3)}C ．M ={y |y =x -1}，P ={t |t =x -1}D ．集合M ={m |m +1≥5}，P ={y |y =x 2+2x +5，x ∈R }【答案】CD跟踪训练1(1)以下元素的全体能构成集合的是（）A ．中国古代四大发明B ．接近于1的所有正整数C ．未来世界的高科技产品D ．地球上的小河流【答案】A【分析】根据集合的知识可选出答案.【详解】中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A 满足；接近于1的正整数不确定，不能构成集合，故B 不满足；未来世界的高科技产品不确定，不能构成集合，故C 不满足；地球上的小河流不确定，不能构成集合，故D 不满足；故选：A(2)已知集合A ={x |x 2+px +q =0}={2}，则p =_______，q =_______．【答案】-44【分析】根据A ={x |x 2+px +q =0}={2}，由2是方程x 2+px +q =0的等根求解.【详解】因为A ={x |x 2+px +q =0}={2}，所以2420-40p q p q ++=⎧⎨=⎩，解得-44p q =⎧⎨=⎩，故答案为：-4，4二、元素与集合例2(1)下列元素与集合的关系中，正确的是（）A ．1-∈NB ．*0∉N C QD ．25∉R(2)如果集合2210A x ax x =--=只有一个元素，则a 的值是（）A ．0B ．0或1C ．1-D ．0或1-跟踪训练2(1)已知集合(){}|10M x x x =-=,那么（）A ．0M ∈B ．1M∉C ．1M-∈D ．0M∉【答案】A【分析】确定结合(){}|10M x x x =-=的元素，根据元素和集合的关系判断各选项，即得答案.【详解】由题意知集合(){}|10{0,1}M x x x =-==，故0M ∈，故A 正确，D 错误，1M ∈，故B 错误，1M -∉，故C 错误，故选：A(2)已知集合{}220A x ax x =-+=至多有一个元素，则a 的取值范围是__________．三、集合中元素的特性例3(1)若{}22,a a a ∈-，则a 的值为（）A ．0B ．2C ．0或2D ．2-【答案】A【分析】分别令2a =和2a a a =-，根据集合中元素的互异性可确定结果.【详解】若2a =，则22a a -=，不符合集合元素的互异性；若2a a a =-，则0a =或2a =（舍），此时{}{}22,2,0a a -=，符合题意；综上所述：0a =.故选：A.(2)由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（）个元素A ．2B ．3C ．4D ．5跟踪训练3(1)集合{3，x ，x 2–2x }中，x 应满足的条件是（）A ．x ≠–1B ．x ≠0C ．x ≠–1且x ≠0且x ≠3D ．x ≠–1或x ≠0或x ≠3【答案】C【分析】利用集合元素的互异性求解.【详解】集合{3，x ，x 2–2x }中，x 2–2x ≠3，且x 2–2x ≠x ，且x ≠3，解得x ≠3且x ≠–1且x ≠0，故选：C ．(2)若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】D【分析】根据集合元素的互异性即可判断.【详解】由题可知，集合{},,M a b c =中的元素是ABC 的三边长，则a b c ≠≠，所以ABC 一定不是等腰三角形．故选：D ．四、集合的表示方法例4(1)用列举法表示集合*6,5A aN a Z a ⎧⎫=∈∈=⎨⎬-__________．(2)用适当的形式表示下列集合，并指明它是有限集还是无限集．①方程32320x x x -+=的解集；②不等式3523x x +>+的解集；③被5除余1的自然数的集合；④二次函数2=23y x x --的值组成的集合．【答案】①{}0,1,2，有限集；②{}|2x x >-，无限集；③{}|51,x x k k N =+∈，无限集；④2{|23}y y x x =--，无限集.【分析】①直接解出方程即可，用列举法；②解不等式，解集为无限，用描述法表示；(3)元素有无限个，所以用描述法；④代表元素为y ，解集为无限集用描述法表示.【详解】①解方程可得解集为{}0,1,2，有限集；②解不等式可得解集为{}|2x x >-，无限集；③被5除余1的自然数的集合为{}|51,x x k k N =+∈，无限集；④二次函数223y x x =--的值组成的集合为2{|23}y y x x =--，无限集；跟踪训练4用列举法表示下列集合：（1）方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集；（2）不大于10的非负奇数集；（3）6{|Z,N}4A x x x=∈∈-．【答案】（1）解集是{(2,1)}；（2）不大于10的非负奇数集为{1,3,5,7,9}；（3）{3,2,1,2}A =-.【分析】根据列举法的定义进行表示即可．跟踪训练5表示下列集合：(1)210y +=的解集；(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；(4)请用描述法表示二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合．【课堂巩固】1．下列各组对象中不能形成集合的是（）A ．高一数学课本中较难的题B ．高二（2）班全体学生家长C ．高三年级开设的所有课程D ．高一（12）班个子高于1.7m 的学生【答案】A【分析】根据集合的三要素确定性，互异性和无序性逐个判断即可；【详解】对A ，高一数学课本中较难的题不具有确定性，不能形成集合；对BCD ，各组对象均满足确定性，互异性和无序性，能形成集合故选：A2．下列说法正确的是（）A ．由1，2，3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1B ．∅与{}0是同一个集合C ．集合{}21x y x =-与集合{}21y y x =-是同一个集合D ．集合{}2560x x x ++=与集合{}2560x x ++=是同一个集合3．设a ,b ∈R ，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，则b a -=（）A ．1B ．-1C ．2D ．-24．下列关系中，正确的是（）A NB ．14∈ZC ．{}00∈D ．12∉Q5．若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（）A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形【答案】C【分析】根据集合中元素的互异性，可得a b c d ,,,四个元素互不相等，结合选项，即可求解.【详解】由题意，集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得a b c d ,,,四个元素互不相等，以四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.6．（多选）下面说法中正确的是（）A ．集合N +中最小的数是1B ．若N a +-∉，则N a +∈C ．若N ,N a b ++∈∈，则a b +的最小值是2D ．244x x +=的解组成的集合是{2}x =【答案】AC【分析】根据正整数集的含义即可判断A ，B ，C 的正误，根据集合中列举法即可判断D 选项的正误.【详解】对于A ，因为N +是正整数集，而最小的正整数是1，故A 正确；对于B ，当0a =时，N a +-∉，且N a +∉，故B 错误；对于C ，若N a +∈，则a 的最小值是1，若N b +∈，则b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a b +取得最小值2，故C 正确；对于D ，由244x x +=得()220x -=，解得2x =，故其解集为{}2，而{2}x =不符合集合的表示方法，故D 错误.故选：AC ．7．用列举法表示集合6|Z,2M x x x ⎧⎫=∈∈=⎨⎬-⎩⎭N ________________．【答案】{4,1,0,1}--【分析】根据题意可得21,2,3,6x -=，求出x 的值即可求解.【详解】由题意得21,2,3,6x -=，所以1,0,1,4x =--，所以{4,1,0,1}M =--.故答案为:{4,1,0,1}--.8．已知集合{}1,2,3,4,6A =，,x B x y A y ⎧⎫=∈⎨⎬⎩，则集合B 中的元素个数为______．1故答案为：139．已知,x y 均为非零实数，则代数式xy x y x y xy++的值所组成的集合的元素个数是______．10．给出下列说法：①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为(){},0,0x y x y >>；②20y ++=的解集为{}2,2-；③集合{}21,y y x x =-∈R 与{}1,y y x x =-∈R 是不相等的．其中正确的是______（填序号）．11．用列举法表示下列集合：(1)满足－2≤x ≤2且x ∈Z 的元素组成的集合A ；(2)方程(x －2)2(x －3)＝0的解组成的集合M ；(3)方程组281x y x y +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合B ；(4)15的正约数组成的集合N .12．用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合（1）所有能被3整除的自然数（2）不等式²230x x +-<的解集（3）²230x x +-=的解集【答案】答案见解析．【分析】根据集合的表示法求解．【详解】（1）{|3,}x x n n N =∈，集合中元素个数无穷，不能用列举法表示；（2）2230x x +-<，即(1)(3)0x x -+<，31x -<<，集合为{|31}x x -<<，集合中元素有无数个，不能用列举法表示；（3）集合可表示为2{|230}x x x +-=，列举法表示为{3,1}-．【课时作业】1．已知集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }，B ＝{x |(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋3}，当A ＝{2}时，集合B ＝（）A ．{1}B ．{1，2}C ．{2，5}D ．{1，5}【答案】D【分析】根据集合的相等的意义得到x 2＋px ＋q ＝x 即()210x p x q +-+=有且只有一个实数解2x =,由此求得p ,q 的值，进而求得集合B .【详解】由A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }＝{2}知，x 2＋px ＋q ＝x 即()210x p x q +-+=有且只有一个实数解2x =,∴22＋2p ＋q ＝2，且Δ＝(p －1)2－4q ＝0.计算得出p ＝－3，q ＝4.则(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋3可化为(x －1)2－3(x －1)＋4＝x ＋3；即(x －1)2－4(x －1)＝0；则x －1＝0或x －1＝4，计算得出x ＝1或x ＝5.所以集合B ＝{1，5}．故选：D .2．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式||||||||x y z xyz x y z xyz +++的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是（）A ．M∈4B ．2M ∈C ．0M ∉D ．4M -∉3．以某些整数为元素的集合P 具有以下性质：（1）P 中元素有正数，也有负数；（2）P 中元素有奇数，也有偶数；（3）1P -∉；（4）若x y P ∈、，则x y P +∈．则下列选项哪个是正确的（）A ．集合P 中一定有0但没有2B ．集合P 中一定有0可能有2C ．集合P 中可能有0可能有2D ．集合P 中既没有0又没有2【答案】A【分析】由（4）得x P ∈，则∈kx P （k 是正整数），由（1）可设,∈x y P ，且0x >，0y <，可得0P ∈.利用反证法可得若2P ∈，则P 中没有负奇数，若P 中负数为偶数，得出矛盾即可求解.【详解】解：由（4）得x P ∈，则∈kx P （k 是正整数）．由（1）可设,∈x y P ，且0x >，0y <，则xy 、()-∈y x P ，而0()=+-∈xy y x P ．假设2P ∈，则2∈k P ．由上面及（4）得0，2，4，6，8，…均在P 中，故22-∈k P （k 是正整数），不妨令P 中负数为奇数21k -+（k 为正整数），由（4）得(22)(21)1-+-+=-∈k k P ，矛盾．故若2P ∈，则P 中没有负奇数．若P 中负数为偶数，设为2k -（k 为正整数），则由（4）及2P ∈，得2,4,6,--- 均在P 中，即22--∈m P （m 为非负整数），则P 中正奇数为21m +，由（4）得(22)(21)1--++=-∈m m P ，矛盾．综上，0P ∈，2∉P .故选:A ．4．已知集合{}2,21,21M a a a =--，若1M ∈，则M 中所有元素之和为（）A ．3B ．1C ．3-D ．1-【答案】C【解析】根据1M ∈，依次令{}2,21,21M a a a =--中的三个元素分别等于1，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果.【详解】若1a =，则211a -=，矛盾；若211a -=，则1a =，矛盾，故2211a -=，解得1a =（舍）或1a =-，故{}1,3,1M =--，元素之和为3-，故选：C.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，在解题的过程中，关键是用好集合中元素的互异性对参数的值进行取舍.5．已知集合{}24A x x =≤，集合{}*1B x x N x A =∈-∈且，则B =（）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,2,3,46．由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是A ．{x|﹣3＜x ＜11，x ∈Q}B ．{x|﹣3＜x ＜11}C ．{x|﹣3＜x ＜11，x=2k ，k ∈N}D ．{x|﹣3＜x ＜11，x=2k ，k ∈Z}【答案】D【详解】试题分析：先确定集合元素的范围是﹣3＜x ＜11，同时再确定偶数的形式，利用描述法表示集合．解：因为所求的数为偶数，所以可设为x=2k ，k ∈z ，又因为大于﹣3且小于11，所以﹣3＜x ＜11．即大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是{x|﹣3＜x ＜11，x=2k ，k ∈Z}．故选D ．点评：本题的考点是利用描述法表示集合．比较基础．7．方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集不可表示为（）A ．3(,)1x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=-⎩⎪⎪⎩⎭B ．1(,)2x x y y ⎧⎫=⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭C ．{}1,2D ．(){}1,2【答案】C【分析】先解方程组，然后再利用集合的表示方法判断即可【详解】由31x y x y +=⎧⎨-=-⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，方程组只有一组解，对于AB ，是用描述法表示方程组的解集，所以AB 正确，对于C ，{}1,2表示两个元素1，2，所以C 错误，对于D ，是用列举法表示方程组的解集，所以D 正确，故选：C8．定义集合运算:{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B *的所有元素之和为（）A ．0B ．2C ．3D ．6【答案】D【详解】试题分析：根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B 中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B ，进而可得答案解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B 中的元素可能为：0、2、0、4，又由集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，其所有元素之和为6；故选D ．考点：元素的互异点评：解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍9．（多选）下列说法中，正确的是（）A ．若a ∈Z ，则a -∈ZB ．R 中最小的元素是0CD ．一个集合中不可以有两个相同的元素10．（多选）若集合{}22|,,A x x m n m n ==+∈Z ，则（）A ．1A∈B ．2A ∈C ．3A∈D ．4A ∈11．含有三个实数的集合可表示为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可以示为{}2,,0a a b +，则20132014a b +的值为____.【答案】1-【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解.【详解】解：由题意，若2a a =，则0a =或1，检验可知不满足集合中元素的互异性，所以a a b =+，则0b =，所以21a =，则1a =-，故201320141a b +=-.故答案为：1-.12．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A ，则实数m ＝________．【答案】3【分析】根据集合与元素的关系，分类求得m 的值，然后利用集合元素的互异性检验取舍.【详解】由题意知，m ＝2或m 2－3m ＋2＝2，解得m ＝2或m ＝0或m ＝3，经验证，当m ＝0或m ＝2时，不满足集合中元素的互异性，当m ＝3时，满足题意，故m ＝3.答案：313．用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为________．【答案】{(x ，y )|0≤x ≤2且0≤y ≤1}【详解】由题意得，图中的阴影部分构成的集合是点集，则{(,)|02x y x ≤≤且01}y ≤≤.故答案为{(,)|02x y x ≤≤且01}y ≤≤.点睛：本题考查集合的描述法的概念及其应用，解答本题的关键是图中的阴影部分的点的坐标满足的条件为集合的元素的公共属性.14．用列举法表示集合{}2|,12,y y x x y Z =-<<∈=__________【答案】{0,1,2,3}【分析】由集合的描述法可知集合所含元素.【详解】因为2,12y x x =-<<，所以04y ≤<，又y Z ∈，所以0,1,2,3y =故答案为{0,1,2,3}【点睛】本题主要考查了集合的描述法，属于中档题.b c abc 16．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x+y ∈A}，则B 中所含元素的个数为____．【答案】1【分析】首先根据题中的条件，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x+y ∈A}，结合A ＝{1，2}，写出集合B ，并且找到集合B 的元素个数.【详解】因为A ＝{1，2}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x+y ∈A}，所以{}(1,1)B =，所以集合B 中只有一个元素，故答案是1.【点睛】该题考查的是有关集合中元素的个数问题，解题的关键是根据题中所给的集合中元素的特征，将集合中的元素列出来，从而得到结果.17．已知方程ax 2－3x －4＝0的解组成的集合为A .（1）若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；（2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．18．用适当的方法表示下列集合：（1）由1，2，3三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合；（2|2|0y -=的解集.。

第一讲集合的概念与表示考点1：集合的概念【知识点的认识】1.(1)集合的含义：集合是一定范围的,确定的,可以区别的事物,当作一个整体来看待,就叫做集合,简称集,其中各事物叫做集合的元素或简称元,是具有某种特定性质的事物的总体．(2)一般情况下,集合用英文大写字母,,,a b c表A B C表示．元素用英文小写字母,,,示；(3)不含任何元素的集合叫做空集,记作∅．2．元素与集合的关系：∈；如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作a A∉．如果a不是集合A中的元素,就说a不属于A,记作a A3．某些常见的数集(数集即元素是数的集合)的写法：4①确定性：集合中的元素是确定的,不能模棱两可．②互异性：集合中的元素是互不相同的,相同的元素在集合中只能算作一个．③无序性：集合中的元素是无次序关系的．题型一：判断能否构成集合例1：下列研究对象能否构成一个集合？如果能,采用适当的方式表示它．(1)小于5的自然数；(2)某班所有个子高的同学；(3)不等式2x+1＞7的整数解．【解答】:(1)小于5的自然数为0,1,2,3,4,元素确定,所以能构成集合．为{0,1,2,3,4}．(2)个子高的标准不确定,所以集合元素无法确定,所以不能构成集合．(3)由2x +1＞7得x ＞3,因为x 为整数,集合元素确定,但集合元素个数为无限个,所以用描述法表示为{x |x ＞3,且x ∈Z }．例2.(1)(2018秋•兴庆区校级期末)下面给出的四类对象中,能组成集合的是( ) A ．高一某班个子较高的同学 B ．比较著名的科学家 C ．无限接近于4的实数D ．到一个定点的距离等于定长的点的全体【解答】解：选项A ,B ,C 所描述的对象没有一个明确的标准,故不能构成一个集合, 选项D 的标准唯一,故能组成集合． 故选：D ．(2)(2018秋•玉山县校级月考)下列给出的命题正确的是( ) A ．高中数学课本中的难题可以构成集合 B ．有理数集Q 是最大的数集 C ．空集是任何非空集合的真子集 D ．自然数集N 中最小的数是1【解答】解：A 、难题不具有确定性,不能构造集合,故本选项错误；B 、实数集R 就比有理数集Q 大,故本选项错误；C 、空集是任何非空集合的真子集,故本选项正确；D 、自然数集N 中最小的数是0,故本选项错误；故选：C ．题型二：元素与集合关系例3.用∈,∉填空．①1-___N ；②3-___*N ；③12__Z ；④3.14___Q ___Q ；⑥2-___R ；⑦π___R ；【解答】∉；∈；∉；∈；∉；∈；∈．例4.(1)(2018秋•泸州期末)下列关系中,正确的是( )A ．0N +∈B ．32Z ∈C ．Q π∉D ．0∈∅【考点】12：元素与集合关系的判断 【解答】解：选项:0A N +∉,错误；选项C ,Q π∉,正确； 选项D ,0∉∅,错误； 故选：C ．(2)(2018秋•兴庆区校级期末)下列元素与集合的关系表示正确的是( )①*0N ∈； Z ； ③32Q ∈； ④Q π∈A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【解答】解：①0不是正整数,*0N ∴∈错误；④π是无理数,Q π∴∈错误；∴表示正确的为②③．故选：B ．题型三：元素的性质例5.(1)(2016秋•昌江区校级期末)若集合中三个元素为边可构成一个三角形,则该三角形一定不可能是( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【解答】解：若集合中三个元素为边可构成一个三角形, 则由集合元素的互异性可得,三个元素互不相等, 故该三角形一定不可能是等腰三角形, 故选：D ．(2)若221x x +，，是一个集合中的三个元素,实数x 应满足什么条件？ 【解答】1x ≠±且2x ≠．(3)(2017秋•莲湖区校级月考)以实数x ,x -,||x ( )个元素． A ．0B ．1C ．2D ．3故选：C ．(4)下列叙述中正确的个数是( )①若a -∈Z ,则a ∈Z ；②若a -∉N ,则a ∈N ；③a ∈Z ,若a -∉N ,则a ∈N ；④a ∈Z ,若a ∈N ,则a -∉N ． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解答】C ．考点2：集合的表示法——列举法与描述法5．集合的表示法⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表,其它元素用省略号表示,并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法．例如：{12345}，，，，,{12345}，，，，，． ⑵ 描述法(又称特征性质描述法)：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法,形如{|()}x A p x ∈,()p x 称为集合的特征性质,x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围,有时也写为{|()}x p x x A ∈，． 例如：大于3的所有整数用描述法表示为{|3}x x ∈>Z ． 方程260x x +-=的实根用描述法表示为2{|60}x x x ∈+-=R ．题型四：集合的表示方法例6.(1)将下列用描述法表示的集合用列举法表示出来：①2{|10}A x x =∈-=R ；②2{|10}B x x =∈-=Z ；③2{|10}C x x =∈-=N ； ④22{()|0}D x y x y =+=，；⑤{()|1E x y y x ==-，，且2}y x =． 【解答】①{11}-，；②{11}-，；③{1}；④{(00)}，；⑤{(12)}--，． (2)用通俗的语言(即自然语言)描述下面集合表示的含义：①{|21}x x k k ∈=-∈R Z ，；②{|2}x x k k ∈=∈R Z ，；③21()|y x x y y x ⎧⎫=+⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎪⎪⎩⎩⎭， 【解答】①由所有的奇数构成的集合；②由所有的偶数构成的集合；③直线与抛物线的交点．例7.(1)(2017秋•内蒙古期末)下列集合表示正确的是( ) A ．{2,4}B ．{2,4,4 }C ．{1,3,3}D ．{漂浪女生}【解答】解：在A 中,{2,4}表示集合,正确； 在B 中,{2,4,4}不满足集合中元素的互异性,错误； 在C 中,{1,3,3}不满足集合中元素的互异性,错误； 在D 中,{漂浪女生},不满足集合中元素的确定性,错误． 故选：A ．(2)(2017秋•桂林期末)集合2{|}A x x x ==中所含元素为( ) A ．0,1B ．1-,1C ．1-,0D ．1【解答】解：根据题意,20x x x =⇒=或1, 则{0A =,1},其中的元素为0、1, 故选：A ．(3)(2018秋•南康区校级月考)把集合2{|450}x x x --=用列举法表示为( ) A ．{1x =-,5}x =B ．{|1x x =-或5}x =C ．2{450}x x --=D ．{1-,5}【解答】解：根据题意,解2450x x --=可得1x =-或5, 用列举法表示可得{1-,5}； 故选：D ．(4)(2018秋•江岸区校级月考)下列叙述正确的是( ) A ．方程2210x x ++=的根构成的集合为{1-,1}-B ．{}22102030x x R x x Rx ⎧+>⎫⎧⎪⎪∈+==∈⎨⎨⎬+<⎪⎪⎩⎩⎭C ．集合{(,)|5M x y x y =+=,6}xy =表示的集合是{2,3}D ．集合{1,3,5}与集合{3,5,1]是不同的集合 【解答】解：选项A ：集合中的元素互异,故错误；误,选项D ：元素相同即集合相等,故错误． 故选：B ．例8.(1)(2018•江西二模)设集合{1A =,2,3},{2B =,3,4},{|M x x ab ==,a A ∈,}b B ∈,则M 中的元素个数为( ) A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：集合{1A =,2,3},{2B =,3,4}, {|M x x ab ==,a A ∈,}b B ∈, {2M ∴=,3,4,6,8,9,12}．M ∴中的元素个数为7．故选：C ．(2)(2017•陆川县校级模拟)已知集合{0A =,1,2},{|B z z x y ==+,x A ∈,}y A ∈,则(B =)A ．{0,1,2,3,4}B ．{0,1,2}C ．{0,2,4}D ．{1,2}【解答】解：{0A =,1,2},{|B z z x y ==+,x A ∈,}y A ∈,①当0x =,0y =；1x =,1y =；2x =,2y =时,0x y +=,2,4, ②当0x =,1y =；1x =,2y =时,1x y +=,3, ③当1x =,0y =；2x =,1y =时,1x y +=,3, ④当0x =,2y =时,2x y +=, ⑤当2x =,0y =时,2x y +=,综上,集合B 中元素有：{0,1,2,3,4}． 故选：A ．考点3：集合的表示法——图示法与区间表示法⑶ 图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合,这个区域通常叫做维恩(Venn)图．图示法常用在表示集合的相互关系与运算中．⑷ 区间表示法：设a b ∈R ，,且a b <,实数a 与b 都叫做相应区间的端点；“+∞”读作“正无穷大”, “-∞”读作“负无穷大”．实数集R 也可以用()-∞+∞，表示． 例10.将下面的集合表示成区间：(1){|12}x x -<≤；(2){|240}x x ->；(3){|420}x x -≥． 【解答】⑴(12]-，；⑵(2)+∞，；⑶(2]-∞，． 例11.把下列集合表示成区间(1){|1}x x ≤；(2)2{|2}y y x x =-+；(2)2{|22111}y y x x x =++-<<，．课后综合巩固1.(2018秋•玉山县校级月考)下列给出的命题正确的是( )A ．高中数学课本中的难题可以构成集合B ．有理数集Q 是最大的数集C ．空集是任何非空集合的真子集D ．自然数集N 中最小的数是1【解答】解：A 、难题不具有确定性,不能构造集合,故本选项错误；B 、实数集R 就比有理数集Q 大,故本选项错误；C 、空集是任何非空集合的真子集,故本选项正确；D 、自然数集N 中最小的数是0,故本选项错误；故选：C ． 2.用∈,∉填空．①1-___N ；②3-___*N ；③12__Z ；④3.14___Q ___Q ；⑥___R ；⑦π___R ；【解答】∉；∈；∉；∈；∉；∈；∈．3.(2017秋•莲湖区校级月考)以实数x ,x -,||x ()个元素． A ．0B ．1C ．2D ．3故选：C ．4.(2017•陆川县校级模拟)已知集合{0A =,1,2},{|B z z x y ==+,x A ∈,}y A ∈,则(B =)A ．{0,1,2,3,4}B ．{0,1,2}C ．{0,2,4}D ．{1,2}【解答】解：{0A =,1,2},{|B z z x y ==+,x A ∈,}y A ∈,。

高一数学暑假作业：第一章集合与函数概念（答案）同学们都在忙碌地复习自己的功课，为了帮助大家能够在考前对自己多学的知识点有所巩固，下文整理了这篇高一数学暑假作业，希望可以帮助到大家!1.1集合1 1 1集合的含义与表示1.D.2.A.3.C.4.{1,-1}.5.{x|x=3n+1,nN}.6.{2,0,-2}.7.A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.8.1.9.1,2,3,6.10.列举法表示为{(-1,1),(2,4)},描述法的表示方法不唯一,如可表示为(x,y)|y=x+2,y=x2.11.-1,12,2.1 1 2集合间的基本关系1.D.2.A.3.D.4. ,{-1},{1},{-1,1}.5. .6.①③⑤.7.A=B.8.15,13.9.a4.10.A={ ,{1},{2},{1,2}},BA.11.a=b=1.1 1 3集合的基本运算(一)1.C.2.A.3.C.4.4.5.{x|-21}.6.4.7.{-3}.8.AB={x|x3,或x5}.9.AB={-8,-7,-4,4,9}.10.1.11.{a|a=3,或-221 1 3集合的基本运算(二)1.A.2.C.3.B.4.{x|x2,或x1}.5.2或8.6.x|x=n+12,nZ.7.{-2}.8.{x|x6,或x2}.9.A={2,3,5,7},B={2,4,6,8}.10.A,B的可能情形有:A={1,2,3},B={3,4};A={1,2,4},B={3,4};A={1,2,3,4},B={3,4 }.11.a=4,b=2.提示:∵A 綂UB={2}，2A，4+2a-12=0 a=4，A={x|x2+4x-12=0}={2,-6},∵A 綂UB={2}，-6 綂UB，-6B，将x=-6代入B,得b2-6b+8=0 b=2,或b=4.①当b=2时,B={x|x2+2x-24=0}={-6,4},-6 綂UB，而2 綂UB，满足条件A 綂UB={2}.②当b=4时,B={x|x2+4x-12=0}={-6,2},2 綂UB，与条件A 綂UB={2}矛盾.1.2函数及其表示1 2 1函数的概念(一)1.C.2.C.3.D.4.22.5.-2,3232,+.6.[1,+).7.(1)12,34.(2){x|x-1，且x-3}.8.-34.9.1.10.(1)略.(2)72.11.-12,234.1 2 1函数的概念(二)1.C.2.A.3.D.4.{xR|x0,且x-1}.5.[0，+).6.0.7.-15,-13,-12,13.8.(1)y|y25.(2)[-2,+).9.(0,1].10.AB=-2,12;AB=[-2,+).11.[-1,0).1 2 2函数的表示法(一)1.A.2.B.3.A.4.y=x100.5.y=x2-2x+2.6.1x.7.略.8.x1234y828589889.略.10.1.11.c=-3.1 2 2函数的表示法(二)1.C.2.D.3.B.4.1.5.3.6.6.7.略.8.f(x)=2x(-10),-2x+2(01).9.f(x)=x2-x+1.提示:设f(x)=ax2+bx+c，由f(0)=1,得c=1，又f(x+1)-f(x)=2x，即a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x，展开得2ax+(a+b)=2x,所以2a=2,a+b=0,解得a=1，b=-1.10.y=1.2(02.4(203.6(404.8(601.3函数的基本性质1 3 1单调性与最大(小)值(一)1.C.2.D.3.C.4.[-2,0),[0,1),[1,2].5.-,32.6.k12.7.略.8.单调递减区间为(-,1),单调递增区间为[1,+).9.略.10.a-1.11.设-10，(x1x2+1)(x2-x1)(x21-1)(x22-1)0，函数y=f(x)在(-1，1)上为减函数.1 3 1单调性与最大(小)值(二)1.D.2.B.3.B.4.-5,5.5.25.6.y=316(a+3x)(a-x)(011.日均利润最大，则总利润就最大.设定价为x元，日均利润为y元.要获利每桶定价必须在12元以上，即x12.且日均销售量应为440-(x-13)400，即x23,总利润y=(x-12)[440-(x-13)40]-600(121 3 2奇偶性1.D.2.D.3.C.4.0.5.0.6.答案不唯一,如y=x2.7.(1)奇函数.(2)偶函数.(3)既不是奇函数，又不是偶函数.(4)既是奇函数，又是偶函数.8.f(x)=x(1+3x)(x0),x(1-3x)(x0).9.略.10.当a=0时，f(x)是偶函数;当a0时，既不是奇函数，又不是偶函数.11.a=1，b=1，c=0.提示:由f(-x)=-f(x)，得c=0，f(x)=ax2+1bx,f(1)=a+1b=2 a=2b-1.f(x)=(2b-1)x2+1bx.∵f(2)3，4(2b-1)+12b3 2b-32b0 0单元练习1.C.2.D.3.D.4.D.5.D.6.B.7.B.8.C.9.A.10.D.11.{0,1,2}.12.-32.13.a=-1,b=3.14.[1,3)(3,5].15.f1217.T(h)=19-6h(011),-47(h11).18.{x|01}.19.f(x)=x只有唯一的实数解，即xax+b=x(*)只有唯一实数解，当ax2+(b-1)x=0有相等的实数根x0，且ax0+b0时，解得f(x)=2xx+2，当ax2+(b-1)x=0有不相等的实数根，且其中之一为方程(*)的增根时，解得f(x)=1.20.(1)xR,又f(-x)=(-x)2-2|-x|-3=x2-2|x|-3=f(x)，所以该函数是偶函数.(2)略.(3)单调递增区间是[-1,0],[1,+)，单调递减区间是(-,-1],[0,1].21.(1)f(4)=413=5.2,f(5.5)=51.3+0.53.9=8.45,f(6.5)=51.3+13.9+0.56 5=13.65.(2)f(x)=1.3x(05),3.9x-13(56.5x-28.6(6死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。

高一数学暑假预科讲义第一节 集合的含义与表示随堂练习1、下列说法正确的是（ ）A.若,N a ∈-则N a ∈B.方程0442=+-x x 的解集为{}2,2C.高一年级最聪明的学生可构成一个集合D.在集合N 中，1不是最小的数2、-3、集合{}2,1,12--x x 中x 不能取的值是（ ）A.2B.3C.4D.54、方程组⎩⎨⎧=-=+0,2y x y x 的解构成的集合是( ) A.{})1,1( B.{}1,1 C.()1,1 D.{}1 4、若{},1,3,132+-∈-m m m 则._______=m5、集合{}Z x x x y y x ∈≤-=,1||,1|),(2，用列举法表示为.________6、由332,|,|,,x x x x x --组成的集合，元素的个数最多为几个？7、已知集合M 满足条件：若,M a ∈则).0,1(11≠±≠∈-+a a M a a 若,3M ∈试求集合.M8、#9、已知集合{},,023|2R x x ax x A ∈=+-=若A 中的元素至多有一个，求a 的取值范围.第二节 集合间的基本关系随堂练习1、设{},62,8|=≤=a x x P 则下列关系中正确的是（ ）A.P a ⊆B.P a ∉C.{}P a ⊆D.{}P a ∈2、集合{}3,2,1=M 的真子集的个数是（ ）A.6B.7C.8D.93、~4、设集合{}{},,|),(,,|22R x x y y x Q R x x y y P ∈==∈==则P 与Q 的关系是A.Q P ⊆B.Q P ⊇C.Q P =D.以上都不正确4、已知集合A {},7,3,2且A 中至多有一个奇数，则这样的集合A 有A.3个B.4个C.5个D.6个5、已知集合{},12,3,1--=m A 集合{},,32m B =若,A B ⊆则.________=m6、设集合{}{},1212|,23|+≤≤-=≤≤-=k x k x B x x A 且,B A ⊇则实数k 的取值范围是.____________7、已知集合{}{},,01|,0158|2A B ax x B x x x A ⊆=-==+-=求实数a 的不同取值组成的集合.8、已知集合{}{},0))(1(|,31|=--=≤≤=a x x x B x x A（1）·（2）当集合B 是A 的子集时，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a 使得B A =成立？第三节 集合的基本运算1、！2、设集合{}{},23|,312|<<-=<+=x x B x x A 则=B A （ ）A.{}13|<<-x xB.{}21|<<x xC.{}3|->x xD.{}1|<x x2、设集合,21|,2|⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z x x N Z x x M 则=N M （ ） A.∅ B.M C.Z D.{}03、集合{},2,1=A 则满足{}3,2,1=B A 的集合B 的个数是( )A.1B.3C.4D.84、若,,C D C A B A == 则( )A.D C B A ⊆⊆,B.D C A B ⊆⊆,C.C D B A ⊆⊆,D.C D A B ⊆⊆, 5、`6、设集合{}{},,2|||,4,3,2,1R x x x Q P ∈≤==则._______=Q P7、已知集合{}{},1|,1,1==-=mx x B A 且,A B A = 则._______=m8、设二次方程：05,01522=+-=+-q x x px x 的解集分别为B A 、且{}{},3,5,3,2==B A B A 试求B A 、及q p 、的值.9、已知全集{}{}{},9,1)()(,2,9,8,7,6,5,4,3,2,1===B C A C B A U U U{},8,6,4)(=B A C U 试确定.B A 、10、若{}{},73,22,3,4,72,4,223223++++-+-=+--=a a a a a a B a a a A 且{},5,2=B A 试求a 的值.]第四节 函数的概念随堂练习1、集合{}{},20|,40|≤≤=≤≤=y y B x x A 下列对应中不表示从A 到B 的函数的是（ ）A.x y x f 21:=→B.x y x f 31:=→C.x y x f 32:=→ D.x y x f =→: | 2、下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）A. x x f =)(与2)()(x x g =B. x x f =)(与33)(x x g =C. x x x f =)(与⎩⎨⎧<->=)0(,)0(,)(22x x x x x g D. 11)(2--=x x x f 与)1(1)(≠+=t t t g 3、已知函数.1112)(xx x f -+-= （1）求函数)(x f 的定义域（用区间表示）；（2）求)32(),2(f f 的值.4、已知,11)(,12)(2+=-=x x g x x f 求]2)([)]([)(2+x f g x g f x f 、、 5、若函数344)(2++-=mx mx x x f 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是._ . 6、若函数862++-=a x ax y 的定义域为一切实数，求a 的取值范围.7、已知函数⎩⎨⎧>+≤-=)4(42)0(2)(2x x x x x f ，则)(x f 的定义域为___,[].____)4(=-f f 8、已知)(x f 的定义域为]2,3[-，求函数)()()(x f x f x g -+=的定义域.9、设函数)(x f 的定义域为]1,0[，求函数)1()(2-=x f x h 的定义域.10、已知)1(+x f 的定义域为]3,0[求)(x f 的定义域.11、已知)4(2+x f 的定义域为]2,1[，求)(x f 的定义域. 第五节 函数的表示、值域、解析式解法随堂练习！1、下列四个命题正确的有_________.（1）函数是定义域到值域的映射；（2）x x y -+-=23是函数；（3）函数)(2N x x y ∈=的图象是一条直线；（4）⎩⎨⎧<-≥=)0(,)0(,22x x x x y 的图象是条抛物线. 2、某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水用水量分别为x x 3,5吨.求y 关于x 的函数；3、分别画出下列函数的图象（1）.1||22--=x x y@（2）.|12|2--=x x y4、函数值域的求法（1）（观察法）求函数x y 323-+=的值域.（2）（反函数法）求函数21++=x x y 的值域.（3）（分离常数法）形如bax d cx y ++=，求函数21++=x x y 的值域. 212,2312,121,212++-=++=++=++=x x y x x y x x y x x y （4）（配方法）求函数22++-=x x y 的值域.（5）（判别式法）求函数132222+-+-=x x x x y 的值域. ,（6）（图象法）求函数2)2(|1|-++=x x y 的值域.（7）（换元法）求函数123++-=x x y 的值域.5、函数解析式的解法（1）直接法已知,22)1(2++=+x x x f 求).3(),3(),(+x f f x f（2）换元法已知,22)1(2++=+x x x f 求).3(),3(),(+x f f x f（3）待定系数法*已知)(x f 是一次函数，且满足,43)]([+=x x f f 求)(x f 的解析式.（4）赋值法设)(x f 满足关系式,3)1(2)(x xf x f =+求)(x f 的解析式.@第六节 函数的单调性与最大（小）值\随堂练习1、函数)(x f 在区间]3,2[-上是增函数,则)5(+=x f y 的递增区间是（ ）A.]8,3[B.]2,7[--C.]5,0[D.]3,2[-2、函数322--=ax x y 在区间]2,1[上是单调函数，则a 满足的条件是._3、已知函数.|34|)(2+-=x x x f 求函数)(x f 的单调区间，并指出其增减.4、判断函数1)(3+-=x x f 在)0,(-∞上是增函数还是减函数并证明.5、讨论函数的单调性，)0,11(1)(2≠<<--=a x x ax x f 6、求12)(2--=ax x x f 在区间]2,0[上的最小值.7、$8、若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是.________ 9、函数245x x y --=的递增区间是.__________（复合函数的单调性）10、已知定义在R 上的函数)(x f 对任意实数21,x x ,满足,2)()()(2121++=+x f x f x x f 且当0>x 时，有.2)(->x f 求证：)(x f 在R 上是增函数.10、定义在区间()+∞,0上的函数)(x f 满足)()()(2121x f x f x x f -=且当1>x 时，,0)(<x f 试判断)(x f 的单调性，并当1)3(-=f 时，解不等式.2|)(|-<x f· 第七节 函数的奇偶性随堂练习1、判断下列函数的奇偶性（1）;1)(3xx x f -= （2）;)(32x x x f -=（3）;11)(22x x x f -+-= （4）;2112x x y -+-=（5）.)0(2)0(0)0(2)(22⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+=x x x x x x f 2、已知)(x f 在R 上是奇函数，且满足),()4(x f x f =+当)2,0(∈x 时，22)(x x f =，则.__________)2011(=f3、函数32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则)(x f 在区间)3,5(--上（ ） }A 、先减后增B 、先增后减C 、单调递减D 、单调递增4、已知函数)(x f y =为奇函数，若,1)2()3(=-f f 则._____)3()2(=---f f5、设函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数，则.______=a6、函数)(x f 在R 上为奇函数，且),0(,1)(>+=x x x f 则当0<x 时，.________)(=x f7、设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b x x f x ++=22)(（b 为常数），则.__________)1(=-f8、若)(x f 是R 上周期为5的奇函数且满足,2)2(,1)1(==f f 则.________)4()3(=-f f9、函数)(x f 的定义域为R ，且满足：)(x f 是偶函数，)1(-x f 是奇函数，若,9)5.0(=f 则=)5.8(f ________.10、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有).()2(x f x f -=+当∈x [0,2]时，22)(x x x f -=.；（1）求证：)(x f 是周期函数；（2）当∈x [2,4]时，求)(x f 的解析式；（3）计算)2011()2()1()0(f f f f +⋅⋅⋅+++的值. 第八节 函数单调性与奇偶性的综合运用1、定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，且).2()(x f x f -=若)(x f 在区间[1,2]上是减函数，则)(x f 在区间[-2,-1]上是___函数，在区间[3,4]上是____函数.2、定义在R 上的偶函数)(x f ，满足),()1(x f x f -=+且在区间]0,1[-上位递增，则)2(),3(),2(f f f 的大小关系.3、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，,2)(2x x x f +=若),()2(2a f a f >-则实数a 的取值范围是._____________{4、已知)(x f 是奇函数，定义域为{},0,|≠∈x R x x 又)(x f 在),0(+∞上是增函数，且,0)1(=-f 则满足0)(>x f 的x 的取值范围.5、已知函数)(x f 对于任意R y x ∈,,总有),()()(y x f y f x f +=+且当0>x 时，.32)1(,0)(-=<f x f（1） 求证：)(x f 在R 上是减函数；（2） 求)0(f 的值；（3） 证明函数)(x f 是奇函数；（4） 求)(x f 在[-3,3]上的最大值和最小值.6、设)(x f 是R 上的偶函数，在区间)0,(-∞上递增，且有),123()12(22+-<++a a f a a f 求a 的取值范围.~7、已知)(x f y =是偶函数，且在),0[+∞上是减函数，求函数)1(2x f -的单调递增区间.第九节 高一数学第一学期学情调研第Ⅰ卷：（选择题共10小题，每题5分）1、已知集合{}{}，圆，直线==N M 则N M 中元素个数是（ ）A.0B.0或1C.0或2D.0或1或22、集合{}{}=≤∈=<≤∈=N P x Z x M x Z x P 则,9|,30|2( )A.{}2,1B.{}2,1,0C.{}3,2,1D.{}3,2,1,0 3、—4、下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）A.2)(|,|)(x x g x x f ==B.22)()(,)(x x g x x f ==C.1)(,11)(2+=--=x x g x x x f D.1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f 5、已知函数=∈⎩⎨⎧<+≥-=)8(,,)10)](5([)10(3)(f N n n n f f n n n f 则其中（ ）A.6B.7C.2D.4 6、设集合U 是实数集R ，{}{}13|,4|2<≥=>=x x x N x x M 或 都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.{}12|<≤-x x B.{}22|≤≤-x x;C.{}21|≤<x xD.{}2|<x x7、48373)27102(1.0)972(03225.0+-++--π的值为（ ）A.99B.5399 C.100 D.531008、某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有（ ）人. A.5 B.7 C.8 D.108、设函数),()2(,32)(x f x g x x f =++=则)(x g 的表达式是（ ） A.12+x B.12-x C.32-x D.72+x9、)(x f 是定义在]6,6[-上的函数，且对任意R y x ∈,，都有),()()(y f x f y x f -=+当)1()3(f f >-时，下列各式一定成立的是（ ）!A.)6()0(f f <B.)2()3(f f >C.)3()1(f f <-D.)0()2(f f >10、设函数1)(+-=x b x x f 满足)4()1(f f =，若)(x f 的值域为],5,1[-则x 的取值范围是（ ）A.]4,2[B.]16,4[C.]16,4[]1,0[D.]4,2[]1,0[ 11、化简：.__________])()1)[(1(21212=----x x x12、函数||)3(x x y --=的递增区间是.________13、已知函数)(x f 是R 上的奇函数，当0≥x 时，).1()(+=x x x f 若,2)(-=a f 则实数.______=a14、有下列几个命题：①函数122++=x x y 在),0(+∞上不是增函数； —②函数11+=x y 在),1()1,(+∞---∞ 上是减函数；③函数245x x y -+=的单调区间是),2[+∞-； ④已知)(x f 在R上是增函数，若,0>+b a 则有).()()()(b f a f b f a f -+->+其中正确命题的序号是.__________第Ⅱ卷（非选择题，试题70分规范评价3分，共67分） 填空题答案： 11.}12._________ 12.________ 13.________ 14.________15、（本小题满分9分）画出函数|32||1|++-=x x y 在区间)3,4[-的图象16、（本小题满分9分）函数)0)((≠=x x f y 是奇函数，且当),0(+∞∈x 时是增函数，若,0)1(=f 求不等式0)1(<-x f 的解集.，17、（本小题满分10分）已知函数a ax x x f -++-=12)(2在]1,0[∈x 时有最大值2，求a 的值..18、（本小题满分11分）设全集R I =，已知集合{}{}06|,0)3(|22=-+=≤+=x x x N x x M（1）求N M C I )(（2）记集合,)(N M C A I =已知{},,51|R a a x a x B ∈-≤≤-=若,A A B = 求实数a 的取值范围.—19、（本小题满分12分）利用函数单调性的定义谈论函数xxxf-+=2)(的单调性，并求函数在]2,2[-上的值域..第十节讲评高一数学第一学期学情调研第Ⅰ卷：（选择题共10小题，每题5分）1、—2、已知集合{}{}，圆，直线==NM则NM 中元素个数是（A）A.0B.0或1C.0或2D.0或1或23、集合{}{}=≤∈=<≤∈=N P x Z x M x Z x P 则,9|,30|2( B ) A.{}2,1 B.{}2,1,0 C.{}3,2,1 D.{}3,2,1,04、下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ A ） A.2)(|,|)(x x g x x f == B.22)()(,)(x x g x x f ==C.1)(,11)(2+=--=x x g x x x f D.1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f 5、已知函数=∈⎩⎨⎧<+≥-=)8(,,)10)](5([)10(3)(f N n n n f f n n n f 则其中（B ）￥A.6B.7C.2D.46、设集合U 是实数集R ，{}{}13|,4|2<≥=>=x x x N x x M 或 都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（A ） A.{}12|<≤-x x B.{}22|≤≤-x x C.{}21|≤<x x D.{}2|<x x7、48373)27102(1.0)972(03225.0+-++--π的值为（ C ）A.99B.5399C.100D.531008、某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有（ C ）人. ）A.5B.7C.8D.108、设函数),()2(,32)(x f x g x x f =++=则)(x g 的表达式是（B ） A.12+x B.12-x C.32-x D.72+x9、)(x f 是定义在]6,6[-上的函数，且对任意R y x ∈,，都有),()()(y f x f y x f -=+当)1()3(f f >-时，下列各式一定成立的是（ C ） A.)6()0(f f < B.)2()3(f f > C.)3()1(f f <- D.)0()2(f f > 10、设函数1)(+-=x b x x f 满足)4()1(f f =，若)(x f 的值域为],5,1[-则x 的取值范围是（ B ）A.]4,2[B.]16,4[C.]16,4[]1,0[D.]4,2[]1,0[ 11、化简：421212])()1)[(1(X x x x --=----12、》13、函数||)3(x x y --=的递增区间是].23,0[14、已知函数)(x f 是R 上的奇函数，当0≥x 时，).1()(+=x x x f 若,2)(-=a f 则实数.1-=a15、有下列几个命题：①函数122++=x x y 在),0(+∞上不是增函数； ②函数11+=x y 在),1()1,(+∞---∞ 上是减函数； ③函数245x x y -+=的单调区间是),2[+∞-； ④已知)(x f 在R上是增函数，若,0>+b a 则有).()()()(b f a f b f a f -+->+其中正确命题的序号是 ④）第Ⅱ卷（非选择题，试题70分规范评价3分，共67分） 填空题答案：11._________ 12.________ 13.________ 14.________15、（本小题满分9分）画出函数|32||1|++-=x x y 在区间)3,4[-的图象⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤+<<-+-≤≤---=)31(23)123(4)234(23x x x x x x y%16、（本小题满分9分）函数)0)((≠=x x f y 是奇函数，且当),0(+∞∈x 时是增函数，若,0)1(=f 求不等式0)1(<-x f 的解集..0)1(,0110)1-(0-)()(.0)1(,211100)1(0)(<-<-<-∴=∞<-<<<-<∴=∞+x f x x f x f x f x f x x f x f 时，即当）上单调递增，，在（是奇函数，又时，即当）上单调递增，，在（ 17、（本小题满分10分）已知函数a ax x x f -++-=12)(2在]1,0[∈x 时有最大值2，求a 的值.a abx =-=2 2.a -1a 2.a 2,(1)(x)]1,0[)(,13)(251a 2,(a)(x),10(2)-1;a 2,(0)(x)]1,0[)(,0)1(max max max =====>±===<<===≤或综上所述，解得上单调递增，在时）当（；舍解得时当解得上单调递减，在时当f f x f a f f a f f x f a18、（本小题满分11分）设全集R I =，已知集合{}{}06|,0)3(|22=-+=≤+=x x x N x x M（1）}（2）求N M C I )(（3）记集合,)(N M C A I =已知{},,51|R a a x a x B ∈-≤≤-=若,A A B = 求实数a 的取值范围. (1){}2(2)A B A A B ⊆⇔=∅=B ,3,51>->-a a a 即{}2,=∅≠B B 3=a19、（本小题满分12分）利用函数单调性的定义谈论函数x x x f -+=2)(的单调性，并求函数在]2,2[-上的值域.任取]2,2[,21-∈x x 设21x x < &]49,0[]2,2[)(.2)2()(,49)47()(,]2,47[)(;0)()(,0)122(247.0)2()(,49)47()(]47,2[)(;0)()(,0)122(472-22)122)((........................22)(.......................22)()(min max 212121min max 212121212121211221221121上的值域是在上单调递减在时，当上单调递增，在时，当-∴====∴>-<--+-≤<<=-===-∴<->--+-≤<≤-+---+--=-+--+-=----+=-x f f x f f x f x f x f x f x x x x f x f f x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f第十一节 指数与指数幂的运算随堂练习1、化简：778888)()(b a b a b -+++2、若,310,210==n m 则._____2310=-nm 3、.______)3()3(22=⋅ 4、;5、.________39623223=⨯+⨯--6、设,30,5,363===c b a 则c b a ,,的大小关系为._____________7、设,21=+-x x 则._________22=+-x x8、._______2222824=⋅⋅⋅9、.________)008.0()1.88()94(31021=+-+-9、化简化简下列各式 （1）;)(65312121132ba bab a ⋅⋅⋅⋅---（2）;)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a)（3）.48373)27102(1.0)972(03225.0+-++--π（4）.__________)()(13212153323=⋅⋅⋅----a a a a 10、计算.________625625=++- 11、计算._______525233=-++12、设),(21,011n na a x a --=>求n x x )1(2++的值.…第十二节 指数函数及其性质随堂练习1、当0>>n m ，确定下列各组数的大小. ①m )53(与n )53( ②m )4.1(与n )4.1( ③m )25(与n )25( ④m )3(π与n )3(π2、根据下列等式决定m 是正数还是负数？ ①710=m ②43)65(=m ③25)32(=m ④6.0)47(=m 3、比较下列各组数的大小①81.0)107(与92.0)731( ②8.07.1与1.39.0 ③3.08.0-与1.09.4-{4、设,3,02121=+>-aa a 则._________11122=++++--a a a a 5、将指数函数)(x f 的图象向右平移一个单位，得到如图所示的)(x g 的图象则._________)(=x f 6、函数)1,0(≠>=a a a y x 在[1,2]上的最大值比最小值大,2a 则.______________=a7、若函数)1,0(1)(≠>-=a a a x f x 的定义域和值域都是[0,2],则实数a=____.8、已知定义域为R 的函数abx f x x ++-=+122)(是奇函数.（1）求b a ,的值；（2）若对任意的,R t ∈不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 取值范围.9、设,)52(,)52(,)53(525352===c b a 则a,b,c 的大小关系是_________.，已知函数,22)(-=x x f 则函数|22|-=x y 的图象大致为10、求函数1313)(+-=x x x f 的值域.11、求函数432)21(+--=x x y 的定义域、值域及单调区间.12、设x x eaa e x f a +=>)(,0是R 上的偶函数.（1）求a 的值；（2）求证函数)(x f 在),0(+∞上是增函数. 13、解下列不等式 （1）);1(13722>>+-a a x x —（2）).10(5213222<<>-++-a a a x x x x14、在同一直角坐标系画出x x x 4,3,2的图象 15、在同一直角坐标系画出x x x )41(,)31(,)21(的图象(第十三节 对数与对数运算随堂练习 1、<2、求下列各式的值①81log 31 ②2719log③001.0lg ④7log 71 ⑤5log 212⑥5log 2)41(3、求下列各式中的x 的值①32log 3-=x ②1)12(log -=-x ③25)(log 22=x 4、不查表计算①27lg 81lg 3lg 27lg 539lg 523lg --++ ②2lg 50lg 5lg 2⋅+ ③212222)12(log 14lg 2lg 22lg 5lg -++---+ ④245lg 8lg 344932lg 21+- ⑤).347(log )32(-+5、（6、已知,2log 3a =则.________24log 6=7、._____8log 7log 6log 5log 4log 3log 765432= 8、已知,0)](log [log log 237=x 则._________21=-x9、.______)2log 2)(log 3log 3(log 9384=++ 10、.______)223(log12=+-11、设c b a ,,都是正数，且,643c b a ==那么下列等式中成立的是（ ） A.b a c 111+= B.b a c 122+= C.b a c 221+= D.ba c 212+=[第十四节 对数函数及其性质随堂练习1、比较下列各组数的大小①4log 3.0和7.0log 2.0 ②7.4log 3.1和6.3log 9.1 ③3.02与23.0与3.0log 2 2、求下列各函数的定义域①)32(log 2--=x x y a (1,0≠>a a ) ②)13(log 5.0-=x y ③)12(log 25-=-x y x ④)54(log 22--=x x y3、设,1>a 函数x y a log =在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为,21则.__=a4、设,)21(,,log ,log 3.03121231===c b a 则a,b,c 的大小关系是_________.5、解不等式 ①)65(log )32(log 22->+x x ②121log <x6、设,log ,,)(log ,log 5423545===c b a 则a,b,c 的大小关系是_________.7、设c b a ,,分别是方程x x x x x x 22121log )21(,log )21(,log 2===的实数根，则a,b,c 的大小关系是_________.8、已知])3[(log )(a x a ax f --=是其定义域上的增函数，那么a 的取值范围？ 9、已知函数),1,0(log )(≠>=a a x x f a 如果对任意的),3(+∞∈x ，都有1|)(|≥x f 成立，试求a 的取值范围.10、已知),10(|,log |)(<<=a x x f a 则)41(),2(),31(f f f 的大小关系为____. 11、在同一直角坐标系画出x x x 432log ,log ,log 的图象. 12、在同一直角坐标系画出x x x 413121log ,log ,log 的图象.第十五节 幂函数随堂练习1、比较下列各组数的大小 ①3032与2023 ②1816与16182、若,)21(,)51(,)21(313232===c b a 那么c b a ,,的大小关系为.__________3、分别指出幂函数αx y =的图象具有下列特点之一时的α的值，其中⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,2,1,21,1α①过原点递增②不过原点，不与坐标轴相交，递减 ③关于原点对称且通过原点４、幂函数)(x f 的图象经过点),3,3(则)(x f 的解析式是________.５、若函数97222)199(--+-=m m xm m y 是幂函数，且图象不过原点，求m 的值.６、若),1,0(∈x 则下列结论正确的是（ ） A. x x xlg 221>> B. 21lg 2x x x>>C. x x xlg 221>> D. x x x 2lg 21>>７、已知幂函数)()(322Z m xx f m m ∈=++-为偶函数，且)5()3(f f <，求m 的值，并确定)(x f 的解析式.８、直线1=y 与曲线a x x y +-=||2有4个交点，则a 的取值范围是_____.９、函数3x y =与xy 1=的图象的交点坐标为___________. １0、已知函数xx x f 1)(-=，求证：)(x f 在其定义域上为增函数.。

第01讲集合的概念1．通过实例了解集合的定义，体会元素与集合间的属于关系；2．能通过自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合的意义和作用；一、集合的含义与表示1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a ，b ，c ，…表示．2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A ，B ，C ，…表示．二、元素的三个特性1、确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合。

例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等2、互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．三、元素与集合关系的判断及应用1、属于与不属于概念：（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ．（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A ．2、常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N*N 或+N ZQ R四、集合的两种表示方法1、列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．【注意】(1)元素与元素之间必须用“，”隔开；(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复；(4)集合中的元素可以是任何事物．2、描述法：一般地，设A 表示一个集合，把集合A 中所有具有共同特征P (x )的元素x 所组成的集合表示为{x ∈A |P (x )}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．考点一：判断元素是否构成集合例1．下列各组对象不能构成集合的是（）A ．上课迟到的学生B ．2022年高考数学难题C ．所有有理数D ．小于x 的正整数【变式训练】下列各选项中能构成集合的是（）A ．学生中的跑步能手B ．中国科技创新人才C ．地球周围的行星D ．唐宋散文八大家考点二：判断元素与集合的关系例2．给出下列关系：①12ÎR ÏR ；③3-∈N ；④3Q -∈．其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式训练】（多选）给出下列关系中正确的有（）A ．1R3∈B Q C ．3Z-∉D ．N考点三：集合中元素互异性的应用例3．设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，则实数m=（）A ．0B ．1-C ．0或1-D ．0或1【变式训练】若{}31,3,a a ∈-，则实数a 的取值集合为______．考点四：用列举法表示集合例4．方程组13x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集是（）A ．{}2,1-B ．{}2,1x y ==-C ．(){},2,1x y -D ．(){}2,1-【变式训练】集合+6=Z,N C x x x ∈∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭用列举法表示为________．考点五：用描述法表示集合例5．（多选）集合{1,2}用描述法可以表示为（）A ．{Q 03}x x ∈<<∣B ．{}*13x x ∈-<<N ∣C ．{N12}x x ∈≤≤∣D ．{}2320xx x -+=∣【变式训练】所有正奇数组成的集合用描述当表示为_________．1．下列四组对象能构成集合的是（）A ．高一年级跑步很快的同学B ．晓天中学足球队的同学C ．晓天镇的大河D ．著名的数学家2．已知集合(){}|10M x x x =-=,那么（）A ．0M∈B ．1M∉C ．1M-∈D ．0M∉3．（多选）已知集合12=N,Z 8A x x x ⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭，则下列属于集合A 的元素有（）A ．4-B ．3C ．4D ．64．（多选）下列说法中，正确的是（）A 2B ．自然数集N 中最小的元素是0C ．在数集Z 中，若a ∈Z ，则a -∈ZD ．一个集合中可以有两个相同的元素5．（多选）以下命题中正确的是（）A ．所有正数组成的集合可表示为{}0x x >B ．大于2020小于2023的整数组成的集合为{}20202023x x <<C ．全部三角形组成的集合可以写成{全部三角形}D ．N 中的元素比N +中的元素只多一个元素0，它们都是无限集6．下列各种对象的全体可以构成集合的是______．（填写序号）①高一（1）班优秀的学生；②高一年级身高超过1.60m 的男生；③高一（2）班个子较高的女生；④数学课本中的难题．7．已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，(){},,,B x y x A y A xy A =∈∈∈，则集合B 中的元素个数为________．8．已知{}2312,4,a a a -∈+，则实数=a _______.9．表示下列集合：（1210y ++=的解集；（2）请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；（3）请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；（4）请用描述法表示二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合．10．已知集合{}2210,R A xax x a =++=∈∣.（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围.12220x x ++=的实数解；④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③④2．下列元素与集合的关系中，正确的是（）A ．1-∈NB ．*0N ∉C QD ．2R5∉3．已知集合{}212,4,2A a a a =+-，3A -∈，则=a （）A ．-1B ．-3或-1C ．3D ．-34．下列说法：①集合{}3N |x x x ∈=用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x |x 为所有实数}或{}R ；③一次函数y ＝x ＋2和y ＝－2x ＋8的图像象交点组的集合为{x ＝2，y ＝4}，正确的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．05．（多选）下列说法中，正确的是（）A ．若a ∈Z ，则a -∈ZB ．R 中最小的元素是0CD ．一个集合中不可以有两个相同的元素6．由下列对象组成的集体属于集合的是_____(填序号).①不超过10的所有正整数;②高一(6)班中成绩优秀的同学;③中央一套播出的好看的电视剧;④平方后不等于自身的数.7．已知集合A 中含有两个元素3a -和21a -．（1）若2-是集合A 中的元素，试求实数a 的值；（2）5-能否为集合A 中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．8．用另一种方法表示下列集合:（1）{}31135--，，，，;（2）{}2221234 ，，，;（3）已知{}23M =，，(){}|P x y x M y M =∈∈，，，写出集合P ;（4）集合{}Z 22|A x x =∈-≤≤，{}21|B x x A =-∈，写出集合B .。

专题一集合、集合间的关系、集合的运算一、学法指导与考点梳理1.集合的概念及其表示⑴.集合中元素的三个特征：①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“∉”表示）．⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法．(4).常见的数集及其表示符号2.集合间的基本关系3.集合之间的基本运算【名师提醒】1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1. 2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()UUAB A B U ⇔=∅⇔= .3．奇数集：{}{}{}21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z .4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N 对加法运算是封闭的;整数集Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F 是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F 中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F 中的数,即运算封闭,则称F 为数域.5. 德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()()UUU A B A B ；②交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU AB A B ．二、重难点题型突破考点1 集合的概念及其表示归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 例1.（1）（集合的确定性）下列各组对象中不能形成集合的是( ) A ．高一数学课本中较难的题 B ．高二（2）班学生家长全体 C ．高三年级开设的所有课程D ．高一(12)班个子高于1.7m 的学生【思路分析】集合内的元素要满足：确定性，无序性，互异性．【答案】解：高一数学课本中较难的题不满足确定性，故不是集合；故选：A ．【点睛】本题考查了集合内的元素的特征，要满足：确定性，无序性，互异性，属于基础题． （2）．（2020·全国高一）（集合的互异性）已知集合(){}21,1A m m =+-，若1A ∈，则m =______.【解析】依题意11m +=或()211m -=，解得0m =或2m =；由集合中元素的互异性可知当0m =时，集合的两个元素相等，不合题意；所以2m =.故答案为：2.【变式训练1】（集合的确定性）考察下列每组对象，能构成集合的是( ) ①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ③不小于3的自然数； ④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者． A ．③④ B ．②③④ C ．②③ D ．②④【解析】①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B. 考点2 元素与集合的关系(1)属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A . (2)不属于：如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A . (3)常见的数集及表示符号归纳总结：(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、V enn 图等来直观解决这类问题．例2．（2020·河北省河北正中实验中学高一期末）（整数集合元素个数）已知集合{}|21,A x x x Z =-<≤∈，则集合A 中元素的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】{}{}|21,1,0,1A x x x Z =-<≤∈=-，所以集合A 中元素的个数为3.故选：D. 例3.（单元素集合）若集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ，求a 、b 的值． 【答案】解：∵集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ， ∴a 2+a 2+b ＝a 且△＝（a ﹣1）2﹣4b ＝0解得a ＝31，b ＝91．故a 、b 的值分别为31，91.【变式训练1】设集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R } （1）当A 中元素个数为1时，求：a 和A ；（2）当A 中元素个数至少为1时，求：a 的取值范围； （3）求：A 中各元素之和． 【思路分析】（1）推导出a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，由此能求出a 和A ．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，由此能求出a 的取值范围．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素．【答案】解：（1）∵集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R }，A 中元素个数为1， ∴a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，解得a ＝0，A ＝{21-}或a ＝1，A ＝{﹣1}．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，解得a ≤1，∴a 的取值范围是（﹣∞，1]．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-； 当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素． 考点3 集合间的基本关系 1.集合A 中含有n 个元素，则有(1)A 的子集的个数有2n 个．(2)A 的非空子集的个数有2n －1个． (3)A 的真子集的个数有2n －1个．(4)A 的非空真子集的个数有2n －2个．2.空集是任何集合的子集，因此在解A ⊆B (B ≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A ＝∅和A ≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．例4．（2020·全国高一）（空集是任何非空集合的子集）已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.【解析】由B A ⊆可得：当B =∅,则121m m +>-，∴2m <，当B ≠∅,则m 应满足:12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,解得23m ≤≤，综上得3m ≤; ∴实数m 的取值范围是(],3-∞.故答案为:(],3-∞.【变式训练1】．（2019·浙江省温州中学高一月考）（子集与真子集个数问题）已知集合21,,{1}A a a =-，若0A ∈，则a =______；A 的子集有______个.【解析】∵集合21,,{1}A a a =-，0A ∈，∴0a =或2101a a ⎧-=⎨≠⎩，解得0a =或1a =-.A 的子集有328=个.故答案为：0或1-，8.考点4 集合的基本运算1.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的并集，记作A ∪B ；符号表示为A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B } 2．并集的性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ⊆A ∪B .3.对于两个给定的集合A 、B ，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的交集，记作A ∩B 。

高一数学暑假复习专题1集合一、知识点回顾： 1、定义：例一、判断下列集合是否为同一个集合①{}(){}1,2,1,2A B ==②{}{}|05,|05A x N x B x R x =∈<≤=∈<≤ ③{}(){}|21,,|21A y y x B x y y x ==+==+④{}{}|5,|5A x x B y y =>=>2、元素与集合的关系例二、用适当的符号填空：∅ {}a ；{}a {},a b ；{}a {}a ；∅ {}a ；{}1,2,3 {}1,2,3,4；∅ ∅3、集合与集合的关系例三、若集合{}{}21,3,,,1A x B x ==，且B A ⊆，则x =例四、已知集合{}{}14,A x x B x x a =≤<=<，若A B ≠⊂，则实数a 的取值集合为例五、满足{}{}11,2,3M ≠⊆⊂的集合M 为4、集合的运算1、交集：一般地，对于两个给定集合,A B ，由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合，叫做,A B 的交集。

记作：AB2、交集的性质：A B B A = A A A =； A A ∅=∅=∅如果A B ⊆，则A B A =。

3、并集：一般地，对于两个给定集合,A B ，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做,A B 的并集。

记作：A B4、并集的性质：A B B A = A A A =； A A A ∅=∅=如果A B ⊆，则A B B =5、补集：如果给定的集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集。

记作“A C U ”6、补集的性质： U A C A U =⋃φ=⋂A C A U A A C C U U =)(★经典例题：例一、已知集合{}{}{}0,1,2,4,5,7,1,4,6,8,9,4,7,9M N P ===， 则()()MN M P 等于例二、设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n =∈-Z ≤≤，则M N =例三、{}|13A x x =-≤<，{}|B x x a =≥，若AB =∅，则实数a 的取值范围是课堂检测1． 设全集,U R =集合{}1M x x =>，{}21P x x =>，则______M P2． 集合{}{}2320,10,P x x x Q x mx =-+==-=若P Q ⊇，则实数m 的值是 3．已知集合A 有n 个元素，则集合A 的子集个数有 个，真子集个数有 个 4．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m }．若B A ⊆，则实数m ＝ ． 5．已知含有三个元素的集合2{,,1}{,,0},ba a ab a=+求20042005a b +的值. 6、设集合{}()1(,)1,,1y U x y y x A x y x +⎧⎫==-==⎨⎬⎩⎭，则U C A = 7、已知集合{}{}2220,0A x x px B x x x q =+-==-+=，且{}2,0,1A B ⋃=-， 求实数,p q 的值。

教师姓名学生姓名年级高一上课时间学科数学课题名称集合的概念和表示集合的概念和表示一．知识梳理：1.集合中的相关概念：（1）元素与集合的概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个_____，也简称____。

集合中的每个A．第二象限内的点集B．第四象限内的点集C．第二、四象限内的点集D．不在第一、三象限内的点的集合答案：D．例6．集合A={a﹣2，2a2+5a，12}且﹣3∈A，求a答案：．例7．已知集合A={x|x2﹣2x+a＞0}，且1∉A，求实数a的取值范围答案：（﹣∞，1]．2.集合的表达例8．含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2,a+b,0}，求a2017+b2018 = _________答案：﹣1．例9．下列说法正确的有__________________（1）{x|∈N，x∈Q}是有限集合（2）{1，2}，{2，1}是两个不同的集合（3）{x|x2+x+2=0，x∈R}是空集（4）若集合A={k2﹣k，3k﹣3}则k≠3且k≠1．答案：（1）（3）（4）．例10．定义A﹣B={x|x∈A，且x∉B}，若M={1，2，3，4，5}，N={1，2，3，7}，求N﹣M答案：{7}例11．定义集合运算A⊙B={z|z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，求集合A⊙B 答案：{0，6，12}．例12．已知：集合A={0，2，3}，定义集合运算A※A={x|x=a+b，a∈A．b∈A}，求A※A答案：{0，2，3，4，5，6}．例13．已知集合A={（x，y）|y=2x+1}，B={（x，y）|y=x+3}，若a∈A，a∈B，求a的值答案：（2，5）．例14．用列举法表示集合{（x ，y ）|0≤x ≤1，0≤y ＜2，x ，y ∈Z }答案：{（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}1.设集合M ＝则（ ）A. B.C. a ＝ MD. a > M答案： B 2. 有下列命题：①是空集 ② 若，则③ 集合有两个元素 ④ 集合为无限集，其中正确命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3答案： A3. 下列集合中，表示同一集合的是（ ）A. M ＝{（3，2）} ， N ＝{（2，3）}B. M ＝{3，2} ， N ＝{（2，3）}C. M ＝{（x ，y ）|x ＋y ＝1}， N ＝{y|x ＋y ＝1}D.M ＝{1，2}， N ＝{2，1}答案： D4. 已知A ＝ {－2，－1，0，1}， B ＝ {x|x ＝|y|，y ∈A}， 则集合B ＝_________________ 答案： {0，1，2}5. 已知M ＝{2，a ，b}， N ＝{2a ，2，b 2}，且M ＝N 表示相同的集合，求a ，b 的值 答案：或。

第1课时集合的含义[A级基础巩固]一、选择题1．现有以下说法：①接近于0的数的全体构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合．其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．②④解析：①与③标准不明确，不满足确定性，不能构成集合；②与④中的对象都是确定的，而且都是不同的，能构成集合．答案：D2．下列各对象可以组成集合的是()A．中国著名的科学家B．2017感动中国十大人物C．高速公路上接近限速速度行驶的车辆D．中国最美的乡村解析：看一组对象是否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的，A，C，D选项没有一个明确的判定标准，只有B选项判断标准明确，可以构成集合．答案：B3．设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是()A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A解析：由于集合A中只含有一个元素a，由元素与集合的关系可知，a∈A，故选C.答案：C4．已知集合A中有四个元素0，1，2，3，集合B中有三个元素0，1，2，且元素a∈A，a∉B，则a的值为()A．0 B．1 C．2 D．3解析：因为a∈A，a∉B，所以由元素与集合之间的关系知，a＝3.答案：D5．由实数x，－x，|x|，x2，－x2所组成的集合中，其含有元素的个数最多为()A．2 B．3 C．4 D．5解析：因为x2＝|x|，－x2＝－|x|，故当x＝0时，这几个实数均为0；当x＞0时，它们分别是x，－x，x，x，－x；当x＜0时，它们分别是x，－x，－x，－x，x.最多表示两个不同的数，故集合中的元素最多为2个．答案：A二、填空题6．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．①不超过10的所有正整数；②高一(6)班中成绩优秀的同学；③中央一套播出的好看的电视剧；④平方后不等于自身的数．解析：①④中的对象是确定的，可以组成集合，②③中的对象是不确定的，不能组成集合．答案：①④7．若集合P含有两个元素1，2，集合Q含有两个元素1，a2，且P与Q 相等，则a＝________．解析：由于P与Q相等，故a2＝2，从而a＝± 2.答案：± 28．若1－a1＋a是集合A中的元素，且集合A中只含有一个元素a，则a的值为________．解析：由题意，得1－a 1＋a＝a ，所以a 2＋2a －1＝0且a ≠－1，所以a ＝－1± 2. 答案：－1± 2三、解答题9．若集合A 是由元素－1，3组成的集合，集合B 是由方程x 2＋ax ＋b ＝0的解组成的集合，且A ＝B ，求实数a ，b .解：因为A ＝B ，所以－1，3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的解．则⎩⎨⎧－1＋3＝－a ，－1×3＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－3.10．已知集合A 中含有三个元素a －2，2a 2＋5a ，12，且－3∈A ，求a 的值．解：因为－3∈A ，所以a －2＝－3或2a 2＋5a ＝－3，所以a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，a －2＝－3，2a 2＋5a ＝－3，集合A 不满足元素的互异性，所以a ＝－1舍去．当a ＝－32时，经检验，符合题意．所以a ＝－32.B 级 能力提升1．集合A 中含有三个元素2，4，6，若a ∈A ，且6－a ∈A ，那么a 为( )A ．2B ．2或4C ．4D ．0解析：若a ＝2，则6－2＝4∈A ；若a ＝4，则6－4＝2∈A ；若a ＝6，则6－6＝0∉A .故选B.答案：B2．设x ，y ，z 是非零实数，若a ＝x |x |＋y |y |＋z |z |＋xyz |xyz |，则以a 的值为元素的集合中元素的个数是______．解析：当x ，y ，z 都是正数时，a ＝4，当x ，y ，z 都是负数时a ＝－4，当x ，y ，z 中有1个是正数另2个是负数或有2个是正数另1个是负数时，a ＝0.所以以a 的值为元素的集合中有3个元素．答案：33．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．证明：(1)若a ∈A ，则11－a∈A . 又因为2∈A ，所以11－2＝－1∈A . 因为－1∈A ，所以11－（－1）＝12∈A . 因为12∈A ，所以11－12＝2∈A .所以A 中另外两个元素为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a， 即a 2－a ＋1＝0，方程无解．所以a ≠11－a，所以A 不可能为单元素集．。

暑假作业一（集合的含义与表示）一、知识梳理 1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法＋表示正整数集，不包含0. 二．每日一练 （一）、单选题1．如果{}1A x x =>-，那么错误的结论是（ ） A ．0A ∈B ．{}0A ⊆C ．A φ∈D ．A φ⊆2．已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，则集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈中元素的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知集合{}2|210,A x ax x a =++=∈R 只有一个元素，则a 的取值集合为（ ） A ．{1}B ．{0}C ．{0,1,1}-D ．{0,1}4．下列各对象可以组成集合的是（ ）A ．与1非常接近的全体实数B ．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．与无理数π相差很小的全体实数 5．下列集合与集合{}2,3A =相等的是（ ） A ．(){}2,3B ．(){},2,3x y x y ==C ．{}2560x x x -+=D ．{}2,3x y ==6．定义集合运算：{},,A B z z xy x A y B *==∈∈，设{1,2}A =，{1,2,3}B =，则集合A B *的所有元素之和为（ ）7．若由a 2，2019a 组成的集合M 中有两个元素，则a 的取值可以是（ ） A ．0 B ．2019 C ．1D ．0或20198．下面有四个语句:①集合N *中最小的数是0; ②-a ∉N ，则a ∈N ; ③a ∈N ，b ∈N ，则a +b 的最小值是2;④x 2+1=2x 的解集中含有两个元素. 其中说法正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3（二）、多选题9．已知集合(){}20A x ax bx c a b =++≤<中有且仅有一个元素，则34a b cM b a++=-的可能取值为（ ）A 1B ．C ．5D ．1110．下列各组中的M ，P 表示同一集合的是（ ）A ．M ={3，-1}，P ={(3，-1)}B ．M ={(3，1)}，P ={(1，3)}C ．M ={y |y =x -1}，P ={t |t =x -1}D ．集合M ={m |m +1≥5}，P ={y |y =x 2+2x +5，x ∈R }11．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是（ ）A ．P 是由元素1π构成的集合，Q 是由元素π，1，构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2，3构成的集合，Q 是由有序数对(2，3)构成的集合D ．P 是由满足不等式-1≤x ≤1的整数构成的集合，Q 是由方程x ()()1-1x x +=0的解构成的集合12．下列各组对象能构成集合的是（ ） A ．拥有手机的人 B ．2020年高考数学难题 C ．所有有理数 D ．小于π的正整数（三）、填空题13．集合{1，4，9，16，25}用描述法来表示为________.14．集合2{|(6)20}A x ax a x =+-+=是单元素集合，则实数a =________ 15．定义集合运算(){}|,,AB z z xy x y x A y B ==+∈∈，集合{}{}0,1,2,3A B ==，则集合AB 所有元素之和为________16．已知集合A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，且1∈A ，则2017a 的值为_________． （四）、解答题17．已知由实数组成的集合A ，1A ∉，又满足:若x A ∈，则11A x∈-． （1）设A 中含有3个元素，且2,A ∈求A ；（2）A 能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；（3） A 中含元素个数一定是*3()n n N ∈个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．18．已知{}20,1,1a a a ∈--，求a 的值．19．已知集合{}2320,,A x ax x x R a R =-+=∈∈.（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ； （3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围20．设A 是由一些实数构成的集合，若a ∈A ，则11a- ∈A ，且1∉A ， （1）若3∈A ，求A .（2）证明:若a ∈A ，则11A a-∈.21．用适当的方法表示下列集合：（1）大于2且小于5的有理数组成的集合． （2）24的正因数组成的集合． （3）自然数的平方组成的集合．（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．22．把下列集合用另一种方法表示出来： （1）{2,4,6,8,10}； （2）{|37}x N x ∈<<；参考答案1．C 解：{|1}A x x =>-，由元素与集合的关系，集合与集合关系可知：φ与A 是集合与集合关系，应是A φ⊆，故C 错2．C 因为集合{}1,2A =，{}2,4B =，所以集合{}2,4,8M =，3．D 解：①当0a =时，1{}2A =-，此时满足条件；②当0a ≠时，A 中只有一个元素的话，440a =-=，解得1a =，综上，a 的取值集合为{0，1}．4B A 中对象不确定，故错；B 中对象可以组成集合；C 中视力比较好的对象不确定，故错；D 中相差很小的对象不确定，故错. 5．C 集合A 表示数字2和3的集合.对于A ：集合中的元素代表点()2,3，与集合A 不同，A 错误； 对于B ：集合中的元素代表点()2,3，与集合A 不同，B 错误；对于C ：由2560x x -+=得：2x =或3x =，与集合A 元素相同，C 正确； 对于D ：表示两个代数式的集合，与集合A 不同，D 错误.6．A 由题设知：{1,2,3,4,6}A B *=，∴所有元素之和1234616++++=. 7．C 若集合M 中有两个元素，则a2≠2 019a.即a ≠0且a ≠2 019.8．A 因为N*是不含0的自然数，所以①错误;取，则∉N ，∉N ，所以②错误;对于③，当a=b=0时，a+b 取得最小值是0，而不是2，所以③错误; 对于④，解集中只含有元素1，故④错误. 故选：A9．BCD 由于集合(){}20A x ax bx c a b =++≤<中有且仅有一个元素，则0b a >>且240b ac ∆=-=，所以()()22223133434331b b a a b c a b c a ab b a a M b b a a b a ab a a⎛⎫++⋅ ⎪++++++⎝⎭====----，令10b t a =->，可得1bt a=+，所以，()()221311555555t t t t M t t t t ++++++===++≥=.当且仅当t =M 的最小值为5+. 10．CD在A 中，M={3，-1}是数集，P={(3，-1)}是点集，二者不是同一集合，故错误； 在B 中，M={(3，1)}，P={(1，3)}表示的不是同一个点的集合，二者不是同一集合，故错误；在C 中，M={y|y=x -1}={y|y ≥-1}，P={t|t=x -1}={t|t ≥-1}，二者表示同一集合，故正确；在D 中，M={m|m ≥4，m ∈R}，即M 中元素为大于或等于4的所有实数，P={y|y=(x+1)2+4}，y=(x+1)2+4≥4，所以P 中元素也为大于或等于4的所有实数，故M ，P 表示同一集合，故正确．11．AD 由于A ，D 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合， 而B ，C 中P ，Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合.12．ACD 根据集合的概念，可知集合中元素的确定性，可得选项A 、C 、D 中的元素都是确定的，故选项A 、C 、D 能构成集合，但B 选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合．13．{}2,,15x x k k N k +=∈≤≤因为2222211,42,93,164,255===== 所以集合{}{}21,4,9,16,25,,15x x k k N k +==∈≤≤ 故答案为：{}2,,15x x kk N k +=∈≤≤14．0，2或18当0a =时，13A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意；当0a ≠时，令()2680a a ∆=--=，即220360a a -+=，解得2a =或18 15．18当0,2,0==∴=x y z 当1,2,6==∴=x y z 当0,3,0==∴=x y z 当1,3,12==∴=x y z 和为0+6+12=1816．1当a ＋2＝1时，a ＝－1，此时有(a ＋1)2＝0，a2＋3a ＋3＝1，不满足集合中元素的互异性；当(a ＋1)2＝1时，a ＝0或a ＝－2，当a ＝－2，则a2＋3a ＋3＝1，舍去，经验证a ＝0时满足；当a2＋3a ＋3＝1时，a ＝－1或a ＝－2，由上知均不满足，故a ＝0，则2017a ＝1．17．（1）12,1,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭；（2）不存在这样的A ，理由见解析；（3）是，证明见解析.解：（1）因为若x A ∈，则11A x∈-，2,A ∈， 所以1112A =-∈-，()11112A =∈--，12112A =-∈，所以11,,22A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.（2）假设集合A 是仅含一个元素的单元素集合， 则11x x=-，即：210x x -+=， 由于30∆=-<，故该方程无解， 所以A 不能是仅含一个元素的单元素集.（3）因为1A ∉，x A ∈，则11A x∈-，则1111111x A x x x-==-∈--， 所以111x Ax x =∈--，故该集合有三个元素，下证x ，11x -，11x-互不相等即可. 假设11x x =-，则210x x -+=，该方程无解，故x ，11x-不相等， 假设11x x-=，则210x x -+=，该方程无解，故x ，11x -不相等，假设1111x x =--，则210x x -+=，该方程无解，故11x -，11x-不相等. 所以集合A 中含元素个数一定是*3()n n N ∈个.18．1a =-由已知条件得：若a ＝0，则集合为{0，﹣1，﹣1}，不满足集合元素的互异性，∴a ≠0；若a ﹣1＝0，a ＝1，则集合为{1，0，0}，显然a ≠1；若a2﹣1＝0则a ＝±1，由上面知a ＝1不符合条件；a ＝﹣1时，集合为{﹣1，﹣2，0}； ∴a ＝﹣1．19．（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；（3）{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.（3）综合（1）（2）即可得出结论.（1）若A 是空集，则方程ax2﹣3x+2＝0无解此时0,a ≠ ∆＝9-8a ＜0即a 98＞ 所以a 的取值范围为9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）若A 中只有一个元素则方程ax2﹣3x+2＝0有且只有一个实根当a ＝0时方程为一元一次方程，满足条件当a ≠0，此时∆＝9﹣8a ＝0，解得：a 98= ∴a ＝0或a 98=当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（3）若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素 由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.20．（1）123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭;（2）证明见解析.(1)因为3∈A ，所以11132A =-∈-， 所以12131()2A =∈--，所以13213A =∈-，所以123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭. (2)因为a ∈A ，所以11A a∈-，所以1111111a A a a a-==-∈---. 21．（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析． （1）用描述法表示为{x|2<x<5且x ∈Q}．（2）用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}． （3）用描述法表示为{x|x=n2，n ∈N}．（4）用列举法表示为{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}． 22．（1）{|2,x x k k Z =∈且15k ≤≤}；（2）{4,5,6}.（1）因为集合中的元素都是偶数，所以{2,4,6,8,10}={|2,x x k k Z =∈且15k ≤≤}； （2）{|37}x N x ∈<<={4,5,6}.。

第01讲集合的概念知识点一元素与集合的概念1．集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合，通常用大写拉丁字母来表示集合．2．元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．通常用小写拉丁字母表示．3．集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，那么称这两个集合相等．4．集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．特性含义确定性集合中的元素必须是确定的．因此，不能确定的对象不能组成集合，即给定一个集合，任何对象是不是这个集合中的元素，应该可以明确地判断出来互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．因此，集合中的任意两个元素必须都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素无序性集合中的元素可以任意排列知识点二元素与集合的关系1．属于：如果a是集合A的元素，那么就记作a A∈，读作“a属于A”．2．不属于：如果a不是集合A的元素，那么就记作a A∉，读作“a不属于A”．3．常见的数集及符号表示数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R考点一：集合的含义例1 (多选)判断下列每组对象，能组成一个集合的是( )A．某校高一年级成绩优秀的学生B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点C．不小于3的自然数D．2022年第24届冬季奥运会金牌获得者【总结】判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．变式 (多选)现有以下说法，其中正确的是( ) A．接近于0的数的全体构成一个集合B．正方体的全体构成一个集合C．未来世界的高科技产品构成一个集合D．不大于3的所有自然数构成一个集合考点二：元素与集合关系的判断例2 下列关系中，正确的有( )①12∈R；②5∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.A.1个B．2个C.3个D．4个变式用“∈”，“∉”填空．已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17________A，－5________A．例3 若集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．【总结】1．判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可；(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．2．已知元素与集合的关系求参数的思路当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元素．反之，当a∉A时，结论恰恰相反．利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验．变式方程ax2＋2x＋1＝0，a∈R的根组成集合A．当A中有且只有一个元素时，求a的值，并求此元素．考点三：集合中元素的特性及应用例4已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．【总结】根据集合中元素的特性求参数的3个步骤变式 已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若2∈A ，则实数a 的值为________．考点四：根据集合相等求参数例5 由三个数a ，ba ，1组成的集合与由a 2，a ＋b ，0组成的集合相等，求a 2 022＋ b 2 022的值．【总结】从集合相等的定义入手，结合元素的无序性，寻找元素之间的关系．若集合中的元素不止一个，需要利用集合中元素的互异性对得到的结果进行取舍．变式 集合P 中含有两个元素1和4，集合Q 中含有两个元素1和a 2，若P 与Q 相等，则a ＝________．1．下列说法正确的是( )A.某班中年龄较小的同学能够组成一个集合B.由1，2，3和 9 ，1，4 组成的集合不相等C.不超过20的非负数组成一个集合D.方程(x －1)(x ＋1)2＝0的所有解组成的集合中有3个元素2．已知集合S 中的三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，那么△ABC 一定不是( )A.锐角三角形 B ．直角三角形 C.钝角三角形 D ．等腰三角形3．(多选)下列说法正确的有( )A.N 与N *是同一个集合B.N 中的元素都是Z 中的元素C.Q 中的元素都是Z 中的元素D.Q 中的元素都是R 中的元素4．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________．5．集合A 中有两个元素：x ＋2，x 2.若1∈A ，则实数x 的值为________．1．下列对象能构成集合的是( )①所有很高的山峰；②方程x 2＋3x －4＝0的实数根； ③所有小于10的自然数；④cos 60°，sin 45°，cos 45°. A.①② B ．②③ C.①④ D ．③④2．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A.P 是由元素1，3 ，π组成的集合，Q 是由元素π，1，|－3 |组成的集合B.P 是由π组成的集合，Q 是由3.141 59组成的集合C.P 是由2，3组成的集合，Q 是由有序数对(2，3)组成的集合D.P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数组成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集3．下列元素与集合的关系判断正确的是( )①0∈N ；②－1∈Z ；③π∈Q ；④2 ∉R. A.①② B ．①③ C.①④ D ．②④4．由实数－a ，a ，|a |，a 2 所组成的集合最多含有的元素个数是( )A.1 B ．2 C ．3 D ．45．集合A 的元素y 满足y ＝x 2＋1，集合B 的元素(x ，y )满足y ＝x 2＋1(A ，B 中x ∈R ，y ∈R).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A.2∈A ，且2∈BB.(1，2)∈A ，且(1，2)∈BC.2∈A ，且(3，10)∈BD.(3，10)∈A ，且2∈B6．(多选)下列关系中，正确的是( )A.14∈R B ．2 ∉QC.－3∈N D ．3 ∈Z7．(多选)下列说法正确的是( )A.N *中最小的数是1B.若－a ∉N *，则a ∈N *C.若a ∈N *，b ∈N *，则a ＋b 的最小值是2D.x 2＋4＝4x 的实数解组成的集合中含有2个元素8．以方程x 2－5x ＋6＝0和方程x 2－x －2＝0的根为元素的集合中共有________个元素．9．集合A 中的元素y 满足y ∈N ，且y ＝－x 2＋1.若t ∈A ，则t 的值为________．10．不等式x －a ≥0的解集为A ，若3∉A ，则实数a 的取值范围是________．11．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．12．(多选)已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x | ＋y |y | ＋z |z | ＋|xyz |xyz 的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A.0∉M B ．2∈M C.－4∈M D ．4∈M13．非空集合A 具有下列性质：(1)若x ，y ∈A ，则xy ∈A ；(2)若x ，y ∈A ，则x ＋y ∈A ，下列判断一定成立的是( )①－1∉A ；②2 0212 022∈A ；③若x ，y ∈A ，则xy ∈A ；④若x ，y ∈A ，则x －y ∉A . A.①③ B ．①② C.①②③ D ．①②③④14．若关于x 的方程mx 2－2x ＋3＝0的解集为单元素集合，则实数m ＝________．15．已知a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，则：(1)若A 中只有1个元素，则a ＝________；(2)若A 有且只有2个元素，则集合A 的个数是________．16．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1).求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集．17．定义满足“如果a ∈A ，b ∈A ，那么a ±b ∈A ，且ab ∈A ，且ab ∈A (b ≠0)”的集合A 为“闭集”．试问数集N ，Z ，Q ，R 是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．18．集合A 中共有3个元素－4，2a －1，a 2，集合B 中也共有3个元素9，a －5，1－a ，现知9∈A 且集合B 中再没有其他元素属于A ，能否根据上述条件求出实数a 的值？若能，则求出a 的值，若不能，则说明理由．。