高中数学 1.2.3 三角函数的诱导公式2教学案 苏教版必修4

课题：《1.2.3三角函数的诱导公式（一）》授课教师：翟小军教材：苏教版高中数学必修4【教学目标】知识与技能：1.能借助于单位圆，推导出正弦、余弦的诱导公式；2.运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数；3.掌握有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题。

过程与方法：观察单位圆中对称性，经历公式推导过程，借助公式应用，让学生感知从未知到已知、复杂到到简单的转化过程，提高分析和解决问题的能力。

情感、态度、价值观：1．通过学生自己动手、动脑和亲身感受来获得知识，体会数与形的内在统一性、和谐性，初步体会数学知识与现实世界的联系。

2．让学生树立辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识、小组合作意识，养成刻苦严谨的科学精神。

【教学重点】1．运用联系的观点，发现并推导出诱导公式。

2．诱导公式的应用。

【教学难点】引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，主动发现问题，并提出研究方案，探索诱导公式。

【教学方法与教学手段】启发式教学与探究式学习相结合。

通过情境创设，激发学生对未知的探究兴趣，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而形成公式推导的一般探究方法，抓住对称在探究过程中的应用，这样学生不会感到突兀，并能进一步感受到数学与生活的紧密联系。

利用多媒体辅助教学，突出重点、突破难点，提高教学效率。

【教学过程】《1.2.3三角函数的诱导公式（一）》教学设计说明一、创设情境，引导探究【教学安排】通过第一个问题情境，得出第一组诱导公式，同时引出本节课教学主体是“诱导公式”，再通过第二个情境，展开对诱导公式的探究过程。

【设计意图】第一个情境的目的是让学生建立起由特殊到一般的认知规律，同时自然引入对于三角函数定义的复习，并进一步让学生认识到单位圆对于三角函数定义的简化效果，为下一步诱导公式的探究过程起到铺垫作用。

第二个情境创设的目的主要是想让学生形成“认知冲突”，激发主动学习的欲望。

二、主动探究，得出公式【教学安排】通过单位圆的对称性及三角函数的定义，推出三组诱导公式。

第一章 三角函数函数1.2.3 三角函数的诱导公式（2）主备人：张娜 做题人：张鹏翔 审核人：刘主任一．学习目标:1．掌握诱导公式五、六的推导方法；2. 能熟练运用公式解决有关的求值、化简、证明问题.二．学习重、难点：诱导公式以及公式的综合应用.三．课堂活动：活动一 探究并证明诱导公式五、六问题1：点(,)P x y 关于直线y x =的对称点'P 的坐标是什么？问题2：若角α的终边与角β的终边关于直线y x =对称，那么角α与角β的正弦函数和余弦函数值之间有何关系？问题3：角2πα-的终边与角α的终边是否关于直线y x =对称？根据问题1,2,3的启发，你能推导下列公式吗？ sin()2πα-= cos()2πα-= （公式五） 利用公式二和公式五，你能推导下列公式吗？ sin()2πα+= cos()2πα+= （公式六） 思考感悟：1.诱导公式的实质是什么？2.如何记忆这六组诱导公式?______________ ______________ 思考：你能推导出tan()_____________;2tan()2πα+= 吗？活动二 利用诱导公式解决化简、证明问题例1． 化简下列各式并加以证明：3sin()2πα+= 3cos()2πα+= 3cos()2πα-= 3sin()2πα-=活动二 利用诱导公式解决给值求值问题例2．已知3cos(40)5α︒-=，且90180α︒<<︒，求cos(50)α︒+的值.思考感悟：______________ ______________四．小结反思：_____________ _____________五．巩固练习：1.化简：3sin()cos()cos()25cos(3)sin(3)sin()2ππαπααππαπαα-++-+-.2．已知1sin(x)64π+=，求25sin()sin()63x xππ-+-的值.。

1．2.3 三角函数的诱导公式第1课时三角函数的诱导公式(一)(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)能够推导公式一～四．(2)能够应用公式一～四解决一些三角函数求值、化简和证明问题．2．过程与方法(1)借助于单位圆，利用对称性，推导出公式一～四．(2)观察公式一～四的结构特征，将它们统一成一句话：函数名不变，符号看象限．(3)利用公式一～四的解题步骤为：负角→正角→0～2π角→锐角．(4)特别注意公式的使用中，三角函数值的符号变化问题．3．情感、态度与价值观用联系的观点，发现并证明诱导公式，体会把未知问题化归为已知问题的数学思想方法．●重点难点重点：诱导公式的推导．难点：应用诱导公式进行化简、求值和证明．(教师用书独具)●教学建议(1)本课首先利用三角函数的定义及终边相同的角得出诱导公式一，然后利用单位圆推导出正弦、余弦函数中角α与角π±α，－α的终边的关系，进而推导出角α与角π±α，－α的正弦、余弦函数的关系，从而概括出诱导公式二、三、四．本课内容是后续推导诱导公式的理论依据，也是进一步学习三角函数的基础．(2)关于诱导公式的教学，建议教师在教学过程中：①对于诱导公式一的推导要结合三角函数线，利用数形结合的数学思想得出结论．②对于诱导公式二、三、四，教师在引导学生发现角之间的关系时，紧密联系角的对称，推导过程让学生完成．③通过练习使学生明确诱导公式的作用：把求任意角的三角函数值问题转化为0°～90°角的三角函数值问题．●教学流程创设问题情境，引导学生推导出诱导公式一～四.⇒引导学生探究诱导公式一～四的特征，总结其规律：函数名不变，符号看象限.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用诱导公式一～四解决给角求值问题的方法.⇒完成例2及其互动探究，从而解决给值求值问题，并总结诱导公式在该类型问题应用中注意的事项.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握利用诱导公式化简三角函数式的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.1．终边相同的角的三角函数值相等吗？【提示】根据三角函数的定义知：终边相同的角的三角函数值相等．2．若点P与点P′分别为角α，β的终边与单位圆的交点，并且P与P′关于x轴对称，那么sin α与sin β，cos α与cos β有何关系？【提示】sin β＝－sin α，cos β＝cos α.3．若角α的终边与角β的终边关于y轴对称，sin α与sin β，cos α与cos β有何关系？【提示】sin β＝sin α，cos β＝－cos α.1．终边相同的角的诱导公式(公式一)sin(α＋2kπ)＝sin_α(k∈Z)；cos(α＋2kπ)＝cos_α(k∈Z)；tan(α＋2kπ)＝tan_α(k∈Z)．2．终边关于x轴对称的角的诱导公式(公式二)sin(－α)＝－sin_α；cos(－α)＝cos_α；tan(－α)＝－tan_α.3．终边关于y轴对称的角的诱导公式(公式三)sin(π－α)＝sin_α；cos(π－α)＝－cos_α；tan(π－α)＝－tan_α.4．终边关于原点对称的角的诱导公式(公式四) sin(π＋α)＝－sin_α；cos(π＋α)＝－cos_α；tan(π＋α)＝tan_α.计算：(1)sin(－31π6)－cos(－10π3)；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.【思路探究】利用诱导公式将负角、大角的三角函数转化为锐角的三角函数．【自主解答】 (1)原式＝－sin(4π＋7π6)－cos(2π＋4π3)＝－sin(π＋π6)－cos(π＋π3)＝sin π6＋cos π3＝12＋12＝1. (2)原式＝1＋2sin －70°＋360°cos 70°＋360°sin 180°＋70°＋cos 70°＋2×360°＝1－2sin 70°cos 70°cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°2cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：求下列各式的值：(1)sin 4π3·cos 19π6·tan 21π4；(2)cos(－2 640°)＋sin 1 665°.【解】 (1)原式＝sin 4π3·cos(2π＋7π6)·tan(4π＋5π4)＝sin 4π3·cos 7π6·tan 5π4＝sin(π＋π3)·cos(π＋π6)·tan(π＋π4)＝(－sin π3)·(－cos π6)·tan π4＝(－32)·(－32)·1 ＝34. (2)原式＝c os[240°＋(－8)×360°]＋sin(225°＋4×360°)＝cos 240°＋sin 225°＝cos(180°＋60°)＋sin(180°＋45°)＝－cos 60°－sin 45°＝－1＋22.(1)已知sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)＝________.(2)已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(α＋125°)的值．【思路探究】 (1)先由cos(α＋β)＝－1，可求出α＋β，再代入sin(α＋β)中利用诱导公式求解．(2)由于α＋125°＝180°＋(α－55°)，故求sin(α＋125°)可转化为求－sin(α－55°)，利用平方关系由cos(α－55°)可求得sin(α－55°)的值．【自主解答】 (1)由cos(α＋β)＝－1得， α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )，则α＋2β＝(α＋β)＋β＝2k π＋π＋β(k ∈Z )， ∴sin(α＋2β)＝sin(2k π＋π＋β)＝sin(π＋β)＝－sin β＝－13.【答案】 －13(2)∵cos(α－55°)＝－13＜0，且α为第四象限角，∴α－55°是第三象限角．sin(α－55°)＝－1－cos 2α－55°＝－223.∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝223.1．先找出所求角和已知角之间的关系，把所求角的三角函数化为已知角的三角函数求解．2．该类问题需先用诱导公式转化，再用同角基本关系式求解，因此当用到平方关系时确定符号非常关键，符号不确定时还要分类讨论．本例(2)中条件不变，如何求cos(α＋125°)＋tan(α－55°)的值？ 【解】 cos(α＋125°)＝cos[180°＋(α－55°)]＝－cos(α－55°)＝13，tan(α－55°)＝sin α－55°cos α－55°＝22，∴cos(α＋125°)＋tan(α－55°) ＝13＋2 2.利用诱导公式化简三角函数式化简：(1)sin α＋2πcos α＋πtan α＋99πcos π＋αsin 3π＋αsin α－π；(2)sin n π＋αcos n π＋α(n ∈Z )． 【思路探究】 解答本类题的关键是熟练应用诱导公式，应注意含参数时有时需对参数加以讨论．【自主解答】 (1)sin α＋2πcos α＋πtan α＋99πcos π＋αsin 3π＋αsin α－π＝sin α－cos αtan α－cos α－sin α－sin α＝1cos α.(2)当n 为奇数时， 设n ＝2k ＋1，k ∈Z ，则 sin n π＋αcos n π＋α＝sin 2k π＋π＋αcos 2k π＋π＋α＝sin π＋αcos π＋α＝－sin α－cos α＝tan α，当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈Z ，则sin n π＋αcos n π＋α＝sin 2k π＋αcos 2k π＋α＝sin αcos α＝tanα，∴sin n π＋αcos n π＋α＝tan α.1．三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．2．含有kπ＋α的三角函数式的化简：用诱导公式进行化简，碰到kπ＋α的形式时，常对k分奇数、偶数进行讨论，其目的在于将不符合条件的问题，通过分类使之符合条件，达到能利用公式的形式．化简：cosθ＋4πcos2θ＋πsin2θ＋3πsinθ－4πsin5π＋θcos2－π＋θ.【解】cosθ＋4πcos2θ＋πsin2θ＋3πsinθ－4πsin5π＋θcos2－π＋θ＝cos θcos2θsin2θ＋πsin θsinπ＋θcos2θ＝cos θsin2θ＋πsin θsinπ＋θ＝－cos θsin2θsin θsin θ＝＝－cos θ.转化与化归思想(14分)设f (θ)＝2cos 32π－θ＋sin 2π＋θ＋cos －θ－32＋2cos 2π－θ－cos π＋θ，求f (π3)的值． 【思路点拨】 先将f (θ)的式子化简，再把θ＝π3代入求值．【规范解答】 ∵f (θ)＝2cos 3θ＋sin 2θ＋cos θ－32＋2cos 2θ＋cos θ3分＝2cos 3θ－cos 2θ＋cos θ－22＋2cos 2θ＋cos θ6分 ＝2cos 3θ－1－cos θcos θ－12cos 2θ＋cos θ＋29分 ＝cos θ－12cos 2θ＋cos θ＋22cos 2θ＋cos θ＋2＝cos θ－1，12分∴f (π3)＝cos π3－1＝－12.14分1．本题先由诱导公式将函数式化简，将函数式的角度统一，然后利用sin2θ＋cos2θ＝1，统一函数名称，这样就可以避免因为公式交错使用导致混乱．2．在计算、化简、证明三角函数式时，常采用化繁为简、化异为同、化切为弦、“1”的代换、整体代换等方法，这些都体现了三角函数问题中转化与化归的思想．1．明确各诱导公式的作用2.诱导公式一～四的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.1．cos(－π3)＝________.【解析】 cos(－π3)＝cos π3＝12.【答案】 122．已知sin(π＋θ)<0，cos(π－θ)<0，则角θ的终边在第________象限． 【解析】 ∵sin(π＋θ)＝－sin θ<0， ∴sin θ>0，∵cos(π－θ)＝－cos θ<0，∴cos θ>0， ∴θ为第一象限角． 【答案】 一3．sin 2150°＋sin 2135°＋2sin 210°＋cos 2225°的值等于________．【解析】 原式＝(12)2＋(22)2＋2×(－12)＋(－22)2＝14.【答案】 144．已知cos α＝14，求sin 2π＋αcos －π＋αcos －αtan α的值．【解】 sin 2π＋αcos －π＋αcos －αtan α＝sin α－cos αcos αtan α＝－cos α＝－14.一、填空题1．已知sin(π＋α)＝45且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________.【解析】 sin(π＋α)＝－sin α＝45，sin α＝－45，cos(α－2π)＝cos α＝35.【答案】 352．sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为________．【解析】 原式＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2. 【答案】 23．已知sin(45°＋α)＝513，则sin(225°＋α)＝________.【解析】 sin(225°＋α)＝sin(180°＋45°＋α)＝－sin(45°＋α)＝－513.【答案】 －5134．若cos 100°＝k ，则tan 80°的值为________．【解析】 cos 80°＝－cos 100°＝－k ，且k ＜0.于是sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2，从而tan 80°＝－1－k 2k.【答案】 －1－k2k5．若f (sin x )＝cos 17x ，则f (12)的值为________．【解析】 由sin x ＝12得x ＝π6＋2k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋2k π，k ∈Z .当x ＝π6＋2k π时，f (12)＝cos[17×(π6＋2k π)]＝cos 5π6＝－32；当x ＝5π6＋2k π时，f (12)＝cos[17×(5π6＋2k π)]＝cos π6＝32.【答案】 －32或326．化简sin n π＋αcos n π－αcos[n ＋1π－α]的结果为________．【解析】 当n 为偶数时，原式＝sin αcos αcos π－α＝sin αcos α－cos α＝－sin α，当n 为奇数时，原式＝－sin α－cos αcos α＝sin α.【答案】 (－1)n ＋1sin α(n ∈Z )7．已知cos(α＋β)＝－1，且tan α＝2，则tan β＝________.【解析】 由cos(α＋β)＝－1知α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )，∴β＝2k π＋π－α，k ∈Z .∴tan β＝tan(2k π＋π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝－2.【答案】 －28．(2013·盐城高一检测)已知sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，则sin αcos α的值为________．【解析】 ∵sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，即 sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3，∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝310. 【答案】 310二、解答题9．(2013·扬州高一检测)求值：sin 2840°＋co s 540°＋tan 225°－cos 2(－330°)＋sin(－210°)．【解】 原式＝[sin(2×360°＋120°)]2＋cos(360°＋180°)＋tan(180°＋45°)－[cos(180°＋150°)]2－sin(180°＋30°)＝sin 2120°＋cos 180°＋tan 45°－cos 2150°＋sin 30°＝(32)2－1＋1－(－32)2＋12＝12.10．(1)已知cos (π＋α)＝－12，且3π2<α<2π，求sin(2π－α)的值；(2)已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求2sin α－π＋3tan 3π－α4cos α－3π的值．【解】 (1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12.∵3π2<α<2π， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－32. ∴sin(2π－α)＝－sin α＝32. (2)∵sin(α＋π)＝－sin α＝45，∴sin α＝－45.∵sin αcos α<0， ∴cos α>0，∴cos α＝1－sin 2α＝35.∵tan α＝sin αcos α＝－43，∴2sin α－π＋3tan 3π－α4cos α－3π＝－2sin π－α＋3tan π－α4cos π－α＝－2sin α－3tan α－4cos α＝－2×－45－3×－43－4×35＝－73.11．化简：sin[k ＋1π＋θ]·cos[k ＋1π－θ]sin k π－θ· cos k π＋θ(k ∈Z )．【解】 当k 为奇数时，不妨设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则原式＝sin[2n ＋2π＋θ]·co s[2n ＋2π－θ]sin 2n π＋π－θ·cos 2n π＋π＋θ＝sin θ·cos θsin π－θ·cos π＋θ＝sin θ·cos θsin θ·－cos θ＝－1； 当k 为偶数时，不妨设k ＝2n ，n ∈N ，则原式＝sin[2n ＋1π＋θ]·cos[2n ＋1π－θ]sin 2n π－θ·cos 2n π＋θ＝sin π＋θ·cos π－θsin －θ·cos θ＝－sin θ·－cos θ－sin θ·cos θ＝－1.总之，sin[k ＋1π＋θ]·cos[k ＋1π－θ]sin k π－θ·cos k π＋θ＝－1.(教师用书独具)设tan(α＋87π)＝a .求证：sin 157π＋α＋3cos α－137πsin 20π7－α－cos α＋227π＝a ＋3a ＋1. 【思路探究】 本题主要考查诱导公式，从已知角的关系入手，将所求各角用α＋87π表示，然后用诱导公式和三角函数关系式求角．【自主解答】 左边＝sin[π＋87π＋α]＋3cos[α＋8π7－3π]sin[4π－α＋87π]－cos[2π＋α＋8π7]＝－sin α＋8π7－3cos α＋8π7－sin α＋8π7－cos α＋8π7＝tan α＋87π＋3tan α＋87π＋1＝a ＋3a ＋1＝右边．∴等式成立．对于利用诱导公式证明三角恒等式的问题，解题的关键在于公式的灵活运用，思路在于如何配角，如何分配角之间的关系，其中要特别注意函数名称与正负号的正确判断．证明：tan2π－θ·sin －2π－θ·cos 6π－θcos θ－πsin 5π＋θ＝tan θ.【证明】 左边＝tan －θsin －θcos －θcos π－θsin π＋θ＝－tan θ·－sin θ·cos θ－cos θ·－sin θ＝tan θ＝右边．∴原等式成立．。

教学要求：掌握π＋α、－α、π－α三组诱导公式，并能熟练运用进行化简与求值. 教学重点：应用诱导公式.教学难点：理解诱导公式推导.教学过程：一、复习准备：1. 写出2k π＋α的诱导公式.2. 提问：求任意角的三角函数值如何求？二、讲授新课：1. 教学诱导公式：① 讨论：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到0～2π后，又将如何将0～2π间的角转化到0～2π呢？ 方法：设0°≤α≤90°， （写成β的分段函数）则90°～180°间角，可写成180°－α；180°～270°间的角，可写成180°＋α；270°～360°间的角，可写成360°－α.② 推导π＋α的诱导公式：复习单位圆：以原点为圆心，单位长为半径的圆.思考：角α的终边与单位圆交于点P (x , y )，则sin α＝？cos α=？讨论：α与π＋α终边有何关系？设交单位圆于P (x , y )、P ’，则P ’坐标怎样？计算sin(π＋α)、cos(π＋α)、tan(π＋α)，并与sin α、cos α、tan α比较.提出诱导公式二.③ 仿上面的步骤推导－α、π－α的诱导公式.讨论：如何由π＋α、－α的诱导公式得到π－α的诱导公式？ 变角：π－α＝π＋(－α) 列表比较四组诱导公式，观察符号情况？ 口诀：函数名不变，符号看象限. （“符号”是把任意角α看成锐角时，2()k k Z πα±∈所在象限的三角函数值的符号.）2. 教学例题：① 出示例1：求值：sin225°、 cos 43π、sin(－3π)、cos （－76π）、tan （－200°） 分析角的特点→学生口答. 小结：运用诱导公式的格式；注意符号.② 出示例2：化简sin(180)cos(720)cos(180)sin(180)αααα︒+︒+--︒-︒- 师生共练→小结：公式运用③ 练习：已知cos(π＋x )＝0.5，求cos(2π－x )的值；思考：求cos(π－x )的值.④ 讨论：四组诱导公式的作用? （分别化哪个范围的角到哪个范围？）3. 小结：四组诱导公式的推导、记忆、运用.三、巩固练习：1. 求证：tan(2)sin(2)cos(6)cos()sin(5)παπαπααππα-----+＝tan α2. 化简：sin 250cos790︒+︒（－1） 4. 作业：教材P31 2、3、4题.教学要求：掌握2πα、2π＋α两组诱导公式，能熟练运用六组诱导公式进行求值、化简、证明. 教学重点：熟练运用诱导公式.教学难点：诱导公式的推导.教学过程：一、复习准备：1. 默写关于2k π+α、π＋α、－α、π－α的四组诱导公式2. 推导2π－α的诱导公式.二、讲授新课：1. 教学诱导公式推导：① 讨论：2π－α的终边与α的终边有何关系？ （关于直线y =x 对称） ② 讨论：2π－α的诱导公式怎样？ ③ 讨论：如何由前面的诱导公式得到2π＋α的诱导公式？ 比较：两组诱导公式的记忆 ④ 讨论：如何利用诱导公式，将任意角转化为锐角的三角函数？（转化思想）⑤ 比较：六组诱导公式的记忆. （六组诱导公式都可统一为“()2k k Z πα±∈”的形式，记忆的口诀为“奇变偶不变，符号看象限”. 符号看象限是把α看成锐角时原三角函数值的符号）2. 教学例题：① 出示例1：求下列各角的三个三角函数的值.56π、 43π、 74π、 1050°、 －514π （示范－514π的求值；其余学生试练，四人板演；订正；小结：诱导公式的运用） ② 出示例2：求证cos()sin(5)sin(4)sin(7)cot()παπαπαπααπ---+--＝1 （学生分析公式运用→试练→订正→小结：公式运用. ）③ 练习： 列表写出0～2π间所有特殊角的三个三角函数的值.3. 小结：诱导公式的记忆是重中之重；利用诱导公式，将任意角的三角函数值转化为求锐角三角函数的值，这是学习诱导公式的主要目的；注意公式之间的相互联系和变形使用公式.三、巩固练习：1. 化简：tan(150)cos(210)cos(420)cot(600)sin(1050)-︒-︒-︒-︒-︒ ） 2. 已知tan(π＋α)＝4, 则sin(π＋α)cos(π－α)＝ .3. 化简：sin()sin()sin()cos()k k k k πααπαπαπ++-+- （k ∈Z ）4. 求函数y =+. 5. 作业：教材P31 5、6、7题.。

三角函数的诱导公式（二）教学目标：1. 进一步熟悉诱导公式一、二、三、四，学习诱导公式五、六、七、八。

2. 牢记并理解诱导公式的含义，并运用这诱导公式进行一些简单的化简。

教学重点：诱导公式教学难点：诱导公式的灵活运用教学过程：一、 复习引入诱导公式一（其中∈Z ）sin(α+2kπ）=sinαcos (α+2kπ)=cosα()tan +2tan k απα=诱导公式二sin (α+π)=−sinαcos (α+π)=−cosαtan (π+α)=tanα诱导公式三sin (−α)=−sinαcos (−α)=cosαtan (−α)=−tanα诱导公式四sin (π−α)=sinαcos (π−α)=cosαtan (π−α)=−tanα二、 新课讲授问题引入1：α与π2+α的终边在位置上有何关系？它们的三角函数有何关系？ 诱导公式五sin (π2+α)=cosα cos (π2+α)=−sinα 问题引入2：你能运用已有公式化简sin (π2−α)与cos (π2−α)吗？ 诱导公式六sin (π−α)=cosα cos (π2−α)=sinα 诱导公式七sin (3π2+α)=−cosα cos (3π+α)=sinα 诱导公式八sin (3π−α)=−cosα cos (3π2−α)=−sinα 思考：观察八组公式，从名称和符号上观察它们的特点，你有何发现？ 诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限。

例题讲解：化简下列表达式1.cos⁡(3π2−α)sin⁡(π2−α）sin⁡(π2+α）cos⁡(5π2+α)sin⁡(−3π2−α) 2. tan (3π−α)sin (π−α)cos⁡(3π2−α)×sin⁡(2π−α)cos⁡(α−7π2)sin⁡(3π2+α)cos⁡(2π+α)练习：求cos2(π4−α)+cos2(π4+α)的值。

1.2.3三角函数的诱导公式（2）教学目标：1. 经历诱导公式五、六的推导过程，体会数学知识的“发现”过程．2. 掌握诱导公式五、六，能初步应用公式解决一些简单的问题．3. 领会数学中转化思想的广泛性，了解诱导公式就是具有一定关系的几何特征关系的代数表示，从而对诱导公式能够达到属性结合的认识高度．教学重点：诱导公式五、六的推导探究，诱导公式的应用．教学难点：发现终边与角α的终边关于直线y x=对称的角与α之间的数量关系.教学方法：自学辅导，合作讨论.教学过程：一、问题情境1．回顾旧知：三角函数的诱导公式二到公式四，大家还记得吗？2．在研究公式二到公式四的时候，我们的研究思路是什么？3. 除了关于原点，x轴，y轴对称外，还有类似的对称关系吗？二、学生活动阅读课本，可以自由讨论，尝试解决以下的问题．问题一：你能画出角α关于直线y x=对称的角的终边吗？问题二：由图象我们可以看到，与角α关于直线y x=对称，y x=的角可以表示为什么？)问题三：假设点1p 的坐标为(,)x y ，你能说出2p 的坐标吗？ 三、建构数学1．得到2p 的坐标为(,)y x 后，引导学生用三角函数的定义写出角2πα-的三角函数：sin sin()cos 2yx απαα=-==cos cos()sin 2xy απαα=-==所以我们得到了公式五：sin()cos 2cos()sin 2πααπαα-=-=2. 那角2πα+与角α又有怎样的关系呢？学生可能会想到仍然是画图研究，教师引导用已学的公式来探究：将2πα+进行恰当的等价变形，并用换元思想考虑．sin()sin[()]sin()cos 222πππαπααα+=--=-=同理： cos()cos[()]cos()sin 222πππαπααα+=--=--=- 所以得到公式六：sin()cos 2cos()sin 2πααπαα+=+=-3. 由观察可得记忆口诀：把α看成锐角，函数名互余，符号看象限． 四、数学运用 1．例题. 证明：3(1)sin()cos 23(2)cos()sin 2πααπαα-=--=-2．练习. 求值：3(1)cos()23ππ- 5(2)sin 6π（用两种方法计算）(3) 已知0sin 754=00cos15,cos165. 五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容：（1）知识：前一节课我们学习了2,k k z πα+∈，πα±，2πα-，α-的诱导公式，这节我们又学习了2πα±，32πα±的诱导公式． （2）思想方法：从特殊到一般；数形结合思想；对称变换思想； （3）规律：“奇变偶不变，符号看象限”． 你对这句话怎么理解？。

新授经历诱导公式五、六的推导过程，体会数学知识的“发现”过程．除了关于原点，1五、要点归纳与方法小结）思想方法：从特殊到一般；数形结合思想；对称变换思想；精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

第 2 课时 三角函数的诱导公式(二)(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能 (1)能够推导公式五、六． (2)能够应用公式五、六解决一些三角函数求值、化简和证明问题． 2．过程与方法 (1)借助于单位圆，利用对称性，推导公式五、六． (2)观察公式五、六的结构特征，统一为“函数名改变，符号看象限”． (3)特别注意公式的使用中，三角函数值的符号变化问题． 3．情感、态度与价值观 用联系的观点，发现并证明诱导公式，体会把未知问题化归为已知问题的数学思想方法． ●重点难点 重点：诱导公式五、六的推导． 难点：灵活运用诱导公式进行化简、求值、证明.(教师用书独具)●教学建议 关于诱导公式五、六的教学，建议教师注重公式的推导过程，特别突出关于直线 y＝x 对称的两点的坐标关系，这是理解和记忆公式的关键．另外要向学生讲清这组公式与诱导公 式一、二、三、四的区别，利用适当的训练题加以巩固这几组诱导公式的关系及应用． ●教学流程创设问题情境，引导学生推导出诱导公式五、六. ⇒ 引导学生探究诱导公式五、六的特征以及与诱导公式一～四的区别，并总结诱导公式五、六的记忆口诀“函数名改变，符号看象限”.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握利用诱导公式五、六解决给值求值问题的方法. ⇒通过完成例2及其变式训练，使学生掌握利用诱导公式解决化简求值问题的方法.⇒完成例3及其变式训练，总结利用诱导公式证明三角恒等式的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.1课标解读1.能借助单位圆中的三角函数定义推导诱导公式五、六．(难 点)2．掌握六组诱导公式，能灵活运用诱导公式解决三角函数式 的求值、化简、证明等问题．(重点)诱导公式五 【问题导思】若 α 为锐角，sin(π2 －α)与 cos α，cos(π2 －α)与 sin α 有何关系？ 【提示】 sin(π2 －α)＝cos α，cos(π2 －α)＝sin α.终边关于直线 y＝x 对称的角的诱导公式(公式五) sin(π2 －α)＝cos_α； cos(π2 －α)＝sin_α.诱导公式六 【问题导思】利用公式二和公式五，能否确定 sin(π2 ＋α)与 cos α，cos(π2 ＋α)与 sin α 的关 系？【提示】 sin(π2 ＋α)＝sin[π2 －(－α)]＝cos(－α)＝cos α，cos(π2 ＋α)＝ cos[π2 －(－α)]＝sin(－α)＝－sin α.π2 ＋α 型诱导公式(公式六) sin(π2 ＋α)＝cos_α；cos(π2 ＋α)＝－sin_α.给值求值(1)已知 sin(π＋A)＝－12，则 cos(32π－A)的值是________．(2)已知 sin(π3 －α)＝12，则 cos(π6 ＋α)的值是________．【思路探究】(1)先化简sin(π＋A)＝－12得sinA＝12，再利用诱导公式化简3π cos( 2－A)即可．(2)探索已知角π3 －α 与π6 ＋α 之间的关系，根据诱导公式将 cos(π6 ＋α)化为π3 －α2的三角函数求解． 【自主解答】 (1)sin(π＋A)＝－sin A＝－12，∴sin A＝12，cos(32π－A)＝cos(π＋π2 －A)＝－cos(π2 －A)＝－sin A＝－12. (2)∵(π3 －α)＋(π6 ＋α)＝π2 ， ∴π6 ＋α＝π2 －(π3 －α)， ∴cos(π6 ＋α)＝cos[π2 －(π3 －α)]＝sin(π3 －α)＝12. 【答案】 (1)－12 (2)121．给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再 确定相关的值．2．巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3 －α，π6 ＋α；π3 ＋α，π6 －α；π4 ＋α，π4 －α 等．常见的互补关系有π3 ＋θ，23π－θ；π4 ＋θ，3π4 －θ 等．若本例(2)中条件不变，如何求 cos(56π－α)的值？ 【解】 ∵(56π－α)－(π3 －α)＝π2 ， ∴5π6 －α＝π2 ＋(π3 －α)， ∵cos(5π 6 －α)＝cos[π2 ＋(π3 －α)]＝－sin(π3 －α)＝－12.化简问题化简：sin 32π－α ·cos 3π－α ·tan π－αcos －α－π ·cos α－π2.【思路探究】 解决本题的关键是熟练地应用三角函数诱导公式．【自主解答】 原式sin[π＋ ＝π2 －α ]·cos π－α · cos π＋α cos π2 －α－tan α－sin π2 －α · －cos α · －tan α＝－cos α·sin α3－cos2α·tan αcosα·csoisnα α＝－cos α·sin α＝ sin α ＝1.用诱导公式化简求值的方法： (1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式 化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少． (2)对于 kπ±α 和π2 ±α 这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公 式必须变名．sin θ－5π cos －π2 －θ cos 8π－θ化简：sin θ－32π sin －θ－4π.sin[－6π＋ π＋θ ]cos[－ π2 ＋θ ]cos －θ【解】 原式＝sin[－2π＋ π2 ＋θ ]sin －θsin π＋θ cos＝sin π2 ＋θπ2 ＋θ cos θ －sin θ＝－sin θ cos θ－sin θ －sin θcosθ ＝－sinθ.证明三角恒等式2sin θ－32π cos θ＋π2 －1求证：1－2sin2θ＝tan tan9π＋θ π＋θ－＋11.【思路探究】 考虑到等式左、右两边形式都很复杂，可以使用左右归一法证明，即证明等式的左、右两边都等于同一个式子．2sin[－ 23π－θ ]cos π2 ＋θ －1【自主解答】 左边＝1－2sin2θ－2cos θ·sin θ－11＋2sin θcos θ＝1－2sin2θ＝2sin2θ－ sin2θ＋cos2θsin θ＋cos θ 2 sin θ＋cos θ tan θ＋1 ＝ sin2θ－cos2θ ＝sin θ－cos θ＝tan θ－1.右边＝tan8π＋π＋θ tan θ－1＋1＝tanπ＋θ tan θ－1＋1＝ttaannθθ＋ －11.∴左边＝右边，原式成立．三角恒等式的证明策略： (1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，4应遵循化繁为简的原则． (2)常用的方法：定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法．tan 求证：2π－α cos 32π－α cos 6π－α sin α＋32π cos α＋32π【证明】 左边tan －α ·cos[π＋ π2 －α ]cos －α ＝ sin[π＋ π2 ＋α ]cos[π＋ π2 ＋α ]－tan α·[－cos π2 －α ]·cos α＝ －sinπ2 ＋α·[－cosπ2 ＋α]＝t－ancoαssαin·αsicnosαα＝－tan α＝右边．∴原等式成立.＝－tan α.三角函数问题中的方程思想(14分)是否存在角α，β，α∈(－π 2，π 2)，β∈(0，π)，使sin3π－α＝ 2cosπ2 －β，3cos －α ＝－ 2cos π＋β同时成立？若存在，求出角 α，β；若不存在，请说明理由．【思路点拨】 先利用三角函数的诱导公式化简已知条件，再利用方程思想和同角三角函数的基本关系式求解．【规范解答】 将已知方程组化为{sin α＝ 2sin β，① 3cos α＝ 2cos β， ② 2 分①2＋②2 得 sin2α＋3cos2α＝2，∴cos2α＝12. 4分 ∵α∈(－π2 ，π2 )，∴cos α＝ 22，∴α＝π4 或－π4 ， 6分将 α＝π4 代入②得 cos β＝ 23，8 分 ∵β∈(0，π)，∴β＝π6 .将 α＝π4 ，β＝π6 代入①，符合条件.10 分将 α＝－π4 代入②得 cos β＝ 23，5∵β∈(0，π)，∴β＝π6 .12 分 将 α＝－π4 ，β＝π6 代入①，不符合条件，舍去． 综上可知存在满足条件的角 α，β，α＝π4 ，β＝π6 . 14 分首先利用已知条件得出关于 cos α 的方程，再利用平方关系式 sin2α＋cos2α＝1，求 出 cos α 的值，进而求出相应的角．建立方程是解题的关键．1.π2 ±α 的正弦(余弦)函数值，等于 α 的余弦(正弦)函数值，前面加上把 α 看成锐 角时原函数值的符号．记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．2．利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化． 3．k·π2 ＋α(k∈Z)的三角函数值，当 k 为偶数时，得 α 的同名函数值；当 k 为奇数 时，得 α 的异名函数值，然后在前面加上把 α 看成锐角时原函数值的符号．概括为“奇变 偶不变，符号看象限”，这里的奇偶是指 k 的取值是奇数还是偶数.1．sin 95°＋cos 175°＝________. 【解析】 ∵sin 95°＝sin(90°＋5°)＝cos 5°，cos 175°＝cos(180°－5°)＝ －cos 5°， ∴sin 95°＋cos 175°＝0. 【答案】 062．化简 sin(π＋α)cos(32π＋α)＋sin(π2 ＋α)cos(π＋α)＝________.【解析】 原式＝－sin αsin α＋cos α(－cos α) ＝－sin2α－cos2α＝－1.【答案】 －1sin 3．已知 tan θ＝2，则sinπ2 ＋θ π2 －θ－cos －sinπ－θ π－θ＝________.cos θ－ －cos θ2cos θ22【解析】 原式＝ cos θ－sin θ ＝cos θ－sin θ＝1－tan θ＝1－2＝－2.【答案】 －2cos α－π24．求证： sin5π2 ＋αsin(α－π)cos(2π－α)＝－sin2α.【证明】cos ∵左边＝－sinπ2 －α π2 ＋αsin αcos(－α)＝－csoisn ααsin αcos α＝－sin2α＝右边，∴原等式成立.一、填空题 1．sin 480°的值为________． 【解析】 sin 480°＝sin(360°＋120°)＝sin 120°＝sin(90°＋30°)＝cos 30°3 ＝2.【答案】3 22．如果 cos α＝15，且 α 是第四象限角，那么 cos(α＋π2 )＝________.【解析】 由已知得，sin α＝－1－1 52＝－2 5 6.所以 cos(α＋π2 )＝－sin α＝－(－2 5 6)＝2 5 6.【答案】26 53．若 sin(θ＋3π 2 )＞0，cos(π2 －θ)＞0，则角 θ 的终边位于第________象限．【解析】 sin(θ＋3π2 )＝－cos θ＞0，∴cos θ＜0，cos(π2 －θ)＝sin θ＞0，∴θ 为第二象限角．【答案】 二4．若 f(sin x)＝3－cos 2x，则 f(cos 30°)＝________.【解析】 f(cos 30°)＝f(sin 60°)＝3－cos 120°＝3＋cos 60°＝72或 f(cos 30°)7＝f(sin 120°)＝3－cos 240°＝3－cos 120°＝72.【答案】7 25．(2013·宁波高一检测)已知 sin(α－π4 )＝13，则 cos(π4 ＋α)＝________.【解析】 ∵(π4 ＋α)－(α－π4 )＝π2 ，∴cos(π4 ＋α)＝cos[π2 ＋(α－π4 )]＝－sin(α－π4 )＝－13.【答案】 －136．若角 A，B，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是________．①cos(A＋B)＝cos C；②sin(A＋B)＝－sin C；③cos(A2＋C)＝cosB；④sinB＋C 2 ＝cosA 2.【解析】 ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sinC，所以①②都不正确；同理 B＋C＝π－A，所以 sinB＋CπA2 ＝sin( 2 －2)＝cosA 2，所以④是正确的．【答案】 ④7．(2013·徐州高一检测)已知 cos(π2 ＋φ)＝ 23，且|φ|＜π2 ，则 tan φ＝________.【解析】cos(π2 ＋φ)＝－sinφ＝3 2 ，sinφ＝－3 2，又∵|φ|＜π2 ，∴cos φ＝12，故 tan φ＝－ 3.【答案】 － 38．已知 cos α＝13，且－π2 ＜α＜0，则cos－α－π sin 2π＋α tan 2π－α sin 32π－α cos π2 ＋α＝________.【解析】原式＝－cos α ·sin α· －tan α －cos α · －sin α＝tan α，∵cos α＝13 ，－π2 ＜α＜0，∴sin α＝－1－cos2α＝－2 3 2，∴tanα＝scionsα α＝－22.【答案】 －2 2 二、解答题 9．已知 cos(75°＋x)＝13，其中 x 为第三象限角，求 cos(105°－x)－ 2cos(x－15°)的值． 【解】 由条件，得 cos(105°－x)＝cos(180°－75°－x)＝－cos(75°＋x)＝－13， cos(x－15°)＝cos(－90°＋75°＋x)＝sin(75°＋x)． 又 x 为第三象限角，cos(75°＋x)＞0， 所以 x＋75°为第四象限角．8所以sin(75°＋x)＝－232 .122于是原式＝－3－ 2×(－ 3 )＝1.10 ． 已 知 sin α 是 方 程 5x2 － 7x － 6 ＝ 0 的 根 ， 求sin α＋32π sin 32π－α tan2 2π－α tan π－αcos π2 －α cos π2 ＋α的值．【解】由于方程5x2－7x－6＝0的两根为23 和－5，所以sinα＝－35，再由sin2α＋cos2α ＝ 1 ， 得 cos α ＝ ±1－sin2α＝±4 5，所以tanα＝±3 4，所以原式＝－cos α－cos α sin α··tan2α －sin α－tan α＝tan α＝±34.11．已知角 α 的终边经过点 P(45，－35)．(1)求 sin α 的值；sin π2 －α tan α－π (2)求sin α＋π cos 3π－α 的值．【解】 (1)∵P(45，－35)，|OP|＝1，∴sin α＝－35.sin π2 －α tan α－π (2)sin α＋π cos 3π－α＝－sicnosααt－ancoαs α＝cos1 α，由三角函数定义知 cos α＝45，故所求式子的值为54.(教师用书独具)sin α－3π cos 2π－α sin －α＋32π已知 f(α)＝cos －π－α sin －π－α.(1)化简 f(α)；(2)若 α 是第三象限角，且 cos(α－32π)＝15，求 f(α)的值；(3)若 α＝－313π，求 f(α)的值．【思路探究】 利用诱导公式化简，根据题中所给条件求值．【自主解答】(1)f(α)＝－sin α cos α －cos α －cos α sin α＝－cos α.9(2)∵cos(α－32π)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，又 α 是第三象限角，∴cos α＝－52－1 2 5 ＝－56，∴f(α)＝25 6.(3)∵－313π＝－5×2π－π3 ，∴f(－313π)＝－cos(－313π)＝－cos(－5×2π－π3 )＝－cos(－π3 )＝－cosπ 3 ＝－12.此类题目是关于三角函数式的化简与求值．解决此类问题时，可先用诱导公式化简变 形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式变形求解．cos θ－32π ·sin 7π 2 ＋θ已知 f(θ)＝sin －θ－π.(1)化简 f(θ)； (2)若 f(θ)＝13，求 tan θ 的值；(3)若 f(π6 －θ)＝13，求 f(56π＋θ)的值．cos 【解】 (1)f(θ)＝32π－θ ·sin 3π2 ＋θ －sin π＋θ＝－sin θ · －cos θ sin θ＝cos θ. (2)由题意得 f(θ)＝cos θ＝13＞0，故 θ 为第一或第四象限角．当 θ 为第一象限角时，sin θ＝ 1－cos2θ＝2 3 2，tan θ＝csoisn θθ＝2 2；当 θ 为第四象限角时，sin θ＝－1－cos2θ＝－232 ，tanθ＝csoisnθ θ＝－22.(3)由题意得 f(π6 －θ)＝cos(π6 －θ)＝13，∴f(56π＋θ)＝cos(56π＋θ)＝cos[π－(π6 －θ)]＝－cos(π6 －θ)＝－13.10。

江苏省射阳县盘湾中学高中数学 第1章《三角函数》三角函数的诱导
公式(2)教学案 苏教版必修4
教学目标：理解正弦、余弦的诱导公式的推导方法，掌握诱导公式并能正确利用诱导公式解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题。

培养学生化归、转化的能力。

教学重点：理解并掌握诱导公式
教学难点：诱导公式的灵活应用
教学过程：
一、问题情境：
若α是Rt ABC 的一个锐角，则sin(
2πα-)=______,cos(2πα-)=_______. 问题：若α是任意角，结论还成立吗？
二、学生活动：
探究：对于任意给定的角α
1、若α与β的终边关于直线y=x 对称，
则sin α=________,cos α=_________.
2、角α与
2πα-终边关于___________对称。

所以，sin(
2πα-)=_____,cos(2πα-)=_____. 思考：sin(2π
α+)，cos(2πα+)与角α的正、余弦又有何关系？
三、知识建构：
1、公式5：
2、公式6：
说明：
四、知识运用：
例1、求证：sin(3
2πα+)=-cos α, cos(32
πα+)=sin α y x y=x P P ’ O M ’ M
小结：
例2、已知cos(75°+α)=1
3
，且-180°<α<-90°，求cos(15°-α)的值。

1.2.3 三角函数的诱导公式（3）一、课题：三角函数的诱导公式（3）二、教学目标：1.牢固掌握五组诱导公式，熟练运用公式进行三角函数的求值、化简及恒等证明；2.能运用化归思想解决与其它知识结合的综合性问题；3.渗透分类讨论的数学思想，提高分析和解决问题的能力。

三、教学重、难点：1．熟练、准确地运用公式进行三角函数求值、化简及证明；2．带字母的三角函数的化简（分类讨论类型）。

四、教学过程：（一）复习：1．复习五组诱导公式（包括正切）；2．分析记忆公式的口诀“函数名不变，符号看象限”；3．求任意角的三角函数的一般步骤。

4．练习：（1）化简：课本32页的练习第4题；（2）求值：①sin 315sin(1260)cos570sin(840)-+-o o o o ． （答案34） ②sin()sin(2)sin(3)sin(102)6666ππππππππ++++L ． （答案10212） （3）证明：sin(2)cos()1cos()sin(3)sin()sin παπαπαπαπαα-+=------． 说明：结合“口诀”，加强运用公式的熟练性、准确性。

（二）新课讲解：例1 已知：tan 3α=，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值。

解：∵tan 3α=， ∴原式2cos 3sin 23tan 74cos sin 4tan αααααα-+-+===--． 说明：第二步到第三步应用了“弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的cos α，得到一个只含tan α的教简单的三角函数式。

变式训练：已知：1tan()2πα+=-，求sin(7)cos(5)απαπ-+的值。

解答：1tan()tan 2παα+==-，原式 222sin cos tan 2sin cos sin cos 1tan 5αααααααα====-++． 说明：同样应用上题的技巧，把sin cos αα看成是一个分母为1的三角函数式，注意结合“口诀”及22sin cos αα+的运用。

1.2.3三角函数的诱导公式（2）【学习目标】1、 能进一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值2、 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化进程3、 进一步准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值。

口诀：奇变偶不变，符号看象限【重点难点】诱导公式的推导和应用【自主学习】一、温习四组诱导公式：函数名不变，符号看象限二、已知：,3tan =α求)2sin()cos(4)sin(3)cos(2απααπαπ-+-+--的值1、 若角α的终边与角β的终边关于直线y=x 对称（如图），（1） 角α与角β的正弦函数与余弦函数值之间有何关系？ （2） 角α与角β有何关系？（3） 由（1），（2）你能发觉什么结论？yxP角β的终边角α的终边MM'P'y=x当角α的终边与角β的终边关于y=x 对称时，α与β的关系为：_________________ 公式五（ ）：__________________________________________;__________________________________________; ___________________________________________. 试探：若角α的终边与角β的终边关于直线x y -=对称，你能取得什么结论？当角α的终边与角β的终边关于x y -=对称时，α与β的关系为：_________________ 公式六（ ）：__________________________________________;__________________________________________; ___________________________________________.试探：这六组公式可以用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，如何理解这一口诀？【典型例题】例1、 求证：ααπcos 23sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，ααπsin 23cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+．例2、例3、 化简：（1）0000800cos 260sin 440cos 280sin 21++（2）)2cos()23sin()27cos()2sin()23sin()sin()3tan(απαππααπαπαπαπ++--+---例3、已知()3175cos =+α，且90180-<<-α，求()α- 15cos ．【课堂练习】1、 求证：ααπsin 23cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，ααπcos 23sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-．2、 化简：200020sin 170cos 160cos 200sin 21)1(--- （2）)tan()23cos()2sin(1)(tan 12αππααπα+--+-3、已知31)75cos(0=+α，α是第三象限角，求)105sin()105cos(00-+-αα的值4、判断函数)23cos()23sin(1cos sin )(44x x x x x f -+-+=ππ的奇偶性五、求值：90sin 89sin 3sin 2sin 1sin 22222+++++．【课堂小结】。

课题：§1.2.3 三角函数的诱导公式（2） 总第____课时班级_______________姓名_______________ 【学习目标】1. 经历诱导公式五、六的推导过程，体会数学知识的“发现”过程;2. 掌握诱导公式五、六，能初步应用公式解决一些简单的问题;3. 领会数学中转化思想的广泛性，了解诱导公式就是具有一定关系的几何特征关系的代数表示，从而对诱导公式能够达到属性结合的认识高度．【重点难点】学习重点：诱导公式五、六的推导探究，诱导公式的应用．学习难点：发现终边与角α的终边关于直线y x =对称的角与α之间的数量关系.【学习过程】一、自主学习与交流反馈问题1：在直角△ABC 中，∠C = 90°，sinA 与cosB 及cosA 与sinB 有什么数量关系？问题2： π6与π3两角的终边关于_________对称；α与π2- α的终边关于_________对称. α、β角的终边关于直线y = x 对称，它们的终边分别与单位圆交于点P 、Q ，两点的坐标分别为P( ______，_______)，Q(______，______)，从这两点的坐标的关系可以得到的结论是：问题3：我们可以得到tan(π2- α)与tan α的数量关系吗？二、知识建构与应用：1．得到Q 的坐标为(,)y x 后，引导学生用三角函数的定义写出角2πα-的三角函数：sin sin()cos 2yx απαα=-== cos cos()sin 2x y απαα=-==所以我们得到了公式五：sin()________,2cos()________,2παπα-=-=2. 那角2πα+与角α又有怎样的关系呢？ 学生可能会想到仍然是画图研究，教师引导用已学的公式来探究：将2πα+进行恰当的等价变形，并用换元思想考虑． sin()sin[()]sin()cos 222πππαπααα+=--=-= 同理： cos()cos[()]cos()sin 222πππαπααα+=--=--=- 所以得到公式六：sin()_________,2cos()_________,2παπα+=+=三、例题四、练习:1. 已知cos α = a , 则sin(5π2 + α) = _________, sin(α - 3π2) = ___________.2. 化简cos(α - π)sin(π - α)·sin(α - π2)cos(π2+ α) = ______________.3. 已知sin(π4 - x) = - 15, 且0 < x < π2, 求sin(π4+ x)的值.4. 已知cos(40° - α) = 35, 且90° < α < 180°, 求cos(50° + α)的值.。

[课 题]：1.2.3 三角函数的诱导公式(二)[知识摘记][例题解析]例1求证：ααπcos )23sin(-=+，ααπsin )23cos(=+例2)2cos()5cos()2sin()4sin()cot()2tan()23cos()2sin(α+π-α+πα-πα-π=α+π-+α-πα-π-α+πk k k 求证：例3已知31)75cos(=+α ，且 90180--α，求)15cos(α- 的值。

变式：)2sin(,1)sin(31sin β+α=β+α=β求，已知例4的值。

求)4(cos )4(cos 22α+π+α-π例5)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求若=[练习与反思] 1.)(cos ),(,)14sin()(sin x f R x Z n x n x f 求已知∈∈+= 2. )3(,)cos()180(cos 223)90sin()360(sin cos 2)(223πα-++α+-α++α-+α=αf f 求设 反思：[课外作业]1．若x x f 3cos )(cos =，则)30(sin f 的值为2．若x x f cos )(sin =，则)(cos x f 的值为3．已知三角形中两内角Ａ，Ｂ，满足sin2A=sin2B,则这个三角形的形状是4．已知锐角α的终边上一点Ａ的坐标为（3cos 2,3sin 2-），则sin α=________, tan α=______,α=_________．5．=++++πππππtan 54tan 53tan 52tan 5tan ____________． 6．在非直角三角形中，有下列各式：① C B A sin )sin(-+ ② C B A cos )cos(++ ③ )tan(tan C A B ++ ④ 22sin ()cos A B C ++ ⑤C B A 22cot )(tan + ⑥2cos 2sin C B A -⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 其中为常数的表达式序号是____________________________(要求将所有的都填上)7．已知)1||()6cos(≤=-a a θπ，求)65cos(θπ+和)32sin(θπ-的值．8．计算)139tan()63tan()49tan()27tan(αααα-+-- 的值．9．求满足)2,0(,22)4sin(πααπ∈=-的角．。

1.2.3 三角函数的诱导公式（2）一、课题：三角函数的诱导公式(2)二、教学目标：1.引导学生利用公式一、二、三推导公式四、五；2.在理解、记忆五组诱导公式的基础上，正确运用公式求任意角的三角函数值及对三角函数式的化简、证明；3．加深理解化归思想。

三、教学重、难点：五组诱导公式的记忆、理解、运用。

四、教学过程：（一）复习：1．复习诱导公式一、二、三；2．对“函数名不变，符号看象限”的理解。

（二）新课讲解：1．公式推导：我们继续推导公式：即1800ααα--o o与36和的同名三角函数的关系。

（1）请学生自行仿上节课的推导方法得出它们的关系。

（2）启发学生讨论：能否根据诱导公式一、二、三推导出它们的关系。

[推导过程]sin(180)sin[180()]sin()sin αααα-=+-=--=o o ； cos(180)cos[180()]cos()cos αααα-=+-=--=-o o ；sin(360)sin[360()]sin()sin αααα-=+-=-=-o o ；cos(360)cos[360()]cos()cos αααα-=+-=-=o o ．[结论]诱导公式四：sin(180)sin αα-=o； cos(180)cos αα-=-o ．诱导公式五：sin(360)sin αα-=-o； cos(360)cos αα-=o ．说明：①公式二中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③公式特点：函数名不变，符号看象限；④可以导出正切：tan(180)tan αα-=-o ；tan(360)tan αα-=-o．2．五组诱导公式：五组公式可概括如下：360(),,180,360k k Z αααα+⋅∈-±-o o o 的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

说明：（1）要化的角的形式为180k α⋅±o （k 为常整数）；（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；（3）利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。

课题：三角函数的诱导公式（1）教学目标：1．知识基础目标：通过本小节的学习要使学生掌握三角函数的诱导公式，能正确运用这些公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及进行简单三角函数式的化简与恒等式的证明。

2．能力训练目标：借助单位圆中的三角函数的定义，能推导出正弦、余弦的诱导公式。

3．创新素质目标：能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，提高分析和解决问题的能力。

4．情感、态度与价值观：通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。

教学重点：公式的发现，通过多媒体演示去探究发现公式； 教学难点：发现圆的几何性质（特别是对称性）与三角函数性质的联系，特别是直角坐标系内关于直线对称的点的性质与三角函数的诱导公式的关系。

教学方法：引导启发、自主探究 教学手段：多媒体 教学过程： 一、复习回顾：1．终边相同的角的概念； 2．三角函数值的定义: 3. 三角函数在各象限内符号；4. 问题提出：目前我们只知道锐角的三角函数值，如： 求值（学生口答）：=3sinπ， =3cosπ， =3tanπ。

并且知道锐角的三角函数值均为正值.如何求其它非锐角的三角函数值呢？二、新知探究： 【问题情境，感受概念】问题1：求出37cosπ的值。

【学生探究】：①试着用定义求三角函数值，进而发现角的终边的关系。

②由三角函数的定义，终边相同的角的同名三角函数值相等，则： sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，（k ∈Z ）对于tan(α＋2k π)，可以根据定义直接得到等于tan α，还有方法： tan(α＋2k π)＝sin(α＋2k π) cos(α＋2k π)＝sin αcos α＝tan α．（k ∈Z ）公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α， （k ∈Z ）tan(α＋2k π)＝tan α．例1：求49tan π问题2：求出)3sin(π-的值。

课题：必修4 三角函数的诱导公式1无锡市第六高级中学杜根华教学目标：1．知识与技能：〔1〕通过本节内容的教学，使学生掌握＋∈Z，，角的正弦、余弦的诱导公式及其探求思路；〔2〕能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题．2．过程与方法：〔1〕经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力．〔2〕通过对诱导公式的探求和运用，培养学生的化归能力，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力．3．情感、态度、价值观：〔1〕通过对诱导公式的探求，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质．〔2〕在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神．教学重点：三角函数的诱导公式的推导和公式的灵活运用．教学难点：理解每一组公式的意义及其中符号语言的特征，并把公式与相应图形对应起来．教学方法与教学手段：问题教学法、合作学习法，结合多媒体课件演示分析．内容分析：诱导公式沟通了任意角三角函数值与锐角三角函数值以及终边有特殊位置关系的角的三角函数值之间的联系．在求任意角的三角函数值，解决有关的三角变换等方面有重要的作用．由角的终边的某种对称性，导致终边与单位圆的交点也具有相应的对称性，这样就产生了、等诱导公式，我们知道，角的终边与角的终边关于轴对称，角的终边与角的终边关于轴对称，角的终边与角的终边关于原点对称，所以、、各角的三角函数值与角的三角函数值的绝对值相同，符号由各角所在象限的原三角函数的符号来确定，诱导公式看起来很多，但是抓住终边的对称性及三角函数定义，明白公式的来龙去脉也就不难记忆了．诱导公式可以帮助我们把任意角的三角函数化为锐角三角函数，在求任意角的三角函数值时起很大作用，但是随着函数计算器的普及，诱导公式更多地运用在三角变换中，特别是诱导公式中的角可以是任意角，即，它在终边具有某种对称性的角的三角函数变换中，应用广泛，如后续课中，画余弦曲线就是利用诱导公式把正弦曲线向左平移个长度单位而得到的．在教学中，提供应学生的记忆方法一定要重在理解、重在逻辑、重在思考，以到达优化思维品质的成效．教学过程：角的概念已经由锐角推广到了任意角，设任意角的终边与单位圆交于点，那么，由三角函数的定义知，即．那么任意角的三角函数值怎么求呢？一、问题提出先看一个具体的问题．【问题1】求390°角的正弦、余弦值．学生思考解答，并交流，说出理由．一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等，三角函数值的关系的就是终边位置关系．即有：in＋·360°＝in，co＋·360°＝co，〔∈Z〕tan＋·360°＝tan．这组公式用弧度制可以表示成：in＋＝in，co＋＝co，〔∈Z〕公式一tan＋＝tan．诱导公式一的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0º―360º之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0º―360º内找出与角终边相同的角，再把它写成诱导公式一的形式，然后得出结果．运用公式时，注意“弧度〞与“度〞两种度量制不要混用，如写成，是不对的．二、尝试推导由上一组公式，我们知道，与终边相同的角＋由终边旋转整数圈而来，终边相同的角的同一三角函数值一定相等．除此之外，还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于轴、轴、原点对称，那么他们的三角函数值有何关系呢？【问题2】求 30°角的正弦、余弦值．学生思考解答，并交流．提问：把30°角推广到任意角，是不是角与的终边总是关于轴对称呢？用几何画板演示从而将特殊角推广到任意角．因为角与角的终边关于轴对称，假设角的终边与单位圆交于点，那么角的终边与单位圆的交点为．由对称性知纵坐标互为相反数，横坐标相等，即．于是，我们就得到了角与角的三角函数值之间的关系：正弦值互为相反数，余弦值相等，故in＝-in，co＝co，〔公式二〕tan＝-tan．作用：将负角化为正角；正弦函数、余弦函数奇偶性的判断．进而，就得到研究三角函数诱导公式的途径：对称关系→角间关系→坐标关系→三角函数值间关系．板演三、自主探究刚刚我们利用单位圆，得到了终边关于轴对称的角与角的三角函数值之间的关系，下面我们还可以研究什么呢？【问题3】两个角与的终边关于什么对称，你有什么结论？两个角与的终边呢？与角终边关于原点O对称，有：in＝-in，co＝-co，〔公式四〕tan＝tan．思考：请大家回忆一下，刚刚我们是如何获得这组公式〔公式四〕的？由学生讲述，教师适时提炼：设的终边与单位圆交于点，那么角终边关于原点对称的终边，即角的终边与单位圆的交点为．由对称性知纵坐标互为相反数，横坐标也互为相反数，即．学生自主推导一组的诱导公式，并请学生上讲台交流．角与角的终边关于轴对称，有in＝in，co＝- co，〔公式三〕tan＝- tan．提问：你还能用前面几组公式推导吗？=．上面的公式一～四都称为三角函数的诱导公式．提问：观察以上四组公式，在角、函数名和符号上有什么变化？四组诱导公式可概括为：“函数名不变，符号看象限〞．＋∈Z，，的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，但实际上可以是任意角．四、简单运用1、求以下各三角函数值：1in；2co-120213tan-855︒分析：此题是诱导公式的简单运用题．求解时一般先用诱导公式二把负角的正弦、余弦化为正角的正弦、余弦，然后再用诱导公式一、三、四把它们化为锐角的三角函数来求．2、化简in－2co－2－π·tan2－4π所得的结果是_________．－2in2选题目的：熟练掌握四组诱导公式及同角三角函数关系中商数关系的灵活运用．五、回忆反思【问题4】回忆一下，我们是怎样获得诱导公式的？研究的过程中，你有哪些体会？利用终边具有某种对称关系的两个角的三角函数值之间的关系，得到四组诱导公式，思想方法上，诱导公式主要表达了由未知转化为的化归思想和数形结合的数学思想．求任意角的三角函数值的根本途径之一，先用诱导公式二把负角的正弦、余弦化为正角的正弦、余弦，然后再用诱导公式一、三、四把它们化为锐角的正弦、余弦来求，也可以先用诱导公式一化为绝对值在0º―360º之间角，再用公式二、三、四化为锐角．课堂反应：课本：练习1、2、3 看时间许可，来不及的课后完成六、分层作业1．阅读课本，体会三角函数诱导公式推导过程中的思想方法；2．必做题：课本：133．思考题：1你能由公式二、三、四中的任意两组公式推导到另外一组公式吗？2角和角的终边还Array有哪些特殊的位置关系，你能探究出它们的三角函数值之间的关系吗？七、板书设计。