浙江省“2+2”高等数学B试卷及答案

----------------------2009年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学》试卷-------------------第 页，共 12 页1 2009年浙江省普通高校“2 + 2”联考《 高等数学 》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有6个小题，每一小题4分，共24分）1．函数 11,,)1ln()(<≥++⋅⎩⎨⎧=x x eb x a x f x在 1=x 处可导 ，则 a = ， b = .2．若函数 0)(≠x f 满足方程 1)(2)(02+=⎰xdt t f x f ，则 )(x f = .3 . 二阶常系数线性非齐次微分方程 x y y sin ''=+ 的通解是 . 4．设 ,,),,(αααT A c b a == *A 为 A 的伴随矩阵, 则 *A = .5．设 A 为 n 阶方阵，E E AA T,= 为 n 阶单位阵, 0<A , 则 =+E A .6. 袋中有6只红球4只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，则得分不小于7的概率为 .二．选择题. （本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）1．二元函数 y x y x y x f ln ln 22),(22--+= 在其定义域内 ( ) .（A ） 有极小值（B ） 有极大值 （C ） 既有极大值也有极小值 （D ） 无极值姓名：_____________准考证号：______________________报考学校 报考专业------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------第 页，共 12 页2 2. R 为收敛半径的充分必要条件是 ( ) .（A ）当 R x ≤ 时，∑+∞=1n nn x a 收敛，且当 R x > 时∑+∞=1n nn x a 发散（B ） 当 R x < 时，∑+∞=1n nn x a 收敛，且当 R x ≥ 时∑+∞=1n nn x a 发散（C ）当 R x < 时，∑+∞=1n nn x a 收敛，且当 R x > 时∑+∞=1n nn x a 发散（D ）当 R x R ≤<- 时，∑+∞=1n nn x a 收敛，且当 R x > 或 R x -≤ 时∑+∞=1n nn x a 发散3．已知二元函数 ),(y x f 在点 )0,0( 某邻域内连续 ， 且 1),(lim223300=+++→→yx yx y x f y x ，则（ ）.（A ） 点 )0,0( 不是二元函数 ),(y x f 的极值点 （B ） 点 )0,0( 是二元函数 ),(y x f 的极大值点 （C ） 点 )0,0( 是二元函数 ),(y x f 的极小值点 （D ） 无法判断点 )0,0( 是否是二元函数 ),(y x f 的极值点 4．对于非齐次线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********以下结论中 不正确 的是 ( ).(A) 若方程组无解, 则系数行列式 0=D (B) 若方程组有解, 则系数行列式 0≠D (C) 若方程组有解, 则或有唯一解, 或有无穷多解 (D) 0≠D 是方程组有唯一解的充分必要条件5. 某单位电话总机在长度为 t (小时) 的时间间隔内, 收到呼叫的次数服从参数为3t 泊松分布, 而与时间间隔的起点无关, 则在一天24小时内至少接到1次呼叫的概率为 ( ).第 页，共 12 页3 (A) 1-e (B) 41--e (C) 8-e (D) 8-1-e三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共7个小题，每小题9分，共63分）1. 已知 )ln 2ln (2),(y x y x y x f z +⋅+== ，在计算点 )1,2( 处函数值时，如果自变量 x 和 y 分别发生误差 02.0-=∆x 和 01.0=∆y ， 试用二元函数的微分来估计此时产生的函数值误差 z ∆ 的近似值 .2．设函数 )(x f 在点 0=x 的邻域内 连续，极限 ])1ln(2)(3[lim 2xx xx f A x ++-=→存在 ，（1）求 )0(f 的值； （2）若 1=A ，问：)(x f 在点 0=x 处是否可导？ 如不可导，说明理由；如可导，求出 )0('f .第 页，共 12 页43. （1）已知广义积分dx ex2-+∞∞-⎰是收敛的，试利用初等函数 xe 的幂级数展开式推导出这个广义积分的值大于1 的结论 ，详细说明你的理由（4 分） ；（2） 利用（1） 的结论，试比较dx ex xx 222)2(+-+∞⋅-⎰与dx ex xx 2212)2(+-⋅-⎰的大小 ，详细说明你的理由 （5 分） .第 页，共 12 页54．已知定义在全平面上的二元函数 32),()1(),(),(2+⋅++⋅=⎰⎰⎰Dd y x f x dx y x x f y x f σ ，其中 D 是由直线 x y =， 1=y 和 y 轴所围成的封闭平面区域，求 ),(y x f 的解析表达式 .___________准考证号：______________________报考学校 报考专业：-------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------第 页，共 12 页6 5．计算行列式aa a a a a a a a --------111010000011000110001 的值 .第 页，共 12 页7 6．已知 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=20120031204312,10110001100011C B , 矩阵 A 满足 : E C B CE A TT=--)(1, E 为单位阵 , 求 A .第 页，共 12 页8 7．设随机变量 ),(Y X 的概率密度函数为 ⎩⎨⎧>>⋅=+-其它,00,0,),()(y x e A y x f y x ,求 : (1) 常数 A （2分） ； (2) ),(min Y X Z = 的概率密度函数 （4分） ；（3）),(Y X 落在以 x 轴 , y 轴及直线 22=+y x 所围成三角形区域D 内的概率 （3分）.第 页，共 12 页9四．应用题： （本题共3个小题，每小题10分，共30分）1. 设工厂生产 A 、B 两种相同用途但不同档次的产品。

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2009学年第2学期 考试科目： 高等数学B Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业一、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. 试定义函数在点的值的 ，使得函数在该点连续。

2．函数在点处可微分的必要条件是函数在该点处连续或可偏导；充分条件是函数的偏导数在该点处连续。

3．设函数在闭区域上连续，且，则。

4. 判断敛散性：已知且，则是收敛的。

5. 已知某二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为，则该微分方程为。

二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 直线与平面的交点是（B ）。

（A ）（9，2，-3）。

（B ）（2，9，11）。

（C ）（2，11，13）。

（D ）（11，9，2）。

2. 若级数在处收敛，则此级数在处（A ）。

（A ）绝对收敛。

（B ）条件收敛。

（C ）发散。

（D ）收敛性不能确定。

3．二元函数 在点处 （C ）（A ）连续，偏导数存在。

（B ）连续，偏导数不存在。

（C ）不连续，偏导数存在。

（D ）不连续，偏导数不存在。

4. 设是连续的奇函数，是连续的偶函数， ，则以下结论正确的是（ A ）。

（A ） 。

（B ） 。

（C ） 。

（A ） 。

5. 微分方程的一个特解应具有形式（A,B,C 是待定常数）（ B ）。

（A ）。

（B ）。

（C ）。

（D ）。

三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） （1）设，其中和具有连续导数，求。

【解】（2）求由方程所确定的函数的全微分。

【解】方程两边求微分得 整理得（3）交换积分次序。

【解】（4）求差分方程在给定初始条件下的特解。

【解】特征方程为，所以对应的齐次方程的通解为。

又不是特征根，故可令特解为，代入原方程，得比较系数可得，，故非齐次方程的一个特解为，于是非齐次方程的通解为，由所给初始条件，可得，所以方程满足给定初始条件下的特解为。

2010年浙江省普通高校“2 + 2”联考《 高等数学 》模拟试卷2解答一、填空题：1、 2sin 3553lim2=++∞→xx x x . 【详解】 5623553lim 2sin 3553lim22=⋅++=++∞→∞→x x x x x x x x 。

【答案】 应填56。

2、已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为 2=b .【详解】 2233a x y -='，设切点为)0,(0x ，则033220=-a x ，即220a x =， 又切点在曲线上，所以 030230=+-b x a x ，302x b =，6024x b =64a =。

【答案】 应填64a .3、设二元函数)1ln()1(e y x x z yx +++=+，则 |d )0,1(=z .【详解】 y yx x y y x x x x z y x y x yx d 11d )1ln(de d e d ed +++++++=+++， 所以 y y x x z d 2d e d e d e |d )0,1(+++=y x d )2e (d 2e ++=. 【答案】 应填y x d )2e (d 2e ++.4、设四阶方阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为51,41,31,21，则行列式 ||1=--E B . 【详解】 由已知A 与B 相似，则A 与B 的特征值相同，即B 的特征值也为51,41,31,21，从而1-B 的特征值为5,4,3,2，E B --1的特征值为4,3,2,1， 244321||1=⨯⨯⨯=--E B .【答案】 应填24。

5、已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换Py x =可化成标准形216y f =，则 =a .【详解】 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000006~222222B a a a A ，)(tr )(tr B A =，63=a ，2=a .【答案】 应填2.6、设随机变量X 服从参数为),2(p 的二项分布，随机变量Y 服从参数为),3(p 的二项分布，若95}1{=≥X P ，则 }1{=≥Y P .【详解】 95)1(1)1(1}1{22002=--=--=≥p p p C X P ，所以 31=p ， 所以 27192781)1(1)1(1}1{33003=-=--=--=≥p p p C Y P . 【答案】 应填2719.二、选择题：1、设对任意的x ，总有)()()(x g x f x h ≤≤，且0)]()([lim =-∞→x h x g x ，则)(lim x f x ∞→【 】(A) 存在且等于零 (B) 存在但不一定为零 (C) 一定不存在 (D) 不一定存在【详解】反例：211)(x x x g ++=，211)(xx x h +-=。

2005年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B 》试卷一、填空题：（ 8*3）1．若 0)1ln()2(lim≠=+⋅-⎰→k xdtt t x nxx , 则自然数 n = .2．=⋅--++⋅-⋅+⋅--++∞→])2()!12()1()2(!71)2(!51)2(!312[lim 121753n n n n πππππΛ . 3 . =++-⎰21010cos sin 1cos sin πdx x x xx . 4. 已知 x xe ex y 4)23(2+⋅+= 是二阶常系数非齐次线性微分方程x e c by ay y 2'''⋅=++ 的一个特解，则该方程的通解是5． 已知 A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡252321100001 ， A * 为 A 的伴随阵，则 ()1*-A = 6．已知三元非齐次线性方程组 A Ⅹ＝b ，A 的秩 r (A) = 1 ；α1 、α2 、α3 是该线性方程组的三个解向量，且α1＋α2＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101，α2＋α3＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡531，α3＋α1＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡212该非齐次线性方程组的通解 7．设方程 02=++βαx x 中的 α 和β 分别是连续抛掷一枚骰子先后出现的点数，则此方程有实根的概率为 .8．已知男性中有 5％ 为色盲患者，女性中有 0.25％ 为色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，其恰好是色盲患者，则此人是男性的概率为 二．选择题. （8*3） 1．设函数 xx x f 1)(-=, 则正确的结论是（A ） 1=x 是 )(x f 的极值点，但 )0,1( 不是曲线 )(x f y = 的拐点； （B ） 1=x 不是 )(x f 的极值点，但 )0,1( 是曲线 )(x f y = 的拐点； （C ） 1=x 是 )(x f 的极值点，且 )0,1( 是曲线 )(x f y = 的拐点；（D ） 1=x 不是 )(x f 的极值点，)0,1( 也不是曲线 )(x f y = 的拐点.2. 设二元函数 ),(y x f 在点 )1,1( 处可微，1)1,1(')1,1(')1,1(===y x f f f ，又知)),(,(x x f x f z =，则1=x dxdz =（ ）.（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4 3．下列命题中正确的结论是 ( ) .（A ） 若∑+∞=1n n u 发散 ，则∑+∞=+-11)1(n n n u 必发散 ；B ） 若∑+∞=+-11)1(n n n u 发散 ，则 ∑+∞=1n n u 必发散 ；C ） 若∑+∞=14n nu发散 ，则∑+∞=1n n u 必发散(D ） 若 1lim 1>++∞→nn n u u, 则∑+∞=14n nu必发散.4．下列等式成立的是 （ ）.（A ） 若⎰+∞)(dx x f 和 ⎰∞-0)(dx x f 均发散，则 ⎰+∞∞-dx x f )( 必发散 ；（B ） 若⎰+∞0)(dx x f 和 ⎰+∞0)(dx x g 均发散，则 ⎰+∞+0)]()([dx x g x f 必发散 ；（C ） 若⎰+∞)(dx x f 和 ⎰+∞)(dx x g 均发散，则 ⎰+∞⋅0)]()([dx x g x f 必发散 ；（D ） 若⎰+∞)(dx x f 收敛， ⎰+∞)(dx x g 发散，则 ⎰+∞⋅0)]()([dx x g x f 必发散 .5．设二次型 32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ 为正定二次型 ，则λ 的取值范围为（ ）.（A ）1<λ （B ）2->λ（C ）22<<-λ （D ）12<<-λ6．设随机变量 ξ～N （μ，52），η～N （μ，42），概率值 )5(1+<=μξP P , )4(2->=μξP P ，则下式（ ）是正确的 . （A ）对任意μ 均有 21P P = （B ）对任意 μ 均有 21P P <（C ）对任意μ 均有 21P P > （D ）只对 μ 的个别值有 21P P =7．一个复杂的系统由 100 个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间，每个部件损坏的概率为 0.1 ，为了使整个系统起作用，至少必须有 85个部件正常工作，则整个系统起作用的概率约为（ ）.（ )(x Φ 为标准正态分布函数）（A ）)1(Φ （B ）1－)1(Φ （C ）)34(Φ （D ）)35(Φ 8．已知随机向量（ξ，η）的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它，，04220)6(81),(y x y x y x f则概率值 P （4≤+ηξ）＝（ ） （A ）21 （B ）32 （C ）83 （D ）43三．计算题：（9*7）1． 计算极限 )]1sin 1([lim 2xx x x ⋅-∞→ .2.)0(4>+=x xb ax y 与 x a b y ln 3-= 在 1=x 处垂直相交（即它们在交点处的切线相互垂直），求常数 a 与 b 值.3. 计算二重积分 )(31σd y x x I D⎰⎰+= ，其中 D 为直线 1=+y x ，0=x和 0=y 所围成的平面区域 . 4．设函数 a x x y --=sin 2 在 )2,0(π 内有且仅有1个零点，求正数 a 的取值范围 .5．设函数 )(x f 在 ),(+∞-∞ 上可导 ，且满足dt t f x f x dt t x f x)()1(1)(01⎰⎰-+=+++ ， 求)(x f 的表达式 .6．已知矩阵 A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011101110，B ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111011001 ，且矩阵 P 满足 E BPA APB BPB APA ++=+ ，其中 E 为单位阵 ，求 P7．已知矩阵A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡60002282x 相似于对角阵 Λ，试求常数 x ，并求可逆阵 P ，使 Λ=-AP P 1.8．设随机变量 ξ 的密度函数为 ⎩⎨⎧<<=其它10)(2x ax x f ， 求（1）常数 a ； （2） ξ 的期望 ξE 和方差 ξD ； （3） 2ξ 的概率密度函数； （4） 概率值 )2(=ηP ，其中 η 表示对 ξ 的三次独立重复观察中事件 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21ξ 出现的次数. 9．已知随机向量 （ξ，η） 的联合分布律为η－1 1 2 ξ－1 0.25 0.1 0.32 0.15 0.15 0.05求（1ηξ+ 的分布律； （2）在 η＝－1 条件下 ξ 的分布律（3）期望值 )(ηξ⋅E .四．应用题： （3*8）1．为销售某产品，拟作电视和电台广告宣传，当电视广告与电台广告宣传费分别为 和 y （万元）时，销售量为yyx x +++10725100（吨）. 若该产品每吨销售价为2000元 . 问： 1） 如要使总广告费不超过 10 万元 ，应如何分配电视与电台广告费 使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少 ？2）如总广告费恰好是 4.8 万元 ，又应如何分配电视与电台广告费 ，使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少2．设 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2111ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112k ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113k ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a η ； 问：（1）在什么条件下，η 可由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ，且表法唯一 ？ （2）在什么条件下，η 可由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ，表法不唯一 并写出不同的表示式 .（3）在什么条件下 ，η 不能由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ？3．设自动生产线加工的某种零件的内径 ξ ～ )1,(μN ；内径小于 10 或者大于12 的为不合格品 ，其余为合格品 ，销售每件合格品可获利 20 元 ，销售每件不合格品要亏损 ，其中内径小于 10 的亏 1 元 ，内径大于12 的亏 5 元 ，求平均内径 μ 取何值时 ，销售一个零件的平均利润最大 ?五．证明题： （ 8*7） 1． 证明： （1） 若级数)0()1(11>⋅-∑+∞=+n n n n a a 绝对收敛 ，则级数∑+∞=-112n n a是收敛级数 ；（2） 若级数)0()1(11>⋅-∑+∞=+n n n n a a 条件收敛 ， 则级数∑+∞=-112n n a是发散级数 .2． 设向量 1ξ ，2ξ ，…… ，r ξ 是线性方程组 0=AX 的一个基础解系 ，向量 η 不是 0=AX 的解向量 证明向量组 η，1ξη+ ，2ξη+ ，…… ，r ξη+ 线性无关 .2006年浙江省普通高校“2 + 2”联考《 高等数学B 》试卷一、填空题：（ 8*3，共24分） 1．函数 xx y 23)2(+=的渐近线有2．设 1)23()2)(2(lim )(22+++-+-=+∞→x x n x x n x f n ，则 )(x f 的第一类间断点是 .3 . 设 yxe x e y y x xy z ++⋅-++⋅=)21ln()1()tan()sin( ， 则=∂∂)1,0(y z .4. 二阶常系数非齐次线性微分方程 xe xy y y =--2''' 特解猜想的试解形式是 5． 袋中有10个新球和2个旧球，每次取一个，取后不放回，则第二次取出的是旧球的概率 p = 。

2005年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B 》试卷一、填空题：（ 8*3）1．若 0)1ln()2(lim≠=+⋅-⎰→k xdtt t x nxx , 则自然数 n = .2．=⋅--++⋅-⋅+⋅--++∞→])2()!12()1()2(!71)2(!51)2(!312[lim 121753n n n n πππππΛ . 3 . =++-⎰21010cos sin 1cos sin πdx x x xx . 4. 已知 x xe ex y 4)23(2+⋅+= 是二阶常系数非齐次线性微分方程x e c by ay y 2'''⋅=++ 的一个特解，则该方程的通解是5． 已知 A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡252321100001 ， A * 为 A 的伴随阵，则 ()1*-A = 6．已知三元非齐次线性方程组 A Ⅹ＝b ，A 的秩 r (A) = 1 ；α1 、α2 、α3 是该线性方程组的三个解向量，且α1＋α2＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101，α2＋α3＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡531，α3＋α1＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡212该非齐次线性方程组的通解7．设方程 02=++βαx x 中的 α 和β 分别是连续抛掷一枚骰子先后出现的点数，则此方程有实根的概率为 .8．已知男性中有 5％ 为色盲患者，女性中有 0.25％ 为色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，其恰好是色盲患者，则此人是男性的概率为 二．选择题. （8*3） 1．设函数 xx x f 1)(-=, 则正确的结论是（A ） 1=x 是 )(x f 的极值点，但 )0,1( 不是曲线 )(x f y = 的拐点； （B ） 1=x 不是 )(x f 的极值点，但 )0,1( 是曲线 )(x f y = 的拐点； （C ） 1=x 是 )(x f 的极值点，且 )0,1( 是曲线 )(x f y = 的拐点；（D ） 1=x 不是 )(x f 的极值点，)0,1( 也不是曲线 )(x f y = 的拐点.2. 设二元函数 ),(y x f 在点 )1,1( 处可微，1)1,1(')1,1(')1,1(===y x f f f ，又知)),(,(x x f x f z =，则1=x dxdz =（ ）.（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4 3．下列命题中正确的结论是 ( ) .（A ） 若∑+∞=1n n u 发散 ，则∑+∞=+-11)1(n n n u 必发散 ；B ） 若∑+∞=+-11)1(n n n u 发散 ，则 ∑+∞=1n n u 必发散 ；C ） 若∑+∞=14n nu发散 ，则∑+∞=1n n u 必发散(D ） 若 1lim 1>++∞→nn n u u, 则∑+∞=14n nu必发散.4．下列等式成立的是 （ ）.（A ） 若⎰+∞)(dx x f 和 ⎰∞-0)(dx x f 均发散，则 ⎰+∞∞-dx x f )( 必发散 ；（B ） 若⎰+∞0)(dx x f 和 ⎰+∞0)(dx x g 均发散，则 ⎰+∞+0)]()([dx x g x f 必发散 ；（C ） 若⎰+∞)(dx x f 和 ⎰+∞)(dx x g 均发散，则 ⎰+∞⋅0)]()([dx x g x f 必发散 ；（D ） 若⎰+∞)(dx x f 收敛， ⎰+∞)(dx x g 发散，则 ⎰+∞⋅0)]()([dx x g x f 必发散 .5．设二次型 32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ 为正定二次型 ，则λ 的取值范围为（ ）.（A ）1<λ （B ）2->λ（C ）22<<-λ （D ）12<<-λ6．设随机变量 ξ～N （μ，52），η～N （μ，42），概率值 )5(1+<=μξP P , )4(2->=μξP P ，则下式（ ）是正确的 . （A ）对任意μ 均有 21P P = （B ）对任意 μ 均有 21P P <（C ）对任意μ 均有 21P P > （D ）只对 μ 的个别值有 21P P =7．一个复杂的系统由 100 个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间，每个部件损坏的概率为 0.1 ，为了使整个系统起作用，至少必须有 85个部件正常工作，则整个系统起作用的概率约为（ ）.（ )(x Φ 为标准正态分布函数）（A ）)1(Φ （B ）1－)1(Φ （C ）)34(Φ （D ）)35(Φ 8．已知随机向量（ξ，η）的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它，，04220)6(81),(y x y x y x f则概率值 P （4≤+ηξ）＝（ ） （A ）21 （B ）32 （C ）83 （D ）43三．计算题：（9*7）1． 计算极限 )]1sin 1([lim 2xx x x ⋅-∞→ .2.)0(4>+=x xb ax y 与 x a b y ln 3-= 在 1=x 处垂直相交（即它们在交点处的切线相互垂直），求常数 a 与 b 值.3. 计算二重积分 )(31σd y x x I D⎰⎰+= ，其中 D 为直线 1=+y x ，0=x和 0=y 所围成的平面区域 . 4．设函数 a x x y --=sin 2 在 )2,0(π 内有且仅有1个零点，求正数 a 的取值范围 .5．设函数 )(x f 在 ),(+∞-∞ 上可导 ，且满足dt t f x f x dt t x f x)()1(1)(01⎰⎰-+=+++ ， 求)(x f 的表达式 .6．已知矩阵 A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011101110，B ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111011001 ，且矩阵 P 满足 E BPA APB BPB APA ++=+ ，其中 E 为单位阵 ，求 P7．已知矩阵A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡60002282x 相似于对角阵 Λ，试求常数 x ，并求可逆阵 P ，使 Λ=-AP P 1.8．设随机变量 ξ 的密度函数为 ⎩⎨⎧<<=其它10)(2x ax x f ， 求（1）常数 a ； （2） ξ 的期望 ξE 和方差 ξD ； （3） 2ξ 的概率密度函数； （4） 概率值 )2(=ηP ，其中 η 表示对 ξ 的三次独立重复观察中事件 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21ξ 出现的次数. 9．已知随机向量 （ξ，η） 的联合分布律为η－1 1 2 ξ－1 0.25 0.1 0.32 0.15 0.15 0.05求（1ηξ+ 的分布律； （2）在 η＝－1 条件下 ξ 的分布律（3）期望值 )(ηξ⋅E .四．应用题： （3*8）1．为销售某产品，拟作电视和电台广告宣传，当电视广告与电台广告宣传费分别为 和 y （万元）时，销售量为yyx x +++10725100（吨）. 若该产品每吨销售价为2000元 . 问： 1） 如要使总广告费不超过 10 万元 ，应如何分配电视与电台广告费 使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少 ？2）如总广告费恰好是 4.8 万元 ，又应如何分配电视与电台广告费 ，使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少2．设 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2111ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112k ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113k ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a η ； 问：（1）在什么条件下，η 可由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ，且表法唯一 ？ （2）在什么条件下，η 可由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ，表法不唯一 并写出不同的表示式 .（3）在什么条件下 ，η 不能由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ？3．设自动生产线加工的某种零件的内径 ξ ～ )1,(μN ；内径小于 10 或者大于12 的为不合格品 ，其余为合格品 ，销售每件合格品可获利 20 元 ，销售每件不合格品要亏损 ，其中内径小于 10 的亏 1 元 ，内径大于12 的亏 5 元 ，求平均内径 μ 取何值时 ，销售一个零件的平均利润最大 ?五．证明题： （ 8*7） 1． 证明： （1） 若级数)0()1(11>⋅-∑+∞=+n n n n a a 绝对收敛 ，则级数∑+∞=-112n n a是收敛级数 ；（2） 若级数)0()1(11>⋅-∑+∞=+n n n n a a 条件收敛 ， 则级数∑+∞=-112n n a是发散级数 .2． 设向量 1ξ ，2ξ ，…… ，r ξ 是线性方程组 0=AX 的一个基础解系 ，向量 η 不是 0=AX 的解向量 证明向量组 η，1ξη+ ，2ξη+ ，…… ，r ξη+ 线性无关 .2006年浙江省普通高校“2 + 2”联考《 高等数学B 》试卷一、填空题：（ 8*3，共24分） 1．函数 xx y 23)2(+=的渐近线有2．设 1)23()2)(2(lim )(22+++-+-=+∞→x x n x x n x f n ，则 )(x f 的第一类间断点是 .3 . 设 yxe x e y y x xy z ++⋅-++⋅=)21ln()1()tan()sin( ， 则=∂∂)1,0(y z .4. 二阶常系数非齐次线性微分方程 xe xy y y =--2''' 特解猜想的试解形式是 5． 袋中有10个新球和2个旧球，每次取一个，取后不放回，则第二次取出的是旧球的概率 p = 。

06/07试卷（B ）（本试卷共4页）1、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0001sin 1sin ),(xy xy x y y x y x f ，则极限),(lim 00y x f y x →→=。

(A)不存在(B)等于1(C)等于零 (D)等于2 2、设函数221y x z +-=，则点(,)00是函数z 的（A ）极大值点但非最大值点（B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点（D ）极小值点且是最小值点3、设f (x ,y )为连续函数，则积分可交换积分次序为4、 级数()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--1cos 11n n n α（常数0>α）（A ）发散；（B ）条件收敛；（C ）绝对收敛；（D ）敛散性与α有关。

5、幂级数n n n x n 2131-∞=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+的收敛半径是 (A)1；(B)3e ；(C)3-e ；(D)1-.6、微分方程x x y y 2cos =+''的一个特解应具有形式（A ）x D Cx x B Ax 2sin )(2cos )(+++（B ）x Bx Ax 2cos )(2+（C ）x B x A 2sin 2cos +（D ）x B Ax 2cos )(+一. 1、设函数xy y x y x y x f =+=),(,),(22ϕ，则[]),(),,(y x y x f f ϕ=??????。

2、曲线3231,2,t z t y t x ===在点)31,2,1(处的切线方程是。

3、曲线上任一点),(y x 处的切线斜率为该点横坐标的平方，则此曲线的方程是。

4、如果幂级数()∑∞=-01n n n x a 在1-=x 处收敛，在3=x 处发散，则它的收敛域是. 二. 解答下列各题（本大题共2小题，总计12分） 1、（5分）设)tan ln(x y z =，求y x z z ,。

2、（7分）求函数xy z e u z +-=在点（2,1,0）处沿曲面3=+-xy z e z 法线方向四、解答下列各题（本大题共2小题，总计14分） 1、(7分)计算二重积分224+-⎰⎰D xy dxdy 其中D ：x2+y 2≤9.f (x ,y )为连续函数，写出积分在极坐标系中先积r 后积θ的二次积分。

高等数学试卷一、 单项选择题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1. 由[,]a b 上连续曲线y = g (x )，直线x a =，x b =()a b <和x 轴围成图形的面积S =( ).(A)dx x g ba⎰)((B)dx x g ba⎰)((C) dx x g ba⎰)((D)2))](()([a b a g b g -+2.下列级数中，绝对收敛的是（ ）（A ）()∑∞=--11321n nn n （B ）()∑∞=-+-11)1ln(311n n n（C ）()∑∞=-+-12191n n n n （D ）3.设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数.则=∂∂22y z( ).(A)222y v v f y v y v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂ (B)22y v v f ∂∂⋅∂∂(C)22222)(y v v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂ (D)2222yv v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂4.⎰-1121dx x （ ）（A ）2 （B ）-2（C ）0 （D ）发散5. 求微分方程2x y =''的通解（ ）（A ）21412c x c x y ++= （Ｂ）cx x y +=124 （C ）c x y +=124 （D ）221412c x c x y ++= 二、 填空（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1. 若⎰=22sin 3)(x dt t x x f ，则()f x '=2. 设f (x ,y )是连续函数，交换积分次序：⎰⎰⎰⎰+212141410),(),(yy ydx y x f dy dx y x f dy =3.幂级数()()∑∞=--121!21n nn n x 的收敛半径是4. 已知5)2(,3)2(,1)0('===f f f ，则⎰=2'')(dx x xf通解为x ce y x+=的微分方程为三、 计算下列各题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）1. x y z cos )(ln =，求。

2009年浙江省普通高校“2 + 2”联考《 高等数学 》试卷一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有6个小题，每一小题4分，共24分） 1．函数 11,,)1ln()(<≥++⋅⎩⎨⎧=x x e b x a x f x在 1=x 处可导 ， 则 a = ， b = .2．若函数 0)(≠x f 满足方程 1)(2)(02+=⎰xdt t f x f ，则)(x f = .3 . 二阶常系数线性非齐次微分方程 x y y sin ''=+ 的通解是 .4．设,,),,(αααT A c b a == *A 为 A 的伴随矩阵, 则 *A = .5．设 A 为 n 阶方阵，E E AA T ,= 为 n 阶单位阵, 0<A , 则 =+E A .6. 袋中有6只红球4只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，则得分不小于7的概率为 .二．选择题. （本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）1．二元函数 y x y x y x f ln ln 22),(22--+= 在其定义域内( ) .（A ） 有极小值 （B ） 有极大值 （C ） 既有极大值也有极小值 （D ） 无极值2. R 为收敛半径的充分必要条件是 ( ) . （A ）当 R x ≤ 时，∑+∞=1n nnx a收敛，且当 R x > 时∑+∞=1n n nx a发散（B ） 当 R x < 时，∑+∞=1n n nx a收敛，且当 R x ≥ 时∑+∞=1n n nx a发散（C ）当 R x < 时，∑+∞=1n n nx a收敛，且当 R x > 时∑+∞=1n n nx a发散（D ）当 R x R ≤<- 时，∑+∞=1n n nx a收敛，且当 R x > 或 R x -≤ 时∑+∞=1n n nx a发散3．已知二元函数 ),(y x f 在点 )0,0( 某邻域内连续 ， 且 1),(lim 22330=+++→→yx y x y x f y x ， 则（ ）.（A ） 点 )0,0( 不是二元函数 ),(y x f 的极值点 （B ） 点 )0,0( 是二元函数 ),(y x f 的极大值点 （C ） 点 )0,0( 是二元函数 ),(y x f 的极小值点 （D ） 无法判断点 )0,0( 是否是二元函数 ),(y x f 的极值点4．对于非齐次线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********以下结论中 不正确 的是 ( ).(A) 若方程组无解, 则系数行列式 0=D (B) 若方程组有解, 则系数行列式 0≠D(C) 若方程组有解, 则或有唯一解, 或有无穷多解 (D) 0≠D 是方程组有唯一解的充分必要条件5. 某单位电话总机在长度为 t (小时) 的时间间隔内, 收到呼叫的次数服从参数为 3t泊松分布, 而与时间间隔的起点无关, 则在一天24小时内至少接到1次呼叫的概率为 ( ). (A) 1-e (B) 41--e(C) 8-e(D) 8-1-e三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共7个小题，每小题9分，共63分） 1. 已知 )ln 2ln (2),(y x y x y x f z +⋅+== ，在计算点 )1,2(处函数值时，如果自变量 x 和 y 分别发生误差 02.0-=∆x 和 01.0=∆y ， 试用二元函数的微分来估计此时产生的函数值误差 z ∆ 的近似值 .2．设函数 )(x f 在点 0=x 的邻域内 连续，极限 ])1ln(2)(3[lim 20x x x x f A x ++-=→存在 ，（1）求 )0(f 的值； （2）若 1=A ，问：)(x f 在点 0=x 处是否可导？ 如不可导，说明理由；如可导，求出 )0('f .3. （1）已知广义积分dx e x 2-+∞∞-⎰是收敛的，试利用初等函数 x e 的幂级数展开式推导出这个广义积分的值大于1的结论 ，详细说明你的理由（4 分） ； （2） 利用（1） 的结论，试比较 dx ex xx 222)2(+-+∞⋅-⎰与dx e x xx2212)2(+-⋅-⎰的大小 ，详细说明你的理由 （5分） .4．已知定义在全平面上的二元函数 32),()1(),(),(20+⋅++⋅=⎰⎰⎰Dd y x f x dx y x x f y x f σ ， 其中 D 是由直线 x y =， 1=y 和 y 轴所围成的封闭平面区域，求 ),(y x f 的解析表达式 .5．计算行列式aa a a a aa a a --------11101000001100110001 的值 .6．已知 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=2000120031204312,1000110001100011C B , 矩阵 A 满足 : E C B C E A T T =--)(1 , E 为单位阵 , 求A .7．设随机变量 ),(Y X 的概率密度函数为 ⎩⎨⎧>>⋅=+-其它,00,0,),()(y x e A y x f y x ,求 : (1) 常数 A （2分） ； (2) ),(min Y X Z = 的概率密度函数 （4分） ；（3）),(Y X 落在以 x 轴 , y 轴及直线 22=+y x 所围成三角形区域D 内的概率 （3分）.四．应用题： （本题共3个小题，每小题10分，共30分）1. 设工厂生产 A 、B 两种相同用途但不同档次的产品。

高等数学B （上）试题2答案一、判断题（每题2分，共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”） （ × ）1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量. （ × ）2. 闭区间上的间断函数必无界.（ √ ）3. 若)(x f 在某点处连续，则)(x f 在该点处必有极限. （ × ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.（ √ ）5. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量.（ × ）6. ()y f x =在点0x 连续，则()y f x =在点0x 必定可导. （ × ）7. 若0x 点为()y f x =的极值点，则必有0()0f x '=. （ × ）8. 若()()f x g x ''≡，则()()f x g x ≡.二、填空题（每题3分，共24分） 1. 设2)1(x x f =-，则(3)f =16. 2．1lim sinx x x→∞＝1。

3.112lim sin sin xx x x x x x x →∞⎡⎤+⎛⎫++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦21e +.4. 曲线326y y x -=在(2,2)-点切线的斜率为23.5．设0()f x A '=，则000(2)(3)limh f x h f x h h→+--＝5A.6. 设1()sin cos,(0)f x x x x=≠，当(0)f =0时，)(x f 在0=x 点连续.7. 函数33y x x =-在x =1-处有极大值.8. 设)(x f 为可导函数,(1)1f '=，21()()F x f f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则=')1(F 1.三、计算题（每题6分，共42分）1．求极限 3(2)(3)(4)lim5n n n n n →+∞+++ .解： 3(2)(3)(4)lim 5n n n n n →+∞+++234lim 111n n n n →+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3分）1= （3分）2. 求极限 0cos lim sin x x x xx x →--.解：0cos lim sin x x x xx x→--01cos sin lim 1cos x x x x x →-+=- （2分） 02sin cos lim sin x x x x x→+= （2分） 3= （2分）3. 求23(1)(2)(3)y x x x =+++在(0,)+∞内的导数.解：ln ln(1)2ln(2)3ln(3)y x x x =+++++， （2分）123123y y x x x '=+++++， （2分） 故23123(1)(2)(3)123y x x x x x x ⎛⎫'=+++++ ⎪+++⎝⎭（2分） 4. 求不定积分221d 1x x x ++⎰.解：221d 1x x x ++⎰22211d(1)d 11x x x x =++++⎰⎰ （3分） 2ln(1)arctan x x C =+++ （3分）5. 求不定积分2sin d x x x ⎰.解：2sin d x x x ⎰()221sin d 2x x =⎰ （3分） 21cos 2x C =-+ （3分）6．求不定积分sin 2d x x x ⎰. 解：sin 2d x x x ⎰11sin 2d(2)dcos222x x x x x ==-⎰⎰ （2分） ()1cos 2cos2d 2x x x x =--⎰ （2分）11cos 2sin 224x x x C =-++ （2分）7. 求函数()cos sin xy x =的导数.解：ln cos lnsin y x x = （3分）()()cos 12sin cotln sin x y x x x +'=- （3分）四、解答题（共9分）某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.解：设垂直于墙壁的边为x ，所以平行于墙壁的边为202x -，所以，面积为2(202)220S x x x x =-=-+， （3分）由4200S x '=-+=，知 （3分） 当宽5x =时，长20210y x =-=， （3分） 面积最大51050S =⨯=（平方米）。

浙江省2005年2+2考试高等数学B卷----------------------2005年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B 》试卷-------------------2005年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B 》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个小题，每一小题3分，共24分）1．若)1ln()2(lim≠=+⋅-⎰→k x dtt t x nxx , 则自然数 n= . 2．=⋅--++⋅-⋅+⋅--++∞→])2()!12()1()2(!71)2(!51)2(!312[lim 121753n n n n πππππΛ.姓名：_____________准考证号：______________________报考学校报考专业：解为.7．设方程 02=++βαx x 中的 α 和β 分别是连续抛掷一枚骰子先后出现的点数，则此方程有实根的概率为 .8．已知男性中有 5％ 为色盲患者，女性中有 0.25％ 为色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，其恰好是色盲患者，则此人是男性的概率为.二．选择题. （本题共有8个小题，每一小题3共24分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）1．设函数xx x f 1)(-=, 则正确的结论是( ). （A ） 1=x 是)(x f 的极值点，但)0,1( 不是曲线 )(x f y = 的拐点；（B ） 1=x 不是 )(x f 的极值点，但)0,1( 是曲线 )(x f y = 的拐点；（C ） 1=x 是)(x f 的极值点，且)0,1( 是曲线 )(x f y = 的拐点； （D ） 1=x 不是)(x f 的极值点，)0,1( 也不是曲线)(x f y = 的拐点.2. 设二元函数),(y x f 在点)1,1( 处可微，1)1,1(')1,1(')1,1(===y x f f f ，又知)),(,(x x f x f z =，则1=x dxdz =（ ）.（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 43．下列命题中正确的结论是 ( ) .（A ） 若∑+∞=1n n u发散 ，则 ∑+∞=+-11)1(n nn u 必发散 ； （B ） 若 ∑+∞=+-11)1(n nn u 发散 ，则∑+∞=1n n u必发散 ；（C ） 若 ∑+∞=14n nu 发散 ，则∑+∞=1n n u 必发散 ；（D ） 若1lim 1>++∞→nn n u u, 则 ∑+∞=14n n u 必发散.4．下列等式成立的是 （ ）. （A ） 若 ⎰+∞0)(dx x f 和 ⎰∞-0)(dx x f 均发散，则⎰+∞∞-dx x f )( 必发散 ；（B ） 若 ⎰+∞)(dx x f 和 ⎰+∞)(dx x g 均发散，则⎰+∞+0)]()([dx x g x f 必发散 ；（C ） 若 ⎰+∞)(dx x f 和 ⎰+∞)(dx x g 均发散，则⎰+∞⋅0)]()([dx x g x f 必发散 ；（D ） 若 ⎰+∞)(dx x f 收敛， ⎰+∞)(dx x g 发散，则⎰+∞⋅0)]()([dx x g x f 必发散 .5．设二次型 32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ 为正定二次型 ，则 λ的取值范围为（ ）.（A ）1<λ （B ）2->λ（C ）22<<-λ （D ）12<<-λ6．设随机变量 ξ～N （μ，52），η～N （μ，42），概率值 )5(1+<=μξP P ,)4(2->=μξP P ，则下式（ ）是正确的 .（A ）对任意 μ 均有 21P P =（B ）对任意 μ 均有21P P <（C ）对任意 μ 均有 21P P >（D ）只对 μ 的个别值有21P P =7．一个复杂的系统由 100 个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间，每个部件损坏的概率为 0.1 ，为了使整个系统起作用，至少必须有 85个部件正常工作，则整个系统起作用的概率约为（ ）.（)(x Φ 为标准正态分布函数）（A ）)1(Φ （B ）1－)1(Φ （C ）)34(Φ （D ）)35(Φ8．已知随机向量（ξ，η）的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它，，04220)6(81),(y x y x y x f则概率值 P （4≤+ηξ）＝（ ）.（A ）21 （B ）32（C ）83 （D ）43． 三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共9个小题，每小题7分，共63分）1． 计算极限 )]1sin 1([lim 2xx x x ⋅-∞→ .2．已知)0(4>+=x xb ax y 与xa b y ln 3-= 在1=x处垂直相交（即它们在交点处的切线相互垂直），求常数 a 与 b 值.3. 计算二重积分)(31σd y x x I D⎰⎰+= ，其中 D 为直线 1=+y x ，0=x和=y 所围成的平面区域 .4．设函数a=sin2在)2,0(π内有且仅有-y-xx1 个零点，求正数a的取值范围.5．设函数)(x f 在),(+∞-∞ 上可导 ，且满足：dt t f x f x dt t x f x)()1(1)(010⎰⎰-+=+++ ， 求)(x f 的表达式 .6．已知矩阵 A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011101110，B ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111011001 ，且矩阵 P 满足EBPA APB BPB APA ++=+ ，其中 E 为单位阵 ，求 P .7．已知矩阵A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡60002282x 相似于对角阵 Λ，试求常数 x，并求可逆阵 P，使Λ=-AP P 1.8．设随机变量 ξ 的密度函数为⎩⎨⎧<<=其它010)(2x ax x f ， 求（1）常数 a ； （2） ξ 的期望 ξE 和方差 ξD ； （3） 2ξ 的概率密度函数； （4） 概率值 )2(=ηP ，其中 η 表示对 ξ 的三次独立重复观察中事件 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21ξ 出现的次数.9．已知随机向量（ξ，η）的联合分布律为η－1 1 2ξ－1 0.25 0.1 0.32 0.15 0.15 0.05求（1）ηξ+的分布律；（2）在η＝－1 条件下 ξ 的分布律； （3）期望值 )(ηξ⋅E .四．应用题： （本题共3个小题，每小题8分，共24分）1．为销售某产品，拟作电视和电台广告宣传，当电视广告与电台广告宣传费分别为 x 和 y （万元）时，销售量为yyx x +++10725100（吨）.若该产品每吨销售价为2000元 . 问：（1） 如要使总广告费不超过 10 万元 ，应如何分配电视与电台广告费 ，使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少 ？（2）如总广告费恰好是 4.8 万元 ，又应如何分配电视与电台广告费 ，使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少 ？2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2111ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112k ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113k ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a η ； 问：（1）在什么条件下，η 可由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ，且表法唯一 ？（2）在什么条件下，η 可由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ，但表法不唯一 ？并写出不同的表示式 .（3）在什么条件下 ，η 不能由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ？3．设自动生产线加工的某种零件的内径ξ～)1,(μN；内径小于10 或者大于12 的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品可获利20 元，销售每件不合格品要亏损，其中内径小于10 的亏 1 元，内径大于12 的亏 5 元，求平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？五．证明题： （本题共2个小题，第一小题8分，第二小题7分，共15分）1． 证明： （1） 若级数 )0()1(11>⋅-∑+∞=+n n n n a a 绝对收敛 ，则级数∑+∞=-112n n a是收敛级数 ；（2） 若级数 )0()1(11>⋅-∑+∞=+n n n n a a 条件收敛 ， 则级数 ∑+∞=-112n n a 是发散级数 .2． 设向量 1ξ ，2ξ ，…… ，rξ 是线性方程组 0=AX 的一个基础解系 ，向量 η 不是0=AX 的解向量 ， 证明向量组 η，1ξη+ ，2ξη+，…… ，r ξη+ 线性无关 .。

2010年浙江省普通高校“2 + 2”联考《 高等数学 》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有6个小题，每一小题4分，共24分）1.=⋅+⋅+∞→x x xx x )2(sin )23(lim_________. 2.==+2)12()(cos πx n x _________（n 为自然数）.3.=-⎰→76022d )sin(limx x xx x x _________.4.已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,21；E 为三阶单位矩阵,则|A 2+2A +E |=_________. 5.设A 为n 阶矩阵，B 为m 阶矩阵，且|A |=a ，|B |=b ，C =⎪⎪⎭⎫⎝⎛00BA ，则|C |=_________. 6.一均匀硬币连掷3次，m 表示出现正面的次数，n 表示出现反面的次数，那么使一元二次方程x 2-mx +n =0有相等实根的概率为_________.二、选择题：（本题共有5小题，每小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求） 1.下列极限中，极限不存在也不为无穷的是（ ）（A ）x x x 1sin lim ⋅∞→ （B ）x x x sin 1lim ⋅∞→（C ）)2(sin lim +⋅∞→x x x（D ）)1(sin lim +⋅∞→x x x2.点x =1是函数f (x )=arc cotx-11的（ ）（A ）连续点 （B ）可去型间断点 （C ）跳跃型间断点（D ）无穷型间断点3.设f (x ,y )=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+⋅)0,0(),(,0)0,0(),(,y x y x y x yx ，则在点(0,0)处（ ）（A ）连续且偏导数存在 （B ）连续但偏导数不存在 （C ）不连续且偏导数不存在（D ）不连续但偏导数存在4.设二次型32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ为正定二次型，则λ的取值范围为（ ）（A ）λ＜1 （B ）λ＞-2 （C ）-2＜λ＜2（D ）-2＜λ＜15.已知A ,B 为两个概率不为零的随机事件，且p (A )＜1，p (B |A )=p (B |A ),则下列式子成立的是（ ）（A ）p (A |B )=p (A |B ) （B ）P (B |A )=P (B |A ) （C ）p (A B )=p (A )p (B )（D ）p (A B )≠p (A )p (B )三、计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共有7小题，每小题9分，共63分）1.已知2sin )(lim 0=-→xx x f x ,求x x x f 3sin 10)](1[lim +→.2.计算不定积分⎰-214x d xx (x>0).3.设函数f (x )满足f (x )=t t f x x d )](25[12⎰--，求f (1)的值.4.试利用微分学方法，根据常数k 的各种不同取值，讨论曲线y =e 2x -e x +k 与曲线y =2e 2x -4e x +x +2k 的交点个数情况（已知ln2≈0.6931）.5.设(2E -P -1Q )A T =P -1,其中E 是四阶单位矩阵，A T 是四阶矩阵A 的转置矩阵，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000210002101021P , Q =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1000210032102321,求A . 6.某种仪器由三个部件组装而成.假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8,0.7和0.9。

2012年浙江省普通高校“2+2”联考《 高等数学 》模拟试卷解答一、填空题： 1、【答案】 2 2、【答案】 1-. 3、【答案】1ln 32.45612345123故224、【答案】 (1) 设L 的方程为)(x f y =，因为L 过点)0,1(M ，所以0)1(=f ，L 上任意点)0(),(≠x y x P 处的切线斜率为)(x y k '=，直线OP 的斜率xyk =1，由题意，ax xyy =-'，0>a ，这是一阶线性方程，解得通解为)d e(ed d C x ax y xx xx +⎰⎰=-⎰)(C ax x +=，将0)1(=f 代入，得a C -=，所以曲线L 的方程为 )1(-=x ax y .(2) L 与直线ax y =的交点为 )2,2(),0,0(a ，所以L 与直线ax y =所围成平面图形的面积为⎰--2d )]1([x x ax ax ⎰-=22d )2(x x x a 3834==a ，所以 2=a 。

5、【答案】(1)对矩阵),,,,(4321ααααα施行初等行变换，⎪⎪⎪⎫⎛-----6101511623142311⎪⎪⎪⎫⎛-------→212460341204231167(3) )0(λ<<X P e21)0()(-=-=F F λ.或：)10(λ<<X P ⎰=λ10d )(x x f ⎰-=λλλ1023d e 2x x x ，麻烦。

四、应用题：1、【答案】 (1) 设总税额为T ，则tx T =，销售总收入为 22.07)2.07(x x x x px R -=-==，所以利润函数为 tx x x x T C R L ----=--=132.0721)4(2.02--+=x t x ，令044.0d d =-+-=t x x L ，得唯一驻点 )4(25t x -=， 因为 04.0d d 22<-=xL，所以)4(25t x -=即为利润最大时的销售量； (2) 将)4(25t x -=代入总税额T ，则22510)4(25t t t t tx T -=-⋅==，令23X 记≤+ty x 0⎰⎰---=t t tx x x 0d e d e λλλλt t t λλλ----=e e 1，所以 ⎩⎨⎧≤>--=--0 , 0 0, e 5.0e 1)(t t t t F t t λλλ.五、证明题：1、证 令 x x f x +=1)()(ϕ，则 2)1()()()1()(x x f x f x x +-'+='ϕ， 由题设知)(x ϕ在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，而)0(2)1(f f =，所以 )0()0(f =ϕ，)0(2)1()1(f f ==ϕ，即 )1()0(ϕϕ=，)(x ϕ在]1,0[上满足罗尔定理的条件， 因此)1,0(∈∃ξ，使0)(='ξϕ，即 )()()1(ξξξf f ='+.2、证 假设321,,ααα线性相关，因为21,αα为A 的分别属于不同特征值的特征向量，故21,αα线性无关，从而3α可由21,αα线性表示，设22113αααk k +=，两边左乘A ，由已知条件得11αα-=A ，22αα=A ，所以 22113αααk k +-=A ，由已知，323ααα+=A ，所以 22113αααk k +-=A 22112αααk k ++=2211)1(ααk k ++=，得22112211)1(ααααk k k k ++=+-再由21,αα线性无关，得 11k k =-，221k k +=，显然矛盾， 所以321,,ααα线性无关.。

212111-==⎩⎨⎧⇒b a 2005年高等数学（B ）答案及评分标准： 一. 填空题 ( 每题 3 分 ) 1. 3 2. 12sin=π3. 04. x x x xe e C e C 22212++5．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----1040620004 6．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=X 11011343221k k 7． 19/36 8． 20/21二．选择题 ( 每题 3 分 )1． C 2. C 3. D 4. A5 D6 A7 D8 B三．计算题 ( 每题 7 分 )1．3012sin lim )]1sin 1([lim ttt x x x t xt x -=⋅-→=∞→ 分3ΛΛΛΛ 203cos 1limt tt -=→ 分5ΛΛΛΛt tt 6sin lim 0→= 分6ΛΛΛΛ61= 分7ΛΛΛΛ2．b a a b ba -=⇒-=+⋅1ln 3141 ； 分2ΛΛΛΛ 11)'ln 3()'4(==-=+x x x ab x bax 分4ΛΛΛΛa b -=-4 分5ΛΛΛΛa b ba -=--=⎩⎨⎧4 分6ΛΛΛΛ或212122=-=⎩⎨⎧b a 分7ΛΛΛΛ3． 解法一 画出区域 D 的示意草图 分1ΛΛΛΛrdr d d y x xI D⋅+=+=⎰⎰⎰⎰+31sin cos 123)sin cos cos ( θθθθσθθπ分3ΛΛΛΛ )sin (cos 1)sin cos cos (2120231⎰+⋅+=πθθθθθθd 分4ΛΛΛΛ )sin cos cos ()sin cos cos (21231⎰+⋅+-=πθθθθθθd 分5ΛΛΛΛ210131sin cos cos ⎰⋅-=+=dtt t θθθ 分6ΛΛΛΛ 83=分7ΛΛΛΛ 解法二 画出区域 D 的示意草图 分1ΛΛΛΛdy y x x dx d y x x I xD3110103)( +=+=⎰⎰⎰⎰-σ 分4ΛΛΛΛ dx x x dx y x x x)(23)(23103110103231-=+⋅=⎰⎰- 分6ΛΛΛΛ83= 分7ΛΛΛΛ4．]2,0[,sin 2)(π∈--=x a x x x fa f a f --=<-=22)2(,0)0(ππ 分1ΛΛΛΛ40cos 21)('0π=⇒=-=x x x f 分2ΛΛΛΛ2440,,00)('πππ<<<<><⎩⎨⎧=x x x f 2440,,)(πππ<<<<⎩⎨⎧=⇒x x x f 递增递减 分3ΛΛΛΛ（1） 当 22-≥πa 时，022)2(≤--=a f ππ 分4ΛΛΛΛ 内无零点；）（在2,0sin 2)(πa x x x f --= 分5ΛΛΛΛ （2） 当 220-<<πa 时，022)2(>--=a f ππ 分6ΛΛΛΛ 内有且只有一个零点；）（在2,0sin 2)(πa x x x f --=所以本题答案是： 220-<<πa 。

(B)所需时间120分钟 总分100分2分，计10分） 。

4π C. 3π- D.3π ( )。

的( )。

C.本性奇点 D.二阶极点( )。

C.2D.∞ ）。

C.21D.020分)z 的 三角形式为解析范围为6、设z=10)1(i -，则z ＝7、积分⎰==+2102)1(sin (z dz z z z8、函数z=)2()1(12--+z z z z 的奇点为9、设f(z)=2)1(23++z z z ,则f(z)在z=0的留数Res[f(z),0]= 10、解析函数w=3z 在z=1处的伸缩率为 。

三、求下列积分(20分)1、dz z z zz ⎰=--22)1()5( 2、dz i z e z iz⎰=-23)( 3、⎰=--3)1(12z dz z z z 4、dx x x x ⎰+∞∞-++)4)(1(22四、计算题(每题5分,计15分) 1、求31i -的值2、求Ln(3-4i)的值3、求ii 的值五、(12分)将函数f(z)=)(12i z z - (1)在0<|z|<1内展开为洛朗级数;(2) 在|z|>1内展开为洛朗级数.六、(8分) 求f(z)=z231- 在z=0处的泰勒级数,并指出收敛范围。

七、(15分)验证u=y x y 233-是平面上的调和函数,并求解析函数f(z)=u+vi.使f(0)=i(B)所需时间120分钟 总分100分 2分，计10分） 。

4π C. 3π- D.3π ( B )。

的( A )。

C.本性奇点 D.二阶极点( D )。

C.2D.∞ B ）。

C.21 D.0 20分)z 的 三角形式为 )4sin 4(cos 2ππ+的直线段的参数方程是 z=（2-i ）t (0≤t ≤ sinz+zcosz以2为中心，以3为半径的圆。

5、指数函数w=z e 解析范围为 全平面6、设z=10)1(i -，则z ＝ 32i7、积分⎰==+2102)1(sin (z dz z z z 08、函数z=)2()1(12--+z z z z 的奇点为 0,1,29、设f(z)=2)1(23++z z z ,则f(z)在z=0的留数Res[f(z),0]= 210、解析函数w=3z 在z=1处的伸缩率为 3 。

2007年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B 》试卷一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有6个小题，每一小题4分，共24分）1． =⋅+∞→xx x x 2)sin(lim22 . 2 . =+-⎰-2221)1(dx e e x x x 3 . 级数 +⋅-+-⋅+⋅-+n n n )21()1()21(31)21(2121132的和是 .4. 微分方程 1)1(2)(2)('=-=-⋅⎩⎨⎧y x x y x y x 的解是5. 已知三阶矩阵 A 的特征值为 1 , 2 , 3 ； E 为三阶单位矩阵 , 则 E A A ++22 =6. 有两个箱子, 第一个箱子里有3个新球, 2个旧球, 第二个箱子里有4个新球, 5个旧球 . 现从第一个箱子里随机地取出一个球放到第二个箱子里, 再从第二个箱子里取出一个球, 若已知从第二个箱子里取出的球是新球, 则从第一个箱子里取出的是新球的概率为二．选择题. （本题共有6个小题，每一小题4分，共24分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求） 1．函数 xex x f 1)(-⋅= 有 ( ) 条渐近线 .（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3 2. 下列级数中 ，（ ）是条件收敛级数 .（A ） ∑+∞=⋅-1)1(n nnn （B ）∑+∞=+-112)1(n n n （C ） ∑+∞=-1)1(n nn（D ）∑+∞=⋅-12sin )1(n n n n .3．设函数 )(x f y = 在 [ 0 ，1 ] 上可导. 从定性上看，下列三个图像按 ( ) 的排序，依次分别是 )(x f y = 、)('x f y = 和 dt t f y x)(0⎰= 的函数图像 .（A ） 321L L L 和、 （B ） 132L L L 和、 （C ） 213L L L 和、 （D ） 123L L L 和、4. 设 n 维行向量 )21,0,,0,21(⋅⋅⋅⋅⋅⋅=α, 矩阵 A = E + 2ααT , B = E ααT- , 其中 E 为 n 阶单位阵 , 则B = ( ) （A ）. O （B ） E （C ） E - （D ） ααTE +5. 设 A 、B 是两个随机事件, 且 0 < P ( A ) < 1 , P ( B ) > 0 , P (A B ) = P (A B ) , 则必有 ( ) . （A ）P ( A B ) = P (B A ) （B ） P ( A B ) = P ( A ) P ( B )（C ） P ( A ) = P ( B ) （D ） P ( A B ) = )()(A P B P 6. 设随机变量 X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,2cos 21)(πx x x f 对 X 独立地重复观察4次, 用 Y 表示观察值大于3π的次数, 则P ( Y = 2 ) = ( ) .（A ） 21 （B ）81（C ）85 （D ）83三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共8个小题，每小题8分，共64分） 1． 设 1→x 时，))1((ln 222-=-++x x C Bx Ax o ，其中 ))1((2-x o 是当 1→x 时比 2)1(-x 高阶的无穷小, 求常数 C B A 、、 之值．2．已知 00,,1arctan )(=≠⎩⎨⎧=x x xx x f ， 求 （1） )('x f ； （2） )('x f 在点 0=x 处是否连续 ？为什么 ？ 3. 设 ),(y x z z = 是由方程 12322=+++z y x z 所确定的二元函数 ；（1） 该二元函数有无极值 ？如有，求出极值点 ；如无，说明理由 .（2） 在约束条件 12=+y x 下，该函数是否还有极值？如有，求出极值点 ；如无，说明理由 .4．设函数 )(x f y = 为连续函数. 对于任意实数a ，如果总成立1)()(+=⎰⎰a f d x f Dσ ，其中 D 为直角坐标系 xoy 中直线 a y x y ==, 和 0=x 所围的封闭区域 ， 求 )(x f 的函数解析表达式 . 5. 设 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---111111111, 矩阵 B 满足 B A* = A1- + 2 B , 其中 A* 是 A 的伴随矩阵 , 求B .6. 设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----3241223k k ， 求常数 k 及可逆阵 P ，使 P1-AP 为对角阵 .7. 设连续型随机变量 X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-+-≤=ax a x a x B A a x x F 1,arcsin 0)(其中 a > 0 . 求 (1) A 和 B ; (2) 概率密度 )(x f ; (3) )0(>X P . 8. 设随机向量 ),(Y X 的联合概率分布为线---------------------------------------------------------------------------------------------------X 与 Y 独立, 求 : (1)α、β ； （2）X 与 Y 的边缘分布 ； （3）X + Y 的分布 .四．应用题： （本题共3个小题，每小题9分，共27分）1．试利用微分学方法 ，根据常数 k 的各种不同取值 ， 讨论曲线 k e e y x x +-=2 与曲线k x e e y x x 2422++-= 的交点个数情况 .2. 问 a 分别为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+-=--1221455321321321x ax x ax x x x x x有唯一解, 无解, 无穷多解 ? 在有无穷多解的情况下, 用基础解系表示其通解 .3. 某商店每周以每千克200元的价格从生产厂家购进 y 千克某产品，并以每千克 260 元的价格在市场上销售. 规定一周内商店售不完的产品将作为再生原料由厂家回收进行处理，回收价格为每千克180元. 假定该产品每周的市场需求量 X 是服从区间 [ 10 ，30 ] 上均匀分布的随机变量，试确定商店的周进货量 y ，使商店获利的期望值最大 .五．证明题： （本题共2个小题，第一小题6分，第二小题5分，共11分）1． 设函数 )(x f 是 ]1,0[ 上的连续函数 ，0)(1=⎰dt t f . 试证：必至少存在一点 )1,0(∈ξ，使得⎰=1)()(ξξdt t f f .2. 设 A 是 n ( n ≥ 2 ) 阶方阵且 A 的元素全都是 1 , E 是 n 阶单位阵, 证明：A n E A E 11)(1--=-- .2007年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B 》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；--------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。