函数与导数 理科(新)

●课题§3.5.1 对数函数与指数函数的导数(一)——对数函数的导数●教学目标(一)教学知识点对数函数的导数的两个求导公式：(ln x )′=x 1、(log a x )′=x 1log a e . (二)能力训练要求1.理解掌握对数函数的导数的两个求导公式.2.在学习了函数四那么运算的求导法那么与复合函数求导法那么的基础上，应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数.(三)德育渗透目标1.培养学生的推理论证能力.2.培养学生灵活运用知识和综合运用知识的能力.●教学重点结合函数四那么运算的求导法那么与复合函数求导法那么，应用对数函数的求导公式.●教学难点对数函数的导数的记忆，以及运用对数函数的导数法那么.●教学方法讲、练结合.●教具准备幻灯片两X第一X ：(ln x )′=x1的证明记作§3.5.1 A第二X ：(log a x )′=x1log a e 的证明记作§3.5.1 B●教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们已经学习了六种基本初等函数中的三种:常数函数，幂函数，三角函数的导数.这节课就来学习一下另一种基本初等函数的导数，对数函数的导数.Ⅱ.讲授新课［师］我们先给出以e 为底的自然对数函数的导数，然后介绍一下它的证明过程，不过要用到一个结论x x x 10)1(lim +→=e［板书］(一)对数函数的导数 1.(ln x )′=x 1 (打出幻灯片§3.5.1 A ，给学生讲解)［师］下面给出一般的对数函数的导数.这里要用到对数函数的换底公式a x x b b alog log log = (b ＞0，b ≠1).证明过程只作了解.2.(log a x )′=x1log a e . (打出幻灯片§3.5.1 B ，给学生讲解).［师］我们运用学过的函数四那么运算的求导法那么与复合函数求导法那么，来看一下有关含有对数的一些函数的导数.(二)课本例题［例1］求y =ln(2x 2+3x +1)的导数.分析：要用到对数函数的求导法那么和复合函数的求导法那么，以及函数四那么运算的求导法那么. 解：y ′=［ln(2x 2+3x +1)］′=13212++x x (2x 2+3x +1)′ =132342+++x x x ［例2］求y =lg21x -的导数. 解法一：y ′=(lg 21x -)′=211x -lg e ·(21x -)′ =21lg x e-·21·(1－x 2)21-(1－x 2)′=21lg x e -·2121x -·(－2x ) =1lg 1lg 22-=--x e x x e x 分析：对数函数，可以先把它化简，然后根据求导法那么进行求导.解法二：y =lg 2112=-x lg(1－x 2) ∴y ′=［21lg(1－x 2)］′=21121x-lg e (1－x 2)′ =)1(2lg 2x e -·(－2x )=1lg 2-x e x (三)精选例题［例1］求函数y =ln(12+x －x )的导数.分析：由复合函数求导法那么：y ′x =y ′u ·u ′x 对原函数由外向内逐个拆成几个简单的基本初等函数. ［学生板演］解：)1(1122'-+⋅-+='x x x x y111111)11(11)12)1(21[112222222122+-=++-⋅-+=-+-+=-⋅+-+=-x x x x x x x x x x x x x x ［例2］假设f (x )=ln(ln x )，那么f ′(x )|x =e =.(B)A.eB.e 1C.1D.以上都不对解：f ′(x )=［ln(ln x )］′=x ln 1·(ln x )′=xx ln 1 f ′(x )|x =e =e e ln 1⋅=e1 ［例3］y =ln ［ln(ln x )］的导数是 (C) A.)ln(ln 1x x B.)ln(ln ln 1x x C.)ln(ln ln 1x x x D.)ln(ln 1x 解：y ′=)ln(ln 1x ［ln(ln x )］′=)ln(ln 1x ·xln 1 (ln x )′ =)ln(ln 1x ·x ln 1·x 1=)ln(ln ln 1x x x ⋅ ［师生共议］所以用复合函数的求导法那么时，要由外向内逐层求导，直到不能求导为止.［例4］求y =ln|x |的导数.［生甲］y ′=(ln|x |)′=||1x ［生乙］当x ＞0时，y =ln x .y ′=(ln x )′=x1 当x ＜0时，y =ln(－x )，y ′=［ln(－x )］′=x -1 (－1)= x 1， ∴y ′=x1 ［师生共评］学生乙的做法是正确的.学生甲做的时候，|x |可以看成ln|x |的中间变量，对|x |还要求导.所以以后遇到要求含有绝对值的函数的导数时，首先要把绝对值去掉，分情况讨论.［例5］求y =n x x )(ln 的导数.［师析］这类函数是指数上也是含有x 的幂函数.这样用以前学过的幂函数的求导公式就行不通了.以前指数是常数的幂函数.像形如(u (x ))v (x )的函数的求导，它的方法可以是两边取自然对数，然后再对x 求导.解：y =n x x )(ln 两边取自然对数.ln y =ln n x x )(ln =(ln x )n ·ln x =(ln x )n +1.两边对x 求导，y1 y ′=(n +1)(ln x )n ·(ln x )′=(n +1)x x n )(ln ∴y ′=x x n n ))(ln 1(+·y =x x n n))(ln 1(+·nx x )(ln =(n +1)(ln x )n ·1)(ln -n x x .［例6］求y =log a 21x +的导数. ［学生板演］解：y ′=(log a 21x +)′=211x +log a e ·(21x +)′221221log 2)1(211log x e x x x x e a a +=⋅+⋅+=-. Ⅲ.课堂练习求以下函数的导数.1.y =x ln x解：y ′=(x ln x )′=x ′ln x +x (ln x )′=ln x +x ·x1=ln x +1 2.y =ln x1 解：y ′=(ln x1)′=x11 (x 1)′ =x ·(－1)·x －2=－x －1=－x1. 3.y =log a (x 2－2). 解：y ′=［log a (x 2－2)］′=2log 2-x e a (x 2－2)′=2log 22-x e x a . 4.y =lg(sin x )解：y ′=［lg(sin x )］′=xe sin lg (sin x )′ =xe sin lg cos x =cot x lg e .5.y =ln x -1.解：y ′=(ln x -1)′)1(11'--=x x )1()1(211121---=-x x )1(21)1(21-=--=x x 6.y =ln 12+x解：y ′=(ln12+x )′)1(1122'++=x x ⋅+⋅+=-2122)1(2111x x 122+=x x x . 7.y =1ln +x x x －ln(x +1). 解：y ′=(1ln +x x x )′－［ln(x +1)］′ 2222)1(ln )1(1ln 1ln ln 11)1(ln )1)(1(ln 11)1()1(ln )1)(1(ln +=+---+++=+-+-++=+-+'+-+⋅+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x8.y =aa x x a a x x 22222ln 22++⋅++. 解：y ′=)ln 2()2(22222'+++'+aa x x a a x x22222222222222222222222222222122222222222222221222222)(22)1()(2221]2)(211[)(2221)(122)(21221a x a x a a x a x x a x a x x a a x x a x a x x a x x a a x x a x x a x a x x a a x x a x a x x aa x x a a x a x x a x +=+++=+++++++++=++⋅++++++=⋅++++++++='++⋅++⋅+⋅+⋅++=-- Ⅳ.课时小结(学生总结)本节课主要学习了对数函数的两个公式(ln x )′=x 1(log a x )′=x 1log a e .以及运用函数的四那么运算的求导法那么和复合函数的求导法那么，求一些含有对数的函数的导数.Ⅴ.课后作业(一)课本P 127、1、3(2)(4)(二)预习内容.课本P 127指数函数的导数.2.预习提纲.(1)预习(e x )′=e x 及它的应用.(2)预习(a x )′=a x ln a 及它的应用.●板书设计。

高考数学复习专题 函数与导数以函数为载体，以导数为工具，以考查函数诸多性质和导数极值理论、单调性质、几何意义及其应用为目标，是高考导数与函数交汇试题的显著特点和命题趋向。

一、考情预测1．考查导数与函数最值问题 设y=f(x)为可导函数，函数f(x)在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零或不存在且该点两侧的导数异号；定义在闭区间上的初等函数必存在最值，它只能在区间的端点或区间内的极值点取得。

高考常结合求函数极值(最值)、参数取值X 围、解决数学应用等问题考查导数最值性质在函数问题中的应用。

2．考查导数与函数单调性问题 设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f'(x)>0，则f(x)为增函数；如果f'(x)<0则f(x)为减函数。

反之亦然。

高考常以函数单调区间、单调性证明等问题为载体，考查导数的单调性质和分类讨论思想的应用。

3．考查导数与函数图象切线问题 函数f(x)在点x 0处的导数f'(x0)是曲线y=f(x)在点(x 0f(x 0))处切线的斜率。

高考常结合函数图象的切线及其面积、不等式等问题对导数几何意义的应用进行考查。

4．考查导数与函数不等式证明问题构造函数，运用导数在函数单调性方面的性质，可解决不等式证明、参数取值X 围等问题。

设置此类试题，旨在考查导数基础性、工具性、现代性的作用，以强化数学的应用意识。

5．考查导数与函数建模问题 设计导数与数学建模问题，旨在考查将实际问题抽象为数学问题，运用导数性质或不等式知识去解决最优化问题的数学应用意识与实践能力。

求解此类问题时，可从给定的数量关系中选取一个恰当的变量，建立函数模型，然后根据目标函数的结构特征，确定运用导数最值理论或不等式性质去解决问题。

二、高考题例1. （2005年某某卷）已知函数f (x )＝ln x ，g(x )＝21ax 2＋b x ，a ≠0.（Ⅰ）若b ＝2，且h (x )＝f (x )－g(x )存在单调递减区间，求a 的取值X 围；（Ⅱ）设函数f (x )的图象C 1与函数g(x )图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M 、N ，证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.解：（I ）xax x x h b 221ln )(,22--==时，则.1221)(2x x ax ax x x h -+-=--='因为函数h (x )存在单调递减区间，所以)(x h '<0有解.又因为x >0时，则ax 2+2x －1>0有x >0的解.①当a >0时，y=ax 2+2x －1为开口向上的抛物线，ax 2+2x －1>0总有x >0的解； ②当a <0时，y=ax 2+2x －1为开口向下的抛物线，而ax 2+2x －1>0总有x >0的解； 则△=4+4a >0,且方程ax 2+2x －1=0至少有一正根.此时，－1<a <0. 综上所述，a 的取值X 围为（－1，0）∪（0，+∞）.（II ）证法一设点P 、Q 的坐标分别是（x 1, y 1），（x 2, y 2），0<x 1<x 2.则点M 、N 的横坐标为,221x x x +=C 1在点M 处的切线斜率为,2|1212121x x x k x x x +==+=C 2在点N 处的切线斜率为.2)(|212221b x x a b ax k x x x ++=+=+=假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则k 1=k 2.即bx x a x x ++=+2)(22121，则)2()(2)()(2)(21212221221222112bx x abx x a x x b x x a x x x x +-+=-+-=+-=.ln ln 1212x x y y -=-所以.1)1(2ln 121212x x x x x x +-=设,12x x t =则.1,1)1(2ln >+-=t t t t ①令.1,1)1(2ln )(>+--=t t t t t r 则.)1()1()1(41)(222+-=+-='t t t t t t r因为1>t 时，0)(>'t r ，所以)(t r 在+∞,1[）上单调递增. 故.0)1()(=>r t r则t t t +->1)1(2ln . 这与①矛盾，假设不成立.故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.证法二：同证法一得).(2)ln )(ln (121212x x x x x x -=-+因为01>x ，所以).1(2ln )1(121212-=+x xx x x x令12x x t =，得.1),1(2ln )1(>-=+t t t t ②令.11ln )(,1),1(2ln )1()(-+='>--+=t t t r t t t t t r 则 因为22111)1(ln t t t t t t -=-='+，所以1>t 时，.0)1(ln >'+t t 故t t 1ln +在[1，+)∞上单调递增.从而011ln >-+t t ，即.0)(>'t r于是)(t r 在[1，+)∞上单调递增.故.0)1()(=>r t r 即).1(2ln )1(->+t t t 这与②矛盾，假设不成立. 故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.2. （2004年高考理科数学全国卷II ）已知函数f(x )=ln(1+x )－x ，g(x )=x ln x . （1）求函数f(x)的最大值；（2）设0<a <b,证明0<g(a )+g(b)-2g(2ba +)<(b-a)ln2.本小题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力，满分14分.（1）解：函数)(x f 的定义域为),1(+∞-. .111)(-+='x x f 令.0,0)(=='x x f 解得当,0)(,01>'<<-x f x 时当.0)(,0<'>x f x 时又,0)0(=f故当且仅当x =0时，)(x f 取得最大值，最大值为0.（2）证法一：2ln )(ln ln )2(2)()(ba b a b b a a b a g b g a g ++-+=+-+.2ln 2lnb a bb b a a a +++=由（Ⅰ）结论知),0,1(0)1ln(≠-><-+x x x x 且由题设,021,02,0<-<->-<<b ba a ab b a 得因此,2)21ln(2lna ab a a b b a b -->-+-=+,2)21ln(2ln b ba b b a b a b -->-+-=+所以.0222ln 2ln=---->+++ba ab b a b b b a a a又.2ln )(2ln )(2ln 2ln 2ln 2ln,22a b b a ba b b a b b b b a a b a b b b a a a b ba b a a -<+-=+++<++++<+综上.2ln )()2(2)()(0a b ba gb g a g -<+-+<证法二：.1ln )(,ln )(+='=x x g x x x g设),2(2)()()(xa g x g a g x F +-+=则.2ln ln ])2([2)()(x a x x a g x g x F +-='+-'='当,0)(,0<'<<x F a x 时在此),0()(a x F 在内为减函数. 当),()(,0)(,+∞>'>a x F x F a x 在因此时上为增函数.从而，当)(,x F a x 时=有极小值).(a F因此,0)(,,0)(>>=b F a b a F 所以即).2(2)()(0ba gb g a g +-+<设,2ln )()()(a x x F x G --=则).ln(ln 2ln 2lnln )(x a x xa x x G +-=-+-='当.0)(,0<'>x C x 时因此),0()(+∞在x G 上为减函数.因为,0)(,,0)(<>=b G a b a G 所以即.2ln )()2(2)()(a b ba gb g a g -<+-+3. ( 2005年全国卷III )用长为90cm,宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解：设容器的高为x ，容器的体积为V ， 则V=（90-2x ）（48-2x ）x ,(0<V<24) =4x 3-276x 2+4320x ∵V′=12 x 2-552x +4320由V′=12 x 2-552x +4320=0得x 1=10，x 2=36 ∵x<10 时，V′>0, 10<x <36时，V′<0,x >36时，V′>0,所以,当x=10,V 有极大值V(10)=1960 又V(0)=0,V(24)=0,所以当x=10,V 有最大值V(10)=1960 三、经典例题1. 设函数d cx bx ax x f 42)(23++-=（a 、b 、c 、d ∈R ）图象关于原点对称，且x =1时，)(x f 取极小值.32-（1）求a 、b 、c 、d 的值；（2）当]1,1[-∈x 时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；（3）若]1,1[,21-∈x x 时，求证：34|)()(|21≤-x f x f .解（1）∵函数)(x f 图象关于原点对称，∴对任意实数)()(x f x f x -=-有，d cx bx ax d cx bx ax 42422323--+-=+---∴，即022=-d bx 恒成立 0,0==∴d b c ax x f cx ax x f +='+=∴233)(,)(，1=x 时，)(x f 取极小值3203,32-=+=+∴-c a c a 且，解得1,31-==c a（2）当]1,1[-∈x 时，图象上不存在这样的两点使结论成立.假设图象上存在两点),(11y x A 、),(22y x B ，使得过此两点处的切线互相垂直，则由,1)(2-='x x f 知两点处的切线斜率分别为1,1222211-=-=x k x k ， 且1)1()1(2221-=-⋅-x x 1x 、]1,1[2-∈x ，0)1()1(,01,0122212221≥-⋅-∴≤-≤-∴x x x x 此与（*）相矛盾，故假设不成立.证明（3）)1,(,1,0)(,1)(2--∞∈±=='-='x x x f x x f 得令， 或0)(,)1,1(;0)(,),1(<'-∈>'+∞∈x f x x f x 时时，]1,1[)(-∴在x f 上是减函数，且32)1()(,32)1()(min max -===-=f x f f x f∴在[－1，1]上，]1,1[,,32|)(|21-∈≤x x x f 于是时，343232|)(||)(||)()(|2121=+≤+≤-x f x f x f x f .2. 已知函数g (x )=(2－x )3－a (2－x )，函数f (x )的图象与g (x )的图象关于直线x －1＝0对称.(1)求f (x )的表达式；(2)若f (x )在区间［1，＋∞)上是单调增函数，某某数a 的取值X 围；(3)记h (x )＝f (x )+g (x )，求证：当x 1，x 2∈(0，2)时，|h (x 1)－h (x 2)|＜12|x 1－x 2|.解：(1)设P (x ，y )为函数f (x )图象上任一点，其关于x ＝1的对称点P ′(x ′，y ′)应在g (x )图象上.∴⎪⎩⎪⎨⎧='='+.,12y y x x ∴⎩⎨⎧='-='.,2y y x x 代入g (x )表达式得f (x )= x 3－ax .(2)∵f ′(x )=3x 2－a ，且f (x )在［1，+∞)上是增函数，∴3x 2－a ≥0在［1，+∞）上恒成立，∴a ≤3x 2∈［3，+∞）恒成立. ∴a ≤3.(3)∵h (x )=f (x )+g (x )=(2－x )3－a (2－x )+x 3－ax =6x 2－12x +8－2a ， |h (x 1)－h (x 2)|=|(6x 12－12x 1+8－2a )－(6x 22－12x 2+8－2a )| =|6(x 12－x 22)－12(x 1－x 2)|=6|x 1－x 2|·|x 1+x 2－2|. ∵x 1，x 2∈(0，2)∴0＜x 1+x 2＜4，∴－2＜x 1+x 2－2＜2，即|x 1+x 2－2|＜2，∴6|x 1－x 2|·|x 1+x 2－2|＜12|x 1－x 2|，即|h (x 1)－h (x 2)|＜12|x 1－x 2|.3. 已知函数x x f ln )(=，求证：当2)()(,0ax a f x f a x a x +<-->>时.分析：2ln ln 2)()(ax a x a x a x a f x f a x +<--⇔+<--，0>>a x ,)(2ln ln 2ln ln a x a x a x a x a x a x +->-⇒+>--∴1)1(2ln +->∴a x axa x，令t a x =，则),1(,1)1(2ln +∞∈+->∴t t t t ，此时令1)1(2ln )(+--=t t t t g ，只需证明该函数是单调递增函数即可。

对数函数与指数函数的导数——指数函数的导数●教学目标(一)教学知识点指数函数的导数的两个求导公式：(e x )′=e x .(a x )′=a x ln a .(二)能力训练要求1.理解掌握指数函数的导数的两个求导公式.2.在学习了函数的四那么运算的求导法那么与复合函数的求导法那么的基础上，应用指数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数．(三)德育渗透目标培养学生灵活运用知识和综合运用知识的能力.●教学重点结合函数四那么运算的求导法那么与复合函数的求导法那么，以及四种基本初等函数的求导公式，应用指数函数的求导公式.●教学难点指数函数的求导公式的记忆，以及应用指数函数的求导公式.●教学方法讲练结合.●教学过程Ⅰ.课题导入［师］先复习一下四种基本初等函数的求导公式.常数函数，幂函数，三角函数，对数函数.［生］C ′=0(C 是常数)(x n )′=nx n －1(n ∈R )(sin x )′=cos x (cos x )′=－sin x .(ln x )′=x 1 (log a x )′=x1log a e . ［师］这节课要学习第五种基本初等函数的求导公式，就是指数函数的求导公式.Ⅱ.讲授新课(一)指数函数的导数［板书］1.(1)(e x )′=e x(2)(a x )′=a x ln a［师］这两个公式的证明需要用到反函数的求导法那么，这超出了目前的学习X 围，所以这里就不再证明.只需记住它的结论，以e 为底数的指数函数的导数是它本身，以a 为底数的指数函数的导数是它的本身乘以ln a .我们利用这两个公式就可以求一些关于指数函数的导数了.(二)课本例题［例3］y =e 2x cos3x 的导数［分析］ 这题先要用到两个函数乘积的求导法那么，再要用到复合函数的求导法那么.解：y ′=(e 2x )′cos3x +e 2x (cos3x )′=e 2x (2x )′cos3x +e 2x (－sin3x )(3x )′=2e 2x cos3x －3e 2x sin3x=e 2x (2cos3x －3sin3x )［例4］求y =a 5x 的导数.［分析］这题只需用复合函数的求导法那么.解：y ′=(a 5x )′=a 5x ln a ·(5x )′=5a 5x ln a .(三)精选例题［例1］求函数y =e -2x sin3x 的导数.［学生分析］先用积的求导法那么，(uv )′=u ′v +uv ′，再用复合函数的求导法那么求导，y x ′=y ′u u ′x . ［学生板演］解：y ′=(e -2x )′sin3x +e -2x ·(sin3x )′=e -2x (－2x )′sin3x +e -2x cos3x (3x )′=－2e -2x sin3x +3e -2x cos3x=e -2x (3cos3x －2sin3x ).［例2］求y =xe x3sin 2-的导数. ［学生分析］先用商的求导法那么2)(v v u v u v u '-'='，再用复合函数求导法那么求导.y ′x = y ′u ·u ′x .［学生板演］解：y ′=(x e x 3sin 2-)′=222)3(sin )3(sin 3sin )(x x e x e x x '-'-- xx x e x x e x e x x x 3sin )3cos 33sin 2(3sin 33cos 3sin )2(22222+-=⋅--=--- ［例3］求y =x sin x 的导数.y =ln x sin x =sin x ·ln x两边对x 求导y y '=cos x ·ln x +sin x ·x1 ∴y ′=(cos x ln x +x x sin )y =(cos x ·ln x +xx sin )·x sin x . y =f (x )都可以用指数函数的形式表示出来y =)(log x f a a，为了方便起见，我们取a =e .∴y =)(ln x f e .这道题转化成指数函数的形式怎么做呢？［学生板演］解：由所给函数知x ＞0∵x x x x e e x y x ln sin ln sin sin ⋅===∴y ′=)ln (sin )(ln sin ln sin '⋅⋅='⋅⋅x x e e x x x x)sin ln (cos )sin ln (cos sin ln sin xx x x x x x x x e x x x +⋅=+⋅=⋅ ［师］当用第二种方法求导的时候，要说明一下x ＞0，∵x sin x 是幂函数的形式，所以x ＞0，否那么x n (xx sin x ＞0，所以在用第一种方法求导时，等于默认了y ＞0.［师生共同总结］形如(u (x ))v (x )的幂指函数，可以用两种方法求导，其一，是两边取对数后再对x 求导；其二，是把它化成指数函数与其他函数复合.［例4］求y =32x lg(1－cos2x )的导数.方法一：y =32x lg(1－cos2x )=9x lg(1－cos2x )y ′=9x ln9·lg(1－cos2x )+9xx e2cos 1lg -·(1－cos2x )′ =9x ln9·lg(1－cos2x )+9xx e2cos 1lg -sin2x ·2. =9x ·ln9·lg(1－cos2x )+29x ·lg e ·xx x 2sin 2cos sin 2 =9x ·2ln3·lg(1－cos2x )+29x ·lg e ·cot x=2·9x ［ln3·lg(1－cos2x )+lg e ·cot x ］方法二：y ′=(32x )′lg(1－cos2x )+32x ·［lg(1－cos2x )］′=32x ·ln3·2lg(1－cos2x )+32x ·x e 2cos 1lg -·sin2x ·2=2·32x ln3·lg(1－cos2x )+2·32x lg e ·cot x=2·32x ［ln3·lg(1－cos2x )+lg e ·cot x ］［例5］求y =f (e x )e f (x )的导数，其中f (x )为可导函数.解：y ′=［f (e x )］′e f (x )+f (e x )·(e f (x ))′=f ′(e x )·e x e f (x )+f (e x )·e f (x )·f ′(x )=e f (x )［f ′(e x )e x +f (e x )·f ′(x )］.［例6］求y =2x x 的导数.(请两位同学用两种不同的方法做)(方法一)解：两边取对数，得ln y =ln2+x ln x .两边对x 求导y 1y ′=(x )′ln x +x (ln x )′=21x 21-ln x +x ·x 1 )2(ln 21ln 21212121+=+=---x x x x x ∴y ′=)2(ln 2)2(ln 212121+=⋅+--x x x x x x x (方法二)解：x x x x e e xy x ln 2ln 2ln 2+===. (方法二)解：x x x x e e xy x ln 2ln 2ln 2+=== y ′=)1ln 21()ln (21ln 2ln ln 2ln xx x x e x x e x x x x ⋅+='⋅-++)2(ln )2(ln 2122121+=+⋅=--x x x x x x x ［师］比较这两种方法，是不是难易程度差不多，都只要对x ln x 求导就可以了.所以碰到这类题目，两种方法可以任选其一.Ⅲ.课堂练习.求以下函数的导数.1.y =x 2e x .解：y ′=(x 2e x )′=2xe x +x 2e x =(2+x )xe x2.y =e 3x解：y ′=(e 3x )′=e 3x ·3=3e 3x3.y =x 3+3x解：y ′=3x 2+3x ·ln3.4.y =x n e －x解：y ′=nx n －1e －x +x n e －x ·(－1)=(n －x )x n －1e －x .5.y =e x sin x解：y ′=e x sin x +e x cos x =e x (sin x +cos x )6.y =e x ln x 解：y ′=e x ln x +e x ·x 1=e x (ln x +x 1)7.y =a 2x +1解：y ′=a 2x +1ln a ·2=2a 2x +1·ln a8.y =2〔22x xe e -+〕解：y ′=22222)2121(x x x xe e e e ---=-⋅.f (x )=2x e +1那么f ′(x )=(C )A.(x 2+1)2x e B.(x 2+1)12+x e x 12+x e xe 2x解：(2x e +1)′=12+x e ·2x =2x 12+x e .10.假设f (x )=e cos x .求f ′(x ).解：f ′(x )=(e cos x )′=e cos x ·(cos x )′=－sin x ·e cos x .y =xe 1－cos x 的导数. 解：y ′=(xe 1－cos x )′=e 1－cos x +xe 1－cos x ·(1－cos x )′ =e 1－cos x +xe 1－cos x ·sin x =(1+x sin x )e 1－cos xy =2x e +ax 导数.解：y′=(2x e+ax)′=2x e·2x+a=2x2x e+a.Ⅳ.课时小结这节课主要学习了指数函数的两个求导公式.(e x)′=e x，(a x)′=a x ln a，以及它们的应用.还有形如(u(x))v(x)的函数求导有两种方法：其一，两边取对数，再两边对x求导，其二是把它化成指数函数与其他函数复合，再进行求导.Ⅴ.课后作业(一)课本P127~128.习题3.5 2、3(1)(3).近似计算.128~129131~1322.预习提纲.(1)自变量的微分概念、表示.(2)函数的微分概念、表示.(3)Δy与y的微分的关系.(4)导数用微分如何表示.(5)求微分的方法.(6)微分的四那么运算法那么.●板书设计。

全国卷1导数题一题多解，深度解析1、2020年全国卷1理科数学第21题的解析已知函数2()e xf x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.。

2.2020年 全国卷1文科数学第20题的解析已知函数()(2)xf x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.。

3. 2020年新高考1卷（山东考卷）第21题已知函数1()eln ln x f x a x a -=-+（1）.当a=e 时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围城的三角形的面积； （2）若()1f x ≥，求a 的取值范围。

1、2020年全国卷1理科数学第21题的解析已知函数2()e xf x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.。

解析：（1） 单调性，常规题，a 已知，求一个特定函数f(x)的单调性。

若一次求导不见底，则可二次或多次清仓，即二次求导或多次求导，然后逐层返回。

通常二次求导的为多。

（2） 恒成立，提高题，在恒成立情况下，求参数的取值范围。

常常是把恒成立化成最值问题。

由于这里的a 只在一项中出现，故可以优先考虑分离参数法。

这里介绍了两种方法。

解：（1） 当a=1时， 2()e xf x x x =+-，定义域为R ，'()e 21x f x x =+-，易知f ’(x)是单调递增函数。

而f ’(0)=0，∴ 当x ∈（-∞，0），f ’(x)＜0 当x ∈（0,+∞），f ’(x)＞0∴当x ∈（-∞，0），f(x)单调递减；当x ∈（0,+∞），f(x)单调递增。

（2）解法一 ，分离参数法 当x ≥0时，31()12f x x ≥+ ，即231()e 12x f x ax x x =+≥+- 当x=0时，上式恒成立，此时a ∈R 。

理科数学高考选修的知识点随着社会技术的发展，数学在理科高考中的地位越来越重要。

无论是工科还是理科类专业，数学都是考察学生计算能力和逻辑思维的重要科目。

而在高考数学中，选修的知识点更是考察学生综合能力的重要指标。

接下来，我们将会介绍一些常见的高考数学选修知识点。

一、函数与导数函数与导数是高考数学中的重要学科，也是理科数学中的基础知识。

在函数与导数这一部分，常见的知识点有函数的极值、函数的最值问题、函数的应用、函数的平移等等。

在解题过程中，学生需要掌握函数的基本性质、函数图像的变化规律等，以便灵活运用到具体问题的解题过程中。

二、数列与数学归纳法数列与数学归纳法是高考数学中的另一大知识点。

数列是一系列有序的数字，而数学归纳法是一种证明方法。

在这部分内容中，学生需要掌握数列的求和公式、数列的通项公式等重要概念。

此外，学生还需要掌握数学归纳法的基本原理和应用方法，以便解决与数列相关的问题。

三、平面向量平面向量是高考数学中的又一重要知识点。

平面向量可以表示物体的位移、速度等量。

在这一部分内容中，学生需要掌握向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模和方向、向量的共线性等等。

在解题过程中，学生还需要灵活运用向量的性质，解决与平面向量相关的几何问题。

四、概率与统计概率与统计是高考数学中的一大难点。

在这个部分中，学生需要掌握概率的基本概念、事件的计算方法、概率的加法和乘法定理等重要内容。

此外，学生还需要掌握统计的基本概念、统计数据的处理与分析方法等。

在解题过程中，学生需要综合运用概率与统计的知识，解决与实际问题相关的高考题目。

以上只是高考数学中的一部分选修知识点，但这些知识点涵盖了高考数学考试中的大部分题型。

在备考过程中，学生需要加强对这些知识点的理解和掌握。

要想提高自己的数学水平，首先要掌握基本概念和定理，然后通过大量的练习题加深对知识点的理解和运用能力。

此外，学生还可以通过参加数学竞赛、听讲座等方式，进一步拓宽自己的数学视野。

高三理科数学复习题 函数与导数1.已知函数()axexx x f --11+=.()1设0>a ，讨论()x f y =的单调性；()2若对任意()1,0∈x 恒有()1>x f ，求a 的取值范围.2.已知函数()x a x x f ln +=，其中a 为常数，且1-≤a .()1当1-=a 时，求()x f 在[]2,e e ()71828.2≈e 上的值域；()2若()1-e x f ≤对任意[]2,e e x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.3.已知函数()xe x a xf ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1，其中0>a . ()1求函数()x f 的零点；()2讨论()x f y =在区间()0,-∞上的单调性； ()3在区间⎥⎦⎤⎝⎛∞2,--a 上，()x f 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.4.已知函数()R a xx a x f ∈=,1-ln .()1若曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线与直线02=+y x 垂直，求a 的值； ()2求函数()x f 的单调区间；()3当1=a，且2≥x 时，证明：()5-21-x x f ≤.5.已知函数()xa x x f +=ln .()1当0<a 时，求函数()x f 的单调区间；()2若函数()x f 在[]e ,1上的最小值是23，求a 的值.6.已知函数()x xp px x f ln 2--=.()1若2=p ，求曲线()x f 在点()()1,1f 处的切线方程；()2若函数()x f 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围； ()3设函数()xe x g 2=，若在[]e ,1上至少存在一点0x ，使得()()00x g x f >成立，求实数p的取值范围.7.已知函数()x x x f -3=.()1求函数()x f y =的单调区间；()2设0>a ，如果过点()b a ,可作曲线()x f y =的三条切线，证明：()a f b a <<-.8.已知函数()x ax x f -2= ()0,≠∈a R a ，()x x g ln =.()1当1=a 时，判断函数()()x g x f -在定义域上的单调性；()2若函数()x f y =与()x g y =的图像有两个不同的交点N M 、，求a 的取值范围； ()3设点()11,y x A 和()22,y x B ()21x x <是函数()x g y =图像上的两点，平行于AB 的切线以()00,y x P 为切点，求证：201x x x <<.9.已知函数()()0ln -->=a x a x x f .()1若1=a ，求()x f 的单调区间及()x f 的最小值；()2若0>a ，求()x f 的单调区间；()3试比较222222ln 33ln 22ln nn +++与()()()12121-++n n n 的大小()2*≥∈n N n 且，并证明你的结论.10.已知函数()()xx x f 1ln 1++=和()()1ln -1-+=x x x g .()1函数()x f y =在区间()+∞,0上是增函数还是减函数？说明理由； ()2求证：函数()x g y =在区间()3,2上有唯一零点；()3当0>a 时，不等式()()x g k x xf '>恒成立（其中()x g '是()x g 的导函数，*N k ∈），求k 的最大值.11.设函数()x axx x f ln -1+=在[)+∞,1上是增函数.()1求正实数a 的取值范围；()2设1,0>>a b ，求证：bb a bb a ba +<+<+ln1.12.已知函数()()02-21-ln 2<=a x ax x x f .()1若函数()x f 在定义域内单调递增，求a 的取值范围；()2若21-=a 且关于x 的方程()b x x f +=21-在[]4,1上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；()3设各项为正的数列{}n a 满足*112ln ,1N n a a a a n n n ∈++==+，.求证：1-2nn a ≤.13.已知函数()xxx x f 1ln +=.()1若函数在区间⎪⎭⎫⎝⎛+31,m m （其中0>m ）上存在极值，求实数m 的取值范围； ()2如果当1≥x 时，不等式()1+≥x k x f 恒成立，求实数k 的取值范围；()3求证：()[]()2-21! 1n en n ∙+>+ ()*N n ∈.14.设函数()ax x x f -ln =()R a ∈.()1判断函数()x f 的单调性；()2当ax x <ln 在()+∞,0上恒成立时，求a 的取值范围；()3证明：e n n<⎪⎭⎫ ⎝⎛+11()*N n ∈.15.已知函数()ax x x x f -ln 2+=.()1若函数()x f 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围； ()2设()*11N n na n∈+=，求证：()()n n a a a a a an n 21ln ----32222121++<+++ .。