山东省日照市莒县五中2017-2018学年度第一学期人教版九年级数学上册_第24章_圆_单元检测试题

2017-2018学年人教版初中数学九年级数学上册全套教学案(这是边文，请据需要手工删加)(这是边文，请据需要手工删加)(这是边文，请据需要手工删加)九年级数学(上)(配人教地区使用)(这是边文，请据需要手工删加)第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．重点通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．活动1 复习旧知1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1x＋1＝0 (4)x 2＝13．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程．1．教材第2页 问题1. 提出问题：(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程．2．教材第2页问题2.提出问题：(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？(3)如果有x个队参赛，一共比赛多少场呢？3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数．提出问题：本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？活动3归纳概念提出问题：(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？(3)归纳一元二次方程的概念．1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．提出问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？(3)2x2－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．活动4例题与练习例1在下列方程中，属于一元二次方程的是________．(1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)1x2＋1x＝2；(4)2x2－2x(x＋7)＝0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．例2教材第3页例题．例3以－2为根的一元二次方程是()A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．练习：1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________．2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)4x 2＝81；(2)(3x －2)(x ＋1)＝8x －3. 3．教材第4页 练习第2题．4．若－4是关于x 的一元二次方程2x 2＋7x －k ＝0的一个根，则k 的值为________． 答案：1.a ≠1；2.略；3.略；4.k ＝4. 活动5 课堂小结与作业布置 课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？作业布置教材第4页 习题21.1第1～7题.21.2 解一元二次方程21．2.1 配方法(3课时) 第1课时 直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2＋c ＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex ＋f)2＋c ＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想． 难点通过根据平方根的意义解形如x 2＝n 的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程．一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题． 问题1：填空(1)x 2－8x ＋________＝(x －________)2；(2)9x 2＋12x ＋________＝(3x ＋________)2；(3)x 2＋px ＋________＝(x ＋________)2.解：根据完全平方公式可得：(1)16 4；(2)4 2；(3)(p 2)2 p2.问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x 2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x ＝±3，如果x 换元为2t ＋1，即(2t ＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把2t ＋1变为上面的x ，那么2t ＋1＝±3 即2t ＋1＝3，2t ＋1＝－3 方程的两根为t 1＝1，t 2＝－2例1 解方程：(1)x 2＋4x ＋4＝1 (2)x 2＋6x ＋9＝2分析：(1)x 2＋4x ＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x ＋2)2＝1.(2)由已知，得：(x＋3)2＝2直接开平方，得：x＋3＝±2即x＋3＝2，x＋3＝－ 2所以，方程的两根x1＝－3＋2，x2＝－3－ 2解：略．例2市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10(1＋x)2＝14.4(1＋x)2＝1.44直接开平方，得1＋x＝±1.2即1＋x＝1.2，1＋x＝－1.2所以，方程的两根是x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2＝－2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝±p，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.第2课时配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤．重点讲清直接降次有困难，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解题步骤．难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程：(1)3x2－1＝5(2)4(x－1)2－9＝0(3)4x2＋16x＋16＝9(4)4x2＋16x＝－7老师点评：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p(p≥0)．如：4x 2＋16x ＋16＝(2x ＋4)2，你能把4x 2＋16x ＝－7化成(2x ＋4)2＝9吗？二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？ (2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？ 问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m ，并且面积为16 m 2，求场地的长和宽各是多少？ (1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x 的完全平方式而后二个不具有此特征．(2)不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x 2＋6x －16＝0移项→x 2＋6x ＝16两边加(6/2)2使左边配成x 2＋2bx ＋b 2的形式→x 2＋6x ＋32＝16＋9 左边写成平方形式→(x ＋3)2＝25降次→x ＋3＝±5即x ＋3＝5或x ＋3＝－5 解一次方程→x 1＝2，x 2＝－8 可以验证：x 1＝2，x 2＝－8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2 m ，长为8 m .像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1 用配方法解下列关于x 的方程： (1)x 2－8x ＋1＝0 (2)x 2－2x －12＝0分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上． 解：略． 三、巩固练习教材第9页 练习1，2.(1)(2)．四、课堂小结 本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．五、作业布置教材第17页 复习巩固2，3.(1)(2)．第3课时 配方法的灵活运用了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重点讲清配方法的解题步骤． 难点对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)x2－4x＋7＝0(2)2x2－8x＋1＝0老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：略．(2)与(1)有何关联？二、探索新知讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±q；如果q＜0，方程无实根．例1解下列方程：(1)2x2＋1＝3x(2)3x2－6x＋4＝0(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．解：略．三、巩固练习教材第9页练习2.(3)(4)(5)(6)．四、课堂小结本节课应掌握：1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性．在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到．五、作业布置教材第17页复习巩固3.(3)(4)．补充：(1)已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，求x＋y＋z的值．(2)求证：无论x，y取任何实数，多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值总是正数.21.2.2公式法理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．重点求根公式的推导和公式法的应用．难点一元二次方程求根公式的推导．一、复习引入1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程(1)x 2＝4 (2)(x －2)2＝7提问1 这种解法的(理论)依据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程．)2．面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式．)(学生活动)用配方法解方程 2x 2＋3＝7x (老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)．(1)先将已知方程化为一般形式； (2)化二次项系数为1； (3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x ＋p)2＝q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x ＝－p±q ；如果q ＜0，方程无实根．二、探索新知 用配方法解方程：(1)ax 2－7x ＋3＝0 (2)ax 2＋bx ＋3＝0如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac2a(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2＋bx ＝－c二次项系数化为1，得x 2＋b a x ＝－ca配方，得：x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b2a )2即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac4a 2∵4a 2>0，当b 2－4ac ≥0时，b 2－4ac4a 2≥0∴(x ＋b 2a )2＝(b 2－4ac 2a)2直接开平方，得：x ＋b2a ＝±b 2－4ac 2a即x ＝－b±b 2－4ac 2a∴x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a由上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac2a就得到方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1 用公式法解下列方程：(1)2x 2－x －1＝0 (2)x 2＋1.5＝－3x (3)x 2－2x ＋12＝0 (4)4x 2－3x ＋2＝0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 补：(5)(x －2)(3x －5)＝0 三、巩固练习教材第12页 练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)． 四、课堂小结 本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程； (2)公式法的概念；(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0；2)找出系数a ，b ，c ，注意各项的系数包括符号；3)计算b 2－4ac ，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果．(4)初步了解一元二次方程根的情况． 五、作业布置教材第17页 习题4，5.21.2.3 因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方程．通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重点用因式分解法解一元二次方程． 难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)2x 2＋x ＝0(用配方法) (2)3x 2＋6x ＝0(用公式法)老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x 前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上(14)2，同时减去(14)2.(2)直接用公式求解．二、探索新知(学生活动)请同学们口答下面各题．(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？ (2)等式左边的各项有没有共同因式？(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解． 因此，上面两个方程都可以写成：(1)x(2x ＋1)＝0 (2)3x(x ＋2)＝0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x ＝0或2x ＋1＝0，所以x 1＝0，x 2＝－12.(2)3x ＝0或x ＋2＝0，所以x 1＝0，x 2＝－2.(以上解法是如何实现降次的？)因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1 解方程：(1)10x －4.9x 2＝0 (2)x(x －2)＋x －2＝0 (3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34 (4)(x －1)2＝(3－2x)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？解：略 (方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积．) 练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( )A ．(x －3)(x －5)＝10×2，∴x －3＝10，x －5＝2，∴x 1＝13，x 2＝7B ．(2－5x)＋(5x －2)2＝0，∴(5x －2)(5x －3)＝0，∴x 1＝25，x 2＝35C ．(x ＋2)2＋4x ＝0，∴x 1＝2，x 2＝－2D ．x 2＝x ，两边同除以x ，得x ＝1 三、巩固练习教材第14页 练习1，2.四、课堂小结 本节课要掌握：(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.五、作业布置教材第17页 习题6，8，10，11.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． 2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． 3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律．4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．重点根与系数的关系及其推导 难点正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．一、复习引入1．已知方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是6，则求a 及另一个根的值． 2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？3．由求根公式可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2a .观察两式右边，分母相同，分子是－b ＋b 2－4ac 与－b －b 2－4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？二、探索新知解下列方程，并填写表格：方程 x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1·x 2 x 2－2x ＝0 x 2＋3x －4＝0x 2－5x ＋6＝0(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 之间有什么关系？(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1，x 2与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程，并填写表格：方程 x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1·x 2 2x 2－7x －4＝0 3x 2＋2x －5＝0 5x 2－17x ＋6＝0小结：根与系数关系：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 的关系是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零．)(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论．即：对于方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) ∵a ≠0，∴x 2＋b a x ＋ca＝0∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca(可以利用求根公式给出证明)例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积： (1)x 2－3x －1＝0 (2)2x 2＋3x －5＝0 (3)13x 2－2x ＝0 (4)2x 2＋6x ＝ 3 (5)x 2－1＝0 (6)x 2－2x ＋1＝0例2 不解方程，检验下列方程的解是否正确？ (1)x 2－22x ＋1＝0 (x 1＝2＋1，x 2＝2－1) (2)2x 2－3x －8＝0 (x 1＝7＋734，x 2＝5－734)例3 已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符合条件的方程．(你有几种方法？)例4 已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值． 变式一：已知方程x 2－2kx －9＝0的两根互为相反数，求k ； 变式二：已知方程2x 2－5x ＋k ＝0的两根互为倒数，求k.三、课堂小结1．根与系数的关系．2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零． 四、作业布置1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．(1)x 2－5x －3＝0 (2)9x ＋2＝x 2 (3)6x 2－3x ＋2＝0 (4)3x 2＋x ＋1＝02．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1，求另一根及m 的值．3．已知方程x 2＋bx ＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b 的值.21.3 实际问题与一元二次方程(2课时)第1课时 解决代数问题1．经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．2．通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．3．通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题． 难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系．一、引入新课1．列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？2．科学家在细胞研究过程中发现：(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(2)一个细胞一次可分裂成x个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过3次分裂后共有多少个细胞？二、教学活动活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提问题．有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？(1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后共有________人患流感．第二轮传染后共有________人患流感．(2)本题中有哪些数量关系？(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(x＋1)人患了流感，第二轮有x(1＋x)人被传染上了流感．于是可列方程：1＋x＋x(1＋x)＝121解方程得x1＝10，x2＝－12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？活动2：自学教材第19页～第20页探究2，思考老师所提问题．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；二月(或二年)后产量为a(1±x)2；n月(或n年)后产量为a(1±x)n；如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.三、课堂小结与作业布置课堂小结1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．2．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．3．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．4．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．作业布置教材第21－22页习题21.3第2－7题．第2课时解决几何问题1．通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题．2．通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易．3．通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．难点在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．活动1创设情境1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________．2．如图所示：(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．活动2自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)．(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________．(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？活动3变式练习如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度．答案：路的宽度为5米．活动4课堂小结与作业布置课堂小结1．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．2．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．作业布置教材第22页习题21.3第8，10题．。

一元二次方程疑难分析．一元二次方程的概念:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是(二次)的方程,叫做一元二次方程( ). 一元二次方程有三个特征:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是(且二次项的系数不能为).．一般地,任何一个关于的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式20(0)ax bx c a ++=≠.这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中是二次项是二次项系数是一次项是一次项系数是常数项.．一元二次方程的解:能够使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解.对于方程256x x -=,当时,256x x -=.所以是方程256x x -=的解. 一元二次方程的解也叫一元二次方程的根()..处理一元二次方程的问题时,先要把方程化成一般形式,并分清二次项及其系数、一次项及其系数、常数项各是什么；对于22(1)0k x bx c -++=这种形式的方程，必须对21k -进行讨论.例题选讲例 判断下列方程是否为一元二次方程,若是一元二次方程,请写出二次项系数、一次项系数和常数项.()(2)(2)1x x +-= （）22310x y -+= （）213()20x x-+= （）2(21)(1)(1)x x x x x +++-= （）222()()1(,,0,0)ax b bx a b a b a b +--=+≠≠常数且解：（）原方程整理得250x -=,是一元二次方程,它的系数是,一次项系数是,常数项是.（）不是一元二次方程,原方程中含有两个未知数．（）不是一元二次方程, 一元二次方程是整式,而该方程分母中含有未知数.（）原方程化为10x +=,不是一元二次方程, 未知数的最高次数不是.（）原方程化为2222()410a b x abx a -+--=,①当22a b -,即a b =±时,该方程不是一元二次方程.②220a b -≠,即a b ≠±时, 该方程是一元二次方程,此时二次项系数是22a b -,一次项系数是,常数项是21a --.评注：判断一个方程是否为一元二次方程,先把方程化成一般形式,再按照一元二次方程必须具备的几个条件进行判断.如果二次项系数是含字母的代数式,需要对这个代数式进行分类讨论.例 关于的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=有一根为,求的值?解： ∵22(1)10a x x a -++-=有一根为,∴把代入方程中得210a -= ∴1a =±.又∵此方程为一元二次方程, ∴10a -≠,∴1a ≠,∴1a =-.评注：根据方程根的定义,将代入原方程变为关于的一元二次方程,求得的值,再根据一元二次方程中,其二次项系数不为的限制,从而确定的值.。

义务教育课程标准人教版数学教案九年级上册2017—2018学年度第一学期2017—2018第一学期九年级上册数学教学工作计划本学期我担任九年级（2）（3）两个班的数学教学工作。

共有学生116人，上学期期末考试成绩不理想，落后面比较大,学习风气还欠浓厚。

正如人们所说的“现在的学生是低分低能”,我深感教育教学的压力很大，在本学期的数学教学中务必精耕细作。

使用的教材是新课程标准义务教育教科书《人教版数学九年级上册》，如何用新理念使用好新课程标准教材？如何在教学中贯彻新课标精神？这要求在教学过程中具有创新意识、每一个教学环节都必须巧做安排。

为此，特制定本计划。

一、指导思想在教学中努力推进九年义务教育，落实新课改，体现新理念，培养创新精神。

通过数学课的教学，使学生切实学好从事现代化建设和进一步学习现代化科学技术所必需的数学基本知识和基本技能；努力培养学生的运算能力、逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的能力。

二、学情分析九年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影响到将来是否能升学。

九（2）班和九（3）班比较，九（3）班学生稍活跃，但有少数学生不上进，思维不紧跟老师，九（2）班学生相对单纯，有部分同学基础较差，问题较严重。

要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生是学习的主体，教师是教的主体作用，注重方法，培养能力。

三、教材分析本学期教学内容共计五章，知识的前后联系，教材的教学目标，重、难点分析如下：1、认识一元二次方程及其有关概念，掌握配方法、公式法和因式分解法等方法解方程。

经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程的基本能力。

2、第22章二次函数本章主要研究二次函数的概念、图象和基本性质，用二次函数观点看一元二次方程，用二次函数分析和解决简单的实际问题等。

这些内容分为三节安排。

第22.1节“二次函数”首先从简单的实际问题出发，从中引发和归纳出二次函数的概念；然后由函数开始，逐步深入地、由一般地、数形结合地讨论图象和基本性质，最后安排了运用二次函数基本性质探究最大（小）值的问题。

初中数学试卷 桑水出品2015—2016学年度（上）学期教学质量检测九年级数学试卷（一）参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1.D2.D3.A4.B5.D6.B7.C8.A9.A 10.C二、填空题（每小题3分，共24分）11.-3x 12.（1，-2） 13.1 14.-115.120,2x x == 16.（1,2） 17. x ＜-1或x ＞218.(2,-- 三、（第19题12分，第20题10分，共计22分）19．解方程 （1）解：移项，得 2241x x -=---------------------------------------------------1系数化为1，得 ------------------------------------------------2配方，得 -------------------------------------3-------------------------------------------4由此可得 -------------------------------------------------52122x x -=-21121122x x -+=-=21(1)2x -=12x -=±----------------------------------6（2）解：2(23)2(23)0x x +-+=---------------------------------------------------1(23)(21)0x x ++=--------------------------------------------------------3230x +=或210x +=------------------------------------------------------4----------------------------------------------------------620.（1）画图正确------------------------------------------------------------------------------------------3（2）A /（2,1）、B /（-2，2) 、 C /（-1,-2）、 D / （1，-1）----------------------------------7（3）四边形ABCD 和四边形A /B /C /D /组成的图形是轴对称图形---------------------------8对称轴的解析式是y=x 和y=-x----------------------------------------------------------------10四、（第21题12分，第22题12分，共计24分） 21.122222,22x x +-==1231,22x x =-=-解：能算出该男生推铅球的成绩-----------------------------------------------1 由题意得，抛物线的顶点坐标是（4,3），且此抛物线经过（0，53）------------------------3 设抛物线的解析式是2(4)3y a x =-+--------------------------------------------------------------425(04)33a -+=-----------------------------------------------------------------------------------------5 解得112a =-----------------------------------------------------------------------------------------------7 ∴21(4)312y x =--+--------------------------------------------------------------------------------9 令y=0，得122,10x x =-=------------------------------------------------------------------------11∴B （10,0）答：男生推铅球的成绩是10米.--------------------------------------------1222.（1）① （-2,0），（1,0）-------------------------------------------------------------2② 8--------------------------------------------------------------------------------3③12x =------------------------------------------------------------------------4 ④增大----------------------------------------------------------------------------5（2）∵抛物线2y ax bx c =++经过（-2,0），（0-4），（1,0）三点∴42040a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩----------------------------------------------------------------------8第21题图解得：224a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩---------------------------------------------------------------------------11∴抛物线的解析式是2224y x x =+---------------------------------------------12五、解答题（12分）23．解：设一个正方形的边长为x cm ，则另一个正方形的边长为（5x -）cm-------------1（1）依题意得22(5)13x x +-=------------------------------------------------------------------4化简得2560x x -+=--------------------------------------------------------------------------------5解得122,3x x ==--------------------------------------------------------------------------------------7答：铁丝剪成两段的长度为8cm 和12cm.-----------------------------------------------------8（2）两个正方形的面积之和不可能等于12cm 2------------------------------------------9 ∵22(5)12x x +-=---------------------------------------------------------------------------10 2210130x x -+=△=2(10)42134--⨯⨯=-＜0--------------------------------------------------------------11 原方程无实数根，所以两个正方形的面积之和不可能等于12cm 2----------------12 （或利用二次函数求面积的最小值为12.5cm 2，说明面积之和不可能等于12cm 2）六、解答题（12分）24.（1）60≤x ≤90----------------------------------------------------------------------------------------2（2）W=y(x-60)=(-x+140)(x-60)=22008400x x -+-----------------------------------------4W=2(100)1600x --+∵-1＜0，抛物线开口向下对称轴为x=100，当x ＜100时，W 随x 的增大而增大---------------------------------------6∴当x=90时，W 有最大值1500--------------------------------------------------------------------7答：销售单价定为90元时，可获得最大利润，最大利润是1500元.----------------------8（3）2(100)16001200x --+=------------------------------------------------------------------9解得1280,120x x ==＞90，2120x =不合题意，舍去------------------------------------------11 答：此时的销售单价是80元.---------------------------------------------------------------------------12七、解答题（12分）25.证明：（1）∵AC=AC /∴∠AC /C=∠ACC /----------------------------------------------------------------------------------2 又∵∠AC /B /=∠ACB=90°∴∠AC /C+∠B /C /D=90°---------------------------------------------------------------------------3∠ACC /+∠BCD=180°-90°=90°---------------------------------------------------------------4 ∴∠BCD=∠B /C /D----------------------------------------------------------------------------------5（2）作B /E ∥BC 交CD 的延长线于E----------------------------------------------------------6 ∴∠BCD=∠E∵∠BCD=∠B /C /D∴∠E=∠B /C /D-------------------------------------------------------------------------------------7 ∴B /E=B /C /--------------------------------------------------------------------------------------------8 在△BCD 和△B /ED 中----------------------------------------------------------------------------10 ∴△BCD ≌△B /ED （AAS ）---------------------------------------------------------------------11 ∴BD=B /D--------------------------------------------------------------------------------------------12八、解答题（14分）26.BCD E CDB EDB BC B E ∠=∠⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩解：（1）C （0,3），D （-1,0）------------------------------------------------------------------------2 ∵抛物线2y x bx c =-++经过C 、D 两点.∴310c b c =⎧⎨--+=⎩---------------------------------------------------------------------------------------3 解得23b c =⎧⎨=⎩------------------------------------------------------------------------------------------------4 ∴抛物线的解析式是223y x x =-++--------------------------------------------------------------5（2）设M 点坐标为（x,y ）S △ABM =S △OBM +S △AOM -S △AOB =4--------------------------------------------------------------------------6 所以11113134222x y ⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=--------------------------------------------------------------7 11133y x =-+=223x x -++ 解得：1212,3x x ==-----------------------------------------------------------------------------------8 ∴12323,9y y ==---------------------------------------------------------------------------------------9 ∴12132(2,3),(,)39M M --------------------------------------------------------------------------------10 （3）存在-------------------------------------------------------------------------------------------------11 123(1,4),(1,6),(1,2)P P P -----------------------------------------------------------------------------14。

降次——解一元二次方程课题：22.2.1配方法（第课时）一、教学目标.经历探究过程，会用配方法解较简单的一元二次方程（二次项系数为）..培养思考能力和探索精神.二、教学重点和难点.重点：用配方法解一元二次方程..难点：配方.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知.完成下面的解题过程：()解方程：；解：原方程化成.开平方，得，，.()解方程：().解：原方程化成.开平方，得，，.（二）尝试指导，讲授新课（师出示下面的板书）直接开平方法：第一步：化成什么＝常数；第二步：开平方降次；第三步：解一元一次方程.师：上节课我们学习了用直接开平方法解一元二次方程.（指准板书）用直接开平方法解一元二次方程有这么三步，第一步化成什么＝常数；第二步开平方降次，把一元二次方程转化为一元一次方程；第三步解一元一次方程，得到两个根.师：按这三步，我们来做一个题目.（师出示例）例解方程：.（先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）解：原方程化成().开平方，得（三）试探练习，回授调节.完成下面的解题过程：解方程：；解：原方程化成.开平方，得，，.（四）尝试指导，讲授新课师：下面我们再来做一个题目.（师出示例）例解方程：.师：（指准板书）怎么解这个一元二次方程？（稍停）还是要按这三步来做.按这三步来做，关键是哪一步？（稍停）关键是第一步，把方程化成什么＝常数的这种样子，也就是左边化成含有的式子的平方，右边是一个常数这种样子.怎么化呢？大家自己先化一化.（生尝试，师巡视）师：下面我们一起来化.师：（指准方程）要把这个方程化成什么＝常数这种样子，首先要把常数项移到右边去（板书：解：移项，得），然后在这个方程的两边加上（板书：），左边等于什么？（稍停）等于()（边讲边板书：()），右边等于（边讲边板书：＝）.这样我们把原方程化成了含有的式子的平方＝常数这种样子.师：方程化成这种样子，下面就很好做了.开平方，得±（边讲边板书：开平方，得±），解一元一次方程，得到两个根，，（边讲边板书：，）.师：（指准解题过程）这个题目做完了，通过做这个题目，大家不难发现，解这个题目的关键是在方程两边加上，把方程的左边配成().这样做叫什么？叫配方（板书：配方）.师：像这道例题那样，通过把方程左边配成平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法（板书：配方法）.师：下面请大家做几个有关配方法的练习.（五）试探练习，回授调节.填空：()··()；()··()；()()；()()..完成下面的解题过程：解方程：；解：移项，得.配方，得，.开平方，得，，..用配方法解方程：.（六）归纳小结，布置作业师：这节课我们学习了什么？（稍停）我们学习了用配方法解一元二次方程.怎么用配方法解一元二次方程？（指准板书）和直接开平方法一样，都是这么三步，所不同的是，直接开平方法很容易把原方程化成什么＝常数这种样子，而配方法需要通过配方才能把原方程化成这种样子.课外补充作业：.填空：()··()；()··()；()()；()()..完成下面的解题过程：解方程：.解：移项，得.配方，得，.开平方，得，，..用配方法解方程：.四、板书设计课题：22.2.1配方法（第课时）一、教学目标.会用配方法解一元二次方程（二次项系数不为）..培养数感和运算能力.二、教学重点和难点.重点：用配方法解一元二次方程..难点：配方法.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知.完成下面的解题过程：用配方法解方程：.解：移项，得.配方，得，.开平方，得，，..填空：()··13 ()；()()； ()32()； ()().（订正时告诉学生，加上的那个数是一次项系数一半的平方）（二）尝试指导，讲授新课（师出示下面的板书）配方法第一步：化成什么＝常数；第二步：开平方降次；第三步：解一元一次方程.师：（指准板书）上节课我们学习了用配方法解一元二次方程.怎么用配方法解一元二次方程？有这么三步，第一步：通过移项、配方把原方程化成什么＝常数这种样子；第二步：开平方，把一元二次方程转化为一元一次方程；第三步：解一元一次方程，得到两个根.在这三步中，第一步中的配方是关键，所以这种解法叫做配方法.师：下面我们用配方法再来解几个一元二次方程，先看例.（师出示例）（三）尝试指导，讲授新课例 用配方法解方程：14. （先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）解：移项，得14. 配方 252⎛⎫ ⎪⎝⎭14252⎛⎫ ⎪⎝⎭， 25x+=62⎛⎫ ⎪⎝⎭.开平方，得52， 5-2，5-2. （四）试探练习，回授调节.完成下面的解题过程：用配方法解方程：74. 解：移项，得.配方，. 开平方，得，，.（五）尝试指导，讲授新课 师：下面我们再来做一个题目.（师出示例）例 用配方法解方程：.师：（指准方程）这个方程与例这个方程有点区别，区别在哪儿？（稍停）区别主要是，例这个方程的二次项系数是，而这个方程的二次项系数不是.怎么办？我们可以设法把这个方程二次项系数化为.下面大家自己先试着做一做.（以下生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）解：移项，得.二次项系数化为，得231x -x=-22. 配方 2223313x -x+=-+2424⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 231x-=416⎛⎫ ⎪⎝⎭ 开平方，得31x-=44±， , 12. （六）试探练习，回授调节.完成下面的解题过程：用配方法解方程：.解：移项，得.二次项系数化为，得.配方，.开平方，得，..用配方法解方程：.（七）归纳小结，布置作业师：这节课我们继续学习了用配方法解一元二次方程，（指板书）用配方法解一元二次方程就这么三步，解题的关键是第一步.怎么做第一步？（指例）先移项，再把二次项系数化为，然后配方.配方时，要在方程两边加上一次项系数一半的平方.（作业：习题.）四、板书设计课题：22.2.1配方法（第课时）一、教学目标.会先整理再用配方法解一元二次方程（包括没有实数根的情况）..培养数感和运算能力.二、教学重点和难点.重点：先整理再用配方法解一元二次方程..难点：没有实数根的情况.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知.完成下面的解题过程：用配方法解方程：－.解：移项，得.二次项系数化为，得.配方，.开平方，得，.（二）创设情境，导入新课师：上节课我们用配方法解了几个一元二次方程，这节课我们用配方法再来做几个题目.（三）尝试指导，讲授新课（师出示例题）例 用配方法解方程：()()()；()().（先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）解：()整理，得.移项，得.配方 212⎛⎫ ⎪⎝⎭212⎛⎫⎪⎝⎭，2149x+=24⎛⎫⎪⎝⎭.开平方，得1272±，， .()整理，得.移项，得. 二次项系数化为，得24x -2x=-3配方 224x -2x+1=-+13，()21x-1=-3.原方程没有实数根.师：例题做完了，从这个例题，谁能概括怎么用配方法解一元二次方程？（让生思考一会儿，再叫学生）生：……（让一两名好生回答）师：用配方法解一元二次方程，（指准例）第一步要把原方程化成什么＝常数这种样子，怎么化呢？（稍停）先整理，把原方程化成一元一次方程的一般形式；再移项；然后把二次项系数化为；然后再配方，配方时，在方程两边加上一次项系数一半的平方.第一步完成后，看右边的常数，如果右边的常数为负数，说明原方程没有实数根；（指准例）如果右边的常数为非负数，则继续第二步第三步，第二步开平方，第三步解一元一次方程得到两个实数根.（四）试探练习，回授调节.完成下面的解题过程：用配方法解方程：().解：整理，得.移项，得.二次项系数化为，得.配方，.开平方，得，..用配方法解方程：()().（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们用配方法解了几个一元二次方程，通过做题，同桌之间互相说一说，怎么用配方法解一元二次方程？（同桌之间互相说）（作业：练习()()）四、板书设计（略）课题：22.2.2公式法（第课时）一、教学目标.经历一元二次方程求根的推导过程，会用公式法解一元二次方程..发展符号感.二、教学重点和难点.重点：一元二次方程求根公式的推导和运用..难点：一元二次方程求根公式的推导.三、教学过程（一）尝试指导，讲授新课师：（板书：，并指准）这是一个一元二次方程，是未知数，，，都是常数，而且≠（板书：(≠)）.怎么用配方法来解这个一元二次方程？大家自己先试一试.（生尝试，师巡视，要给学生充足的尝试时间）师：我们一起来解这个一元二次方程.首先我们要把这个方程化成什么常数这种样子，怎么化呢？师：先把常数项移到右边（板书：移项，得）.师：再把二次项系数化为，得2bc x +x=-a a （板书：二次项系数化为，得2b c x +x=-a a）. 师：然后配方（板书：配方），怎么配方？（稍停）在方程两边加上一次项系数一半的平方（板书：222b b c b x +x+=-+a 2a a 2a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭），左边是2b x+2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭（板书：2b x+2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭），右边222222222c b b c b 4ac b -4ac -+=-=-=a 4a 4a a 4a 4a 4a（边讲边在黑板的其它地方板演），所以2b x+2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭22b -4ac 4a （边讲边板书：22b -4ac 4a ）. 师：（指准板书）通过移项、二次项系数化为、配方，现在我们把原方程化成了什么常数这种形式，接下来怎么做呢？师：（指准方程）接下来开平方（板书：开平方，得），b x+=2a边板书：b x+=2a ，这个二次根式还可以化简，化简结果是2a（边讲边将上面的二次根式改写成2a）.师：（指准方程）把b 2a 移到方程右边去，可以解出，-b x=2a ±（边讲边板书：）.师：1x （边讲边板书），2x .师：（指准板书）这个方程解完了，通过解这个方程我们得出，一元二次方程的两个根是-b x=2a（在这个式子外加框）.师：（指）忙乎了半天，有的同学可能会问：这个方程尽是字母，很难解，解它有什么用？是啊，大家想一想，解这个方程有什么用啊？（让生思考一会儿，再叫学生）生：……（让几名同学发表看法）师：以前我们解一元二次方程用的是配方法，要一步一步来解，过程比较麻烦.现在好了，通过解这个方程，（指准求根公式）有了这个式子，只需要把二次项系数、一次项系数、常数项代入这个式子，就可以求出根.因为利用这个式子可直接求根，所以我们把这个式子叫做一元二次方程的求根公式（板书：求根公式）.师：（指求根公式）求根公式挺复杂，大家把求根公式写一写，记一记，熟悉熟悉.（生熟悉公式）师：下面我们利用求根公式来解几个一元二次方程. （师出示例题）例 利用求根公式解下列方程： ()； ()；().师：（指()题）怎么利用求根公式解这个一元二次方程？（板书：解：()） 师：（指()题）首先要找出这个方程的二次项系数、一次项系数、常数项，这个方程的，，等于什么？生：，，（生答师板书：，，）.师：找出了，，，接下来干什么？接下来要计算-4ac 的值（板书：-4ac ）. -4ac()××()（边讲边板书：()××()）师：大家可能觉得有点奇怪，找出了，，，为什么不把，，直接代入求根公式，而是先计算-4ac 的值？（稍停后指准求根公式）大家看求根公式，公式中这个二次根式的被开方数是-4ac ，可见-4ac 必须大于等于.计算-4ac 的目的是什么？目的是看一看-4ac 的值是大于等于还是小于.如果-4ac 的值大于等于，下一步才把，，代入求根公式；如果-4ac的值小于，这个二次根式没有意义，说明方程没有实数根.总之，要根据-4ac 值的符号来决定下一步怎么做，所以不能直接把，，代入求根公式，先要求-4ac 的值.师：（指准板书）这个方程的-4ac 等于，大于（边讲边板书：＞），所以下一步可以把，，代入求根公式.师：-b -(-4)4x=2a 212±±±⨯（边讲边板书）.师：1x 1x . （以下师边讲解边板书其它各题，解题过程如下） ()整理，得. ，，， -4ac()××()＞.-b -(-4)46x=2a 2510±±⨯，14+6x ==110，14-61x ==-105.()，××.-b 0x==2a 224±⨯，12x =x =2()整理，得. ，，， -4ac()××＜. 方程没有实数根. （二）试探练习，回授调节 .完成下面的解题过程： 利用求根公式解方程：. 解：，，.-4ac ＞.，1x =_________，1x =__________..利用求根公式解下列方程：()21x =04；()24x ； ()；（三）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了利用求根公式解一元二次方程，利用求根公式解一元二次方程，这种方法叫公式法（板书课题：22.2.2公式法）.师：和配方法相比，用公式法解一元二次方程要简单得多，不过我们还要看到，公式法所用的求根公式是用配方法推导出来的，所以我们说，公式法更简单，配方法更基本.（作业：习题()()()()） 四、板书设计（略）22.2.2公式法(≠) 例移项，得…… 二次项系数化为，得……配方…… …… 开平方，得…… …………课题：22.2.2公式法（第课时） 一、教学目标.会较熟练地用公式法解一元二次方程..知道什么是判别式，会根据判别式的值确定解的情况.二、教学重点和难点.重点：根据判别式的值确定解的情况. .难点：根据判别式的值确定解的情况. 三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知 .完成下面的解题过程： 用公式法解下列方程： (). 解：，，. -4ac ＞.，1x =_________，1x =__________.解：整理，得. ，，. -4ac.，12x =x =_________.()().解：整理，得. ，，. -4ac ＜.方程实数根. （二）尝试指导，讲授新课 （师出示下面的板书） 一元二次方程()当-4ac 时，方程有两个不相等的实数根；()当-4ac时，方程有两个相等的实数根；()当-4ac时，方程没有实数根.师：刚才我们解了个一元二次方程，我们是怎么解方程的？（稍停）师：（指准板书）首先我们把方程化成一元二次方程的一般形式，也就是这样的形式.师：然后计算-4ac的值，（指准板书）当-4ac的值怎么样时，方程有两个不相等的实数根？生：当-4ac＞时（多让几名同学回答，然后师填入：＞）.师：（指准板书）当-4ac的值怎么样时，方程有两个相等的实数根？生：当-4ac＝时（多让几名同学回答，然后师填入：＝）.师：（指准板书）当-4ac的值怎么样时，方程没有实数根？生：当-4ac＜时（生答师填入：＜）.师：（指板书）通过解一元二次方程，我们得到了这个的结论，请大家一起来把这个结论读两遍.（生读）师：（指板书）这是一个很重要的结论，这个结论告诉我们，一元二次方程根的情况由式子-4ac决定，所以我们把式子-4ac叫做一元二次方程根的判别式（板书：-4ac叫做根的判别式），记作△（板书：记作△）.师：下面我们就利用这个结论来做一个题目.（师出示下面的例题）例利用判别式判断下列方程的根的情况：()；()；()().（师边讲解边板书，解题过程如下）解：()，，.△-4ac××()＞，方程有两个不相等的实数根.()整理，得，，.△-4ac()××，方程有两个相等的实数根.()整理，得，，.△-4ac()××＜，方程没有实数根.（三）试探练习，回授调节.利用判别式判断下列方程的根的情况：()；()()()；（四）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了什么？（稍停）我们学习了利用判别式判断方程根的情况.请大家再把这个结论读一遍.（生读）（作业：习题()()）四、板书设计（略）一元二次方程例()当-4ac＞时……()当-4ac时……()当-4ac＜时……课题：22.2.3因式分解法（第课时）一、教学目标.会用因式分解法解一元二次方程，领会因式分解法的实质是降次..培养式的变形能力，发展符号感.二、教学重点和难点.重点：用因式分解法解一元二次方程..难点：式的变形.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知.完成下面的解题过程：用公式法解方程：()() 解：整理，得. ，，. -4ac ＞.x=__________________=______，1x =_________，2x =__________.（二）尝试指导，讲授新课师：刚才我们解了一个方程，我们是怎么解的？（稍停）我们先整理得到了方程（边讲边板书：），然后用公式法求出两个根.师：（指）除了用公式法，大家想一想，还有别的更简单的方法解这个方程吗？（让生思考一会儿）师：（指）我们把这个方程的左边分解因式（板书：因式分解，得），得到()（边讲边板书：()）.师：（指准()）乘以等于，这说明什么？ 生：……（多让几名同学发表看法）师：（指准()）乘以等于，说明或者（板书：于是得或）.师：（指准板书）这样我们通过因式分解把一元二次方程转化成了两个一元一次方程.接下来解这两个一元一次方程，由得到（板书：），由，得到23x =2（板书：23x =2）. 师：（指板书）用这种方法解出的结果与用公式法解出的结果是一样的，但显然用这种方法解更简单.大家再看一看，用这种方法解方程，哪一步是关键？生：因式分解.（多让几名同学回答）师：因式分解是这种方法的关键，那么这种方法应该叫做什么法？ 生：（齐答）因式分解法.（师板书课题：22.2.3因式分解法）师：通过因式分解来解一元二次方程，这种方法叫做因式分解法.下面我们用因式分解法再来解几个一元二次方程.（师出示例题）例 用因式分解法解下列方程： ()()；()1434；()()().（师边讲解边板书，()()题解题过程如课本第页所示，()题解题过程如下） ()移项，得 ()().因式分解，得()().于是得或，12y=-3，.师：我们用因式分解法做了几个题，通过做题，哪位同学会归纳用因式分解法解一元二次方程的步骤？（让生思考一会儿再叫学生）生：……（让两名学生归纳）师：（指准例()题）用因式分解法解一元二次方程，先把方程右边移到左边，再把左边分解因式，化为两个一次式的乘积等于的形式，然后得到两个一元一次方程，最后分别解这两个一元一次方程，得到两个根.师：按这样的步骤，下面同学们自己做几个练习.（三）试探练习，回授调节.完成下面的解题过程：解：移项，得.因式分解，得.于是得或，，..用因式分解法解下列方程：()；()；()()；()()().（四）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了用因式分解法解一元二次方程，因式分解法是一种比较简单的解方程的方法，它是通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程，从而达到降次的目的（边讲边板书：降次）.解一元二次方程的基本思路是什么？（稍停）基本思路是降次.配方法是通过配方来降次，因式分解法是通过因式分解来降次.降次是解一元二次方程的基本思路，这一点还希望同学们能好好理解，好好体会.（作业：习题）四、板书设计（略）22.2.3因式分解法例因式分解，得()于是得或，，3 2课题：22.2.3因式分解法（第课时）一、教学目标.通过基本训练，复习巩固解一元二次方程的四种方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）..会选择适当的方法解一元二次方程.二、教学重点和难点.重点：复习巩固四种方法..难点：选择适当的方法解一元二次方程.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知.填空：解一元二次方程的方法有四种，它们是直接开平方法、、、..完成下面的解题过程：()用直接开平方法解方程：()；解：原方程化成.开平方，得，，.()用配方法解方程：；解：移项，得.二次项系数化为，得. 配方， .开平方，得， ，.()用公式法解方程：(). 解：整理，得. ，，. -4ac ＞.,，.()用因式分解法解方程：(). 解：移项，得. 因式分解，得. 于是得或， ，.（二）尝试指导，讲授新课 （师出示下表）直接开平方法 配方法公式法因式分解法过程 简单 复杂 较简单简单 适用某些所有所有某些师：前面我们学习了解一元二次方程的四种方法，哪四种方法？（指准表）直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.这四种方法各有各的特点，这个表反映了它们各自的特点.师：（指准表格）直接开平方法解方程的过程简单，但这种方法只能用于解某些一元二次方程.譬如，，()（边讲边板书），这样的方程可以用直接开平方法来解.师：（指准表格）配方法解方程过程最复杂，但这种方法适用于所有的一元二次方程，也就是说，任何一元二次方程都可以用配方法来解.师：（指准表格）公式法解方程的过程比较简单，而且这种方法适用于所有的一元二次方程.师：（指准表格）因式分解法解方程的过程简单，但这种方法和直接开平方法一样只能用于解某些一元二次方程.譬如，，()（边讲边板书方程），这样的方程可以用因式分解法来解.师：知道了四种方法各自的特点，下面我们来看一道例题.（师出示例题）例指出下列方程用哪种方法来解比较适当：()()()；()；()().师：解一元二次方程有四种方法，现在要你指出这几个方程用哪种方法来解比较适当，请大家自己先考虑考虑.（让生思考一会儿）师：谁来说说你的想法？生：……（多让几名同学发表看法，最好要说出理由）师：（指准表格）在四种方法中，用直接开平方法、因式分解法解方程最简单，所以先要看能不能用这两种方法来解.如果不能用直接开平方法来解，也不能用因式分解法来解，就要用公式法来解.因为公式法能解所有的一元二次方程，它是“万能”的，而且比较简单.师：根据这样的思路，我们来看这道例题.师：（指例()题）这个方程能用直接开平方法解吗？（稍停）不能.能用因式分解法解吗？（稍停）能（板书：解：()因式分解法）.师：（指例()题）这个方程能用直接开平方法解吗？（稍停）不能.能用因式分解法解吗？（稍停）不能.所以要用公式法解（板书：()公式法）.师：（指例()题）这个方程用什么方法解合适？生：（齐答）直接开平方法（生答师板书：()直接开平方法）.师：这个例题做完了，做完了例题有的同学可能会提出一个问题，什么时候用配方法解方程？（稍停）老师要告诉大家，因为用配方法解方程最复杂，所以我们一般不用配方法解方程.师：有的同学可能会接着问：既然不用配方法解方程，为什么要学配方法？（稍停）在四种方法中，公式法最有用，什么方程都可以用公式法来解，而且比较简单，但求根公式是怎么推导出来的？（稍停）求根公式是用配方法推导出来的，不学配方法哪有公式法？所以我们说，公式法最有用，配方法最基本，而直接开平方法、因式分解法最简单，但这两种方法只适用于某些特殊的一元二次方程.（三）试探练习，回授调节.指出下列方程用哪种方法来解比较适当：()()；()()()；()().（四）归纳小结，布置作业师：本节课我们复习了解一元二次方程的四种方法，这四种方法各有各的特点，但它们的基本思路是相同的.相同的思路是什么？（稍停）相同的思路是把一元二次方程化为一元一次方程，也就是降次（板书：降次）.不管用什么方法，降次是解一元二次方程的基本思路.课外补充作业：.先指出下列方程用哪种方法来解比较合适，然后再按这种方法解：()()；()()()；()()()..用配方法解方程：.四、板书设计表格例()()。

山东省日照市莒县五中2017-2018学年人教版九年级数学上册第一次月考试题第21、22章综合检测试题（10月份）一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，共30 分）1.若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（）A. m≥1B. m≤1C. m≥1且m≠0D. m≤1且m≠0【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的解与判别式之间的关系即可解答.【详解】∵关于的一元二次方程有实数根，∴△=4-4m≥0，m≠0，∴m≤1且m≠0.故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的解与判别式之间的关系，熟知一元二次方程的解与判别式之间的关系是解决本题的关键.解题时还要注意使二次项的系数不等于0.2.抛物线的对称轴是（）A. x=-2B. x=6C. x=2D. x=4【答案】C【解析】【分析】先求得抛物线与x轴的交点坐标，再根据二次函数的对称性求对称轴即可.【详解】令=0，解得x=-2或x=6，∴与x轴的交点坐标为（-2,0）、（6,0），∴抛物线的对称轴是x=.故选C.【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，求得抛物线与x轴的交点坐标是解决本题的关键.3.若关于的方程有实数根和，则的取值范围是（）A. m+n≥1B. m+n≤1C. m+n≥D. m+n≤【答案】A【解析】【分析】根据方程有两个实数根，可得△=b2-4ac≥0，代入可解出k的取值范围；再由根与系数的关系可得m+n=2（1-k）=2-2k，由此即可得的取值范围.【详解】∵关于x的方程有实数根m，n，∴△=[-2（1-k）]2-4×1×k2≥0，解得k≤，∵m，n是一元二次方程的两个根，∴m+n=2（1-k）=2-2k，又∵k≤，∴m+n≥1．故选A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，将根与系数的关系与判别式相结合解题是一种经常使用的解题方法；注意k的取值范围是正确解答的关键．4.若一元二次方程的常数项是，则等于（）A. -3B. 3C. ±3D. 9【答案】B【解析】【分析】由一元二次方程的常数项是，可得，≠0，由此即可求得m的值.【详解】∵一元二次方程的常数项是，∴，≠0，∴m=3.故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．5.已知二次函数的图象如图，下列结论：①；②；③；④；⑤，正确的个数是（）...........................A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】【分析】观察图象可得当x=1时y＜0，当x=-1时y＞0，抛物线与x轴有两个交点，由此即可判断①②⑤；由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由对称轴的位置判定b与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，即可判断③；根据对称轴判断④．【详解】由图象可知：当x=1时y＜0，,∴a+b+c＜0，①正确；当x=-1时y＞0，∴a-b+c＞0，⑤正确；抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，②错误；∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0；∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0；∵对称轴为x=−=-1＜0，又∵a＜0，∴b＜0，∴abc＞0，③错误；∵x=−=-1，∴b=2a，④正确；∴①、④、⑤正确．故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；对称轴为直线x=-，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y 轴的右侧；当c＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方，当c＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方；当△=b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当△=b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当△=b2-4ac＞0，抛物线与x轴没有交点．6. 教育系统要组织一场足球赛，每两队之间进行两场比赛，计划踢90场比赛，则要邀请多少个足球队？（）A. 10场B. 9场C. 8场D. 7场【答案】A【解析】试题分析：本题我们首先设需要邀请x个足球队，根据题意可得：x（x－1）=90，解得：x=10或x=－9（舍去），即需要邀请10个足球队.考点：一元二次方程的应用7.已知二次函数的图象与一次函数的图象相交于，且，若，，则的值应满足（）A. -3<x1<-2B. -2<x1<-1C. -1<x1<0D. 0<x1<1【答案】B【解析】【分析】已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0, b<0) 的图象与一次函数y=x+1 的图象相交于，且，可得抛物线开口向上且对称轴在y轴右侧，又由4a-2b+c>0 ，a-b+c<0 ，可得当x=-1时，a-b+c<0 ，当x=-2时，4a-2b+c>0 ，由此即可得x1的取值范围.【详解】∵ y=ax2+bx+c(a>0, b<0) ，∴抛物线开口向上且对称轴再y轴的右侧；∵ 4a-2b+c>0 ，a-b+c<0 ，∴当x=-1时，a-b+c<0 ，当x=-2时，4a-2b+c>0 ，∴-2<x1<-1.故选B.【点睛】本题考查了点与函数的关系以及a、b、c与函数图象的关系，解题的关键是数形结合思想的应用.8.二次函数的最大值是（）A. 2B. -2C. -3D. 4【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的性质解答即可.【详解】二次函数中，当x=2时，y最大=4.故选D.【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解决问题的关键.9.用配方法解方程时，配方后所得的方程是（）A. (x-2) 2=3B. (x+2) 2=3C. (x-2) 2=1D. (x-2) 2=-1【答案】A【解析】【分析】根据配方法的步骤进行配方，即可解答．【详解】，，，.故选A.【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法的基本步骤是解本题的关键．10.抛物线与轴交点的横坐标为和，且过点，它的关系式为（）A. y=2x2-2x-4B. y=-2x2+2x-4C. y=x2+x-2D. y=2x2+2x-4【答案】D【解析】【分析】已知抛物线与轴交点的横坐标为和，设抛物线的解析式，把点(2，8)代入求得a值，再化为一般式即可.【详解】∵抛物线与轴交点的横坐标为和，∴设抛物线的解析式，把点(2, 8)代入得，4a=8，∴a=2.∴即y=2x2+2x-4.故选D.【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，根据题目特点选择合适的解析式是解题的关键.二、填空题（共10 小题，每小题 3 分，共30 分）11.方程的根是________．【答案】，【解析】【分析】先将方程整理成一元二次方程的一般形式，然后利用公式法进行求解即可得.【详解】，x2-x-3=0，a=1，b=-1，c=-3，b2-4ac=（-1）2-4×1×（-3）=13>0，∴x==，∴，，故答案为：，.【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题的关键.12.将函数配方成的形式，则________；________．【答案】(1). (2).【解析】【分析】根据配方法将配成的形式，即可解答.【详解】+4====∴m=，n=.故答案为：，.【点睛】本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式，利用配方法把y=ax2+bx+c化为的形式是解决问题的关键.13.函数是二次函数，则________．【答案】【解析】【分析】根据二次函数的定义解答即可.【详解】∵函数是二次函数，∴=2，m+2≠0，∴m=2.故答案为：2.【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知二次函数的定义是解题的关键.14.二次函数与轴两交点之间的距离为________．【答案】【解析】【分析】令x2-2x-3=0，解方程求得x的值，再根据坐标轴上两点距离公式|x1-x2|解答即可.【详解】当y=0时，x2-2x-3=0．解得x1=-1，x2=3，∴|x1-x2|=4．【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点坐标，熟知二次函数与一元二次方程的关系和坐标轴上两点距离公式|x1-x2|是解决问题的关键．15.若，则________．【答案】【解析】【分析】设m，原方程可化为，解方程求得m的值，再由≥0，即可求得的值. 【详解】设m，原方程可化为，解得.∵≥0，∴=1.故答案为：1.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——换元法，把当作一个整体，把原方程化为一元二次方程是解题的关键.16.若关于的方程有实数根，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】由一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，解不等式求出k的取值范围即可．【详解】∵方程有两个实数根，∴△=b2-4ac=32+4k=9+4k≥0，解得：k≥．故答案为：：k≥．【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．17.已知某农机厂第一个月水泵的产量为台，若平均每月的增长率为，则第三个月的产量（台）与月平均增长率之间的函数关系式是________．【答案】【解析】【分析】设每月增长率为x，据题意可知第三个月的产量为100（1+x）2台，由此即可解答．【详解】∵第一个月水泵的产量为100台，平均每月的增长率为x，∴第三个月的产量为100（1+x）2台，∴y=100（1+x）2．故答案为：y=100（1+x）2．【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．18.已知方程的一个根是，则的值是________，它的另一个根是________．【答案】(1). (2).【解析】【分析】设一元二次方程x2-3x+m=0的一个根是x1=1，另一个根为x2．把x1=1代入x2-3x+m=0求m，再根据根与系数的关系求得方程的另一个根．【详解】设一元二次方程x2-3x+m=0的一个根是x1=1，另一个根为x2．把x1=1代入x2-3x+m=0，得1-3+m=0，解得m=2．根据根与系数的关系，1+x2=3，得x2=3-1=2．故答案为：2；2.【点睛】解决本题的基本思路是：将一根代入原方程，转化为关于m的方程，解出m的值，再根据根与系数的关系求出另一根．19.如图，某大学的校门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽为，两侧距地面高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为，则校门的高为________（精确到，水泥建筑物厚度忽略不计）．【答案】【解析】【分析】建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2 +c，由题意可知抛物线经过（4，0），（3，4）两点，用待定系数法求得抛物线的解析式，根据所求的解析式即可求得校门的高度.【详解】建立如图所示平面直角坐标系：设抛物线的解析式为y=ax2 +c，又已知抛物线经过（4，0），（3，4）两点，可得，解得，∴，当x=0时，y=≈9.1米．故答案为：9.1．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用．解决本题的基本思路是建立二次函数模型，借助二次函数解决实际问题20.请写出一个开口向下，对称轴为直线，且与轴的交点坐标为的抛物线的解析式________．【答案】【解析】【分析】因为抛物线开口向下，可得a＜0，再由对称轴为直线x=1，可得﹣=1，a、b的值只要符合﹣=1即可；由y轴的交点坐标为（0，2），可得c=2．由此可得函数的解析式.【详解】因为抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x=1，∴﹣=1令a=-1，可得b=2，（a、b的值只要符合﹣=1都可）∵y轴的交点坐标为（0，2），∴c=2．∴.故答案为：(（答案不唯一，符合题意即可）．【点睛】本题是开放题，考查了学生的综合应用能力，解题时要注意根据题意获取条件．已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解．三、解答题（共6 小题，每小题10 分，共60 分）21.求下列函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值．【答案】时，函数的最小值为；时，函数取得最大值为．【解析】【分析】（1）利用配方法把化为，再根据二次函数的性质解答即可；（2）因为a=-2＜0，根据当x=时，求解即可.【详解】∵，∴当时，函数的最小值为．，∵，，，∴当时，函数取得最大值为．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，求二次函数的最值有两种方法：①把函数的解析式化为顶点式，利用二次函数的性质解答；②直接利用顶点坐标公式（，）解答.22.解方程：；【答案】；，.【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；（2）把方程整理成一般形式后，利用配方法解方程即可.【详解】；；，；，，；，，.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，解方程时，要根据方程的特点灵活选择方程的解法.23.已知：关于的方程．若是此方程的一个根，求和另一根的值；当满足什么条件时，方程总有实数根？【答案】的值为，方程的另一根为；时，方程总有实数根．【解析】【分析】（1）解法一：设是方程的另一根，根据根与系数的关系可得，由此即可求解；解法二：把代入原方程求得m的值，再解方程求得方程的另一个根即可.（2）由方程总有实数根可得△≥0，列出以m 为未知数的不等式，解不等式求得m的取值范围即可.【详解】解法一：设是方程的另一根，∴，解得：，∴的值为，方程的另一根为；解法二：∵是原方程的一个根∴，∴，∵当时，原方程为，∴，∴，．∴的值为，方程的另一根为；∵方程总有实数根∴，∴，∴， ∴当时，方程总有实数根．【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解及根的判别式．熟知根与系数的关系及根的判别式是解决本题的关键．24.已知二次函数的部分图象如图所示，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．若，求的值；若实数，比较与的大小，并说明理由．【答案】 ；当时，，理由见解析. 【解析】【分析】 （1）已知抛物线对称轴为x=1，由抛物线对称性可知，其与x 轴的另一个交点为（-1，0），把x=-1代入函数的解析式即可得到c-b 的值；（2）当m≠1时，a+b ＞m （am+b ），把x=1和x=m 分别代入函数的解析式得到关于a 、b 、c 的关系式，因为顶点的横坐标为1，所以当x=1时函数取最大值y=a+b+c ，即a+b+c ＞am 2+bm+c ，进而证明a+b ＞m （am+b ）． 【详解】由抛物线对称性可知，其与轴的另一个交点为，∴．当时，解得 ．当时，， 理由如下：当时，，当时，，∵，∴当时，函数取最大值，∴当时，，∴，即．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系．求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．25.小红的父母开了一个小服装店，出售某种进价为元的服装，现每件元，每星期可卖件．该同学对市场作了如下调查：每降价元，每星期可多卖件；每涨价元，每星期要少卖件．小红已经求出在涨价情况下一个星期的利润（元）与售价（元）（为整数）的函数关系式为，请你求出在降价的情况下与的函数关系式；在降价的条件下，问每件商品的售价定为多少时，一个星期的利润恰好为元？问如何定价，才能使一星期获得的利润最大？【答案】（1）；（2）当每件商品的售价定为元时，一个星期的利润恰好为元；每件商品的定价为元时，获得利润最大．【解析】【分析】（1）根据一个星期的利润=每件的利润×销售数量列出函数解析式即可；（2）利用（1）中结果，列出方程,解方程即可解答；（3）分别求得两种销售方式获取的最大利润，比较即可解答．【详解】（1）；（2）令=6000，解得x1=55，x2=60（舍去）.答：当每件商品的售价定为55元时，一个星期的利润恰好为6000元，∵，∴当时，有最大值为元当时，有最大值为元∵∴当每件商品的定价为元时，获得利润最大．【点睛】本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，再配成抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，然后利用当a＜0，x=h时，y有最大值k；当a＞0，x=h时，y有最小值k等性质解决实际问题．26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，与轴的交点分别为，，且，直线轴，在轴上有一动点过点作平行于轴的直线与抛物线、直线的交点分别为、．求抛物线的解析式；当时，求面积的最大值；当时，是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．【答案】；当时，面积的最大值为；或或．【解析】【分析】（1）由根与系数的关系可得，再由即可求得、，所以、，把代入即可求得m的值，由此可得抛物线的解析式；（2）先求得点A的坐标，再用待定系数法求得直线AC的解析式，分当时和当时两种情况求得面积与t的函数关系式，根据二次函数的性质即可求得两种情况下面积的最大值，比较即可解答；（3）分两种情况讨论：①当时，，，再由△AOB∽△AQP或△AOB∽△PQA，根据相似三角形的性质分别列出方程求解即可；②当时，，，再由△AOB∽△AQP或△AOB∽△PQA，根据相似三角形的性质分别列出方程求解即可.【详解】由题意知、是方程的两根，∴，由解得：∴、则，解得：，∴该抛物线解析式为：；可求得设直线的解析式为：，∵∴∴直线的解析式为：，要构成，显然，分两种情况讨论：①当时，设直线与交点为，则：，∵，∴，∴，此时最大值为：，②当时，设直线与交点为，则：，∵，∴，∴，当时，取最大值，最大值为：，综上可知，当时，面积的最大值为；如图，连接，则中，，，，，，①当时，，，若：，则：，即：，∴（舍），或，若，则：，即：，∴（舍）或（舍），②当时，，，若：，则：，即：，∴（舍），或，若，则：，即：，∴（舍）或，∴或或．【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质、三角形的面积问题等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．。

山东省日照市莒县五中2019-2019学年度第一学期人教版九年级数学上册第21章一元二次方程单元检测试题考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.下列方程中是一元二次方程的是（）A.x2+2x−=1B.x2−1x=0C.√x2+3x−5=0D.x2=2.关于x的方程2x2−x=0的一个解是2，则x的值是（）A.4B.8C.−4或8D.4或−83.用直接开平方法解方程(x−3)2=8，得方程的根为（）A.=3+2√2B.x=3−2√2C.x=3±2√3D.x=3±2√24.一边靠墙（墙长7x），另三边用14x的木栏围成一个长方形，面积为20x2，这个长方形场地的长为（）A.10x或5xB.5xC.4xD.2x 5.若关于x的方程3x2+xx+2x−6=0的一个根是0，则x的值为（）A.6B.3C.2D.16.下面结论错误的是（）A.方程x2+4x+5=0，则x1+x2=−4，x1x2=5B.方程2x2−3x+x=0有实根，则x≤98C.方程x2−8x+1=0可配方得(x−4)2=15D.方程x2+−1=0两根x1=−1+√52，x2=−1−√527.一元二次方程(x−1)2=0的解是（）A.x1=0，2=1B.x1=1，x2=−1C.x1=x2=1D.x1=x2=−18.下列说法正确的是（）A.方程3x2=5x−1中，x=3、x=5、x=1B.一元二次方程x2+xx+x=0(x≠0)，当x2−4xx≥0时，它的根是x=−x+√2−4xx2xC.方程x2=9的一般形式为x2−9=0D.方程(x+2)(x−4)=0的解是x1=2，x2=49.用配方法解方程x2+10x+20=0，则方程可变形为（）A.(x+5)2B.(x−5)2=45C.(x+5)2=5D.(x−5)2=510.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设第1页/共6页该厂八九月份平均每月的增长率为x，那么满足的方程是（）A.50(1+x)2=196B.50+50(1+x2)=196C.50+50(1+x)+50(1+2x)=196D.50+50(1+x)+50(1+x)2=196二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.方程xx2−4x+1=0的根是________．12.若关于x的一元二次方程x2−4x−x=0有两个不相等的实数根，则实数x的取值范围是________．13.一元二次方程(x+6)2=5可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是x+6=√5，则另一个一次方程是________．14.已知关于x的方程x2+5x+x=0的一根为−1，则方程的另一根为________．15.已知关于x的方程x2−6x−3x−5=0的一个根是−1，则x的值是________．16.x，x为实数且(x2+x2)2+4(x2+x2)=5，则x2+x2=________．17.某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为x，则所列方程应为________．18.(3x−1)(x+2)=6化成一般形式为________，x2−4xx=________，用求根公式求得x1=________，x2=________．19.设x1，x2是一元二次方程2−2x+5=0的两个根，则x1⋅x2=________．20.一元二次方程(2x+1)(x−3)=1的一般形式是________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.用适当的方法解下列方程．①x2−6x=1 ①2x2+2√2x+1=0①2x(x−1)=x−1 ①(−2)2=(2x+3)2①−3x2+22x−24=0 ①(3x+5)2−4(3x+5)+3=0．22.已知关于x的一元二次方程x2+(x+3)x+x+1=0．(1)求证：无论x取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)当x为何整数时，原方程的根也是整数．23.某品牌童装平均每天可售出40件，每件盈利40元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出4件．(1)要想平均每天销售这种童装上盈利2400元，那么每件童装应降价多少元？(2)用配方法说明：要想盈利最多，每件童装应降价多少元？24.已知关于x的一元二次方程(x+x)x2+2xx−(x−x)=0．其中x，x，x分别为△xxx三边的长．(1)如果x=−1是方程的根，试判断△xxx的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△xxx的形状，并说明理由；(3)如果△xxx是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．25.如图，有长为30x的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20x），围成中间隔有一道篱笆（平行于xx）的矩形花圃xxx．设花圃的一边xx为x(x)．如图，有长为30x的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20x），围成中间隔有一道篱笆（平行于xx）的矩形花圃xxxx．设花圃的一边xx为x(x)．(1)则xx=________（用含x的代数式表示），矩形xxxx的面积=________（用含x的代数式表示）；(2)如果要围成面积为63x2的花圃，xx的长是多少？(3)将(1)中表示矩形xxx的面积的代数式通过配方，问：当xx等于多少时，能够使矩形花圃xxxx面积最大，最大的面积为多少？26.如图所示，△xxx中，xx=90∘，xx=6xx，xx=8x．(1)点x从点x开始沿xx边向x以1xx/x的速度移动，点x从x点开始沿xx边向点x以2xx/x的速度移动．如果x、x分别从x，x同时出发，线段xx能否将△xx分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．(2)若x点沿射线xx方向从x点出发以1xx/x的速度移动，点x沿射线xx方向从x点出发以2xx/x的速度移动，x、x同时出发，问几秒后，△xxx的面积为1xx2？答案1.D2.B3.D第3页/共6页4.B5.B6.A7.C8.C9.C10.D11.14或2±√4−x12.x>−413.x+6=−√514.−415.2316.117.100+100×(1+)+100×(1+x)2=80018.3x2+5x−8=01211−8319.520.2x2−5x−4=021.解：①x2−6x=1，①x2−6x−1=0，①(x−3)2=10，即−3=±√10①x1=3+√10,x2=3−√10；①2x2+2√2x+1=0，①x=2，x=2√2，x=1，△=x2−4xx=8−8=0，①x1=x2=−x2x=−2√22×2=−√22；①2x(x−1)=x−1，①(−1)(2x−1)=0，(x−1)=0，2x−1=0，①x1=1，x2=12；①(x−2)2=(2x+3)2第5页/共6页[(x −2)+(2x +3)][(x −2)−(2x +3)]=0， ①(3x +1)(−x −5)=0， ①x 1=−13，x 2=−5；①−3x 2+22x −24=0， (x −6)(−3x +4)=0， ①x 1=6，x 2=43；①(3x +5)2−4(3x +5)+3=0， ①(3x +5−1)(3x +5−3)=0， (3x +4)(3x +2)=0， ①x 1=−23，x 2=−43．22.(1)证明：△=(x +3)2−4(x +1)=x 2+6x +9−4x −4=x 2+2x +5=(x +1)2+4， ①(x +1)2≥0， ①(x +1)2+4>0，则无论x 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根；(2)解：关于x的一元二次方程x 2+(x +3)x +x +1=0， 利用公式法解得：x =−x −3±√(x +1)2+42，要使原方程的根是整数，必须使得(x +1)2+4是完全平方数， 设(x +1)2+4=x 2，变形得：(x +x +1)(x −x −1)=4， ①x +x +1和x −x −1的奇偶性相同， 可得{x +x +1=2x −x −1=2.或{x +x +1=−2x −x −1=−2.，解得：{x =2x =−1.或{x =−2x =−1.，将x =−1代入x =−x −3±√(x +1)2+42，得x 1=−2，x 2=0符合题意，①当x =−1时，原方程的根是整数． 23.解：(1)设每件童装应降价x 元， 根据题意得：(40−x )(40+4x )=2400，整理得：x 2−30x +200=0，即(x −20)(x −10)=0， 解得：x =20或x =10（舍去），则每件童装应降价20元； (2)根据题意得：利润x =(40−x )(40+4x )=−4x 2+120x +1600=−4(x −15)2+2500，当x =15时，利润x 最多，即要想利润最多，每件童装应降价15元． 24.解：(1)将x =−1代入原方程得：(x +x )−2x −(x −x )=2x −2x=0，即x=x，①△xxx为等腰三角形．(2)①方程有两个相等的实数根，①△=(2x)2+4(x+x)(x−x)=4x2+4x2−4x2=0，①x2+x2=x2，①△xxx为直角三角形．(3)①△xxx是等边三角形，①x=x=x，①原方程为2+x=x(x+1)=0，解得：x1=0，x2=−1．25.30−3x−3x2+30x26.解：(1)设经过x秒，线段xx能将△xxx分成面积相等的两部分由题意知：xx=x，xx=2x，则xx=6−x，①1 2(6−x)⋅2x=12×12×6×8，①x2−6x+12=0，①x2−4xx<0，此方程无解，①线段xx不能将△xxx分成面积相等的两部分；(2)设x秒后，△xxx的面积为1①当点x在线段xx上，点x在线段xx上时此时0<x≤4由题意知：12(6−x)(8−2x)=1，整理得：x2−10x+23=0，解得：x1=5+√2（不合题意，应舍去），x2=5−√2，①当点x在线段xx上，点x在线段xx的延长线上时此时4<x≤6，由题意知：12(6−x)(2−8)=1，整理得：x2−10x+25=0，解得：x1=x2=5，①当点x在线段xx的延长线上，点x在线段xx的延长线上时此时x>6，由题意知：12(x−6)(2x−8)=1，整理得：x2−10x+25=0，解得：x1=5+√2，x2=5−√2，（不合题意，应舍去），综上所述，经过5−√2秒、5秒或5+√2秒后，△xxx的面积为1．。

山东省日照市莒县五中度第一学期人教版九年级数学上册_第23章_旋转_单元检测试题C. D.二、填空题（共10 小题，每小题 3 分，共30 分）11.如图，在网格中有一个四边形和两个三角形．①请你画出这三个图形关于点O成中心对称的图形；②将原图和画出后的图形看成一个整体图形，它有________条对称轴；它至少旋转________度后与自身重合．12.已知A点的坐标为(−1, 3)，将A点绕坐标原点顺时针90∘，则点A的对应点的坐标为________．13.在平面直角坐标系中，点P(2, −3)关于原点对称点P′的坐标是________．14.对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换（如：平移、旋转、轴对称等）得到新图形上的对应点P′，Q′，保持P P′=Q Q′，我们把这种对应点连线相等的变换称为“同步变换”．对于三种变换：①平移、②旋转、③轴对称，其中一定是“同步变换”的有________（填序号）．15.正方形是中心对称图形，它绕它的中心，旋转一周和原来的图形重合________次．16.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，点D在AB边上，AD=3，DE⊥AC于点E，AE=1，若△ADE绕点D顺时针旋转90∘后，点A、E的对应点A′、P恰好在BC边上，则A′C=________．17.下列图形中，可由基本图形平移得到的是________（填图形编号）18.正五边形绕着它的中心最少旋转________度后与它本身重合．19.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，Rt△OAB的B点在第三象限，到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，直角顶点A在y轴，画出△OAB．①点B的坐标是________；②把△OAB向上平移5个单位后得到对应的△O1A1B1，画出△O1A1B1，点B1的坐标是________；③把△OAB绕原点O按逆时针旋转90∘，画出旋转后的△O2A2B2，点B2的坐标是________．20.如图，线段AB的两个顶点都在方格纸的格点上，建立直角坐标系后点A的坐标是(−1, 0)，将线段AB绕点A顺时针旋转180∘，则旋转后点B的对应点的坐标是________．三、解答题（共 6 小题，每小题10 分，共60 分）21.图l、图2分别是7×6的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，点A、B 在小正方形的顶点上．请在网格中按照下列要求画出图形：(1)在图1中以AB为边作四边形ABCD（点C、D在小正方形的顶点上），使得四边形ABCD中心对称图形，且△ABD为轴对称图形（画出一个即可）；(2)在图2中以AB为边作四边形ABEF（点E、F在小正方形的顶点上），使得四边形ABEF中心对称图形但不是轴对称图形，且tan∠FAB=3．22.如图所示，已知△ABE≅△ACD，且AB=AC．(1)说明△ABE经过怎样的变换后可与△ACD重合；(2)∠BAD与∠CAE有何关系？请说明理由；(3)BD与CE相等吗？为什么？23.如图，Rt△ABC的三个顶点分别是A(−3, 2)，B(0, 4)，C(0, 2)，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1)画出△ABC以点C为旋转中心旋转180∘后对应的△A1B1C；(2)平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0, −4)，画出平移后对应的△A2B2C2；(3)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．24.如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图：(1)作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1；(2)作出以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90∘得到的△AB2C2．25.知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．(1)如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S________S四边形DEFC（填“>”“<”“=”）；四边形AEFB(2)如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O 的直线将整个图形分成面积相等的两部分；(3)八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分分割）．26.已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF // BC交AB于点F(1)如图①，求证：AE=AF；(2)如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α(0∘<α<144∘)得到△AE′F′．连接CE′BF′．①若BF′=6，求CE′的长；②若∠EBC=∠BAC=36∘，在图②的旋转过程中，当CE′ // AB时，直接写出旋转角α的大小．答案1.D2.A3.D4.D5.D6.B7.A8.B9.D10.C11.49012.(3, 1)13.(−2, 3)14.①15.416.2√2−117.①③④18.7219.(−4, −3)(−4, 1)(3, −4)20.(1, −3)21.解：(1)如图1所示：(2)如图2所示．22.解：(1)△ABE先水平翻转，再平移即可与△ACD重合；(2)∠BAD=∠CAE．∵△ABE≅△ACD，∴∠BAE=∠CAD，∴∠BAE−∠DAE=∠CAD−∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，(3)BD=CE，∵△ABE≅△ACD，∴BE=CD，∴BE−DE=CD−DE，∴BD=CE．23.解：(1)延长AC至A1，点B1与点O重合，连接A1C、B1C、A1B1，则△A1CB1就是所求三角形；(2)取B2(3, −2)，C2(4, −3)，连成△A2B2C2；(3)连接A1A2、B1B2，交于点E，则点E就是旋转中心，E(1.5, −1)．24.解：(1)所画图形如下所示，△A1B1C1即为所求；(2)所画图形如下所示，△AB2C2即为所求．25.=．26.(1)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵EF // BC，∴∠AFE=∠A，∠AEF=∠C，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF．(2)解：①由旋转的性质得，∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，在△CAE′和△BAF′中，{AE′=AF′∠E′AC=∠F′AB AB=AC，∴△CAE′≅△BAF′(SAS)，∴CE′=BF′=6；②由(1)可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，所以，∠BAM=∠ABC=72∘，又∵∠BAC=36∘，∴α=∠CAM=36∘；②当点E的像E′与点N重合时，∵CE′ // AB，∴∠AMN=∠BAM=72∘，∵AM=AN，∴∠ANM=∠AMN=72∘，∴∠MAN=180∘−72∘×2=36∘，∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36∘+36∘=72∘，综上所述，当旋转角α为36∘或72∘．。