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信号与系统第四章6

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信号与系统第四章课后习题答案

信号与系统第四章课后习题答案

其拉氏逆变换为： s3 + s 2 + 1 f (t ) = F [ ] = (-e-2t + 2e -4t )U (t ) ( s + 1)( s + 2)
-1
(8)
s+5 s ( s 2 + 2 s + 5) s+5 A B1s + B2 = = + s[( s + 1)2 + 4] s ( s + 1)2 + 4 A= s+5 gs = 1 s[( s + 1) 2 + 4)] s =0
(3) (2 cos t + sin t )U (t ) 查表得： s s + w2 w sin wtU (t ) « 2 s + w2 \ 根据拉氏变换的线性性质： 2s 1 2s + 1 (2 cos t + sin t )U (t ) « 2 + 2 = 2 s +1 s +1 s +1 cos wtU (t ) «
(9) 2d (t - t0 ) + 3d (t ) 根据时移特性：
d (t - t0 ) « e - st0
\ 2d (t - t0 ) + 3d (t ) « 2e - st0 + 3
(10) (t - 1)U (t - 1) 根据复频域微分特性： (-t ) n f (t ) « F ( n ) ( s ) 1 1 -tU (t ) « ( ) ' = - 2 s s 1 \tU (t ) « 2 s 根据时移特性： e- s (t - 1)U (t - 1) « 2 s
\ cos tU (t ) «

精品文档-信号与系统分析(徐亚宁)-第4章

精品文档-信号与系统分析(徐亚宁)-第4章
F1= w0/(s^2+w0^2)
F2= s/(s^2+w0^2)
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-10】用MATLAB求解【例4-3】, 设τ=1 解 求解的代码如下： %program ch4-10 R=0.02; t=-2:R:2; f=stepfun(t, 0)-stepfun(t, 1); S1=2*pi*5; N=500; k=0:N; S=k*S1/N; L=f*exp(t′*s)*R; L=real(L);
本例中
和
的ROC均为
Re[s]>0,
极点均在s=0处。但
有一个s=0的零点，
抵消了该处的极点，相应地ROC扩大为整个s平面。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析 4.2.3 复频移(s域平移)特性
【例4-4】
, s0为任意常数 (4-12)
求e-atcosω0tU(t)及e-atsinω0tU(t)的象函数。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
1. s 借助复平面(又称为s平面)可以方便地从图形上表示 复频率s。如图4-1所示，水平轴代表s Re[s]或σ, 垂直轴代表s的虚部，记为Im[s]或jω, 水平 轴与垂直轴通常分别称为σ轴与jω轴。如果信号f(t)绝 对可积，则可从拉氏变换中得到傅里叶变换：
f= exp(-t)+2*t*exp(-2*t)-exp(-2*t)
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-9】 用MATLAB求解【例4-2】 解 求解的代码如下：
%program ch4-9 syms w0t; F1=laplace(sin(w0*t)) F2=laplace(cos(w0*t))
(4-2)

(仅供参考)信号与系统第四章习题答案

(仅供参考)信号与系统第四章习题答案

e −sT
=
−sT
2 − 4e 2
+ 2e −sT
Ts 2
（f） x(t) = sin πt[ε (t)− ε (t − π )]
sin π tε (t ) ↔
π s2 + π 2
L[sin
πtε (t
−π
)]
=
L e jπt
− 2
e− jπt j
ε (t
−π
)
∫ ∫ =
1 2j
∞ π
e
jπt e−st dt
4.3 图 4.2 所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。
（1） f (t) 的傅里叶变换存在
（2） f (t )e 2t 的傅里叶变换存在
（3） f (t) = 0, t > 0
（4） f (t) = 0, t < 5
【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换的零极点分布特性。 【逻辑推理】首先由零极点写出拉普拉斯变换式，再利用反变换求取其原信号，即可求取其收
= cosϕ eω0tj + e−ω0tj − sin ϕ eω0tj − e−ω0tj
2
2j
=
cos 2
ϕ
−
sin 2
ϕ j
e
ω0 t j
+
cosϕ 2
+
sin ϕ 2j
e −ω 0tj
F(s) =
L
cosϕ 2
−
sin ϕ 2j
eω0tj
+
cos 2
ϕ
+
sin ϕ 2j
e
−ω0
t
j
ε
(t
)
∫ ∫ =

信号与系统辅导4-6

信号与系统辅导4-6

) 2 2 j sin( ) 2

j4

sin 2 (

2
)
解： f 2 (t ) g 2 (t ) g 6 (t )
F2 ( j )
(c )
解：
2

[sin( ) sin(3 )]
4

sin(2 ) cos( )
p3 (t ) 2
令 f 3 (t ) p3 (t )

2
(t 3)]
解： cos[

(t 3)] cos[ (t T 3)] cos[ (t 3) 2 ] 2 2 2



T
2
2 2 rad / s T 2
T 4 s,
（3） cos(2t ) sin(4t ) 解： cos(2t ) 的周期是 T1 ，角频率 1 2 ， sin(4t ) 的周期是 T2
( c)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-4-
f 5 (t )
sin(6 t )
1
1
f 6 (t ) cos(10 t )
1
1
t
0
t
0
1
(e)
1
(f)
(a)
解： f1 (t ) g (t ) g (t )


2
2
F1 ( j ) Sa (

(b)

2
)(e
j

2
e
j

2
2sin( )
4.13 求题 4.13 图所示各信号的傅里叶变换。
f1 (t )
f 2 (t )

《信号与系统》第四章

《信号与系统》第四章

图 两个矢量正交
矢量的分解
c2V2
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
图 平面矢量的分解
c3V3
V3
V
o V1
V2
c2V2
c1V1
V c1V1 c2V2 c3V3
图 三维空间矢量的分解
推广到n维空间
1 正交函数的定义
在区间 (t1,t内2 )，函数集 {0 (t),1(t中),的,各N个(t)函} 数间，若满足下列 正交条件：
➢在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；
x(t) x(t T0 / 2)
➢这时x(t)是一个周期减半为
的周期非正弦波，其基波频率
为
，即其只含有偶次谐T0波2；
20
4.4波形对称性与傅里叶系数
4 奇半波对称
➢在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的
负值； x(t) x(t T0 / 2)
交函数集 {0 (t),1(t), ,N (t)} 是完备的,即再也找不到一个函数 (t)
能满足
t2
(t)
* m
(t
)dt
0
t1
m 0,1, , N
则在区间 (t1,t2 ) 内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和
表示：
N
x(t) c00 (t) c11(t) cN N (t) cnn (t)
T0
3 傅里叶级数系数的确定
➢正弦—余弦形式傅里叶级数的系数
2Bk
2 T0
x(t) cos k0tdt
T0
2Dk
2 T0
x(t) sin k0tdt

信号与系统(第四版)第四章课后答案

信号与系统(第四版)第四章课后答案

第5-10页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
4.1 拉普拉斯变换
四、常见函数的单边拉普拉斯变换
1. (t ) 1, 2.( t) 或1 3. ( t ) s, 4. 指数信号e
1
s
, 0

1 s s0
s0t
(t 2)
f1(t) 1 0 1 f2(t) 1 t
例1：e (t 2) e
-t
2
e
(t 2)
e
2

1 s 1
e
2s
-1 0
第5-17页
■
1
t
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
4.2 拉普拉斯变换性质
1 1e sT
例2： 单边冲激 T(t ) 1 e sT e s 2T 例3： 单边周期信号 fT(t ) (t ) f1(t ) f1(t T ) f1(t 2T ) F1(s )(1 e sT e s 2T )
8 e 2 s
s
f(t ) 1 0 1 y(t ) 2 4 t
二、尺度变换
2s
2
(1 e 2 s 2s e 2 s )
2 e 2 s 2 (1 e 2 s 2s e 2 s ) s
第5-16页
■
0
2
4
t
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
拉氏逆变换的物理意义
f (t )
2 j 1

j
j
F (s)est ds

信号与系统第4章

35
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，

《信号与系统》教与学第四章


j n e 3

j n
e3


1 n
sin

n 3

,
n

0, 1,
2,
2
《信号与系统》教与学第四章答案
4.4 周期信号 f (t ) 的双边频谱 Fn 如图所示，求其三角函数表达式。
【知识要点：】本题主要考查周期信号的频谱概念，单边谱与双边谱的关系。
（3）计算信号的功率。
【知识要点：】本题主要考查周期信号的频谱概念应用；帕斯瓦尔功率等式应用。
T

2
；
f
t

A0 2

n1
An
cos
nt n

；P
Fn 2 。
n
【解题方法：】利用已知条件观察求出 ，并带入公式计算求出各次谐波分量；
根据单边幅度谱和双边幅度谱的关系、单边相位谱和双边相位谱的关系画出双
边幅度谱和相位谱；最后利用帕斯瓦尔功率等式计算信号的功率。
解：（1）

x

t


16 cos

20
t

4


6
cos

30
t

6


4
cos

40
t

3

10 (rad/s) ，
T

2

2 10

1 (s) ， 5
周期信号所含谐波次数为二次，三次，四次；
求得。
（1） cos( t ) sin 2t
解： T1

信号与系统课件(郑君里版)第四章

2 j j
F(s) L
[ f (t)]
f (t)estdt
0

f (t) L -1[F (s)]
1
j F (s)estds

2 j j
f (t) 原函数
F (s) 象函数
5
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
0
0
s j
F (s) f (t)estdt 0
单边拉氏变换
FB (s)
f (t)estdt

双边拉氏变换
4
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
2. 拉氏逆变换
f1(t)

f
(t )e t

1
2

F1
()e
jt
d
起系统函数 H(s) 的概念；
（5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统
性能的许多规律。
2
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
§4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1. 拉氏变换是傅里叶变换的推广
当 f (t) 满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换
（二）从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义
d f (t) pf (t) dt
t f ( )d 1 f (t)

p
f (t) F(s)
d f (t) dt

sF(s) f (0 )
t f ( )d 1 F(s) 1 0 f ( )d

s
s
在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只 好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏 变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析 过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使 求解过程简化。

信号与系统第四章 复频域分析

j
7
4.1 拉普拉斯变换
• 拉氏变换对：X (s) x(t)est d t 说明：
1. 拉普拉斯变换的定义
x(t) 1 j X (s)estds
2 j j
① X s Lx象t 函 数,自然界中不存在,复函数,无法直接测量；
xt L1X s原函数,实际存在,实函数, 可以感觉和测量.
2
• 三、本书用到的信号的变换域
自变量 基本信号单元 变换名称
连续信号 离散信号
复频域 s j est
频域
j
e jt
复频域 z re jΩ zn
频域
e jΩ
e jΩ
拉氏变换 傅氏变换 z变换 傅里叶变换
3
• 四、拉氏变换在系统分析中的优势
1、将系统在时域内微分方程转换为复频域的代数 方程，降低求解难度.
傅里叶反变换：x(t) 1 X ()e jt d 2
e x(t) 可以分解为 的j线t 性组合.
条件：信号 x必(t须)满足绝对可积条件
x(t) dt
映射：傅里叶变换与傅里叶反变换是一对一的变换对。
6
4.1 拉普拉斯变换
• 拉普拉斯变换的定义
1. 拉普拉斯变换的定义
[x(t)e t ]ej tdt x(t)e( j)tdt
② 复频域移位性质：e at x(t) X (s a)
例4.3.5： 求衰减正弦 e at sin(的0拉t普) 拉斯变换.
解：
正弦函数的变换为
e at sin( 0t)
sin( 0t)
0
0
s2
2 0
(s
a)2
2 0
余弦函数的变换为
cos(0t)
s2
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造成各频率分量在时间轴上的相对位置变化， 造成各频率分量在时间轴上的相对位置变化，引起 相位失真。 相位失真。 由延时特性知： 由延时特性知：
f ( t − t 0 ) ↔ F ( j ω ) e − jω t 0
ϕ (ω ) = ω t0
－－相移与频率成正比 －－相移与频率成正比
二、无失真传输系统
1. 理想滤波器的频率特性
H (ω )
K
ϕ (ω )
滤波：改变一个信号所含频率分量的相对大小， 滤波：改变一个信号所含频率分量的相对大小， − ωc 或者全部抑制掉某些频率分量的过程。 或者全部抑制掉某些频率分量的过程。 理想低通滤波器的频率响应： 理想低通滤波器的频率响应： 的频率响应
阻带
0
通带
ωc
线性系统无失真条件 线性系统无失真条件
r (t )
e(t )
e(t ) | H( jω) |= Ke− jωt0
0
t
r ( t ) = Ke ( t − t 0 )
0
t0
t
波形无改变则 称为无失真
实现无失真传输 H ( j ω ) 应满足的条件 设 由 则
e ( t ) ↔ E ( jω ) r ( t ) ↔ E ( jω ) e − jω t 0 R ( jω ) H ( jω ) = = | H ( j ω ) | e jϕ ( ω ) = K e − j ω t 0 E ( jω )
失真：系统的响应波形与激励波形不相同， 失真：系统的响应波形与激励波形不相同，称信号在传输过程中
1.幅度失真：系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的 幅度失真：
衰减，引起幅度失真。 衰减，引起幅度失真。
2.相位失真：系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比， 相位失真：系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比，
二、无失真传输系统
| H ( jω ) |
无失真传输系统应满足： 无失真传输系统应满足： 幅频特性
ω
k
ϕ (ω )
t
在整个频率范围内应为常数 K ， 即系统的通频带应为无穷大； 即系统的通频带应为无穷大； 相频特性 在整个频率范围内应与频率 ω 成正比
0
ω
ϕ(ω) = −ω t0
信号通过系统时谐波的相 移比需与其频率成正比。 移比需与其频率成正比。
以上讨论了理想低通滤波器对单位冲激信号和单位 阶跃信号的响应,这里我们还需要注意以下几点: 阶跃信号的响应,这里我们还需要注意以下几点: (1)由响应的波形图可见,响应的时间比激励滞后, (1)由响应的波形图可见,响应的时间比激励滞后,延迟 时间为td。 时间为td。 (2)阶跃信号的响应不像阶跃信号那样陡直, (2)阶跃信号的响应不像阶跃信号那样陡直,而是倾斜 的，这说明输出信号的建立需要一定的时间。一般以阶跃 响应中幅度由0 响应中幅度由0到1作为计算建立时间的标准。查Six正弦函 作为计算建立时间的标准。查Six正弦函 数积分表可知响应建立时间为
4.6
系统的频域分析
系统函数（信号传输的纽带与桥梁） 一、系统函数（信号传输的纽带与桥梁）
Y (ω) = H( jω)F(ω) 则系统函数定义为
Y(ω) H( jω) = = H( jω) ejϕ(ω) F(ω)
傅氏变换对：
H( jω) = ∫ h(t)e-jωt dt
−∞ ∞
1 ∞ h(t) = H(jω)e jωt dω 2π ∫−∞
ωc = Sa[ωc (t − t0 )] π
见图3(a)。 见图3(a)。
图3
当输入为ε( t )时，则阶跃响应（图3(b)） 时，则阶跃响应（图3(b)） 1 1 ωc (t −t0 ) sin x s(t) = + ∫ dx 0 2 π x 结论： 结论： 对输入信号有延时作用； 对高频的滤波作用； 非因果性（因理想滤波器所致）。 阅读、思考与讨论
阻带
ω
(a ) 理想低通滤波器
Ke-jωt0 Hideal(ω) = 0
即
ω ≤ ωc ω > ωc
ω ≤ ωc ω > ωc
− ω t ϕ (ω ) = 0
K H (ω ) = 0
ω ≤ ωc ω > ωc
当输入为δ( t )时，则冲激响应
1 ωc jω(t −t0 ) h(t) = ∫−ωce dω 2π
不失真传输条件(总结) 不失真传输条件(总结)
时域条件： y(t) = Kf (t −t0 )
− jωt 频域条件： Y(ω) = KF(ω)e 0 Y(ω) = Ke−jωt 系统函数： H( jω) = F(ω)
0
即：
H( jω) = K
ϕ(ω) = −ωt0
图1 无失真传输系统
三、理想滤波器
H( jω )即系统的频率特性 )
y( t )= f( t )* h( t )
↕
F( ω )
↕
H( jω )
↕
Y( ω ) = F( ω ) H( jω )
二、无失真传输系统
产生了失真。 产生了失真。 线性系统引起信号失真的原因
3.7 系统无失真传输的条件
∆t =
3 .8 3
ω
C
(3)由响应的波形图可见,输出信号在输入信 由响应的波形图可见, 号建立之前和后都有, 号建立之前和后都有 , 向 ±∞ 延伸且振荡 。 延伸且振荡。 由此,早在t=0 由此,早在t=0时刻以前在无信号输入的情况 下就已有信号输出, 下就已有信号输出 , 这显然违背了自然界的 因果律。 这是因为理想低通滤波器 , 因果律 。 这是因为理想低通滤波器, 过于理 想化,现实中不可能实现。 想化,现实中不可能实现。