江苏省常州市2014-2015学年第二学期高二文科数学期末卷和答案

12i nb ==∑B =（ C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势 D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关班级__________________________ 姓名___________________________4．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）1.8A 1.7B 1.6C 1.5D 5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S =（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11 6．已知()0,1a =-，()1,2b =-，则(2)a b a +=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2 7．右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（ ）.0A .2B .4C .14D8．已知等比数列{}n a 满足114a =，()35441a a a =-，则2a =（ ）.2A .1B 1.2C 1.8D9.已知长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，∠BOP=x 。

将动点P 到AB 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为( )10. 在回归直线方程表示回归系数中b bx a y,ˆ+= （ ）A ．当0x =时，y 的平均值B ．当x 变动一个单位时，y 的实际变动量A B C DC ．当y 变动一个单位时，x 的平均变动量D ．当x 变动一个单位时，y 的平均变动量11. 在对分类变量X, Y 进行独立性检验时,算得2k =7有以下四种判断(1) 有99﹪的把握认为X 与Y 有关; (2)有99﹪的把握认为X 与Y 无关;(3)在假设H 0:X 与Y 无关的前提下有99﹪的把握认为X 与Y 有关; (4)在假设H 1: X 与Y 有关的前提下有99﹪的把握认为X 与Y 无关 .以上4个判断正确的是 （ ）A ． (1)、(4)B ． (2)、(3)C ． (3)D ． (4)12. 下面几种推理是类比推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180=∠+∠B AB ．由平面向量的运算性质，推测空间向量的运算性质C ．某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员D ．一切偶数都能被2整除，1002是偶数，所以1002能被2整除二、填空题（本题共4个小题，第个小题5分，合计20分） 13. 已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ．14. 某大学的信息中心A 与大学各部门、各院系B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I 之间拟建立信息联网工程，实际测算的费用如图所示（单位：万元）.请观察图形，可以不建部分网线，而使得中心与各部门、院系彼此都能连通（直接或中转），则最少的建网费用（万元）是_____________________.15. 若x ,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z =2x +y 的最大值为 ．16. 如图,用与底面成30︒角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的离心率为_______.三、解答题（17题10分，其他的题12分，合计70分）17．（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC 且BD =2DC .（I ）求sin sin BC∠∠ ；（II ）若60BAC ∠=,求B ∠.18．（本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.（I ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度,（不要求计算出具体值,给出结论即可）5060809010070满意度评分频率/组距0.0050.010 0.015 0.020 0.025 0.0350.030 B 地区满意度调查频率分布直方图（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.19．（本小题满分12分）一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：（（2）如果y对x有线性相关关系，求回归直线方程；20．（本小题满分12分）在对人们休闲的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人。

淮安市2014－2015学年度第二学期期末高二调研测试数 学 试 卷（文） 2015.6本试卷满分共160分；考试时间120分钟。

一．填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知集合{0,1,2}{|1}A B x y x ===-，，则=B A I．2．已知命题:,sin 1p x R x ∀∈≤，则p ⌝为 ． 3．已知233m +-ii为实数，其中i 是虚数单位，则实数m 的值为 ． 4．已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l x ay ++=．若12l l ⊥，则实数a 的值是 ． 5．已知1cos()33πα+=-，则sin()6πα-的值为_____． 6．已知函数sin ,1()(1),1x x f x f x x π⎧=⎨->⎩≤，则43f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 ．7．已知函数141)(-+=x a x f 的图象关于原点对称，则实数a 的值是 ． 8. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第○n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数是 ．9．已知抛物线24y x =与双曲线1222=-y ax 的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若3MF =，则该双曲线的离心率为 ．10．已知过点()23,2P --的直线l 与圆O ：224x y +=有公共点，则直线l 斜率的取值范围是 ．11．将函数)0)(3sin(2)(>+=ωπωx x f 的图象向右平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]4π上为增函数，则ω的最大值为 ．12．已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩≤，若关于x 的不等式()()2f x a f a x +-≥在[]1,+a a 上恒成立，则实数a 的最大值是 ．BAxyO第15题M第16题图13．对于数列{n a }，定义数列{n n a a -+1}为数列{n a }的“差数列”，若21=a ，{n a }的“差数列”的通项为n 2，则数列{n a }的前n 项和n S = .14．已知函数()2log 1f x a x =+（0a ≠），定义函数()()(),0,0f x x F x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，给出下列命题：①()()F x f x =；②函数()F x 是偶函数；③当0a <时，若01m n <<<，则有()()0F m F n -<成立；④当0a >时，函数()2y F x =-有4个零点．其中正确命题的个数为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作角α和β，0,,,22ππαβπ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其终边分别交单位圆于A B ，两点．若A B ，两点的横坐标分别是53，102-． 试求（1）αtan ，βtan 的值；（2）AOB ∠的值．16．如图，已知多面体ABCDFEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，若四边形ADEF 为矩形，AB ∥CD ，12AB CD =，BC ⊥BD ，M 为EC 中点．（1）求证：BC ⊥平面BDE ； （2）求证：BM //平面ADEF ．17．某校为调研学生的身高与运动量之间的关系，从高二男生中随机抽取100名学生的身高数据，得到如下频率分布表：（1）求频率分布表中①、②位置相应的数据；（2）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第2、5组中随机抽取7名学生进行跟踪调研，求第2、5组每组抽取的学生数？ （3）在（2）的前提下，学校决定从这7名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求至少有1名学生来自第5组的概率？18．已知函数0),1(log )1(log )(>--+=a x x x f a a ，且1≠a ． （1）求)(x f 的定义域； （2）判断)(x f 的奇偶性并予以证明； （3）若1>a 时，求使)(x f >0的x 的集合．19．已知椭圆：M 22221x y a b+=（0a b >>），点1F (1,0)-、C (2,0)-分别是椭圆M 的左焦点、左顶点，过点1F 的直线l （不与x 轴重合）交M 于,A B 两点． （1）求椭圆M 的标准方程；（2）若A ，求△AOB 的面积；（3）是否存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．20．已知函数()ln xx kf x +=e（其中, 2.71828k ∈=e L R 是自然对数的底数），()f x '为()f x 导函数．（1）当2k =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若(]0,1x ∈时，方程()0f x '=有解，求实数k 的取值范围；（3）若()10f '=，试证明：对任意()2210,x f x x x-+'><+e 恒成立．MN2014－2015学年度高二调查测试数学试卷参考答案与评分标准（文）本试卷满分共160分；考试时间120分钟。

2014/2015学年度第二学期高二年级期终考试数 学 试 题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知复数12z i =+（i 为虚数单位），则||z = ▲ ． 2．命题“(,0)x ∃∈-∞，使得34x x <”的否定是 ▲ ．3．某学校高三有1800名学生，高二有1500名学生，高一有1200名学生，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则应在高一抽取 ▲ 人．4．若在集合{1，2，3，4}和集合{5，6，7}中各随机取一个数相加，则和为奇数的概率为▲ ．5．下面是一个算法的伪代码，输出结果是 ▲ ．6．函数()ln f x x x =-的单调递增区间是 ▲ ．7．若变量,x y 满足约束条件：2020350x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则2x y +的最大值为 ▲ ．8．若双曲线C 经过点(2，2)，且与双曲线2214y x -=具有相同渐近线，则双曲线C 的标准方程为 ▲ ．9．在△ABC 中，若D 为BC 的中点，则有1()2AD AB AC =+，将此结论类比到四面体中，在四面体 A -BCD 中，若G 为△BCD 的重心，则可得一个类比结论： ▲ ．10．（理科学生做）已知0m >，若6260126(1)m x a a x a x a x+=+++⋅⋅⋅+，且123663a a a a +++⋅⋅⋅+=，则实数m = ▲ ．（文科学生做）将函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图像向右平移6π个单位后，得到的函数图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值为 ▲ ．11．（理科学生做）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 ▲ ． （文科学生做）设U 为全集，A 、B 是U 的子集，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆U ðC ”是“A ∩B ＝φ”的 ▲ 条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）12．若log 4(3a ＋4b )＝log则a ＋b 的最小值是 ▲ ． 13．中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为1F 、2F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以2PF 为底边的等腰三角形．若210PF =，双曲线离心率的取值范围为()1,2，则椭圆离心率的取值范围是 ▲ ．14．已知函数21()ln (22)(0)4f x x ax a x a a=++-+>，若存在三个不相等的正实数123,,x x x ，使得312123()()()3f x f x f x x x x ===成立，则a 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）（理科学生做）如图，,A B 两点之间有5条网线并联，它们能通过的信息量分别为2、3、3、4、4．现从中随机任取2条网线．（1）设选取的2条网线由A 到B 通过的信息总量为x ，当6x ≥时，则保证信息畅通． 求线路信息畅通的概率；（2）求选取的2条网线可通过信息总量的数学期望．（文科学生做）已知命题:12p x -≥和命题:q x Z ∈．若“p q 且”与“非q ”同时为假命题，求实数x 的值．第15题（理）图第13题图（理科学生做）如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ABCD ⊥底面， 2PA AB ==，4AD =，M（1）求异面直线AM 与PD 所成角的余弦值； （2）求二面角B PC D --的余弦值．（文科学生做）已知函数22()cos sin cos 1f x x x x x =-++，x R ∈. （1）求()f x 的最小正周期及()f x 的最小值；（2）若()2f α=，且,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求α的值．17．（本小题满分14分）（理科学生做）若n 为正整数，试比较132n -⋅与23n +的大小，分别取1,2,3,4,5n =加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明． （文科学生做）设,x y 都是正数，且2x y +>，试用反证法证明：12x y +<和12yx+<中至少有一个成立.18．（本小题满分16分）某仓库为了保持库内温度，四周墙上装有如图所示的通风设施，该设施的下部是等边三角形ABC ，其中AB =2米，上部是半圆，点E 为AB 的中点．△EMN 是通风窗，（其余部分不通风）MN 是可以沿设施的边框上下滑动且保持与AB 平行的伸缩杆（MN 和AB 不重合）． （1）设MN 与C 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S 表示成x 的函数()S f x =； （2）当MN 与C 之间的距离为多少时，△EMN 面积最大？并求出最大值．第16题（理）图B第18题图（图1）（图2）已知点00(,)P x y 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的任意一点（长轴的端点除外），1F 、2F 分别为左、右焦点，其中a ，b 为常数．（1）若点P 在椭圆的短轴端点位置时，12PF F ∆为直角三角形，求椭圆的离心率.（2）求证：直线00221x y x y a b +=为椭圆在点P 处的切线方程； （3）过椭圆的右准线上任意一点R 作椭圆的两条切线，切点分别为S 、T ．请判断直线ST 是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标，若不经过定点，请说明理由．20．（本小题满分16分）设函数323(1)()312t f x x x tx +=-++（0t >）． （1）若2t =，求函数()f x 的极大值；（2）若存在0(0,2)x ∈，使得0()()f x f x 是在区间[0，2]上的最小值，求实数t 的取值范围；（3）若()x f x xe m ≤-（e 2.718≈）对任意的[0,)x ∈+∞恒成立时m 的最大值为1－，求实数t 的取值范围．2014/2015学年度第二学期高二年级期终考试数 学 答 案一、填空题： 12．(,0),34x x x ∀∈-∞≥都有第19题图3． 40 4．125． 14 6．()1,+∞7． 48．221312x y -= 9．1()3AG AB AC AD =++10．（理科）1（文科）56π11．（理科）24 （文科）充要12．7+13． 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭14．1(2e 二、解答题：15．（理科）解：（1）随机任取2条网线共有10种不同的情况．21324336,(6)1010P x ++=+=∴=== ，...................................................................................2'4347,(7)10P x +=∴==，............................................................................................................4'1448,(8)10P x +=∴==，............................................................................................................6'34184(6)101010105P x ∴≥=++==．...............................................................................................8' （2）21235,(5)105P x +==== ，..............................................................................................10' ∴线路通过信息量的数学期望是1341()5678 6.45101010E x =⨯+⨯+⨯+⨯=．..................................................................................13' 答：（1）线路信息畅通的概率是45； （2）线路通过信息量的数学期望是6.4．..................14'15．（文科）解：非q 为假命题，则q 为真命题；...................................................................................3'p q 且为假命题，则p为假命题，......................................................................................................6'即12,x x Z -<∈且，得212x -<-<，解得1x x-<，.....................................................................................................................12' 0,1,2x ∴=或． .............................................................................................................................14' 16．（理科）解：（1）如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)D ，(0,0,2)P ， (2,4,0)C ，(1,2,1)M ，......................................................................................................................2'(1,2,1),(0,4,2)AM PD ==-，cos ,AM PD AM PD AM PD⋅∴<>===∴异面直线AM 与PD 所成角的余弦值为． .........................................................................7'（2）设BPC 平面的法向量为(,,)x y z =m ，(0,4,0),(2,0,2)BC BP ==-，并且,BC BP ⊥⊥ m m ，40220y x z =⎧∴⎨-+=⎩，令1x =得1z =，0y =， ∴MBD 平面的一个法向量为(1,0,1)=m ．......................................................................................9'设DPC 平面的法向量为(,,)a b c =n ，(2,0,0),(0,4,2)DC DP ==-，并且,DC DP ⊥⊥ n n ，20420a b c =⎧∴⎨-+=⎩，令1b =得2c =，0a =， ∴MBD 平面的一个法向量为(0,1,2)=n ． .....................................................................................11' ∴cos ,⋅<>===⋅m n m n |m |n ，.......................................................................................13'∴二面角B PC D --的余弦值为．.........................................................................................14'16．（文科）解：（1）22()cos sin cos 1cos21f x x x x x x x =-++++=2sin(2)16x π++． ..........................................................................................5'因此()f x 的最小正周期为π，最小值为1-．..................................................................................7'（2）由()f α=得2sin(2)16πα++=2，即1si n (2)62πα+=．......................................................9' 而由,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得272,636παππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦．故5266παπ+=，解得3πα=．....................................................................................................14'17．（理科）解：当1n =时，132n -⋅<23n +；当2n =时，132n -⋅<23n +； 当3n =时，132n -⋅=23n +； 当4n =时，132n -⋅>23n +； 当5n =时，132n -⋅>23n +；..............................................................................................................5' 猜想：当4n ≥时，132n -⋅>23n +．.................................................................................................7' 证明：当4n =时，132n -⋅>23n +成立；假设当(4n k k =≥）时，132k -⋅>23k +成立，则1n k =+时，左式=32k ⋅=1232k ⋅⋅－>223k +（），右式=213k ++（）， 因为223k +（）－213k ++[()]=222k k -+=211k +（－）>0， 所以，左式>右式，即当1n k =+时，不等式也成立. 综上所述：当4n ≥时，132n -⋅>23n +．..........................................................................................14' 17．（文科）证明：假设12x y +<和12yx+<都不成立，即12x y +≥， 12yx+≥..............................2' 又 ,x y 都是正数，∴12x y +≥，12y x +≥两式相加得到 2()2()x y x y ++≥+，. ............................................................................................8' 2x y ∴+≤．与已知2x y +>矛盾，所以假设不成立，...........................................................................................12' 即12xy+<和12yx+<中至少有一个成立．......................................................................................14'18．解（1）①当MN 在三角形区域内滑动时即x ∈//,MN AB ABC ∆是等腰三角形，060MNC ∠= 连接EC 交MN 于P 点，则PC=x ，，MN = ABC ∆的面积1()||)2S f x MN x ==2x x =+.....................................................................................4' ②当MN在半圆形区域滑动即1)x ∈时MN =..........................................................................................................................6' 所以2(()(1)x x S f x x x ⎧+∈⎪==⎨⎪∈⎩......................................................8'（2）x ∈时，2()S f x x ==+的对称轴为x =所以2ma3()3f x ==................................................................................11' 1)x ∈时，()(f x x =12≤= 当且仅当1)2x =+取等号，..................................................................................15'又12>所以三角形EMN 的面积最大值为12...............................................................................16'19．解：记c（1）当点P 在椭圆的短轴端点位置时，12PF F ∆则有a =，得e =． （2）点00(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，得2200221x y a b+=．把00(,)x y 代入方程00221x y x y a b+=，得2200221x y a b +=，所以点00(,)P x y 在直线00221x y x y a b +=上，...............................................................................6'联列方程组2222002211x y a b x y x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 可得222220020a x a x x a x -+=，解得0x x =，即方程组只有唯一解． 所以，直线00221x y x y a b+=为椭圆在点P 处的切线方程．......................................................10'（3）由题可设11(,)S x y 、22(,)T x y 、23(,)a R y c．由（2）结论可知，切线SR的方程为11221x yx ya b+=①切线TR的方程为22221x yx y+=②把23(,)aR yc分别代入方程①、②，可得11321x yyc b+=③和22321x yyc b+=④由③、④两式，消去3y，可得1221x c y x c y-=-()()，即有12210)0)x c y x c y--=--()(()(，所以，点11(,)S x y、22(,)T x y、2(,0)F c三点共线，所以，直线ST经过定点，定点坐标为2 F．..........................................................16'20．解：（1）若2t=，则329()612f x x x x=-++，所以，2'()396f x x x=-+，令'()0f x=，得1,2x=；令'()0f x<，得12x<<，所以，()f x在区间（1，2）内递减，在区间（－∞，1）,（2，+∞）内递增，得()f x的极大值为7(1)2f=．............................................................................................................4'（2）函数323(1)()312tf x x x tx+=-++．得2'()33(1)33(1)()f x x t x t x x t=-++=--，0t>．令'()0f x=，得1,x t =；....................................................................... .............................................6'①当2t≥时，可以判定()f x在区间（0，1）内递增，在区间（1，2）内递减，此时，不存在(0,2)x∈使得()()f x f x是在[0，2]上的最小值；②当12t<<时，可以判定()f x在区间（0，1）、（t，2）内递增，在区间（1，t）内递减，欲存在(0,2)x∈使得()()f x f x是在[0，2]上的最小值，则必须有()(0)f t f≤，即3223(1)3112tt t t+-++≤，解得3t≥，不合题意，舍去．③当01t<<时，可以判定()f x在区间（0， t）、（1，2）内递增，在区间（t，1）内递减，11 欲存在0(0,2)x ∈使得0()()f x f x 是在[0，2]上的最小值，则必须有(1)(0)f f ≤，即3112t +≤，解得13t ≤，所以，103t <≤． ④当1t =时，可以判定()f x 在区间（0，2）内递增，不存在0(0,2)x ∈使得0()()f x f x 是在[0，2]上的最小值．综上所述，得t 的取值范围为1(0,]3．...........................................................................................10'（3）若()x f x xe m ≤-（e 为自然对数的底数）对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，即 3223(1)3(1)31[3]122x x t t m xe x x tx x e x x t ++≤-+--=-+--对任意的0x ≥恒成立，.....11' 令23()32(1)x g x t e x x t +-+-=，由于m 的最大值为1－， 所以23((30)1)2x t e x x t g x +-+-≥=恒成立．...............................................................................12'由(0)130g t =-≥可得103t <≤， 当103t <≤时，3(1)2'()2x g x t e x =+-+， 再设3(1))2'(2()x h x g x t e x +=+=-，得'()20x h x e =-=，解得ln 2x =． ()h x 在区间（0，ln2）内递减，在区间（ln2，+∞）内递增，()h x 的最小值为3(1)(ln 2)22ln 22t h +=+-，可以判定(ln 2)0h >， 即'()0g x >，所以()g x 在区间[0，+∞）内递增， 则有()g x 在区间[0，+∞）内的最小值(0)130g t =-≥，得13t ≤．所以，t 的取值范围是1(0,]3．.....................................................................................................16'。

常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题 2014年1月参考公式：样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 设集合{}21A x x x =<∈R ，，{}20B x x =≤≤，则A B = ▲ ． 2． 若1i1i im n +=+（m n ∈R ，，i 为虚数单位），则mn 的值为 ▲ ． 3． 已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，则a 的值为 ▲ ．4． 某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24 名，则在高二年级学生中应抽取的人数为 ▲ ．5． 某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：3/g m m ）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为 ▲ ． 6． 函数222sin 3cos 4y x x =+-的最小正周期为 ▲ ．7． 已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ ．8． 已知实数x ，y 满足约束条件333x y y x +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，，，则225z x y =--的最大值为 ▲ ．9． 若曲线1C ：43236y x ax x =--与曲线2C ：e x y =在1x =处的切线互相垂直，则实数a 的值为▲ ． 10．给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； （2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； （3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面； （4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．则其中所有真命题的序号为 ▲ ．11．已知,66⎛⎫∈- ⎪⎝⎭p p q ，等比数列{}n a 中，11a =，343tan 39a =q ，若数列{}n a 的前2014项的和为0，则q 的值为 ▲ ．12．已知函数f (x )＝201,02(1),xx x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-⎩≥，，若((2))()f f f k ->，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若t a n 7t a nA B =，223a b c-=，则c = ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：2216x y +=，点(1,2)P ，M ，N 为圆O 上不同的两点，且满足0PM PN ⋅=．若PQ PM PN =+ ，则PQ 的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设向量(,)m a c = ，(cos ,cos )n C A =．（1）若m n∥，3c a =，求角A ；（2）若3sin m n b B ⋅= ，4cos 5A =，求cos C 的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB ⊥BC ，E ，F 分别是1A B ，1AC 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求证：平面AEF ⊥平面11AA B B ； （3）若1222A A AB BC a ===，求三棱锥F ABC -的体积．17．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，已知35S a =，525S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若p ，q 为互不相等的正整数，且等差数列{}n b 满足p a b p =，q a b q =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E :22221(0)x ya b a b+=>>的右准线为直ABMOPQlxyFBCEA1A 1B 1C （第16题）线l ，动直线y kx m =+(00)k m <>，交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于P ，Q 两点，如图．若A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点，上顶点时，点Q 的纵坐标为1e（其中e 为椭圆的离心率），且5OQ OM =．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）如果OP 是OM ，OQ 的等比中项，那么mk是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．19．（本小题满分16分）几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20000元．假设该产品的月销售量()t x （件）与销售价格x （元/件）（x *∈N ）之间满足如下关系：①当3460x ≤≤时，2()(5)10050t x a x =-++；②当6070x ≤≤时，()1007600t x x =-+．设该店月利润为M （元），月利润=月销售总额－月总成本． （1）求M 关于销售价格x 的函数关系式；（2）求该打印店月利润M 的最大值及此时产品的销售价格．20．（本小题满分16分） 已知函数()ln af x x x x=--，a ∈R ． （1）当0a =时，求函数()f x 的极大值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a >时，设函数()(1)11ag x f x x x =-+-+-，若实数b 满足：b a >且 ()1b g g a b ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，()22a b g b g +⎛⎫= ⎪⎝⎭，求证：45b <<．常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ（附加题） 2014年1月21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，等腰梯形ABCD 内接于⊙O ，AB ∥CD ．过点A 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ． 求证：∠DAE =∠BAC .B ．选修4—2：矩阵与变换已知直线:0l ax y -=在矩阵A 0112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l '，若直线l '过点（1,1），求实数a 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点(23,)6P p ，直线:cos()224l +=pr q ，求点P 到直线l 的距离．D ．选修4—5：不等式选讲已知1x ≥，1y ≥，求证：22221x x y xy y x y ++++≤．（第21-A 题）AEOCD B【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)如图，三棱锥P －ABC 中，已知平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2a ，点O ，D 分别是AB ，PB 的中点，PO ⊥AB ，连结CD ．（1）若2PA a =，求异面直线PA 与CD 所成角的余弦 值的大小；（2）若二面角A －PB －C 的余弦值的大小为55，求 PA ．23．（本小题满分10分）设集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集，满足：A不是B 的子集，且B 也不是A 的子集．（1）若M=1234{,,,}a a a a ，直接写出所有不同的有序集合对(A ,B )的个数； （2）若M=123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，求所有不同的有序集合对(A ,B )的个数．A BCDOP（第22题）常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1．[)0,1 2．1- 3． 1 4． 15 5．31.6（写成1585也对） 6．p 7．7108．12 9．13e 10．（1）（2） 11．9-p12．12(log 9,4) 13．4 14．335- 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）∵m n∥，∴cos cos a A c C =．由正弦定理，得sin cos sin cos A A C C =．化简，得sin2sin2A C =． ………………………………………………2分 ∵,(0,)A C p ∈，∴22A C =或22A C p +=， 从而A C =（舍）或2A C p +=．∴2B p=． ………………………………4分 在Rt △ABC 中，3tan 3a A c ==，6A p=． …………………………………6分 （2）∵3cos m n b B ⋅=，∴cos cos 3sin a C c A b B +=．由正弦定理，得2sin cos sin cos 3sin A C C A B +=，从而2sin()3sin A C B +=． ∵A B C p ++=，∴sin()sin A C B +=． 从而1sin 3B =． ……………8分∵4cos 05A =>，(0,)A p ∈，∴(0,)2A p ∈，3sin 5A =． ……………………10分 ∵sin sin AB >，∴a b >，从而A B >，B 为锐角，22cos 3B =． ………12分 ∴cos cos()cos cos sin sinC A B A B A B =-+=-+=42231382535315--⨯+⨯=． …………………………………14分 16．证明：（1）连结1AC ． ∵直三棱柱111A B C ABC -中，11AAC C 是矩形， ∴点F 在1AC 上，且为1AC 的中点． 在△1A BC 中，∵E ，F 分别是1A B ，1AC 的中点， ∴EF ∥BC ． ……………2分 又∵BC ⊂平面ABC ， EF ⊄平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． ………………4分 （2）∵直三棱柱111A B C ABC -中，1B B ⊥平面ABC ，∴1B B ⊥BC ．∵EF ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥EF ，1B B ⊥ EF ． ………………………………6分 ∵1B B AB B = ，∴EF ⊥平面11ABB A ． ………………………………8分 ∵EF ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面11ABB A ． ………………………………10分 （3）11111223F ABC A ABC ABC V V S AA --∆==⨯⨯⨯ ………………………………12分=3211122326a a a ⨯⨯⨯=． ………………………………14分17．解：（1）由已知，得11133451025a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩，， 解得11,2.a d =⎧⎨=⎩ …………………4分∴21n a n =-． ……………………………………………………………6分 （2）p ，q 为正整数， 由（1）得21p a p =-，21q a q =-． …………………8分 进一步由已知，得21p b p -=，21q b q -=． ………………………………………10分 ∵{}n b 是等差数列，p q ≠，∴{}n b 的公差1222q p d q p -'==-． ………………12分由211(22)b b b p d p -'=+-=，得11b =．∴21(1)324n n n n nT nb d -+'=+=． …………………………………………14分 18． 解：当A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点和上顶点时，则(,0)A a ，(0,)B b ，(,)22a bM ．∵21(,)a Q c e，∴由O ，M ，Q 三点共线，得21b e a a c=，化简，得1b =．………2分∵5OQ OM =，∴252a c a =，化简，得25a c =．由222125a b c b a c ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩，，，解得225,4.a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩…………………………………………4分（1）椭圆E 的标准方程为2215x y +=． …………………………………………6分（2）把(0,0)y kx m k m =+<>，代入2215x y +=，得222(51)10550k x mkx m +++-=． ……………………………………………8分当△0>，22510k m -+>时，2551M mk x k =-+，251Mmy k =+， 从而点225(,)5151mk mM k k -++． ……………………………………………10分 所以直线OM 的方程15y x k=-． 由221515y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得2222551P k x k =+． ……………………………………………12分∵OP 是OM ，OQ 的等比中项，∴2OP OM OQ =⋅， 从而22252(51)P M Q mkx x x k ==-+． ……………………………………………14分由2222525512(51)k mk k k =-++，得2m k =-，从而2m k=-，满足△0>． ……………15分 ∴mk为常数2-． ………………………………………………………………16分 19．解：（1）当60x =时，(60)1600t =，代入2()(5)10050t x a x =-++，解得2a =． ………………………………………………………………2分 ∴2(22010000)(34)20000,3460,,()(1007600)(34)20000,6070,.x x x x x M x x x x x **⎧--+--<∈⎪=⎨-+--∈⎪⎩ΝΝ≤≤≤ 即32224810680360000,3460,,()1001100278400,6070,.x x x x x M x x x x x **⎧-++-<∈⎪=⎨-+-∈⎪⎩ΝΝ≤≤≤ ……………4分 （注：写到上一步，不扣分．）（2）设2()(22010000)(34)20000g u u u u =--+--，3460u <≤，u ∈R ，则 2()6(161780)g u u u '=---．令()0g u '=，解得182461u =-（舍去），282461(50,51)u =+∈．……………7分 当3450u <<时，()0g u '>，()g u 单调递增；当5160u <<时，()0g u '<，()g u 单调递减． … ………………………………10分 ∵x *∈Ν，(50)44000M =，(51)44226M =，∴()M x 的最大值为44226．………12分 当6070x ≤≤时，2()100(1102584)20000M x x x =-+--单调递减，故此时()M x 的最大值为(60)216000M =． … ………………………………14分 综上所述，当51x =时，月利润()M x 有最大值44226元． ……………………15分 答：该打印店店月利润最大为44226元，此时产品的销售价格为51元/件． ……16分 20．解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞． （1）当0a =时，()ln f x x x =-，1()1f x x'=-，令()0f x '=得1x =． ………1分 列表：x(0,1)1(1,)+∞()f x ' + 0 - ()f x↗极大值↘所以()f x 的极大值为(1)1f =-． …………………………………………3分 (2) 2221()1a x x af x x x x -++'=-+=．令()0f x '=，得20x x a -++=，记14a ∆=+．（ⅰ）当14a -≤时，()0f x '≤，所以()f x 单调减区间为(0,)+∞； …………5分（ⅱ）当14a >-时，由()0f x '=得12114114,22a a x x ++-+==， ①若104a -<<，则120x x >>，由()0f x '<，得20x x <<，1x x >；由()0f x '>，得21x x x <<．所以，()f x 的单调减区间为114(0,)2a -+，114(,)2a+++∞，单调增区间为114114(,)22a a-+++； …………………………………………………………7分②若0a =，由（1）知()f x 单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞；③若0a >，则120x x >>，由()0f x '<，得1x x >；由()0f x '>，得10x x <<．()f x 的单调减区间为114(,)2a +++∞，单调增区间为114(0,)2a ++． ……9分综上所述：当14a -≤时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞；当104a -<<时，()f x 的单调减区间为114(0,)2a -+，114(,)2a +++∞，单调增区间为114114(,)22a a-+++；当0a ≥时，()f x 单调减区间为114(,)2a+++∞，单调增区间为114(0,)2a++． ………………………………………………………10分 （3）()ln(1)g x x =-（1x >）．由()()1bg g a b =-得1lnln(1)1a b =--． ∵1a b <<， ∴11b a -=-(舍)，或(1)(1)1a b --=．∵21(1)(1)(1)a b b =--<-，∴2b >． …………………………………12分 由()2()2a bg b g +=得， 1ln(1)2ln(1)2ln [(1)(1)](*)22a b b a b +-=-=-+-⋅⋅⋅，因为11(1)(1)=12a b a b -+---≥， 所以（*）式可化为1ln(1)2ln [(1)(1)]2b a b -=-+-，即2111[1]21b b b -=+--（）． ………………………………………………14分令1(1)b t t -=>，则211[()]2t t t=+，整理，得4324210t t t -++=，从而32(1)(31)0t t t t ----=，即32310t t t ---=．记32()31,1h t t t t t =--->．2()361h t t t '=--，令()0h t '=得2313t =-（舍），2313t =+，列表：t23(1,1)3+23(1,)3++∞ ()h t '-+ ()h t↘↗所以，()h t 在23(1,1)3+单调减，在23(1,)3++∞单调增，又因为(3)0,(4)0h h <>，所以34t <<，从而45b <<． ………………………………………………16分常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：∵ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ， ∴AD =BC ． 从而AD BC =． ∴∠ACD =∠BAC . ……………………………………………………4分 ∵AE 为圆的切线，∴∠EAD =∠ACD . …………………………………8分 ∴∠DAE =∠BAC . ……………………………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设(,)P x y 为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l '上点(,)P x y '''，则0112x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简，得 2,.x x y y x ''=-+⎧⎨'=⎩……………………………………………4分 代入0ax y -=，整理，得(21)0a x ay ''-++=． ……………………………8分 将点（1,1）代入上述方程，解得a =-1． ……………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：点P 的直角坐标为(3,3)， …………………………………………………4分直线l 的普通方程为40x y --=， ………………………………………8分从而点P 到直线l 的距离为3342622--+=． …………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：左边-右边=2222()(1)1(1)[(1)1]y y x y x y y yx y x -+--+=--++………4分 =(1)(1)(1)y xy x ---， ………………………………………………………6分 ∵1x ≥，1y ≥，∴0,0,0111y xy x ---≤≥≥． ………………………………………………8分 从而左边-右边≤0，∴22221x x y xy y x y ++++≤． ………………………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：连结OC ．∵平面PAB ⊥平面ABC ，PO ⊥AB ，∴PO ⊥平面ABC ．从而PO ⊥AB ，PO ⊥O C ． ∵AC =BC ，点O 是AB 的中点，∴OC ⊥AB ．且2OA OB OC a ===． ……………2分 如图，建立空间直角坐标系O xyz -． （1）2PA a =，2PO a =． (0,2,0)A a -，(0,2,0)B a ，(2,0,0)C a ， (0,0,2)P a ，22(0,,)22a a D ． …………4分 从而(02,2)PA a a =-- ，， 22(2,)22CD a a a =- ，． ∵223cos ,323PA CD a PA CD a aPA CD ⋅-<>===-⋅ ， ∴异面直线PA 与CD 所成角的余弦值的大小为33． ……………………………6分 （2）设PO h =，则(0,0,)P h ．∵ PO ⊥O C ，OC ⊥AB ，∴OC ⊥平面P AB ． 从而(2,0,0)OC a = 是平面PAB 的一个法向量．不妨设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z = ， ∵(02,)PB a h =- ，，(22,0)BC a a =- ，，0,0.n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ∴2,.ay hz x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ z yx DO A BCP不妨令x =1，则y =1，2a z h =，则2(1,1,)a n h = ． ………………………8分 由已知，得22525222OC n a OC n a a h ⋅==+，化简，得2223h a =． ∴2222226233PA PO OA a a a =+=+=． …………………………………10分23．解：（1）110； ………………………………………………………………3分（2）集合M 有2n 个子集，不同的有序集合对(A ,B )有2(21)n n -个．若A ⊂≠B ，并设B 中含有*(1,)k k n k ∈N ≤≤个元素，则满足A ⊂≠B 的有序集合对 (A ,B ) 有100(21)232nnn k k k k kn n n n n k k k C C C ===-=-=-∑∑∑个 ． …………………6分 同理，满足B ⊂≠A 的有序集合对(A ,B )有32n n -个． …………………8分 故满足条件的有序集合对(A ,B )的个数为2(21)2(3n n n n n n n ---=+-⨯ ………………………………………………10分。

2014-2015学年度第二学期期末测试高二年级文科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题4分，共40分）.1、 设集合{}2|M x x x ==，{}|lg 0N x x =≤，则M N ⋃=（ ） A ．[0,1] B ．(0,1) C ．[0,1] D ．(-∞,1)2、命题“存在实数x ,使210x x +-<”的否定为（ ）A ．不存在实数x ，使210x x +-≥B ．对任意实数x ，都有210x x +-≥C ．存在实数x ，使210x x +-≥D ．对任意实数x ，都有210x x +-<3、设f (x )＝102,0x x x ⎧≥⎪⎨<⎪⎩，则((2))f f -=（ ）A ．1-B ．14C ．12D ．324、在等差数列{}n a 中，若2812a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则9S =（ ）A ．48B ．54C ．60D ．665、下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上是减函数的是（ ）A ．3y x =B ．x y e -=C ．lg y x =D ．21y x =-+ 6、若等比数列{}n a 的首项为1，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为A ．3116B ．2C ．3316D ．16337、设偶函数()f x 的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时()f x 是增函数，则(3)f -，(2)f -，()f π的大小关系是（ ）A ．()(2)(3)f f f π>->-B ．()(3)(2)f f f π>->-C ．()(3)(2)f f f π<-<-D ．()(2)(3)f f f π<-<-8、在等差数列{}n a 中，135105a a a ++=，24699a a a ++=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则n S 的最大值是（ ）A ．100B ．200C ．400D ．8009、定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，当31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+；当13x -≤<时，()f x x =，则(1)(2)(3)(2016)f f f f ++++= （ ）A ．0B ．336C ．672D ．100810、已知函数()lg1a x f x x -=+，若()f x 是奇函数，且在(1,)n -上的值域为(1,)-+∞则n =（ ）A ．1B ．89 C ．910 D ．911二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11、若“2230x x -->”是“x a <”的必要不充分条件，则实数a 的最大值为_______；12、当11,,12,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭时，在幂函数y x α=中有____个单调递增的奇函数，且幂函数y x α=的图像不可能过第____象限；13、在数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若223n S n n =-，则n a =_______n N +∈；14、若1)f x =+，则()f x =__________；15、在正项数列{}n a 中，11a =，2211(2,)n n n n a a a na n n n N +----=≥∈，若n S 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则2015S =_______。

2014－2015学年度第二学期模块学分认定考试高二数学试题（人文方向）（满分180分，时间120分钟）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．一、本题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题给出的四个选项中选出一个符合题目要求的选项．1．已知集合{}25A x x =<< ，()(){}130B x x x =--< ，则AB =A ．()1,3B ．()1,5C ．()2,3D ．()2,5 2．“0=a ”是“函数),0()(2+∞+=在区间ax x x f 上是增函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知对于任意实数(0,a a >且1)a ≠，函数17)(-+=x a x f 的图像恒过点P ，则P 点的坐标是A ．（1，8）B ．（1,7）C ．（0，8）D ．（8，0）4．设复数112z i =+，234z i =-，则12z z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限5．已知命题：①“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”②“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题；③“,,a b c R ∈，若b a >，则c b c a +>+”的逆否命题；④“若3≠+b a ，则1≠a 或2≠b ”．上述命题中真命题的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．46．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额约为A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元7．已知|log |)(3x x f =，则下列不等式成立的是（ ）A ．)2()21(f f > B ．)3()31(f f >C ．)31()41(f f > D ．)3()2(f f >8．已知lg lg 0a b +=，函数()x f x a =与函数()log b g x x =-的图象可能是9．已知1()cos ,f x x x =则()()2f f ππ'+= A ．2π-B ．3πC ．1π-D ．3π-10．给出下列四个命题，其中正确的一个是 （ D ）A ．在线性回归模型中，相关指数R 2=0.80，说明预报变量对解释变量的贡献率是80%B ．相关系数0.852r =，接近1，表明两个变量的线性相关性很差C ．相关指数R 2用来刻画回归效果，R 2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好 D ．相关指数R 2用来刻画回归效果，R 2越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好11．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A ．22eB ．2eC ．22eD ．294e12===…= ， ）（*∈N b a , 则（ ） A ．24,5==b a B ．24,6==b a C ．35,6==b a D ．35,5==b a 13．奇函数()()0, f x +∞在上为增函数,且()10f =,则不等式错误！不能通过编辑域代码创建对象。

常州市教育学会学生学业水平监测高二数学试题(理)2015.7一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．一个袋中装有1只红球、2只绿球，从中随机抽取2只球，则恰有1只红球的概率是 ▲ ．2．已知矩阵⎢⎣⎡=11A ⎥⎦⎤21，且⎢⎣⎡=01AB ⎥⎦⎤10，则矩阵=B ▲ ． 3．5)2(-x 的展开式中含3x 项的系数是 ▲ (用数字作答) ． 4．某人射击一次，命中8—10环及不足8环的概率如下表：则此人命中环数超过8环（不含8环）的概率是 ▲ ．5．在极坐标系中，O 为极点，已知A 、B 两点的极坐标分别为)6,6(π，)2,32(π，则△AOB 的面积为 ▲ ．6．甲、乙、丙、丁四位同学排成一排，要求乙和丙必须相邻，且丁不排在排尾，则符合上述要求的排法总数是 ▲ 种(用数字作答) ． 7．如图，用X 、Y 、Z 这3类不同的元件连接成系统N ，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，已知元件X 、Y 、Z 正常工作的概率依次为0.8、0.7、0.9，则系统N 正常工作的概率是 ▲ ． 8．已知矩阵12b M c⎡⎤=⎢⎥⎣⎦有特征值14λ=及对应的一个特征向量123e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则直线 032=+-y x 在矩阵M 对应的变换作用下的直线方程是 ▲ ．9．设()()()()2210733311++++=+-x a x a a x x +…+()10103+x a ，则210a a a +++…+=10a ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1sin cos ααy x （α是参数），若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程 ▲ ． 11．1432109+⋅被25除的余数是 ▲ ．12．如图，单位正方形OABC 在二阶矩阵T 的作用下，变成菱形111C B OA ．若双曲线1:22=-y x F 在矩阵T 对应的变换作用下得到曲线F '，则曲线F '的方程为 ▲ ．13．曲线⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x （θ为参数）上的点到直线⎩⎨⎧+==t y tx 12（t 为参数）的距离的最大值为 ▲ ．14．设数列{}n a ，{}n b 满足n n n b a a =-+1，n n b b 21=+（其中*∈N n ），,11b a ≠且01≠b ，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++n n n n b a M b a 44，则二阶矩阵=-1M ▲ ． 二、解答题（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）已知R b a ∈,，且2≠ab ，若矩阵⎢⎣⎡=b M 1 ⎥⎦⎤2a 所对应的变换T 把直线l ：3=-y x 变换为自身，⑴ 求实数b a ,的取值；⑵ 若向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=21β，求β10M .有7名同学站成一排，问：⑴ 甲同学不能站在正中间，有多少种排法？ ⑵ 甲、乙两名同学不站在两端，有多少种排法？ ⑶ 甲、乙两名同学不能相邻，有多少种排法？⑷ 甲同学必须站在乙同学的左边（不一定相邻），有多少种排法？ （注：本题需必要的解题过程，且最后结果要用数字作答）17．（本题满分14分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合，直线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x （其中t 为参数），曲线2C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=，⑴ 求当6πα=时直线1C 的普通方程及曲线2C 的直角坐标方程；⑵ 设)0,1(F ，直线1C 和曲线2C 相交于两点B A ,，若FB AF 2=，求AB 的长．18．（本题满分16分）⑴ 在长度为a 的线段AB 上任取一点M ，求点M 到AB 中点的距离不小于4a的概率；⑵ 在边长为a 的正三角形ABC 内任取一点M ，求点M 到其中心点的距离大于其内切圆半径的概率；⑶ 在棱长为a 的正四面体ABC P -内任取一点M ，求点M 到其中心点的距离小于其内切球半径的概率．某同学参加4门学科的学业水平考试，假设该同学第一门学科取得优秀成绩的概率为32，第二门学科取得优秀成绩的概率为54，第三、第四门学科取得优秀成绩的概率分别为m ，n (m ＞n )，且不同学科是否取得优秀成绩相互独立，记ξ为该同学取得优秀成绩的课程数，其分布列为如下表：⑴ 求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； ⑵ 求m ，n 的值； ⑶ 求数学期望E ξ．20．（本题满分16分）已知()()()()()*∈+=+=N n m x x g x x f nm,51,1⑴ 若5,4==n m 时，求()()x g x f ⋅的展开式中含2x 的项；⑵ 若()()()x g x f x h +=，且()x h 的展开式中含x 的项的系数为24，那么当n m ,为何值时，()x h 的展开式中含2x 的项的系数取得最小值？⑶ 若()()*∈≤+N n n x n,1051的展开式中，倒数第2、3、4项的系数成等差数列，求()n x 51+的展开式中系数最大的项．高二（理科）数学期末质量调研参考答案一. 填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1、32， 2、⎢⎣⎡-12 ⎥⎦⎤-11， 3、40， 4、280⋅， 5、9， 6、8， 7、7760⋅， 8、01257=--y x ， 9、9， 10、θρsin 2=， 11、2， 12、322=-y x ，13、5)105(2+， 14、⎢⎢⎢⎣⎡01 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤-1611615， 二、解答题：（本大题共6小题，共90分。

2014-2015学年江苏省常州一中高二（上）期末数学试卷一、填空题：1．（3分）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=．2．（3分）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为．3．（3分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m等于．4．（3分）（1+x）8（1+y）4的展开式中x2y2的系数是．5．（3分）设函数f（x）=，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为．6．（3分）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为．7．（3分）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）．8．（3分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，若日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，则从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人的概率为．9．（3分）某篮运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率．（用数值作答）10．（3分）随机变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，若期望E（ξ）=，则方差V（ξ）的值是．11．（3分）已知一组抛物线y=ax2+bx+c，其中a为1、3、5、7中任取的一个数，b为2、4、6、8中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是．12．（3分）把数列{}的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第k行有2k﹣1个数，第k行的第s个数（从左数起）记为（k，s），则可记为．13．（3分）设x，y，z∈R，且满足：，则x+y+z=．14．（3分）已知a，b，c均为正数，则的最小值为．二、解答题：15．设极坐标系的极点和直角坐标系的原点重合，极轴与x轴正半轴重合，两个坐标系的长度单位相同．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，直线l的参数方程为为参数），P、Q分别是曲线C和直线l上的动点，求P、Q之间距离d的最小值．16．已知二阶矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A．17．在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．（Ⅰ）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．18．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．19．设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．（1）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若，求a：b：c．20．某品牌设计了编号依次为1，2，3，…，n（n≥4，且n∈N*）的n种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择i，j（0≤i，j≤n，且i，j∈N）种款式用来拍摄广告．（1）若i=j=2，且甲在1到m（m为给定的正整数，且2≤m≤n﹣2）号中选择，乙在（m+1）到n号中选择．记P st（1≤s≤m，m+1≤t≤n）为款式（编号）s和t同时被选中的概率，求所有的P st的和；（2）求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率．2014-2015学年江苏省常州一中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．（3分）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=﹣1．【分析】根据x2产生的两种可能分别得到其系数的等式解出a．【解答】解：因为（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则=5，即10+5a=5，解得a=﹣1；故答案为：﹣1．2．（3分）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为252．【分析】根据题意，用间接法分析：先求出所有三位数的个数，再计算并排除其中没有重复数字的三位数个数，即可得答案．【解答】解：根据题意，用0，1，2，…，9十个数字，百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从0到9的10个数字中选一个，个位数从0到9的10个数字中选一个，则所有三位数个数为：9×10×10=900；其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有：9×9×8=648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252；故答案为：252．3．（3分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m等于6．【分析】根据二项式系数的性质求出a和b，再利用组合数的计算公式，结合方程13a=7b，求出m的值．【解答】解：∵m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，∴a=，同理，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，∴b=．∵13a=7b，∴13=7，即13×=7×，∴13=7×，∴13（m+1）=7（2m+1）；解得m=6．故答案为：6．4．（3分）（1+x）8（1+y）4的展开式中x2y2的系数是168．【分析】根据（1+x）8和（1+y）4的展开式的通项公式可得x2y2的系数．【解答】解：根据（1+x）8和（1+y）4的展开式的通项公式可得，x2y2的系数为C82•C42=168，故答案为：1685．（3分）设函数f（x）=，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为﹣20．【分析】依题意，可求得f[f（x）]=（﹣+）6，利用二项展开式的通项公式，即可求得f[f（x）]表达式的展开式中常数项．【解答】解：当x＞0时，f[f（x）]=f（﹣）=（﹣+）6的展开式中，通项为T r=（﹣）n﹣r•（）r，+1则常数项为：（﹣）3•（）3=﹣20．故答案为：﹣20．6．（3分）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为4836．【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=24×53，所以2000的所有正约数之和为（1+2+22+23+24）（1+5+52+53），即可得出答案．【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有：2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=24×53，所以2000的所有正约数之和为（1+2+22+23+24）（1+5+52+53）=4836．可求得2000的所有正约数之和为4836．故答案为：4836．7．（3分）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）．【分析】先求对立事件“选出的3人中只有男同学或只有女同学”的概率，然后根据对立事件的概率和为1可得答案．【解答】解：从10人中选出的3人中只有男同学或只有女同学的概率为：=，则选出的3人中男女同学都有的概率为：1﹣=．故答案为：．8．（3分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，若日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，则从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人的概率为．【分析】茎叶图中共同的数字是数字的十位，这是解决本题的突破口，根据所给的茎叶图数据，代入平均数公式求出结果；再利用比例关系即可推断该车间12名工人中有几名优秀工人的人数；设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，结合组合数利用概率的计算公式即可求解事件A的概率【解答】解：样本均值为（17+19+20+21+25+30）=22；故抽取的6名工人中有2名为优秀工人，所以12名工人中有4名优秀工人；设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，所以P（A）==，即恰有1名优秀工人的概率为，故答案为：．9．（3分）某篮运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率．（用数值作答）【分析】判断是否为独立重复试验的关键是每次试验事件A的概率不变，并且每次试验的结果同其他各次试验的结果无关，重复是指试验为一系列的试验，并非一次试验，而是多次，但要注意重复事件发生的概率相互之间没有影响．【解答】解：∵由题意知运动员在三分线投球的命中率是定值，投球10次∴本题是一个独立重复试验∴所求概率故答案为：10．（3分）随机变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，若期望E（ξ）=，则方差V（ξ）的值是．【分析】根据题意，列出方程组，求出a、b、c的值，再计算E（ξ2）、Dξ的值．【解答】解：根据题意，得；a+b+c=1，①2b=a+c，②﹣1•a+0•b+1•c=；③由①②③联立，解得a=，b=，c=；又E（ξ）=，∴E（ξ2）=1×+0×+1×=，∴方差Dξ=E（ξ2）﹣（Eξ）2=﹣=．故答案为：．11．（3分）已知一组抛物线y=ax2+bx+c，其中a为1、3、5、7中任取的一个数，b为2、4、6、8中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是．【分析】这一组抛物线共4×4条，从中任意抽取两条共有C162种不同的方法．它们在与直线x=1交点处的切线的斜率k=y'|x==a+b．讨论a+b=5，a+b=7，a+b=9，a+b=11，a+b=13，由分类计数原理知任取两条切线平行的情形，根据古典概型公式得到结果．【解答】解：由题意知这一组抛物线共4×4=16条，从中任意抽取两条共有C162=120种不同的方法．它们在与直线x=交点处的切线的斜率k=y'|x==a+b．若a+b=5，有两种情形，从中取出两条，有C22种取法；若a+b=7，有三种情形，从中取出两条，有C 32种取法；若a+b=9，有四种情形，从中取出两条，有C42种取法；若a+b=11，有三种情形，从中取出两条，有C32种取法；若a+b=13，有两种情形，从中取出两条，有C22种取法．由分类计数原理知任取两条切线平行的情形共有C22+C32+C42+C32+C22=14种，∴所求概率为．故答案为：．12．（3分）把数列{}的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第k行有2k﹣1个数，第k行的第s个数（从左数起）记为（k，s），则可记为（10，495）．【分析】由题意可知k=10，由第9行的最后一个数是，由于=495，分析可知答案．【解答】解：∵是数列{}的第1006项，前9行一共排了20+2+…+28==511个数，前10行一共排了20+2+…+29==1023个数，∴在第10行．∵第9行的最后一个数是．∴第10行的第一个数是．∵=495，∴是第10行的第495个数．∴可记为（10，495）．故答案为：（10，495）13．（3分）设x，y，z∈R，且满足：，则x+y+z=．【分析】根据柯西不等式，算出（x+2y+3z）2≤14（x2+y2+z2）=14，从而得到x+2y+3z恰好取到最大值，由不等式的等号成立的条件解出x=、y=且z=，由此即可得到x+y+z的值．【解答】解：根据柯西不等式，得（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14（x2+y2+z2）当且仅当时，上式的等号成立∵x2+y2+z2=1，∴（x+2y+3z）2≤14，结合，可得x+2y+3z恰好取到最大值∴=，可得x=，y=，z=因此，x+y+z=++=故答案为：14．（3分）已知a，b，c均为正数，则的最小值为6．【分析】两次运用基本不等式即可证明结论．【解答】解：∵a，b，c均为正数，≥3+（3）2≥2=3=6当且仅当a=b=c时取等号，故答案为：6二、解答题：15．设极坐标系的极点和直角坐标系的原点重合，极轴与x轴正半轴重合，两个坐标系的长度单位相同．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，直线l的参数方程为为参数），P、Q分别是曲线C和直线l上的动点，求P、Q之间距离d的最小值．【分析】求出曲线C的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=4，直线l的普通方程为x ﹣y﹣2=0，由P、Q分别是曲线C和直线l上的动点，能求出P、Q之间距离d的最小值．【解答】解：∵曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4y，即x2+（y﹣2）2=4，∴曲线C是以（0，2）为圆心，半径为2的圆．∵直线l的参数方程为为参数），∴消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0．∵P、Q分别是曲线C和直线l上的动点，∴P、Q之间距离d的最小值．16．已知二阶矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A．【分析】利用二阶矩阵的特征值与特征向量的意义与性质即可得出．【解答】解：设A=，由题知=，=3，可得，解得：，∴A=．17．在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．（Ⅰ）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．【分析】（I）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论；（II）由题意，X可取0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X的分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=，∴P（A）=，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为；（Ⅱ）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0，1，2，3．观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙选中3号歌手的概率为，当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P（X=0）=（1﹣）（1﹣）2=，当观众甲、乙、丙只有一人选中3号歌手时，这时X=1，P（X=1）=（1﹣）2+（1﹣）（1﹣）+（1﹣）（1﹣）=，当观众甲、乙、丙只有二人选中3号歌手时，这时X=2，P（X=2）=•（1﹣）+（1﹣）•+（1﹣）=，当观众甲、乙、丙都选中3号歌手时，这时X=3，P（X=3）=•（）2=，X的分布列如下：∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．18．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．【分析】（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；（II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．【解答】解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为=；（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P （X=4）∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可记n k为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3由P（X=k）=得P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）==∴所求的分布列为数学期望为E（Y）=51×+48×+45×+42×=4619．设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．（1）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若，求a：b：c．【分析】（1）ξ的可能取值有：2，3，4，5，6，求出相应的概率可得所求ξ的分布列；（2）先列出η的分布列，再利用η的数学期望和方差公式，即可得到结论．【解答】解：（1）由题意得ξ=2，3，4，5，6，P（ξ=2）==；P（ξ=3）==；P（ξ=4）==；P（ξ=5）==；P（ξ=6）==．故所求ξ的分布列为（2）由题意知η的分布列为Eη==Dη=（1﹣）2+（2﹣）2+（3﹣）2=．得，解得a=3c，b=2c，故a：b：c=3：2：1．20．某品牌设计了编号依次为1，2，3，…，n（n≥4，且n∈N*）的n种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择i，j（0≤i，j≤n，且i，j∈N）种款式用来拍摄广告．（1）若i=j=2，且甲在1到m（m为给定的正整数，且2≤m≤n﹣2）号中选择，乙在（m+1）到n号中选择．记P st（1≤s≤m，m+1≤t≤n）为款式（编号）s和t同时被选中的概率，求所有的P st的和；（2）求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率．【分析】（1）求出甲从1到m（m为给定的正整数，且2≤m≤n﹣2）号中任选两款，乙从（m+1）到n号中任选两款的所有等可能基本事件的种数，款式s 和t（1≤s≤m，m+1≤t≤n）同时被选中包含的基本事件的种数，利用古典概型概率计算公式可求；（2）求出甲、乙从n种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数，确定“没有一个款式为甲和乙共同认可”包含的基本事件种数，利用对立事件的概率公式可求．【解答】解：（1）甲从1到m（m为给定的正整数，且2≤m≤n﹣2）号中任选两款，乙从（m+1）到n号中任选两款的所有等可能基本事件的种数为，记“款式s和t（1≤s≤m，m+1≤t≤n）同时被选中”为事件B，则事件B包含的基本事件的种数为，所以P（B）=，则所有的P st的和为：；（4分）（2）甲从n种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为：=2n，同理得，乙从n种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为2n，据分步乘法计数原理得，所有等可能的基本事件的种数为：2n•2n=4n，记“至少有一个款式为甲和乙共同认可”为事件A，则事件A的对立事件为：“没有一个款式为甲和乙共同认可”，而事件包含的基本事件种数为：++…+==（1+2）n=3n，所以．（10分）。

2014-2015学年江苏省常州市溧阳市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分）1．(★★★★)已知全集U=Z，集合A={1，2}，B={2，3，4}，那么（∁U A）∩B= {3，4} ．2．(★★★★)已知平面向量，，满足=（-1，1），=（2，3），=（-2，k），若（+ ）⊥，则实数k的值为．3．(★★★★)如果p：x＞2，q：x≥2，那么p是q的充分不必要条件．4．(★★★)设函数f（x）= ，则函数f（x）的值域是（0，1）∪-3，+∞）．5．(★★★)执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为3，则输出的n的值为 4 ．6．(★★★)已知等差数列{a n}满足a 5=2，则log 2（a 4+a 6）= 2 ．7．(★★★★)如图，在6X6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，，满足=x +y （x，y∈R），则= ．8．(★★★)若等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则= 6 ．9．(★★★★)已知sin（α+ ）=- ，- ＜α＜0，则cosα= ．10．(★★★)已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）．若，则实数ω的最小值为 3 ．11．(★★★★)已知点A（0，2），B（2，0）若点C在函数y=x 2的图象上，则使△ABC面积为2的点C的个数是 4 ．12．(★★★)已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2 x-2．若∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，则m的取值范围是（-4，0）．13．(★★)如图表：现有n 2（n≥4）个正数排列成n行n列方阵，符号a ij（1≤i≤n，1≤j≤n，i，j∈N *）表示位于第i行第j列的正数．已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都相等．若a 11=2，a 24=a 32=16，则a ij= 2 i•j ．i14．(★★)已知函数f（x）=alnx+ （a≠0），若{x|f（x）≤0}={b，c}（其中b，c∈R，且b ＜c），则实数a的取值范围为（e，+∞）．二、解答题15．(★★★)在△ABC中，角A、B、C所对应边分别为a，b，c，已知=（2cos ，sinC），=（2sinC，cos ），且∥．（1）求角C的大小；（2）若a 2=3b 2+c 2，求tanA的值．16．(★★★)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a 3=2，S 5=a 7．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n及S n；（Ⅱ）若a 4，a 4+m，a 4+n（m，n∈N *）成等比数列，求n的最小值．17．(★★★)函数f（x）=6cos 2sinωx-3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x 0）= ，且x 0∈（- ），求f（x 0+1）的值．18．(★★★)为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽）．问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．19．(★★)已知函数f（x）=alnx-x+2，其中a≠0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意的x 1∈1，e，总存在x 2∈1，e，使得f（x 1）+f（x 2）=4，求实数a值．20．(★★)已知数列{a n}，{b n}满足：a 1= ，a n+b n=1，b n+1=（1）证明：{ }是等差数列，并求数列{b n}的通项公式；（2）设S n=a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+…+a n a n+1，不等式4aS n＜b n对任意的n∈N *恒成立，求实数a的取值范围；（3）是否存在正整数m，k，使（-2）2=（-3）（-2）+19成立？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．。

绝密★启用前2014-2015年江苏省高考数学试题数学Ⅰ试题参考公式:圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl , 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．.1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B = ．【答案】{13}-，2．已知复数2(52)z i =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ． 【答案】213．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】54．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的 概率是 ． 【答案】135．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 ．【答案】6π6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】247．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是 ． 【答案】48．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12VV 的值是 ． 【答案】329．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ． 【答案】255510．已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】202⎛⎫-⎪⎝⎭， 11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x=+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 ． 【答案】3-12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=，，则A B A D ⋅的值是 ． 【答案】2213．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21()22f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ．【答案】()102，14．若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 ．【答案】624-二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本小题满分14 分)已知()2απ∈π，，5sin 5α=．（1）求()sin 4απ+的值；（2）求()cos 26α5π-的值．【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能力. 满分14分.（1）∵()5sin 25ααπ∈π=，，，∴225cos 1sin 5αα=--=-()210sin sin cos cos sin (cos sin )444210αααααπππ+=+=+=-；（2）∵2243sin 22sin cos cos2cos sin 55αααααα==-=-=，∴()()3314334cos 2cos cos2sin sin 2666252510ααα5π5π5π+-=+=-⨯+⨯-=-．16．(本小题满分14 分)如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =． （1）求证：直线P A ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ．【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系， 考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. （1）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF （2）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴132DE PA == ∵E F ，为AC AB ，中点 ∴142EF BC == ∴222DE EF DF += ∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥∵AC EF E = ∴DE ⊥平面ABC∵DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ．17．(本小题满分14 分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ． （1）若点C 的坐标为()4133，，且22BF =，求椭圆的方程； （2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力. 满分14分.（1）∵()4133C ，，∴22161999a b += ∵22222BF b c a =+=，∴22(2)2a ==，∴21b = ∴椭圆方程为2212x y += （2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，，∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -， ∵2B F A ，，三点共线，∴b y b c x +=--，即0bx cy bc --=① ∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c⋅=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组，解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩∴()2222222a c bc C b c b c --， ∵C 在椭圆上，∴()()222222222221a cbc b c b c a b --+=，化简得225c a =，∴55c a =, 故离心率为5518．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分. 解法一：(1) 如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy . 由条件知A (0, 60)，C (170, 0)， 直线BC 的斜率k BC =－tan ∠BCO =－43. 又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB =34. 设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =04,1703b a -=-- k AB =603,04b a -=- 解得a =80，b=120. 所以BC =22(17080)(0120)150-+-=.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60). 由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-= 由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ， 即|3680|680355d dr --==. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图，延长OA , CB 交于点F . 因为tan ∠BCO =43.所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35.因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =6803. CF =850cos 3OC FCO =∠,从而5003AF OF OA =-=.因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO ==45，又因为AB ⊥BC ，所以BF =AF cos ∠AFB ==4003，从而BC =CF －BF =150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半 径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60).因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ， 故由(1)知，sin ∠CFO =3,68053MD MD r MF OF OM d ===--所以68035d r -=. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.19．(本小题满分16分)已知函数()e e x x f x -=+其中e 是自然对数的底数． （1）证明：()f x 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明你的结论．【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力.满分16分.（1）x ∀∈R ，()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数 （2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤ ∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x -+->，即e 1e e 1x x x m ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立令e (1)x t t =>，则211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立 ∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立 ∴13m -≤（3）'()e e x x f x -=-，当1x >时'()0f x >，∴()f x 在(1)+∞，上单调增 令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减 ∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2e f a =+<，即()11e 2ea >+ ∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1ea a a a a a ---=-=--+设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则()e 1e 111'()1e 2e a m a a a a ---=-=>+，当()11e e 12e a +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减 因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m == ∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<； 当()11e e 2e a +<<时，()0m a <，e 11e a a -->； 当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=．20．(本小题满分16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值； （3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立．【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力, 满分16分.（1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=当1n =时，112a S ==∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a += ∴{}n a 是“H 数列” （2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+ 对n *∀∈N ，m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+- 取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =- （3）设{}n a 的公差为d令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=- 1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列 {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+ 当1n =时1m =； 当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N 因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”． {}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立，即{}n c 为“H 数列” 因此命题得证.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分)如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D 是圆O 上位于AB 异侧的两点 证明:∠OCB =∠D .本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分10分. 证明：因为B , C 是圆O 上的两点，所以OB =OC . 故∠OCB =∠B .又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角， 所以∠B =∠D . 因此∠OCB =∠D .B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x y ，为实数，若A α=B α，求x y ，的值．【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分. 222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=， C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为212222x t y t ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，(t 为参数)，直线l 与抛物线24y x =交于A B ，两点，求线段AB 的长． 【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+= ∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||82AB =D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分) 已知x >0, y >0,证明：(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥9xy.本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分.证明：因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2≥2330xy >，1+x 2+y ≥2330x y >，所以(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥223333xy x y ⋅=9xy.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22．(本小题满分10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，，中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P ==（2）X 的所有可能取值为432，，，则 4449C 1(4)C 126P X === 3131453639C C C C 13(3)C 63P X +=== 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==∴X 的概率分布列为X 2 3 4P11141363 1126故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯=23．(本小题满分10分) 已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ． （1）求()()122222f f πππ+的值； （2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()124442n n nf f -πππ+=成立． 23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分. (1)解：由已知，得102sin cos sin ()(),x x x f x f x x x x '⎛⎫'===- ⎪⎝⎭于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()(),x x x x x f x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以12234216(),(),22f f πππππ=-=-+ 故122()() 1.222f f πππ+=- (2)证明：由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=， 即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得 122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+，2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+， 344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+. 下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立. (i)当n =1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+. 因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++(1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+， 所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+. 所以当n=k +1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立. 令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N ). 所以12()()4442n n nf f πππ-+=(n ∈*N ).。