2020届湖南省长望浏宁四县(区、市)高三4月联考数学(文科)试题扫描版

湖南湖北四校2020届高三学情调研联考文科数学试题卷 考试时间：2020年4月24日本试卷共5页，满分150分，考试用时120分钟. 考生注意：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝考试顺利一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}04P x R x =∈≤≤，{}3Q x R x =∈<，则P Q =U （ ） A.[]3,4B.(]3,4-C.(],4-∞D.()3,-+∞2.x ，y 互为共轭复数，且()2346x y xyi i +-=-则x y +=（ ） A.2B.1C.22D.43.如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30︒，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A.20B.27C.54D.644.如图，在ABC △中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+uuu v uu u v uuu v，则λμ=（ ）A.13B.12C.23D.25.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()2c f m =+，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.a c b <<6.如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为（ ）A.23B.6C.22D.27.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左，右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，又点23,2b N c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b +>，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A.1353⎛⎝B.)131,5,3⎛+∞ ⎝⎭UC.()513,+∞UD.5,138.为计算11111123499100S =-+-++-L ，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（ ） A.1i i =+B.2i i =+C.3i i =+D.4i i =+9.已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则()tan A B -的最大值为（ ）B.32C.3410.已知函数()()22π2sin cos sin 024r f x x x ωωωω⎛⎫=⋅-->⎪⎝⎭在区间2π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值1，则w 的取值范围是（ ）A.30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B.13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.过双曲线()222210x y a b a b-=>>右焦点F 的直线交两渐近线于A 、B 两点，若0OA AB ⋅=uu r uu u r ，O 为坐标原点，且OAB △内切圆半径为12a ，则该双曲线的离心率为（ ）112.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2的正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（ ）A.B.C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是. 14.观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中,,F V E 所满足的等式是.15.设函数()()1xf x ex =-，函数()g x mx =，若对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是.16.某小商品生产厂家计划每天生产A 型、B 型、C 型三种小商品共100个，生产一个型小商品需5分钟，生产一个B 型小商品需7分钟，生产一个C 型小商品需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个A 型小商品可获利润8元，生产一个B 型小商品可获利润9元，生产一个C 型小商品可获利润6元.该厂家合理分配生产任务使每天的利润最大，则最大日利润是元.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分.17.已知数列{}{},n n a b 满足：114a=，1n n a b +=，121n n n b b a +=-.（1）证明：11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （2）设1223341n n n S a a a a a a a a +=++++L ，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立.18.如图，ABCD 是边长为2的菱形，60DAB ∠=︒，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，24EB FD ==.（1）求证：EF AC ⊥； （2）求几何体EFABCD 的体积.19.在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图.（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率； （2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为()11911,2,31010n n n P P n --⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，其中i P 表示第i 个出场选手解密成功的概率，并且1P 定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立. ①求该团队挑战成功的概率；②该团队以i P 从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人数X 的可能值及其概率.20.如图，设抛物线()21:40C y mx m =->的准线l 与x 轴交于椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点21,F F 为2C 的左焦点.椭圆的离心率为12e =，抛物线1C 与椭圆2C 交于x 轴上方一点P ，连接1PF 并延长其交1C 于点Q ，M 为1C 上一动点，且在,P Q 之间移动.（1）当32a b+取最小值时，求1C 和2C 的方程； （2）若12PF F △的边长恰好是三个连续的自然数，当MPQ △面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程. 21.已知函数()ln xf x a x e=+，其中a 为常数.（1）若直线2y x e=是曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值； （2）当1a =-时，若函数()()ln xg x f x b x=-+在[)1,+∞上有两个零点.求实数b 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x ty t=--⎧⎨=+⎩，（t 为参数），曲线1:C y =以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为π4ρα⎛⎫= ⎪⎝⎭-. （1）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为,A B ，点P 在1C 上，求BA BP ⋅uu r uu r的取值范围；（2）若直线l 与2C 交于M N ,两点，点Q 的直角坐标为()2,1-，求QM QN -的值. 23.[选修4–5：不等式选讲]已知函数()223f x x x m =+++，R m ∈. （1）当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）若(),0x ∀∈-∞，都有()2f x x x≥+恒成立，求m 的取值范围.湖南湖北四校2020届高三学情调研联考文科数学试题卷参考答案及解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B【解析】由题意得，[]0,4P =，()3,3Q =-，(]3,4P Q =-∴U ，故选B. 2.C 【解析】设x a bi =+，y a bi =-，代入得()()2222346a a bi i -+=-，所以()224a =，()2236a b +=，解得1a =，1b =，所以x y +=3.B 解析：设大正方体的边长为x ，12x x -，设落在小正方形内的米粒数大约为N ，则2212200x x N x ⎫-⎪⎝⎭=，解得：27N ≈. 4.A 【解析】()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u u u r u u uu r u u u r u u u r u u u r r u u u r ，所以14λ=，34μ=，从而求得13λμ=.5.D 解析：Q 函数()f x 是偶函数，()()f x f x ∴=-在R 上恒成立，0m ∴=，∴当0x ≥时，易得()21x f x =-为增函数，()()0.52log 3log 3af f ∴==，，()2log5b f =，()2c f =，22log 32log 5<<Q，a c b ∴<<6.C 由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC -， 故1AC =，2PA =，BC PC ==AB =PB =12112ABC PAC S S ∴==⨯⨯=△△，122PAB S =⨯⨯=△12PBC S =⨯=△，∴该多面体的侧面最大面积为.故选C.7.B 解析：双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b +>， 即()2min4MF MNb +>，又2 21232222b MF MN aMF MN a NF aa+≥++≥+=+2223244382ba b a b aba∴+>⇒+>34802b a ba b a⇒⋅+->⇒>或23ba<2221bea∴=+，5e>或131N<<8.B详解：由11111123499100S=-+-++-L得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i=+，选B.9.C【解析】3cos cos5a Bb A c-=Q∴由正弦定理，得3sin cos sin cos sin5A B B A C-=，()()sin sinC A B C A Bπ=-+⇒=+Q，()3sin cos sin cos sin cos cos sin5A B B A A B A B∴-=+，整理，得sin cos4sin cosA B B A=，同除以cos cosA B，得tan4tanA B=，由此可得()2tan tan3tan3tan11tan tan14tan4tantanA B BA BA B B BB--===+++，AQ、B是三角形内角，且tan A与tan B同号，A∴、B都是锐角，即tan0A>，tan0B>，114tan4tan4tan tanB BB B+≥⋅=Q()33tan144tantanA BBB-=≤+，当且仅当14tantanBB=，即1tan2B=时，()tan A B-的最大值为34.10.B解析：2ππ2cos1cos1sin242xx xωωω⎛⎫⎛⎫-=+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q，()()2sin1sin sin sinf x x x x xωωωω=+-=.令π2π2x kω=+可得π2π2kxωω=+，()f xQ在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，π0π2ω∴≤≤解得12ω≥.令ππ2π2π22k x kω-+≤≤+，解得：π2ππ2π22k kxωωωω-+≤≤+，()f xQ在区间2π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，2ππ325π365ωω⎧-≥-⎪⎪∴⎨⎪≤≤⎪⎩，解得35ω≤.综上，1325ω≤≤.故选：B.11.A解析：因为0a b>>，所以双曲线的渐近线如图所示，设内切圆圆心为M，则M在AOB∠平分线OF上，过点M分别作MN OA⊥于N，MT AB⊥于T，由FA OA⊥得四边形MTAN为正方形，由焦点到渐近线的距离为b得FA b=，又OF c=，所以OA a=，312NA MN a==-，所以332NO a=-，所以tan3MNbAOFa NO=∠==，得23213bea⎛⎫=+=⎪⎝⎭.故选A.12.D解析：方法一：本题也可用解三角形方法，达到求出棱长的目的.适合空间想象能力略差学生.设2PA PB PC x===，,E F分别为,PA AB中点，EF PB∴∥，且12EF PB x==，ABC△Q为边长为2的等边三角形，3CF∴=又90CEF∠=︒23CE x∴=-12AE PA x==AEC△中余弦定理()2243cos22x xEACx+--∠=⨯⨯，作PD AC⊥于D，PA PC=Q，DQ为AC中点，1cos2ADEACPA x∠==，2243142x xx x+-+∴=，2212x ∴+=，212x ∴=，2x =，PA PB PC ∴===2AB BC AC ===，,,PA PB PC∴两两垂直，2R ∴==2R ∴=，344338V R ππ∴==⨯=，故选D. 方法二：PA PB PC ==Q ，ABC △为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，CE AC C =I ，EF ∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，PAB ∴∠=90︒，PA PB PC ∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，2R ==R =，34433V R ππ∴===，故选D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- 14.2F V E +-=解析：凸多面体的面数为F .顶点数为V 和棱数为E ，①正方体：6F =，8V =，12E =，得86122F V E +-=+-=； ②三棱柱：5F =，6V =，9E =，得5692F V E +-=+-=； ③三棱锥：4F =，4V =，6E =，得4462F V E +-=+-=.根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F .V 和棱数E 满足如下关系：2F V E +-= 再通过举四棱锥、六棱柱、…等等，发现上述公式都成立. 因此归纳出一般结论：2F V E +-= 故答案为：2F V E +-= 15.1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭解析：()()1x f x e x =-Q ，()xf x xe '∴=，∴对于任意的[]2,2x ∈-，当[)2,0x ∈-时，()0f x '<，当(]0,2x ∈时，()0f x '>，即()f x 在[)2,0-上为减函数，在(]0,2上为增函数.0x ∴=为()f x 在[]2,2-上的极小值点，也是最小值点且最小值为[]2,2-，∴对于任意的[]12,2x ∈-，()1min 1f x =-，而总存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，()()12min min f x g x >.()g x mx =∵，∴①0m =时，()20g x =，不合题意，②0m >时，()[]22,2g x mx m m =∈，此时1m <-，不合题意，③0m <时，()[]222,g x mx m m =∈，()2min 2g x m ∴=，21m ∴<-，12m <-. 16.850【解析】依题意，每天生产的玩具A 型商品x 个、B 商品y 个、C 商品的个数等于：100x y --，所以每天的利润()89610023600T x y x y x y =++--=++.约束条件为：()*57410060010000,0,,x y x y x y x y x y N ++--≤⎧⎪--≥⎨⎪≥≥∈⎩，整理得*3200100,x y x y x y N ⎧+≤⎪+≤⎨⎪∈⎩.目标函数为23600T x y =++.如图所示，做出可行域.初始直线0:230l x y +=，平移初始直线经过点A 时，T 有最大值.由3200100x y x y +=⎧⎨+=⎩得5050x y =⎧⎨=⎩.最优解为()50,50A ，此时max 850T =（元）.即最大日利润是850元.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.（1）()()()111122n n n n n n n n b b b a a b b b +===-+--Q ，11112n nb b +∴-=--，12111111n n n n b b b b +-∴==-+---.∴数列11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以4-为首项，1-为公差的等差数列. ∴14(1)31n n n b =---=---，∴12133n n b n n +=-=++. （2）113n n a b n =-=+Q . ()()()12231111114556344444n n n n S a a a a a a n n n n +∴=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅=-=⨯⨯++++ ()()()()21368244334n n a n a n an n aS b n n n n -+--+∴-=-=++++.由条件可知()()213680a n a n -+--<恒成立即可满足条件，设()()()21328f n a n a n =-+--，当1a =时，()380f n n =--<恒成立，当1a >时，由二次函数的性质知不可能成立.当1a <时，对称轴3231102121a a a -⎛⎫-⋅=--< ⎪--⎝⎭，()f n 在[)1,+∞为单调递减函数. ()()()113684150f a a a =-+--=-<，154a ∴<，∴时4n aSb <恒成立.综上知：1a <时，4n aS b <恒成立. 18.【解析】（1）连接DB ，DF ⊥平面ABCD ，EB ⊥平面ABCD ，EB FD ∴∥，E ∴，F ，D ，B 四点共面，AC EB ∴⊥，设DB AC O =I ，ABCD Q 为菱形，AC DB ∴⊥.DB EB B =I ，AC ∴⊥平面EFDB ，EF ⊂Q 平面EFDB ，AC EF ∴⊥.（2）EB FD ∥Q ，EB BD ⊥，EFDB ∴为直角梯形，在菱形ABCD 中，60DAB ∠︒＝，2AB =，2BD =，3AO CO ==∴梯形EFDB 的面积()24262S +⨯==，AC ⊥Q 平面EFDB ，114333EFABCD C EFDB A EFDB V V V S AO S CO --∴==⨯+⨯=+. 19.解析：（1）甲解密成功所需时间的中位数为47，()0.0150.014550.03450.0447450.5b ∴⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得0.026b =；0.0430.032550.010100.5a ∴⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.024a =；∴甲在1分钟内解密成功的频率是10.01100.9f =-⨯=（2）①由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为10.9P =；第二个出场选手解密成功的概率为2910.910.911010P =⨯+⨯=， 第三个出场选手解密成功的概率为23910.920.9291010P ⎛⎫=+⨯= ⎪⎝⎭⨯， 所以该团队挑战成功的概率为0.90.10.910.10.090.9290.999361P =+⨯+⨯⨯=（或令“该团队挑战成功”的事件为A ，“挑战不成功”的事件为A ，()()()()10.910.9110.9290.10.090.0710.000639P A ⨯=---=⨯=，∴该团队挑战成功的概率为()()110.00016390.999361P A P A =-=-=②由①可知按i P 从小到大的顺序的概率分别1p ，2p ，3p ，根据题意知X 的取值为1，2，3；则()10.9P X ==，()()210.90.910.091P X ==-⨯=， ()()()310.910.910.10.090.009P X ==--=⨯=.20.（1）因为1,2c c m e a ===，则2,a m b ==，所以2a b +取最小值时1m =， 此时抛物线21:4C y x =-，此时22,3a b ==，所以椭圆2C 的方程为22143x y +=； （2）因为1,2c c m e a ===，则2,a m b ==，设椭圆的标准方程为2222143x y m m +=， ()()0011,,,P x y Q x y 由2222214334x y m m y mx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得22316120x mx m --=，所以023x m =-或06x m =（舍去），代入抛物线方程得03y m =，即23m P ⎛- ⎝⎭， 于是153m PF =，21723m PF a PF =-=，12623m F F m ==，又12PF F △的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m =.此时抛物线方程为212y x =-，()(13,0,F P --，则直线PQ的方程为)3y x =+.联立)2312y x y x⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，得192x =-或12x =-（舍去），于是9,2Q ⎛-- ⎝.所以252PQ ==，设(()2,12t M t t ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭到直线PQ的距离为d，则2753022d t ⎛=⨯+- ⎝⎭，当t =max 752d ==，所以MPQ △的面积最大值为12522⨯=.此时:MP y =+.21.（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()1a x ae f x e x ex+'=+=，曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线方程为2y x e =.由题意得000012,2ln a e x e x x a x ee ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得1a =，0x e =.所以a 的值为1. （2）当1a =-时，()ln xf x x e =-，则()11x e f x e x ex-'=-=，由()0f x '>，得x e >，由()0f x '<，得0x e <<，则()f x 有最小值为()0f e =，即()0f x ≥，所以()ln ln x x g x x b e x=--+，()0x >，由已知可得函数ln ln x x y x x e =+-的图象与直线y b =有两个交点， 设()()ln ln 0x x h x x x x e=+->，则()22211ln 1ln x ex e e x x h x x x e ex -+--'=+-=， 令()2ln x ex e e x x ϕ=+--，()222e ex e x x e x x x ϕ--'=--=， 由220ex e x --<，可知()0x ϕ'<，所以()x ϕ在()0,+∞上为减函数，由()0e ϕ=，得0x e <<时，()0x ϕ>，当x e >时，()0x ϕ<，即当0x e <<时，()0h x '>，当x e >时，()0h x '<，则函数()h x 在()0,e 上为增函数，在(),e +∞上为减函数，所以，函数()h x 在x e =处取得极大值()1h e e =， 又()11h e =-，()322331341h e e e e e=+-<-<-<-， 所以，当函数()g x 在[)1,+∞上有两个零点时，b 的取值范围是11b e e -≤<， 即11,b e e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭. 22.（1）由题意可知：直线l 的普通方程为10x y ++=，()1,0A ∴-，()0,1B -1C 的方程可化为()2210x y y +=≥，设点P 的坐标为()cos ,sin θθ，0θπ≤≤，cos sin 1114BA BP πθθθ⎛⎫⎡⎤∴⋅=-++=-+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭uu r uu r（2）曲线2C 的直角坐标方程为：()()22228x y ++-=直线l的标准参数方程为212x m y m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（m 为参数），代入2C得：270m -=设,M N 两点对应的参数分别为12,m m121270m m m m +=-<故12,m m异号12QM QN m m ∴-=+=23.答案：（1）当2m =-时，()()410322321023452x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪⎛⎫=++--<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫--≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩当4130x x +≤⎧⎨≥⎩解得102x ≤≤当30,132x -<<≤恒成立. 当45332x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-，此不等式的解集为12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）()()43032233023432x m x f x x x m m x x m x ⎧⎪++≥⎪⎪⎛⎫=+++=+-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫--+≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩， 当(),0x ∈-∞时，()33022233432m x f x x x m x m x ⎧⎛⎫+-<< ⎪⎪⎪⎝⎭=+++=⎨⎛⎫⎪--+≤- ⎪⎪⎝⎭⎩当302x -<<时，()3f x m =+，当()3,432x f x x m ≤-=--+单调递减， ()f x ∴的最小值为3m +设()()20g x x x x=+<当20,x x x ->-+≥-，当且仅当2x x -=-时，取等号2x x ∴+≤-即x =()g x取得最大值-.要使()2f x x x≥+恒成立，只需3m +≥-3m ≥-.。

2020年湖南省长沙市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知复数Z =21+i (i 为虚数单位)，则|Z|=( )A. 2B. √2C. −1−iD. 1−i2. 已知集合U =R ，A ={x|−1≤x ≤1}，B ={x|0≤x ≤2}，则A ∩(∁U B)=( )A. [−1,0]B. [−1,0)C. (−1,0)D. [0,1]3. 若光线从点A(−3,5)射到直线3x −4y +4=0上，反射后经过点B(2,15)，则光线从A 点反射到B 点所经过的路程为( )A. 5√2B. 5√13C. 5√17D. 5√54. 在△ABC 中，已知A =105°，B =30°，b =2√2，则c 等于( )A. 2B. 2√2C. 4D. 4√25. 设m ，n 为直线，α、β为平面，则m ⊥α的一个充分条件可以是( )A. α⊥β，α∩β=n ，m ⊥nB. α//β，m ⊥βC. α⊥β，m//βD. n ⊂α，m ⊥n6. 过点P(2,1)的直线l 与函数f(x)=2x+32x−4的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. √5 B. 2√5 C. 5 D. 107. 把x =−1输入程序框图可得( )A. −1B. 0C. 不存在D. 18. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，则f(0)=( )A. 1B. 12C. √22D. √329.已知f(x)、g(x)都是定义在R上的函数，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0，f(x)g(x)=a x，f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=52.在区间[−3,0]上随机取一个数x，f(x)g(x)的值介于4到8之间的概率是()A. 13B. 38C. 12D. 2310.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+(y−2)2=1相切，则双曲线的离心率为()A. √2B. 2C. √3D. 311.函数f(x)=x3−3x+2的零点为()A. 1，2B. ±1，−2C. 1，−2D. ±1，212.过抛物线x2=2py(p>0)焦点的直线l交抛物线于A，B两点，若A点坐标为(1,14)，则点B到准线的距离为()A. 4B. 6C. 5D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,√3)，向量a⃗，c⃗的夹角是π3，a⃗⋅c⃗=2，则|c⃗|等于______．14.若cosα=13(0<α<π)，则sin2α=______．15.已知数列{a n}的前n项和S n=n3，则a5+a6的值为________．16.由若干个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知公差不为零的等差数列{a n}的前10项和S10=55，且a2，a4，a8成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n=(−1)n a n+2n，求{b n}的前19项和T19．18.如图，四棱锥P−ABCD中，AB⊥BC，AD//BC，PB⊥AE，E为CD中点，AB=√3，BC=2AD=2．(1)证明：平面PAE⊥平面PBD；(2)若PB=PD=2，求三棱锥P−ADE的体积．19.某科研所共有30位科研员，其中60%的人爱好体育锻炼．经体检调查，这30位科研员的健康指数(百分制)如下茎叶图所示．体检评价标准指出：健康指数不低于70者为身体状况好，健康指数低于70者为身体状况一般．(1)根据以上资料完成下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好与爱好体育锻炼有关系”？身体状况好身体状况一般总计经常体育锻炼缺少体育锻炼总计30(2)从该科研所健康指数高于90的5人中随机选取2人介绍养生之道，求这2人中至多1人爱好体育锻炼的概率．附：x2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0060.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(0,−1)，长轴长是短轴长的2倍．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过点N(2,1)且与椭圆C相交于A，B两点(异于点M)，记直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2，证明：k1+k2为定值．21.已知函数f(x)=lnx+a(2−x)(Ⅰ)设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l，若l与圆(x−3)2+y2=1相切，求a的值；(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，0≤a<π)，曲线C的参数方程为为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设C与l交于M、N两点(异于O点)，求|OM|+|ON|的最大值．23.设函数f(x)=|2x+2|−|x−2|．(Ⅰ)求不等式f(x)>2的解集；(Ⅱ)若∀x∈R，f(x)≥m恒成立，求实数m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：本题主要考查复数的运算和复数的模，属于基础题.先化简复数，再求其模即可．解：因为z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，所以|z|=√12+(−1)2=√2，故选B．2.答案：B解析：本题考查集合描述法的定义，以及补集和交集的运算．进行补集、交集的运算即可．解：∁U B={x|x<0，或x>2}；∴A∩(∁U B)={x|−1≤x<0}=[−1,0)．故选B．3.答案：B解析：本题考查光线从A到B的路程，利用轴对称转化成两点间距离公式，属基础题．解：根据光学原理，光线从A到B的距离，等于点A关于直线3x−4y+4=0的对称点A′到点B的距离，设A关于直线3x−4y+4=0对称的点A′(a,b)，则3×−3+a2−4×5+b2+4=0且b−5a+3×34=−1，解得a=3，b=−3，即A′(3,−3)，所以A′B=√(3−2)2+(15+3)2=5√13．4.答案：C解析：本题考查了正弦定理的应用，属于基础题． 利用正弦定理即可得出．解：∵A =105°，B =30°，∴C =45°． 由正弦定理可得：bsinB =csinC ， ∴c =bsinC sinB=2√2×√2212=4．故选C ．5.答案：B解析：解：A.当m ⊄β内时，结论不成立， B .若α//β，m ⊥β，时，m ⊥α，成立，满足条件 C .α⊥β，m//β时，m ⊥α不一定成立， D .n ⊂α，m ⊥n ，则m ⊥α不一定成立， 故选：B ．根据线面垂直的判定定理进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的判定定理以及空间直线和平面的位置关系是解决本题的关键．6.答案：D解析：解：f(x)=2x+32x−4=1+72x−2，∴函数f(x)=2x+32x−4的图象关于点P(2,1)对称，∴过点P(2,1)的直线l 与函数f(x)=2x+32x−4的图象交于A ，B 两点， A ，B 两点关于点P(2,1)对称，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22+1=√5， ∴则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×5=10．f(x)=2x+32x−4=1+72x−2，可得函数f(x)=2x+32x−4的图象关于点P(2,1)对称，过点P(2,1)的直线l 与函数f(x)=2x+32x−4的图象交于A ，B 两点，A ，B 两点关于点P(2,1)对称⇒OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2即可． 本题考查了函数的对称性及向量的运算，属于中档题．7.答案：D解析：解：由图可知：该程序的作用是计算分段函数y ={−1,x >00,x =01,x <0的函数值．把x =−1输入程序框图可得输出的是：1． 故选D ．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y ={−1,x >00,x =01,x <0的函数值．本题主要考查了选择结构．根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．8.答案：D解析：本题考查由三角函数的部分图象信息求其解析式的方法，属于基础题．先由图象确定A 、T ，然后由T 确定ω，再由特殊点确定φ，则求得函数解析式，最后求f(0)即可． 解：由图象知A =1，T =4×(7π12−π3)=π， 则ω=2πT=2，此时f(x)=sin(2x +φ)，将(7π12,−1)代入解析式得sin(7π6+φ)=−1， 又|φ|<π2，则φ=π3，所以f(x)=sin(2x+π3)，所以f(0)=sinπ3=√32．故选D．9.答案：A解析：解：由题意，∵f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0，∴[f(x)g(x)]′<0，∴函数f(x)g(x)在R上是减函数∵f(x)g(x)=a x，∴0<a<1∵f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=52．∴a+1a=52∴a=1 2∵f(x)g(x)的值介于4到8∴x∈[−3,−2]∴在区间[−3,0]上随机取一个数x，f(x)g(x)的值介于4到8之间的概率是P=−2+30+3=13故选A．根据函数积的导数公式，可知函数f(x)g(x)在R上是减函数，根据f(x)g(x)=a x，f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=52.我们可以求出函数解析式，从而可求出f(x)g(x)的值介于4到8之间时，变量的范围，利用几何概型的概率公式即可求得．本题的考点是利用导数确定函数的单调性，主要考查积的导数的运算公式，考查几何概型，解题的关键是确定函数的解析式，利用几何概型求解．10.答案：B解析：本题考查直线与圆相切，考查双曲线的几何性质，属于简单题．求出双曲线的渐近线，利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可求解．解：根据题意，由于双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+(y−2)2=1相切，可知圆心(0,2)到直线y=bax，即bx−ay=0的距离为圆的半径为1，得√a2+b2=1，则a2+b2=4a2，化简得b2=3a2，则其离心率为e=ca =√(ca)2=√1+(ba)2=2，故答案为B．11.答案：C解析：令f(x)=x3−3x+2=0，解方程可得函数的零点．本题考查函数的零点，考查学生的计算能力，属于基础题．解：由f(x)=x3−3x+2=0，可得x3−1−3(x−1)=0，∴(x−1)(x2+x−2)=0，∴(x−1)2(x+2)=0，∴x=1或−2，∴函数f(x)=x3−3x+2的零点为1或−2，故选C．12.答案：C解析：本题考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题．由于点A在抛物线上，可求得抛物线方程，然后可得到直线方程，与抛物线的方程联立即可得到结果．解：∵过抛物线x2=2py(p>0)焦点的直线l交抛物线于A，B两点，若A点坐标为(1,14)，∵点A在抛物线x2=2py上，∴1=2×p×14，解得p=2，则抛物线x2=4y的焦点F(0,1)，直线AB的斜率为k=1−1 40−1=−34，可得直线AB方程为y=−34x+1．代入抛物线方程可得4y2−17y+4=0，解得y=14，或y=4，则点B的纵坐标为4，∴点B到准线的距离为4+1=5，故选C．13.答案：2解析：本题考查了向量的坐标以及向量数量积的定义，求出a⃗的模是关键，属于基础题．由向量的坐标可求得向量的模再由向量数量积的定义即可得出答案．解：∵|a⃗|=√12+(√3)2=2，又∵a⃗⋅c⃗=|a⃗|⋅|c⃗|⋅cosπ3=2，即：2×|c⃗|×12=2，∴|c⃗|=2，故答案为2．14.答案：4√29解析：解：∵cosα=13(0<α<π)，∴sinα=2√23，∴sin2α=2sinαcosα=2×2√23×13=4√29，故答案为：4√29．由题意可得sinα=2√23，再根据sin2α=2sinαcosα，计算求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式的应用，属于中档题．15.答案：152解析：本题考查数列的前n项和的应用，属基础题．根据前n项和的概念得到a5+a6=S6−S4，将n=6和n=4代入公式即可求值．解：a5+a6=S6−S4=63−43=152．故答案为：152．16.答案：5解析：解：由三视图得，该几何体是由5个小正方体组成的，如图：所以该几何体的体积为5．故答案为：5．将几何体的三视图转化为直观图，求出几何体的体积．本题考查几何体的三视图与直观图的关系，基本知识的考查．17.答案：解：(1)由已知得：{10a1+10×9d2=55(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d)，化简可得{2a1+9d=11d2−a1d=0．因为d≠0，所以，d=a1，∴2a1+9a1=11，所以a1=1，d=1．所以a n=1+(n−1)=n．(2)∵b n=(−1)n a n+2n，∴当n=19时，T n=(−1+2)+(2+22)+(−3+23)+⋯+(−19+219)=(−1+2)+(−3+4)+(−5+6)+⋯+(−19)+(2+22+23+⋯+219)=9−19+2(1−219)1−2=220−12．解析：本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的性质，数列求和，属于中档题．(1)由已知条件利用等差数列的前n项和公式，等比数列的性质列出方程组求得首项和公差，即得{a n}的通项公式．(2)先求出数列{b n}的通项公式，利用分组求和法求得{b n}的前19项和T19．18.答案：(1)证明：由AB⊥BC，AD//BC，AB=√3，BC=2AD=2，可得DC=2，∠BCD=π3，BD=2．从而△BCD是等边三角形，∠BDC=π3，BD平分∠ADC．∵E为CD中点，DA=DE=1，∴BD⊥AE，又∵PB⊥AE，PB∩BD=B，∴AE⊥平面PBD．∵AE⊂平面PAE，∴平面PAE⊥平面PBD；(2)解：由(1)知，AE⊥平面PBD，则平面PBD⊥平面ABCD，取BD中点O，连接PO，则PO⊥BD．∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，∴PO⊥平面ABCD．∵PB=PD=BD=2，∴PO=√3，又S△ADE=12×1×1×sin120°=√34．∴V P−ADE=13×√34×√3=14．解析：(1)由已知可得BD⊥AE，又PB⊥AE，可得AE⊥平面PBD，再由面面垂直的判定得平面PAE⊥平面PBD；(2)取BD中点O，连接PO，则PO⊥BD，结合(1)可得PO⊥平面ABCD.求出底面三角形ADE的面积，代入棱锥体积公式求解．本题考查面面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，属于中档题．19.答案：解：(1)根据题意填写2×2列联表如下，身体状况好身体状况一般总计经常体育锻炼16218缺少体育锻炼4812总计201030由表中数据，计算K2=30×(16×8−4×2)218×12×20×10=10>7.879，对照临界值知，有99.4%的把握认为“身体状况好与爱好体育锻炼有关系”；(2)健康指数高于90的5人中，爱好体育锻炼的有3人，记为A 、B 、C ，不爱好体育锻炼的有2人，记为d 、e ，从这5人中随机选取2人，基本事件是AB 、AC 、Ad 、Ae 、BC 、Bd 、Be 、Cd 、Ce 、de 共10种；这2人中至多1人爱好体育锻炼的基本事件是Ad 、Ae 、Bd 、Be 、Cd 、Ce 、de 共7种；故所求的概率为P =710．解析：(1)根据题意填写列联表，计算K 2，对照临界值得出结论；(2)利用列举法计算基本事件数，求出所求的概率值．本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，是基础题． 20.答案：解：(1)∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点M(0,−1)，长轴长是短轴长的2倍，∴b =1，a =2，∴x 24+y 2=1．(2)证明：若直线AB 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =2，此时直线与椭圆相切，不符合题意．设直线AB 的方程为y −1=k(x −2)，即y =kx −2k +1，联立{y =kx −2k +1x 2+4y 2=4，得(1+4k 2)x 2−8k(2k −1)x +16k 2−16k =0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=8k(2k−1)1+4k 2，x 1x 2=16k 2−16k 1+4k 2． k 1=y 1+1x 1，k 2=y 2+1x 2，∴k 1+k 2=y 1+1x 1+y 2+1x 2=x 2(kx 1−2k +2)+x 1(kx 2−2k +2)x 1x 2 =kx 1x 2+2x 2−2kx 2+kx 1x 2+2x 1−2kx 1x 1x 2 =2kx 1x 2+2(x 2+x 1)−2k(x 2+x 1)x 1x 2 =2k −(2k−2)(x 1+x 2)x 1x 2=2k −(2k−2)8k(2k−1)16k 2−16k =2k −2(k−1)8k(2k−1)16k(k−1)=2k −(2k −1)=1．所以k 1+k 2为定值，且定值为1．解析：本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．(1)根据经过点M(0,−1)，长轴长是短轴长的2倍，可得b =1，a =2，得出椭圆方程；(2)设直线AB 斜率为k ，联立方程组，根据根与系数的关系计算k 1+k 2化简．21.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域{x|x >0}，f′(x)=1x −a ，∴f′(1)=1−a∴在(1,f(1))处的切线为：y −a =(1−a)(x −1)，即(1−a)x −y −1+2a =0，又已知圆的圆心为(3,0)，半径为1，∴√(1−a)2+1=1，解得a =1； …(7分)(Ⅱ)函数f(x)的定义域{x|x >0}，f′(x)=1x −a ，当a ≤0时，f′(x)=1x −a >0恒成立，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增当a >0，令f′(x)>0解得0<x <1a ，令f′(x)<0解得x >1a ，∴函数f(x)在区间(0,1a )上单调递增，在区间(1a ,+∞)上单调递减 …(12分)综上所述：当a ≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a >0，函数f(x)在区间(0,1a )上单调递增，在区间(1a ,+∞)上单调递减 …(13分)解析：(Ⅰ)求出切线方程，利用l 与圆(x −3)2+y 2=1相切，结合点到直线的距离公式，即可求a 的值；(Ⅱ)求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可求出函数f(x)的单调性．本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，正确求导是关键． 22.答案：解：(1)∵曲线C 的参数方程为{x =2cosβy =2+2sinβ (β为参数)，∴消去参数β，得曲线C 的普通方程为x 2+(y −2)2=4，化简得x 2+y 2=4y ，则ρ2=4ρsinθ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ；(2)∵直线l 的参数方程为{x =tcosαy =2+tsinα(t 为参数，0≤α<π)，∴由直线l 的参数方程可知，直线l 必过点(0,2)，也就是圆C 的圆心，则∠MON =π2，不妨设M(ρ1,θ),N(ρ2,θ+π2)，其中θ∈(0,π2)，则|OM|+|ON|=ρ1+ρ2=4sinθ+4sin(θ+π2)=4(sinθ+cosθ)=4√2sin(θ+π4)，所以当θ=π4，|OM|+|ON|取得最大值为4√2．解析：本题考查曲线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．(1)曲线C的参数方程消去参数β，得曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程；(2)由直线l的参数方程可知，直线l必过圆C的圆心(0,2)，则∠MON=π2，设M(ρ1,θ),N(ρ2,θ+π2)，则|OM|+|ON|=4√2sin(θ+π4)，当θ=π4，|OM|+|ON|取得最大值为4√2．23.答案：解：(Ⅰ)∵f(x)={−x−4,x<−1 3x,−1≤x<2 x+4,x≥2，当x<−1时，−x−4>2，解得x<−6，∴x<−6，当−1≤x<2时，3x>2，解得x>23，∴23<x<2，当x≥2时，x+4>2，解得x>−2，∴x≥2，综上，原不等式解集为{x|x<6或x>23}.(Ⅱ)由f(x)的图象和单调性易得f(x)min=f(−1)=−3，若∀x∈R，f(x)≥m恒成立，则只需f(x)min≥m⇒m≤−3，故实数m的取值范围是(−∞,−3]．解析：(Ⅰ)通过讨论x的范围，去掉绝对值，从而解出不等式的解集；(Ⅱ)画出函数f(x)的图象，通过图象读出即可．本题考查了绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，考查数形结合思想，是一道中档题．。

最新高三（下）4月联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．0076．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．407．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．4810．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣311．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．高三（下）4月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，知C U A={4，6，7，8}，由此能求出（C u A）∩B．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，∴C U A={4，6，7，8}，∴（C u A）∩B={4，6}．故选B．2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故选：B．3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，即可判断出结论；B．利用非命题的定义即可判断出真假；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，即可判断出真假；D．利用否命题的定义即可判断出真假．【解答】解：A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，因此．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要条件，不正确；B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，因此不正确；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，因此不正确；D．“若，则”的否命题是“若，则”，正确．故选：D．4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值．【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，），则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，故选：A．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．007【考点】系统抽样方法．【分析】从第5行第6个数2的数开始向右读，依次为253，313，457，860，736，253，007，其中860，736不符合条件故可得结论．【解答】解：从第5行第6个数2的数开始向右读，第一个数为253，符合条件，第二个数为313，符合条件，第三个数为457，符合条件，以下依次为：860，736，253，007，328，其中860，736不符合条件且253与第一个重复了不能取，这样007是第四数，第五个数应为328．故第五个数为328．．故选：B．6．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．40【考点】数列的求和．【分析】由题意知道，本题是构造新等差数列的问题，经过推导可知{x n}是等差数列，运用等差数列的性质可求解答案．【解答】解：由题意知：∵数列{}为调和数列∴﹣=x n+1﹣x n=d∴{x n}是等差数列又∵x1+x2+…+x20=200=∴x1+x20=20又∵x1+x20=x5+x16∴x5+x16=20故选：B．7．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得=2sinφ，结合（|φ|＜）可得φ的值，由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则可求f（x）的图象的一个对称中心．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（0，），∴=2sinφ，由（|φ|＜），可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则f（x）的图象的一个对称中心是（﹣，0）．故选：B．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求出几何体的体积，再计算原几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π；底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π；所以切削掉部分的体积为54π﹣34π=20πcm3．故选：A．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．10．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，可得四边形OBAC是平行四边形，结合||=||可得四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，可得∠ACB=∠AC0=30°，由投影的定义可得．【解答】解：∵，∴，即，可得四边形OBAC是平行四边形，∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，∴||=||=||=2，∴四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，∴∠ACB=∠AC0=30°，∴向量在方向上的投影为：cos∠ACB=2cos30°=．故选：A11．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】作出图形，则易知|AF2|=a+c，|BF2|=，再由∠BAF2是直线的倾斜角，易得k=tan∠BAF2，然后通过0＜k＜，分子分母同除a2得0＜＜求解．【解答】解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出函数f（x）的导数，函数g（x）的导数．由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则有f（x0）=g（x0），且f′（x0）=g′（x0），解出x0=a，得到b关于a的函数，构造函数，运用导数求出单调区间和极值、最值，即可得到b的最大值．【解答】解：函数f（x）的导数为f'（x）=x+2a，函数g（x）的导数为，由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则，由于x0＞0，a＞0则x0=a，因此构造函数，由h'（t）=2t（1﹣3lnt），当时，h'（t）＞0即h（t）单调递增；当时，h'（t）＜0即h（t）单调递减，则即为实数b的最大值．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式，直接代入进行求解即可．【解答】解：由分段函数可知，f（）=log，f（﹣1）=，故答案为：．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【分析】由∠BAC=90°，AB=AC=2，得到BC，即为A、B、C三点所在圆的直径，取BC的中点M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，则OA可求，再由球的表面积公式即可得到．【解答】解：如图所示：取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，∴OA==，即球的半径R为，∴球O的表面积为S=4πR2=12π．故答案为：12π．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为2．【考点】圆的标准方程．【分析】得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心坐标C（1，2），半径r=．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，∴|PC|的最大值为直径2．故答案为：2．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．【考点】余弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知的第一个等式，得到a+b=4c，代入第二个等式中计算，即可求出c的长，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S，代入已知的等式中，利用完全平方公式变形后，将a+b=4代入化简，即可求出cosC的值．【解答】解：△ABC中，∵sinA+sinB﹣4sinC=0，∴a+b=4c，∵△ABC的周长L=5，∴a+b+c=5，∴c=1，a+b=4．∵面积S=﹣（a2+b2），∴absinC=﹣（a2+b2）=﹣[（a+b）2﹣2ab]=ab，∴sinC=，∵c＜a+b，C是锐角，∴cosC==．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过联立a2=3、a4=7计算可知等差数列{a n}的首项和公差，从而可得其通项公式；通过等比数列{b n}成公比大于1的等比数列可确定b1=1、b2=2、b3=4，进而可求出首项和公比，从而可得通项公式；（Ⅱ）通过（I），利用分组求和法计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为a1、d，∵a2=3，a4=7，∴a1+d=3，a1+3d=7，解得：a1=1，d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∵等比数列{b n}成公比大于1的等比数列且{b1，b2，b3}={1，2，4}，∴b1=1，b2=2，b3=4，∴b1=1，q=2，∴b n=2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）=+=n2+2n﹣1．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？【考点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由图表得到乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．然后利用枚举法得到从这六名学生随机抽取两名的基本事件个数，进一步得到恰有一位学生成绩优秀的事件个数，由古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）直接由公式求出K的值，结合图表得答案．【解答】解：（Ⅰ）乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．从这六名学生随机抽取两名的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}共15个，设事件G表示恰有一位学生成绩优秀，符合要求的事件有：{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}共8个，∴；（Ⅱ）优秀不优秀总计甲班 4 16 20乙班 2 18 20总计 6 34 40．在犯错概率小于0.1的前提下，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系．19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的性质．【分析】（1）证明FB∥平面AED，BC∥平面AED，利用面面平行的判定定理可得结论；（2）连接AC，AC∩BD=O，证明AO⊥面BDEF，即可求出四棱锥A﹣BDEF的体积．【解答】（1）证明：∵ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵BC⊄面ADE，AD⊂面ADE，∴BC∥面ADE…∵BDEF是矩形，∴BF∥DE，∵BF⊄面ADE，DE⊂面ADE，∴BF∥面ADE，∵BC⊂面BCF，BF⊂面BCF，BC∩BF=B，∴面BCF∥面ADE…（2）解：连接AC，AC∩BD=O∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD∵ED⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴ED⊥AC，∵ED，BD⊂面BDEF，ED∩BD=D，∴AO⊥面BDEF，…∴AO为四棱锥A﹣BDEF的高由ABCD是菱形，，则△ABD为等边三角形，由BF=BD=a，则，∵，∴…20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，从而曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则A（1+λ，），B（1+μ，），由此能求出直线AB的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，∴曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，∴曲线C的方程为．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则直线QA、QB的一个方向向量为（1，k），（1，﹣k），则=λ（1，k），=μ（1，﹣k），∴A（1+λ，），B（1+μ，），代入=1，并整理，得，两式相减，得：λ﹣μ=﹣，两式相加，得：λ+μ=﹣，∴直线AB的斜率k AB==．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）法一：令，求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间，从而求出m的最小值即可；法二：分离参数，得到恒成立，令，根据函数的单调性求出函数h（x）的最大值，从而求出m的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ），所以．…令f′（x）=0得x=1；…由f′（x）＞0得0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）．由f′（x）＜0得x＞1，所以f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．…所以函数，无极小值…（Ⅱ）法一：令．所以．…当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数，又因为．所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．…当m＞0时，．令G′（x）=0得，所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．…故函数G（x）的最大值为．令，因为．又因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）＜0．所以整数m的最小值为2．…法二：由F（x）≤mx﹣1恒成立知恒成立…令，则…令φ（x）=2lnx+x，因为，φ（1）=1＞0，则φ（x）为增函数故存在，使φ（x0）=0，即2lnx0+x0=0…当时，h′（x）＞0，h（x）为增函数当x0＜x时，h′（x）＜0，h（x）为减函数…所以，而，所以所以整数m的最小值为2．…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）推导出B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理能证明AD•AB=AE •AC．（2）过点F作FG⊥BC于点G，推导出B，G，F，D四点共圆，F，G，C，E四点共圆，由此利用割线定理能求出BC的长．【解答】证明：（1）由已知∠BDC=∠BEC=90°，所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理知：AD•AB=AE•AC．…解：（2）如图，过点F作FG⊥BC于点G，由已知，∠BDC=90°，又因为FG⊥BC，所以B，G，F，D四点共圆，所以由割线定理知：CG•CB=CF•CD，①…同理，F，G，C，E四点共圆，由割线定理知：BF•BE=BG•BC，②…①+②得：CG•CB+BG•BC=CF•CD+BF•BE，即BC2=CF•CD+BF•BE=3×5+3×5=30，…所以BC=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；（2）由基本不等式，可以解得m2+n2+p2≥mn+mp+np，将条件平方可得（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，代入m2+n2+p2≥mn+mp+np，即可证得要求证得式子．【解答】（1）解：①x≥2时，f（x）=2x﹣4+x+1=3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）=4﹣2x+x+1=5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x ＜2，③x≤﹣1时，f（x）=4﹣2x﹣1﹣x=3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知无解，综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）=2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）=3，∴m+n+p=f（2）=3，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．故证毕．2016年10月19日。

2020年湖南省、湖北省四校高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合P ={x|1<x <3}，Q ={y|2<y <4}，则P ∪Q =( )A. {x|1<x <2}B. {x|2<x <3}C. {x|1<x <4}D. ⌀2. 已知i 是虚数单位，若(a +i)i 3=b +2i(a ∈R,b ∈R)，则a +bi 的共轭复数为( )A. −1−2iB. 1−2iC. −2−iD. 2−i3. 如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)，设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计，取√3≈1.732)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )A. 20B. 27C. 54D. 644. 如图，在平行四边形ABCD 中，M 为CD 中点，若AC⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则μ的值为( )A. 14B. 13C. 12D. 15. 定义在R 上的函数f(x)=(12)|x−m|−1为偶函数，记a =f(log 0.52)，b =f(log 21.5)，c =f(m)，则A. c <a <bB. a <c <bC. a <b <cD. c <b <a6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，某多面体的三视图如图中粗实线所示，则该多面体的各个面中面积最大的面的面积为( )A. 4√2B. 4C. 6√2D. 67. 设双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在C 上，且满足|PF 1|=3a ，若满足条件的点P 只在C 的左支上，则C 的离心率的取值范围是( )A. (1,2]B. (2,+∞)C. (2,4]D. (4,+∞)8. 如图是为了计算S =11×2+13×4+15×6+⋯+119×20的值，则在判断框中应填入( )A. n >19?B. n ≥19?C. n <19?D. n ≤19?9. 已知AABC 的内角A ，B.C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinB−sinAsinC=b−c a+b则角A 的大小是( )A. π6B. π3C. π4D. π210. 已知f(x)=sinωx +√3cosωx(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是( )A. (0,23]B. (0,23]∪[7,263] C. [7,263]∪[503,19]D. (0,23]∪[503,19]11.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点A作与实轴垂直的直线，交两渐近线于M、N两点，F为该双曲线的右焦点，若△FMN的内切圆恰好是x2+y2=a2，则该双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. √62D. 212.三棱锥A−BCD，AB=AC=2DB=2DC=4，且∠BDC=∠ABD=∠ACD=60∘则三棱锥A−BCD外接球的表面积为()A. 9πB. 34π3C. 12π D. 523π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“∃x∈R，x2−x−1=0”的否定是______ ．14.已知凸多面体的面数F，顶点数V和棱数E之间的关系如下表：已知正多面体中面数最多的为正二十面体，它的顶点数为12，则它的棱数为_______．15.设a>0，函数f(x)=x+a2x,g(x)=x−ln x+4,若对任意的x1∈[1,e],存在x2∈[1,e],f(x1)⩾g(x2)成立，则实数a的取值范围为__________．16.外地务工人员小明准备回家乡创业，他从当地银行贷款9万元作为创业基金，并在当地承包了一块300亩的耕地，每年承包费用20万元(此笔费用可在获得收益后再支付)，计划种植甲、乙两个品种的蔬菜．当年种植乙两种蔬菜的成本分别是600元/亩和200元/亩，预计当年种植甲、乙两个品种的蔬菜除去种植成本后分别带来3000元/亩和2000元/亩的收益，则合理分配资源后，当年能带来的最大利润是________万元．(利润=总收益−承包费用)三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1−a n2=32n+1，设b n=2n⋅a n．(Ⅰ)证明：数列{b n}是等差数列，并求数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{a n}的前n项和S n．18.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分线段PC，且分别交AC、PC于D、E两点，PB=BC，PA=AB=1．(1)求证：PC⊥平面BDE；(2)求三棱锥E−BCD的外接球的表面积．19.某学校组织一项益智游戏，要求参加该益智游戏的同学从8道题目中随机抽取3道回答，至少答对2道可以晋级．已知甲同学能答对其中的5道题．(1)设甲同学答对题目的数量为X，求X的分布列及数学期望：(2)求甲同学能晋级的概率．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为12，直线l与椭圆相交于A，B两点，当AB⊥x轴时，△ABF的周长最大值为8．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l过点M(−4,0)，求当△ABF面积最大时直线AB的方程．21.已知函数f(x)=x−alnx−1，曲线y=f(x)在(1,0)处的切线经过点(e,0)．(1)证明：f(x)≥0；(2)若当x∈[1,+∞)时，f(1x )≥(lnx)2p+lnx，求p的取值范围．22. 已知直线l ：{x =2+√22ty =1+√22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．圆O 的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ−π4)． (Ⅰ)求圆心的极坐标；(Ⅱ)设点M 的直角坐标为(2,1)，直线l 与圆O 的交点为A ，B ，求|MA|⋅|MB|的值．23. 已知函数f(x)=|x +1|−m |x −2|,m ∈R ．(1)当m =3时，求不等式f(x)>1的解集；(2)当x ∈[−1,2]时，不等式f(x)<2x +1恒成立，求m 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查集合的并集运算，属于基础题． 利用并集的定义即可求得P ∪Q ． 解：∵P ={x|1<x <3}，，∴P ∪Q ={x|1<x <4}． 故选C ．2.答案：C解析：本题主要考查复数的运算，复数相等及共轭复数的概念，属于基础题． 解：由已知得−ai +1=b +2i ， ∴a =−2，b =1，∴a +bi 的共轭复数为−2−i ． 故选C ．3.答案：B解析：本题主要考查几何概型的概率的应用，属于基础题.求出对应的面积之比是解决本题的关键． 解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为12，√32，则小正方形的边长为√32−12，小正方形的面积S =(√32−12)2=1−√32，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为1−√321×1×200=(1−√32)×200≈(1−0.866)×200=0.134×200=27， 故选B ．4.答案：C解析：∵在平行四边形ABCD 中，M 为CD 中点，，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(12λ+μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ=1,12λ+μ=1，∴μ=12． 5.答案：C解析：解：∵定义在R 上的函数f(x)=(12)|x−m|−1为偶函数， ∴f(x)=f(−x)，即(12)|x−m|−1=(12)|−x−m|−1， 解得：m =0， ∴f(x)=(12)|x|−1，当x ≥0时，f(x)=(12)x −1为减函数，∵a =f(log 0.52)=f(−1)=f(1)，b =f(log 21.5)，c =f(0)， 1>log 21.5>0， 故a <b <c ， 故选：C ．由已知可得m =0，结合指数函数的图象和性质，分析函数的单调性，进而可得答案． 本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，指数函数的图象和性质，难度不大6.答案：A解析：本题考查三视图求几何体的表面积，结合三视图和对应的正方体复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力，属于基础题．复原几何体，根据长方体面积公式计算即可．解：由三视图可知该多面体的直观图如图中正方体内的粗线部分所示，显然面积最大的面的面积为2√2×2=4√2． 故选A ．7.答案：C解析：本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的范围，考查运算能力，属于基础题．由题意可得c−a≤3a<c+a，由离心率公式，即可得到所求范围．解：若P在双曲线的左支上，可得|PF1|≥c−a，若P在双曲线的右支上，根据双曲线的性质可知可得|PF1|≥c+a，因为满足满足条件的点P只在C的左支上，故|PF1|<c+a由题意可得c−a≤3a<c+a，可得2a<c≤4a，由e=ca，可得2<e≤4．故选：C．8.答案：A解析：模拟程序框图的运行过程，得出该题是直到型循环结构，模拟程序的运行，从而得出结论．解：模拟程序框图的运行过程，可得：S=0，n=1a=1×2，S= 11×2 ，n=3不满足判断框内的条件，执行循环体，a= 3×4 ,S= 11×2 +13×4 ,n=5；不满足判断框内的条件，执行循环体，a= 5×6 ,S= 11×2 +13×4+15×6 ,n=7；…观察规律可知，不满足判断框内的条件，执行循环体，a= 1 9×20 ,S=11×2+13×4+15×6+⋯+119×20，n=21；此时，由题意，满足判断框内的条件，退出循环，输出S=11×2+13×4+15×6+⋯+119×20，所以判断框中的条件应是n>19？．故选：A．9.答案：B解析：解：由sinB−sinAsinC =b−ca+b，利用正弦定理可得：b−ac=b−ca+b．∴b2+c2−a2=bc．∴cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12，又∵A∈(0,π)，∴A=π3．故选：B．由sinB−sinAsinC =b−ca+b，利用正弦定理可得：b−ac=b−ca+b.再利用余弦定理即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：B解析：本题主要考查正弦函数的图象与性质，两角和与差的三角函数公式，考查运算求解能力，属于中档题．由两角和的正弦公式，可得，根据正弦函数的图象与性质进行求解即可．解：，因为f(x)在区间上单调递增，所以，所以0<ω≤12，故排除C、D；令ω=8，因为，所以，此时在区间[π6,π4]上单调递增，满足题意，因此排除A ； 故选B ．11.答案：D解析：解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为bx ±ay =0， x =−a 时，可得M(−a,b)，N(−a,−b)，∵F 为该双曲线的右焦点，若△FMN 的内切圆恰好是x 2+y 2=a 2， ∴c a=√b 2+(a+c)2b，∴e 3−3e −2=0， ∴e =2． 故选：D ．求出M ，N 的坐标，利用F 为该双曲线的右焦点，若△FMN 的内切圆恰好是x 2+y 2=a 2，可得ca =√b 2+(a+c)2b，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定a ，c 的关系是关键．12.答案：D解析：本题考查三棱锥的外接球问题，根据条件判断出AD ⊥平面BCD ，则可以把三棱锥A −BCD 补成正三棱柱，则正三棱柱的外接球即为三棱锥A −BCD 的外接球，利用勾股定理求出球的半径R =OD =√(2√33)2+(√3)2=√133，即可得到答案，属于中档题．解：AB =AC =2DB =2DC =4，且，故ΔBCD 是边长为2的正三角形，，所以AD 2+CD 2=AC 2，AD 2+BD 2=AB 2，所以∠ADC =∠ADB =90∘， 故AD ⊥CD,AD ⊥BD ，又CD ∩BD =D ， 所以AD ⊥平面BCD ，把三棱锥A −BCD 补成正三棱柱，如图：则正三棱柱的外接球即为三棱锥A −BCD 的外接球，球心为O ， 设△BCD 的中心为O 1，由正三角形性质知O 1D =√33CD =2√33， 则外接球半径R =OD =√(2√33)2+(√3)2=√133，故表面积．故选D ．13.答案：∀x ∈R ，x 2−x −1≠0解析：解：命题为特称命题，则命题“∃x ∈R ，x 2−x −1=0”的否定是： ∀x ∈R ，x 2−x −1≠0故答案为：∀x ∈R ，x 2−x −1≠0根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论． 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14.答案：30解析：本题考查归纳推理，由凸多面体的面数F 、顶点数V 和棱数E 之间的关系表可得F +V −E =2． 解：从表中可归纳F +V −E =2．所以当F =20，V =12时，E =20+12−2=30， 故答案为30．15.答案：[52,+∞)解析：本题主要考查函数中恒成立问题，利用导数求最值，属于中档题．将不等式恒成立转化为求函数最值，然后求导研究函数单调性研究函数最值即可．解：∵g(x)=x−lnx+4，∴g′(x)=1−1x，x∈[1,e]，g′(x)≥0，函数g(x)在[1,e]上单调递增，此时g(x)的最小值为g(1)=5，∵f(x)=x+a2x ，f′(x)=x2−a2x2，当0<a≤1，f′(x)≥0，f(x)在[1,e]上单调递增，f(x)min=f(1)=1+a2≥5，解得a>2，又0<a≤1，故无解，当1<a<e时，f(x)在[1,a]上单调递减，在(a,e]上单调递增，f(x)min=f(a)=2a≥5，解得a≥52，故52⩽a<e，当a≥e时，f′(x)≤0，f(x)在[1,e]上单调递减，f(x)min=f(e)=e2+a2e≥5恒成立，解得a2≥5e−e2，又a2≥e2，故a≥e，综上，a≥52，故答案为[52,+∞)．16.答案：47.5解析：本题主要考查线性规划的应用问题，根据条件建立约束条件，利用数形结合是解决本题的关键．本题考查线性规划的实际应用．设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为x亩、y亩，利润为z万元，建立目标函数和约束条件，利用线性规划进行求解即可．解：本题考查线性规划的实际应用．设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为x 亩、y 亩，利润为z 万元．根据题意，可列出不等式组{x +y ≤3000.06x +0.02y ≤9x ≥0y ≥0，目标函数为z =0.3x +0.2y −20，不等式组等价于{x +y ≤3003x +yy ≤450x ≥0y ≥0，画出可行域，如图中阴影区域所示．由{x +y =3003x +y =450，解得x =75，y =225，即当目标函数经过点M(75,225)时，z 取得最大值，z max =0.3×75+0.2×225−20=47.5万元．17.答案：解：(Ⅰ)因为b n+1−b n =2n+1a n+1−2n a n =2n+1(a n+1−12a n )=3，所以数列{b n }是公差为3的等差数列，又因为a 1=1，所以b 1=2a 1=2，所以数列{b n }的通项公式是b n =3n −1；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：a n =bn 2n =(3n −1)×(12)n于是：S n =2×(12)1+5×(12)2+⋯+(3n −4)×(12)n−1+(3n −1)×(12)n ，12S n =2×(12)2+5×(12)3+⋯+(3n −4)×(12)n +(3n −1)×(12)n+1 两式相减得：12S n =1−(3n −1)×(12)n+1+3×((12)2+(12)3+⋯+(12)n )=1−(3n −1)×(12)n+1+3×14×(1−(12)n−1)1−12=1−(3n −1)×(12)n+1+3×(12−(12)n ) =52−(3n +5)×(12)n+1，所以：S n =5−(3n +5)×(12)n ．解析：(Ⅰ)由b n+1−b n=2n+1a n+1−2n a n=2n+1(a n+1−12a n)=3，可得数列{b n}是公差为3的等差数列，利用即可得出．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：a n=b n2n =(3n−1)×(12)n，利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的定义通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：(1)证明：∵DE垂直平分线段PC，∴DE⊥PC，PE=CE，又由PB=BC，PE=CE，∴BE⊥PC，又由BE，DE⊂平面BDE，BE∩DE=E，∴PC⊥平面BDE(2)解：∵PC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE∴PC⊥BD，∵PA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴PA⊥BD，又由PA，PC⊂平面PAC，PA∩PC=P，∴BD⊥平面PAC，∵AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC，而BE⊥PC，故三棱锥E−BCD的外接球的球心即线段BC的中点，BC是球的直径，∵BC=√2，∴三棱锥E−BCD的外接球的表面积S=2π．解析：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定定理，球内接多面体，球的体积与表面积，难度中档．(1)由已知可得DE⊥PC，BE⊥PC，由线面垂直的判定定理可得：PC⊥平面BDE；(2)三棱锥E−BCD的外接球的球心即线段BC的中点，BC是球的直径，进而得到答案．19.答案：解：(1)甲同学答对题目的数量X的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=C33C83=156，P(X=1)=C51C32C83=1556，P(X=2)=C52C31C83=1528，P(X=3)=C53C83=528，∴X的分布列为：E(X)=0×156+1×1556+2×1528+3×528=158．(2)甲同学能晋级的概率为：P=P(X=2)+P(X=3)=1528+528=57．解析：解析：本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查超几何分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)甲同学答对题目的数量X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E(X)．(2)甲同学能晋级的概率为P=P(X=2)+P(X=3)，由此能求出结果．20.答案：解：(1)设椭圆的右焦点为F′，由椭圆的定义，得|AF|+|AF′|=|BF|+|BF′|=2a，而△ABF的周长为|AF|+|BF|+|AB|≤|AF|+|BF|+|AF′|+|BF′|=4a，当且仅当AB过点F′时，等号成立，所以4a=8，即a=2，又离心率为12，所以c=1,b=√3，所以椭圆的方程为x24+y23=1．(2)设直线AB的方程为x=my−4，与椭圆方程联立得(3m2+4)y2−24my+36=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则△=576m 2−4×36(3m 2+4)=144(m 2−4)>0， 且y 1+y 2=24m 3m 2+4，y 1y 2=363m 2+4， |AB|=√1+m 2|y 1−y 2|， 点F 到直线AB 的距离d =√1+m 2， 所以S △ABF =12|AB|·d ， 即 S △ABF =12⋅3|y 1−y 2|=18√m2−43m 2+4②，令t =√m 2−4(t >0)，则②式可化为S △ABF =18t 3t 2+16=183t+16t≤2√3t⋅t=3√34，当且仅当3t =16t，即m =±2√213时，等号成立， 所以直线AB 的方程为x =2√213y −4或x =−2√213y −4．解析：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、直线、椭圆性质的合理运用，属于中档题．(1)设椭圆的右焦点为F′，由椭圆的定义，得a =2，又离心率为12，从而c =1,b =√3，由此能求出椭圆的方程．(2)设直线AB 的方程为x =my −4，与椭圆方程联立得(3m 2+4)y 2−24my +36=0.由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出直线AB 的方程．21.答案：解：(1)证明：函数f(x)=x −alnx −1的导数为f′(x)=1−ax ，曲线y =f(x)在(1,0)处的切线为y =f′(1)(x −1)， 即y =(1−a)(x −1)由题意得0=(1−a)(e −1)，解得a =1， 所以f(x)=x −lnx −1， 从而f′(x)=1−1x =x−1x，因为当x ∈(0,1)时，f′(x)<0，当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0．所以f(x)在区间(0,1)上是减函数，区间(1,+∞)上是增函数，从而f(x)≥f(1)=0；(2)由题意知，当x∈[1,+∞)时，p+lnx≠0，所以p>0，从而当x∈[1,+∞)时，p+lnx>0，由题意知1x +lnx−1≥(lnx)2p+lnx，即[(p−1)x+1]lnx−px+p≥0，其中x∈[1,+∞)，设g(x)=[(p−1)x+1]lnx−px+p，其中x∈[1,+∞)设ℎ(x)=g′(x)，即，其中x∈[1,+∞)则ℎ′(x)=(p−1)x−1x2，其中x∈[1,+∞)，①当p≥2时，因为x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)是增函数；从而当x∈(1,+∞)时，ℎ(x)>ℎ(1)=0，所以g(x)是增函数，从而g(x)≥g(1)=0．故当p≥2时符合题意；②当1<p<2时，因为x∈(1,1p−1)时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)在区间(1,1p−1)上是减函数，从而当x∈(1,1p−1)时，ℎ(x)<ℎ(1)=0，所以g(x)在(1,1p−1)上是减函数，从而g(1p−1)<g(1)=0，故当1<p<2时不符合题意．③当0<p≤1时，因为x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)是减函数，从而当x∈(1,+∞)时，ℎ(x)<ℎ(1)=0，所以g(x)是减函数，从而g(2)<g(1)=0，故当0<p≤1时不符合题意．综上p的取值范围是[2,+∞)．解析：本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数单调性、极值，考查分类讨论思想方法和构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于较难题．(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和方程，代入已知点可得a，求得单调区间，可得f(x)的最值，即可得证；(2)由题意可得p >0，化简原不等式，设g(x)=[(p −1)x +1]lnx −px +p ，其中x ∈[1,+∞)，求得导数，讨论p 的范围，判断单调性，即可得到所求范围．22.答案：解：(I)圆O 的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ−π4)．由题意可知圆的直角坐标系方程为x 2+y 2=2x +2y ， 整理得：(x −1)2+(y −1)2=2， 圆心坐标为(1,1)，所以圆心的极坐标为(√2,π4)；(II)因为圆的直角坐标系方程为x 2+y 2=2x +2y ，直线方程为{x =2+√22ty =1+√22t，(t 为参数)t 1和t 2为A 和B 对应的参数，带入圆的方程并整理得：t 2+√2t −1=0， 所以|MA|·|MB|=|t 1·t 2|=1．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，直线和圆的位置关系式的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用(Ⅰ)结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．23.答案：解：(1)当m =3时，f(x)=|x +1|−3|x −2|，由f(x)>1，得{x <−12x −7>1或{−1≤x ≤24x −5>1或{x >2−2x +7>1， 解得：32<x ≤2或2<x <3， 故不等式的解集是(32,3)；(2)当x ∈[−1,2]时，f(x)=x +1−m(2−x)， f(x)<2x +1恒成立，即x +1−m(2−x)<2x +1恒成立， 整理得：(2−x)m >−x ， 当x =2时，0>−2成立，当x∈[−1,2]时，m>−x2−x =1−22−x，令g(x)=1−22−x，∵−1≤x<2，∴0<2−x≤3，∴12−x ≥13，∴1−22−x ≤13，故g(x)max=13，故m>13．解析：本题考查了解绝对值不等式的解法和恒成立问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题．(1)代入m的值，得到关于x的不等式组，解出即可；(2)问题转化为x+1−m(2−x)<2x+1恒成立，当x∈[−1,2]时，m>−x2−x =1−22−x，令g(x)=1−22−x，求出g(x)的最大值，求出m的范围即可．。

2020年湖南省长沙市长、望、浏、宁四县（区、市）高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数其中i为虚数单位，则A. B. C. D.2.已知集合，，，则A.B.C.D.3.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为A. B. C. D.4.的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积等于A. B. C. D.5.已知直线m，n和平面，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.函数的图象如图所示，A为图象与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，则A.B.C. 4D. 87.阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是A. B. C. D.8.函数的部分图象如图所示，则A.B.C.D.9.已知，，定义在R上的函数满足，为的导函数，已知函数的图象如图所示．若取两数a，b，则满足的概率为A. B. C. D.10.已知双曲线C：的两条渐近线均与圆相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C的离心率为A. B. C. D.11.已知函数有两个不同零点，且有一个零点恰为的极小值点，则c的值为A. 0B.C.D. 或12.已知抛物线C：的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线，且与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知非零向量、满足，，且，则与的夹角为______．14.若，则______．15.已知数列的前n项和为，，当时，，则的值为______16.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少”已知1丈为10尺该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为______立方尺．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列满足，且时，，，成等差数列．求证：数列为等比数列；求数列的前n项和．18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面平面．证明：平面平面；若，Q为线段的中点，求三棱锥的体积．19.改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强．为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查．随机抽取男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示．规定得分在80分以上为交通安全意识强．Ⅰ求a的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；Ⅱ已知交通安全意识强的样本中男女比例为4：1，完成下列列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；Ⅲ用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人，再从6人中随机选取2人，对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查，求至少有1人得分低于40分的概率．安全意识强安全意识不强合计男性女性合计附：，其中．k20.已知椭圆C：的两个焦点分别为，，以椭圆短轴为直径的圆经过点．求椭圆C的方程；过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点，记直线AN，BN的斜率分别为，，问：是否为定值？并证明你的结论．21.设函数，．讨论的单调性；若在处的切线与也相切，设函数的最小值为m，证明：．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为．求曲线C的直角坐标方程；设曲线C与直线l交于点M，N，点A的坐标为，求．23.已知函数．Ⅰ解不等式；Ⅱ对及，不等式恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查了复数的运算法则和复数的模，属于基础题．根据复数的运算法则和复数的模计算即可．【解答】解：，则，故选：B．2.答案：B解析：解：0，1，；；．故选：B．可求出集合A，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法、列举法、区间表示集合的定义，交集和补集的运算．3.答案：A解析：解：设点A关于直线的对称点，的中点为，故解得，要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为，故选：A．先求出点A关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短．本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．4.答案：A解析：解：，，，由正弦定理，可得，由余弦定理，可得，可得，解得，或舍去，．故选：A．由已知利用正弦定理可求b的值，由余弦定理进而可求，解方程可得a的值，根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和方程思想，属于基础题．5.答案：D解析：解：直线m，n和平面，，则“”与“”相互推不出．“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D．根据线面平行的判定与性质定理可得：直线m，n和平面，，则“”与“”相互推不出．即可判断出关系．本题考查了线面平行的判定与性质定理、简易逻辑判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：D解析：解：由题意可知B、C两点的中点为点，设，，则，，，，，，故选D．先确定点再射出点，，由题意可知点A为B、C两点的中点，故，将点B、C代入即可得到答案．本题主要考查平面向量的数量积运算．属基础题．7.答案：B解析：解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值．又输出的函数值在区间内，故选：B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值．根据函数的解析式，结合输出的函数值在区间内，即可得到答案．本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键．8.答案：A解析：解：根据函数的部分图象，得：，又，可得：，可得：，可得：．故选：A．根据函数的部分图象，求出周期T与的值，写出的解析式，从而求出的值．本题考查了函数的图象与性质的应用问题，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．9.答案：C解析：解：由图可知，当时，导函数，函数单调递增，两非负数a，b满足，又由，即，即，又由，，点的区域为图中阴影部分，不包括边界，则对应的概率故选：C．根据函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化，结合二元一次不等式组表示平面区域求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．本题主要考查几何概型的计算，结合函数单调性和导数之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．10.答案：C解析：【分析】此题重点考查了直线与圆相切的等价条件，还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程的思想进行解题．由题意圆C：把它变成圆的标准方程知其圆心为，利用双曲线的右焦点为圆C的圆心及双曲线的标准方程建立a，b的方程．再利用双曲线C：的两条渐近线均和圆C：相切，建立另一个a，b的方程．求出a，b，然后求解离心率．【解答】解：因为圆C：，由此知道圆心，圆的半径为2，又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心而双曲线C：，又双曲线C：的两条渐近线均和圆C：相切，而双曲线的渐近线方程为：，连接得，可得，所以双曲线的离心率为：．故选：C．11.答案：C解析：解：，，由，得或，在，上单调递增，由，得，在上单调递减．即当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值．要使函数有两个不同零点，则满足极大值等于0或极小值等于0，有一个零点恰为的极小值点，必有，解得．故选：C．利用导数求出函数的极大值和极小值，要使函数有两个不同零点，则满足极大值等于0或极小值等于根据有一个零点恰为的极小值点，得的极小值为0，解方程即可求得c值．本题主要考查三次函数的图象和性质，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键，属于中档题．12.答案：A解析：解：设，，抛物线C：的焦点为又A，B同在一个以F为圆心的圆上，直线l的斜率直线，直线的斜率为k，设点，，，，，直线AD的斜率为，直线AD的方程为，整理可得，故直线AD经过的定点的坐标是，故选：A．设，，根据A，B同在一个以F为圆心的圆上，可得，再根据直线的斜率公式可得直线与直线和平行，以及导数的几何意义可得，求出直线AD的方程，即可求出直线AD经过的定点的坐标．本题考查了直线和抛物线的位置关系，导数的几何意义，直线过定点问题，直线与直线的位置关系，属于难题．13.答案：解析：解：，，且，所以，所以，所以；又，所以；即与的夹角为．故答案为：．利用平面向量的数量积，求向量的夹角即可．本题考查了利用平面向量的数量积计算夹角的问题，是基础题．14.答案：解析：解：，，可得，又，，或，．故答案为：．由已知利用两角和的正弦函数公式可求，根据同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据二倍角的正弦函数公式即可求解．本题主要考查了两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15.答案：1011解析：解：因为数列的前n项和为，，当时，，；；可得：；即的奇数项以及偶数项均是公差为1的等差数列；又，且为奇数项的第1011项．．故答案为：1011．先根据递关系得到；进而求出的规律，即可求出结论．本题主要考查数列递推关系式的应用，解题的关键在于求出的规律，属于中档题目．16.答案：10000解析：解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为：所以该几何体由三部分组成，由两个四棱锥体和三棱柱体组成．故：立方丈，故10立方丈立方尺．故答案为：10000．首先把三视图转换为几何体，进一步利用分割法的应用求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，割补法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．17.答案：证明：由题意，当时，，，成等差数列，则，即，，又，数列是以1为首项，2为公比的等比数列．解：由，知，即，．．解析：本题第题利用等差中项的知识列出算式，然后整理算式，对算式进行变形可发现数列为等比数列；第题先根据第题的结论得出数列的通项公式，然后根据通项公式的特点分组求和即可得到前n项和．本题主要考查等差数列和等比数列的性质应用，以及分组求和方法的应用．本题属中档题．18.答案：Ⅰ证明：取PD的中点O，连接AO，为等边三角形，，平面PAD，平面平面，平面平面PCD，平面PCD，平面PCD，，底面ABCD为正方形，，，平面PAD，又平面ABCD，平面平面ABCD；Ⅱ解：由Ⅰ知，平面PCD，到平面PCD的距离．底面ABCD为正方形，，又平面PCD，平面PCD，平面PCD，，B两点到平面PCD的距离相等，均为d，又Q为线段PB的中点，到平面PCD的距离．由Ⅰ知，平面PAD，平面PAD，，．解析：Ⅰ取PD的中点O，连接AO，由已知可得，再由面面垂直的判定可得平面PCD，得到，由底面ABCD为正方形，得，由线面垂直的判定可得平面PAD，则平面平面ABCD；Ⅱ由Ⅰ知，平面PCD，求出A到平面PCD的距离，进一步求得Q到平面PCD的距离，再由Ⅰ知，平面PAD，得，然后利用棱锥体积公式求解．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.答案：解：Ⅰ根据频率和为1，得，解得；计算得分在80分以上的频率为，所以估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率为；Ⅱ根据题意知，安全意识强的人数有，其中男性为人，女性为4人，填写列联表如下；安全意识强安全意识不强合计男性163450女性44650合计2080100计算，所以有超过的把握认为“交通安全意识与性别有关”；Ⅲ用分层抽样法从得分在50分以下的样本中抽取6人，其中内有2人，记为A、B，内有4人，分别记为c、d、e、f；从这6人中随机选取2人，基本事件为：AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种不同取法；则至少有1人得分低于40分的基本事件为AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf共9种不同取法；故所求的概率为．解析：Ⅰ根据频率和为1列方程求得a的值，计算得分在80分以上的频率即可；Ⅱ根据题意填写列联表，计算，对照临界值得出结论；Ⅲ用分层抽样法求得抽取各分数段人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了独立性检验应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是中档题．20.答案：解：椭圆C：的两个焦点分别为，，以椭圆短轴为直径的圆经过点，，解得，，椭圆C的方程为．是定值．证明如下：设过M的直线：或者时，代入椭圆，，令，，，，．代入椭圆，设，则，，，，，，．解析：由椭圆的两个焦点分别为，，以椭圆短轴为直径的圆经过点，列出方程组，能求出椭圆C的方程．设过M的直线：或者，时，代入椭圆，能求出；把代入椭圆，得，由此利用韦达定理能求出．本题考查椭圆方程的求法，考查两直线斜率之和是否为定值的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．21.答案：解：，，，时，，函数在上单调递增，时，时，，函数单调递减，，，函数单调递增，，，，故曲线在处的切线方程即，设与的切点，则，，要证，只要证，先证，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以即，当时取等号同理可证当且仅当时取等号，所以，不能同时取等号，故即．解析：先对函数求导，结合导数与单调性的关系即可求解；根据导数的几何意义可求a，然后结合导数可进行证明．本题主要考查了导数在单调性中的应用及几何意义的应用，还考查了利用导数证明不等式，属于综合性试题．22.答案：解：曲线C的方程，，，即曲线C的直角坐标方程为：．把直线代入曲线C得，整理得，．，设，为方程的两个实数根，则，，，为异号，又点在直线l上，．解析：由曲线C的方程的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．把直线代入曲线C得由此能求出．本题考查曲线的直角坐标方程、两线段和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.答案：解：Ⅰ当时，由，解得；当时，不成立；当时，由，解得．所以不等式的解集为．Ⅱ，，，对于，恒成立等价于：对，，即，．解析：Ⅰ根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．Ⅱ利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。

2020届全国大联考高三第四次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|340A x x x =--<，{}|23xB y y ==+，则A B =U （ ） A ．[3,4) B ．(1,)-+∞C ．(3,4)D ．(3,)+∞【答案】B【解析】分别求解集合,A B 再求并集即可. 【详解】因为{}2|340{|14}A x x x x x =--<=-<<,{}|23xB y y ==+{|3}y y =>,所以(1,)A B =-+∞U . 故选：B 【点睛】本题考查集合的运算与二次不等式的求解以及指数函数的值域等.属于基础题. 2．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为则m =（ ）A ．1B ．2C D ．3【答案】A【解析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可. 【详解】圆222230x x y y ++--=的标准方程22(1)(1)5x y ++-=,圆心坐标为(1,1)-,半径因为直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为所以直线20x y m ++=过圆心,得2(1)10m ⨯-++=,即1m =. 故选：A 【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题. 3．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ） 3344【答案】C【解析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.4．已知三棱柱的高为4，底面是边长为2的等边三角形，则该三棱柱的体积为（ ）A ．B ．C ．4D ．6【答案】B【解析】根据柱体的体积公式求解即可. 【详解】三棱柱底面的面积为224S =⨯=故体积为V Sh ==故选：B 【点睛】本题考查棱柱的体积公式.属于基础题. 5．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据诱导公式化简sin cos 2y y π⎛⎫+= ⎪⎝⎭再分析即可. 【详解】因为cos sin cos 2x y y π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,所以q 成立可以推出p 成立,但p 成立得不到q 成立,例如5coscos33ππ=,而533ππ≠,所以p 是q 的必要而不充分条件. 故选：B本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.6．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒ B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】D【解析】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.7．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2k B ．4kC ．4D ．2【答案】D【解析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题. 8．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增 B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减【解析】先用诱导公式得()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据函数图像平移的方法求解即可. 【详解】函数()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移3π个单位得到,如图所示,()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增.故选：C 【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.9．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF I 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变【答案】C【解析】根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可. 【详解】因为11A P AQ m ==,所以11//PQB D ,因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点,所以//EF BD ,所以//PQ EF ,因为面MEF I 面MPQ l =,所以PQ EF l ////.选项A 、D 显然成立； 因为BD EF l ////,BD ⊥平面ACC A ,所以l ⊥平面ACC A ,因为MC ⊂平面11ACC A ,所以l MC ⊥,所以B 项成立；易知1AC ⊥平面MEF ,1A C ⊥平面MPQ ,而直线1AC 与1A C 不垂直,所以C 项不成立. 故选：C 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.10．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN V 的面积为（ ）A ．B ．C ．D 【答案】A【解析】根据||1OF =可知24y x =,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意可知抛物线方程为24y x =,设点()11,M x y 点()22,N x y ,则由抛物线定义知,12|||||2MN MF NF x x =+=++,||8MN =则126x x +=.由24y x =得2114y x =,2224y x =则221224y y +=.又MN 为过焦点的弦,所以124y y =-,则21y y -==所以211||2OMN S OF y y =⋅-=V 故选：A【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.11．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC V 的面积为1)，则b c +=（ ） A ．5 B ．C ．4D ．16【答案】C【解析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得【详解】ABC V 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈, ∴4A π=.∵1sin 1)24ABC S bc A ===-V , ∴bc=6(2-,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.12．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎦B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎦ D．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【详解】因为过点M 椭圆的切线方程为00221x x y ya b+=,所以切线的斜率为2020b x a y -,由20020021b y b x x a y +⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,解得3022by b c =<,即222b c <,所以2222a c c -<,所以3c a >. 故选：D 【点睛】二、填空题13．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线斜率分别为1k ，2k ，若123k k =-，则该双曲线的离心率为________. 【答案】2【解析】由题得21223b k k a=-=-,再根据2221b e a =-求解即可.【详解】双曲线22221x y a b-=的两条渐近线为b y x a =±,可令1k b a =-,2k b a =,则21223b k k a =-=-,所以22213b e a=-=,解得2e =.故答案为：2. 【点睛】本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.14．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，E 、F 分别为CD 、AB 的中点，则异面直线1B F 与1D E 所成的角为________.【答案】60︒【解析】连接1A F 、EF ,可得11A FB ∠即为异面直线1B F 与1D E 所成的角.再根据三角形中的关系分析即可. 【详解】连接1A F 、EF ,则易证四边形11A D EF 为平行四边形,所以11D E A F ∥,所以11A FB ∠即为异面直线1B F 与1D E 所成的角.因为2AB =,13AA =所以可求得112A F B F AB ===,所以11A FB V 为等边三角形,则1160A FB ︒∠=.故答案为：60︒ 【点睛】本题考查异面直线所成的角.需要根据题意构造三角形进行求解.属于基础题. 15．已知在等差数列{}n a 中，717a =，13515a a a ++=，前n 项和为n S ，则6S =________.【答案】39【解析】设等差数列公差为d ,首项为1a ,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得6S 即可.【详解】设等差数列公差为d ,首项为1a ,根据题意可得711116172415a a d a a d a d =+=⎧⎨++++=⎩,解得113a d =-⎧⎨=⎩,所以6116653392S =-⨯+⨯⨯⨯=. 故答案为：39 【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前n 项和的公式,属于基础题.16．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点和椭圆22143x y +=的右焦点重合，直线过抛物线的焦点F 与抛物线交于P 、Q 两点和椭圆交于A 、B 两点，M 为抛物线准线上一动点，满足||||8PF MF +=，3MFP π∠=，则直线AB 的方程为________.【答案】3(1)y x =-【解析】根据||||8PF MF +=,3MFP π∠=可得MFP V 为正三角形且边长为4,进而求得直线AB 的倾斜角,再求解方程.由椭圆22143x y +=,可知1c =,12p =,2p =,∴24y x =,在MFP V 中,3MFP π∠=,PF PM =,故MFP V 为正三角形.又||||8PF MF +=,故||||4PF MF ==13||||sin ||||43234MFP S PF MF PF MF π=⋅=⋅=V ∵||4MF =,12F F =,∴16FMF π∠=,13MFF π∠=,∴直线AB 的倾斜角为3π,将直线方程3(1)y x =-. 故答案为：3(1)y x =- 【点睛】本题考查抛物线与椭圆综合运用,同时也考查直线方程的倾斜角与斜率点斜式等.属于中档题.三、解答题17．在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1*2n a n b n N +=∈.（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式； （2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）1n a n =-，2nn b =（2）2(2)2n n S n =+-⨯【解析】(1)根据10a =与32a =可求得12b =,3328b ==再根据等比数列的基本量求解即可.(2)由(1)可得1(1)2n n c n -=-⨯,再利用错位相减求和即可.【详解】（1）依题意12b =,3328b ==,设数列{}n b 的公比为q ,由120n a n b +=>,可知0q >,由223128b b q q =⋅=⨯=,得24q =,又0q >,则2q =, 故111222n n nn b b q --==⨯=,又由122n a n +=,得1n a n =-.（2）依题意1(1)2n n c n -=-⨯.01221021222(2)2(1)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,①则12312021222(2)2(1)2n nn S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,②①-②得12122222(1)2(1)212nn nn n S n n ---=+++--⨯=--⨯-…,即2(2)2n n S n -=-+-⨯,故2(2)2nn S n =+-⨯.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题. 18．如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，1SD =，5cos ASD ∠=，底面ABCD 是边长为2的菱形，点E ，F 分别为棱DC ，BC 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点.求证：（1）直线SA P 平面EFG ； （2）直线AC ⊥平面SDB . 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1) 连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,再证明SA GH ∥即可. (2)证明AC BD ⊥与SD AC ⊥即可. 【详解】（1）连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,所以O 为AC 的中点,H 为OC中SA GH ∥,SA ⊄平面EFG ,GH ⊂平面EFG ,所以直线SA P 平面EFG .（2）在ASD V 中,1SD =,2AD =,5cos 5ASD ∠=,由余弦定理得,222AD SA SD =+-2cos SA SD ASD ⋅∠,即222521215SA SA =+-⨯⨯,解得5SA =由勾股定理逆定理可知SD DA ⊥,因为侧面SAD ⊥底面ABCD ,由面面垂直的性质定理可知SD ⊥平面ABCD ,所以SD AC ⊥,因为底面ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥,因为SD BD D =I ,所以AC ⊥平面SDB .【点睛】本题考查线面平行与垂直的证明.需要根据题意利用等比例以及余弦定理勾股定理等证明.属于中档题.19．设抛物线2:2(0)C y px p =>过点(,2)(0)m m m >.（1）求抛物线C 的方程；（2）F 是抛物线C 的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，若2BF FA =u u u r u u u r ，求||AB 的值.【答案】（1）24y x =（2）92【解析】(1)代入(,2)m m 计算即可.(2) 设直线AB 的方程为(1)y k x =-,再联立直线与抛物线的方程,消去x 可得y 的一元二次方程,再根据韦达定理与2BF FA =u u u r u u u r求解k ,进而利用弦长公式求解即可.【详解】解：（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>过点(,2m m ,所以42m pm =,所以2p =,抛物线的方程为24y x =（2）由题意知直线AB 的斜率存在,可设直线AB 的方程为(1)y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y .因为2BF FA =u u u r u u u r ,所以212y y =-,联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩,化简得2440y y k --=,所以124y y k+=,124y y =-,所以14y k =-,212y =,解得22k =±,所以()212122199||141882AB y y y y k =++-=⨯=. 【点睛】 本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.20．已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，在四边形ABCD 中，DA AB ⊥，AD BC ∥，22AB AD BC ===，E 为PB 的中点，连接DE ，F 为DE 的中点，连接AF .（1）求证：⊥AF PB ；（2）求点D 到平面AEC 的距离.【答案】（1）见解析（2）26 【解析】(1) 连接AE ,证明PB AD ⊥与AE PB ⊥,进而证得PB ⊥面ADE 即可证明⊥AF PB .(2)利用等体积法D AEC E ACD V V --=求解即可.【详解】解：（1）连接AE ,在四边形ABCD 中,DA AB ⊥,PA ⊥平面ABCD ,AB Ì面ABCD ,∴AD PA ⊥,PA AB A =I ,∴AD ⊥面PAB ,又∵PB ⊂面PAB ,∴PB AD ⊥,又∵在直角三角形PAB 中,PA AB =,E 为PB 的中点,∴AE PB ⊥,AD AE A ⋂=, ∴PB ⊥面ADE ,AF ⊂面ADE ,∴⊥AF PB .（2）由22PA AB AD BC ====,∴12AE PB ==AC =EC =,∴222AE EC AC +=,∴12AEC S ==V 设点D 到平面AEC 的距离为d ,∵D AEC E ACD V V --=,∴111122332d =⨯⨯⨯⨯,∴d =【点睛】本题主要考查了证明线面垂直与线线垂直的方法,同时也考查了等体积法求点到面的距离问题,属于中档题.21．已知椭圆22:22:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，离心率12e =过点1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的线段长为3.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l 过椭圆E 的右焦点2F ，且与x 轴不重合，交椭圆E 于M ，N 两点，求||MN 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）[3,4) 【解析】(1)代入x c =-求解椭圆E 上的点的坐标,再根据线段长为3以及12e =求解即可.(2)分析直线l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,联立直线与椭圆的方程,再根据弦长公式与斜率的范围求解即可.【详解】（1）由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=,即2b y a =±,由题意知223b a=,即223a b =,又12c e a ==,所以2a =,b =所以椭圆E 的方程为22143x y +=. （2）当直线l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,()11,M x y ,()22,N x y . 由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +-+-=,则2122843k x x k +=+, 212241243k x x k -=+,所以()212221213||34343k MN x k k +=-==+++, 所以||(3,4)MN ∈.当直线l 与x 轴垂直时,||3MN =.综上所述,||MN 的取值范围为[3,4).【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求解以及弦长公式的运用等,属于中档题.22．已知函数21()4ln 2f x x x =-+. （1）求()f x 的单调区间；（2）讨论()1()2f x g x b x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭零点的个数. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)求导后分析导函数的正负再判断单调性即可. (2) 4ln ()x g x bx x -=+,()g x 有零点等价于方程4ln 0x bx x-+=实数根,再换元将原方程转化为2ln t b t =,再求导分析2ln ()t h t t =的图像数形结合求解即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞,244()x f x x x x-'=-+=,当02x <<时,()0f x '<,所以()y f x =在(0,2)单调递减；当2x >时,()0f x '>,所以()y f x =在(2,)+∞单调递增,所以()y f x =的减区间为(0,2),增区间为(2,)+∞.（2）4ln ()x g x bx x -=+,()g x 有零点等价于方程4ln 0x bx x-+=实数根,令2(0)x t t =>则原方程转化为2ln t b t =,令2ln ()t h t t =,22(1ln )()t h t t -'=.令()0h t '=,t e =,∴(0,)t e ∈,()0h t '>,(,)t e ∈+∞,()0h t '<,max 2()()h t h e e ==,当1t e=时,()20h t e =-<,当t e >时,()0h t >. 如图可知①当0b ≤时,()h t 有唯一零点,即g(x)有唯一零点；②当20b e <<时,()h t 有两个零点,即g(x)有两个零点； ③当2e b =时,()h t 有唯一零点,即g(x)有唯一零点； ④2b e>时,()h t 此时无零点,即g(x)此时无零点. 【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性的方法,同时也考查了利用导数分析函数零点的问题,属于中档题.。

湖南省2020届高三六校联考试题数学（文科）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.时量120分钟，满分150分.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,4,5B =，C A B =I ，则C 的子集共有（ ） A. 2个B. 3个C. 8个D. 4个2. 设复数z 满足246z z i -=+（z 是z 的共轭复数，i 是虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限3. 下面四个条件中，使m n >成立的充分而不必要的条件是（ ） A. 33m n >B. 2m n >+C. 22m n >D. 2m n >-4. 设3log 2a =，9log 3b =，2log 3c =，则（ ） A. a c b >>B. c b a >>C. c a b >>D. b c a >>5. 双曲线()222x ny n n R -=∈的右焦点到一条渐近线的距离为（ ）A.B. 1C. 2D. 与n 的值有关6. “珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”（[注]六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（ ）A. 3.4升B. 2.4升C. 2.3升D. 3.6升7. 函数2sin y x x π=-的大致图象是（ ）A. B. C. D.8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 5π+B. 23π+C.43π D. 43π+9. 已知实数x ，y 满足约束条件2000x y x y x t +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩，若2z x y =-的最大值为8，则z 的最小值为（ ） A. -6B. 6C. 3D. -410. 已知等边ABC △的边长为2，BD xBA =u u u r u u u r ，CE yCA =u u u r u u u r，0x >，0y >，且1x y +=，则CD BE ⋅u u u r u u u r的最大值为（ ）A.34B. 32-C. 98-D. -211. 函数()()()2261cos 22xf x x x x x R π=+-++∈的零点个数为（ ）A. 8B. 9C. 6D. 412. 在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是正方体的表面11DCC D （包括边界）上的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -体积的最大值是（ ） A. 123B. 36C. 24D. 183第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”.已知过去10日，A 、B 、C 三地新增疑似病例数据信息如下：A 地：总体平均数为3，中位数为4；B 地：总体平均数为2，总体方差为3；C 地：总体平均数为1，总体方差大于0；则A 、B 、C 三地中，一定没有发生大规模群体感染的是 地. 14. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是158，则正整数a =______.15. 过抛物线C ：22x y =的焦点F 的直线l 交C 于两点A 、B ，点A 处的切线与x 、y 轴分别交于两点P 、Q ，若POQ △（O 为坐标原点）的面积为1，则AF =______. 16. 已知ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若4a b +=，且()()222sinsin sin cos cos sin sin A B C a B b A c A B +-⋅+=，则边c 的取值范围为______.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题，共60分.17. 2020年春季受新冠肺炎疫情的影响，利用网络软件办公与学习成为了一种新的生活方式，网上办公软件的开发与使用成为了一个热门话题.为了解“钉钉”软件的使用情况，“钉钉”公司借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“钉钉”软件的使用情况与年龄有关？（2）现从所抽取的35岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用“钉钉”软件的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：18. 已知数列{}n a 前几项和为n S ，12a =，()1312n n n S S n a n +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭. （1）若nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式； （2）若1n n c a n =++，求数列{}n c 的前n 项和n T .19. 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，PD 与平面ABCD 所成的角为45︒，点M 为PC 的中点.（1）求证：平面PAC ⊥平面BDM ； （2）求二面角C MD B --的正切值.20. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过左焦点1F 的最短弦长为3，离心率为12（1）求椭圆的标准方程；（2）过()2,0C 的直线与y 轴正半轴交于点S ，与椭圆交于点H ，1HF x ⊥轴，过S 的另一直线与椭圆交于M 、N 两点，若16SMH SNC S S =△△，求直线MN 的方程. 21. 已知函数()22x t f x e x x =-+（t R ∈，e 为自然对数的底数），且()f x 在点()()1,1f 处的切线的斜率为e ，函数()()21,2g x x ax b a R b R =++∈∈.（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若()()f x g x ≥，求()12b a +的最大值.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的一题计分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()27cos224ρθ⋅-=，直线l 过点()1,0P 倾斜角为α.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并写出直线l 的参数方程； （2）当34πα=时，直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求11PA PB +.23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()6f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的最小值为m ，若,,a b c R +∈，且234a b c m ++=，求证：1113234a b c++≥.湖南省2020届高三六校联考试题数学（文科）参考答案一、选择题 1-5：DCBCB6-10：ACBDB11-12：AA10. B 已知等边ABC △的边长为2，以线段AB 的中点为原点，线段AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则()1,0A -，()1,0B，(C ，由BD xBA =u u u r u u u r ，CE yCA =u u u r u u u r，得()12,0D x -，()E y -，且1x y +=，则221332222222CD BE y y y ⎛⎫⋅=-+-=---≤- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，最大值为32-.11. A 依题意1x =-显然不是函数的零点，所以1x ≠-时，由226(1)cos202xx x x π+-++=，得16cos121xx x π=+++，在同一坐标系内做出两个函数6cos 2xy π=和111y x x =+++的图象，知两函数有8个交点，所以原函数的零点个数为8.12. A 因为AD ⊥平面11D DCC ，则AD DP ⊥，同理BC ⊥平面11D DCC ，则BC CP ⊥，APD MPC ∠=∠，所以PAD PMC :△△，∵2AD MC =，∴2PD PC =，下面研究点P在面11D DCC 内的轨迹，在平面直角坐标系内，设()0,0D ，()6,0C ，()16,6C ，设(),P x y ，因为2PD PC =，=，化简得()22816x y -+=，该圆与1CC 的交点的纵坐标最大，交点坐标为(，三棱锥P BCD -的底面BCD 的面积为18， 要使三棱锥P BCD -的体积最大，只需高最大，当P 在1CC上时CP =所以最大体积为1183V =⨯⨯=二、填空题13. B 14. 7 15.5216. [)2,4 15. 52设2,(0)2t A t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由抛物线C ：22x y =得22x y =，'y x =，则点A 处的切线方程为2()2t y t x t -=-，与x 、y 轴分别交于两点,02t P ⎛⎫⎪⎝⎭、20,2t Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若POQ △的面积为1，则211222t t -=，∴2t =，则15222AF =+=. 16. [)2,4ABC △中，由正弦定理得()222(cos cos )a b c a B b A abc +-⋅+=， 由余弦定理可得：2cos (cos cos )ab C a B b A abc ⋅+=，∴2cosCsin()sin A B C +=， ∵sin 0C ≠，∴1cos 2C =，又∵()0,C π∈，∴3C π=， 方法一：依题意23B A π=-，由正弦定理2sin sin 32a b A A π==⎛⎫- ⎪⎝⎭，又∵4a b +=，∴2sin sin sin 36c A A A ππ==⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 可得：1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，∴[)2,4c ∈. 方法二：由余弦定理可得：22222cos 60()3c a b ab a b ab =+-︒=+-216316342a b ab +⎛⎫=-≥-= ⎪⎝⎭.∴2c ≥，又4c a b <+=，∴[)2,4c ∈. 三、解答题17.（1）由列联表可得，22200(70406030) 2.198 2.07213070100100K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯. ∴能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“钉钉”软件的使用情况与年龄有关.（2）依题意可得，在每层中所抽取的比例为5110020=.所以从经常使用“钉钉”软件的人中抽取160320⨯=（人），从偶尔或不用“钉钉”软件的人中抽取140220⨯=（人）.设这5人中，经常使用“钉钉”软件的3人分别为a ，b ，c ；偶尔或不用“钉钉”软件的2人分别为d ，e ，则从5人中选出2人的所有可能结果为：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种.选出的2人中没有1人经常使用“钉钉”软件的可能结果为(),d e ，共1种. 故选出的2人中至少有1人经常使用“钉钉”软件的概率1911010P =-=. 18.（1）由题知113(1)2n n n n a a S S n n ++⎛⎫=-=++⎪⎝⎭，即1321n n a a n n +=⨯++，即11311n n a a n n +⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭，即()1131n n b b ++=+， ∵12a =，∴111130b a +=+=≠，∴110nn a b n+=+≠， ∴数列{}1n b +是首项为3，公比为3的等比数列，∴13n n b +=，即31nn b =-.（2）由（1）知，3n n a n n =⨯-，∴31nn c n =⨯+， ∴231323333nn T n n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+，①∴23131323(1)333n n n T n n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯+，②①-②得，2312333332n n n T n n +-=+++⋅⋅⋅+-⨯-()11313(12)33322132n n n n n n n++---=-⨯-=--，∴1(21)334n n n T n +-+=+. 19.（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，又因为PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， 因为BD ⊂平面BDM ，所以平面PAC ⊥平面BDM .（2）设AC 与BD 交于点O ，连接OM ，因为点M 为PC 的中点， 所以//OM PA ，所以OM AC ⊥，因为平面PAC ⊥平面BDM ，OM 为两个面的交线，所以AC ⊥平面BDM ， 所以OC MD ⊥，过点O 作OH MD ⊥，连接HC ，则MD ⊥平面OHC ， 所以MD HC ⊥，则OHC ∠为二面角C MD B --的平面角.因为PD 与平面ABCD 所成的角为45︒，PA ⊥平面ABCD ，所以2PA AD AB ===， 所以1OM =，3OD =，3OH =，1OC =， 所以23tan 3OC OHC OH ∠==，即二面角C MD B --的正切值为233.20.（1）由条件，得223b a =，∴223b a =，且12c a =，∴2a c =， 联立解得2a =，3b =1c =，∴椭圆的标准方程为22143x y +=. （2）由已知可得，31,2H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()()2,00,1C S ⇒， （i ）直线MN 的斜率不存在时，MN 的方程为0x =， 此时312331SN SM+==- （ii ）直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为1y kx =+.代入椭圆方程得()2234880k x kx ++-=，0∆>显然成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则有122834k x x k -+=+①，122834x x k-=+②， 因为2a c =，所以2SC SH =，由1sin 12126sin 2SMH SNC SM SH MSH SM S S SN SN SC NSC ∠===∠△△，所以13SM SN =，所以3SN SM =-u u u r u u u r ，所以213x x =-，代入①②得232k =，62k =±，所以直线MN 的方程为61y x =+或61y x =-+.21.（1）由已知得()'1xf x e tx =-+，()f x 在点()()1,1f 处的切线的斜率为e ，∴()'1f e =，从而1t =，()212x e x f x x =-+. ∴()'1xf x e x =+-，又()'1xf x e x =+-在R 上递增，且()'00f =， ∴当0x <时，()'0f x <；0x >时，()'0f x >，()f x 的单调减区间为(),0-∞，单调增区间为()0,+∞，∴()()01f x f ==极小值，无极大值. （2）()()()21102x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥得()()'1x h x e a =-+， ①当10a +<时，()()'0h x y h x >⇔=在x R ∈上单调递增， 当x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥相矛盾；②当10a +=时，()00x h x e b b =-≥⇒≤，此时()102b a +=； ③当10a +>时，()()'0ln 1h x x a >⇔>+，()()'0ln 1h x x a <⇔<+得， 当()ln 1x a =+时，()()()()min 11ln 10h x a a a b =+-++-≥，即()()()11ln 1a a a b +-++≥，∴()()()()22111ln 1a b a a a +≤+-++（其中10a +>）.令()()22ln 0F x x x x x =->，则()()'12ln F x x x =-， ∴()'00F x x >⇔<<，()'0F x x <⇔>当x =()max 2e F x =，即当1a =，2b =时，()1a b +的最大值为2e ， ∴()12a b +的最大值为4e . 综上所述：()12a b +的最大值为4e . 22.（1）由()27cos224ρθ-=得，222227cos sin 240ρρθρθ-+-=， 将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式整理得22143x y +=， ∴曲线C 的直角坐标方程为22143x y +=， 由题知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）. （注：参数t 设为其他合理字母也可）（2）设直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，当34πα=时， 直线l的参数方程为122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的方程22143x y +=中整理得，27180t --=，∴127t t +=，12187t t =-， ∴12t t -=247==， ∴121212114311t P t t t t t A PB -=+==+. 23.（1）()1636x f x x ≤-⎧≤⇔⎨-≤⎩或11226x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1236x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，解得22x -≤≤.即不等式()6f x ≤的解集为{}|22x x -≤≤.（2）()()12122g x f x x x x =++=-++21223x x ≥---=， 当且仅当()()21220x x -+≤时取等号，∴3m =.∴,,a b c R +∈，2343a b c ++=， ∴1111111(234)2343234a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭1232434333324243a b a c b c b a c a c b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当234a b c ==，即12a =，13b =，14c =时取等号. ∴1113234a b c++≥.。

2020年高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，4，5}，C＝A∩B，则C的子集共有（）A．2个B．3个C．8个D．4个2．设复数z满足（是z的共轭复数，i是虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限3．下面四个条件中，使m＞n成立的充分而不必要的条件是（）A．m3＞n3B．m＞n+2C．m2＞n2D．m＞n﹣24．设a＝log32，b＝log93，c＝log23，则（）A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞c＞a5．双曲线2x2﹣ny2＝n（n∈R）的右焦点到一条渐近线的距离为（）A．B．1C．2D．与n的值有关6．“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（[注]六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（）A．3.4升B．2.4升C．2.3升D．3.6升7．函数y＝x﹣2πsin x的大致图象是（）A．B．C．D．8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．已知实数x，y满足约束条件，若z＝x﹣2y的最大值为8，则z的最小值为（）A．﹣6B．6C．3D．﹣410．已知等边△ABC的边长为2，，，x＞0，y＞0，且x+y＝1，则的最大值为（）A．B．C．D．﹣211．函数的零点个数为（）A．8B．9C．6D．412．在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，中，M是BC的中点，点P是正方体的表面DCC1D1（包括边界）上的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥P﹣BCD体积的最大值是（）A．B．36C．24D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”．已知过去10日，A、B、C三地新增疑似病例数据信息如下：A地：总体平均数为3，中位数为4；B地：总体平均数为2，总体方差为3；C地：总体平均数为1，总体方差大于0；则A、B、C三地中，一定没有发生大规模群体感染的是地．14．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则正整数a＝．15．过抛物线C：x2＝2y的焦点F的直线l交C于两点A、B，点A处的切线与x、y轴分别交于两点P、Q，若△POQ（O为坐标原点）的面积为1，则|AF|＝．16．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a+b＝4，且（sin2A+sin2B﹣sin2C）•（a cos B+b cos A）＝c sin A sin B，则边c的取值范围为．三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题，共60分．17．2020年春季受新冠肺炎疫情的影响，利用网络软件办公与学习成为了一种新的生活方式，网上办公软件的开发与使用成为了一个热门话题．为了解“钉钉”软件的使用情况，“钉钉”公司借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到表（单位：人）：经常使用偶尔或不用合计35岁及以下703010035岁以上6040100合计13070200（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“钉钉”软件的使用情况与年龄有关？（2）现从所抽取的35岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人．从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用“钉钉”软件的概率．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 18．已知数列{a n}前n项和为S n，a1＝2，．（1）若，求数列{b n}的通项公式；（2）若c n＝a n+n+1，求数列{c n}的前n项和T n．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PD与平面ABCD所成的角为45°，点M为PC的中点．（1）求证：平面PAC⊥平面BDM；（2）求二面角C﹣MD﹣B的正切值．20．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，经过左焦点F1的最短弦长为3，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过C（2，0）的直线与y轴正半轴交于点S，与椭圆交于点H，HF1⊥x轴，过S 的另一直线与椭圆交于M、N两点，若，求直线MN的方程．21．已知函数（t∈R，e为自然对数的底数），且f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为e，函数．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）若f（x）≥g（x），求的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的一题计分．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2•（7﹣cos2θ）＝24，直线l过点P（1，0）倾斜角为α．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并写出直线l的参数方程；（2）当时，直线l交曲线C于A，B两点，求．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）解不等式f（x）≤6；（2）记函数g（x）＝f（x）+|x+1|的最小值为m，若a，b，c∈R+，且2a+3b+4c＝m，求证：．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，4，5}，C＝A∩B，则C的子集共有（）A．2个B．3个C．8个D．4个【分析】进行交集的运算即可求出C＝{1，4}，然后即可得出C的子集的个数．解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{1，4，5}，∴C＝A∩B＝{1，4}，∴C的子集共有22＝4个．故选：D．2．设复数z满足（是z的共轭复数，i是虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），代入，利用复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．解：设z＝a+bi（a，b∈R），由，得a+bi﹣2（a﹣bi）＝﹣a+3bi＝4+6i，即a＝﹣4，b＝2．∴复数z在复平面内所对应的点的坐标为（﹣4，2），位于第二象限．故选：C．3．下面四个条件中，使m＞n成立的充分而不必要的条件是（）A．m3＞n3B．m＞n+2C．m2＞n2D．m＞n﹣2【分析】利用充分而不必要的条件即可判断出结论．解：使m＞n成立的充分而不必要的条件是：m＞n+2，故选：B．4．设a＝log32，b＝log93，c＝log23，则（）A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞c＞a【分析】根据对数函数的单调性及对数的换底公式即可得出，从而得出a，b，c的大小关系．解：∵，，log23＞log22＝1，∴c＞a＞b．故选：C．5．双曲线2x2﹣ny2＝n（n∈R）的右焦点到一条渐近线的距离为（）A．B．1C．2D．与n的值有关【分析】确定双曲线的右焦点与一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可得到结论．解：双曲线2x2﹣ny2＝n的右焦点坐标为（，0），一条渐近线方程x﹣y＝0∴双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为＝1．故选：B．6．“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（[注]六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（）A．3.4升B．2.4升C．2.3升D．3.6升【分析】由题意结合等差数列的通项公式可求首项及公差，进而可求．解：设从下至上各节容积分别为a1，a2••a9为等差数列，公差d，则由题意可知，，故，解可得，d＝﹣0.2，a1＝2.4，所以中间节a4+a5＝1.8+1.6＝3.4故选：A．7．函数y＝x﹣2πsin x的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】由函数的奇偶性，可排除BD；由，可排除A．解：f（﹣x）＝﹣x﹣2πsin（﹣x）＝﹣x+2πsin x＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，可排除BD；又，f（π）＝π＞0，可排除A；故选：C．8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为下面是一个圆柱，上面为一个三棱锥体组成的组合体．如图所示：故：＝．故选：B．9．已知实数x，y满足约束条件，若z＝x﹣2y的最大值为8，则z的最小值为（）A．﹣6B．6C．3D．﹣4【分析】由题意作出其平面区域，直线x＝t，x﹣2y＝8，x+2y＝0三线相交于一点，联立x﹣2y＝8，x+2y＝0解出交点坐标，代入求t，再求最小值．解：由题意作出其平面区域：则直线x＝t，y＝﹣x，x﹣2y＝8三线相交于一点B，由x﹣2y＝8，y＝﹣x联立可解得，x＝4，y＝﹣2，则t＝4．z＝x﹣2y经过可行域的A时，z取得最小值，由，解得A（4，4），z的最小值为：4﹣2×4＝﹣4．故选：D．10．已知等边△ABC的边长为2，，，x＞0，y＞0，且x+y＝1，则的最大值为（）A．B．C．D．﹣2【分析】建立平面直角坐标系，确定A，B，C的坐标，设点D，E坐标，由，，x＞0，y＞0，且x+y＝1，计算的值即可．解：建立如图所示的平面直角坐标系，则点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，）；设点D（x1，0），E（x2，y2），∵，，x＞0，y＞0，且x+y＝1，∴（x1﹣1，0）＝x（﹣2，0），∴x1＝﹣2x+1；（x2，y2﹣）＝y（﹣1，﹣），∴x2＝﹣y，y2＝y；∴＝（x1，﹣）•（x2﹣1，y2）＝x1（x2﹣1）﹣y2＝（﹣2x+1）•（﹣y ﹣1）﹣（y）＝2xy+2（x+y）﹣4≤2+2（x+y）﹣4＝﹣，当且仅当x＝y＝时取“＝”；即的最大值为：﹣．故选：B．11．函数的零点个数为（）A．8B．9C．6D．4【分析】把已知函数解析式变形，把问题转化为函数y＝6cos与y＝（x+1）+的图象的交点个数，作出两函数的图象，数形结合得答案．解：f（x）＝＝，x＝﹣1不是函数的零点，当x≠﹣1时，由f（x）＝0，可得，即6cos＝（x+1）+．问题等价于函数y＝6cos与y＝（x+1）+的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图：由图可知，两个函数的图象的交点个数为6．故选：C．12．在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，中，M是BC的中点，点P是正方体的表面DCC1D1（包括边界）上的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥P﹣BCD体积的最大值是（）A．B．36C．24D．【分析】根据Rt△ADP∽△Rt△PMC，PD＝2PC，利用体积公式求解得出PO⊥CD，求解OP最值，根据勾股定理得出3h2＝﹣3x2+48x﹣144，0≤x≤6，再由二次函数的单调性求PO的最大值，代入棱锥体积公式得答案．解：∵在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1所在的平面内的动点，且满足∠APD＝∠MPC，∴Rt△ADP∽△Rt△PMC，∴＝2，即PD＝2PC，设DO＝x，PO＝h，作PO⊥CD，∴，化简得：3h2＝﹣3x2+48x﹣144，0≤x≤6，根据函数单调性判断：x＝6时，3h2最大值为36，h最大值＝2，∵在正方体中PO⊥面BCD，∴三棱锥P﹣BCD的体积最大值：××6×6×2＝12．故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”．已知过去10日，A、B、C三地新增疑似病例数据信息如下：A地：总体平均数为3，中位数为4；B地：总体平均数为2，总体方差为3；C地：总体平均数为1，总体方差大于0；则A、B、C三地中，一定没有发生大规模群体感染的是B地．【分析】根据平均数、中位数、方差的定义和性质，判断即可．解：∵平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，不是A地，当总体平均数是2，根据方差公式，如果存在大于7的数存在，那么方差大于3，是B 地；当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，每天新增疑似病例可以超过7人，因此不能确定数据的波动大小，不是C地；故答案为：B．14．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则正整数a＝6．【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的n值．解：由程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的值是S＝1+++…+＝1+1﹣+﹣+…+﹣＝2﹣＝，k＝7，所以正整数a＝6．故答案为：6．15．过抛物线C：x2＝2y的焦点F的直线l交C于两点A、B，点A处的切线与x、y轴分别交于两点P、Q，若△POQ（O为坐标原点）的面积为1，则|AF|＝．【分析】求得抛物线的焦点坐标，设A为左交点，A（x0，y0），求得y＝x2的导数，可得切线的斜率和方程，分别令y＝0，x＝0可得P，Q的坐标，以及三角形POQ的面积，解得A的坐标，即可得到所求值．解：由题意，抛物线C：x2＝2y的焦点F（0，），不妨设A为左交点，A（x0，y0），由y＝x2的导数为y′＝x，切线的斜率为k＝x0，切线方程为y﹣y0＝x0（x﹣x0），又x02＝2y0，则M（x0，0），N（0，﹣x02）所以S＝•|x0|•|x02|＝1，解得x0＝，y0＝，所以|AF|＝．故答案为：．16．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a+b＝4，且（sin2A+sin2B﹣sin2C）•（a cos B+b cos A）＝c sin A sin B，则边c的取值范围为[2，4）．【分析】本题考查正余弦定理应用，由正弦定理和余弦定理可得c2≥4，最后得出答案．解：在△ABC中，由三角函数的定义可知a cos B+b cos A＝c，结合正弦定理和已知，得＝，即a2+b2﹣c2＝ab，所以由余弦定理，得cos C＝＝，则C＝60°，所以c2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣3×（）2＝＝4，所以c ≥2，又c＜a+b＝4，所以c的取值范围为[2，4）．三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题，共60分．17．2020年春季受新冠肺炎疫情的影响，利用网络软件办公与学习成为了一种新的生活方式，网上办公软件的开发与使用成为了一个热门话题．为了解“钉钉”软件的使用情况，“钉钉”公司借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到表（单位：人）：经常使用偶尔或不用合计35岁及以下703010035岁以上6040100合计13070200（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“钉钉”软件的使用情况与年龄有关？（2）现从所抽取的35岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人．从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用“钉钉”软件的概率．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【分析】（1）利用2×2列联表中的数据，代入公式K2＝求值，从而查表可得；（2）先求出5人中“经常使用”钉钉软件的人数和“偶尔或不用”钉钉软件的人数，编号后，利用古典概型的概率公式即可求解．解：（1）由2×2列联表可知：＝≈2.198＞2.072，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“钉钉”软件的使用情况与年龄有关；（2）抽取的5人中“经常使用”钉钉软件的人数为：＝3人，编号为A，B，C，“偶尔或不用”钉钉软件的人数为：＝2人，编号为①，②，从这5人中，随机选出2人所有可能的结果为：AB，AC，A①，A②，BC，B①，B②，C①，C②，①②，共10种，2人中至少有1人经常使用“钉钉”软件的有9种，所以2人中至少有1人经常使用“钉钉”软件的概率为：．18．已知数列{a n}前n项和为S n，a1＝2，．（1）若，求数列{b n}的通项公式；（2）若c n＝a n+n+1，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）由整理可得＝3×+2；进而得到{b n+1}的通项，即可求得结论；（2）利用第一问的结论，求得数列{c n}的通项，再结合错位相减法即可求得结论．解：（1）因为a1＝2，．∴S n+1﹣S n＝（n+1）（a n+2）⇒＝3×+2；∴b n+1＝3b n+2⇒b n+1+1＝3（b n+1）；∵b1＝＝2，∴{b n+1}是以3为首项，3为公比的等比数列；∴b n+1＝3n；∴数列{b n}的通项公式：b n＝3n﹣1；（2）∵b n＝3n﹣1；∴a n＝n•（3n﹣1）；∴c n＝a n+n+1＝n•3n+1；∴T n＝1×31+2×32+3×33+…+n•3n+n；①∴3T n＝1×32+2×33+3×34+…+n•3n+1+3n；②①﹣②可得：﹣2T n＝31+32+33+…+3n﹣n•3n+1﹣2n＝﹣n•3n+1﹣2n＝﹣n•3n+1﹣2n；∴T n＝n++•3n+1．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PD与平面ABCD所成的角为45°，点M为PC的中点．（1）求证：平面PAC⊥平面BDM；（2）求二面角C﹣MD﹣B的正切值．【分析】（1）连结AC，BD，交于点O，连结OM，推导出AC⊥BD，OM∥PA，从而OM⊥平面ABCD，进而OM⊥AC，AC⊥平面BDM，由此能证明平面PAC⊥平面BDM．（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OM为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣MD﹣B的正切值．解：（1）证明：连结AC，BD，交于点O，连结OM，∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，O是AC中点，∵M是PC中点，∴OM∥PA，∵PA⊥平面ABCD，∴OM⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴OM⊥AC，∵BD∩OM＝O，∴AC⊥平面BDM，∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDM．（2）解：∵∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PD与平面ABCD所成的角为45°，点M为PC的中点．∴PA＝AD＝AC＝2，BO＝DO＝，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OM为z轴，建立空间直角坐标系，B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0），M（0，0，2），＝（2，0，0），＝（，1，0），＝（，0，2），设平面MCD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，﹣2，﹣），设平面MBD的法向量＝（0，1，0），设二面角C﹣MD﹣B的平面角为θ，则cosθ＝＝，sinθ＝＝，∴二面角C﹣MD﹣B的正切值为＝＝．20．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，经过左焦点F1的最短弦长为3，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过C（2，0）的直线与y轴正半轴交于点S，与椭圆交于点H，HF1⊥x轴，过S 的另一直线与椭圆交于M、N两点，若，求直线MN的方程．【分析】（1）由题意可得过焦点的最短的弦为垂直于x轴的直线与椭圆的交点弦，由弦长及离心率和a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得C为椭圆的右顶点，及左焦点F1的坐标，由题意可得H的横坐标为﹣1，代入椭圆求出H的纵坐标，进而求出S的坐标，设直线MN的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，再求的表达式，由题意可得SM，SN之比，进而可得向量的关系，求出M，N的横坐标的关系，代入两根之和及两根之积中，求出直线MN的斜率，进而求出直线MN的方程．解：（1）由题意可得：＝，＝3，c2＝a2﹣b2，解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆的标准方程为+＝1；（2）由（1）可得C为椭圆的右顶点，左焦点F1（﹣1，0），因为HF1⊥x轴，所以x H ＝﹣1，因为S在y轴的正半轴，所以H在x轴上方，所以y H＝＝，即H（﹣1，），∴HF1＝，因为＝＝＝，∴OS＝＝1，＝，所以S（0，1），设直线MN的方程为：y＝kx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线MN与椭圆的方程：，整理可得（3+4k2）x2+8kx﹣8＝0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，*因为，而＝＝＝，所以3SM＝SN，即＝3，即（﹣x2，1﹣y1）＝3（x1，y1﹣1）所以x2＝﹣3x1，代入*中可得：，解得k2＝，即k＝，所以直线MN的方程为：y＝x+1．21．已知函数（t∈R，e为自然对数的底数），且f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为e，函数．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）若f（x）≥g（x），求的最大值．【分析】（1）求出f′（x）＝e x﹣1+tx，由f′（1）＝e，求出t，得到函数的解析式及导函数，从而可求f（x）的单调区间和极值；（2）令h（x）＝e x﹣（a+1）x﹣b≥0，求出函数的导数，通过讨论a+1的范围，得到a+1＞0时，h（x）min＝（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，再构造函数F（x）＝x2﹣x2lnx（x＞0），由该函数的单调性求得最值，从而可求出的最大值．解：（1），f′（x）＝e x﹣1+tx，所以f′（1）＝e﹣1+t＝e，解得t＝1；所以，f′（x）＝e x﹣1+x，又f″（x）＝e x+1＞1＞0，故f′（x）＝e x﹣1+x为R上的增函数，而f（0）＝0，所以当x≥0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，+∞）上为增函数，当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，所以x＝0时，f（x）取得极小值1，无极大值．（2）f（x）≥g（x）⇔e x﹣（a+1）x﹣b≥0，令h（x）＝e x﹣（a+1）x﹣b，则h′（x）＝e x﹣（a+1），①当a+1≤0时，h′（x）＞0，故y＝h（x）在R上递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾；②当a+1＞0时，由h′（x）＞0，得：x＞ln（a+1），由h′（x）＜0，得x＜ln（a+1），故x＝ln（a+1）时，h（x）min＝（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b，∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1）（a+1＞0），令F（x）＝x2﹣x2lnx（x＞0），则F′（x）＝x（1﹣2lnx），∴F′（x）＞0，解得：0＜x＜，F′（x）＜0，解得：x＞，x＝时，F（x）max＝，即当a＝﹣1，b＝时，（a+1）b的最大值为，∴的最大值为：．（二）选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的一题计分．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2•（7﹣cos2θ）＝24，直线l过点P（1，0）倾斜角为α．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并写出直线l的参数方程；（2）当时，直线l交曲线C于A，B两点，求．【分析】（1）根据极坐标，参数方程，直角坐标方程的相互转化公式进行转化，（2）将直线化为参数方程，联立曲线的直角坐标方程，可得参数的关系，代入，即可．解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ2•（7﹣cos2θ）＝24，化简得3ρ2+ρ2sin2θ＝12，∴曲线C的直角坐标方程为，∵直线l过点P（1，0）倾斜角为α，∴直线l的参数方程为，t为参数，（2）由，可知直线l的参数方程为，t为参数，联立，和，解之得，所以，，则＝＝＝．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）解不等式f（x）≤6；（2）记函数g（x）＝f（x）+|x+1|的最小值为m，若a，b，c∈R+，且2a+3b+4c＝m，求证：．【分析】（1）取绝对值，然后分段求解．（2）通过绝对值不等式性质，求出最小值，然后转化，利用基本不等式求证．解：（1）f（x）＝，当x≤﹣1，令f（x）≤6，解之得﹣2≤x，则﹣2≤x≤﹣1，当﹣1＜x≤，令f（x）≤6，解之得﹣4≤x，则﹣1＜x≤，当﹣＜x，令f（x）≤6，解之得x≤2，则﹣＜x≤2，综上所述：﹣2≤x≤2，（2）证明：g（x）＝f（x）+|x+1|＝|2x﹣1|+2|x+1|＝|2x﹣1|+|2x+2|≥|2x﹣1﹣（2x+2）|＝3，∴m＝3，∴2a+3b+4c＝3，∴＝（）（2a+3b+4c）•＝（3+++）≥（3+2+2+2）＝3，当且仅当4a2＝9b2＝16c2．即证．。

2020年长望浏宁高三调研考试数学（文科）试卷时量：120分钟 总分：150分一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=，若{}1A B =，则B =A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,52. 在复平面内，复数1-=i iz （i 是虚数单位）对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.公比为2的等比数列}{n a 的各项都是正数，且16113=a a ，则=102log a A ．4 B ．5 C ．6 D ．74.《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A ．310π B ．320π C ．3110π- D ．3120π- 5. 已知双曲线C ：22221x y a b-=的一条渐近线与圆226290x y x y +--+=相切，则双曲线C 的离心率等于 A.54 B.53 C. 32 D. 436. 若546sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-x π，则⎪⎭⎫⎝⎛+x 26sin π的值为A ．2524 B ．2524- C ．257 D ．257- 7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 A ．16 B ．13 C ．23D ．1 8. 在等差数列{}n a 中，若351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于A ．8B ．13C ．16D ．269. 如图，给出的是计算111114710100++++的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是 A ．100i >，1n n =+ B ．34i <，3n n =+ C ．34i >，3n n =+D ．34i ≥，3n n =+10. 函数1()(1)x x e fx x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为11. 已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为94，若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π12. 设()f x 满足()()-=f x f x -，且在[]1,1-上是增函数，且()11f -=-，若函数()221f x t at ≤-+对所有[]1,1x ∈-，当[]1,1a ∈-时都成立，则t 的取值范围是A ．1122t -≤≤ B ．2t ≥或2t ≤-或0t = C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．22t -≤≤二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知两个不相等的平面向量(2,1),(2,).a b x ==且(2)()a b a b +⊥-，则x = .14. 若x 、y 满足约束条件20240210x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为 .15.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线3:2l x =-，点M 在抛物线C 上，点A 在左准线l 上，若MA l ⊥，且直线AF 的斜率AF k =AFM 的面积为 .16.如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为_________三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题：共60分 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知7,2c ABC =∆又tan tan tan 1)A B A B +=-。