赣南师范大学2012年《数学分析》考研专业课真题试卷

赣南师范大学数学分析、高等代数2010年研究生入学考考试复试参考书及考试大纲《数学分析》考试大纲适用专业：基础数学一、课程性质与目的要求数学分析是数学与应用数学专业的一门重要基础课。

要求学生系统地理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本方法，通过这门课程的学习,要求学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、基本运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

二、教材及参考书《数学分析》, 华东师范大学数学系编，高等教育出版社，第三版。

三、课程内容与考核要求(一) 实数集与函数1、考核知识点：实数概念实数的四则运算性质与有序性阿基米德性稠密性绝对值与不等式实数轴区间、邻域概念及表示法有界集、无界集概念上、下确界概念及确界原理函数概念及表示法函数的四则运算复合函数反函数与分段函数基本初等函数的性质及其图形初等函数简单应用问题的函数关系的建立有界函数单调函数奇偶函数周期函数2、考核要求：①理解实数的有序性、阿基米德性、稠密性，掌握绝对值及不等式.②理解确界概念，掌握确界原理.③理解函数的概念，掌握函数的表示方法.④了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性.⑤理解复合函数,分段函数和反函数概念.⑥了解基本初等函数的性质及其图形.⑦会建立简单应用问题中的函数关系式.(二) 数列极限1、考核知识点：数列极限ε—N 定义以及其性质唯一性有界性保号性迫敛性四则运算性质单调有界原理柯西收敛准则重要极限()e n n n =+∞→11lim .2、考核要求：①理解极限概念.②掌握极限性质及四则运算法则.③掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用重要极限求极限的方法.(三) 函数极限1、考核知识点：函数极限的ε─δ定义以及其性质唯一性局部有界性局部保号性不等式性质迫敛性四则运算法则柯西准则归结原则两个重要极限1sin lim 0=→x x x e x xx = ??+∞→11lim 无穷小量、无穷大量的定义及其性质无穷小(大)量阶的比较。

2012年全国硕士研究生统一考试数学一试题及答案一、选择题：共8小题，每题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上。

1、曲线221x x y x +=-渐近线的条数（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3。

解：（C ）：22211lim lim 1111x x x x x x x→∞→∞++==--，可得有一条水平渐近线1y =；222112lim 1lim 1x x x x x x →→+==∞--，可得有一条铅直渐近线1x =；22111(1)1lim lim lim 1(1)(1)12x x x x x x x x x x x x →-→-→-++===--+-，可得1x =-不是铅直渐近线，故答案为（C ）。

2、设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)y =（ ） （A ）1(1)(1)!n n ---；（B ）(1)(1)!n n --；（C ）1(1)!n n --；（D ）(1)!n n -。

解：（A ）：(0)(11)(12)(1)0y n =---= ；则22000()(0)(1)(2)()(2)()'(0)lim lim lim0x x nx x nx x x x y x y e e e n x e e n y x x x→→→------===- 1(12)(1)(1)(1)!n n n -=--=-- 。

故答案为（A ）。

3．如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续，那么下列例题正确的是（ ）（A ）若极限(,)(0,0)(,)lim ||||x y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（B ）若极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限(,)(0,0)(,)lim||||x y f x y x y →+存在；（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在。

一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分）1、C2、B3、A4、D5、B6、D二、计算题（本题共7小题，每小题10分，共70分）1、求极限⎪⎭⎫⎝⎛++--→11111lim 0x e x x x . 解：因为011lim 1x x x e →⎛⎫-= ⎪-⎝⎭000111lim lim lim (1)122x x x x x x x x x x x e x e e x e e xe e xe →→→---===--++， 6分 所以00011111113lim lim lim 111112 2.x x x x x x e x x e x →→→⎛⎫⎛⎫-+=-+=+= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭10分 2、设⎪⎩⎪⎨⎧==te y t e x ttsin cos ，求22dx y d . 解：sin cos ,cos sin t t t tdy e t e t dx e t e t +=- 5分 2223322(cos sin )(cos sin )t t t t d y e dx e t e t e t t ==-- 10分 3、设⎰=21sin )(x dt ttx f ，求⎰10)(dx x xf .解：11122120000111()()()()222xf x dx f x dx x f x x f x dx '==-⎰⎰⎰12221001111(1)sin (1)cos 22221[(1)cos11].2f x dx f x f =-=+=++⎰4、设22z u v uv =-，y x u cos =，y x v sin =，求x z ∂∂和yz ∂∂.解：22(2)cos (2)sin z z u z v uv v y u uv y x u x v x ∂∂∂∂∂=+=---∂∂∂∂∂，22(2)sin (2)cos .z z u z v v uv x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=+=-+-∂∂∂∂∂ 5、将函数xx f 3)(=在00=x 点处展开成泰勒级数。

苏州大学2012年攻读硕士学位研究生入学考试数学分析试题一、下列命题中正确的给予证明，错误的举反例或说明理由。

共4题，计30分。

1. 设()f x 在[],a b 上连续，且()0ba f x dx =∫，则[],x ab ∀∈，()0f x =。

2. 在有界闭区间[],a b 上可导的函数()f x 是一致连续的。

3. 设()f x 的导函数()f x ′在有限区间I 上有界，则()f x 也在I 上有界。

4. 条件收敛的级数1n n a∞=∑任意交换求和次序得到的新级数也是收敛的。

二、下列4题每题15分，计60分。

1. 计算下列极限：（1） 111lim 12nn n →∞ +++ ； （2） sin 0lim sin x xx e e x x→−−。

2. 求积分2D I x y dxdy =−∫∫，其中(){},:01,11Dx y x y =≤≤−≤≤。

3. 设L 为单位圆周221x y +=，方向为逆时针，求积分 ()()224L x y dx x y dy I x y −++=+∫。

4. 计算曲面积分 ()42sinz S xdydz e dzdx z dxdy ++∫∫， 其中S 为半球面2221x y z ++=，0z ≥，定向为上侧。

三、下列3题，计36分。

1. 设()f x 在[],a b 上可微，证明：存在(),a b ξ∈，使成立 ()()()()()222f b f a b a f ξξ′−=−。

2. 设()2sin x f x e x =，求()()20120f 。

3. 设()f x 在闭区间[],a b 上二阶可导且()0f x ′′<，证明不等式()()2ba ab f x dx f b a + ≤−∫。

四、下列3题选做2题，计24分。

1.（1） 设{}n a 是正数列，且lim 0n n a →∞=。

证明：存在另一个正数列{}n b ，使得lim 0n n b →∞=，lim 0n n na b →∞=； （2） 设1n n a∞=∑为收敛的正项级数。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1:8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()xxnx y x e ee n =---L ,其中n 为正整数,则(0)y '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 (4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )(A)15 (B) 13(C) 25 (D) 45 (8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )(A) 1 (B) 12 (C) 12- (D)1-二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x =(10)2x =⎰(11)(2,1,1)()|zgrad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T E XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+-<<-(16)求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值(17)求幂级数22044321nn n n x n ∞=+++∑的收敛域及和函数 (18)已知曲线(),:(0),cos 2x f t L t y tπ=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xy x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - （3）如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（ ） （A ）若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （B ）若极限2200(,)limx y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00(,)limx y f x y x y →→+存在 （D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限2200(,)limx y f x y x y →→+存在 （4）设2kx k eI e=⎰sin x d x (k=1,2,3),则有D（A ）I 1< I 2 <I 3.(B) I 2< I 2< I 3.(C) I 1< I 3 <I 1, (D) I 1< I 2< I 3.（5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα （C ）134,,ααα （D ）234,,ααα（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1112P AP -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+则1Q AQ -=（ ） （A ）121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）112⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭（C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）221⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭（7）设随机变量x 与y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}=<y x p （）1124()()() ()5355A B C D（8）将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）1)(21)(21)(1)(--D C B A 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题．．纸．指定位置上. （9）若函数)(x f 满足方程0)(2)()('''=-+x f x f x f 及x e x f x f 2)()('=+，则)(x f =________。