高等数学(上册)教案05 函数的连续性与间断点

课题函数的连续性、闭区间上连续函数的性质课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）掌握连续函数的概念。

（2）能够判断函数的间断点，熟悉间断点的分类。

（3）理解初等函数的连续性，能够计算函数的连续区间.（4）理解闭区间上连续函数的性质。

思政育人目标：通过与实际现象联系，帮助学生理解函数的连续性，使学生体会到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象产生的，不是脱离实际生活的；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力教学重难点教学重点：连续函数的概念、函数在某点连续性的判断教学难点：计算函数的连续区间教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（35 min）→问题讨论（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数，记录好考勤⏹【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（35 min）⏹【教师】讲解连续函数的概念，并通过例题讲解介绍其应用案例［平面内曲线］在坐标平面内画一连续曲线()y f x=，如图1-27所示．在坐标平面内画一间断曲线()y g x=，如图1-28所示．学习连续函数的概念、函数间断点的分类。

边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化2图1-27 图1-28分析 对比两个图形，我们发现：对于()y f x =，当自变量x 的改变量0x ∆→时，函数相应的改变量0y ∆→，如图1-27所示；对于()y g x =，当自变量x 的改变量0x ∆→时，函数相应的改变量y ∆不能够无限变小，如图1-28所示．于是我们可以用增量来定义函数的连续性．定义1 设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，如果000lim lim[()()]0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=，则称函数()f x 在点0x 处连续．若记0x x x =+∆，则0x x x ∆=-，相应地函数()f x 的增量0()()y f x f x ∆=-．当0x ∆→，即0x x →时，0y ∆→，0()()0f x f x -→，也即0()()f x f x →．因此，函数()y f x =在点0x x =处连续的定义也可表述如下： 定义1' 设函数()y f x =在0x 点的某一个邻域内有定义，若0lim ()()x x f x f x →=，则称函数()f x 在0x 点连续．由函数()y f x =在0x 点连续的定义可知，函数()f x 在0x 点连续，必须同时满足下面三个条件： （1）()f x 在0x 点有定义； （2）极限值0lim ()x x f x →存在；（3）极限值0lim ()x x f x →恰好等于()f x 在该点的函数值，即30lim ()()x x f x f x →=．若00()lim ()x x f x f x ++→=存在且等于0()f x ，则称函数()y f x =在0x 点右连续；若00()lim ()x x f x f x --→=存在且等于0()f x ，则称函数()y f x =在0x 点左连续．定理 1 函数()y f x =在0x 点连续⇔函数()y f x =在0x 点左右连续．例1 证明函数2()1f x x =+在1x =处连续．证明一 2()1f x x =+的定义域为R ，所以()f x 在1x =的某邻域有定义．当自变量在1x =处有改变量x ∆时，222(1)1(11)2()y x x x ∆=+∆+-+=∆+∆，因此，20lim lim[2()]0x x y x x ∆→∆→∆=∆+∆=，所以()f x 在1x =处连续．证明二 2()1f x x =+的定义域为R ，所以()f x 在1x =的某邻域有定义，211lim ()lim(1)2x x f x x →→=+=，即1x →时()f x 的极限值为2．而21(1)112lim ()x f f x →=+==，即极限值等于函数在该点的函数值，所以()f x 在1x =处连续．例 2 讨论函数320()20x x f x x x ⎧+=⎨-+<⎩，，，在点0x =的连续性．解 因为30(0)lim ()lim(2)2(0)x x f f x x f +++→→==+==，4(0)lim ()lim(2)2(0)x x f f x x f ---→→==-+==， 所以()f x 在0x =点左右连续，故()f x 在点0x =处连续． 函数在一点连续的定义，可以推广到区间上．定义2 如果一个函数在某区间()a b ，内的每一点处都连续，则称这个函数在区间()a b ，内连续，或称其为区间()a b ，内的连续函数．如果函数()y f x =在()a b ，内连续，且a 点右连续，b 点左连续，则称函数()f x 在闭区间[]a b ，上连续． 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线．⏹ 【学生】掌握连续函数的概念⏹ 【教师】讲解函数间断点的分类，并通过例题讲解介绍其应用如果()y f x =在点0x 处不连续，则称点0x x =是函数()f x 的间断点．由()y f x =在0x x =处连续的定义知，如果()f x 在0x 处有以下三种情况之一，则()f x 在0x 处间断： （1）()y f x =在点0x 处无定义； （2）0x x →时0lim ()x x f x →不存在；（3）函数值0()f x 和极限值0lim ()x x f x →都存在，但0lim ()()x x f x f x →≠．例如，函数1()1f x x =+在点1x =-处没有定义，1x =-就是函数1()1f x x =+的一个间断点．如果不考虑函数()f x 在0x 是否有定义，那我们可以将函数的间断点分为以下两大类． 设函数()y f x =在点0x 处间断，但在点0x 的左右极限0()f x -与0()f x +均存在，则称0x 为()f x 的第一类间断点，其中：5（1）若00()()f x f x +-=，即极限0lim ()x x f x →存在，则称点0x 是()f x 的可去间断点．（2）若00()()f x f x +-≠，即极限0lim ()x x f x →不存在，则称点0x 是()f x 的跳跃间断点．设函数()y f x =在点0x 处间断，若在点0x 的左右极限0()f x -与0()f x +至少有一个不存在，则称0x 为()f x 的第二类间断点，其中：（1）若0()f x -与0()f x +至少有一个为无穷大，则称点0x 是()f x 的无穷间断点．（2）若0lim ()x x f x →振荡性地不存在，则称点0x 是()f x 的振荡间断点．例3 函数10()0010x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-+<⎩，，，，，在点0x =处有定义，且(0)0f =．但由于(0)lim(1)1x f x ++→=+=，(0)lim(1)1x f x --→=-+=，(0)(0)1(0)0f f f +-==≠=，故0x =是函数()f x 的可去间断点，如图1-29所示．但如果将函数()f x 在0x =的定义改为(0)1f =，则函数在0x =点连续．由此可见，如果函数()f x 在0x 点是可去间断点，可通过补充或改变()f x 在0x 点的函数值，使()f x 在0x 点连续．例4 符号函数10()sgn 0010x f x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩，，，，，在点0x =处有定义，且(0)0f =．但由于0(0)lim11x f ++→==，0(0)lim(1)1x f --→=-=-，即(0)f +和(0)f -都存在但不相等，故0x =是函数()f x 的跳跃间断点，如图1-30所示．6图1-29 图1-30例 5 函数1y x=在点0x =处无定义，由于(0)f +=+∞，(0)f -=-∞，故0x =是函数1y x=的无穷间断点，如图1-31所示．例6 函数1siny x =在点0x =处无定义，取122n x n =ππ-，122nx n '=ππ+(12)n =，，，当n →∞时，0n x →，0n x '→，但()sin 212n f x n π⎛⎫=π-=- ⎪⎝⎭，()sin 212n f x n π⎛⎫'=π+= ⎪⎝⎭，即当0x →时，函数1sinx值在1-与1+之间变动无限多次．故0x =是函数1sinx的振荡间断点，如图1-32所示．图1-31 图1-32例7 判断下列函数在指定点处的连续性，若间断，判别间断7点的类型：（1）sin 0()e 10x xx f x x x ⎧<⎪=⎨⎪+⎩，，，在点0x =处；（2）221()32x f x x x -=-+在点11x =和22x =处．解 （1）函数()f x 在点0x =处有定义，且(0)2f =．但sin (0)lim 1x xf x--→==，(0)lim(e 1)2xx f ++→=+=，(0)(0)f f +-≠，故0x =为函数()f x 的跳跃间断点，属于第一类间断点．（2）221(1)(1)()32(1)(2)x x x f x x x x x --+==-+--在11x =，22x =处无定义，故11x =，22x =是()f x 的间断点． 由于111lim ()lim22x x x f x x →→+==--，故11x =是()f x 的可去间断点，属于第一类间断点． 由于221lim ()lim2x x x f x x →→+==∞-，故22x =是()f x 的无穷间断点，属于第二类间断点．⏹ 【学生】掌握函数间断点的分类问题讨论 （10 min ）⏹ 【教师】组织学生讨论以下问题1．函数()f x 在点0x 处有定义、有极限、连续三个结论有什么区别与联系．2．若函数()f x 在点0x 处无定义，则0x 点是函数()f x 的第一类间断点，还是第二类间断点？通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解3．分段函数()()()g x x af xh x x a⎧=⎨<⎩，，，在分段点x a=一定是间断点吗？⏹【学生】讨论、发言第二节课知识讲解（20 min）⏹【教师】讲解初等函数的连续性，并通过例题讲解介绍其应用1．连续函数的和、差、积、商的连续性根据函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得下面的定理．定理2设函数()f x和()g x在点x连续，则它们的和、差、积、商都在点x连续．例如，由于sin x，cos x在()-∞+∞，上的每一点都连续，故sintancosxxx=和coscotsinxxx=在其各自定义域上每一点都是连续的．2．初等函数的连续性利用函数连续的定义和性质可以证明：六种基本初等函数在其定义域上都是连续的．由于初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合而得到的函数，函数的连续性对四则运算和复合运算是封闭的，所以我们又有结论：所有初等函数在其定义区间上都是连续的．根据这一结论，求初等函数在其定义域内某点的极限时，只要求出该点的函数值即可．例8求4e cos(4)lim3xxxx→+--．解由于该函数是初等函数，且在4x=处有定义，故由初等函数的连续性可以得出学习初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。

高中数学备课教案函数的连续与间断点高中数学备课教案函数的连续与间断点一、引言函数的连续性和间断点是高中数学中重要的概念，对于理解和应用函数具有重要作用。

本教案将详细介绍函数的连续性和间断点的概念、判定方法以及相关性质。

二、函数的连续性连续性是函数概念中最基本的性质之一，它表示函数在某个点上的值与其邻近点上的函数值之间存在接近的关系。

1. 连续的定义在数学中，若函数 f(x) 在点 x=a 处的极限存在且与 f(a) 的值相等，则称函数在点 x=a 处连续。

2. 连续的判定函数在某一点处连续的判定方法有三种：利用定义、利用函数的性质、利用间断点的概念。

3. 连续函数的性质连续函数具有以下性质：- 连续函数的和、差、积仍然是连续函数。

- 连续函数的复合函数仍然是连续函数。

- 有界闭区间上的连续函数必定有最大值和最小值。

三、函数的间断点在函数的定义域内，存在使函数值发生突变的点，这些点被称为函数的间断点。

1. 第一类间断点若函数 f(x) 在点 x=a 处的左、右极限存在，但左、右极限不相等，则称点 x=a 为函数的第一类间断点。

2. 第二类间断点若函数 f(x) 在点 x=a 处的左、右极限至少有一个不存在，则称点x=a 为函数的第二类间断点。

3. 可去间断点若函数 f(x) 在点 x=a 处的极限存在，但与 f(a) 的值不相等，则称点x=a 为函数的可去间断点。

4. 跳跃间断点若函数 f(x) 在点 x=a 处的左、右极限存在且不相等，则称点 x=a 为函数的跳跃间断点。

四、连续性与间断点的应用函数的连续性和间断点有广泛的应用，涉及到极限、导数、积分等数学领域。

1. 连续函数的导数连续函数在其定义域内的导函数仍然是连续函数。

2. 连续函数的积分连续函数在其定义域内的积分仍然是连续函数。

3. 最值问题利用连续函数的性质，可以解决最值问题，如求函数在闭区间上的最大值和最小值。

五、综合练习通过综合练习，巩固对函数的连续性和间断点的理解和应用。

高等数学教案5函数的连续性教学目标：1.了解函数连续性的定义。

2.掌握连续函数的性质和常见类型。

3.能够通过定义验证函数的连续性。

4.能够利用连续性解决相关问题。

教学重点和难点：1.函数连续性的定义和性质。

2.连续函数的常见类型。

教学方法：1.讲授法：通过讲解、举例等方式，让学生理解函数连续性的定义和性质。

2.探究法：通过引导学生进行研究和探究，提高学生对连续函数的理解和应用能力。

3.解决问题法：通过解决一些实际问题，培养学生运用连续函数解决实际问题的能力。

教学过程：一、引入新知（5分钟）教师通过提问引入新知：“你们对函数连续性有什么了解？”学生回答后，教师解答并说明本节课的学习目标。

二、讲授函数连续性（20分钟）1.函数连续性的定义教师讲解函数连续性的定义，引导学生理解函数在其中一点连续的含义，并通过图像展示、数学表达进行说明。

2.连续函数的性质教师讲解连续函数的性质，如连续函数在闭区间上有界、有最大值和最小值等性质，并通过例题让学生理解和掌握这些性质。

三、练习和讨论（30分钟）1.基本例题教师出示一些基本的例题，让学生运用连续函数的定义和性质进行分析和解答。

鼓励学生积极思考，并进行课堂讨论和分享。

2.实际问题教师出示一些实际问题，让学生通过建立数学模型、运用连续函数解决实际问题。

引导学生思考如何将实际问题转化成数学问题，进而利用函数的连续性进行求解。

四、总结和延伸（10分钟）教师对本节课的内容进行总结，强调函数连续性的重要性和应用，鼓励学生积极思考和延伸相关知识。

五、作业布置（5分钟）教师布置课后作业，让学生巩固和深化本节课的内容。

作业内容可以包括练习题、思考题等。

教学资源和评价方法：教学资源：投影仪、黑板、教材等。

评价方法：课堂参与、课后作业、小组讨论等。

教学反思：本节课通过引入新知、讲授函数连续性的定义和性质、练习和讨论以及总结和延伸等环节，全面培养了学生对函数连续性的理解和应用能力。

在教学过程中，考虑到学生的不同差异，通过多样化的教学方法和资源，提高了学生的学习兴趣和主动参与度。

第1章 函数、极限与连续函数的连续性与间断点【教学目的】：1. 理解函数在一点连续的概念；2. 会求简单函数的间断点；【教学重点】：1. 函数连续、间断的概念；2. 函数在一点处连续的判定方法；3. 函数间断点的分类；【教学难点】：1. 函数在一点处连续的判定方法；2. 分段函数分段点处的连续性判断；3. 函数间断点的分类。

【教学时数】：2学时【教学过程】：1.4.1函数的连续性的概念1、函数的增量2、函数的连续性定义 1 设函数)(x f y =在点0x 及其附近有定义，且0lim 0=∆→∆y x ，则称函数)(x f 在点0x 连续，0x 称为函数)(x f y =的连续点．连续的另一等价定义是：定义2 设函数()x f y =在点0x 及其附近有定义，如果函数()x f 当0x x →时的极限存在，且等于它在点0x 处的函数值()0x f ，即()()00lim x f x f x x =→，那么就称函数()x f y =在点0x 连续.注意：由定义知函数)(x f 在0x 处连续要()()00lim x f x f x x =→成立，则必须同时满足以下三个条件(1) 函数)(x f 在0x 处有定义；(2) 极限)(lim 0x f x x →存在；(3) 极限值等于函数值，即)()(lim 00x f x f x x =→．定义3 如果函数)(x f y =在0x 处及其左邻域内有定义，且)(lim 0x f x x -→=)(0x f ，则称函数)(x f y =在0x 处左连续．如果函数)(x f y =在0x 处及其右邻域内有定义，且)()(lim 00x f x f x x =+→，则称函数)(x f y =在0x 处右连续． )(x f y =在0x 处连续 ⇔ )(x f y =在0x 处既左连续且右连续．例5 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧+-=101)(x x x f 000>=<x x x 在点0=x 处的连续性.解 函数定义域为),(+∞-∞，)(lim 0x f x -→=1)1(lim 0-=--→x x ，1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x ， 由于左极限与右极限虽然都存在但不相等，所以)(lim 0x f x →不存在，函数)(x f 在点0=x 处不连续.定义4 若函数)(x f 在开区间),(b a 内任何一点处都连续，则称函数)(x f 在开区间),(b a 内连续；若函数)(x f 在开区间),(b a 内连续，且在左端点a 处右连续， 在右端点b 处左连续，则称函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续.可以证明，基本初等函数以及常数函数在其定义区间内都是连续的．3、函数的间断点如果函数)(x f y =在点0x 处不连续，则称)(x f 在0x 处间断，并称0x 为)(x f 的间断点．设0x 是)(x f 的间断点，若)(x f 在0x 点的左、右极限都存在，则称0x 为)(x f 的第一类间断点；其他的间断点都称为第二类间断点．在第一类间断点中，如果左、右极限存在但不相等，这种间断点又称为跳跃间断点；如果左、右极限存在且相等(即极限存在)，但函数在该点没有定义，或者虽然函数在该点有定义，但函数值不等于极限值，这种间断点又称为可去间断点．在第二类间断点中左、右极限至少有一个为无穷大的间断点称为无穷间断点.【教学小节】：通过本节的学习，理解函数连续的一系列概念，并掌握判断函数连续的方法，学会判断函数的间断点并分类。