学士论文线性方程组理论的有关应用

线性方程组理论的有关应用Applications on theory of linear equations 专业: 数学与应用数学作者:指导老师:学校二○○摘要本文介绍了线性方程组的一些理论, 在此基础上做了一定的推广, 并讨论了这些重要的理论在高等代数中的具体应用.关键词:线性方程组; 行列式; 非零解; 矩阵的秩; 解空间AbstractIn this paper, we introduce some theories of linear equations, popularize some significant theories, and discuss these important theories of algebra in specific applications.Keywords:linear equations; determinant; non-zero solution; rank of matrix; solution space目录摘要 (I)ABSTRACT (II)0 引言 (1)1 关于线性方程组的一般理论 (1)2 线性方程组理论的几个应用 (2)2.1 齐次线性方程组有非零解理论在初等数学中的应用 (2)2.2 齐次线性方程组解空间理论在解题上的应用 (5)2.3 线性方程组理论在解析几何中的应用 (7)参考文献 (11)0 引言目前, 新的中学教材已初步渗透了高等数学的一些知识理论, 而利用这些知识理论来解决初等数学问题显得既简洁又优美. 本文针对中学数学中由几个结构相似且具有共同字母或数字的等式联系在一起的若干变量之间的相互关系问题,结合高等代数中有关齐次线性方程组的理论, 从而有助于问题迅速的得以转化和解决. 同时将线性方程组理论应用于解析几何, 沟通了代数与几何的内在联系, 并可透视代数与几何的相互渗透, 也可使许多几何问题得到更为简明的刻画.关于线性方程组的一般理论, 可参看文献[1-3,8-11], 一些专题研究可参看文献[4-7].1 关于线性方程组的一般理论在这一节, 我们回顾《高等代数》中关于线性方程组的一般理论. 对于任一个矩阵A , 我们用T A 表示A 的转置, r 表示A 的秩, n r -表示自由未知量的个数, dim A 表示A 的维数. 并且我们知道在经典的《高等代数》的教材中, 有以下关于线性方程组的结果.定理 1.1[1] 含有n 个未知量n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式等于零.定理 1.2[1] 设齐次线性方程组111122112122221122000n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ (1.1) 系数矩阵()ij m n A a ⨯=的秩()R A r =. 且方程组(1.1)的解空间为V . 则可以得到下列结论dim()()V n R A =-, 这里dim()V 表示方程组(1.1)解空间的维数．2 线性方程组理论的几个应用2.1 齐次线性方程组有非零解理论在初等数学中的应用(1) 在求解二元方程组上的应用利用定理1.1可求解二元方程组, 求解时只需将其中一个变量作为常数即可. 例1 求下面方程组的全部解, 其中方程组为3223010xy x y xy x y ++-=⎧⎨+++=⎩解 将y 看成是常数, 则方程组可改写为(32)(23)0(1)(1)0y x y y x y ++-=⎧⎨+++=⎩, 则有3223011y y y y +-=++.求解得11y =-, 25y =-. 代入方程组求解, 得到15x =-, 21x =-. 故原方程组的全部解为1151x y =-=-⎧⎨⎩, 2215x y =-⎧⎨=-⎩ . 例2 已知一次函数()f x ax b =+, 且1(1)2f -≤-≤, 2(2)3f -≤≤, 求(3)f 的取 值范围.解 应先找出(3)f 与(1)f -, (2)f 的关系, 有(1)f a b -=-+, (2)2f a b =+, (3)3f a b =+,得(1)02(2)03(3)0a b f a b f a b f -+--=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩这是关于,,1a b -的三元齐次线性方程组, 显然方程组有非零解, 于是11(1)21(2)031(3)f f f --= 化简为(1)4(2)3(3)0f f f --+-=, 所以14(3)(1)(2),33f f f =--+ 因此 1013(3)33f -≤≤. 例3 等差数列{}n a 的前m 项和为30, 前2m 项和为100, 则它的前3m 项和为()A 130; ()B 170; ()C 210; ()D 260解 由等差数列知识, 可设前n 项和为2()n S an bn n N =+∈，所以2m S am bm =+,2242m S m a mb =+, 2393m S m a mb =+, 考察以,,1a b -为未知数的方程组222230420930m m m m a mb S m a mb S m a mb S +-=+-=+-=⎧⎪⎨⎪⎩ 由于该齐次线性方程组有非零解, 因此其系数行列式为0, 于是2222342093m m mm m S m m S m mS =即231142093mm mS S S = 化简, 得23330m m m S S S -+-=, 所以323()3(10030)210m m m S S S =-=-=.故选()C .例4 已知2()f x x px q =++, 求证(1)f , (2)f , (3)f 中至少有一个不小于12．证明 先找出(1)f , (2)f , (3)f 间的关系, 有1(1)024(2)039(3)0p q f p q f p q f ++-=++-=++-=⎧⎪⎨⎪⎩此关于p , q , 1的齐次线性方程组有非零解, 于是111(1)212(2)0319(3)f f f --=- 化简, (1)2(2)(3)2f f f -+=．假设结论不成立, 即1(1)2f <, 1(2)2f <, 1(3)2f <, 易推出2(1)2(2)(3)2f f f -<-+<, 产生矛盾, 命题得证.(2) 在证明一元n 次方程重根上的应用由高等代数中多项式理论容易知道, 多项式()F x 的重因式()P x 必是()F x '的因式.因此, ()F x 的重根必是()F x '的的根, 且此根是()F x 与()F x '的公共根. 由此结论我们可以推广到以下结论如果0x 是()f x 的k 重根(1)k ≥, 则0x 是()f x '的1k -重根.下面我们就这一理论: 来看一看如何利用线性方程组理论证明方程的重根. 首先给出一个简单的结论:设α是方程010a x a +=与20120b x b x b ++=的公共根, 则α也是2010a x a x +=的根, 从而有下列齐次线性方程组012012012000a x a a x a xb x b x b ⎧+=⎪+=⎨⎪++=⎩ 其根为2(,,1)x x , 根不为零, 由线性方程组理论知其系数行列式为零. 即01010120 00 a a a a b b b =.由上述结论, 我们可以获得一个判断重根的方法.例5 证明一元二次方程2a x b x c ++(0a ≠)有重根的充要条件是其判别式240b ac ∆=-=.证明 对方程两边求导有20ax b +=. 一元二次方程20ax bx c ++=有重根, 即其与20ax b +=有公共根, 由上面的结论有10 2 2 0 0a b a b a b c=. 展开运算即有240b ac -=. 推广到一元n 次方程. 设α是11100n n n n a x a x a x a --++++=的根, 从而有下列齐次线性方程组1211211111000(1)00n n n n n n nn n n n n na x a na x a x na x n a x a a x a x a x a -------+=+=+-++=++++=⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩其根为11(,,...,,)nn x xx -不为零, 由线性方程组理论知其系数行列式为零. 即1112112210000000000(1)0n n nn n n nn n na a na a na n a a a a a a a a a -----=-.2.2 齐次线性方程组解空间理论在解题上的应用例6 设A 为m n ⨯矩阵, B 为n s ⨯矩阵, 且0AB =, 则()()R A R B n +≤.证明 把矩阵B 分块为: 12(,,,)s B ααα= , 则0i A α=, 1,2,,i s = . 从而i V α∈, 其中V 是0AX =的解空间. 由定理1.2得()dim ()R B V n R A ≤=-. 于是()()R A R B n +≤.例7 若A 是n 阶方阵，且2A A =, 则()()R A R I A n +-=. 证明 因为()(())()()n R I R A I A R A R I A ==+-≤+-, （2.1） 又因2A A =即()0A A I -=, 由例6知()()R A R I A n +-≤. （2.2） 由(2.1)(2.2)两式得()()R A R I A n +-=.分析以上三个例题, 很容易想到利用齐次线性程组解的理论来解决, 特别是例6，由0AB =, 容易联想到把B 的列向量作为齐次线性方程组0AX =的解向量, 从而获得解决. 下面讨论几个例子, 看起来似乎与齐次线性方程组无关系, 但经过仔细分析，我们将会发现, 仍然可以通过齐次线性程组的理论加以解决.例8 设A 为m n ⨯矩阵, B 为n s ⨯矩阵, 则()min{(),()}R AB R A R B ≤.证明 设12(,,,)s V L ηηη= 为齐次线性方程组0BX =的解空间, 其中我们令12(,,,C ηη= )t η. 由定理1.2知()()t R c s R B ==-. 又因0ABC =, 由例6于是我们知()()R AB R C s +≤.即()(())()R AB s s R A R A ≤--=.同理可得()()R AB R B ≤, 于是结论成立.例9 设A 为n 阶方阵, 则1()()n n R A R A +== .证明 若A 为满秩矩阵, 则结论显然成立. 现设()R A n <, 则存在自然数k 使得1()()k k R A R A += 1k n ≤≤. 设i V 为齐次线性方程组0i A x =的解空间, 则对任意ξ∈i V , 有10i i A AA ξξ+==, 于是有1k k V V +⊆, 1,2,i = ，因1()()k k R A R A +=, 故由定理1.2知,1dim()dim()k k V V +=. 又因1k k V V +⊆, 从而1k k V V +=.现设2k V ξ+∈, 则2k A ξ+10k A ξ+==. 由此得1k k A V V ξ+∈=, 故1()0k k A A A ξξ+==. 于是1k V ξ+∈. 从而21k k V V ++=, 由定理1.2得12()()0k k R A R A ++==. 同理可得 231()()()()k k n n R A R A R A R A +++===== .例10 设A 为2阶方阵，且0m A =, 则20A =.证明 不考虑0A =的情况, 则()1R A =. 设0m A =, 但10m A +≠, 则, ()1i R A =,1,2,,i = 1m -. 设i V 为齐次线性方程组0i A X =的解空间, 与例5同样证明方法得121m V V V -=== .设110ε⎛⎫= ⎪⎝⎭, 201ε⎛⎫= ⎪⎝⎭, 从而0m A =, 故211()0A A A εε==, 从而11m m A V V ε-∈=,于是222()0A A A εε==. 同理222()0A A A εε==. 故 2212(,)0A A εε==.例11 设A 为m 列矩阵, 从A 中任取出s 列, 组成矩阵B , 有()()R B R A s m ≥+-. 证明 设12(,,,)m A ααα= , 12(,,,)i i is B ααα= , 并设12(,,,)T i i is x x x ξ= 为齐次线性方程组0BX =的任意解, 即有11220i i i i is is x x x ααα+++= 121s m i i i ≤≤≤≤≤ . 于是11122000...i i i i is is m x x x ααααα+++++++= .即1200000000(,,,,,,,,,,,,,,)T i i is x x x η=是齐次线性方程组0AX =的解. 故齐次线性方程组0AX =解空间的维数不小于齐次线性方程组0BX =解空间的维数. 由定理1知()()m R A s R B -≥-, 即()()R B R A s m ≥+-.在一般教材或习题指导书中, 上面几个例题均不是以这种方法证明的, 例如, 例8常用的方法是利用向量的相互线性表出, 例9一般用到线性变换的方法, 例10则是讨论2阶矩阵的各种可能的情况, 例11用到极大无关组方面的性质. 这些方法彼此都不同, 学生难以在短时间内掌握, 而我们这里介绍的方法最重要的优点是方法统一. 涉及知识较少, 便于掌握, 且解题范围比较全面. 因此, 对齐次线性方程组解空间的理论加以灵活运用, 对提高学生解题信心, 积累解题技巧, 是十分有帮助的.2.3 线性方程组理论在解析几何中的应用命题1 设有平面上四个点(,)i i i p x y , 1,2,3,4i =. 矩阵A , B 如下112233441111x y xy A x y x y ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭, 2211112222222233332244441111x y x y x y x y B x y x y x y x y ⎛⎫+ ⎪+ ⎪=⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭则这四点共圆的充分必要条件是矩阵A 与矩阵B 的秩相同, 即()()R A R B =.证明 设平面上圆的一般方程为220x y ax by c ++++=, 其中,,a b c 为不全为零的常数, 考虑关于,,a b c 的方程组221111222222223333224444()0()0()0()0x y ax by c x y ax by c x y ax by c x y ax by c ⎧++++=⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ (2.3) 则由线性方程组的理论可知: 四点(,)i i i P x y , 1,2,3,4i =共圆等价于关于a , b , c 的线性方程组(2.3)有解(,,)a b c 等价于()()R A R B =.命题2 设平面上有n 条直线0i i i a x b y c ++=, 1,2,,i n = , 且1122A=nn a b a b a b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭ ,111222B=n nn a b c a b c a b c ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭(2.4) 则这条直线相交于一点的充分必要条件是()()2R A R B ==.证明 考虑方程组111222000n n n a x b y c a x b y c a x b y c ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩则由线性方程组理论可知: (1)这n 条直线相交于一点(只有一个公共点）等价于方程组; (2)有唯一解(,)x y 等价于()()2R A R B ==.命题3 设有空间四个点(,,)i i i i p x y z , 1,2,3,4i =.1112223334441111x y z x y z A x y z x y z ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，` 矩阵A 的秩()R A r =, 则(i) 当4r =时, 四点异面; (ii) 当3r =时, 四点共面; (iii) 当2r =时, 四点共线; (iv) 当1r =时, 四点重合.证明 对A 施行初等变换111112,3.4210i r r i y x z A A B A -=⎛⎫−−−→==⎪⎝⎭, 从B 知12()()()1R A R A R A ==+.(i) 当4r =时,2()3R A =, 向量组12p p , 13p p , 14p p线性无关, 张成整个三维空间(2), 所以四点异面;(ii) 当3r =时, 2()2R A =不妨设2A 的前两行线性无关, 向量12p p , 13p p线性无关, 于是该组向量可以将向量14p p线性表示, 故四点共面, 但不共线．(iii) 当2r =时, 2()1R A =, 与前面类似分析可得12p p , 13p p ,14p p共线; (iv) 当1r =时, 2()0R A =, 即12p p , 13p p , 140p p =, 四点重合. 命题4 设有n 个平面0i i i i a x b y c z d +++=, 1,2,,i n =111222nnn a b c a b c A a b c ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭ , 11112222nn n n a b c d a b c d B a b c d ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭则(i) 这n 个平面只有一个公共点等价于()()3R A R B ==; (ii) 这n 个平面相交于一条直线等价于()()2R A R B ==;证明 (i) 考虑方程组11112222000n n n n a x b y c z d a x b y c z d a x b y c d +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （2.5）则由方程组理论可知: 这n 个平面只有一个公共点等价于方程组(2.5)有唯一解等价于()R A R =()3B =.(ii) 充分性 若()()2R A R B ==, 则由线性方程组理论知, 方程组(2.5)有无穷多个解,其基础解系含有321-=个解向量11(0)ζζ→≠ , 全部解为1k ζ, 因此，这n 个平面相交于一条直线, 该直线的方向向量为1ζ.必要性 若这n 个平面相交于一条直线, 则方程组(2.5)有无穷多个解, 从()R A()3R B =<. 又因为这n 个平面不重合, ()1R B >, 故()()2R A R B ==.命题5 设三角形三条边所在的直线方程分别为123,1,2,3,0i i i i a x a y a =++= 已知A =()ij nn a 的代数余子式为ij A , 则三角形的面积2132333||2A S A A A ∆=±. (2.6) 其中“±”的选取使S ∆为正值.证明 将任意两条直线方程联立, 可得到三个方程组, 因三条边两两相交, 故这些方程组的系数行列式13A , 23A , 33A 均不为零且顶点分别为1111312113A x A A y A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 2122322223A x A A y A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 3133332333A x A A y A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而12312312111x x x S y y y ∆=±*1323331||2A A A A =21323331||2A A A A =±.致谢 本文是在 的指导和帮助下完成的, 在此对周老师表示衷心的感谢!参考文献[1] 北京大学数学系. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 1988.[2] 张禾瑞, 郝鈵新．高等代数(第四版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1999.[3] 丘维声. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996.[4] 许绍元, 赵礼峰. 高等师范院校数学教学改革的研究与实践[J]. 淮北煤炭师范学院学报(自然科学版), 2(2004), 64-68.[5] 许绍元, 陈亮. 实变函数课程教学中培养学生科研能力的体会[J]. 淮北煤炭师范学院学报(自然科学版), 2(2003), 53-56.[6] 赵树嫄. 线性代数(第三版[M]). 北京: 中国人民大学出版社, 2006.[7] 马国贤, 蒋洪, 赵海利. 谁从高等教育补贴中受益[N]. 中国财经报, 2002-4-6.[8] 史明仁. 线性代数600证明题详解[M]. 北京: 北京科学技术出版社, 1985.[9] 萧永震等. 空间解析几何解题指导[M]. 天津: 天津科学技术出版社, 1990.[10] W.Greub. LinearAlgebra(FourthEdition)[M]. Springer-Verlag, 1975.[11] L.Smith. Linear Algebra (Second Edition)[M]. Springer-Verlag, 1984.。