线性方程组及其应用

线性方程组及其应用

321余韶堃顾子兵魏鹏

摘要：本文主要将高等代数中所学线性方程组的部分重要理论应用于初等数学

中，来解决初等数学中的一些问题，例如判断平面上两条直线的位置关系和空间上三个平面的位置关系等，同时说明高等数学与初等数学之间的密切联系.

关键词：线性方程组；齐次线性方程组；系数行列式；初等数学；应用

一.内容提要

1.线性方程组的内容

①.线性相关性

②.向量组的基本性质

③.矩阵的秩

④.线性方程组的解

2.线性方程组在数学中的应用

①.判断平面上两条直线之间的位置关系

②.判断空间上三个平面之间的位置关系

③.运用线性方程组的相关理论来证明几个初等数学中的结论

④.运用线性方程组的相关理论来判断三点共线、四点共面、四点共圆和五点共球

二.线性方程组的内容

1.线性相关性

①.线性组合：向量称为向量组n,,,21的一个线性组合。如果有数域P中的数nkkk,,,21，使nnkkk2211。

②．线性表出：当向量是向量组n,,,21的一个线性组合时，我们也可以说可已经向量组n,,,21线性表出。

③.等价：如果向量组t,,,21中每一个向量),,2,1(tii都可以经向量组n,,,21线性表出，那么向量组t,,,21就称为可以经向量组n,,,21线性表出。如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价。

④.线性相关：如果向量组)2(,,,21ss中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组s,,,21就称为线性相关的。如果有数域P中不全为零的数Skkk,,,21，使02211SSkkk，向量组)1(,,,21ss称为线性相关。

⑤.相性无关：向量)1(,,,21ss不线性相关，既没有不全为零的数Skkk,,,21使02211SSkkk，就称为线性无关；或者说，一向量组s,,,21称为线性无关，如果由02211SSkkk可以推出021skkk。

2.向量组的基本性质

①.设r,,,21与s,,,21是两个向量组，如果向量组r,,,21可以经s,,,21线性变出，sr那么向量组r,,,21必线性相关。

②.如果向量组r,,,21可以经向量组s,,,21线性表出，且r,,,21线性无关，那么sr。

③.任意1n个n维向量必线性相关。

④.两个线性无关的等价向量组必含有相同个数的向量。

⑤.如果s,,,21的秩为r，则s,,,21中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组。

⑥.如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出那么（I）的秩不超过（II）的秩。

⑦.若iniririiiriiiBA,,,,,()(),,()(12121，若)(A线性无关，则)(B线性无关；若)(A线性相关，则)(B线性相关。 ⑧.若n,,,21中是一组n维向量，则n,,,21线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可被它们线性表出。

3.矩阵的秩

①.nn矩阵nnnnnnaaaaaaaaaA212111111211的行列式为零的充分必要条件是)(A的秩小于n。

②.齐次线性方程组000221122222211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵nnnnnnaaaaaaaaaA212111111211的行列式等于零。

③.一矩阵的秩是r的充分必要条件为矩阵中有一个r级子式不为零，同时所有1r级子式全为零。

④.阶梯型矩阵中的秩就等于其中非零行的数目。

4.线性方程组的解

①.基础解系：齐次线性方程中的一组解t,,,21称为它的一个基础解系，如果该齐次线性方程组的任一个解都能表成t,,,21的线性组合，t,,,21线性无关。

②.在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于rn这里r表示系数矩阵的秩如果rn那么方程只有零解。

③.齐次方程组有非零解的判定方法：

i.设A是nm矩阵，齐次方程组0Ax有非零解的充要条件是nAr)(,亦即A的列向量线性相关。

ii.如果A是n阶矩阵，0Ax有非零解的充要条件是0A。

iii．0Ax有非零解的充分条件是nm（即方程个数未知数个数）。 ④.非齐次线性方程组有解的判定

设A是nm矩阵，方程组bAx则：

i.有唯一解： nArAr)()(

ii.有无穷多解：nArAr)()(

iii.无解：： )(1)(ArAr

b不能由的列向量线性表出

⑤.设A是nm矩阵，线性方程组bAx有解的充分条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵A的秩即)()(ArAr。

⑥.线性方程组解的性质

i.如果21,是bAx的两个解，则21是0Ax的解。

ii.如果21,是0Ax的两个解，则其线性组合2211kk仍是0Ax的解。

iii.如果是bAx的解，是0Ax的解，则仍是bAx的解。

⑦.非齐次线性方程组解的结构：如n元线性方程组bAx有解，设t,,,21是相应齐次方程组0Ax的基础解系，0是bAx的某个已知解，则02211ttkkk是bAx的通解（或全部解）其中tkkk,,,21为任意常数。

三.线性方程组在数学中的应用

运用线性方程组的相关理论来推导出判断平面上两条直线的位置关系和空间上三个平面的位置关系的方法

1.判断平面上两条直线之间的位置关系

设平面上两条直线

0:1111CyBxAl，

0:2222CyBxAl，

记 2211BABAA,2211CACAB,2211CBCBC.

①.若两条直线相交，则两条直线有且只有一个公共点，那么线性方程组

222111,CyBxACyBxA （2.1）

有唯一解，则

02211BABAAd,

计算行列式不难发现

01221BABA,

亦即

2121BBAA,

这与初等数学中所给出的判别两直线相交的式子一致.

②.若两条直线平行，则两条直线无公共点，那么线性方程组（2.1）无解，则

02211BABAAd,

计算行列式不难发现

2121BBAA,

且0,022112211CBCBCACA,

计算行列式不难发现

212121212121,,CCAACCBBBBAA,

这与初等数学中所给出的判别两直线平行的式子一致.

③.若两条直线重合，则两条直线有无数多个公共点，那么线性方程组（2.1）有无穷多个解，则 0,0,0221122112211CBCBCCACABBABAA，

计算行列式不难发现

,212121CCBBAA

这与初等数学中所给出的判别两直线平行的式子一致.

因此通过计算

CBA,,

的值就可以判断出平面上两条直线之间的位置关系.

2.判断空间上三个平面之间的位置关系

设空间上的三个平面

,0:,0:,0:333332222211111DzCyBxASDzCyBxASDzCyBxAS

记

333322221111333222111,DCBADCBADCBAACBACBACBAA.

①.若这三个平面相交于一点，则三平面有且只有一个公共点，那么线性方程组

333322221111,,DzCyBxADzCyBxADzCyBxA (2.2)

有唯一解，则

0Ad,

则秩3A,所以秩A秩3A.

②.若这三个平面相交于一条直线，则三个平面有无穷多个公共点，那么线性方程组（2.2）有无穷多个解,则 0Ad,

则秩3A，所以秩A秩A，

但是若秩A秩1A,那么这三个平面重合，显然这与三平面相较于一条直线矛盾，所以秩A秩2A.

③.若这三个平面平行，则三个平面无公共点，那么线性方程组（2.2）无解，

则秩A秩A,又三平面平行，所以秩1A，则秩2A.

④.若这三个平面重合，则三个平面有无数多个公共点，那么线性方程组（2.2）有无穷多个解，则秩A秩1A.

因此只需计算出秩A与秩A，就可以知道空间上三个平面之间的位置关系.

3.运用线性方程组的相关理论来证明几个初等数学中的结论

结论1 两个不相同的点可以确定一条直线

在初等数学的学习中，我们已经知道这个简单的结论，并且还给出了两点公式，即已知两点222111,,,yxAyxA，则这两点所确定的直线方程为121121yyyyxxxx，

下面运用线性方程组的理论来推导这一公式，从而证明两个不相同的点可以确定一条直线.

证明：不妨设这两个不相同的点所确定的平面方程为

0,0不全为bacbyax，则

0,0,02211cbyaxcbyaxcbyax （3.1）

是关于a、b、c的齐次线性方程组，已知a、b不全为0，所以a、b、c也不全为0, 所以齐次线性方程组（3.1）有非零解，

则 01112211yxyxyx，

0))(())((010111121121121211112211xxyyyyxxyyxxyxyyxxyxyxyx，

即121121yyyyxxxx，

这就是初等数学中的两点公式，

所以两个不相同的点可以确定一条直线.

结论2 不在同一条直线上的三个点可以确定一个平面

在初等数学学习中我们已经知道不在同一条直线上的三个点可以确定一个平面，下面就用高等数学中学习的线性方程组的知识推出所确定平面的方程，从而证明不在同一条直线上的三个点可以确定一个平面.

证明：设不在同一条直线上的三个点

),,(,,,,,,333322221111zyxAzyxAzyxA

所确定平面的方程为

0,,0不全为CBADCzByAx,则

0,0,0,0333222111DCzByAxDCzByAxDCzByAxDCzByAx （3.2）

为关于A、B、C、D的齐次线性方程组，A、B、C不全为0，则A、B、C、D,不全为0，

所以